LES ANGLES AU C3 – Pascal Sirieix

LES ANGLES AU C3 – Pascal Sirieix 2014
1. DEFINITIONS
La notion d’angle reçoit deux acceptions :
Figure plane :
On nomme angle la figure formée par deux demi-droites issues d’un même point ou la portion de plan délimitée par
deux demi-droites issues d’un même point appelée également « secteur angulaire ». Cette terminologie apparait
plutôt au collège.
Grandeur :
L’angle est défini comme la classe d’équivalence d’angles superposables qui sont chacun des représentants de
l’angle (ex. la classe des angles droits).
L’angle est au secteur angulaire ce que la longueur est au segment et l’aire à la surface. On désigne une figure par
l’expression « secteur angulaire » et on dit que l’angle xOy est une grandeur attachée à ce secteur angulaire.
Un angle est une grandeur mesurable. On peut donc comparer les angles entre eux et donc établir un ordre sur
l’ensemble des angles. On peut additionner, soustraire, des secteurs angulaires adjacents (angles qui ont même
sommet et un côté commun).
On peut aussi construire un angle 3 fois plus grand qu’un autre.
NB : à l’école élémentaire, on se limite à la notion d’angle en tant que grandeur. Un travail sur la mesure est possible
mais la mesure avec instrument (rapporteur) et unité (degré) usuels ne se fera qu’au collège.
2. LA NOTION D’ANGLE DANS LES PROGRAMMES
En géométrie :
- Relations et propriétés géométriques : alignement, perpendicularité, parallélisme, symétrie axiale).
- L’utilisation d’instruments et de techniques : équerre, compas, calque, papier quadrillé, papier pointé,
pliage.
- Les figures planes : le carré, le rectangle, le losange, le parallélogramme, le triangle et ses cas particuliers.
- Les problèmes de description, de reproduction ou de construction de configurations
En grandeurs et mesures :
- Les angles : comparaison, utilisation d’un gabarit et de l’équerre ; angle droit, aigu, obtus.
Géométrie
Grandeurs et mesures
CP
CE1
- Utiliser des instruments pour réaliser des tracés
: règle, équerre ou gabarit de l’angle droit.
- Percevoir quelques relations et propriétés
géométriques : angle droit…
CE2
- Vérifier la nature d’une figure plane en utilisant
la règle graduée et l’équerre.
- Reproduire des figures sur papier uni, quadrillé
ou pointé à partir d’un modèle.
- Vérifier qu’un angle est droit en utilisant
l’équerre ou un gabarit.
- Résoudre des problèmes dont la résolution
implique les grandeurs ci-dessus.
CM1
- Utiliser en situation le vocabulaire […] droites
perpendiculaires, droites parallèles…
- Vérifier la nature d’une figure plane simple en
utilisant la règle graduée, l’équerre, le compas.
- Tracer une figure simple à partir d’un
programme de construction ou en suivant des
consignes.
- Comparer des angles d’une figure en utilisant un
gabarit.
- Estimer et vérifier en utilisant l’équerre qu’un
angle est droit, aigu ou obtus.
CM2
- Utiliser les instruments pour vérifier le
parallélisme de deux droites (règle et équerre) et
pour tracer des droites parallèles.
- Vérifier la nature d’une figure en ayant recours
aux instruments.
- Construire une hauteur d’un triangle.
- Reproduire un triangle à l’aide d’instruments.
- Reproduire un angle donné en utilisant un
gabarit.
Dans d’autres domaines disciplinaires :
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En Arts (ex. œuvres de Mondrian, angle de vue en photographie), en EPS (lancer, angle de tir vers un but), en
technologie (verticale et fil à plomb, ombre et lumière avec le gnomon, saisons et axe d’inclinaison de la Terre)…
3. ANGLES ET REPRESENTATIONS DANS LES MANUELS
Afin d’aider les élèves à construire le concept d’angle, il convient de leur proposer le maximum de représentations
différentes :
- Rotation autour d’un axe (porte à battant)
- Inclinaison par rapport à la verticale ou l’horizontale (d’un arbre, d’un monument)
- Croisement de 2 segments, de 2 droites (objets mathématiques)
- Coin d’une surface plane (figures géométriques, angle du mur, coin de la table)
- Ouverture : région de l’espace délimité par 2 rayons (ouverture d’un éventail, d’une paire de ciseaux, rayon
lumineux, réglage du rétroviseur, angle de tir)
- Trajectoire ou direction (de la boule de billard, d’une personne, ligne brisée)…
Les représentations les plus fréquentes dans les manuels sont : le coin d’une figure, le croisement de 2 segments et
le croisement de 2 droites.
A noter également qu’on trouve très peu d’angles rentrants.
4. OBSTACLES POUR LES ELEVES
Obstacles conceptuels :
- Distinguer ce qui est visible (dessiné) de ce qui est représenté (secteur angulaire).
L’angle représenté n’est qu’une partie du secteur angulaire. Il faut parvenir à prolonger mentalement les côtés.
- Les élèves ont du mal à reconnaitre un angle comme une sous-figure d’une figure existante.
La représentation de l’angle sous forme d’une partie de l’espace dont l’étendue est de dimension finie (coin d’une
figure géométrique, gabarit) peut être source d’obstacle.
- Distinguer longueur des côtés de l’angle et mesure de l’angle.
Les élèves ont tendance à comparer les angles en fonction de la longueur de leurs côtés.
Difficultés :
- S’approprier les codages conventionnels (angle droit, angle non droit, angles égaux). Ces codages doivent être
explicités, voire construits avec les élèves (rien ne nous empêche dans un premier temps de faire coder angle aigu et
angle obtus de manière différente).
- Désigner un angle
Ce n’est pas au programme mais il peut être facilitant de nommer les angles  xAy (avec un chapeau) quand x et y
sont des directions / XAY (avec un chapeau) quand X et Y sont des points situés sur les demi-droites / A (avec un
chapeau).
Votre attention doit être attirée par la façon par laquelle votre manuel désigne un angle :
- Appellation conventionnelle (c’est très rare)
- Lettre avec chapeau
- Lettre à l’extérieur de l’angle représenté (confusion possible avec sommet)
- Lettre à l’intérieur de l’angle représenté
- Couleur
- La richesse du vocabulaire à acquérir
Au programme il n’y a que la terminologie droit, aigu, obtus. Toutefois vous pouvez être amené à apporter du
vocabulaire supplémentaire pour nommer ce qui est construit (plat, nul, plein, rentrant, saillant).
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Le travail sur la mesure peut également vous amener à utiliser les termes d’adjacent (angles qui ont le même
sommet et un côté commun), de complémentaire (2 angles dont la somme des mesures est égale à l’angle droit),
d’opposé (2 angles qui ont le même sommet et dont les côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre).
5. COMMENT AIDER LES ELEVES A S’APPROPRIER LE CONCEPT D’ANGLE ?
Principes
- Aborder les angles d’abord dans l’espace sensible (écart de bras, de mains ; angle du mur, de la table ; angle des
Attrimaths…) avant d’aller sur l’espace graphique de la feuille.
- Varier le type de représentations (cf. chapitre 3) afin d’éviter les représentations prototypiques (cf. représentations
mentales en début de séance).
- Proposer de nombreuses situations de comparaison directe par superposition (cf. Attrimaths) ou indirecte avec
papier calque, tracé de l’empreinte (lorsqu’on n’a qu’une seule pièce de chaque à notre disposition). Il est important
de passer par la grandeur pour construire le concept d’angle qui sera réutilisé dans de nombreuses situations
géométriques.
- Proposer des situations qui incitent les élèves à prolonger mentalement ou par tracé (cf. machine à coder) les côtés
d’un angle dans une forme géométrique. Ce type d’activité permet aux élèves de passer d’une vision forme à une
vision lignes ou points (cf. chapeau brésilien). Cela devrait aider les élèves lorsqu’il leur faudra tracer les hauteurs
extérieures d’un triangle.
- Proposer des situations qui nécessitent de procéder à des opérations sur les angles adjacents (cf. machine à coder
avec seulement 3 gabarits) :
o Juxtaposition de gabarits différents jusqu’à la lettre voulue (somme ou soustraction d’angles)
o Juxtaposition réitérée du même gabarit (multiplication d’un angle)
o Pliage d’un gabarit en 2, 3, 4 (fractionnement de l’unité)
- Ne pas rentrer par la définition. La définition ne doit arriver qu’après. Elle ne doit pas être imposée aux élèves mais
doit arriver en tant que besoin pour nommer ce qui est constaté.
- Expliciter les signes conventionnels si on en rencontre et si on en a besoin pour décrire afin de simplifier la
communication (orale ou écrite).
On pourra également, à l’occasion d’activités :
- Evoquer l’inévitable imprécision des mesures (cf. chapeau brésilien)
- dans les mesures des segments
- dans le positionnement des gabarits
- dans le découpage des gabarits
- dans la reproduction au photocopieur du modèle et des gabarits
- Constater l’impossibilité de construire un angle plus grand que l’angle plein (ou à 4 angles droits).
- Constater que la somme des angles d’un triangle est toujours égale à l’angle plat (ou à 2 angles droits).
- Constater que doubler les mesures des côtés d’un triangle ne double pas les mesures des angles.
- Faire un lien avec les fractions (cf. Attrimaths 4 : donner la mesure des angles en fonction d’une unité).
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