La mécanique des vagues Des lames tubulaires d`Hawaï à la

FOV7 Science et avenir hors-série n° 98 pp. 40-46
Hydrodynamique
La mécanique
des vagues
Des lames tubulaires d'Hawaï à la puissante barre
de Grand Bassam en Côte d'Ivoire, les vagues semblent
échapper à toute description figée. Elles obéissent
pourtant à un cycle de vie identifiable.
PAR LOYS SCHMIED
Chargé de recherche au CNRS, au laboratoire d'opto-électronique de l'université de Toulon et du Var
Q
ui n'a pas été fasciné par le spectacle
des vagues, se faisant et se défaisant,
répétitif, parfois violent et chaotique ?
L'image symbolique des vagues est la
passivité, passivité de la houle qui
festonne le fluide sans un souffle de
vent, passivité dans la violence, la
puissance, l'inertie qui se communique
à la masse fluide. Une vague est une onde qui se propage à la surface de l'eau.
Comme toutes les ondes, les vagues transportent de l'énergie, mais ne
transportent pas de matière. La masse d'eau, mise en mouvement au passage
d'une vague près du'rivage reste près du rivage. De même, la masse d'eau, mise
en mouvement au large par cette même onde, reste au large. L'image du drap
que l'on secoue de haut en bas en est une bonne illustration : si vous secouez
fortement un drap à une extrémité, vous engendrez des ondulations qui se
propagent à l'autre extrémité. Vous pouvez suivre la déformation du tissu qui se
propage d'un bout l'autre du drap, mais la matière, le coton du drap, n'est pas
déplacée.
Mais lorsqu'une vague déferle, n'y-a-t-il pas transport d'eau ? Certes, mais il
s'agit de déplacements locaux dont les dimensions sont sans commune mesure
avec la distance de propagation d'une onde, qui peut atteindre plusieurs
centaines de kilomètres.
Engendrées par le vent, les vagues qui se développent dans la zone où le vent
souffle et qui peuvent se propager hors de cette zone, sont appelées ondes de
gravité. Elles possèdent des caractéristiques spatiales et temporelles bien
précises. Les paramètres d'une vague de forme sinusoïdale, forme épurée et
théorique, sont la hauteur entre la crête et le creux, et la longueur d'onde, à
savoir la distance qui sépare deux crêtes successives. La grandeur caractéristique
du temps est la période : placez-vous en un point fixe par rapport au fond, vous
voyez défiler chaque vague. Le temps qui sépare le passage de deux crêtes
successives est la période de la vague.
Brisant de récif, à Hawaï.
Sur la côte nord de Hawaï, du fait de l'absence de plateau continental, les
lames heurtent les récifs de l'île avec la puissance quasi intacte du plein
océan.
Anatomie d'une vague.
Une lame est caractérisée par sa longueur d'onde, la distance horizontale
séparant deux crêtes ou deux creux successifs, sa hauteur, la distance
verticale entre le sommer de la crête et la base du creux, et sa période, le
temps mis par une crète pour parcourir une longueur d'onde.
Les vagues de gravité ont une période s'échelonnant de la seconde pour les
plus courtes à trente secondes pour les plus longues. Si elles sont peu cambrées
et si elles se propagent par grand fond, leur longueur d'onde ne dépend que de
leur période. Plus précisément, leur longueur d'onde est proportionnelle au carré
de leur période, de l'ordre du mètre pour les plus courtes, jusqu'à près de 1,5 km
pour les plus longues. Elles peuvent atteindre, notamment en mer du Nord, des
hauteurs très importantes : près de 30 m lorsqu'un vent de 30 m/s souffle
pendant plus de six heures, avec des périodes de quinze secondes, et à des
longueurs d'onde de 350 m. Ces ondes peuvent se propager sur de très longues
distances en dehors de leur zone de génération. Au large de la Cornouailles, à
l'extrémité S.-O. de l'Angleterre, on a observé des vagues de plus de 22
secondes, qui avaient été engendrées au sud des îles Falkland et s'étaient
propagées sur plus de 12000 km, du sud au nord de l'Atlantique.
Pour mieux comprendre les propriétés des vagues de gravité, le physicien a eu
le souci de simplifier son étude, de réduire ce phénomène complexe à un
phénomène de laboratoire : la vague de laboratoire. Elle est « fabriquée » dans
un bassin rempli d'eau à l'extrémité duquel on fait osciller d'avant en arrière une
planche verticale appelée batteur. Ainsi, on engendre une ou plusieurs vagues. Si
le mouvement du batteur est régulier, continu et périodique, on observe une série
de vagues qui se propagent d'une extrémité à l'autre du bassin. Par ailleurs, si le
mouvement du batteur n'est pas trop rapide, si son amplitude n'est pas trop
grande, et si la profondeur est suffisamment importante, la surface de l'eau est
lisse : elle ressemble aux longues houles que l'on observe en mer lorsqu'il n'y a
aucun souffle de vent. Ici, la vague de laboratoire et la vague observée dans la
nature se ressemblent aux différences d'échelle près. Celles-ci ne gênent pas trop
le physicien tant que seule la gravité joue le rôle principal. Mais, dans l'océan,
on remarque que le profil n'est pas sinusoïdal et que les crêtes semblent former
de petites dunes d'eau séparées de longs espaces presque horizontaux. On
appelle houle ces vagues qui se propagent hors de la zone de génération, et dans
cette zone d'action du vent, on parle de vagues de vent ou de mer du vent.
La houle irrégulière.
L'état de la surface de la mer résulte de l'interaction entre de nombreux trains
de vagues sinusoïdales simples.
La forme la plus simple d'une vague de laboratoire est sinusoïdale. On
constate que ni la hauteur ni la longueur d'onde des vagues ne varient si elles se
déplacent par grande profondeur sans rencontrer d'obstacles. Si on suit le
mouvement d'une particule d'eau (volume d'eau infinitésimal) de surface, cette
particule reste à la surface, elle ne plonge pas, ni ne se détache en gouttelettes.
Elle reste donc en permanence à la surface comme un bouchon qu'on laisse
flotter librement. De même, le nageur qui fait la planche avance au passage de la
crête et recule au passage du creux ; bien sûr, il suit aussi un mouvement
vertical. Les deux mouvements se combinent : la particule d'eau ou le nageur
décrivent un cercle dont le diamètre est égal à la hauteur de la vague. Ils
tournent autour d'une position fixe qui est sa position au repos lorsque le plan
d'eau est calme. Le temps de parcours de cette circonférence est la période de la
vague. On observe bien ce mouvement circulaire et périodique quand on suit
une bouée de petite dimension sur une vague de faible longueur d'onde.
Comment comprendre que la déformation de la surface se propage alors que
les particules d'eau tournent autour d'un point fixe ? Il s'agit d'une illusion
cinématique : chaque particule d'eau reste sur le même cercle pendant tout le
mouvement. La particule qui est à la crête à l'instant t 1 ne l'est plus à l'instant t 2
suivant : elle est à l'arrière de cette crête. En revanche la particule qui se trouvait
en avant de la crête et à un niveau plus bas à l'instant t 1 se retrouve à la crête de
la vague à l'instant t 2.
La vague idéale.
Cette vague théorique sinusoïdale est utilisée par les physiciens pour
modéliser ou représenter de manière approchée la houle réelle.
Quel est le mouvement des particules d'eau en profondeur ? Si la vague n'est
pas trop cambrée (la cambrure est le rapport hauteur sur longueur d'onde qui
caractérise la pente de la vague), la masse d'eau est pratiquement immobile audelà d'une profondeur supérieure à une longueur d'onde. En revanche, dans une
tranche d'eau voisine de la surface, les particules sont animées d'un mouvement
circulaire mais le cercle sur lequel elles se déplacent est plus petit que le cercletrajectoire des particules de la surface. A profondeur égale, les cercles ont le
même diamètre. Plus la profondeur est grande, plus le diamètre est petit. A titre
indicatif, pour une profondeur égale à une longueur d'onde, le diamètre du
cercle-trajectoire vaut environ un millième de la hauteur crête à creux de la
vague. A cette profondeur, un plongeur ne sent pratiquement pas le mouvement
de la vague. Les particules d'eau appartenant à la même verticale évoluent dans
un volume restreint à l'enveloppe de tous les cercles centrés sur cette verticale.
Le fluide reste confiné localement mais la perturbation continue à se propager
d'une longueur d'onde pendant une période. La vitesse de propagation, ou
célérité, est égale au rapport de la longueur d'onde sur la période.
Brisant de récif aux îles Fidji.
Les vagues que recherchent les surfeurs de la côte Basque peuvent avoir une
période de 14 secondes ; par grand fond, au large, elles se déplacent à 80 km/h et
leur longueur d'onde est de 300 m environ. Ces houles longues ont été
engendrées au large des côtes du Groenland par des vents très forts — près de
50 nœuds — et ont parcouru près de 3000 km jusqu'au golfe de Gascogne.
Seules les ondes longues se sont propagées jusqu'à nos côtes, les plus petites ont
été amorties par dissipation visqueuse. L'expérience et le calcul montrent que la
célérité d'une onde ne dépend que de la période : elle ne varie ni avec le fond, ni
avec la hauteur, tant que la profondeur est grande vis-à-vis de la longueur d'onde
et que la cambrure de la vague reste faible. Sa célérité est proportionnelle à sa
période. Chaque vague de période différente se propage à sa vitesse propre, les
vagues les plus longues se propagent plus vite que les vagues plus courtes. Elles
arrivent ainsi en ordre « dispersé » : on dit que les vagues de gravité sont des
ondes « dispersives ». Dans un groupe de vagues de longueurs d'onde
différentes, les vagues les plus longues rattrapent et dépassent les plus courtes.
Ainsi, une vague de 5 s de période a une longueur d'onde de 40 m et se déplace à
une vitesse de 28 km/h. Une vague de 20 s de période a une longueur d'onde de
625 m et se déplace à 112 km/h.
Les vagues se déforment sous l'action de la nature du fond lorsqu'elles se
propagent du large vers la côte. Si la vague se propage du large vers la côte, elle
se cambre et est freinée par les fonds qui remontent en pente douce jusqu'à la
plage. Par faible fond, la hauteur d'une vague est supérieure à celle que la même
vague aurait par grand fond (sauf dans une petite zone de fonds intermédiaires
où la hauteur peut baisser de moins de 10%). Si on considère que la vague est
canalisée dans un couloir de largeur constante et que son énergie est conservée
au cours de sa propagation, la même quantité d'énergie franchit une section plus
petite du couloir et la hauteur de la vague augmente. La vague se déforme non
seulement verticalement — sa hauteur augmente — mais aussi horizontalement :
sa longueur d'onde diminue lorsque la profondeur diminue. Dans ce cas, la
cambrure de la vague augmente, la période, elle restant constante au large
comme près des côtes. Les trajectoires des particules d'eau ne sont plus des
cercles mais des ellipses. Le mouvement des particules d'eau est toujours local et
périodique. A une distance fixe de la plage, les ellipses sont de plus en plus
plates quand on se rapproche du fond, jusqu'à n'être plus qu'un segment
horizontal au voisinage immédiat du fond. Par très faible profondeur, les
particules d'eau n'ont plus qu'un mouvement horizontal : elles avancent au
passage de la crête et reculent au passage du creux. L'onde est freinée par le fond
lorsque la profondeur d'eau diminue.
Des vagues à géométrie variable.
Schéma d'une onde, se propageant du large (Zone 0) vers la côte (Zone 2) en
passant par une zone de profondeur intermédiaire (Zone 1). Au fur et à mesure
que la profondeur diminue, les paramètres de l'onde varient, à l'exception de la
période qui reste inchangée. Par faibles fonds, la trajectoire des particules
d'eau est une ellipse qui s'aplatit jusqu'à n'être plus sur le fond, qu'un segment
horizontal.
Pourquoi la ligne de crête se déforme-t-elle à l'approche des côtes. Pourquoi
avance-t-elle dans le goulet et tourne-t-elle en direction des plages situées de
part et d'autre du goulet ? En fait, la partie de la vague qui se propage dans le
goulet profond se déplace plus vite que l'autre partie qui est freinée par des fonds
plus faibles. C'est l'effet « défilé du14 juillet ». Quand on veut qu'un rang de
soldats (comprenez : la ligne de crête) tourne à droite, les soldats qui se trouvent
à droite piétinent presque sur place, alors que ceux de gauche doivent avancer
beaucoup plus vite. Une ligne de crête tournera à droite si sa partie droite est
freinée par des petits fonds alors que sa partie gauche se propage plus vite par
grands fonds. C'est le phénomène dit de réfraction : la célérité de l'onde dépend
de la profondeur du milieu dans lequel elle se propage. Souvent les lignes de
crête sont parallèles au cordon littoral alors qu'elles avaient au large une autre
direction. C'est, là encore, la réfraction qui change la direction de propagation.
De même, les lignes de crête s'épanouissent dans les baies et se concentrent
autour des caps. Sur les plages landaises, on observe des lignes de crêtes
déferlantes, parallèles au cordon littoral. Comment ces vagues déferlent-elles ?
Les trois types de déferlement.
Selon la configuration locale du fond, les vagues se brisent de trois manières
différentes : en plongeant, en déversant ou en gonflant.
Plus les fonds remontent, plus la vague se cambre. Au-delà d'une certaine
limite de cambrure, la vague se brise, la crête se détache en un jet, peut se
retourner sur elle-même et plonger ; la surface de l'eau devient un mélange d'eau
et d'air. Par grande comme par faible profondeur, la limite théorique de la
cambrure est de 14%. Par faible profondeur, on observe le déferlement dès que
la hauteur de la vague dépasse 70% de la profondeur. Pour bien comprendre le
déferlement, il faut distinguer le mouvement des particules d'eau du
déplacement de la vague. Les particules sont animées d'une vitesse qui se
décompose en une vitesse horizontale et une vitesse verticale. Tant que la vague
ne déferle pas, la vitesse horizontale de la particule de la surface est toujours
inférieure à la célérité de l'onde. A la crête, la vitesse de la particule et la célérité
de l'onde ont une même direction horizontale dans le sens de propagation.
Lorsque la vitesse de la particule fluide est supérieure à la célérité de l'onde, les
particules d'eau dépassent la crête, il y a déferlement. Si la remontée des fonds
est importante, l'augmentation de la cambrure de la vague peut être brusque et
au-dessus de ces hauts-fonds se forment des lignes de vagues déferlantes : c'est
le phénomène de la barre. Les vagues peuvent aussi déferler en pleine mer où
l'action des fonds est nulle. La hauteur de la vague est amplifiée soit par un
renforcement du vent, soit par une autre vague qui la rattrape ou la croise et
augmente sa hauteur. Les vagues se cambrent aussi sous l'action du courant
quand celui-ci se déplace en sens opposé aux vagues.
Brisant de plage.
Les grandes tempêtes et les changements de direction de la houle peuvent, en
quelques heures, modifier la configuration d'une plage.
Sur les plages, on peut distinguer trois types principaux de déferlement. Le
déferlement est dit à déversement lorsque la vague aborde une plage dont la
pente est douce : la crête déverse en permanence un mélange d'air et d'eau (les
moutons) qui glisse devant elle ; on l'appelle aussi déferlement glissant. Le
profil global de la vague est symétrique. Ce type de déferlement peut aussi se
produire en pleine mer. Le déferlement est dit plongeant lorsque la crête
s'allonge en forme de langue et plonge : c'est la déferlante recherchée par les
surfeurs expérimentés qui s'engouffrent dans son tube. Le déferlement plongeant
est caractéristiques des pentes de plage plus fortes. La vague est fortement
asymétrique, le front de vague devient vertical ; à l'arrière de la crête, le profil de
l'eau a une pente relativement douce. La crête s'allonge en un jet qui se retourne
sur lui-même, forme un tube d'eau de forme ovoïde et plonge en avant. Les
vitesses des particules d'eau dépassent la célérité dans la « langue » qui se
détache de la crête. Ces vagues déferlantes engendrent des efforts dix fois plus
grands que les efforts développés par des vagues de même vitesse et de même
taille, mais non déferlantes. Enfin, le déferlement est gonflant lorsque la pente
de la plage est forte et que la vague déferlante rencontre un courant qui se
déplace en sens inverse, résidu-retour de la vague précédente qui vient de
déferler. La vague « trébuche » sur ce courant de retour. Le déferlement est
brutal et le profil de la vague asymétrique. Ces vingt dernières années ont vu se
développer les méthodes numériques du calcul de la géométrie et du champ des
vitesses des vagues déferlantes. Ici, la discipline concernée est la mécanique des
fluides.
Le déformation des vagues.
Par faible profondeur, la célérité d'une onde diminue avec la hauteur d'eau.
C'est ainsi que les lignes de crête des vagues tendent à épouser le modelé du
rivage, comme on l'observe ici, dans le cas d'une configuration de type « hautfond » et dans celui d'un profil de type « canyon » sous-marin.
Ces calculs sont effectués en posant des hypothèses simplificatrices sur la
nature du fluide et de son mouvement. Le fluide est supposé parfait, c'est-à-dire
que la viscosité du fluide est nulle. On ne fait donc pas de différence entre l'eau
et l'huile, du point de vue de la diffusion d'un mouvement dans le fluide. Une
perturbation locale se diffuse plus lentement et moins loin dans l'huile que dans
l'au, l'huile étant au moins plus visqueuse que l'eau. L'image du fluide parfait est
celle du « dry water », selon une expression du physicien américain Richard
Feynman, comme l'écoulement du sable fin d'un sablier. On suppose, de plus,
que la surface de l'eau ne se détruit pas. Elle peut s'allonger, se déformer, mais
une goutte qui se trouve à la surface reste à la surface. Il n'y a ni éclaboussures,
ni bulles et donc pas de formation de moutons. Les équations qui régissent les
force de gravité sont déduites de la célèbre deuxième loi de Newton. Elles
s'appliquent à chaque particule fluide que l'on peut assimiler à un volume de
fluide (un cube déformable par exemple) dont les arêtes ont une longueur de
l'ordre du micron. On néglige dans ce cas les forces qui s'exercent entre
molécules d'eau. L'air qui est au-dessus de l'eau est inerte. Au-dessus de l'eau, il
n'y a donc pas un souffle d'air, et la pression dans l'air est la même que la
pression dans l'eau mais seulement à la surface de l'eau.
Brisant de pointe
en Californie
Dès le début de XIXe siècle, un Allemand, Gerstner, puis le physicien irlandais
Stokes ont trouvé des solutions analytiques au problème : des formules
mathématiques de la vitesse du fluide en tout point et en tout instant. En
particulier, Stokes a résilu le problème de la vague sinusoïdale et aux trajectoires
circulaires que nous avons décrites ci-dessus. Les recherches ont continué au
XXe siècle, avec l'Italien Levi-Civita (1907) et Dubreuil-Jacotin (1936). Elles
posaient davantage les problèmes mathématiques sur l'existence et l'unicité de
solutions analytiques. Plus récemment, en 1976, le chercheur britannique
Longuet-Higgins a proposé une méthode de résolution numérique qui permet de
suivre le profil d'une vague déferlante. Ce dernier, en 1981, a aussi calculé la
courbe du tube d'une vague déferlante. On constate que, même dans le cadre
contraignant du fluide parfait, il est possible de rendre compte de la géométrie
de ces vagues déferlantes. Les recherches actuelles s'orientent vers une étude de
plus en plus fine de la vague déferlante. Des calculs montrent que de petites
rides de capillarité se forment autour de la crête. La vague frissonnerait juste
avant le déferlement…
La houle, une illusion cinématique.
Si l'on se place en un point fixe de la surface de la mer, le passage d'une onde
en ce point correspond à un mouvement circulaire des particules d'eau. Le
rayon de ce cercle-trajectoire, égal en surface à l'amplitude de la houle, décroît
exponentiellement avec la profondeur.
Illustrations de Phil Roberts, extraites de Vagues, l'énergie magnifique ; AGEP-VILO
(1989).