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TAUX d’ EVOLUTIONS
(cours)
Table des matières
1
2
3
4
5
6
calcul d’un taux d’évolution
1.1 activité . . . . . . . . . . .
1.2 corrigé activité . . . . . . .
1.3 a retenir . . . . . . . . . .
1.4 exercices . . . . . . . . . .
1.5 corrigés exercices . . . . . .
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valeur finale à partir du taux
2.1 activité : . . . . . . . . . . . .
2.2 corrigé activité : . . . . . . .
2.3 a retenir : . . . . . . . . . . .
2.4 exercices . . . . . . . . . . . .
2.5 corrigés exercices . . . . . . .
calcul de la valeur initiale à
3.1 activité . . . . . . . . . . .
3.2 corrigé activité . . . . . . .
3.3 a retenir : . . . . . . . . . .
3.4 exercices . . . . . . . . . . .
3.5 corrigés exercices . . . . . .
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d’évolution et de la
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partir
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valeur initiale, C.M.
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du taux et de la
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3
3
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5
6
7
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12
12
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valeur finale
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23
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27
28
évolutions successives
4.1 activité . . . . . . .
4.2 corrigé activité . . .
4.3 a retenir : . . . . . .
4.4 exercices . . . . . . .
4.5 corrigés exercices . .
et taux
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global
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36
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40
41
42
5.1 activité . . . . . . .
5.3 a retenir : . . . . . .
5.4 exercices . . . . . .
et taux
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réciproque
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6.1 activité . . . . . . .
6.3 a retenir : . . . . . .
6.4 exercices . . . . . . .
et taux
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moyen
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7 évaluations
7.1 devoir maison . . . . .
7.2 corrigé devoir maison .
7.3 évaluation . . . . . . .
7.4 interrogations . . . . .
7.4.1 interrogation 1
8 travaux pratiques
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68
70
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75
76
78
1
1.1
calcul d’un taux d’évolution
activité
Calculs et comparaisons de variations absolues et relatives à partir de valeurs.
A. Voici les évolutions des primes de salaires pour une personne pour les sept premiers mois de l’année.
Les données sont entrées dans une feuille de calcul de type Tableur.
1
2
3
4
5
A
Mois
Rang du Mois : i
prime en euros : pi
calcul
Variation absolue
(en euros) : vi
calcul
Variation relative
(en %) : ti
B
Janvier
1
200
C
Février
2
400
D
Mars
3
200
E
Avril
4
500
F
Mai
5
900
G
Juin
6
0
H
Juillet
7
150
+200
+100%
La variation absolue est calculée entre le mois précédent et le mois considéré, de même pour la variation relative.
1. a. Retrouver le v2 = +200 du tableau.
b. Calculer les variations absolues de la prime (en euros) et compléter le tableau.
c. Estimer,si, en général, il y a des limites à la valeur d’une variation absolue. (donner un intervalle
pour v)
d. Quelle formule tableur entrer dans la cellule C4 pour remplir par tirage les cellules C4 à H4.
2. a. Retrouver le t2 =+100% du tableau par deux méthodes de calcul.
b. Calculer toutes les variations relatives (ou taux d’évolution) de la prime (en %) et compléter
le tableau (si possible)
c. Estimer, si en général, il y a des limites à la valeur d’une variation relative (donner un intervalle
pour t)
d. Quelle(s) formule(s) tableur(s) entrer dans la cellule C5 pour remplir par tirage les cellules C5
à H5.
3. a. Entre quels mois la variation absolue de la prime a t-elle été la plus grande ?
b. Entre quels mois la variation relative de la prime a t-elle été la plus grande ?
c. La plus grande variation en euros correspond-elle toujours à la plus grande variation en pourcentages ? (justifier)
4. Est-il vrai ci dessus, qu’une variation de -200 euros neutralise une variation de +200 euros ?
justifier.
5. Est-il vrai ci dessus, qu’une variation de -50% euros neutralise une variation de +100% ?
justifier.
6. Est-il vrai ci dessus qu’une évolution de +100% suivie d’une évolution de -50% donne globalement
une évolution de 50% ?
justifier.
B. Donner les formules des variations absolues VA et relatives VR (ou t) pour une grandeur qui passe de
la valeur v1 à la valeur v2 et poser des conditions de validités éventuelles sur ses formules.
C. Défi : essayer de trouver un taux d’évolution (une variation relative) qui annulerait une variation de
+25%.
1.2
corrigé activité
Calculs et comparaisons de variations absolues et relatives à partir de valeurs.
A. Voici les évolutions des primes de salaires pour une personne pour les sept premiers mois de l’année.
1
2
3
4
5
A
Mois
Rang du Mois : i
prime en euros : pi
calcul
Variation absolue : vi
B
Janvier
1
200
C
Février
2
400
400-200
+200
D
Mars
3
200
200-400
-200
E
Avril
4
500
500-200
+300
F
Mai
5
900
900-500
+400
G
Juin
6
0
0-900
-900
H
Juillet
7
150
150-0
150
calcul
400−200
200
200−400
400
500−200
200
900−500
500
0−900
900
150−0
0
Variation relative : ti
1
+100%
-0,5
-50%
1,5
+150%
0,8
+80%
-1
-100%
indéfini
indéfini
1. a. v2 = p2 − p1 = 400 − 200 = +200 euros.
b. v3 = p3 − p2 = 200 − 400 = −200 euros.
v4 = p4 − p3 = 500 − 200 = +300 euros et de même pour le reste (voir tableau).
c. A priori, il n’y a pas de limites à la valeur d’une variation absolue : v ∈ ] − ∞ ; +∞[
d. C4=C3−B3.
2. a. Retrouvons le t2 = +100% du tableau par deux méthodes de calcul
400 − 200
p2 − p1
= 1 = 100%
=
p1
200
400
p2
−1=
− 1 = 2 − 1 = 1 = 100%
• t2 =
p1
200
• t2 =
−200
200 − 400
=
= −0, 5 = −50%
400
400
500 − 200
300
t4 =
=
= 1, 5 = +150% de même pour le reste
200
200
150 − 0
Remarquer que : t7 =
n’existe pas.
0
c. A priori, pour des valeurs positives de la grandeur en question (içi la prime), un taux ne
peut-être inférieur à -100%, mais il peut-être aussi grand que l’on veut, t ∈ [−1 ; +∞[ soit
t ∈ [−100% ; +∞[
b. t3 =
3. a. La variation absolue de la prime a t-elle été la plus grande entre Avril et Mai (+400)
b. La variation relative de la prime a t-elle été la plus grande entre Mars et Avril(+150%)
c. Non car içi, la plus grande variation en euros (+400) ne correspond pas à la plus grande
variation en pourcentages (+150%)
4. Oui, une variation de -200 euros neutralise une variation de +200 euros car globalement on a une
variation de 0 euros.
5. Oui, une variation de -50% euros neutralise une variation de +100% car globalement on a une
variation de 0 euros.( passage de 200 euros à 200 euros globalement).
6. Non, une évolution de +100% suivie d’une évolution de -50% donne globalement une évolution de
0% comme vue ci dessus et pas de +50% .
B. • VA = v2 − v1
v2
v2 − v1
=
− 1 pour v1 > 0 et v2 ≥ 0.
• VR = t =
v1
v1
C. Une variation de -20% annule une variation de +25%
En effet : 100 +25%×100 = 100 + 25 = 125 puis 125 -20%×125 = 125 - 25 = 100.
1.3
a retenir
définition 1 : (variation absolue, variation relative, taux d’évolution)
départ
arrivée
quel que soit le nombre positif non nul v1
(v1 ∈ R+∗ )
quel que soit le nombre positif v2
(v2 ∈ R+ )
v1
v2
✞
☎
✞
☎
la variation absolue de v1 à v2 est le nombre : ✝VA = v2 − v1 ✆
variation absolue = vf inale − vinitiale
✝
☛
✟☛
✟✆
v2 − v1
vf inale −vinitiale
la variation relative de v1 à v2 est le nombre : VR = t =
variation relative =
vinitiale
v1
✠
✡
✠✡
ou encore :
✟✞
☛
☎
v2
vf inale
la variation relative de v1 à v2 est le nombre : VR = t =
variation relative = vinitiale
−1
−1
v1
✆
✡
✠✝
remarques : (admises si non justifiées)
i. la variation relative est aussi appelée "taux d’évolution"
ii. une variation absolue est comprise entre −∞ et +∞ ( VA ∈] − ∞ ; +∞[ )
iii. une variation relative est comprise entre −100% et +∞ ( VR ∈] − 1 ; +∞[ )
exemples :
pour une classe A qui passe de 30 à 36 élèves.
pour une classe B qui passe de 20 à 25 élèves
pour une classe C qui passe de 20 à 15 élèves
pour la classe A :
la variation absolue du nombre délèves est VA = 36 − 30 = 6 élèves
la variation relative est VR = t =
6
1
36 − 30
=
= = 0, 2 = +20%
30
30
5
pour la classe B :
la variation absolue du nombre délèves est VA = 25 − 20 = 5 élèves
25 − 20
5
1
=
= = 0, 25 = +25%
20
20
4
la variation absolue est plus grande en A (6>5)
la variation relative est plus grande en B (25%>20%)
pour la classe C :
la variation absolue du nombre délèves est VA = 15 − 20 = −5 élèves
résumé :
15 − 20
−5
1
=
= − = −0, 25 = −25%
20
20
4
classe
v1
v2
variation absolue
A
30
36
36 − 30 = 6
B
20
25
25 − 20 = 5
C
20
15
15 − 20 = −5
variation relative
36 − 30
= 20%
30
25 − 20
= 25%
20
15 − 20
= −25%
20
1.4
exercices
exercice 1 :
(a) un prix passe de 200 euros à 250 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d’évolution
de ce prix ? (à 1% par excès si 5)
(b) un prix passe de 250 euros à 200 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d’évolution
(c) un article hors taxe vaut 50 e alors qu’il vaut 52,75 e toutes taxes comprises (TVA ajoutés uniquement) , quel est le taux de TVA ?
(d) il a réussit 50 fois l’an passé et 20 fois de moins cette année, de quelle proportion a t-il évolué ?
exercice 2 :
voici les
_tarif 1
_tarif 2
_tarif 3
_tarif 4
évolutions de plusieurs tarifs :
: passe de 1 e à 2 e
: passe de 1000 e à 1020 e
(a) calculer les variations absolues et relatives de chaque tarif
(b) quel tarif a le plus augmenté en e ?
(c) quel tarif a le plus augmenté en % ?
exercice 3 :
Le tableau ci dessous donne les chiffres d’affaire d’une entreprise pour trois années.(en milliers d’euros)
trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4
Σ
2007
55
77
129
150
411
2008
45
65
109
180
399
2009
65
90
145
250
550
Σ
165
232
383
580
1360
calculer le taux d’évolution du chiffre d’affaire à 1% près
A. entre le premier et dernier trimestre de l’année 2009
B. entre les premiers trimestres des années 2007 et 2009
C. entre les années 2007 et 2009
D. entre le premier et le dernier trimestre sur l’ensemble des trois années
exercice 4 :
écrire un algorithme qui donne le taux d’évolution si on entre la valeur initiale et la valeur finale
exercice 5 :
dans la feuille de calcul automatisée (tableur) ci dessous
A
B
C
1 prix HT taux de TVA prix TTC
2
105
?
125,58
3
140
?
147,7
4
200
?
204,2
i. quelle formule entrée dans la cellule B2 permet d’obtenir les résultats attendus dans la colonne B
si on "tire vers le bas" ?
1.5
corrigés exercices
corrigé exercice 1 :
(a) un prix passe de 200 euros à 250 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d’évolution
départ
arrivée
200
250
☎
✞
V = 250 − 200 = 50 e ✆
✝A
☛
✟
250 − 200
VR = t =
= 0, 25 = 25%
200
✡
✠
(b) un prix passe de 250 euros à 200 euros, quelle est la variation absolue et quel est le taux d’évolution
départ
arrivée
250
200
☎
✞
V = 200 − 250 = −50 e ✆
✝A
✟
☛
200 − 250
= −0, 2 = −20%
VR = t =
250
✡
✠
(c) un article hors taxe vaut 50 e alors qu’il vaut 52,75 e toutes taxes comprises (TVA ajoutés uniquement) , quel est le taux de TVA ?
H.T.
T.T.C.
50
52, 5
✟
☛
52, 75 − 50
= 0, 055 = 5, 5%
VR = t =
50
✡
✠
(d) il a réussit 50 fois l’an passé et 20 fois de moins cette année, de quelle proportion a t-il évolué ?
☛
départ
arrivée
50
50 − 20 = 30
✟
30 − 50
= −0, 4 = −40%
VR = t =
50
✡
✠
voici les
_tarif 1
_tarif 2
_tarif 3
_tarif 4
évolutions de plusieurs tarifs :
: passe de 1000 e à 1020 e
(a) calculer les variations absolues et relatives de chaque tarif
classe
v1
v2
variation absolue (en e)
tarif 1
1
2
✄
2 − 1 = ✂1 ✁
tarif 2
2
3
3 − 2 = ✂1 ✁
tarif 3
10
30
30 − 10 = ✂20 ✁
tarif 4
1000
1020
1020 − 1000 = ✂20 ✁
✄
✄
✄
✞
variation relative en %
☎
✞
2−1
= ✝100% ✆
1
☎
3−2 ✞
= ✝50% ✆
2
✞
☎
30 − 10
= ✝200% ✆
10
✞ ☎
1020 − 1000
= ✝2% ✆
1000
☎
(b) quel tarif a le plus augmenté en e ? ✝tarifs 2 ou tarif 3 avec +20 e ✆
☎
✞
(c) quel tarif a le plus augmenté en % ?✝tarif 3 avec +200 % ✆
Le tableau ci dessous donne les chiffres d’affaire d’une entreprise pour trois années.(en milliers d’euros)
trimestre 1 trimestre 2 trimestre 3 trimestre 4
Σ
2007
55
77
129
150
411
2008
45
65
109
180
399
2009
65
90
145
250
550
Σ
165
232
383
580
1360
calculer le taux d’évolution du chiffre d’affaire à 1% près
A. entre
le premier et dernier trimestre de
✟l’année 2009
☛
250 − 65
VR = t =
≃ 2, 846 ≃ 285%
65
✡
✠
B. entre
les premiers trimestres des années
✟ 2007 et 2009
☛
65 − 55
VR = t =
≃ 0, 181 ≃ 18%
55
✡
✠
C. entre
les années 2007 et 2009
✟
☛
550 − 411
≃ 0, 338 ≃ 34%
VR = t =
411
✡
✠
D. entre
le premier et le dernier trimestre✟
sur l’ensemble des trois années
☛
580 − 165
VR = t =
≃ 2, 515 ≃ 252%
165
✡
✠
écrire un algorithme qui donne le taux d’évolution si on entre la valeur initiale et la valeur finale :
début
var valeur_initiale ;
var valeur_finale ;
var taux
entrer valeur_initiale ;
entrer valeur_finale ;
taux = (valeur_finale - valeur_initiale)/valeur_initiale ;
sortir taux ;
fin
A
B
C
2
105
?
125,58
3
140
?
147,7
4
200
?
204,2
✞
☎
✞
☎
✝
✆
✝
✆
B2 = (C2 − A2)/A2 ou bien B2 = C2/A2 − 1
2
2.1
valeur finale à partir du taux d’évolution et de la valeur initiale, C.M.
activité :
A. comment trouver le coefficient multiplicateur CM quand on connaît le taux d’évolution t.
1. un prix est initialement à v1 euros, il augmente de t = 10% et vaut alors v2 euros.
montrer que v2 = 1, 1 × v1 .
en déduire le coefficient multiplicateur qui correspond à une évolution de +10%.
faire une phrase du type : évoluer de +10% revient à multiplier par ...
2. trouver de la même manière le coefficient multiplicateur qui correspond à une évolution de −10%.
3. démontrer que si t = +1% alors CM = 1, 01.
4. démontrer que si t = −1% alors CM = 0, 99.
5. démontrer qu’en général : CM = 1 + t.
6. compléter le tableau de correspondance ci dessous.
t
-100% -80% -50% -8% -5% 0% 5 %
calcul
8%
50%
80%
100%
150%
200%
CM
B. comment trouver taux d’évolution quand on connaît le coefficient multiplicateur
1. sachant qu’il a été démontré ci dessus que CM = 1 + t
en déduire l’expression de t en fonction de CM .
calcul
t
CM
×0, 01
×0, 55
×0, 45
×0, 1
×0
×1, 01
×1, 1
×1, 45
×1, 55
C. En déduire les réponses aux questions ci dessous en un seul calcul.
1. Il vaut 120 euros et augmente de 80%, combien vaut-il finalement ?
2. Il vaut 120 euros et baisse de 80%, combien vaut-il finalement ?
3. un prix hors taxe est de 20 euros, quel est le prix TTC si la TVA est à 19,6% ?
4. un prix avant solde est de 20 euros, quel est le prix soldé si la remise est de 5% ?
×1, 99
×4
2.2
corrigé activité :
A. comment trouver le coefficient multiplicateur CM quand on connaît le taux d’évolution t.
10
1. t = +10% donc v2 = v1 +
× v1 = v1 + 0, 1v1 = 1, 1v1
100
à une évolution de +10% correspond un coefficient multiplicateur de 1, 1
évoluer de +10% revient à multiplier par 1, 1
10
× v1 = v1 − 0, 1v1 = 0, 9v1
2. t = −10% donc v2 = v1 −
100
1
× v1 = v1 + 0, 01v1 = 1, 01v1 donc CM = 1, 01.
100
1
× v1 = v1 − 0, 01v1 = 0, 99v1 donc alors CM = 0, 99.
4. si t = −1% alors v2 = v1 −
100
5. en général :v2 = v1 + t × v1 = v1 + tv1 = (1 + t)v1 donc CM = 1 + t.
3. si t = +1% alors v2 = v1 +
6. on a le tableau de correspondance ci dessous.
t
-100%
-80%
-50%
-8%
calcul
1−
100
100
1−
80
100
CM
1−1
0
1 − 0, 8
0, 2
t
5%
8%
5
100
calcul
1+
CM
1 + 0, 05
1, 05
1+
8
100
1 + 0, 08
1, 08
1−
50
100
1 − 0, 5
0, 5
1−
8
100
1 − 0, 08
0, 92
50%
1+
-5%
50
100
1 + 0, 5
1, 5
80%
1+
80
100
1 + 0, 8
1, 8
1−
5
100
0%
1+
0
100
1 − 0, 05
0, 95
1+0
1
100%
150%
1+
100
100
1+1
2
1+
150
100
1 + 1, 5
2, 5
200%
1+
200
100
1+2
3
B. comment trouver taux d’évolution quand on connaît le coefficient multiplicateur
1. sachant qu’il a été démontré ci dessus que CM = 1 + t
on en déduire l’expression de t en fonction de CM suivante : t = CM − 1.
calcul
0, 01 − 1
0, 55 − 1
0, 45 − 1
0, 1 − 1
0−1
t
−0, 99
−0, 45
−0, 55
−0, 9
−1
t
−99%
−45%
−55%
−90%
−100%
CM
×0, 01
×0, 55
×0, 45
×0, 1
×0
calcul
1, 01 − 1
1, 1 − 1
1, 45 − 1
1, 55 − 1
1, 99 − 1
4−1
t
0, 01
0, 1
0, 45
0, 55
0, 99
3
t
+1%
+10%
+45%
+55%
+99%
+300%
CM
×1, 01
×1, 1
×1, 45
×1, 55
×1, 99
×4
C. En déduire les réponses aux questions ci dessous en un seul calcul.
1. Il vaut 120 euros et augmente de 80%, soit finalement : 120 × 1, 8 = 216 euros
2. Il vaut 120 euros et baisse de 80%, soit finalement : 120 × 0, 2 = 24 euros
19, 6
3. le prix TTC est de : v2 = 20 × (1 +
) = 20 × 1, 196 = 23, 92 euros.
100
5
4. le prix soldé est de : v2 = 20 × (1 −
) = 20 × 0, 95 = 19 euros.
100
2.3
a retenir :
départ
propriété 1 : (valeur finale et CM)
arrivée
×(1 + t)
v2
(v1 ∈
×CM
(v2 ∈ R+ )
soit t ∈ [−1; +∞[ le taux d’évolution de v1 à v2
on
☎ ✞
☎
✞ a:
✞
☎ ✞
☎
v2 = v1 × (1 + t)
v
=
v
×
CM
avec
CM
=
1
+
t
valeur
f
inale
=
(1
+
t)
×
valeur
initiale
2
1
✝
✆
✝
✆
v1
R+∗ )
✝
✆
✝
✆
démonstration : (laissée en exercice à partir de la définition d’une variation relative)
i. pour trouver la valeur
finale, il ☎
suffit de multiplier la valeur initiale par le coefficient multiplicateur
✞
noté CM égal à ✝CM = 1 + t ✆(CM > 0)
✞
☎
ii. multiplier un nombre par CM ≥ 0 revient à faire évoluer ce nombre du taux ✝t = CM − 1 ✆
iii. on a le tableau de correspondance suivant entre le taux et le CM
taux
CM
0%
1
5%
1,05
10%
1,1
taux
CM
0%
1
-5%
0,95
-10%
0,9
...%
...
...%
...
50%
1,5
-50%
0,5
...%
...
...%
...
85%
1,85
90%
1,9
-85%
0,15
95%
1,95
-90%
0,1
100%
1
-95%
0,05
-100%
0
exemples
40
= 1, 4
100
40
= 0, 6
ii. à un taux de t = −40% correspond un coefficient multiplicateur de CM = 1 −
100
iii. à un coefficient multiplicateur de CM = 0, 4 correspond un taux de t = 0, 4 − 1 = −0, 6 = −60%
i. à un taux de t = 40% correspond un coefficient multiplicateur de CM = 1 +
iv. à un coefficient multiplicateur de CM = 0, 04 correspond un taux de t = 0, 04−1 = −0, 96 = −96%
départ
v. Il vaut 120 euros et augmente de 80%,
120
80
soit finalement : 120 × (1 +
) = 120 × 1, 8 = 216 euros
100
×(1 +
80
)
100
×1, 8
vi. Il vaut 120 euros et baisse de 80%,
80
) = 120 × 0, 2 = 24 euros
soit finalement : 120 × (1 −
100
vii. le prix HT est de 20 euros avec 19,6% de TVA,
19, 6
) = 20 × 1, 196 = 23, 92 euros.
le prix TTC est de : v2 = 20 × (1 +
100
viii. Il vaut 20 euros et est soldé de 5%,
le prix soldé est de : v2 = 20 × (1 −
5
) = 20 × 0, 95 = 19 euros.
100
arrivée
v2
2.4
exercices
exercice 6 :
Un prix initialement à 50 euros augmente de 20% puis diminue de 20%
(a) Calculer le prix final.
(b) Calculer le taux d’évolution global équivalent aux deux évolutions.
exercice 7 :
Une pension initialement de 800 euros augmente de 5% par an pendant 4 ans.
(a) Calculer la pension finale.
(b) Calculer le taux d’évolution global équivalent aux quatre évolutions.
exercice 8 :
Un prix initialement de 200 euros baisse de 50% puis de 30%.
(a) Calculer le prix final.
exercice 9 :
(a) un objet à 127 euros augmente de 5%, quel est son nouveau prix ?
(b) un objet à 127 euros baisse de 5%, quel est son nouveau prix ?
(c) un objet coûte 1995 euros après une hausse de 5%, quel était son ancien prix ?
(d) un objet coûte 1995 euros après une baisse de 5%, quel était son ancien prix ?
exercice 10 :
La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3000 e pour l’année 1998. Depuis
1998, L’évolution de la subvention en pourcentage d’une année à l’autre est celle décrite dans le tableau
ci-dessous :
Année
1999
2000
2001
2002
2003
Evolution en pourcentage + 17 % + 15 % + 10 % + 9 % +6 %
Par exemple, le taux d’évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 10 %.
(a)
i. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). Les résultats
seront arrondis à l’unité.
ii. Le responsable sportif se plaint d’une diminution continuelle des subventions depuis l’année 1999.
Quelle confusion fait-il ?
(b) On admet que le montant de la subvention en 2003 est de 5130 e.
i. Calculer le pourcentage de diminution ou d’augmentation de la subvention de 1998 à 2003.
exercice 11 :
écrire un algorithme qui donne la valeur finale si on entre le taux d’évolution et la valeur initiale
exercice 12 :
A
B
C
2
105
19,6
?
3
140
5,5
?
4
200
2,1
?
i. quelle formule entrée dans la cellule C2 permet d’obtenir les résultats attendus dans la colonne C
2.5
corrigés exercices
Un prix initialement à 50 euros augmente de 20% puis diminue de 20%
départ
intermédiaire
arrivée
−20%
+20%
? = 60
50
×1, 2
? = 48
×0, 8
a. le prix final est de 48 euros car :
✄
20
) = 50 × 1, 2 = ✂60 ✁ et
50 × (1 +
100
60 × (1 −
✄
20
) = 60 × 0, 8 = ✂48 ✁
100
ou bien
50 × (1 +
✄
20
20
) × (1 −
) =✂48 ✁
100
100
b. le taux d’évolution global équivalent aux deux évolutions est de −4% car :
t=
☎
✞
48 − 50
v2 − v1
= −0, 04 = ✝−4% ✆
=
v1
50
ou bien
t=
☎
✞
v2
48
− 1 = −0, 04 = ✝−4% ✆
−1=
v1
50
ou bien
Cg = 1, 2 × 0, 8 = 0, 96
✞
☎
et t = 0, 96 − 1 = −0, 04 = ✝−4% ✆
Remarque :
On ne trouve pas globalement une évolution de 0% comme on pourrait croire intuitivement
(on ne peut en général pas additionner des taux d’évolutions pour trouver un taux global)
Une pension initialement de 800 euros augmente de 5% par an pendant 4 ans.
départ
+5%
+5%
×1, 05
×1, 05
+5%
arrivée
?
?
?
?
800
intermédiaire
intermédiaire
intermédiaire
+5%
×1, 05
×1, 05
a. la pension finale est de 972, 405 euros car :
✞
☎
5
5
5
5
) × (1 +
) × (1 +
) × (1 +
) = 800 × 1, 054 ≃ 972, 405
800 × (1 +
✝
✆
100
100
100
100
b. le taux d’évolution global équivalent aux cinq évolutions est de 22% car :
t=
☎
✞
v2 − v1
972, 405 − 800
=
≃ 0, 2155 ≃ ✝22% ✆
v1
800
ou bien
t=
✞
☎
972, 405
v2
−1=
− 1 ≃ ✝22% ✆
v1
800
ou bien
Cg = 1, 054 ≃ 1, 2155
✞
☎
et t ≃ 1, 2155 − 1 ≃ 0, 2155 ≃ ✝22% ✆
Remarque :
On ne trouve pas globalement une évolution de 20% comme on pourrait croire intuitivement
Un prix initialement de 120 euros baisse de 50% puis de 30%.
départ
200
intermédiaire
−50%
−30%
? = 100
×0, 5
arrivée
? = 70
×0, 7
a. le prix final est de 70 euros car :
✄
50
30
200 × (1 −
) × (1 −
) = 200 × 0, 5 × 0, 7 = ✂70 ✁
100
100
b. le taux d’évolution global équivalent aux deux évolutions est de -65% car :
t=
✞
☎
v2 − v1
70 − 200
=
= −0, 65 = ✝−65% ✆
v1
200
ou bien
t=
☎
✞
70
v2
−1=
− 1 = ✝−65% ✆
v1
200
ou bien
Cg = 0, 5 × 0, 7 = 0, 35
✞
☎
et t = 0, 35 − 1 = −0, 65 = ✝−65% ✆
Remarque :
On ne trouve pas globalement une évolution de -80% comme on pourrait croire intuitivement
départ
arrivée
+5%
? = 133, 35
127
×1, 05
a.
le prix final est de : 127 × (1 +
départ
127
☎
✞
5
) = 133, 35 euros
✝
✆
100
arrivée
−5%
? = 120, 65
×0, 95
b.
le prix final est de : 127 × (1 −
départ
✞
☎
5
) = 120, 65 euros
✝
✆
100
arrivée
+5%
1995
x =? = 1900
×1, 05
÷1, 05
c.
x × (1 +
5
) = 1995
100
le prix final est de : x =
départ
✄
1995
5 = ✂1900 euros ✁
1 + 100
arrivée
−5%
x =? = 2100
1995
×0, 95
d.
÷0, 95
5
) = 1995
x × (1 −
100
✄
1995
=
le prix final est de :
✂2100 euros ✁
5
1 − 100
corrigé exercice 10 : La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3000 e pour
l’année 1998.
Depuis 1998, L’évolution de la subvention en pourcentage d’une année à l’autre est celle décrite dans le
tableau ci-dessous :
Année
Evolution en pourcentage
1999
+ 17 %
2000
+ 15 %
2001
+ 10 %
2002
+ 9%
2003
+6 %
(a)
i. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). arrondis à
l’unité.
Année
1999
2000
2001
2002
2003
Evolution
+ 17 %
+ 15 %
+ 10 % + 9 %
+6 %
montant
3000 × 1, 17 ≃ 3510 3510 × 1, 15 ≃ 4037 ≃ 4440 ≃ 4840 ≃ 5130
ii. Le responsable sportif se plaint d’une diminution continuelle des subventions depuis l’année 1999.
Quelle confusion fait-il ? :
✄
✂il confond la baisse du taux d’évolution avec la baisse de la subvention ✁
(b) On admet que le montant de la subvention en 2003 est de 5130 e.
i. Calculer le pourcentage de diminution ou d’augmentation de la subvention de 1998 à 2003 :
☛
✟
5130 − 3000
≃ 71%
t=
3000
✡
✠
ou bien
Cg = 1, 17 × 1, 15 × 1, 17 × 1, 1 × 1, 09 × 1, 06 ≃ 1, 71
donc
✞
☎
t ≃ 1, 71 − 1 ≃ 0, 71 ≃ ✝71% ✆
écrire un algorithme qui donne la valeur finale si on entre le taux d’évolution et la valeur initiale
début
var valeur_finale ;
var taux ;
entrer taux ;
entrer valeur_initiale ;
valeur_finale = valeur_initiale*(1+ taux/100) ;
sortir valeur_finale ;
fin
A
B
C
2
105
19,6
?
3
140
5,5
?
4
200
2,1
?
✞
☎
✝
✆
C2 = A2 ∗ (1 + B2/100)
ou
✞
☎
✝
✆
C2 = A2 + A2 ∗ (B2/100)
3
3.1
calcul de la valeur initiale à partir du taux et de la valeur finale
activité
a. un prix maintenant à 150 euros vient d’augmenter de 20%, quel était l’ancien prix ?
b. un prix maintenant à 150 euros vient de baisser de 20%, quel était l’ancien prix ?
c. un prix TTC est de 20 euros, quel est le prix HT si la TVA est à 19,6% ?
d. un prix soldé est de 20 euros, quel est le prix avant solde si la remise est de 5% ?
3.2
corrigé activité
a. un prix maintenant à 150 euros vient d’augmenter de 20%, quel était l’ancien prix ?
départ
v1
×1, 2
20
)
×(1 +
100
arrivée
150
÷1, 2
20
l’ancien prix v1 est tel que : v1 × (1 +
) = 150 ⇐⇒ v1 × 1, 2 = 150
100
✄
150
donc : v1 =
= ✂125 euros ✁
1, 2
b. un prix maintenant à 150 euros vient de baisser de 20%, quel était l’ancien prix ?
départ
v1
×0, 8
20
×(1 −
)
100
arrivée
150
÷0, 8
20
) = 150 ⇐⇒ v1 × 0, 8 = 150
l’ancien prix v1 est tel que : v1 × (1 −
100
☎
✞
150
donc : v1 =
= 187, 5 euros
✝
✆
0, 8
c. un prix TTC est de 20 euros, quel est le prix HT si la TVA est à 19,6% ?
H.T.
v1
×1, 196
19, 6
)
×(1 +
100
T.T.C.
20
÷1, 196
19, 6
le prix HT v1 est tel que : v1 × (1 +
) = 20 ⇐⇒ v1 × 1, 196 = 20
100
☎
✞
20
donc : v1 =
= 16, 72 euros
✝
✆
1, 196
d. un prix soldé est de 20 euros, quel est le prix avant solde si la remise est de 5% ?
plein prix
v1
×0, 95
5
)
×(1 −
100
soldé
20
÷0, 95
5
) = 20 ⇐⇒ v1 × 0, 95 = 20
100
☎
✞
20
donc : v1 =
= 21, 05 euros
✝
✆
0, 95
3.3
a retenir :
départ
propriété 2 : (valeur initiale)
v1
(v1 ∈ R+∗ )
+
(v2 ∈ R )
soit t ∈] − 1; +∞[ le taux d’évolution de v1 à v2
on a :
✟
✟ ☛
☛
v2
valeur f inale
v1 =
valeur initiale =
1+t ✠ ✡
1+t
✡
✠
arrivée
×(1 + t)
v2
÷(1 + t)
démonstration : (laissée en exercice à partir de la définition d’une variation relative)
i. pour
trouver ☎
la valeur initiale, il suffit de diviser la valeur finale par le coefficient multiplicateur
✞
✝CM = 1 + t ✆(CM > 0)
1
1
=
de CM
ii. ce qui revient à multiplier par "l’inverse"
CM
1+t
exemples
i. un prix maintenant à 150 euros vient d’augmenter de 20%, quel était l’ancien prix ?
départ
v1
×1, 2
20
)
×(1 +
100
arrivée
150
÷1, 2
20
) = 150 ⇐⇒ v1 × 1, 2 = 150
100
✄
150
donc : v1 =
= ✂125 euros ✁
1, 2
ii. un prix maintenant à 150 euros vient de baisser de 20%, quel était l’ancien prix ?
départ
v1
×0, 8
20
)
×(1 −
100
arrivée
150
÷0, 8
20
) = 150 ⇐⇒ v1 × 0, 8 = 150
100
☎
✞
150
donc : v1 =
= 187, 5 euros
✝
✆
0, 8
3.4
exercices
exercice 13 :
Un prix vient d’augmenter de 25% puis diminuer de 25%, il vaut finalement 50 euros
(a) Calculer le prix intermédiaire ainsi que le prix initial.
exercice 14 :
Une consommation d’électricité mensuelle finalement de 1000 euros vient d’augmenter de 2% par mois
pendant 5 mois.
(a) Calculer la consommation initiale.
(b) Calculer le taux d’évolution global équivalent aux cinq évolutions.
exercice 15 :
Un prix vient de baisser de 50% puis de 30%, il est au final de 200 euros
(a) Calculer le prix initial.
exercice 16 :
(a) un objet à 127 euros vient d’augmenter de 5%, quel était son ancien prix ?
(b) un objet à 127 euros vient de baisser de 5%, quel était son ancien prix ?
(c) quel est le prix hors taxe d’un article à 100 e TTC taxé à 19,6% ?
(d) quel est le prix hors taxe d’un article à 20 e TTC taxé à 5,5% ?
exercice 17 :
ci-dessous :
Année
1999
2000
2001
2002 2003
Evolution en pourcentage −17 % −15 % −10 % −9 % −6 %
Par exemple, le taux d’évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de −10 %.
(a)
i. Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). Les résultats
seront arrondis à l’unité.
ii. Le responsable sportif se réjouit d’une augmentation continuelle des subventions depuis l’année
1999. Quelle confusion fait-il ?
iii. Calculer le pourcentage de diminution ou d’augmentation de la subvention de 1998 à 2003.
exercice 18 :
écrire un algorithme qui donne la valeur initiale si on entre le taux d’évolution et la valeur finale
exercice 19 :
A
B
C
2
?
19,6
105
3
?
5,5
140
4
?
2,1
200
i. quelle formule entrée dans la cellule A2 permet d’obtenir les résultats attendus dans la colonne A
3.5
corrigés exercices
Un prix vient d’augmenter de 25% puis diminuer de 25%, il vaut finalement 50 euros
départ
intermédiaire
−25%
+25%
? ≃ 53, 33
×1, 25
÷1, 25
(a) prix intermédiaire =
prix initial ≃
? ≃ 66, 67
arrivée
50
×0, 75
÷0, 75
☎
✞
50
≃ 66, 67
✝
✆
0, 75
☎
✞
66, 67
≃ ✝53, 33 ✆
1, 25
(b) taux global :
t=
☎
✞
v2 − v1
50 − 53, 33
≃
≃ −0, 062 ≃ −6, 2%
✝
✆
v1
53, 33
ou bien
t=
☎
✞
50
v2
−1=
− 1 ≃ −0, 062 ≃ −6, 2%
✝
✆
v1
53, 33
ou bien
Cg = 1, 25 × 0, 75 = 0, 9375
✞
☎
✝
✆
et t = 0, 9375 − 1 = −0, 0625 = −6, 25%
Une consommation d’électricité mensuelle finalement de 1000 euros vient d’augmenter de 2% par mois
pendant 5 mois.
départ
v1 =?
+2%
+2%
+2%
×1, 02
×1, 02
×1, 02
(a) consommation initiale
v1 × 1, 025 = 1000
v1 =
☎
✞
1000
≃ 97, 73
5
✝
✆
1, 02
(b) Calculer le taux d’évolution global équivalent aux cinq évolutions
Cg = 1, 025
✞
☎
✝
✆
tg = 1, 025 − 1 ≃ 0, 1041 ≃ 10, 41%
intermédiaire
+2%
?
?
?
?
×1, 02
intermédiaire
intermédiaire
intermédiaire
+2%
arrivée
1000
×1, 02
Un prix vient de baisser de 50% puis de 30%, il est au final de 200 euros
départ
? ≃ 571, 43
intermédiaire
−50%
×0, 5
−30%
? ≃ 285, 71
200
÷0, 7
÷0, 5
(a) prix intermédiaire =
×0, 7
arrivée
200
≃ 571, 43
0, 7
200
✞
☎
0, 7
≃ 571, 43
prix initial =
✝
✆
0, 5
(b) taux d’évolution global équivalent aux deux évolutions.
t=
☎
✞
200 − 571, 43
v2 − v1
≃
≃ −0, 65 = ✝−65% ✆
v1
200
ou bien
t=
☎
✞
v2
200
−1≃
− 1 ≃ ✝−65% ✆
v1
571, 43
ou bien
Cg = 0, 5 × 0, 7 = 0, 35
✞
☎
et t = 0, 35 − 1 = −0, 65 = ✝−65% ✆
Remarque :
On ne trouve pas globalement une évolution de -80% comme on pourrait croire intuitivement
(a) un objet à 127 euros vient d’augmenter de 5%, quel était son ancien prix ?
départ
v1
×1, 05
5
)
×(1 +
100
arrivée
127
÷1, 05
5
) = 127 ⇐⇒ v1 × 1, 05 = 127
100
☎
✞
127
donc : v1 =
≃ 120, 95 euros
✝
✆
1, 05
(b) un objet à 127 euros vient de baisser de 5%, quel était son ancien prix ?
départ
v1
×0, 95
5
×(1 −
)
100
arrivée
127
÷0, 95
5
) = 127 ⇐⇒ v1 × 0, 95 = 127
100
☎
✞
127
donc : v1 =
≃ 133, 68 euros
✝
✆
0, 95
(c) quel est le prix hors taxe d’un article à 100 e TTC taxé à 19,6% ?
départ
v1
×1, 196
19, 6
)
×(1 +
100
arrivée
100
÷1, 196
16, 6
) = 100 ⇐⇒ v1 × 1, 196 = 100
100
✞
☎
100
≃ ✝83, 61 euros ✆
donc : v1 =
1, 196
(d) quel est le prix hors taxe d’un article à 20 e TTC taxé à 5,5% ?
départ
v1
×1, 05
5, 5
)
×(1 +
100
arrivée
20
÷1, 05
5
) = 20 ⇐⇒ v1 × 1, 05 = 20
100
☎
✞
20
donc : v1 =
≃ 19, 05 euros
✝
✆
1, 05
ci-dessous :
Année
Evolution
subvention
et en 1998 :
1999
−17 %
6000
0, 94 × 0, 91 × 0, 9 × 0, 85
≃ 9169
2000
−15 %
6000
0, 94 × 0, 91 × 0, 9
≃ 7794
✄
6000
≃ ✂11047 ✁
0, 94 × 0, 91 × 0, 9 × 0, 85 × 0, 83
2001
−10 %
6000
0, 94 × 0, 91
≃ 7014
2002
−9 %
6000
0, 94
≃ 6383
2003
−6 %
6000
6000
(Par exemple, le taux d’évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de −10 %).
(a)
i. Calculer, pour chacune des
✄ années, le montant de la subvention attribuée (en euro). Les résultats
seront arrondis à l’unité. ✂voir tableau ci dessus ✁
ii. Le responsable sportif se réjouit d’une augmentation continuelle des subventions depuis l’année
1999.
Quelle confusion fait-il ?
☎
✞
il confond l’augmentation du taux avec l’augmentation de la subvention
✝
✆
iii. Calculer le pourcentage de diminution ou d’augmentation de la subvention de 1998 à 2003.
✟
☛
6000 − 11047
t=
≃ −45, 69%
11047
✡
✠
ou bien
Cg = 0, 94 × 0, 91 × 0, 9 × 0, 85 × 0, 83 ≃ 0, 5431
donc
✞
☎
✝
✆
t ≃ 0, 5431 − 1 ≃ −0, 4569 ≃ −45, 69%
écrire un algorithme qui donne la valeur initiale si on entre le taux d’évolution et la valeur finale
début
var valeur_finale ;
var taux ;
entrer taux ;
entrer valeur_finale ;
valeur_initiale = valeur_finale/(1+ taux/100) ;
sortir valeur_initiale ;
fin
A
B
C
2
?
19,6
105
3
?
5,5
140
4
?
2,1
200
i. quelle formule entrée dans la cellule A2 permet d’obtenir les résultats attendus dans la colonne A
✞
☎
✝
✆
A2 = C2/(1 + B2/100)
4
évolutions successives et taux global
4.1
activité
1. un prix augmente de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement ?
est-ce une bonne méthode d’additionner les taux d’évolutions intermédiaires pour obtenir le taux global ?
2. un prix baisse de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement ?
3. un prix augmente de 40% puis baisse de 40%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement ?
4. une augmentation de 10% par mois pendant 12 mois correspond à une évolution globale de quel taux ?
5. une baisse de 10% par mois pendant 12 mois correspond à une évolution globale de quel taux ?
6. une augmentation de 25% suivie d’une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50% ?
7. une baisse de 25% suivie d’une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50% ?
4.2
corrigé activité
1. un prix augmente de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement ?
+4%
+40%
départ
×(1 +
arrivée
4
40 intermédiaire
)
×(1 +
)
100
100
x
×Cg
Cg = (1 +
40
4
) × (1 +
) = 1, 4 × 1, 04 = 1, 456
100
100
tg = Cg − 1 = 1, 456 − 1 = 0, 456 = 45, 6%
✞
☎
✝
✆
donc le taux global est de 45, 6% .
il n’est pas correct d’additionner les taux d’évolutions intermédiaires pour obtenir le taux global.
(40% + 4% 6= 45, 6%)
2. un prix baisse de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement ?
−40%
départ
×(1 −
−4%
arrivée
40 intermédiaire
4
)
×(1 −
)
100
100
x
×Cg
4
40
) × (1 −
) = 0, 6 × 0, 96 = 0, 576
Cg = (1 −
100
100
tg = Cg − 1 = 0, 576 − 1 = −0, 424 = −42, 4%
✞
☎
✝
✆
donc le taux global est de −42, 4%
3. un prix augmente de 40% puis baisse de 40%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement ?
+40%
départ
×(1 +
−40%
arrivée
40 intermédiaire
40
)
×(1 −
)
100
100
x
×Cg
Cg = (1 +
40
40
) × (1 −
) = 1, 4 × 0, 6 = 0, 84
100
100
tg = Cg − 1 = 0, 84 − 1 = −0, 16 = −16%
✞
☎
donc le taux global est de ✝−16% ✆
4. une augmentation de 10% par mois pendant 12 mois correspond à une évolution globale de quel taux ?
+10%
départ
x
×(1 +
+10%
10
)
100
×(1 +
arrivée
10
)
100
...
×Cg
10 12
Cg = (1 +
) = 1, 112 ≃ 3, 14
100
tg = Cg − 1 ≃ 3, 14 − 1 = 2, 14 = 214%
✞
☎
donc le taux global est d’environs ✝214% ✆
5. une baisse de 10% par mois pendant 12 mois correspond à une évolution globale de quel taux ?
10 12
) = 0, 912 ≃ 0, 28
Cg = (1 −
100
tg = Cg − 1 ≃ 0, 28 − 1 = −0, 72 = −72%
✞
☎
donc le taux global est d’environs ✝−72% ✆
6. une augmentation de 25% suivie d’une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50% ?
+25%
départ
?%
arrivée
intermédiaire
x
+50%
25
50
) × C2 = 1 +
100
100
(1 +
1, 25 × C2 = 1, 5
C2 =
1, 5
= 1, 2
1, 25
tg = Cg − 1 ≃ 1, 2 − 1 = 0, 2 = 20%
✞
☎
donc le taux intermédiaire est de ✝+20% ✆
7. une baisse de 25% suivie d’une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50% ?
?%
−25%
départ
arrivée
intermédiaire
x
25
50
(1 −
) × C2 = 1 +
100
100
+50%
0, 75 × C2 = 1, 5
C2 =
1, 5
=2
0, 75
tg = Cg − 1 ≃ 2 − 1 = 1 = 100%
✞
☎
donc le taux intermédiaire est de ✝+100% ✆
4.3
a retenir :
départ
propriété 3 : (taux global et taux intermédiaires)
×C1
×(1 + t1 )
quel que soit le nombre t1 ∈ [−1; +∞[
quel que soit le nombre positif t2 ∈ [−1; +∞[
soit tg le taux d’évolution global correspondant à
une évolution de taux t1 suivie d’une évolution de taux t2
on
✞
☎
☎
✞ a:
1 + tg = (1 + t1 ) × (1 + t2 )
soit
tg = (1 + t1 ) × (1 + t2 ) − 1
✝
ou encore
✞
✆
☎
✝
✆
Cg = C1 × C2
et
✝
✞
t = Cg − 1
✝g
intermédiaire
☎
×C2
arrivée
×(1 + t2 )
×(1 + tg )
×Cg
✆
✆
démonstration : (laissée en exercice)
i. pour trouver le taux d’évolution global, il suffit de trouver le coefficient multiplicateur global égal
au produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires puis d’en déduire le taux global
exemples
i. un prix augmente de 40% puis de 4%, de quel pourcentage a t-il évolué globalement ?
arrivée
départ
40 intermédiaire
4
×(1 +
)
×(1 +
)
100
100
x
×Cg
40
4
Cg = (1 +
) × (1 +
) = 1, 4 × 1, 04 = 1, 456
100
100
tg = Cg − 1 = 1, 456 − 1 = 0, 456 = 45, 6%
donc le taux global est de 45, 6%.
il n’est pas correct d’additionner les taux d’évolutions intermédiaires pour obtenir le taux global.
(40% + 4% 6= 45, 6%)
ii. une augmentation de 25% suivie d’une évolution de quel taux donne globalement un taux de 50% ?
(1 +
25
50
) × C2 = 1 +
100
100
1, 25 × C2 = 1, 5
C2 =
1, 5
= 1, 2
1, 25
tg = Cg − 1 ≃ 1, 2 − 1 = 0, 2 = 20%
donc le taux intermédiaire est de 20%
4.4
exercices
exercice 20 :
L’an dernier le prix a d’abord baissé de 20 % puis augmenté de 25%.
calculer le coefficient multiplicateur global et interpréter le résultat.
exercice 21 :
calculer le taux global dans chaque cas.
1. augmentation de 5% puis augmentation de 10%
2. baisse de 5% puis augmentation de 10%
3. augmentation de 10% puis baisse de 10%
5. baisse de 50% puis baisse de 30%
exercice 22 : voici le bilan (en milliers d’euros) d’une entreprise sur une période donnée.
bilan 2008
bilan 2009
total
trimestre 1
50
250
300
trimestre 2
75
300
375
trimestre 3
85
300
385
trimestre 4
100
50
150
total
310
900
1210
à 0,1 % :
(a) calculer le taux global du premier trimestre 2008 au 4e trimestre 2008.
(b) calculer le taux global du 4e trimestre 2008 au 4e trimestre 2009.
(c) calculer le taux global du premier trimestre 2008 au 4e trimestre 2009 par deux méthodes
exercice 23 :
Depuis 1998, L’évolution de la subvention accordée par une entreprise à son club sportif en pourcentage
d’une année à l’autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous :
Année
1999
−17 %
2000
−15 %
2001
−10 %
2002
−9 %
2003
−6 %
(a) calculer le taux d’évolution global de la subvention de 1998 à 2003
exercice 24 :
écrire un algorithme qui donne le taux global si on entre le deux taux intermédiaires
exercice 25 :
A
B
C
1 Taux 1 en (%) Taux 2 en (%) Taux global en (%)
2
25
-20
?
3
-25
+20
?
4
10
20
?
4.5
corrigés exercices
L’an dernier le prix a d’abord baissé de 20 % puis augmenté de 25%.
25
20
) × (1 +
) = 0, 8 × 1, 25 = 1
coefficient multiplicateur global = Cg = (1 −
100
100
tg = Cg − 1 = 1 − 1 = 0 = 0%
✞
☎
donc le taux global est de ✝0% ✆
.
les deux évolutions se neutralisent. (25% est le taux réciproque de -20%)
☎
✞
10
5
) × (1 +
) − 1 = 15, 5%
✝
✆
100
100
☎
✞
5
10
baisse de 5% puis augmentation de 10% : tg = (1 −
) × (1 +
) − 1 = 4, 5%
✝
✆
100
100
✞
☎
10
10
augmentation de 10% puis baisse de 10% : tg = (1 +
) × (1 −
) − 1 = ✝−1% ✆
100
100
✞ ☎
20
25
baisse de 20% puis augmentation de 25% : tg = (1 −
) × (1 +
) − 1 = ✝0% ✆
100
100
✞
☎
50
30
baisse de 50% puis baisse de 30% : tg = (1 −
) × (1 −
) − 1 = ✝−65% ✆
100
100
1. augmentation de 5% puis augmentation de 10% : tg = (1 +
2.
3.
4.
5.
corrigé exercice 22 : voici le bilan (en milliers d’euros) d’une entreprise sur une période donnée.
bilan 2008
bilan 2009
total
trimestre 1
50
250
300
trimestre 2
75
300
375
trimestre 3
85
300
385
trimestre 4
100
50
150
total
310
900
1210
à 0,1 % :
(a) taux global du premier trimestre 2008 au 4e trimestre 2008
t1 =
✞
☎
100
− 1 = ✝100% ✆
50
(b) calculer le taux global du 4e trimestre 2008 au 4e trimestre 2009.
t2 =
✞
☎
50
− 1 = ✝−50% ✆
100
(c) calculer le taux global du premier trimestre 2008 au 4e trimestre 2009 par deux méthodes
tg =
✞ ☎
50
− 1 = ✝0% ✆
50
ou bien
tg = (1 +
✞ ☎
100
50
) × (1 −
) − 1 = ✝0% ✆
100
100
Année
1999
−17 %
2000
−15 %
2001
−10 %
2002
−9 %
(a) calculer le taux d’évolution global de la subvention de 1998 à 2003
✞
☎
✝
✆
tg = 0, 83 × 0, 85 × 0, 9 × 0, 91 × 0, 94 − 1 ≃ 0, 5431 − 1 ≃ −45, 69%
2003
−6 %
écrire un algorithme qui donne le taux global si on entre le deux taux intermédiaires
début
var taux_1 ;
var taux_2 ;
var taux_global ;
entrer taux_1 ;
entrer taux_2 ;
taux_global = (1+taux_1/100)*(1+taux_2/100)-1 ;
sortir taux_global ;
fin
A
B
C
1 Taux 1 en (%) Taux 2 en (%) Taux global en (%)
2
25
-20
?
3
-25
+20
?
4
10
20
?
✞
☎
✝
✆
C2 = ((1+A2/100)*(1+B2/100)-1)*100
5
évolutions successives et taux réciproque
5.1
activité
1. de quelle évolution en % faire suivre une évolution de 20% pour neutraliser celle ci (taux global = 0%) ?
autrement dit, quelle est l’évolution réciproque d’une évolution de +20% ?
suffit-il de prendre l’opposé du premier taux pour trouver le taux réciproque ?
2. quel est le taux réciproque d’une évolution de +25 % ?
3. quel est le taux réciproque d’une évolution de -25 % ?
5.2
corrigé activité
1. de quelle évolution en % faire suivre une évolution de 20% pour neutraliser celle ci (taux global = 0%) ?
+20%
départ
×(1 +
?%
arrivée
20 intermédiaire
)
100
×Cr
x
×(1 +
0
)
100
0%
0
20
) × Cr = 1 +
100
100
(1 +
1, 2 × Cr = 1
1
≃ 0, 83
1, 2
Cr =
✞
☎
tr = Cr − 1 ≃ 0, 83 − 1 ≃ −0, 17 ≃ ✝−17% ✆
✞
☎
✝
✆
donc le taux réciproque de +20% est environs -17%
il n’est pas une bonne méthode de prendre l’opposé du premier taux car -20% 6= -17%
+25%
départ
×(1 +
?%
arrivée
25 intermédiaire
)
100
×Cr
x
×(1 +
25
) × Cr = 1
(1 +
100
0
)
100
0%
1, 25 × Cr = 1
Cr =
1
= 0, 8
1, 25
✞
☎
tr = Cr − 1 ≃ 0, 8 − 1 = −0, 2 = ✝−20% ✆
✞
☎
✝
✆
donc le taux réciproque de +25% est -20%
+100%
départ
×(1 +
?%
arrivée
100 intermédiaire
)
100
×Cr
x
×(1 +
0
)
100
0%
100
) × Cr = 1
(1 +
100
2 × Cr = 1
1
= 0, 5
2
Cr =
✞
☎
tr = Cr − 1 ≃ 0, 5 − 1 = −0, 5 = ✝−50% ✆
✞
☎
✝
✆
donc le taux réciproque de +100% est -50%
?%
−25%
départ
×(1 −
arrivée
25 intermédiaire
)
100
×Cr
x
×(1 +
25
) × Cr = 1
(1 −
100
0
)
100
0%
0, 75 × Cr = 1
Cr =
1
≃ 1, 33
0, 75
✞
☎
tr = Cr − 1 ≃ 1, 33 − 1 ≃ 0, 33 ≃ ✝33% ✆
✞
☎
✝
✆
donc le taux réciproque de -25% est environs +33%
?%
−80%
départ
×(1 −
80 intermédiaire
)
100
x
×(1 +
arrivée
×Cr
0
)
100
0%
80
(1 −
) × Cr = 1
100
0, 2 × Cr = 1
1
=5
0, 2
Cr =
☎
✞
tr = Cr − 1 ≃ 5 − 1 = 4 = ✝400% ✆
✞
☎
✝
✆
donc le taux réciproque de -25% est environs +400%
?%
−100%
départ
×(1 −
100 intermédiaire
)
100
x
×(1 +
100
(1 −
) × Cr = 1
100
arrivée
×Cr
0
)
100
0%
0 × Cr = 1
Cr =
☎
1 ✞
n’existe pas
✆
0 ✝
✞
☎
✝
✆
donc le taux réciproque de -100% est inexistant
5.3
a retenir :
propriété 4 : (taux réciproque)
quel que soit le nombre t1 ∈] − 1; +∞[
soit tr le taux d’évolution réciproque du taux t1
on a :
✎
☞
☎
✞
1
1 = (1 + t1 ) × (1 + tr )
soit
tr =
−1
ou bien
✝
✆
1 + t1
✍
✌
✞
1 = C1 × Cr ✆ soit
✝
×Cr
×(1 + t1 )
×(1 + tr )
×1
☞
✎
☎
×C1
☎
✞
1
Cr =
et ✝tr = Cr − 1 ✆
C1 ✌
✍
i. pour trouver le taux d’évolution réciproque d’un taux donné (sauf −100%), il suffit de trouver le
coefficient multiplicateur réciproque égal à l’inverse du coefficient multiplicateur du taux donné
puis d’en déduire le taux réciproque
exemples
i. de quelle évolution en % faire suivre une évolution de 20% pour neutraliser celle ci (taux global
= 0%) ?
départ
×(1 +
x
(1 +
20 intermédiaire
)
100
20
0
) × Cr = 1 +
100
100
×(1 +
arrivée
×Cr
0
)
100
1, 2 × Cr = 1
Cr =
1
≃ 0, 83
1, 2
tr = Cr − 1 ≃ 0, 83 − 1 = −0, 17 = −17%
donc le taux réciproque de +20% est environs -17%
il n’est pas une bonne méthode de prendre l’opposé du premier taux car -20% 6= -17%
5.4
exercices
exercice 26 :
dans chaque cas, calculer le coefficient multiplicateur associé à l’évolution, le coefficient multiplicateur de
l’évolution réciproque et le taux réciproque de l’évolution donnée.
(a) le prix d’un kilo de fruit a augmenté de 21%
(b) les ventes on baissé de 0,4%
(c) le du baril de pétrole a augmenté de 19,42%
(d) le prix du litre de super a augmenté de 9%
(e) la production industrielle a baissé de 0,9%
exercice 27 :
(a) quelle augmentation "annule" une diminution de 25% ?
(b) quelle diminution "annule" une augmentation de 25% ?
(c) quelle diminution "annule" une augmentation de 20% ?
(d) quelle augmentation "annule" une diminution de 20% ?
exercice 28 :
écrire un algorithme qui donne le taux réciproque si on entre le taux d’évolution
exercice 29 :
A
B
1 taux (en %) taux réciproque (en %)
2
100
?
3
-99,99
?
4
150
?
5.5
corrigés exercices
dans chaque cas, calculer le coefficient multiplicateur associé à l’évolution, le coefficient multiplicateur de
l’évolution réciproque et le taux réciproque de l’évolution donnée.
(a) le prix d’un kilo de fruit a augmenté de 21%
t1 = 21%
21
C1 = 1 +
= 1, 21
100
1
1
≃ 0, 8264
=
Cr =
C1
1, 21
☎
✞
1
t R = CR − 1 =
− 1 ≃ −17, 36%
✝
✆
1, 21
(b) les ventes on baissé de 0,4%
t1 = −0, 4%
0, 4
= 0, 996
C1 = 1 −
100
1
1
Cr =
=
≃ 1, 004
C1
0, 996
✞
☎
1
− 1 ≃ +0, 4%
t R = CR − 1 =
✝
✆
0, 996
(c) le du baril de pétrol a augmenté de 19,42%
t1 = 19, 42%
19, 42
C1 = 1 +
= 1, 1942
100
1
1
=
≃ 0, 8374
Cr =
C1
1, 1942
✞
☎
1
− 1 ≃ −16, 26%
t R = CR − 1 =
✝
✆
1, 1942
(d) le prix du litre de super a augmenté de 9%
t1 = 9%
9
C1 = 1 +
= 1, 09
100
1
1
Cr =
=
≃ 0, 9174
C1
1, 09
☎
✞
1
− 1 ≃ −8, 25%
t R = CR − 1 =
✝
✆
1, 09
(e) la production industrielle a baissé de 0,9%
t1 = −0, 9%
0, 9
= 0, 991
C1 = 1 −
100
1
1
Cr =
=
≃ 1, 0091
C1
0, 991
✞
☎
1
− 1 ≃ ✝0, 091% ✆
t R = CR − 1 =
0, 991
(a) quelle augmentation "annule" une diminution de 25% ? : tR =
1
✞
☎
− 1 ≃ 0, 33 ≃ ✝33% ✆
25
1−
100
☎
✞
1
(b) quelle diminution "annule" une augmentation de 25% ? : tR =
− 1 = −0, 2 = ✝−20% ✆
25
1+
100
✞
☎
1
(c) quelle diminution "annule" une augmentation de 20% ? : tR =
− 1 ≃ 0, 17 ≃ ✝17% ✆
20
1+
100
☎
✞
1
(d) quelle augmentation "annule" une diminution de 20% ? : tR =
− 1 = 0, 25 = ✝25% ✆
20
1−
100
écrire un algorithme qui donne le taux réciproque si on entre le taux d’évolution
début
var taux ;
var taux_rec ;
entrer taux ;
taux_rec = (1/(1+taux/100)-1)*100 ;
sortir taux_rec ;
fin
A
B
1 taux (en %) taux réciproque (en %)
2
100
?
3
-99,99
?
4
150
?
✞
☎
✝
✆
B2 = (1/(1 + A2/100) − 1) ∗ 100
6
évolutions successives et taux moyen
6.1
activité
1. le premier mois, le prix augmente de 20%, le mois suivant, il augmente encore de 80%
quel est le taux d’évolution moyen mensuel ?
suffit-il de faire la moyenne arithmétique des deux taux précédents pour trouver le taux moyen ?
2. le premier trimestre, le prix baisse de 20%, le trimestre suivant, il baisse encore de 80%
quel est le taux d’évolution moyen trimestriel ?
3. en trois ans, un prix évolue respectivement de 10% puis de 20% puis de 15%
quel est le taux d’évolution moyen annuel ?
4. en trois jours, un prix évolue respectivement de -10% puis de -20% puis de -15%
quel est le taux d’évolution moyen journalier ?
5. en 4 mois, un prix passe de 100 à 200 euros
6.2
corrigé activité
1. le premier mois, le prix augmente de 20%, le mois suivant, il augmente encore de 80%
départ
×(1 +
20
)
100
×(1 +
×(1 + tm )
(1 +
arrivée
80
)
100
×(1 + tm )
80
20
) × (1 +
) = (1 + tm ) × (1 + tm )
100
100
1, 2 × 1, 8 = (1 + tm )2
(1 + tm )2 = 2, 16
p
√
1 + tm = 1, 56 ≃ 1, 47
ou
1 + tm = − 1, 56 ≃ −1, 47 qui est non acceptable dans le contexte
d’une évolution car un CM est toujours positif
tm ≃ 1 − 1, 47 = 0, 47 = 47%
✞
☎
✝
✆
donc le taux moyen mensuel est environs 47%
il n’est pas correct de faire la moyenne des deux taux donnés car 47% 6=
20 + 80
%
2
2. le premier trimestre, le prix baisse de 20%, le trimestre suivant, il baisse encore de 80% quel est le taux
d’évolution moyen trimestriel ?
départ
×(1 −
20
)
100
×(1 + tm )
(1 −
20
80
) × (1 −
) = (1 + tm ) × (1 + tm )
100
100
0, 8 × 0, 2 = ((1 + tm )2
(1 + tm )2 = 0, 16
1
1 + tm = 0, 16 2 =
p
0, 16 = 0, 4
tm = 0, 4 − 1 = −0, 6 = −60%
✞
☎
✝
✆
donc le taux moyen trimestriel est -60 %
×(1 −
arrivée
80
)
100
×(1 + tm )
3. en trois ans, un prix évolue respectivement de 10% puis de 20% puis de 15%
quel est le taux d’évolution moyen annuel ?
départ
×(1 +
10
)
100
×(1 + tm )
(1 +
×(1 +
20
)
100
×(1 +
×(1 + tm )
arrivée
15
)
100
×(1 + tm )
10
20
15
) × (1 +
) × (1 +
) = (1 + tm ) × (1 + tm ) × (1 + tm )
100
100
100
1, 1 × 1, 2 × 1, 15 = (1 + tm )3
(1 + tm )3 = 1, 518
1
1 + tm = 1, 518 3 =
p
3
1, 518 ≃ 1, 149
tm ≃ 1, 149 − 1 = 0, 149 = 14, 9%
✞
☎
✝
✆
donc le taux moyen annuel est environs 14,9 %
4. en trois jours, un prix évolue respectivement de -10% puis de -20% puis de -15%
départ
×(1 −
10
)
100
×(1 + tm )
(1 −
×(1 −
20
)
100
×(1 −
×(1 + tm )
×(1 + tm )
20
15
10
) × (1 −
) × (1 −
) = (1 + tm ) × (1 + tm ) × (1 + tm )
100
100
100
0, 9 × 0, 8 × 0, 85 = (1 + tm )3
(1 + tm )3 = 0, 612
1
1 + tm = 0, 612 3 =
p
3
0, 612 ≃ 0, 849
tm ≃ 0, 849 − 1 = −0, 151 = −15, 1%
✞
☎
✝
✆
donc le taux moyen journalier est environs -15,1 %
arrivée
15
)
100
arrivée
départ
100
×(1 + tm )
×(1 + tm )
×(1 + tm )
×(1 + tm )
200
100 × (1 + tm ) × (1 + tm ) × (1 + tm ) × (1 + tm ) = 200
100 × (1 + tm )4 = 200
200
=2
100
p
1
= 2 4 = 4 0, 612 ≃ 1, 189
(1 + tm )4 =
1 + tm
tm ≃ 1, 189 − 1 = 0, 189 = 18, 9%
✞
☎
✝
✆
donc le taux moyen mensuel est environs 18,9 %
arrivée
départ
100
×(1 + tm )
×(1 + tm )
...
200 × (1 + tm )12 = 100
100
= 0, 5
200
p
1
= 0, 5 12 = 12 0, 5 ≃ 0, 944
(1 + tm )12 =
1 + tm
tm ≃ 0, 944 − 1 = 0, 056 = 5, 6%
✞
☎
✝
✆
donc le taux moyen mensuel est environs 5,6 %
×(1 + tm )
×(1 + tm )
200
6.3
a retenir :
arrivée
départ
propriété 5 : (taux moyen pour deux évolutions )
×(1 + t2 )
×(1 + t1 )
×(1 + tm )
×(1 + tm )
soit tm le taux d’évolution moyen équivalent à la succession des du taux t1 puis t2
on
a:
✞
☎
✞
☎
p
(1 + tm )2 = (1 + t1 ) × (1 + t2 )
soit
tm = (1 + t1 ) × (1 + t2 ) − 1
✝
✞
☎
✝
✆
(Cm )2 = C1 × C2
ou
✆
soit
✞
C =
✝m
✝
√
✆
☎
✞
☎
✝tm = Cm − 1 ✆
C1 × C2 ✆ et
remarque : (admises si non justifiées)
i. pour trouver le taux d’évolution moyen d’une succession de taux donnés, p
il suffit de trouver le
p
coefficient multiplicateur moyen égal à la "moyenne géométrique" Cm = C1 × C2 ... × Cp des
coefficients multiplicateurs des taux donnés puis d’en déduire le taux moyen
exemple
i. le premier mois, le prix augmente de 20%, le mois suivant, il augmente encore de 80%
80
20
) × (1 +
) = Cm × Cm
(1 +
100
100
1, 2 × 1, 8 = (Cm )2
départ
×(1 +
(Cm )2 = 2, 16
Cm =
p
1, 56 ≃ 1, 47
20
)
100
×(1 +
×Cm
arrivée
80
)
100
×Cm
tm ≃ 1 − 1, 47 = 0, 47 = 47%
donc le taux moyen mensuel est environs 47%
r
20
80
directement : tm = (1 +
) × (1 +
) − 1 ≃ 0, 47 soit 47%
100
100
il n’est pas correct de faire la moyenne des deux taux donnés car 47% 6=
20 + 80
%
2
propriété 6 : (taux moyen pour p évolutions )
pour p évolutions de taux respectifs : t1 , t2 , ..., tp où p est un entier naturel quelconque on a :
✞
p
(cm ) = c1 × c2 × ... × cp
✝
☛
☎
✆
√
cm = (c1 × c2 × ... × cp ) = p c1 × c2 × ... × cp
✡
✞
t
✝m
1
p
☎
= cm − 1 ✆
ou bien en une seule formule
☛
tm =
✡
p
p
✟
✠
(racine pieme de c1 × c2 × ... × cp )
(1 + t1 ) × (1 + t2 ) × ... × (1 + tp ) − 1
✟
✠
remarque : le même taux moyen appliqué p fois donne la même évolution globale que les p évolutions
6.4
exercices
exercice 30 :
L’an dernier le prix a baissé de 20 % puis cette année il a augmenté de 25%.
calculer le coefficient multiplicateur moyen puis le taux moyen et interpréter le résultat.
exercice 31 :
calculer le taux moyen dans chaque cas.
exercice 32 : voici le bilan (en milliers d’euros) d’une entreprise sur une période donnée.
bilan 2008
bilan 2009
total
trimestre 1
50
250
300
trimestre 2
75
300
375
trimestre 3
85
300
385
trimestre 4
100
50
150
total
310
900
1210
(a) calculer le taux moyen trimestriel du premier trimestre 2008 au 4e trimestre 2008
(de la fin du premier à la fin du 4e )
(b) calculer le taux moyen trimestriel du premier trimestre 2009 au 4e trimestre 2009.
(c) calculer le taux moyen trimestriel du premier trimestre 2008 au 4e trimestre 2009.
obtient-on le même résultat en faisant la moyenne des deux taux moyens précédents ?
exercice 33 :
Année
1999
−17 %
2000
−15 %
2001
−10 %
2002
−9 %
2003
−6 %
(a) calculer le taux d’évolution moyen de la subvention de 1998 à 2003
exercice 34 :
écrire un algorithme qui donne le taux moyen si on entre deux intermédiaires
exercice 35 :
A
B
C
1 Taux 1 en (%) Taux 2 en (%) Taux moyen en (%)
2
25
-20
?
3
-25
+20
?
4
10
20
?
6.5
corrigés exercices
L’an dernier le prix a baissé de 20 % puis cette année il a augmenté de 25%.
calculer le coefficient multiplicateur moyen puis le taux moyen et interpréter le résultat.
départ
×(1 −
25
20
) × (1 +
) = Cm × Cm
(1 −
100
100
20
)
100
×(1 +
×(Cm )
×(Cm )
0, 8 × 1, 25 = (Cm )2
(Cm )2 = 1
Cm =
√
1=1
tm ≃ 1 − 1 = 0 = 0%
✞
☎
✝
✞
✆
☎
donc le taux moyen mensuel est de environs 0%
arrivée
25
)
100
soit :✝en moyenne le prix a évolué de 0% par an ✆
calculer le taux moyen dans chaque cas.
1. augmentation de 5% puis augmentation de 10% :
r
✞
☎
5
10
) × (1 +
) − 1 ≃ 0, 0747 ≃ ✝7, 5% ✆
tm = (1 +
100
100
r
☎
✞
5
10
) × (1 +
) − 1 ≃ 2, 2%
tm = (1 −
✝
✆
100
100
r
☎
✞
10
10
tm = (1 +
) × (1 −
) − 1 ≃ −0, 5%
✝
✆
100
100
r
✞ ☎
20
25
tm = (1 −
) × (1 +
) − 1 ≃ ✝0% ✆
100
100
r
☎
✞
50
30
tm = (1 −
) × (1 −
) − 1 ≃ ✝−41% ✆
100
100
corrigé exercice 32 : voici le bilan (en milliers d’euros) d’une entreprise sur une période donnée.
trimestre 1
50
250
300
bilan 2008
bilan 2009
total
trimestre 2
75
300
375
trimestre 3
85
300
385
trimestre 4
100
50
150
total
310
900
1210
(a) calculer le taux moyen trimestriel du premier trimestre 2008 au 4e trimestre 2008
(de la fin du premier à la fin du 4e )
50 × (Cm )3 = 100
(Cm )3 =
Cm =
√
3
100
=2
50
2 ≃ 1, 159
✞
☎
tm ≃ 1, 259 − 1 ≃ ✝26% ✆
(b) calculer le taux moyen trimestriel du premier trimestre 2009 au 4e trimestre 2009.
250 × (Cm )3 = 50
(Cm )3 =
Cm =
√
3
50
= 0, 2
250
0, 2 ≃ 0, 584
✞
☎
tm ≃ 0, 584 − 1 ≃ ✝−42% ✆
(c) calculer le taux moyen trimestriel du premier trimestre 2008 au 4e trimestre 2009.
50 × (Cm )7 = 50
(Cm )7 =
Cm =
√
7
50
=1
50
1=1
✞
☎
tm = 1 − 1 ≃ ✝0% ✆
on n’obtient pas le même résultat en faisant la moyenne des deux taux moyens précédents
car
26 + (−42)
= −8 6= 0
2
Année
1999
−17 %
2000
−15 %
2001
−10 %
2002
−9 %
(a) calculer le taux d’évolution moyen de la subvention de 1998 à 2003
tm =
√
5
✞
☎
✝
✆
0, 83 × 0, 85 × 0, 9 × 0, 91 × 0, 94 − 1 ≃ −11, 4%
2003
−6 %
écrire un algorithme qui donne le taux moyen si on entre deux intermédiaires
début
var taux_1 ;
var taux_2 ;
var taux_moyen ;
entrer taux_1 ;
entrer taux_2 ;
V
taux_moyen = ((((1+taux_1 /100)*(1+taux_2 /100)) (1/2))-1)*100 ;
sortir taux_moyen ;
fin
A
B
C
1 Taux 1 en (%) Taux 2 en (%) Taux moyen en (%)
2
25
-20
?
3
-25
+20
?
4
10
20
?
☎
V
C2 = ((((1+A2/100) * (1+B2/100)) (1/2))-1)*100
✞
✝
✆
7
7.1
évaluations
devoir maison
devoir maison
exercice 1 :
Un produit en vente aux enchères est au départ à un prix de 220 e
un acheteur remporte la vente à 256 e
calculer le taux d’évolution entre le départ et l’achat
exercice 2 :
déterminer les coefficients multiplicateurs associés aux évolutions suivantes :
i. augmenter de 20%
ii. diminuer de 62%
iii. augmenter de 50%
exercice 3 :
déterminer le montant des ventes de PSA Peugeot Citroên au semestre précédent sachant que :
"le groupe PSA annonce un bon de 20,8 % de ses ventes à 28,39 milliards d’euros ce semestre
exercice 4 :
soit l’algorithme ci dessous
début
var V ;
var t ;
entrer V ;
entrer t ;
V prend la valeur V × (1 +
sortir V ;
t
);
100
fin
(a) quelles sont les variables utilisées
(b) que calcule cet algorithme ? quelle variable stocke le résultat ?
(c) saisir le programme dans une calculatrice ou un ordinateur et vérifier son fonctionnement en complétant
les deux premières lignes du tableau
(d) modifier le programme pour pouvoir compléter la troisième ligne du tableau et compléter cette ligne
circuit
ventes semaine 1 évolution ventes semaine 2
librairie
973
-13%
grandes surfaces alimentaires
96
-47%
grandes surfaces spécialisées
-34%
532
exercice 5 :
de 2000 à 2005 la population d’une ville a augmenté de 10, 3% puis,
de 2005 à 2010 elle a diminué de 9%
Quel est le taux d’évolution de la population de la ville entre 2000 et 2010 ?
exercice 6 :
la pelouse grandit de 5% par jour
Quel est le taux d’évolution de la taille de la pelouse en 15 jours ?
exercice 7 :
le propriétaire d’un magasin liste chaque jour, les articles vendus, le prix TTC et calcule le montant
de la TVA à verser à l’état.
i. A. calculer le taux d’évolution réciproque de 19, 6% (arrondi au centième)
B. en déduire le prix HT d’un article correspondant à un prix TTC de 43, 65 euros
C. en déduire le montant en euros de la TVA qui sera versée à l’état suite à la vente de l’article
ii. la feuille de calcul ci dessous présente les ventes d’une journée de ventes
A
B
C
D
E
F
1 référence prix TTC prix HT
taux de TVA
0,196
2
ref1
43,65
36,50
7,15 taux réciproque -0,1639
3
ref2
303,78
4
ref3
95,67
5
ref4
151,65
A. quelle formule a été saisie en C2 ?
B. quel est le titre à écrire en D1 ?
C. Quelle formule a été saisie en F 2 ?
D. réaliser la feuille de calcul, compléter le tableau et le montant total de la TVA que le commerçant devra donner à l’état
exercice 8 :
dans ce QCM, une seule réponse est correcte.
i. un prix passe de 6,7 e à 7 e
quel est le taux d’évolution du prix au dixième ? : 0,3 % / 4,5% / 4,3%
ii. quel est le taux global correspondant à une évolution de 10% suivie d’une évolution de -50% suivie
d’une évolution de 7% ? -33 % / -41,15% / -11%
iii. Une photocopieuse augmente une dimension de 20%, la nouvelle dimension est : 20d / 0,2d / 1,2d
7.2
corrigé devoir maison
corrigé devoir maison
exercice 1 : (9 page 116)
t=
☎
✞
256 − 220
≃ ✝16% ✆
220
✞ ☎
20
= 1, 2
✝ ✆
100
✞
☎
62
(b) diminuer de 62% : CM = 1 −
= 0, 38
✝
✆
100
☎
✞
50
(c) augmenter de 50% :
CM = 1 +
= 1, 5
✝ ✆
100
(a) augmenter de 20% :
CM = 1 +
au semestre précédent le montant des ventes a été de :
✞
☎
28, 39
≃ 23, 50 milliards d’euros
✝
✆
20, 8
1+
100
✄
(a) les variables utilisées sont ✂V et t ✁
☎
✞
calcule
la
valeur
finale
connaissant
la
valeur
initiale
et
le
taux
d’évolution
t%
(b) cet algorithme
✝
✆
✄
la variable ✂V stocke le résultat ✁
(c) en JAVASCRIPT le programme est par exemple :
<script langage="javascript">
var V ;
var t ;
V = prompt("entrez une valeur initiale s.v.p") ;
t = prompt("entrez une valeur de taux d’évolution s.v.p") ;
V = V ∗ (1 + t/100) ;
alert("la valeur finales est : "+V ) ;
</script>
(d) programme modifié pour pouvoir compléter la troisième ligne du tableau et compléter cette ligne
début
var V ;
var t ;
entrer V ;
entrer t ;
V prend la valeur V /(1 + t/100) ;
sortir V ;
fin
circuit
librairie
grandes surfaces alimentaires
grandes surfaces spécialisées
ventes semaine 1
973
96
✞
☎
≃ 806, 06
✝
✆
évolution
-13%
-47%
-34%
ventes
☎2
✞ semaine
≃ 846, 51
✝
✆
✞
☎
≃ 50, 88
✝
✆
532
le taux d’évolution de la population de la ville entre 2000 et 2010 est :
✞
☎
10, 3
9
t = (1 +
) × (1 −
) − 1 ≃ 0, 373%
✝
✆
100
100
le taux d’évolution de la taille de la pelouse en 15 jours est :
✞
☎
5 15
t = (1 +
) − 1 ≃ ✝108% ✆
100
le propriétaire d’un magasin liste chaque jour, les articles vendus, le prix TTC et calcule le montant
de la TVA à verser à l’état.
i. A. le taux d’évolution réciproque de 19, 6% (arrondi au centième) est :
☎
✞
1
tR =
− 1 ≃ −16, 39%
✝
✆
19, 6
1+
100
B. le prix HT d’un article correspondant à un prix TTC de 43, 65 euros est :
☎
✞
43, 65
16, 39
HT =
) soit : HT ≃ 36, 5
≃ 36, 5 ou bien HT ≃ 43, 65 × (1 −
✝
✆
19, 6
100
1+
100
C. montant en euros de la TVA
qui
✞
☎ sera versée à l’état suite à la vente de l’article :
TVA ≃ 43, 65 − 36, 5 = 7, 15
✝
✆
ii. la feuille de calcul ci dessous présente les ventes d’une journée de ventes
A
B
C
D
E
F
1 référence prix TTC prix HT
taux de TVA
0,196
2
ref1
43,65
✄ 36,50
✞ 7,15 ☎ taux réciproque -0,1639
3
ref2
303,78
≃
254
≃ 49, 78
✂✄
✁ ✞
✝
✆
☎
4
ref3
95,67
≃ 80 ✁
≃ 15, 67
✂
✝
✆
☎ ✞
☎
✞
5
ref4
151,65
≃ 126, 8
≃ 24, 85
✝
☎
✞
✞
✆ ✝
✆
A. C2 = B2/(1 + F $1) ou bien C2 = B2 ∗ (1 + F $2)
✝
✆
✄
B. ✂valeur de la TVA ✁dans D1
✞
☎
C. F 2 = 1/(1 + F 1) − 1
✝
✝
✆
☎
✆
D. tableau et le montant
✞ total
☎ de la TVA que le commerçant devra donner à l’état : 7, 15+49, 78+
15, 67 + 24, 85 = 97, 45
✝
✆
dans ce QCM, une seule réponse est correcte.
☎
✞
7
i. t =
− 1 ≃ 4, 5%
✝
✆
6, 7
✞
☎
✝
✆
ii. t = 1, 1 × 0, 5 × 1, 07 − 1 ≃ −41, 15%
✞
iii. V2 = 1, 2d
✝
☎
✆
7.3
évaluation
interrogation
Nom, Prénom : ...
Exercice 1 :
recopier la seule et unique bonne réponse (ou la phrase) sur votre copie dans chaque cas :
(t = taux, tg = taux global, tr = taux réciproque, tm = taux moyen, CM = coefficient multiplicateur, V1 =
valeur initiale, V2 = valeur finale)
V2 − V1
V1 − V2
V1 − V2
V2 − V1
/ t=
/ t=
/ t=
/ aucune des formules ne convient
V2
V1
V2
V2
V2
V1
V1
V1
/ t=
−1 / t=
/ t=
− 1 / aucune des formules ne convient
(b) t =
V2
V1
V2
V2
(c) CM = 1 + t / CM = 1 − t / CM = t − 1 / CM = t / aucune des formules ne convient
(a) t =
(d) t = 1 + CM / t = 1 − CM
/ t = CM − 1 / t = CM + 1 / aucune des formules ne convient
V1
/ V2 = V1 × t / aucune ne convient
(e) V2 = V1 × (1 + t) / V1 = V2 × (1 + t) / V2 =
1+t
V1
V1
V2
/ V2 =
/ V2 =
/ aucune ne convient
(f) V1 = V2 × (1 + t) / V1 =
1+t
1+t
t
(g) tg = (1+t1 )×(1+t2 )−1 / tg = t1 ×t2 −1 / tg = (1+t1 )×(1+t2 ) / tg = t1 +t2 / aucune ne convient
(h) tr = −t1 / tr =
1
t1
t1 + t2
(i) tm =
/ tm
2
cune ne convient
(j) tm =
/ tm
1
1
/ tr =
− 1 / aucune ne convient
1 + t1
1 + t1
p
p
√
= t1 × t2 −1 / tm = (1 + t1 ) × (1 + t2 )−1 / tm = (1 + t1 ) × (1 + t2 ) / au/ tr =
t1 + t2 + t3
/ tm = (t1 × t2 × t3 )1/3 − 1 / tm = (1 + t1 ) × (1 + t2 ) × (1 + t3 ) − 1
3
= ((1 + t1 ) × (1 + t2 ) × (1 + t3 ))1/3 − 1 / aucune ne convient
Exercice 2 :
(a) donner le coefficient multiplicateur CM associé à chaque taux t :
i. t = +9% donne CM = ...
ii. t = +90% donne CM = ...
iii. t = −9% donne CM = ...
iv. t = −90% donne CM = ...
(b) donner le taux t associé à chaque coefficient multiplicateur CM :
i. CM = 0, 16 donne t = ...
ii. CM = 1, 16 donne t = ...
iii. CM = 2, 16 donne t = ...
iv. CM = 1 donne t = ...
Exercice 3 :
voici les évolutions de plusieurs tarifs :
_tarif 1 : passe de 15 e à 20 e
_tarif 2 : passe de 55 e à 65 e
(a) calculer les variations absolues (en e) et relatives (à 1% près) de chaque tarif
(b) quel tarif a le plus augmenté en e ?
(c) quel tarif a le plus augmenté en % ?
Exercice 4 :
(a) un objet à 127 euros augmente de 5%, quel est son nouveau prix ?
(b) un objet à 127 euros baisse de 5%, quel est son nouveau prix ?
(c) un objet coûte 1995 euros après une hausse de 5%, quel était son ancien prix ?
(d) un objet coûte 1995 euros après une baisse de 5%, quel était son ancien prix ?
Exercice 5 :
2. baisse de 15% puis baisse de 8% puis baisse de 25%
Exercice 6 :
(a) quelle augmentation "annule" une diminution de 25% ?
(taux réciproque d’une évolution de +25% ?)
(b) déterminer le taux réciproque d’une évolution de +200 %
Exercice 7 :
calculer le taux moyen dans chaque cas (à 1% près).
(a) augmentation de 20% puis augmentation de 40%
(b) baisse de 50% puis baisse de 30% puis baisse de 80%
Exercice 8 :
ci-dessous :
Année
1999
2000
2001
2002
2003
Evolution en pourcentage + 17 % + 15 % + 10 % + 9 % +6 %
i. calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée ( à l’euro près).
ii. le responsable sportif se plaint d’une diminution continuelle des subventions depuis l’année 1999.
quelle confusion fait-il ?
iii. calculer le pourcentage de diminution ou d’augmentation de la subvention de 1998 à 2003.
iv. calculer le taux moyen annuel de 1998 à 2003
v. si à partir de 2003 le taux reste à +6%
quel sera le montant de la subvention en 2012 ?
Exercice 9 :
écrire un algorithme qui donne le prix HT (hors taxes) si on entre le prix TTC (toutes taxes comprises) et
le taux de TVA (par exemple 19,6)
Exercice 10 :
le propriétaire d’un magasin liste chaque jour, les articles vendus, le prix HT et le taux de TVA puis calcule
le montant TTC ainsi que la TVA à verser à l’état. Cette feuille de calcul présente les ventes d’une journée
A
B
C
D
E
1 référence prix HT taux de TVA prix TTC TVA en euros
2
ref1
36,50
19,6
3
ref2
303,78
5,5
4
total
i. quelle formule faut-il entrer en D2 puis tirer en D3 ? (D2 = ...)
ii. quelle formule faut-il entrer en E2 puis tirer en E3 ?
iii. quelle formule faut-il entrer en E4 ?
7.4
interrogations
7.4.1
interrogation 1
interrogation
Nom, Prénom : ...
1. entourer la bonne proposition dans chaque cas :
v2 − v1
v2 − v1
v1 − v2
v1 − v2
(a) t =
/ t=
/ t=
/ t=
/ aucune des formules ne convient
v2
v1
v2
v2
v2
v1
v1
v1
/ t=
−1 / t=
/ t=
− 1 / aucune des formules ne convient
(b) t =
v2
v1
v2
v2
(c) CM = 1 + t / CM = 1 − t / CM = t − 1 / CM = t / aucune des formules ne convient
(d) t = 1 + CM / t = 1 − CM
/ t = CM − 1 / t = CM + 1 / aucune des formules ne convient
V1
(e) V2 = V1 × (1 + t) / V1 = V2 × (1 + t) / V2 =
/ V2 = V1 × t / aucune ne convient
1+t
V1
V1
V2
/ V2 =
/ V2 =
/ aucune ne convient
(f) V1 = V2 × (1 + t) / V1 =
1+t
1+t
t
2. un prix passe de 50 à 200 euros, calculer le taux d’évolution à 1% près
3. Un article à 180 euros est baissé de 30%, quel est le nouveau prix ?
4. donner le coefficient multiplicateur CM associé à chaque taux t :
(a) t = +9% donne CM = ...
(b) t = +90% donne CM = ...
(c) t = −9% donne CM = ...
(d) t = −90% donne CM = ...
5. donner le taux t associé à chaque coefficient multiplicateur CM :
(a) CM = 0, 16 donne t = ...
(b) CM = 1, 16 donne t = ...
(c) CM = 2, 16 donne t = ...
(d) CM = 1 donne t = ...
6. Un article maintenant à 180 euros vient d’augmenter de 3%, quel était l’ancien prix ?
7. Un article voit son prix augmenter de 4% puis baisser de 40%, de quel pourcentage a t-il varié globalement ?
8
travaux pratiques
Nom, Prénom : ...
TP : Taux d’évolution et Algorithmique
But : Analyser des algorithmes donnés (ou en écrire) puis programmer un ordinateur pour effectuer ces algorithmes
1. ouvrir le sous-dossier "math" votre dossier "mes documents" et y créer un sous-sous-dossier
"algorithme_et_taux", puis ouvrir ce dossier
2. calcul du taux
_on entre la valeur initiale et la valeur finale
_on obtient en sortie, la valeur du taux d’évolution
algorithme
Début
//Variables
valeur_initiale, valeur_f inale, taux
//Entrées
demander à l’utilisateur la valeur de valeur_initiale
demander à l’utilisateur la valeur de valeur_f inale
//Traitements
affecter à taux la valeur (valeur_f inale − valeur_intiale)/valeur_initiale) ∗ 100
//Sortie
afficher taux
Fin
(a) rappeler la formule qui permet de calculer le
taux d’évolution t de V1 à V2 :
t = ...
(b) dans le programme ci contre, combien y a t-il
de variables ? : ...
(c) combien y a t-il de variables d’entrées ? : ...
(d) combien y a t-il de variables de sorties ? : ...
(e) programme en javascript avec un pc sous window XP
i. créer un nouveau fichier
programme en javascript (1)
<script>
//Variables
var v1, v2, t ;
//Entrées
v1 = Number(prompt("valeur initiale = ?")) ;
v2 = Number(prompt("valeur finale = ?")) ;
//Traîtement
t = ... ;
//Sorties
alert( "taux = " + t + " %" )
</script>
(démarrer –> tous les programmes –> Accessoires –> Bloc-notes )
ii. recopier et compléter le programme donné (1) dans le fichier
(de <script> à < /script> inclus)
iii. enregistrer sous "taux.htm" dans le dossier "algorithme_et_taux"
iv. double cliquez sur l’icône apparue dans le dossier "algorithme_et_taux" (avec Firefox)
v. vérifier que le programme fonctionne en prenant : v1 = 10 et v2 = 20 , il donne alors : taux = ...
vi. relancer le programme (touche F5) pour répondre à la question suivante.
la consommation passe de 20 unités à 10 unités, le taux d’évolution est de : ...
3. calcul de la valeur finale
_on entre la valeur initiale et le taux d’évolution
(a) rappeler la formule qui donne V2 en fonction de
V1 et t :
V2 = ...
(b) créer un nouveau fichier
(c) recopier le programme donné (2) dans le fichier
(d) enregistrer sous "valeur_finale.htm" dans le
dossier "algorithme_et_taux"
(e) compléter le programme par ce qu’il faut pour
qu’il fonctionne (puis enregistrer)
_on obtient en sortie, la valeur finale
programme en javascript (2) (à compléter)
<script>
//Variables
var v1, v2, t ;
//Entrées
v1 = Number(prompt("valeur initiale = ? ")) ;
t = Number(prompt(" taux (%) = ?")) ;
//Traîtement
v2 = ... ;
//Sorties
alert( "valeur finale = " + v2)
</script>
i. double cliquez sur l’icône apparue dans le dossier
ii. vérifier que le programme fonctionne en prenant : v1 = 60 et taux = 25%
il donne alors : v2 = ...
iii. relancer le programme (touche F5) pour répondre à la question suivante
il coutait 60 euros mais a baissé de 25%
le nouveau prix est donc : ...
4. calcul de la valeur initiale
_on entre la valeur finale et le taux d’évolution
(a) rappeler la formule qui donne V1 en fonction de
V2 et t :
V1 = ...
(d) enregistrer sous "valeur_initiale.htm" dans le
_on obtient en sortie, la valeur initiale
<script>
//Variables
var v1, v2, t ;
//Entrées
v2 = Number(prompt("valeur finale = ? ")) ;
//Traîtement
v1 = ... ;
//Sorties
alert( "valeur initiale = " + v1)
</script>
ii. vérifier que le programme fonctionne en prenant : v2 = 60 et taux = 25%
il donne alors : v1 = ...
il coute maintenant 60 euros mais a baissé de 25%
l’ancien prix était donc : ...
5. calcul du taux réciproque
_on entre la valeur du taux d’évolution
_on obtient en sortie, la valeur du taux réciproque
(a) rappeler la formule qui donne tr en fonction de
t:
tr = ...
(d) enregistrer sous "taux_reciproque.htm" dans le
<script>
//Variables
var t, tr ;
//Entrées
//Traîtement
tr = ... ;
//Sorties
alert( "taux réciproque = " + tr)
</script>
ii. vérifier que le programme fonctionne en prenant : t = 20%
il donne alors : tr = ...
il vient de baisser de 25% , pour retrouver le même prix, il doit donc augmenter de : ...
6. calcul du taux global
_on entre la valeur de deux taux d’évolutions successifs
(a) rappeler la formule qui donne tg en fonction de
t1 et t2 :
tg = ...
(d) enregistrer sous "taux_global.htm" dans le dossier "algorithme_et_taux"
_on obtient en sortie, la valeur du taux global
<script>
//Variables
var t1, t2, tg ;
//Entrées
t1 = Number(prompt(" taux 1 (%) = ?")) ;
//Traîtement
tg = ... ;
//Sorties
alert( "taux global = " + tg)
</script>
ii. vérifier que le programme fonctionne en prenant : t1 = 20% et t2 = 30%
il donne alors : tg = ...
il vient de baisser de 25% puis de 75% , il a donc évolué globalement de : ...
7. calcul du taux moyen
_on entre la valeur de deux taux d’évolutions successifs
(a) rappeler la formule qui donne tm en fonction de
t1 et t2 :
tm = ...
(d) enregistrer sous "taux_moyen.htm" dans le
en javascript, la racine carrée s’écrit :
Math.sqrt()
_on obtient en sortie, la valeur du taux moyen
<script>
//Variables
var t1, t2, tm ;
//Entrées
//Traîtement
tm = ... ;
//Sorties
alert( "taux moyen = " + tm)
</script>
ii. vérifier que le programme fonctionne en prenant : t1 = 20% et t2 = 30%
il donne alors : tm = ...
il vient de baisser de 25% puis de 75% , il a donc évolué en moyenne de : ...

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