EXAMEN PARTIEL 2

EXAMEN PARTIEL 2
MAT-2400 : Méthodes numériques
Automne 2010
Voici un extrait d’une table de noeuds et de poids de Gauss-Legendre.
n
2
3
4
5
Noeuds
−0.57735
0.57735
−0.77460
0
0.77460
−0.86114
−0.33998
0.33998
0.86114
−0.90618
−0.53847
0
0.53847
0.90618
1
Poids
1
1
0.55556
0.88889
0.55556
0.34785
0.65215
0.65215
0.34785
0.23693
0.47863
0.56889
0.47863
0.23693
Question 1. (20 points)
On considère l’intégrale
6
Z
ex dx.
I=
2
a) [5 pts] Calculer la valeur approchée de I par la formule de Gauss-Legendre à
3 noeuds (voir table en première page). Calculer la valeur exacte de l’erreur
commise.
b) [5 pts] Si l’intervalle d’intégration [2, 6] est divisé en deux sous-intervalles de
longueurs égales, calculer la valeur approchée de I en utilisant la formule de
Gauss-Legendre à 1 noeud sur chacun des deux sous-intervalles. Calculer la
valeur exacte de l’erreur commise.
c) [5 pts] Si on utilise la formule de Simpson 1/3 composée pour calculer la valeur
approchée de I, déterminer combien de points d’évaluation il faudrait de prendre
pour que l’erreur en valeur absolue soit inférieure à 10−5 ?
d) [5 pts] Si on utilise la formule du trapèze composée pour calculer la valeur
approchée de I, déterminer combien de points d’évaluation il faudrait de prendre
pour que l’erreur en valeur absolue soit inférieure à 10−5 ?
Question 2. (20 points)
(a) [10 pts] Démontrer les formules simple et composée de la méthode des trapèzes
(mais pas les termes d’erreur).
(b) [10 pts] Appliquer l’extrapolation de Richardson à la formule composée pour
obtenir un nouvelle formule de quadrature. Qu’en déduisez vous sur le terme
d’erreur de la formule composée de la méthode des trapèzes ?
Question 3. (20 points)
Soit une fonction f (x) connue aux points xi , i = 0, 1, ..., 5,
xi
−1 0 2 3 5 8
f (xi ) 3 −1 0 2 6 7
a) [5 pts] En utilisant la méthode de polynômes de Lagrange, construire le polynôme qui interpole la fonction f (x) aux 3 noeuds suivants :
(−1, 3), (0, −1), (2, 0),
et calculer une approximation de f (1).
2
b) [10 pts] En utilisant la méthode de Newton, construire un polynôme d’interpolation de degré 3 et calculer l’approximation de f (4). Donner une bonne
approximation de l’erreur commise.
c) [5 pts] Sans faire de calcul, estimer la valeur de f 0 (4) avec la formule centrée
d’ordre 2 et comparer avec l’approximation obtenue en utilisant le meilleur
polynôme d’interpolation de degré 2.
Question 4. (20 points)
Faire 2 itérations de la méthode d’Euler modifiée avec h = 0.1 pour l’équation
différentielle

00
2

 y (t) − 1 − y (t) y 0 (t) + y(t) = 0
y(0) = 5


y 0 (0) = 0.
Question 5. (20 points)
Déterminer w1 , w2 et t2 de sorte que la formule d’intégration numérique
Z 1
f (t)dt = w1 f (−1) + w2 f (t2 )
−1
soit de degré de précision le plus élevé possible. Quel est ce degré ?
3
Aide-mémoire
Interpolation
– Interpolation de Lagrange : étant donné (n+1) points ((xi , f (xi )) pour i = 0, 1, · · · , n) :
pn (x) =
n
X
f (xi )Li (x),
Li (x) =
i=0
(x − x0 ) · · · (x − xi−1 )(x − xi+1 ) · · · (x − xn )
(xi − x0 ) · · · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) · · · (xi − xn )
– Différences divisées : f [xi ] = f (xi ),
f [xi , xi+1 ] =
f (xi+1 ) − f (xi )
,
xi+1 − xi
f [xi , xi+1 , xi+2 ] =
f [xi+1 , xi+2 ] − f [xi , xi+1 ]
, etc.
(xi+2 − xi )
– Interpolation de Newton :
pn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · · + an (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 ),
où ai = f [x0 , x1 , x2 , · · · , xi ]
pour 0 ≤ i ≤ n
– Erreur d’interpolation :
En (x) =
f (n+1) (ξ(x))
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn ) pour ξ(x) ∈]x0 , xn [
(n + 1)!
– Approximation de l’erreur d’interpolation :
En (x) ' f [x0 , x1 , · · · , xn , xn+1 ](x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn )
– Splines cubiques : on pose hi = xi+1 − xi et dans l’intervalle [xi , xi+1 ] on a :
pi (x) = fi + fi0 (x − xi ) +
fi00
f 000
(x − xi )2 + i (x − xi )3
2!
3!
où
fi
= f (xi )
fi0
= f [xi , xi+1 ] −
00 − f 00
fi+1
i
=
hi
fi000
00
hi fi00 hi fi+1
−
3
6
et les fi00 sont solutions de :
hi
hi+1
00
fi00 + 2fi+1
+
f 00
= 6f [xi , xi+1 , xi+2 ], i = 0, 1, · · · , n − 2
(hi + hi+1 )
(hi + hi+1 ) i+2
4
Différentiation et intégration numériques
– Dérivées d’ordre 1 :
f 0 (x) =
f 0 (x) =
f 0 (x) =
f 0 (x) =
f 0 (x) =
f (x + h) − f (x)
+ O(h)
h
Différence avant d’ordre 1
f (x) − f (x − h)
+ O(h)
h
Différence arrière d’ordre 1
−f (x + 2h) + 4f (x + h) − 3f (x)
+ O(h2 )
2h
Différence avant d’ordre 2
f (x + h) − f (x − h)
+ O(h2 )
2h
Différence centrée d’ordre 2
3f (x) − 4f (x − h) + f (x − 2h)
+ O(h2 )
2h
Différence arrière d’ordre 2
– Dérivées d’ordre supérieur :
f 00 (x) =
f 00 (x) =
f 00 (x) =
f (x − 2h) − 2f (x − h) + f (x)
+ O(h)
h2
Différence arrière d’ordre 1
f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x)
+ O(h)
h2
Différence avant d’ordre 1
f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)
+ O(h2 )
h2
Différence centrée d’ordre 2
– Extrapolation de Richardson : Qexa =
2n Qapp ( h2 ) − Qapp (h)
+ O(hn+1 )
(2n − 1)
– Formule des trapèzes :
Z b
(b − a) 00
h
f (x)dx = (f (x0 ) + 2 [f (x1 ) + · · · + f (xn−1 )] + f (xn )) −
f (η)h2
2
12
a
– Formule de Simpson 1/3 :
Z b
h
f (x)dx = (f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 ) + 4f (x3 ) + 2f (x4 ) + · · ·
3
a
(b − a) 0000
+ 4f (x2n−3 ) + 2f (x2n−2 ) + 4f (x2n−1 ) + f (x2n )) −
f (η)h4
180
5
– Formule de Simpson 3/8 :
Z
b
3h
(f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + 2f (x3 ) + 3f (x4 ) + · · ·
8
a
(b − a)f 0000 (η) 4
h
+ 2f (x3n−3 ) + 3f (x3n−2 ) + 3f (x3n−1 ) + f (x3n )) −
80
f (x)dx =
– Intégration de Gauss (les wi et ti seront fournis si nécessaire) :
Z
b
f (x)dx =
a
(b − a)
2
Z
1
f
−1
(b − a)t + (a + b)
2
dt =
(b − a)
2
Z
n
1
g(t)dt '
−1
(b − a) X
wi g(ti )
2
i=1
Équations différentielles : y 0(t) = f (t, y), y(t0) = y0
– Euler (ordre 1) : yn+1 = yn + hf (tn , yn )
h2
– Taylor (ordre 2) : yn+1 = yn + hf (tn , yn ) +
2
– Euler modifiée (ordre 2) : ŷ = yn + hf (tn , yn )
yn+1 = yn +
∂f (tn , yn ) ∂f (tn , yn )
+
f (tn , yn )
∂t
∂y
h
(f (tn , yn ) + f (tn + h, ŷ))
2
– Point milieu (ordre 2) : k1 = hf (tn , yn )
h
k1
yn+1 = yn + h f (tn + , yn + )
2
2
– Runge-Kutta d’ordre 4 :
k1
k2
k3
k4
yn+1
= hf (tn , yn )
k1
h
= hf (tn + , yn + )
2
2
h
k2
= hf (tn + , yn + )
2
2
= hf (tn + h, yn + k3 )
1
= yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )
6
6