Cours de Terminale S - Spécialité / Divisibilité, division euclidienne

Cours de Terminale S - Spécialité / Divisibilité, division euclidienne et
congruences
E. Dostal
juillet 2015
Table des matières
1 Divisibilité, division euclidienne et congruences
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Muliples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Chapitre 1
Divisibilité, division euclidienne et
congruences
1.1
Introduction
Le monde des nombres est comparable aux monde des plantes ; il en existe d’innombrables espèces.
Mais contrairement aux jardins botaniques où l’on peut flâner et découvrir les plantes, il faut utiliser
votre cerveau pour comprendre la diversité (et la beauté ?) des nombres.
Les nombres sont présents depuis le début de notre histoire et jouent aujourd’hui un rôle primordial dans
notre société.
Les entiers naturels N ont été les premiers utilisés et avec leurs opposés Z constituent un vaste champ où
nous allons commencer notre étude.
L’arithmétique concerne l’étude des entiers naturels N ou relatifs Z.
1.2
Muliples et diviseurs
Définition 1 Soient a et b deux entiers relatifs.
a est un diviseur de b si il existe un entier relatif k tel que b = ak.
Autres formulations :
b est un multiple de a.
b est divisible par a.
a divise b.
On note a|b.
Exemple 1 :
• 91 divise 1001 car ...............................
• Pour tout n ∈ Z, n − 1 divise n2 + 2n − 3 car .................................
Remarques :
• 0 est un multiple de tout nombre entier relatif, mais n’a qu’un seul multiple, lui-même.
• 1 divise tout entier.
• Dans l’égalité b = ak, si a divise b alors k aussi.
• Tout entier relatif non nul b admet au moins les diviseurs : 1,-1,b et −b.
Notations :
D’après la définition, les multiples de a sont les nombres de la forme ka lorsque k décrit Z . L’ensemble
des multiples de a est infini, on le note : aZ .
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CHAPITRE 1. DIVISIBILITÉ, DIVISION EUCLIDIENNE ET CONGRUENCES
Proposition 1 Soient a et b deux entiers relatifs,
Si a divise b alors a divise −b.
Proposition 2 Soient a et b deux entiers relatifs avec b 6= 0 ,
Si b est un multiple de a alors |b| > |a|
Remarque : Il en résulte que le nombre des diviseurs de b entier relatif non nul,est fini.
Exemple 2 :
Déterminer tous les couples (x; y) d’entiers naturels tels que 4x2 = y 2 + 15.
Proposition 3 Soient a et b deux entiers relatifs ,
Si a divise b et b divise a alors a = b ou a = −b.
Proposition 4 Soient a, b et c trois entiers relatifs ,
Si a divise b et b divise c alors a divise c.
Remarque : Soient a et b deux entiers relatifs , si a divise b alors a divise tout multiple de b.
Proposition 5 Soient a, b et c trois entiers relatifs ,
Si a divise b et c alors a divise b + c et b − c et de façon plus générale toute combinaison linéaire
de b et c à coefficients entiers, soit ub + vc où u et v sont deux entiers relatifs.
Exemple 3 :
Soient a et n deux entiers naturels, démontrer que si a|2n + 5 et a|3n − 1 alors a|17.
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1.3
CHAPITRE 1. DIVISIBILITÉ, DIVISION EUCLIDIENNE ET CONGRUENCES
Division euclidienne
Histoire :
Les Eléments d’Euclide, oeuvre monumentale en treize livres, nous sont heureusement parvenus et auront marqué toutes les
générations de mathématiciens jusqu’à nos
jours : synthèse des mathématiques connues à
son époque auxquelles il apporte compléments,
démonstrations et rigueur en arithmétique,
algèbre et géométrie.
Les Eléments traitent par ailleurs (Livres VII,
VIII, IX) de l’arithmétique, des calculs fractionnaires à travers la théorie des proportions
empruntée à Eudoxe et des nombres irrationnels (nombres incommensurables, Livre X)
découverts par les Pythagoriciens.
On ne possède pas d’informations précises
sur la vie d’Euclide et sur la période précise
où il vécut. Il semble avoir été dans la force
de l’âge vers -285 avant J.-C., qu’il étudia à
Athènes à l’Ecole des successeurs de Platon et
qu’il s’établit à Alexandrie, sur l’invitation de
Ptolémée II, roi d’Egypte, où Apollonius fut un
de ses élèves.
Remarque : Le nom d’Euclide se rattache à de nombreux concepts mathématiques, il s’agit cependant d’éviter tout anachronisme. Des appellations comme : distance euclidienne ou norme euclidienne,
veulent rappeler que le contexte mathématique sous-jacent est compatible avec la géométrie élémentaire
de ce grand mathématicien.
1.3.1
Division euclidienne dans N
Théorème 6 Soient a et b deux entiers naturels avec b non nul.
Il existe un unique couple (q; r) tel que a = bq + r avec 0 ≤ r < b.
Démonstration :
• Existence du couple (q ;r) : On raisonne par récurrence sur a.
Soit a un entier naturel ; on note Pa la propriété :
il existe un couple (q ; r) d’entiers naturels tel que : a = bq + r avec 0 ≤ r < b.
— Initialisation : Si a = 0, alors a = b × 0 + 0 et 0 ≤ 0 < b. Ce qui prouve que P0 est vraie (avec
q = 0 et r = 0).
— Hérédité : On suppose que Pa est vraie pour un certain entier naturel a, c’est-à-dire : qu’il existe
un couple (q ; r) d’entiers naturels tel que : a = bq + r avec 0 ≤ r < b (hypothèse de récurrence).
On en déduit : a + 1 = bq + r + 1 avec 0 ≤ r ≤ b − 1.
Si r < b − 1, alors r + 1 < b et la propriété est vraie au rang a + 1 puisqu’on peut prendre le couple
(q ; r + 1).
Si r = b − 1, alors r + 1 = b et a + 1 = bq + b = b(q + 1) + 0 et 0 ≤ 0 < b et la propriété est vraie
au rang a + 1 puisqu’on peut prendre le couple (q + 1 ;0).
Ainsi dans les deux cas, Pa+1 est vraie, la propriété est héréditaire.
— Conclusion : La propriété est initialisée et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier
naturel a.
On a ainsi démontré l’existence pour tout couple (a ; b) d’entiers naturels, avec b 6= 0, d’un couple
(q ;r) d’entiers naturels vérifiant a = bq + r avec 0 ≤ r < b.
• Unicité du couple (q ; r) : On utilise un raisonnement par l’absurde.
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CHAPITRE 1. DIVISIBILITÉ, DIVISION EUCLIDIENNE ET CONGRUENCES
Définition 2 L’opération qui à tout couple d’entiers naturels (a ;b) associe le couple (q ;r) tel
que a = bq + r avec 0 ≤ r < b est appelé la division euclidienne de a par b.
a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste de la division euclidienne
de a par b.
Remarque : Pour trouver le couple (q ;r), on peut utilise la fonction E (Partie entière).
1.3.2
Division euclidienne dans Z
Théorème 7 Soient a et b et deux entiers relatifs avec b non nul.
Il existe un unique couple (q; r) tel que a = bq + r avec 0 ≤ r < |b|.
Définition 3 L’opération qui à tout couple d’entiers relatifs (a ;b) associe le couple (q ;r) tel
que a = bq + r avec 0 ≤ r < |b| est appelé la division euclidienne de a par b.
a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste de la division euclidienne
de a par b.
Exemple 4 : Effectuer la division euclidienne dans Z de −32 par 5.
Proposition 8 Soit a un entier relatif et b un entier naturel non nul.
(1) b divise a si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
(2) Les seuls restes possibles dans la division euclidienne de a par b sont 0, 1, 2, ..., b − 1 donc
tout entier relatif a peut s’écrire sous la forme a = bq + r avec q ∈ Z et r ∈ {0, 1, ..., b − 1}.
Exemple 5 :
1. Déterminer tous les restes possibles dans la division euclidienne d’un entier relatif n par 2.
2. même question pour la division euclidienne par 3
1.4
Congruences
1.4.1
définition et propriétés
Définition 4 Soit n un entier naturel non nul.
Soient a et b deux entiers relatifs.
Dire que a est congru à b modulo n signifie que a − b est un multiple de n (ou a − b est
divisible par n).
On note alors a ≡ b [n]
Remarques
On recontre aussi les notations a ≡ b modulo n , a ≡ b mod(n) et a ≡ b (n)
a ≡ b [n] si et seulement si, il existe un entier relatif k tel que a − b = kn
Proposition 9 Soit n un entier naturel non nul.
Soient a et b deux entiers relatifs.
• a − b est multiple de n si et seulement si a et b ont le même reste dans la division
euclidienne par n.
• a ≡ b (n) si et seulement si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Exemple 6 : Montrer que 19 ≡ 11[4]
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CHAPITRE 1. DIVISIBILITÉ, DIVISION EUCLIDIENNE ET CONGRUENCES
Proposition 10 Soit n un entier naturel non nul.
Soient a et r deux entiers relatifs.
• a ≡ 0 [n] si et seulement si a est divisible par n.
• Si a ≡ r [n] et 0 ≤ r < n alors r est le reste de la division euclidienne de a par n.
Remarque
Attention la proposition ”Si r est le reste de la division euclidienne de a par r alors a ≡ r [n]” est
vraie, mais sa réciproque est fausse.
Proposition 11 Soit n un entier naturel non nul.
Soient a, b et c des entiers relatifs.
1. a ≡ a [n]
2. a ≡ b [n] ⇔ b ≡ a [n]
3. Si a ≡ b [n] et b ≡ c [n] alors a ≡ c [n]
Remarque
On dit qu’une relation de congruence modulo n est réflexive (1.), symétrique (2.) et transitive (3.).
La propriété s’énonce : ” a est congru à b modulo n équivaut à b est congru à a modulo n ”, ce
qui justifie que l’on dise aussi ” a et b sont congrus modulo n ”.
1.4.2
congruences et opérations
Proposition 12 Soit n un entier naturel non nul.
Soient a, b, r et r0 des entiers relatifs.
Si a ≡ r [n] et b ≡ r0 [n] alors
a + b ≡ r + r0 [n] et a − b ≡ r − r0 [n]
ab ≡ rr0 [n]
ak ≡ rk [n] (∀k ∈ N)
Remarque
ab ≡ rr0 [n] n’entraine pas a ≡ r [n]
Exemple 7 :
1. Démontrer que si a ≡ 2 [5] et b ≡ 3 [5] alors a2 + b3 ≡ 1 [5]
2. Résoudre dans Z l’équation 4x ≡ 2 [5]
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