thèse - coria

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thèse - coria

THÈSE
Présentée à la
FACULTÉ DES SCIENCES DE L’UNIVERSITÉ DE ROUEN
En vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE ROUEN
Discipline
Spécialité
: Sciences pour l’ingénieur
: Mécanique des fluides
par
François TROADEC
Simulation numérique directe d’un écoulement supercritique pour
validation des approches RANS et LES
Soutenue le 9 novembre 2010 devant le jury d’examen :
Rapporteurs :
Pierre Haldenwang
Arnaud Mura
Professeur des Universités, M2P2–Marseille,
Chargé de Recherche, CNRS, Pprime–Poitiers.
Examinateurs :
Yves D’Angelo
Carlos Cruz
Julien Réveillon
François-Xavier Demoulin
Professeur, INSA–Rouen.
Ingénieur, SNECMA Division Moteurs Spatiaux–Vernon.
Professeur des Universités, CORIA–Rouen.
Ma^ıtre de conférence, CORIA–Rouen.
Invitée :
Marie Théron
Ingénieure, CNES Direction des Lanceurs–Évry.
Remerciments
Ce travail de thèse s’étant déroulé au laboratoire CORIA de Rouen, je tiens tout d’abord
à remercier les deux directeurs successifs, M. Michel Ledoux et M. Mourad Abdelkrim Boukhalfa pour leur accueil au sein de leur établissement et pour la bonne humeur qu’ils ont su y
faire régner.
Je remercie ensuite le CNES et la SNECMA qui ont permis la réalisation de cette thèse en
finançant ces travaux de recherche, ainsi de Marie Théron, Lionel Cariès et Carlos Cruz pour
leur temps consacré au suivi des travaux.
J’exprime ma sincère reconnaissance à mes rapporteurs, M. Pierre Haldenwang et M. Arnaud Mura, pour l’intérêt qu’ils ont porté à mon travail et plus largement à tous les membres du
jury dont M. Yves D’Angélo.
Je remercie grandement FX et Julien pour la confiance et le temps que vous m’avez accordée
et pour m’avoir permis de réaliser cette thèse dans les meilleurs conditions. Vos compétences
m’ont permis d’apprendre énormément tant d’un point de vue scientifique que numérique mais
aussi d’un point de vue humain dans les moments de doutes. C’est en partie grâce à vous que
j’ai pu mener à terme cette thèse. Enfin, un grand merci à toi FX pour tes idées, remarques et
conseils prodigués dans ton bureau ou au cours des nombreuses réunions. Je venais te voir avec
une question pour repartir avec des dizaines et à chaque fois tes conseils se sont révélés payants.
Merci encore. Julien, j’ai appris énormément avec toi d’un point de vu numérique. Ta façon de
coder et l’utilisation de ton code de calcul Asphodèle ont influencé ma façon de travailler.
Je voudrais ensuite remercier les copains avec qui j’ai partagé de très bon moments en
commençant par Jéjé. Ça fait maintenant quelques années qu’on se connait, depuis un certain
concours national DEUG. Et grâce à toi, j’ai appris énormément (numérique, voiture etc) et
partagé tant de discussions sur tout et n’importe quoi.
Ensuite, je voudrais remercier Guigui pour tout ce qu’on a partagé surtout ces deux dernières années ; dommage que tu n’étais pas "libre" avant. Merci aussi d’avoir mis à disposition
ton appart lorsque je devais rester sur Rouen, ... ou pas.
4
Viens ensuite Bruno avec qui on a eu pas mal de discussions engagées. Merci de m’avoir
converti au Canard que j’essaie de lire de temps en temps. Mais aussi pour les soirées poker et
foot (dont une certaine finale de ligue des champions) qu’on a passé ensemble. Je voudrais aussi
remercier Hicham pour le soleil que tu as apporté dans le bureau avec ton sourire. Dommage
qu’il soit reparti avec toi. Enfin, merci à tous les nouveaux et anciens doctorants et post-docs
avec qui j’ai partagé des bon moments : Yann, Gautier, Tibo, Arnaud, Nicof, les Mathieu, Olivier, MeuhMeuh, Caro, Zakaria, "Jo" et les autres qui se reconnaitront.
Je vous aussi remercier Guillaume Ribert pour avoir partagé tes connaissances dans le domaine du supercritique et également pour le séjour à PennState qui n’aurait pas été le même
sans toi. Cela restera un moment fort de la thèse. D’ailleurs l’Amérique te remercie d’avoir
participé au sauvetage de leur industrie automobile.
Un grand merci au personnel du laboratoire dans son ensemble. Je ne pourrais pas citer tout
le monde mais en particulier Guillaume Édouard et à travers toi tout le service info pour sa
réactivité. Arnaud Bultel (dit Bubu) pour tes conseils en thermo et la rigueur scientifique que tu
as su m’inculquer lors des heures de cours et des séances. Mesdames Brument et Auzou pour
leur accueil au quotidien. Et enfin les gars de l’atelier, toujours prêts à rendre service.
Je voudrais remercier ma famille et tout particulièrement mes parents qui m’ont permis de
suivre mes études par leur soutien moral et financier. Ma belle famille qui m’a également soutenu durant toutes ces années.
Je souhaitais terminer par la personne la plus importante : ma Femme Cécile. Je te remercierai jamais assez pour ton soutien et ta patience tout au long de ces années. Merci de m’avoir
poussé quand j’en avais le plus besoin, supporté quand je faisais les aller-retours et épousé quand
je te l’ai demandé. Tu m’as ensuite donné une petite ange(le) qui a été le plus beau cadeau. Je
t’aime plus que tout et je te dédie cette thèse. Merci du fond du cœur.
Table des matières
Nomenclature
8
Introduction
13
1
17
17
22
22
23
25
26
2
La simulation numérique appliquée aux moteurs de fusée
1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La résolution des équations de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Le Formalisme RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 La simulation aux grandes échelles (LES) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 La simulation numérique directe (DNS) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Présentation de plusieurs codes de simulation supercritiques . . . . . . . . . .
1.3.1 Le projet Constellation : comparaison de résultats issus de codes de
simulation RANS, URANS et LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Présentation des travaux de Schmitt et al . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Modélisation de la combustion supercritique en approche RANS (Demoulin et Mura) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Simulation numérique directe supercritique de Bellan et al . . . . . . .
1.4 Simulation numérique et détermination du champ de pression . . . . . . . . . .
1.4.1 Des schémas de résolution basés sur la densité ou la pression . . . . . .
1.4.2 Détails de quelques méthodes utilisant l’approximation à faible nombre
de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation des grandeurs thermo-physiques d’un
élevée
2.1 Modélisation des grandeurs thermodynamiques .
2.1.1 La densité et les équations d’état . . . . .
2.1.2 Enthalpie molaire . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Capacités calorifiques . . . . . . . . . .
2.1.4 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Le mélange binaire . . . . . . . . . . . .
2.2 L’équilibre liquide-vapeur d’un mélange binaire .
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34
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38
43
fluide soumis à une pression
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62
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6
TABLE DES MATIÈRES
2.3
3
4
2.2.1 La règle de phase de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Démonstration de l’équilibre liquide-vapeur . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Résolution de l’algorithme pour déterminer équilibre liquide-vapeur . .
2.2.4 Résultats et interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation des propriétés de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 La viscosité et la conductivité thermique d’un mélange à haute pression
2.3.2 Le coefficient de diffusion pour les espèces . . . . . . . . . . . . . . .
Asphodèle : un code de simulation numérique directe supercritique
3.1 Présentation du code Asphodèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Un code à structure modulaire . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Les équations de transport résolues . . . . . . . . . . . .
3.2 Un code adapté pour les hautes pressions . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Détermination du champ de pression . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Détermination du champ de température . . . . . . . . . .
3.2.3 Détermination de la densité . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Étude d’une couche de mélange supercritique . . . . . . . . . . .
3.3.1 Les couches de mélange dans la littérature . . . . . . . . .
3.3.2 Couche de mélange temporelle . . . . . . . . . . . . . . .
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Simulation de la déstabilisation d’un jet en condition supercritique
4.1 Validation de la version supercritique du code Asphodèle . . . . . . . . . . . .
4.2 Limites du code Asphodèle dans le cas de simulations supercritiques . . . . . .
4.2.1 Sensibilité du code au rapport de densité . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Sensibilité du code aux effets de gaz réels . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Effets des coefficients de transport sur la dynamique de l’écoulement . . . . . .
4.4 Nombre de Lewis du mélange O2 /H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Origine de l’apparition du pic de densité . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Effets des modèles utilisés pour calculer les coefficients de transport . .
4.4.3 Effets de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Effets de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.5 Rôle des espèces choisies : cas du mélange O2 /N2 . . . . . . . . . . . .
4.4.6 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Études préliminaires portant sur la validation des approches LES et RANS . . .
4.5.1 Effet du filtrage pour la simulation aux grandes échelles sur l’équation
d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Couplage de la méthode RANS et des pdf présumées . . . . . . . . . .
Conclusion et perspectives
65
65
69
70
73
74
77
83
84
84
85
88
88
89
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95
95
98
103
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122
134
134
137
139
140
141
142
144
144
151
157
TABLE DES MATIÈRES
7
A Quelques définitions de thermodynamique
A.1 Équilibre thermodynamique . . . . . . . . . .
A.2 Fonctions d’état . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Enthalpie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7 Énergie sous forme de chaleur . . . . . . . . .
A.7.1 Chaleur sensible . . . . . . . . . . . .
A.7.2 Chaleur latente de changement de phase
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165
165
B Calcul des propriétés physiques
B.1 Calcul de la viscosité . . . . . . . . . .
B.2 Calcul de la conductivité thermique . .
B.2.1 Méthode de Chung et al . . . .
B.2.2 Méthode de Ely et Hanley . . .
B.3 Calcul du coefficient de diffusion binaire
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C Dérivées de l’équation de Peng-Robinson et valeurs critiques croisées
179
C.1 Dérivées de l’équation d’état utilisées pour la thermodynamique des gaz réels . 179
C.2 Valeurs critiques croisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
D Détails de trois méthodes Low Mach
181
D.1 Méthode proposée par Pierce [70] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
D.2 Méthode proposée par Nicoud [59] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
D.3 Méthode utilisée par Benteboula [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
E Adimensionnement des équations de transport
E.1 Conservation de la masse . . . . . . . . . .
E.2 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3 Énergie totale . . . . . . . . . . . . . . . .
E.4 Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.5 Fraction massique . . . . . . . . . . . . . .
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188
188
189
189
Nomenclature
Caractères Latins
V
Variance d’un système
Z
Fraction de mélange
A
Paramètre de l’équation cubique
a
Pression interne
B
Paramètre de l’équation cubique
b
Co-volume
c
Paramètre des équations d’état à trois paramètres critiques
Cp
Capacité thermique à pression constante
cp
Capacité thermique molaire à pression constante
Cv
Capacité thermique à volume constant
cv
Capacité thermique molaire à volume constant
D
Coefficient de diffusion
dG
Variation infinitésimale d’enthalpie libre
dh
Variation infinitésimale d’enthalpie
dP
Variation infinitésimale de pression
dT
Variation infinitésimale de température
du
Variation infinitésimale d’énergie interne
dv
Variation infinitésimale de volume
dx
Taille de la maille dans la direction x
dy
Taille de la maille dans la direction y
f
Fugacité
Nomenclature
G
Enthalpie libre
H
Enthalpie
h
Enthalpie molaire
k
Coefficient d’interaction binaire
Le
Nombre de Lewis
M
Masse molaire
Ma
Nombre de Mach
n
Nombre de moles
ne
Nombre d’espèces
np
Nombre de phases
P
Pression
Pr
Nombre de Prandtl
Q
Énergie sous forme de chaleur
R
Constante des gaz parfaits
RZ
Rapport des coefficients de compressibilité
Rρ
Rapport des densités
Re
Nombre de Reynolds
S
Entropie
Sc
Nombre de Schmidt
T
Température
t
Temps
U
Vitesse
U
Énergie interne
u
Paramètre des équations d’état cubiques
V
Volume
v
Volume molaire
W
Énergie sous forme de travail
w
Paramètre des équations d’état cubiques
9
10
Nomenclature
X
Fraction molaire
x
Coordonnée spatiale
Y
Fraction massique
y
Coordonnée spatiale
Z
Coefficient de compressibilité
Caractères Grecs
αµ
Coefficient calorimétrique
αD
Coefficient d’expansion thermique
αh
αl
χs
Coefficient de compressibilité isentropique
χT
Coefficient de compressibilité isotherme
χv
Coefficient de dilatation
∆
Variation macroscopique
δ
Épaisseur initiale de la couche de mélange
ω̇
Terme source
Incertitude
γ
Exposant isentropique
λ
Conductivité thermique
µ
Viscosité dynamique
ν
Viscosité cinématique
ω
Facteur acentrique de Pitzer
Φ
Coefficient de fugacité
ρ
Densité
Σv
Volume de diffusion
σij
Tenseur des contraintes de Reynolds
Indices courants
∗
Grandeur normalisée
Nomenclature
+
Coefficient de transport normalisé
n
Relatif à l’instant n
0
Relatif à l’état de référence
∞
Relatif aux grandeurs de référence
SGS
Relatif au terme de sous-maille
c
Grandeur critiques
i
Relatif à l’espèce i
j
Relatif à l’espèce j
l
Relatif à la phase liquide
m
Relatif au mélange
r
Grandeur relative
T
Modèle turbulent
v
Relatif à la phase vapeur
11
Acronymes
CNES Centre National d’Etudes Spatiales
CORIA COmplexe de Recherche Interprofessionnel en Aérothermochimie
DNS Direct Numerical Simulation
LES
Large Eddy Simulation
NASA National Aeronautics and Space Administration
NIST National Institut of Standard and Technology
RANS Reynolds-Average Navier-Stokes
SNECMA Société Nationale d’Etude et de Construction de Moteurs d’Aviation
Opérateurs
ˇ
(•)
Résultats issu de l’équation d’état avec les variables filtrées
(•)
Opération de filtrage
12
Nomenclature
Introduction Générale
À la fin des années 80, le marché de l’envoi des satellites est en pleine mutation grâce au
développement des télécommunications. Il faut alors envoyer en orbite autour de la Terre des
satellites de plus en en plus gros en utilisant des lanceurs de plus en plus puissants. Ainsi, dans
l’optique de suivre et de s’adapter au marché des lanceurs, l’agence spatiale européenne (ESA) a
décidé en 1987 de se doter d’un nouveau lanceur en remplacement d’Ariane 4. L’Europe voulait
un lanceur capable d’envoyer d’avantage de charges utiles et, au lancement du projet, de pouvoir envoyer des hommes dans l’espace et devenir indépendante. C’est pourquoi, ce programme
a été mis en place pour répondre au mieux aux besoins des clients (scientifiques, militaires, industriels) tout en réduisant les coûts et en gagnant en fiabilité. Ainsi est né le lanceur Ariane 5.
Diverses versions du lanceur ont alors été développées pour s’adapter à des satellites dont
la taille et le poids n’ont cessé de cro^ıtre sans oublier que le besoin de petits satellites, placés
en orbite basse, a augmenté également. Pour réussir à envoyer une gamme aussi large de satellites, ce lanceur a été conçu en deux parties principales. La partie haute du lanceur est celle qui
contient la charge utile à satelliser et qui varie en fonction de l’orbite à atteindre et du nombre de
satellites à envoyer (jusqu’à huit micro-satellites). Les différentes versions du troisième étage
sont présentées sur l’image de gauche de la figure 1. Il est le seul étage à ne pas être allumé au
décollage mais seulement en dehors de l’atmosphère. La partie basse du lanceur sert à envoyer
la charge en orbite en arrivant à vaincre la pesanteur. Elle comprend deux Étages d’Accélération
à Poudre (EAP) qui délivrent à eux deux 90 % de la poussée totale du lanceur au décollage. Ce
sont les deux cylindres sur le côté de la fusée dont la durée de fonctionnement est d’environ
deux minutes et à 60 kilomètres d’altitude, les EAP sont largués au dessus de l’Atlantique. Puis
l’Étage Principal Cryotechnique (EPC) prend le relais et assure seul la propulsion du lanceur
durant la deuxième phase de vol, soit une dizaine de minutes. De son bon fonctionnement dépend la réussite d’un lancement et de la mise en orbite du satellite.
Pour gagner en fiabilité et améliorer encore ces performances, de nombreuses études sont
menées sur les différentes parties du lanceur et du moteur. Actuellement en service, le moteur
Vulcain 2 est déjà une version améliorée du moteur Vulcain avec un gain de 20 % en terme
de puissance ce qui permet une augmentation de la charge utile en orbite de transfert géostationnaire de 1150 kg par rapport à l’ancienne version. Ce moteur est de type cryotechnique, il
fonctionne en faisant réagir un mélange de carburants liquides, oxygène et hydrogène, appelés
14
Introduction
Différentes versions du lanceur Ariane 5.
Le moteur Vulcain 2 lors d’un test sur banc d’essais
(Crédits : EADS / D. Ducros)
(Crédits : SNECMA)
F IG . 1 – Présentation de différentes parties du lanceur Ariane 5.
ergols. Le choix de ce couple pour la propulsion est dicté par les lois de l’hydrodynamique.
La poussée élevée (1340 kN pour le moteur Vulcain 2) est créée par l’expansion et l’éjection
à grande vitesse (jusqu’à 4000 m/s) de la vapeur d’eau produite par la combustion des ergols
(plus l’hydrogène en excès). Deux turbopompes aspirent l’oxygène et l’hydrogène qui sont stockés sous forme liquide dans les réservoirs pour gagner de la place. Elles envoient les ergols sous
très haute pression dans la chambre de combustion. Une partie de l’hydrogène circule le long
de la paroi de la tuyère dans des canaux spécialement usinés afin de la refroidir et éviter qu’elle
ne fonde. Les ergols sont injectés dans la chambre de combustion qui est le cœur du moteur.
La pression ambiante est très élevée (environ 100 bar) car la poussée et l’impulsion spécifique
augmentent avec la pression. L’hydrogène atteint rapidement l’état supercritique. L’oxygène est
injecté sous forme liquide à une température très faible (80 K). Ils sont tous deux injectés au
travers des 516 injecteurs coaxiaux. L’oxygène étant injecté à une vitesse plus faible que celle
de l’hydrogène le jet se pulvérise sous l’action des forces de cisaillement créant un brouillard
de gouttelettes qui s’évaporent très rapidement. Puis lorsque toutes les conditions sont réunies,
se produit la combustion. Ces gouttelettes, qui se trouvent dans un milieu où la température et la
pression sont supérieures aux valeurs critiques de l’oxygène, peuvent alors atteindre à la surface
la température critique avant de s’évaporer totalement. La combustion ne s’effectue donc plus
en phase gazeuse mais en régime supercritique ou transcritique.
Pourtant, ce régime particulier n’a pas toujours été pris en compte. Dans les modèles de
Introduction
15
combustion, l’utilisation de la thermodynamique supercritique n’est apparue qu’au début des
années 90. Auparavant, la phase supercritique était modélisée comme un gaz dense. Pour bien
comprendre la différence entre un liquide, un gaz et un fluide supercritique, il suffit d’observer
le diagramme de phase de la figure 2. On remarque qu’un fluide supercritique est obtenu dans
F IG . 2 – Diagramme de phase d’une espèce pure en fonction de la température, pression et
volume occupé. (Crédit : Wikipédia)
un milieu où la pression est élevée, par rapport aux pressions standards, mais surtout au dessus
de la pression critique du fluide considéré. D’ailleurs il est également nécessaire que la température soit supérieure à la température critique de l’élément ; dans le cas où seule la pression
est supérieure à la pression critique on parle de fluide transcritique. Les valeurs critiques de
l’oxygène et de l’hydrogène sont résumées dans le tableau 1. On ne parle alors plus de liquide
Élément
Température critique (K)
Pression critique (bar)
Oxygène
Hydrogène
154.576
33.24
50.43
12.98
TAB . 1 – Valeurs critiques de l’oxygène et l’hydrogène [55].
ou de gaz mais d’un état de la matière différent : la phase supercritique. Un fluide supercritique
ressemble à un gaz mais il peut avoir une masse volumique proche de celle de sa phase liquide et
on aurait tendance à lui approprier les mêmes propriétés thermodynamiques. En fait, les fluides
supercritiques possèdent des caractéristiques à la fois du liquide et du gaz ; par exemple, ils ont
16
Introduction
une densité et une diffusivité proche de celle d’un liquide mais une viscosité proche de celle
d’un gaz. Comme le libre parcours moyen d’une molécule décro^ıt avec la pression, les effets de
la taille des molécules et des forces intermoléculaires ne peuvent plus être négligés.
Bien que des dizaines de tirs de lanceurs soient effectuées chaque année, la compréhension
des différents phénomènes physiques intervenant dans leurs moteurs est loin d’être complète.
Seules quelques expériences sont capables de reproduire en laboratoire les conditions extrêmes
présentes au sein de la chambre de combustion du moteur Vulcain comme le banc Mascotte
[37] [38]. Mais les difficultés d’exploitation dues aux conditions de pression et du carburant
employé imposent des contraintes énormes qui réduisent le nombre d’essais. C’est pourquoi le
CNES et la SNECMA favorisent le développement de nouveaux codes numériques et l’étude
du mélange fait parti de leurs axes de recherche. Bien que largement utilisée dans d’autres domaines, la simulation numérique d’écoulements appliquée à des conditions supercritiques est
encore en développement afin d’obtenir des codes de calcul capables de donner des résultats
suffisamment fiables avec des temps de calcul raisonnables. Ainsi l’objectif de cette thèse est de
créer un code de simulation numérique directe pour simuler des écoulements dans des conditions de haute pression pour permettre de valider des modèles physiques utilisés dans des codes
de simulations LES ou RANS.
Nous introduirons en première partie les différents aspects de la simulation numérique dans
les moteurs de fusée qui nous permettront de justifier les choix que nous avons fait, en particulier sur l’utilisation d’un code de simulation numérique directe utilisant un formalisme à
faible nombre de Mach. Ensuite, il a s’intéresser aux phénomènes liés aux fortes pressions qui
affectent la thermodynamique et les coefficients de transport. Dans la deuxième partie du manuscrit, on présentera les différents modèles disponibles, et les résultats issus de certains de ces
modèles ont été comparés à des données de référence et introduits dans un code de simulation
numérique. Ce code de calcul (Asphodèle) est un code de simulation numérique directe, développé au CORIA depuis plusieurs années mais uniquement pour des configurations à pression
atmosphérique. Ce code sera présenté en troisième partie ainsi que les modifications qui ont été
apportées afin de simuler des configurations à pressions élevées tout en ayant des temps de calcul les plus faibles possibles. Nous détaillerons également les configurations qui ont été mises en
œuvre. Enfin, en dernière partie, nous présentons les résultats obtenus avec le code Asphodèle
et nous présenterons les différentes études qui ont permis de valider les modifications apportées
au code Asphodèle, d’étudier l’impact des coefficients de transport et du nombre de Lewis sur
la dynamique de l’écoulement ou encore, de vérifier l’utilisation de modèles physiques dans des
codes RANS et LES.
Chapitre 1
La simulation numérique appliquée aux
moteurs de fusée
1.1
Contexte
La chambre de combustion d’un moteur de fusée est au cœur de l’ensemble du dispositif
de propulsion qui permet à la fusée, dans la deuxième partie de son vol, de mettre sur orbite
sa charge utile. C’est pourquoi il est important de comprendre au mieux ce qui s’y passe afin
d’améliorer ses performances et optimiser la consommation de carburant et d’oxydant (qui est
également stocké) car chaque seconde écoulée ce sont pas moins de 320 kg d’ergols qui sont
injectés dans la chambre de combustion. Cela requiert donc une compréhension plus approfondie des phénomènes liés à l’injection et au mélange dans la chambre de combustion. Or,
la mécanique des fluides associée aux conditions particulières qui règnent dans la chambre de
combustion forme un ensemble complexe. Contrairement aux nombreuses connaissances que
les chercheurs ont sur la combustion et les phénomènes physiques associés à basse pression,
celles concernant les fluides supercritiques sont moins complètes car les études sur le domaine
sont encore en développement. La plupart des progrès qui ont été réalisés dans ce domaine ont
été motivés par les différentes études sur les moteurs cryotechniques lors de la dernière décennie. Ainsi des efforts ont été faits pour essayer de comprendre expérimentalement ce qui se
passait à l’intérieur de la chambre de combustion et décrire la dynamique de l’injection et le
mélange de fluides supercritiques. Des expériences portant sur un seul des nombreux injecteurs
présents dans la chambre de combustion ont été réalisées en France (banc Mascotte, ONERA)
ou encore aux États-Unis (Cryogenic Combustion Laboratory, Pennsylvania State University).
On peut aussi signaler les études de Mayer et Smith [53], Oschwald [66] ou encore Chehroudi et
al [17]. Ces études ont montré d’importants changements de la structure du jet quand la pression
augmente et passe au delà de point critique comme il est possible de la voir sur les images de la
figure 1.1. Les ligaments et les gouttes qui apparaissent en sous-critique, et qui sont dus aux instabilités interfaciales, disparaissent une fois la pression critique atteinte car dans ces conditions
la tension de surface devient nulle. La physionomie du jet ressemble d’avantage à celle d’un jet
18
F IG . 1.1 – Jet coaxial de LN2 /He, lorsque la pression est à 10 bar et inférieure à la pression
critique (image A) et lorsque la pression est à 60 bar et supérieure à la pression critique (image
B) [53].
gazeux qu’à celle d’un jet liquide (figure 1.1). Lorsque la pression dépasse la pression critique,
la distinction entre les phases dense et légère est moins marquées (image du bas), contrairement
au cas sous-critique (image du haut). La disparition des forces de tension de surface est également visible sur les quatre images de la figure 1.2 sur lesquelles du CO2 gazeux est mis en
contact avec du CO2 sous forme liquide. Puis, lorsque la température et la pression augmentent,
les forces de surface diminuent jusqu’à ce qu’elles deviennent nulles lorsque la pression et la
température deviennent supérieures aux pression et température critiques de l’espèce en question.
Malgré tout, à cause de la pression qui imposent des contraintes énormes sur ces expériences
en laboratoire, le nombre de données expérimentales reste très limité. Les données disponibles
par exemple pour le banc Mascotte sont les champs d’émission du OH∗ [84], la température
avec la méthode CARS (Coherent Anti-Stokes Raman Scattering) [97], ou encore les visualisations issues d’ombroscopie [37]. À partir de ces résultats, il est possible de conna^ıtre, entre
autre, la position de la flamme mais il manque des données importantes comme les champs de
vitesse. C’est pourquoi d’importants efforts dans la simulation numérique des écoulements supercritiques ont été consentis, en particulier par le biais des agences spatiales comme le CNES
(qui finance cette thèse) ou la NASA qui a mis en place de nombreux projets.
Initialement, malgré les nombreux programmes mis en place, la géométrie des chambres
et des injecteurs ainsi que l’utilisation d’une thermodynamique non adaptée ne permettait pas
d’obtenir des résultats satisfaisants. Désormais, la CFD (Computational Fluid Dynamic) qui uti-
1.1 Contexte
19
Image 1
Image 2
Image 3
Image 4
F IG . 1.2 – Évolution de l’interface lorsque la pression et la température augmentent (images
1 et 2) et dépassent les valeurs critiques (images 3 et image 4). (Crédit : Université de Leeds,
Leeds Cleaner Synthesis Group)
lise de nouvelles approches thermo-physiques ainsi que de nouveaux outils pour produire des
maillages de plus en plus précis, permet d’associer les performances en terme de respect des
formes et d’une physique plus réaliste. La principale contrainte étant la robustesse des codes
pour des conditions de pression élevée. Ainsi, pour tenter de résoudre ce problème, des codes
de calcul utilisent des modèles qui permettent de résister à l’élévation des gradients, mais le
manque de résultats expérimentaux ne permet pas de valider un modèle plutôt qu’un autre. Récemment, de nouvelles approches ont été développées en particulier avec le formalisme LES
[104]. L’augmentation de la pression dans le domaine de calcul implique des effets sur la physique qui se répercutent sur la résolution numérique ce qui implique des traitements spécifiques
qui concernent certains points particuliers comme :
– Le couplage entre la thermodynamique et la masse volumique car la masse volumique
peut varier de plusieurs ordres de grandeur (ρmax /ρmin ≈ 250).
– La relation de compressibilité entre la masse volumique et la pression, qui peut être définie par le coefficient de compressibilité Z. La figure 1.3 montre le coefficient de compressibilité de l’oxygène en fonction de la température et de la pression calculée en utilisant
la loi d’état de Peng-Robinson [69]. La pression critique et la température critique étant,
pour l’oxygène TO2 = 155 K et PO2 = 50.4 bar, on voit que dans la zone supercritique
20
0.4
0.6
0.8
0.2
1
1000
800
800
600
600
T (K)
T (K)
0.2
1000
400
200
0.4
0.6
0.8
1
400
200
20
40
60
P (Bar)
Oxygène
80
100
20
40
60
P (Bar)
80
100
Hydrogène
F IG . 1.3 – Coefficients de compressibilité Z de l’oxygène et de l’hydrogène en fonction de la
pression et de la température.
(T > Tc et P > Pc ) le coefficient de compressibilité est proche de 1 pour la plupart des
températures. Ainsi le comportement de l’oxygène en ce qui concerne l’écoulement se
rapproche de celui des gaz parfaits. Au contraire, pour des températures basses, le coefficient de compressibilité est très petit ce qui signifie qu’une faible variation de masse
volumique correspond à une grande variation de pression (à température constante) ce
qui peut poser des problèmes pour la résolution numérique des équations. Par exemple, si
l’on utilise l’équation de la masse pour calculer les nouvelles valeurs de masse volumique
(avec le formalisme complètement compressible généralement utilisé) et qu’ensuite on en
déduit la pression, alors les petites erreurs sur la masse volumique conduiront à de fortes
variations de pression. Cette amplification des erreurs peut amener des instabilités sur le
champ de vitesse. Ainsi pour traiter cette zone il faut avoir recours à des méthodes numériques particulières dont celle de Yang et al [104] qui utilisent un préconditionnement
décrit brièvement ci-après.
– La détermination des coefficients de transport. Si un certain consensus existe pour la viscosité et le coefficient de conductivité thermique, la détermination des coefficients de
diffusion de la masse reste plus problématique.
– La validation des schémas cinétiques pour des applications de combustion qui n’ont, en
général, pas été validés pour les hautes pressions.
– La modélisation des termes de sous maille dans le cas de simulation aux grandes échelles.
Peut-on toujours utiliser les modélisations développées pour les écoulements à basse pression dans le cas d’écoulements à haute pression ? En particulier peut-on utiliser l’équation
d’état des gaz réels directement avec les quantités résolues ?
– L’influence des effets Soret et Dufour. Avec l’augmentation de la pression et de la tempé-
1.1 Contexte
F IG . 1.4 – Évolution radiale des flux de diffusion des principales espèces (H2 , O2 , OH et H2 O)
[62]. Les triangles supérieurs représentent le flux de diffusion, les triangles inférieurs le flux lié
au terme de Soret et les carrés correspondent à la somme de tous ces flux.
rature, divers phénomènes physiques ne doivent plus être négligés ; est-ce le cas pour les
effets Soret et Dufour ? Ces effets s’ajoutent aux flux de diffusion de masse et de chaleur.
Ainsi le flux moléculaire est la somme du terme de Fick et du terme de Soret tandis que le
flux de chaleur devient la somme du terme de Fourier et du terme de Dufour. Ces termes
sont dus à la présence de gradients dans l’écoulement ; le gradient thermique entra^ıne un
déplacement de matière (effet Soret) et le flux de masse diffuse avec lui de l’énergie sous
forme de chaleur (effet Dufour). Oefelein [62], qui a inclus ses deux effets dans son code
de calcul, précise, grâce aux résultats issus de ses simulations LES, que ces deux termes
sont très faibles voire négligeables. On a présenté sur les figures 1.4 et 1.5, la contribution
des différents termes des équations de transport des espèces et de l’énergie. On constate
sur ces images que la contributions des termes de Soret et Dufour est faible, en particulier devant les flux totaux. Au contraire, Bellan et al [3] signalent que les effets Soret et
Dufour ne peuvent être négligés. En pratique, dans la plupart des simulations, ces deux
effets sont négligés.
On comprend mieux pourquoi de nombreuses études ont été mises en place afin d’essayer
21
22
F IG . 1.5 – Évolution radiale des différents flux de l’équation de transport de l’énergie [62]. Les
triangles supérieurs représentent le flux de Fourier, les triangles inférieurs le flux de diffusion,
les losanges le flux lié au terme de Dufour et les carrés correspondent à la somme de tous ces
flux.
de répondre à toutes ces questions. Ces conditions particulières, notamment la pression élevée
qui règne dans la chambre de combustion, obligent les chercheurs à intégrer dans leur code des
modèles numériques particuliers mais avant de s’intéresser aux principaux codes de simulation
qui ont déjà étudié l’injection à haute pression, nous allons dans un premier temps présenter
les différentes méthodes qui permettent de résoudre les équations de transport : les formalismes
RANS, LES et DNS.
1.2
1.2.1
La résolution des équations de transport
Le Formalisme RANS
Tout d’abord, nous présentons le formalisme qui a été le plus utilisé par le passé et donc le
plus étudié : le formalisme RANS (Reynolds-Average Navier-Stokes). Le cas particulier de la
simulation numérique directe mis à part, les équations de transport des variables instantanées ne
sont pas résolues directement. La méthode la plus classique consiste à décomposer les quantités
transportées X décrivant un signal en une partie moyenne hXi et une partie fluctuante X 0 telles
que
X = hXi + X 0
(1.1)
afin de ne prédire que l’évolution du mouvement moyen. L’effet de la turbulence sur ce dernier
ne pouvant être pris en compte, il faut alors utiliser un modèle. L’opérateur moyenne hXi peut
1.2 La résolution des équations de transport
être défini de manière temporelle par :
1
hXi = lim
τ →∞ τ
doit vérifier les propriétés de Reynolds :
23
Z
τ
0
X (t) dt
hhXii = hXi
hX 0 i = 0
(1.2)
(1.3)
(1.4)
ainsi que la relation suivante :
∂hXi
∂X
= h
i
∂ξ
∂ξ
(1.5)
avec ξ une variable spatiale.
Si l’opérateur moyenne est appliqué aux équations de transport, des termes de corrélation
entre les fluctuations de vitesse apparaissent : le tenseur de Reynolds τij = hUi Uj i. Il traduit
le lien entre le mouvement moyen et le mouvement fluctuant et ne peut être calculé directement car seules les valeurs moyennes des variables du système sont connues. La fermeture du
système d’équations nécessite la modélisation du terme τij . De nombreuses méthodes existent
mais ne seront pas décrit ici. On peut néanmoins citer le modèle de longueur de mélange et
le modèle k − qui sont les plus couramment utilisés. Ils introduisent un terme de viscosité
turbulente µt , proposé par Boussinesq, qui permet la conservation de la structure du tenseur de
cisaillement dans l’équation du mouvement. Les expressions de la viscosité turbulente font appara^ıtre des constantes qui ne dépendent pas du fluide mais sont des grandeurs caractéristiques
de l’écoulement. Ces constantes peuvent être déterminées par l’expérience ou l’analyse dimensionnelle mais en pratique il est souvent nécessaire de les ajuster à la configuration envisagée.
Ce problème pratique mis à part, le modèle k − , a l’avantage de pouvoir être utilisé dans des
conditions très difficiles d’écoulements de type industriel présentant des géométries complexes
et à nombre de Reynolds élevé.
Bien que présentant des avantages non négligeables sur les temps de calcul et la possibilité
de simuler des grands domaines de calcul notamment, le formalisme RANS ne permet pas
de profiter des nouvelles capacités de calcul. Ainsi, la simulation aux grandes échelles (LES)
permet de décrire avec d’avantage de précision les écoulements fluides en utilisant les ressources
de calcul disponibles pour modéliser les plus grandes échelles de l’écoulement et de connaitre
leur évolution temporelle.
1.2.2
La simulation aux grandes échelles (LES)
Situé d’un point de vu spectral entre la DNS, qui simule toutes les échelles de la turbulence, et le modèle k − , qui les réduit à une moyenne, la simulation des grandes structures
24
(ou LES pour Large Eddy Simulation) va, comme son nom l’indique, résoudre les échelles les
plus importantes du mouvement (partie du spectre située dans les basses fréquences) et modéliser l’effet dissipatif des petites structures souvent isotropes. La LES suppose implicitement
que le comportement des grandes structures n’est pas directement lié au mécanisme de transfert
d’énergie vers les petites échelles [41], d’où la grande diversité des modèles existants. De plus,
les grandes échelles sont supposées contrôler le taux d’énergie devant être dissipé, ce fait étant
le principe de base du modèle dont les paramètres s’adaptant systématiquement aux conditions
locales de l’écoulement.
D’un point de vu pratique, sa mise en œuvre ne nécessite pas, en général, la résolution de
nouvelles équations de transport. Cependant, un maillage plus fin que celui appliqué au domaine
dans le cas d’un modèle k− doit être utilisé. Ces éléments ainsi que certaines contraintes dans
le choix du schéma numérique impliquent un temps de calcul plus élevé que pour les modèles
de type RANS. Mais l’évolution actuelle des techniques informatiques le rend dès à présent tout
à fait performant et lui offre de grandes perspectives d’avenir. Jusqu’au début des années 90,
la modélisation LES était relativement marginale par rapport à l’emploi d’un certain nombre
d’autres modèles comme le k −. Néanmoins, les recherches concernant la LES se diversifient
de plus en plus et se multiplient suite aux succès obtenus grâce aux premiers modèles. Des bibliographies liées à la LES ont déjà été proposées par quelques auteurs (comme Lesieur [50]),
c’est pourquoi nous présentons ici que les principaux modèles.
Le principe physique de base de la modélisation de sous-maille étant de réussir à quantifier le transfert énergétique des grandes structures vers les petites. Les modèles doivent de plus
être capables de résoudre le problème du backscatter ou transfert d’énergie des petites vers les
grandes échelles. Le premier modèle fut celui de Smagorinsky [86] qui base le calcul de la viscosité turbulente sur une relation linéaire entre le cisaillement des échelles résolues et la taille
caractéristique du filtre via une constante ; ce modèle très rapide à mettre en œuvre donne de
bons résultats pour des écoulements simples. Bardina et al [2] ont proposé un modèle de similarité des échelles basé sur le principe suivant : les événements liés aux structures situées au
niveau de la sous-maille peuvent se déduire des plus petites des grandes structures simulées.
Ce modèle, trop dissipatif à la base, donne de bons résultats après quelques modifications. Une
évolution majeure dans la modélisation de sous-maille a eu lieu en 1991, quand Germano et al
[34] proposent le premier modèle dynamique de sous-maille. Ainsi, les coefficients permettant
de quantifier les flux énergétiques devant être dissipés. Ils sont déterminés de manière automatique en fonction de l’évolution du spectre énergétique.
Tous ces modèles ont été utilisés pour des simulations à pression atmosphérique. Comme
on l’a souligné précédemment, ces modèles ne semblent pas forcément adaptés pour les pressions qui nous intéressent. Sur ce point, Bellan et al [3] et Selle et al [83] soulignent que les
termes de sous-maille généralement négligés à basse pression pourraient devenir importants
à pression élevée. Ils ont également mis en évidence la nécessité de tenir compte des effets
1.2 La résolution des équations de transport
de forte non-idéalité de la thermodynamique et des coefficients de transport dans les modèles.
Malgré tout, selon Schmitt et al [82], il n’existerait pas encore de modèle de sous-maille adapté.
La LES, qui permet de conna^ıtre avec d’avantage de précision les échelles de l’écoulement,
a néanmoins besoin d’utiliser un modèle numérique pour déterminer les petites structures de
cet écoulement, modèles qui ne font pas l’unanimité lorsque la pression du milieu augmente.
Malgré ce constat, de nombreux chercheurs ont tout de même utilisé ces modèles de sousmaille faute de mieux. Pour aller plus loin, il serait nécessaire d’avoir des données extrêmement
précises qui sont difficiles à obtenir expérimentalement. Il faudrait alors une méthode numérique
capable de résoudre toutes les échelles de la turbulence sans utiliser de modèle particulier. Ce
formalisme est celui de la simulation numérique directe.
1.2.3
La simulation numérique directe (DNS)
La simulation numérique directe (ou DNS pour Direct Numerical Simulation) résout les
équations de transport des variables instantanées qui décrivent les paramètres du fluide comme
la masse (scalaire), la quantité de mouvement (vecteur) et l’énergie cinétique ou l’enthalpie ou la
température (qui sont des scalaires). En plus de ces trois variables peuvent s’ajouter des scalaires
inertes ou réactifs liés à la chimie du fluide représentant les espèces ou le degré d’avancement
d’une réaction. Avec ce formalisme, l’ensemble des propriétés de la turbulence sont conservées
et notamment le spectre complet de la turbulence des plus grandes au plus petites échelles. Cela
implique forcément un maillage plus fin permettant de représenter les petites structures d’un
domaine dont la taille est suffisante pour contenir les plus gros tourbillons. De plus, la méthode
numérique utilisée doit posséder des propriétés spectrales, c’est à dire, être d’ordre élevé et
sans dissipation numérique afin que les évolutions spatiale et temporelle des variables aérothermochimiques soient les plus proches possibles de la réalité. La précision nécessaire du calcul
a deux conséquences, d’une part un coût informatique élevé et d’autre part, la géométrie du
problème doit rester relativement simple. La résolution directe, sans modèle ni approximation,
des équations de transport permet d’étudier de manière approfondie des phénomènes physiques
fondamentaux tout en étant certain de la qualité des résultats observés. De même, la validation
de modèles pour des conditions de calculs ou des données difficiles voire impossibles à réaliser
par l’expérience fait de la DNS un outil précieux ce qui est le cas pour l’étude du mélange dans
la chambre de combustion d’un moteur Vulcain 2.
Lorsqu’on fait un historique des simulations numériques supercritiques, il en ressort que ce
sont les formalismes LES et RANS qui ont majoritairement été utilisés. Nous présentons dans
la partie suivante, quelques unes de ces simulations dont une étude comparative entre plusieurs
simulations LES, RANS et URANS. Nous présentons également la seule simulation numérique
directe qui soit, à notre connaissance, appliquée aux écoulements supercritiques pour l’étude de
l’injection dans les moteurs fusées.
25
26
1.3
Présentation de plusieurs codes de simulation supercritiques
Depuis le début de la conquête spatiale et l’utilisation des moteurs cryotechniques, de nombreuses études ont été mises en place, principalement des études numériques. Parmi ces études,
certaines des plus récentes sont présentées dans cette partie dans laquelle on détaille les codes
de simulation ainsi que les configurations utilisées et les conclusions des auteurs. Ces codes de
calcul utilisent les trois méthodes de résolution que sont le RANS, la LES et la DNS. De plus,
une étude comparative entre cinq équipes travaillant sur un projet commun est présentée.
1.3.1
Le projet Constellation : comparaison de résultats issus de codes de
simulation RANS, URANS et LES
Le projet Constellation [95] a été mis en place par la NASA afin de comparer les résultats issus de cinq codes de simulations numériques à partir d’une configuration initiale identique. Le but est de regarder le rôle joué par les différents modèles physiques qui permettent
de réaliser des simulations d’écoulement dans des conditions supercritiques. La configuration
introduite dans les différents codes représente un écoulement issu d’un injecteur coaxial fonctionnant avec du GO2 /GH2 et du LO2 /GH2 et d’un injecteur swirl coaxial fonctionnant avec du
LO2 /GH2 . Quelques détails des différentes méthodes numériques, modèles de sous-maille, etc,
sont brièvement présentés ci-dessous mais pour plus de précision, le lecteur peut se référer à la
publication [95] et aux diverses publications des auteurs.
LES : Oefelein
L’auteur utilise un code LES qui résout les équations de conservation de la masse, moment,
énergie total et des espèces. Le modèle supporte le mélange multi-espèces en utilisant un traitement général de l’équation d’état, de la thermodynamique et des coefficients de transport.
Une particularité de son code de simulation est l’utilisation d’un modèle de reconstruction (Stochastic Reconstruction Model) qui permet de tenir des rapports de densité élevés, modèle qui
combine les approximations mathématiques obtenues par une procédure de déconvolution avec
les résultats issus d’une estimation d’un spectre du champ de scalaire afin d’être en concordance
avec les moments. Cette méthode est détaillée en [67] et [56]. Son code de calcul est parallélisé
en utilisant de la librairie MPI. Les schémas de dérivation sont du second ordre en temps et en
espace. Enfin, le code permet de traiter la combustion en utilisant le schéma de Ó Conaire et al
(8 espèces, 21 réactions).
LES : Yang
La formulation utilisée par Yang et al comprend l’ensemble des équations de conservation
appliqué au cas de mélanges. Le mélange de différentes espèces est par ailleurs pris en compte
1.3 Présentation de plusieurs codes de simulation supercritiques
dans les lois thermodynamiques et les modèles qui permettent de calculer les coefficients de
transport. Les termes de sous-maille pour la turbulence et la chimie sont traités par le couplage
des fractions de mélange et d’un modèle de flamelettes. La simulation est initialisée en utilisant un champ RANS pour établir des conditions initiales raisonnables pour un calcul LES. La
cinétique chimique est prise en compte par un mécanisme incluant 8 espèces et 19 réactions.
La précision numérique est d’ordre quatre en espace et de deux en temps. Le code est parallélisable avec l’utilisation de la bibliothèque MPI et le domaine a été décomposé en 71 blocs ce
qui représente un total de 750×320 cellules dans la direction axiale et radiale respectivement
(simulation 2D axisymétrique). Le pas de temps utilisé pour cette configuration est de 10−7 secondes.
Afin de tenir des gradients importants présents dans ces conditions de pression élevée, ils
utilisent un préconditionnement dans les équations de transport [101]. Ce préconditionnement
sert à corriger les erreurs à chaque sous-pas de temps jusqu’à ce que ces erreurs tendent vers
zéro. Ainsi, dès que les éléments de la matrice de préconditionnement ont convergé, les grandeurs calculées correspondent aux grandeurs du pas de temps suivant. Ce préconditionnement
permet ainsi de tenir de forts gradients de densité et de traiter des cas faiblement compressibles
comme des cas fortement compressibles, à faible et grand nombre de Mach ; c’est pourquoi ils
ont nommé ce formalisme All Mach.
LES : Menon
Menon utilise le code de LES appelé LESLIE3D qui est entièrement compressible, développé en volume fini avec une précision d’ordre 2 en temps et en espace. Il a été introduit
dans le code une approche hybride qui combine un schéma prédicteur-correcteur dans les zones
lisses et une méthode MUSCL couplée à un limiteur de type Harten-Lax-Leer (HLL) dans les
régions présentant de forts gradients ou des discontinuités. La commutation entre les deux méthodes est dynamique et locale. La géométrie du domaine est cylindrique utilisant un maillage
de 611×87×65 points auquel il faut ajouter une zone interne cartésienne de 611×17×17 points
permettant d’éliminer des singularités. Le maillage est de taille variable et dans la direction radiale, le pas d’espace est d’environ 4.3.10−5 m. Comme dans le code d’Oefelein, la combustion
est prise en compte et est traitée avec la méthode développée et optimisée par Ó Conaire.
URANS : Merkle
Merkle a développé un code de calcul URANS (Unsteady RANS) implicite qui résout de
manière couplée les équations de l’énergie et des espèces. Le schéma cinétique utilisé est composé de 9 espèces et 17 réactions. Les schémas de dérivation (temporel et spatial) sont tous deux
du second ordre et la méthode de dérivation spatiale est basée sur un schéma de Roe modifié qui
permet de contrôler la dissipation artificielle et les régions de faible vitesse. Un total de 200.000
cellules a été nécessaire pour la simulation pour un domaine 2D axisymétrique
27
28
RANS : Tucker
Enfin, la dernière simulation de cette étude est celle de Tucker. Les modèles k − de Wilcox
et Mentor Shear Stress Transport (SST) ont été introduits dans le code de calcul. C’est un code
RANS permettant de prendre en compte la combustion avec un schéma cinétique à 6 espèces et
28 réactions. Il utilise pour déterminer les coefficients de transport et les grandeurs thermodynamiques les lois des gaz parfaits. C’est un solveur de type volumes finis. Un préconditionnement
est utilisé pour les applications à faible nombre de Mach. Les schémas de dérivées spatial et
temporel sont d’ordre deux. Un solveur utilisant une haute résolution de Riemann est utilisé
pour résoudre les flux turbulents. Enfin, le maillage est constitué de cellules non structurées et
le pas de temps physique utilisé dans la présente configuration est de l’ordre de 10−4 secondes.
Conditions initiales de la configuration testée
Nous présentons dans cette partie les conditions d’injection des réactifs ainsi que les maillages
utilisés. Les fluides injectés dans le domaine de calcul sont séparés en deux parties qui sont
l’oxydant et le carburant. L’oxydant, composé d’un mélange d’oxygène et d’eau, (dont les fractions massiques sont 0.945 et 0.055), est injecté à 711 K et a pour vitesse 68 m.s−1 . Le carburant est également un mélange dont la composition en masse est 40, 2 % d’hydrogène et 59, 8 %
d’eau, de température 800 K et injecté à 25.9 m/s. La pression ambiante, qui règne dans le
domaine, est de 5, 2 M P a.
Résultats
Cette étude a été mise en place dans le but d’étudier les ressemblances et les différences
qui peuvent être observées entre les codes de simulation développés indépendamment les uns
des autres afin de quantifier l’impact des modèles utilisés sur les grandeurs de l’écoulement.
Pour ce faire, ils comparent des champs de diverses grandeurs physiques (température, vorticité, fractions massiques de O2 , H2 et du radical OH) et afin de comparer les résultats issus de la
simulation RANS aux autres simulations, des champs de valeurs moyennes dans le temps sont
également présentés (température, vorticité, énergie cinétique turbulente et les mêmes fractions
massiques que précédemment de O2 , H2 et du radical OH). Une partie des résultats est présentée
sur les images des figures 1.6 et 1.7 dont la température et la fraction massique du radical OH.
Bien que les valeurs d’injection des réactifs soient identiques, on remarque aisément les écarts
entre les différents codes de simulation. On constate tout d’abord, que les ordres de grandeur
sont respectés pour toutes les grandeurs physiques présentées, mais il est difficile de trouver
des ressemblances que ce soit pour les champs instantanés ou moyennés. Pour ce qui est des
grandeurs instantanées, les résultats issus de la simulation LES de Menon sont ceux qui présentent le moins de ressemblance avec les autres simulations, surtout avec le champ de fraction
massique du radical OH ; c’est d’ailleurs avec cette grandeur que l’on trouve le plus de ressemblances entre les trois autres auteurs. Cela peut para^ıtre paradoxal quand on observe les champs
Température
Fraction massique du radical OH
F IG . 1.6 – Champs instantanés de la température et de fraction massique du radical OH en
proche de l’injecteur
moyennés qui sont très différents.
Bien qu’il soit possible d’observer des similitudes entre certains codes, notamment pour les
champs moyennés, les différences restent trop marquées pour que les auteurs puissent se mettre
d’accord sur un comportement global qui permettraient de décrire le transport, le mélange ou
encore la combustion des ergols et des produits de la réaction chimique. Les méthodes ainsi que
les modèles choisis permettant, selon les auteurs, de tenir des gradients importants et donc une
pression ambiante élevée, influent sur les résultats des simulations. De plus, les valeurs d’injection des fluides (la densité de l’oxydant est 26.8 kg/m3 et 3.33 kg/m3 pour le fuel) sont très
éloignées des conditions réelles d’injection. Qu’adviendrait-il pour des conditions proches de
l’injection cryogénique ? C’est pourquoi au moins deux des auteurs cités précédemment, Yang
[104] et Oefelein [61], ont fait varier les paramètres d’injection afin de se rapprocher des conditions réelles de fonctionnement des moteurs cryotechniques en utilisant leur code de simulation.
De telles simulations fournissent des analyses détaillées sur les structures de la flamme ou encore sur les contributions des mécanismes de diffusion comme les effets Dufour et Soret qui ont
29
30
Température
Fraction massique du radical OH
F IG . 1.7 – Champs moyens de la température et de fraction massique du radical OH en proche
de l’injecteur
été introduits dans le code de Oefelein.
La NASA et les équipes qui sont associées à ce projet ne sont pas les seules à s’intéresser
à ce sujet. Le CNES (l’agence spatiale française) participe activement aux recherches dans ce
domaine et finance d’autres études comme celle menée au CERFACS par Thomas Schmitt dans
le cadre de sa thèse.
1.3.2
Présentation des travaux de Schmitt et al
Schmitt et al [82] utilisent un code LES appelé AVBP développé au CERFACS. Le code
AVBP est un code explicite, utilisant un maillage non structuré. Un schéma de troisième ordre
en temps et en espace (de type Taylor-Galerkin) peu dissipatif est utilisé. Pour supporter des
gradients élevés, les auteurs introduisent une viscosité artificielle pour atténuer les oscillations
numériques. Afin de déterminer les conditions limites, la méthode NSCBC [73] a été introduite
et adaptée pour la thermodynamique des gaz réels. Pour ce qui est de la partie réactive, ils utilisent le modèle TFLES associé à un schéma à 4 espèces et deux réactions adapté des travaux de
F IG . 1.8 – Image de gauche : coupe présentant la fraction massique d’hydrogène dans le plan
médian du domaine ainsi que l’iso-contour du flux de chaleur (en W/m3 ). Image de droite :
coupe de fraction massique moyenne du radical OH dans le plan médian (haut) comparée aux
résultats de Juniper [42] (bas)
Rogers et Chinitz [80]. Les lois de gaz réels (Peng-Robinson [69]) et des modèles choisis pour
le calcul des coefficients de transport (Chung et al [20] pour la viscosité et la conductivité thermique et l’approximation de Hirchfelder-Curtis [40] pour la diffusion des espèces) remplacent
les lois des gaz parfaits et les coefficients utilisés habituellement à basse pression. La modélisation des termes de sous-maille est effectuée avec un modèle classique (le modèle WALE [60]).
Afin de tester leur code, ils ont simulé un jet rond, axisymétrique d’azote dans un réservoir
gazeux contenant également du N2 . Deux cas ont été considérés en faisant varier la pression ;
ils ont simulé un jet supercritique (température élevée impliquant une faible densité) et un jet
transcritique (faible température d’injection d’où une densité élevée). Puis, ils ont utilisé leur
code pour réaliser des simulations plus réalistes : injection de O2 et H2 en condition transcritique et supercritique. Nous présentons uniquement la configuration et les résultats du second
cas. Les auteurs ont basé leur simulation sur le banc expérimental Mascotte de l’ONERA afin
de comparer leurs résultats. Le domaine est une boite de section carré dont les dimensions sont
50 × 50 × 400 mm pour un total de 850 000 nœuds qui représentent 5 000 000 de tétraèdres. La
pression à l’intérieur du domaine est de 60 bar. Schmitt et al présentent plusieurs résultats instantanés extraits de leur simulation dont une coupe de la fraction massique d’hydrogène dans le
plan médian du domaine (figure 1.8). Ils présentent également des champs de valeurs moyennes
comme le champ moyen de fraction massique du radical OH qu’ils comparent aux résultats
expérimentaux de Juniper et al [42] et on constate qu’il présente de nombreuses ressemblances.
Le champ moyen de température est également présenté dont ils ont extrait des températures, en
plusieurs points du domaine, pour les comparer aux mesures effectuées par la technique CARS
et dans ce cas, des différences plus importantes apparaissent (figure 1.9).
31
32
F IG . 1.9 – Coupe du champ moyen de température (gauche) à partir de laquelle il est extrait des
profils radiaux à 15, 50 et 100 mm de l’injecteur. Ces profils (traits sur la figure de droite) sont
comparés aux résultats expérimentaux de Habiballah [37] (points de la figure de gauche).
1.3.3
Modélisation de la combustion supercritique en approche RANS
(Demoulin et Mura)
Une approche différente de la méthode RANS traditionnelle a été développée par Demoulin
et Mura [27] et appliquée au cas d’un injecteur coaxial. Au lieu de résoudre toutes les équations
de transport (masse, moment, énergie, espèces), ils ne transportent qu’une seule grandeur : la
fraction de mélange. À partir de cette grandeur et d’une fonction de densité de probabilité,
ils calculent toutes les autres grandeurs thermophysiques. Ainsi, il n’est plus utile de résoudre
l’équation d’état tout comme les modèles des coefficients de transport pour conna^ıtre la densité, la viscosité, etc ; le gain en temps de calcul est alors considérable. Toutes les variables
thermo-chimiques sont calculées à l’équilibre chimique en fonction de la variable de mélange
Z qui dans le cas du mélange O2 /H2 vaut 1 pour de l’hydrogène pur et 0 pour de l’oxygène
pur. Leurs valeurs moyennes sont obtenues après intégration avec la pdf de Z. Celle-ci est déterminée à partir de la valeur moyenne et de la variance de Z. Cette méthode est l’extension
de la méthode de pdf présumée avec l’hypothèse de chimie infiniment rapide développée par
Borghi [11] au cas supercritique. Les flux turbulents de liquide (LOx) ont été modélisés avec
le modèle développé pour les injecteurs coaxiaux [26]. Pour le calcul de l’écoulement, le couplage essentiel avec la thermochimie se fait via l’équation de la masse et la connaissance de la
masse volumique en fonction des autres paramètres du problème. Ici il convient de déterminer
la masse volumique à l’équilibre chimique pour toutes les valeurs de la fraction de mélange Z.
Cependant, les écoulements ne sont pas diphasiques et l’état du mélange est décrit par l’équation de la variance et la forme de la PDF de Z adaptées pour les milieux supercritiques [28].
Trois niveaux de modélisation ont été proposés :
1. Le mélange supercritique se déroule comme le mélange entre deux gaz de masses volumiques différentes.
F IG . 1.10 – Comparaison de la transformée d’Abel de la lumière émise par le radical OH [42]
(en haut) avec le champ de concentration de OH prédit par le modèle LG (en bas).
2. Le comportement du gaz le plus lourd se rapproche du comportement d’un liquide. On
introduit alors l’idée qu’une poche de LOx mettra plus de temps à se disperser du fait de
sa grande masse volumique qu’une poche de gaz. Ce modèle est appelé LG. La résistance
au sein de l’écoulement de zone à fort gradient de masse volumique est corroborée par
les études de DNS de couche de mélange supercritique [7] [8]. Il a même été suggéré
que ces zones pouvaient être traitées comme des surfaces équivalentes à des interfaces
liquide-gaz.
3. La troisième proposition de modélisation explore cette voie en proposant une équation de
transport pour cette surface.
Les résultats du modèle LG sont présentés et comparés à des mesures effectuées sur le banc
d’essai Mascotte [1] [42] [98]. La pression du milieu est de 60 bar, l’oxygène est injecté sous
forme liquide à 80 K et le H2 à 287 K. Les vitesses d’injection sont de 4.35 et 236 m/s pour le
l’oxygène et l’hydrogène respectivement. La figure 1.10 présente en haut, l’émission moyenne
directe de la molécule OH intégrée à travers la flamme, au milieu on retrouve la concentration
de OH calculée par le modèle LG et en bas, la transformée d’Abel de l’image du haut. La transformée d’Abel permet d’avoir la concentration de OH expérimentale dans le plan de coupe de
la simulation. Ces résultats sont à comparer avec la figure 1.8 qui présente les mêmes champs
mais issus de simulations différentes : LES pour Schmitt et al et RANS pour Demoulin et al.
Ainsi, pour des temps de calcul largement inférieurs, ils obtiennent des résultats similaires. Bien
que le résultat de la transformée d’Abel ne corresponde pas parfaitement à la concentration de
OH (seules les molécules OH excitées émettent de la lumière), le comportement du modèle
semble être en adéquation avec les résultats expérimentaux ainsi qu’avec d’autres simulations
numériques.
33
34
Dans tous les autres codes de simulations, le couplage entre la thermodynamique et l’écoulement se fait principalement à travers la variation de masse volumique dont le calcul est effectué
dans chaque maille et à chaque instant. Malgré les techniques d’optimisation, le calcul de la
thermodynamique en gaz réel consomme beaucoup de temps CPU. La méthode de calcul proposée par Demoulin et al utilise une relation très simple entre la masse volumique et la variable
de mélange Z pour des résultats satisfaisants en comparaison aux résultats expérimentaux. Or,
les nombres de Schmidt et de Prandtl n’étant pas égaux à 1, il ne devrait pas être possible d’utiliser ce genre de relation, bien qu’elle donne des résultats satisfaisants avec la méthode RANS.
Comme on a pu le remarquer avec la description d’études portant sur l’injection supercritique, la plupart des codes de simulation sont des codes LES ou RANS. Or, on a souligné
l’importance des modèles implémentés avec ces types d’approche ; modèles qui ont été initialement développés pour des applications à pression atmosphérique. Dans notre cas, la pression
est très supérieure à la pression atmosphérique et les conditions d’injection des fluides soient
moins contraignantes que dans la réalité (utilisation de rapport de densité entre le fluide lourd et
léger et/ ou coefficient de compressibilité proche à 1), les codes de simulation numérique ne permettent pas d’extraire un comportement général. Ainsi, la méthode de simulation permettant de
calculer toutes les échelles de la turbulence sans utiliser de modèle numérique est la simulation
numérique directe. Ce formalisme ayant été très peu utilisé en condition supercritique ou transcritique, il est nécessaire d’étudier leur comportement dans les conditions qui nous intéressent.
Avec un code de simulation numérique directe pouvant simuler des écoulements supercritiques,
il serait alors possible de tester les modèles thermodynamiques (comme l’équation d’état), de
transport (permettant de calculer la viscosité, la conductivité thermique par exemple) ou encore
l’impact des termes de sous-maille en faisant des tests a-priori. C’est pourquoi notre choix c’est
porté sur ce type de simulation tout en sachant qu’il est actuellement impossible de réaliser des
simulations identiques à celles de Schmitt ou du projet Constellation. Actuellement, les seules
DNS, à notre connaissance, qui soient appliquées aux moteurs cryotechniques ont été réalisées
par l’équipe de Bellan au Caltech dont on présente les principaux points clés dans la partie
suivante.
1.3.4
Simulation numérique directe supercritique de Bellan et al
Il existe très peu de DNS appliquées au cas des fluides supercritiques et encore moins appliquées au cas des moteurs de fusée car les choses deviennent numériquement beaucoup plus
complexes. En effet, la pression, qui est si élevée dans la chambre de combustion, a un impact
direct sur la densité des réactifs et leur facteur de compressibilité. D’ailleurs, la simulation numérique directe, à notre connaissance, ayant le plus grand rapport de densité ne dépasse pas 25
pour le mélange qui nous intéresse (O2 /H2 ) avec des coefficients de compressibilité de respectivement 0.84 et 1.06. En comparaison avec les simulations LES, Oefelein a tenu des rapports
de densité proche de 100. Ces DNS ont été réalisées par Bellan et al [3, 7, 8].
C7 H16 (1)
P0 (atm)
T (K)
ρ (kg/m3 )
Z (−)
Ux (m/s)
ρ1 /ρ2 (−)
|ρ1 u1 |/|ρ2 u2 | (−)
N2 (2)
60
600
1000
259.49
20.14
0.47
1.02
-85.95
209.86
12.88
5.276
O2 (1)
H2 (2)
100
400
600
96.76
3.96
1.00
1.03
-158.0 770.98
24.40
5.00
35
O2 (1)
H2 (2)
100
235
287
197.32
8.05
0.84
1.063
-114.93 568.97
24.51
4.95
TAB . 1.1 – Présentation des différentes configurations réalisées par Bellan et al dans ces simulations de couche de mélange supercritique. Les valeurs des variables correspondent aux valeurs
des fluides purs [3].
Bellan et al ont simulé une couche de mélange tridimensionnelle, dilatable en résolvant
les équations de transport provenant de la théorie des fluctuations-dissipations de Keizer [43].
Cette théorie permet de faire converger les résultats vers la théorie cinétique lorsque la pression devient plus faible. Ainsi, il appara^ıt, dans les termes de diffusion d’énergie et de masse,
des termes supplémentaires en plus des effets Soret et Dufour dont elle tient compte. Pour les
effets de gaz réels, elle utilise l’équation de Peng-Robinson [6] qui sert à calculer la densité
du mélange mais aussi les autres grandeurs thermodynamiques et les coefficients de transport
sont calculés à partir de polynômes dont la méthode sera présentée au chapitre 2. Ils peuvent
alors calculer rapidement la viscosité, la conductivité thermique et les coefficients de diffusion
binaire pour des mélanges O2 /H2 dont la pression ambiante est proche de 100 atm. Ils ont également développé des polynômes pour un mélange n-heptane/azote pour des milieux dont la
pression est comprise entre 40 et 80 atm [3]. Enfin, les conditions limites utilisées sont dérivées
des conditions NSCBC de Poinsot et Lele [73] qui tiennent alors compte de la thermodynamique des gaz réels [64]. La configuration utilisée par Bellan et al est une couche de mélange
temporelle ce qui leur permet de suivre une structure dans le temps et de la voir grandir. Elle a
fait varier la température des différents fluides afin de faire varier les densités et les facteurs de
compressibilité de ces fluides. Les valeurs testées sont présentées dans le tableau 1.1. La pression du domaine varie en fonction du mélange choisi (100 bar pour le mélange O2 /H2 , 60 bar
pour le mélange C7 H16 /N2 ). Les équations de conservation sont résolues en utilisant un schéma
Runge-Kutta explicite du 4e ordre pour l’intégration temporelle et un schéma compact d’ordre
6 combiné à un filtre d’ordre 8 pour les dérivées spatiales [44]. Pour déterminer les fluctuations
de pression, elle utilise un formalisme à grand nombre de Mach ; c’est pourquoi les vitesses
des fluides dans sa configuration sont importantes (-115 m.s−1 pour l’oxygène et 569 m.s−1
pour l’hydrogène). Les calculs ont été parallélisés en utilisant la bibliothèque MPI ce qui lui
36
permet de simuler un domaine de calcul, une boite de section carrée, dont les dimensions sont
0.291 × 0.291 × 0.1746 m pour le cas le plus contraignant, c’est à dire celui qui présente le
rapport de densité le plus élevé.
Bellan et al soulignent que l’utilisation des modèles de sous-maille développés pour les
écoulements à basse pression ne peuvent être utilisés directement pour les simulations LES supercritiques comme c’est le cas pour les simulations de Yang et al [103], Oefelein [61] et Zong
[106]. Le transfert d’énergie sous forme de chaleur et le mélange déterminent la valeur de la
richesse, de la température, etc, ce qui influence la combustion. Or, en régime supercritique, le
mélange joue un rôle important car il est prépondérant ; il suffit de regarder le nombre de Lewis
de tels écoulements (cf. chapitre 4). Pour l’auteur, le mélange supercritique est un processus
fortement anisotrope aux grandes échelles de l’écoulement et il le reste tant que la composition
ou la température demeurent non uniformes. Ce comportement, qui n’est pas visible lorsque
la pression est faible, devrait être retrouvé avec les simulations LES dans lesquelles les modèles de sous-maille doivent reproduire la dissipation de sous-maille qui ne peut être prise en
compte. Ainsi, l’importance du rôle dominant du mélange dans la modélisation des termes de
sous-maille s’effectue en augmentant les effets visqueux comme c’est le cas à basse pression
mais cette méthode est inappropriée quand la pression est supérieure à la pression critique. De
plus, le fait que le "backscatter" soit largement répandu dans les écoulements supercritiques
jette d’avantage de doutes sur l’utilisation répandue de ces modèles de sous-maille.
La simulation numérique effectuée par Bellan et al est celle qui, à notre connaissance, détient le plus grand rapport de densité (environ 26) tandis que, pour une DNS classique, ce
rapport dépasse rarement 5. Ceci est rendu possible, selon l’auteur, par l’utilisation de la théorie
des fluctuations-dissipations qui ajoute des termes dans les équations de transport. Bien qu’un
rapport de densité de 26 est encore très éloigné des applications réelles, ce travail reste pionnier
pour ce qui est de l’utilisation de la DNS dans les moteurs cryotechniques. D’autres raisons
peuvent aussi expliquer ce succès comme le nombre de points dans le domaine et la puissance
de calcul mise en œuvre. Une autre raison tient peut-être à l’utilisation d’une méthode à Haut
Nombre de Mach pour déterminer la valeur de la pression dans le domaine. Or, l’utilisation
d’un formalisme à haut nombre de Mach ne s’impose pas pour étudier le mélange en sortie
d’injecteur. En effet, les vitesses d’injection des ergols dans la chambre de combustion sont
de 100 m.s−1 pour l’hydrogène et 20 m.s−1 pour l’oxygène alors que la vitesse du son dans
l’hydrogène est d’environ 1000 m.s−1 et que la vitesse du son dans l’oxygène est supérieure à
200 m.s−1 lorsque la pression est de 100 bar et la température égale à 100 K. C’est pourquoi
les vitesses des fluides dans la simulation de Bellan et al sont bien supérieures aux vitesses à la
sortie d’un injecteur coaxial car l’utilisation du formalisme à Haut Nombre de Mach nécessite
l’utilisation de vitesses proches de celle du son. Quelles sont alors les méthodes qui permettent
de déterminer le champ de pression et, parmi ces méthodes, laquelle permettrait de simuler des
écoulements dilatable et à faible nombre de Mach ?
1.4 Simulation numérique et détermination du champ de pression
1.4
37
Simulation numérique et détermination du champ de pression
Pour réaliser une simulation numérique d’un écoulement, il faut conna^ıtre à chaque instant
et en chaque point de l’espace les variables présentes dans les équations de conservation. Les
principales grandeurs sont :
– la vitesse dans chaque direction,
– la température,
– la concentration des espèces,
– la pression,
– la densité.
Ces grandeurs permettent aussi de calculer les propriétés de transport, l’enthalpie, la capacité
thermique, etc. À partir des équations de transport, la vitesse va être déduite de l’équation de
conservation des moments, les fractions massiques par les équations de conservation des espèces et l’enthalpie sera donnée par l’équation de conservation de l’énergie, qui donnera ensuite la température. Il reste deux équations à notre disposition, l’équation de conservation de
la masse et l’équation d’état, afin de déterminer deux variables : la densité et la pression.
Lorsque l’on résout les équations de Navier-Stokes, et plus particulièrement l’équation du
moment, on s’aperçoit que la pression joue un rôle important. En effet, les dilatations et/ou les
compressions qui interviennent dans l’écoulement sont le moteur de la dynamique. Dès lors
qu’il existe un différentiel de pression, le fluide se met en mouvement depuis l’endroit dans
l’espace où la pression est la plus élevée vers les endroits de plus faibles pressions. Ce phénomène est particulièrement visible en météorologie avec le vent qui est un écoulement d’air
depuis les zones de forte pression (anticyclone) vers les zones de basse pression (dépression).
Cet écoulement est d’autant plus rapide que le différentiel de pression est important. Et inversement, lorsqu’un fluide en mouvement rencontre un obstacle ou un autre fluide au repos ou un
fluide plus dense, la pression dans la zone de contact augmente proportionnellement à la vitesse
du fluide. On voit ainsi appara^ıtre le lien de cause à effet qui existe entre la pression et la vitesse
et c’est pourquoi il est important de bien modéliser et déterminer le champ de pression dans les
simulations numériques.
Diverses méthodologies ont alors été développées et permettent de traiter les différents cas
de figure rencontrés en simulation numérique. Nous allons par la suite présenter ces méthodes
38
s’appliquant aussi bien pour des écoulements subsoniques, supersoniques, compressibles et incompressibles mais on s’intéressera d’avantage aux méthodes dites à faible nombre de Mach
(ou couramment appelées Low Mach) qui s’appliquent à des écoulements de faible vitesse et
dilatables, après avoir présenter rapidement la méthode compressible notamment utilisée par
Bellan et al.
1.4.1
Des schémas de résolution basés sur la densité ou la pression
Il existe une relation qui permet de lier la pression aux autres variables physiques (densité,
température, concentration) : l’équation d’état. En résolvant l’équation de conservation de la
masse, on extrait la valeur du champ de densité. Connaissant la température, la densité et les
fractions massiques, on obtient la valeur de la pression en chaque point. Cette manière de procéder est appelée méthode density based car dans ce cas, la densité est une variable primitive
et on conna^ıt son équation d’évolution. Il en résulte la présence d’ondes acoustiques émises
par les fluctuations de pression. Ces ondes acoustiques sont déterminées directement à partir
du champ de pression et on peut suivre leur évolution dans le milieu à la vitesse c + U , avec c
la vitesse du son et U celle de l’écoulement. Mais comme pour tout schéma numérique, il faut
respecter des conditions de stabilité. Ces conditions sont basées sur les échelles de temps qui
imposent qu’une onde acoustique ne peut se déplacer de plus d’un pas ∆ x du maillage pendant
un pas de temps ∆ t. Les deux échelles de temps liées à la dynamique de l’écoulement sont le
temps acoustique (ta = L/c) et le temps convectif (tc = L/U ) avec L la longueur du domaine.
Si on introduit le nombre de Mach Ma tel que Ma = U/c, alors ta = Ma L/U est très inférieur
à tc pour des écoulements dont le nombre de Mach est faible. Le pas de temps, déterminé à
partir des conditions CFL, est alors très faible et les temps de calcul peuvent être importants.
Ces schémas sont donc limités pour des applications avec des nombres de Mach proches de 1
ou plus. Dans ce cas, ta et tc sont du même ordre de grandeur.
Certains chercheurs ont essayé d’adapter ces schémas pour des écoulements à bas nombre
de Mach. Ainsi, pour résoudre ce problème, il peut être utile d’intégrer un préconditionnement
permettant d’éliminer la disparité des échelles temporelles [102]. D’autres chercheurs ont découplé la vitesse de l’écoulement et la vitesse des ondes sonores afin de les résoudre séparément
comme Desjardins et al [29]. On appelle ces méthodes des méthodes All Mach qui permettent
aussi bien de traiter des configurations à faible nombre de Mach et à haut nombre de Mach.
Enfin, pour s’affranchir de ces problèmes, Chorin [19] (1968) et Temam [92] (1969) ont décidé
de s’affranchir de la résolution des ondes acoustiques. Leurs travaux ont permis d’introduire
une nouvelle méthode de résolution : les schémas basés sur la pression.
Ces schémas numériques ont initialement été développés pour des écoulements de fluides
incompressibles. On parle d’écoulements incompressibles lorsque la densité du fluide ne varie
pas dans l’espace et dans le temps. Or, dans la nature, tous les fluides sont physiquement compressibles ; des variations de masse volumique pouvant provenir des effets de compressibilité
39
(variations de pression) ou de variations de température. Le premier modèle mathématique utilisant l’approximation incompressible est l’équation de Bernoulli (1730). Ce dernier a développé
cette approche lorsqu’il étudiait la circulation du sang dans le corps humain. Dans le cas des
fluides supercritiques, la moindre variation d’un paramètre physique entra^ıne une grande variation de densité ; l’hypothèse d’incompressibilité ne peut alors être utilisée.
Le modèle à faible nombre de Mach tente donc d’établir le lien entre les écoulements à
haut nombre de Mach et incompressibles. Du point de vue mathématique, la différence entre
les équations de Navier-Stokes régissant les écoulements incompressibles et Low Mach réside
dans le fait que dans le dernier cas la divergence nulle de la vitesse (∇.~u = 0) est remplacée
par l’équation de continuité. Le mécanisme physique lié à la faible valeur du nombre de Mach
implique que les ondes de pression se déplacent très rapidement dans le domaine comparé à
l’écoulement. Ainsi, un équilibre très rapide de la pression se met en place dans l’écoulement.
Il devient alors possible de considérer la pression thermodynamique comme étant constante.
Cette approximation, qui est décrite ci-dessous, permet d’éliminer les ondes acoustiques tout en
tenant compte des variations de volume.
1.4.1.1
Les équations appliquées aux configurations à faible nombre de Mach
L’approximation à faible nombre de Mach s’obtient en développant les variables de l’écoulement en série de puissance du paramètre γMa2 sous la forme :
ρ x, t, γMa2
T x, t, γMa2
Ui x, t, γMa2
Yk x, t, γMa2
= ρ(0) (x, t) + γMa2 ρ(1) (x, t) + O
= T (0) (x, t) + γMa2 T (1) (x, t) + O
(0)
(1)
= Ui (x, t) + γMa2 Ui (x, t) + O
(0)
(1)
= Yk (x, t) + γMa2 Yk (x, t) + O
γMa2
2 2 2
(1.6)
γMa
(1.7)
γMa
(1.8)
γMa
(1.9)
2 2
2 2
40
Cp
. Ces développements asymptotiques sont insérés dans les
avec, en condition gaz parfait, γ = C
v
équations de Navier-Stokes développées sous forme adimentionnelle et détaillées ci-dessous :
∂ρ ∂ρUi
+
= 0
∂t
∂xi
∂ρ Ui ∂ρ Ui Uj
∂P
1 ∂ σij
+
= −
+
∂t
∂xi
∂xi Re ∂xi
∂T
∂T
1
∂
∂T
γ − 1 ∂P
ρ Cp
+ ρ Ui Cp
=
k
+
+
∂t
∂xi
Re Pr ∂xi
∂xi
γ ∂t
Ne
X
∆h0k ẇk
k=1
∂
∂Yk
1
∂Yk
+ ρ Ui
=
ρ
∂t
∂xi
Re Pr ∂xi
∂Yk
ρDkm
∂xi
(1.10)
(1.11)
(1.12)
− ẇk
(1.13)
auxquelles il convient d’ajouter l’équation d’état des gaz parfaits :
P =
ρT
γMa2
(1.14)
En introduisant les équations 1.6 et 1.7 dans l’équation d’état 1.14, on déduit le développement
en série de puissance du paramètre γMa2 pour la pression :
1
(0)
(1)
2 2
P =
P + P + O γMa
(1.15)
γMa2
La formulation des équations à faible nombre de Mach est déduite en regroupant les termes de
plus faible ordre en γMa2 (avec l’exposant (0) ) :
(0)
∂ρ(0) ∂ρ(0) Ui
+
= 0
(1.16)
∂t
∂xi
(0) (0)
(0)
(0)
∂ρ(0) Ui uj
∂ρ(0) Ui
∂P (1)
1 ∂ σij
+
= −
+
(1.17)
∂t
∂xi
∂xi
Re ∂xi
∂T (0)
∂T (0)
1
∂
∂T (0)
γ − 1 ∂P (0)
(0)
(0) (0)
ρ Cp
+ ρ Ui Cp
=
k
+
+
∂t
∂xi
Re Pr ∂xi
∂xi
γ
∂t
Ne
X
∆h0k ẇk
(1.18)
k=1
(0)
(0) ∂Yk
ρ
∂t
+
(0)
(0) ∂Yk
ρ(0) Ui
∂xi
1
∂
=
Re Pr ∂xi
P (0) = ρ(0) T (0)
(0)
∂Y
ρ(0) Dkm k
∂xi
!
− ẇk
(1.19)
(1.20)
41
L’idée de base derrière ces développements asymptotiques est de réduire artificiellement la représentation numérique de la vitesse du son. Cela s’illustre avec le terme de pression qui est décomposé en une composante uniforme spatialement P (0) qui est la pression thermodynamique
et une composante variable P (1) qui peut être interprétée comme étant la pression dynamique.
On note que P (0) est constant en espace mais peut varier dans le temps, par exemple en milieu
fermé. Par conséquent, les effets des ondes acoustiques sont filtrés du champ de l’écoulement
puisque la pression dynamique est découplée des fluctuations de température, de masse volumique et de concentration.
Ce type d’approche fait partie des schémas basés sur la pression (ou appelés Pressure Based). La pression dynamique devient une valeur primitive et est résolue par une équation de type
équation de Poisson et la densité est calculée par le biais d’une équation d’état et de la pression
thermodynamique.
1.4.1.2
Résolution des méthodes à faible nombre de Mach
D’un point de vue mathématique, la simulation d’écoulement à faible nombre de Mach
est similaire à celle des écoulements incompressibles. D’une part, dans l’équation du moment,
la masse volumique est indépendante de la pression dynamique et d’autre part, le champ de
vitesse satisfait une contrainte équivalente à la condition de divergence nulle des équations incompressibles. Par conséquent, l’utilisation d’une méthode numérique qui provient de la classe
des solveurs incompressibles semble être un choix naturel pour résoudre ces problèmes où les
vitesses restent petites devant la vitesse du son. L’algorithme de résolution dit de projection, qui
est le plus utilisé pour les méthodes à faible nombre de Mach, est décrit ci-après et se déroule
en deux étapes, une étape de prédiction et une étape de correction :
1. On résout les équations pour l’énergie et les fractions massiques afin d’obtenir les champs
de température et de concentration pour le pas de temps suivant.
2. Avec l’équation d’état on calcule le champ de densité du pas de temps suivant.
3. Prédiction : on ne tient pas compte du gradient de pression (∇P = 0) afin d’obtenir une
vitesse approchée U ∗ tel que :
∂ρ Ui Uj ∂ τij
∗
n
+
(1.21)
(ρ Uj ) − (ρ Uj ) = δt −
∂xi
∂xi
4. On cherche le champ de pression en accord avec l’équation de continuité en partant de
l’équation :
ρ Uin+1 − ρ Ui∗ = −δt
∂P (1)
∂xi
(1.22)
42
et ainsi, on obtient une équation de Poisson en appliquant l’opérateur divergence de
chaque coté de l’équation précédente telle que :
∂ 2 P (1)
∂ρ Uin+1 ∂ρ Ui∗
−
= −δt
(1.23)
∂xi
∂xi
∂x2i
5. À partir de l’équation de la conservation de la masse, on obtient la relation :
n+1
∂ρ Uin+1
∂ρ
=−
∂xi
∂t
d’où :
∂ 2 P (1)
=
∂x2i
et finalement :
∂ 2 P (1)
=
∂x2i
∂ρ n+1
∂t
+
δt
∂ρ Uin
∂xi
∂ρ n+1
∂t
+
δt
∂
+
∂xj
∂ρ Ui∗
∂xi
∂ρ Ui Uj ∂ τij
−
+
∂xi
∂xi
(1.24)
(1.25)
(1.26)
6. Correction : on trouve la valeur de U n+1 à partir de l’équation des moments pour que le
champ de vitesse corresponde au champ de pression associé :
ρ U n+1 − ρ U ∗
n+1
= −∇P (1)
∆t
(1.27)
Il est reporté dans la littérature que ces types d’algorithme demeurent instables si le rapport de densité devient trop grand ; pour certains la limite serait un rapport de densité égal à
3 mais pour des simulations d’écoulements dilatables. En effet, il existe des simulations, utilisant l’approximation d’incompressibilité des fluides, d’écoulement liquide/gaz et dans ce cas,
le rapport de densité entre les deux phases est proche de 1000 [57]. Or l’utilisation de fluides
incompressibles ne permet pas de faire varier la densité. Elle reste constante et ne dépend pas
de la température, ni de la concentration des différentes espèces mais uniquement de la phase
(ρgaz ou ρliq ). Il semblerait également, selon certaines études, que les schémas de discrétisation
spatiale et d’intégration temporelle jouent également un rôle important. Les problèmes de stabilité venant de la modélisation de la dérivée temporelle de la densité, Cook et Riley [21] ont
testé différents schémas de dérivée et ont trouvé qu’un schéma d’ordre 2 pour le calcul de la
dérivée temporelle était plus stable qu’un schéma d’ordre 3 et plus généralement qu’un schéma
d’ordre pair est plus stable qu’un schéma d’ordre impair. Afin de remédier à ces problèmes et
simuler des écoulements présentant des rapports de densité plus important, des chercheurs ont
développé d’autres méthodes. Quatre de ces méthodes sont décrites dans la partie suivante et
présentées plus en détails en annexe D.
1.4.2
43
Détails de quelques méthodes utilisant l’approximation à faible nombre
de Mach
Les méthodes à faible nombre de Mach que nous présentons dans cette partie permettent,
d’après leurs auteurs, de simuler des écoulements dilatables présentant des rapports de densité
supérieurs aux différentes méthodes que l’on peut trouver dans la littérature ou qui sont considérés comme étant plus stables. En général, le rapport de densité maximum qu’ils ont testé est
proche de 10. Il n’a pas été trouvé dans la littérature de simulations Low Mach à des pressions
supérieures à la pression atmosphérique. Autre constatation : l’équation d’état utilisée pour les
simulations est toujours l’équation d’état des gaz parfaits ; la pression étant faible, l’utilisation
d’une équation d’état pour les gaz réels n’est pas nécessaire. Les méthodes qui sont présentées
ci-dessous sont détaillées en annexe D.
Tout d’abord, nous allons présenter la méthode développée par Pierce et Moin [70]. Initialement développée par Kim et Moin [45] pour des écoulements à densité constante, cette méthode
a été étendue aux cas dilatables. C’est une extension de la méthode de projection classique mais
appliquée à un maillage décalé dans le temps et dans l’espace. Ainsi, la vitesse se trouve décalée de la densité en fonction de leur rôle dans l’équation de la continuité. Les autres variables,
comme la pression, sont situées au même point que la densité. L’avantage de décaler la vitesse
en temps et en espace est que cette méthode permet d’accro^ıtre la stabilité et la précision de
l’équation de continuité. En effet, on utilise les schémas de différences centrées sur un pas ∆
au lieu de 2∆ pour la dérivée temporelle de la densité et la dérivée spatiale pour la vitesse. De
plus, le gradient de pression utilisé dans l’équation du moment, est localisé sur le même nœud
que la vitesse, ce qui améliore la stabilité. L’autre intérêt de cet algorithme est la méthode de
résolution. L’avancement en temps s’effectue par une méthode itérative afin de vérifier que la
masse soit conservée. Pierce signale qu’en itérant seulement deux fois cela permet d’obtenir
une précision d’ordre 2 en temps. En pratique, un écoulement présentant un faible gradient de
densité aura besoin de 2 ou 3 itérations alors que pour des écoulements avec des gradients de
densité plus importants, 4 ou 5 itérations seront nécessaires. L’algorithme de résolution est détaillé en annexe où on trouvera également les détails des autres méthodes.
La configuration testée par Pierce est un jet coaxial dans un maillage cylindrique à trois dimensions. Les différentes simulations ont pour but de tester différents modèles de chimie (quatre
modèles en tout). Cependant, le rapport entre la température maximum et minimum n’excède
pas 2 d’où un très faible rapport de densité. Les équations sont résolues dans un solveur LES.
Pierce note que la densité déterminée à partir de l’équation d’état n’est pas équivalente, numé-
=0
riquement parlant, à la densité déterminée par l’équation de conservation de la masse Dρ
Dt
à cause des erreurs dues à l’approximation numérique de l’opérateur dérivée matérielle. En
condition bas nombre de Mach, la densité est déterminée par l’équation d’état, l’équation de
continuité agissant comme une contrainte sur la vitesse entra^ınant une divergence du champ
de vitesse. Ces problèmes ont été étudiés par Nicoud [59]. Il explique qu’il est primordial que
la masse soit conservée ainsi que l’énergie cinétique. D’après lui, un schéma numérique qui
44
conserve l’énergie cinétique ne peut être instable. Nous allons présenté l’algorithme qu’il a développé en utilisant une équation de Poisson avec des coefficients variables.
La méthode introduite dans le code de DNS utilisé par Nicoud a permis de simuler un
écoulement de canal plan en 3 D avec des murs isothermes dont le rapport température varie de 1.01 jusqu’à 10. L’auteur signale ne pas avoir testé des rapports de température supérieurs car cela n’était pas utile en combustion. C’est une simulation numérique directe avec un
maillage 120×100×120. L’intégration temporelle se fait par un schéma semi-implicite AdamsBrashforth/Crank-Nicolson et il utilise un maillage décalé. Pour la discrétisation spatiale, l’auteur utilise un schéma différence centrée et une interpolation du quatrième ordre pour les variables situées sur les nœuds intermédiaires (comme la densité) ce qui lui assure une grande
précision. Les autres intérêts de cette méthode sont l’utilisation d’une équation de Poisson à
coefficients variables et la détermination du champ de vitesse (cf Annexe D).
Dans son manuscrit de thèse, Benteboula [10] présente différentes procédures adaptées aux
écoulements dilatables à faible nombre de Mach en testant différents schémas d’intégration
temporelle. Quatre algorithmes sont présentés :
– Un schéma explicite Adams-Brashforth. Cet algorithme est bien adapté pour des simulations dont le rapport de densité reste inférieur à 3.
– Un schéma prédicteur-correcteur Adams-Brashforth/Adams-Moulton pour lequel de plus
grands rapports de densité semblent accessibles (jusqu’à 10 dans la thèse) en utilisant un
algorithme dans lequel l’étape de prédiction utilise deux sous pas de temps. L’intégration
en temps est effectuée avec un schéma Adams-Brashforth d’ordre 2. La correction est
basée sur une intégration de type Crank-Nicolson avec inversion de l’équation de poisson
pour la pression à chaque étape.
– Un schéma semi-implicite Adams-Brashforth/Crank-Nicolson avec schéma d’Euler explicite pour l’équation de la masse volumique. Pour cet algorithme, le schéma d’avancement en temps pour l’équation de continuité est le même et une méthode à pas fractionnaire avec un schéma semi implicite est appliquée à l’équation de quantité de mouvement.
– Un schéma explicite Adams-Brashfort avec schéma d’Euler explicite pour l’équation de
la masse volumique.
L’auteur a implémenté ces algorithmes dans son code de calcul afin de simuler un anneau de vorticité à masse volumique variable. Des simulations avec de grands rapports de masse volumique
allant de 0.1 à 10 ont été réalisées avec succès en configuration tridimensionnelle en coordonnée
cylindrique. Elle utilise un maillage décalé de type MAC (Marker And Cell). La discrétisation
spatiale est assurée par un schéma différence finie tandis que la discrétisation temporelle dé-
pend de l’algorithme utilisé. Selon Benteboula, les maillages décalés présentent des propriétés
mathématiques et physiques qui les rendent attractifs pour résoudre les équations de NavierStokes sous leurs formes incompressibles. En effet, ils n’engendrent pas d’oscillations parasites
de pression, évitant ainsi d’introduire des termes de stabilisation pour la pression. Ces propriétés restent valables dans le cas d’écoulement à faible nombre de Mach. Ils sont souvent utilisés
en combinaison avec une méthode d’intégration à pas de temps fractionnaire et ont l’avantage
de faciliter le couplage entre les champs de pression et de vitesse.
Enfin, Lessani et Papalexandris ont développé une méthode similaire à la méthode de projection en ajoutant une correction supplémentaire. Pour tester leur modèle, les auteurs ont simulé
un écoulement de canal avec présence d’un gradient de température dans un maillage colocalisé
en trois dimensions dans un solveur LES. La discrétisation spatiale est assurée en utilisant un
schéma différence centrée d’ordre 2 ou 4 pour les termes de diffusion tandis que les termes
convectifs sont modélisés via une méthode de flux auxiliaires d’ordre 2 ou 4 également. Les
équations de conservation sont résolues sous forme discrète exceptée l’équation du moment qui
est résolue sous forme conservative. L’algorithme de calcul est le suivant :
– Prédiction :
1. Calcul de la température T ∗ à partir de l’équation de l’énergie.
2. Calcul de ρ∗ à partir de l’équation d’état.
3. Détermination de P (1)∗ et U ∗ en utilisant la méthode de projection classique.
4. Calcul de la fraction massique Yi∗ avec l’équation de conservation des espèces.
– Correction :
1. Calcul de de la température T n+1 à partir de l’équation de l’énergie.
2. Calcul de ρn+1 à partir de l’équation d’état.
3. Détermination de P (1)n+1 et U n+1 en utilisant la méthode de projection classique.
4. Calcul de la fraction massique Yin+1 avec l’équation de conservation des espèces.
5. La température est réintégrée entre le temps n et n+1 en réeffectuant les étapes de n
à ∗ en utilisant ρn+1 , U n+1 et T n puis de ∗ à n + 1 comme dans l’étape de correction.
La réintégration de la température permet, selon les auteurs, de mieux conserver l’énergie. Initialement, cette réintégration a été proposée pour toutes les équations de conservation. L’auteur
signale également ne pas avoir rencontré de problèmes liés aux instabilités notamment grâce à
l’utilisation de la technique de prédiction-correction à pas de temps fractionnaire, grâce également à l’utilisation des équations de conservation pour déterminer les variables de l’écoulement
45
46
au lieu de leur dérivée temporelle et enfin par l’utilisation de cette séquence particulière pour
le calcul des grandeurs thermodynamiques. Le code numérique utilisé permet ainsi de tenir de
forts gradients de température (et donc de densité) avec un rapport de 9, au moins. Il signale
qu’il existe tout de même une limite qui dépend de la résolution spatiale et temporelle ainsi que
des valeurs des nombres de Reynolds, Prandtl et Schmidt. De même, Sandoval signale également qu’en baissant le nombre de Reynolds il est possible d’augmenter le rapport de densité.
À travers cette première partie, nous avons présenté les difficultés inhérentes aux simulations numériques appliquées au cas de l’injection et du mélange dans un moteur de fusée. Le
faible nombre d’expériences, permettant de reproduire en laboratoire les conditions présentent
au cœur de la chambre de combustion, limitent les connaissances des scientifiques dans le domaine et c’est pourquoi des études numériques ont été et sont actuellement mises en place par
les agences spatiales. Certaines de ces simulations numériques ont été détaillées que ce soient
des simulations LES, DNS ou RANS. Cinq simulations différentes, regroupées au sein d’une
même étude, ont été comparées afin d’en extraire un comportement global. Les résultats issus
de cette étude montrent que l’utilisation des codes LES ou RANS ne présentent aucune similarité dans les résultats. Une des causes serait due aux modèles de sous-maille, utilisés pour des
applications à haute pression alors qu’ils ont été initialement développés pour des cas à faible
pression. Les premiers tests montrent donc l’importance de mieux conna^ıtre les différentes inconnues du problème. Pour cela, l’approche DNS est un outil précieux (comme Bellan et al).
Les vitesses d’injection des réactifs étant faibles par rapport à la vitesse du son, notre choix c’est
donc porté sur un formalisme à faible nombre de Mach. Enfin, une dernière difficulté vient du
formalisme à faible nombre de Mach appliqué à des écoulements présentant de forts gradients
de densité. Comme on l’a présenté en dernière partie, les rapports maximum de densité testés
en formulation Low Mach n’excèdent pas 10 alors que le rapport de densité, dans les conditions
qui nous intéressent, est supérieur à 100.
Mais avant de présenter le code de simulation numérique directe utilisé pour cette étude,
nous détaillons dans le deuxième chapitre les modèles qui ont été introduits afin de calculer les
grandeurs thermodynamiques (densité, enthalpie, capacités thermiques, etc) ainsi que les coefficients de transport utilisés dans les équations de conservation (viscosité, conductivité thermique,
coefficients de diffusion d’espèces). En effet, dans les conditions spécifiques aux moteurs fusée,
les lois des gaz parfaits ne sont plus utilisables et il a fallu les remplacer par des modèles plus
précis, surtout pour le calcul de la densité.
Chapitre 2
Modélisation des grandeurs
thermo-physiques d’un fluide soumis à une
pression élevée
À travers ce chapitre, on présente les différents modèles qui ont été introduits dans le code
de simulation afin de calculer les variables thermodynamiques et les grandeurs physiques nécessaires pour résoudre les équations de transport. Toutes ces grandeurs, déjà présentes dans le
code Asphodèle, sont calculés mais uniquement avec des modèles gaz parfaits. Or, l’augmentation de la pression jouant un rôle important à l’échelle moléculaire, les effets de gaz réels ne
peuvent par conséquent plus être négligés.
Afin de pouvoir être utilisées dans les conditions qui nous intéressent, c’est à dire dans des
milieux à pression ambiante élevée, il a fallu dans un premier temps revoir toutes les lois déjà
intégrées au code en commençant par les grandeurs thermodynamiques comme la densité, l’enthalpie, etc. Ces lois sont d’abord présentées dans le cas d’une espèce pure et dans un deuxième
temps, nous étudierons le cas du mélange binaire en introduisant les règles de mélange correspondantes. Nous déterminerons ensuite l’équilibre liquide-vapeur d’un mélange binaire d’un
milieu à pression élevé afin de conna^ıtre les conditions d’existence d’une phase (liquide, vapeur
ou supercritique). La dernière partie de ce chapitre est consacrée aux coefficients de transport
et aux choix qui ont été les nôtres pour l’étude du mélange O2 /H2 .
2.1
2.1.1
Modélisation des grandeurs thermodynamiques
La densité et les équations d’état
Comme on peut l’observer sur un diagramme de phase (figure 2), un corps pur se trouve
dans un état plutôt qu’un autre en fonction de variables thermodynamiques comme la tempéra-
48
Modélisation des grandeurs thermo-physiques d’un fluide soumis à une pression élevée
ture, la pression extérieure ou le volume occupé par le corps en question. Il existe une relation
qui permet de relier ces variables entre elles : cette relation est connue sous le nom d’équation
d’état. C’est à partir de l’équation d’état que sera déterminée la masse volumique qui sera à son
tour utilisée dans les équations de transport, pour le calcul des autres grandeurs thermodynamiques, pour le calcul des coefficients de transport, etc.
L’utilisation d’une équation pour déterminer les propriétés volumétriques et thermodynamiques des corps purs et des mélanges de corps purs fait l’objet de recherches par les thermodynamiciens depuis plus d’un siècle. En effet, depuis que Van der Waals a proposé sa célèbre
équation d’état, un nombre très important de publications a vu le jour. Avec le développement
de l’informatique, l’utilisation d’expressions analytiques de plus en plus complexes permet la
prédiction des propriétés thermodynamiques avec d’avantage de précision. Voici une présentation de plusieurs familles d’équations d’état disponibles dans la littérature.
2.1.1.1
Équation d’état des gaz parfaits
L’équation d’état la plus connue est l’équation des gaz parfaits qui découle de la loi de
Boyle-Mariotte :
Pv = RT
(2.1)
où P est la pression du gaz, v son volume molaire, T sa température et R est la constante universelle des gaz parfaits. Un gaz parfait est, par définition, un gaz dans lequel les interactions
entre les molécules qui le constituent sont nulles (interactions électromagnétiques, potentielles,
etc). Ces molécules doivent donc être suffisamment éloignées les unes des autres ; la pression du
milieu doit être relativement faible. Cette équation d’état ne s’applique qu’aux phases gazeuses
très diluées. Il a donc fallu introduire de nouvelles relations pouvant s’appliquer aussi bien aux
gaz dilués qu’aux phases liquides qui sont bien plus denses.
2.1.1.2
Équations d’état cubiques
La première grande équation d’état des gaz réels est l’équation de Van Der Waals proposée
en 1873. Cette équation fait partie de la famille des équations d’état dites cubiques dont la forme
générale est la suivante :
P =
a
RT
− 2
v − b v + u b v + w b2
(2.2)
où v est le volume molaire et les paramètres u et w sont des constantes qui caractérisent les
différentes équations d’état (cf. tableau 2.1). Contrairement à l’équation des gaz parfaits qui
ne tient pas compte des interactions entre les atomes ou les particules, les équations cubiques
2.1 Modélisation des grandeurs thermodynamiques
49
corrigent cette approximation et peuvent ainsi traiter aussi bien l’état liquide que gazeux. Cette
correction est contenue dans les paramètres a et b de l’équation 2.2. C’est Van der Waals qui a
proposé ces modifications par rapport à la loi des gaz parfaits en tenant compte des interactions
d’attraction et de répulsion entre les molécules. Dans un fluide, les molécules, ayant une certaine
taille et vu leur très grand nombre N , occupent un volume propre : Vb = N × b avec b le
covolume qui représente le volume occupé par une molécule. De plus, au sein du fluide il existe
des interactions mutuelles d’attraction, d’où l’introduction d’un terme correctif appelé pression
interne a. Ces deux paramètres dépendent de la nature du gaz et de l’équation d’état considérée
mais également des température et pression critiques notées respectivement Tc et Pc et, pour
certains, du facteur acentrique de Pitzer ω. Leurs expressions pour les différentes équations
d’état sont résumées dans le tableau 2.1 où Tr et Pr sont définis de la manière suivante :
P
Pc
T
=
Tc
Pr =
(2.3)
Tr
(2.4)
En introduisant un nouveau paramètre Z, appelé le facteur de compressibilité défini par la
relation :
Z=
Pv
RT
(2.5)
et en remplaçant v dans l’équation 2.2 par l’expression 2.5, on peut réécrire l’équation d’état
sous la forme d’un polynôme du troisième degré (d’où le nom d’équation cubique) :
Z 3 − (1 + B − u B)Z 2 + (A + w B 2 − u B − u B 2 )Z − A B − w B 2 − w B 3 = 0
(2.6)
avec A et B tels que :
A =
aP
R2 T 2
(2.7)
B =
bP
RT
(2.8)
Le facteur de compressibilité précédemment introduit représente l’écart entre l’équation d’état
des gaz réels et le modèle des gaz parfaits. Dans le cas des gaz parfaits, Z est égal à 1 ce qui
permet de retrouver l’expression de la loi de Boyle-Mariotte (équation 2.1). Van der Waals a
constaté que pour des fluides simples avec des molécules sphériques comme les gaz rares et le
méthane, le facteur de compressibilité ne dépend que des paramètres réduits Tr et Pr tels que :
Z = f (Tr , Pr )
(2.9)
50
Équation
u
w
a
b
Van der Waals
0
0
27 R2 Tc2
64Pc
R Tc
8Pc
Redlich-Kwong
1
0
0.42748 R2 Tc2.5
Pc T 0.5
0.08664 R Tc
Pc
0.42748 R2 Tc2
[1 + f (ω)(1 − Tr0.5 )]2
Pc
Redlich-Kwong-Soave
1
0
avec f (ω) = 0.48 + 1.574 ω − 0.176 ω 2
0.45724 R2 Tc2
[1 + f (ω)(1 − Tr0.5 )]2
Pc
Peng-Robinson
2
-1
avec f (ω) = 0.37464 + 1.54226 ω − 0.26992 ω 2
0.08664 R Tc
Pc
0.07780 R Tc
Pc
TAB . 2.1 – Les différentes équations d’état cubiques.
Ainsi, toutes substances ayant les mêmes coordonnées réduites (Tr , Pr ) auront le même facteur
de compressibilité Z : c’est la loi des états correspondants. Cependant, pour des molécules non
sphériques, il a été constaté une déviation par rapport à la loi des états correspondants, d’où la
nécessité d’introduire un troisième paramètre qui tient compte de la non sphéricité de la molécule. Plusieurs paramètres ont été proposés mais le plus utilisé demeure le facteur acentrique de
Pitzer ω [71, 72] défini par la relation :
ω = − log Prsat Tr =0.7 − 1
(2.10)
avec :
Prsat =
P sat
Pc
(2.11)
Prsat correspond à la pression de vapeur saturante réduite calculée à la température réduite
51
Tr = 0.7. Le facteur de compressibilité s’exprime alors par la relation suivante :
Z = Z (0) (Pr , Tr ) + ω Z (1) (Pr , Tr )
(2.12)
Le premier terme de cette égalité Z (0) représente le facteur de compressibilité pour une molécule sphérique alors que Z (1) exprime la déviation par rapport à la sphéricité de la molécule.
Pitzer et al ont tabulé Z (0) et Z (1) comme des fonctions de Pr et Tr [72]. Diverses modifications
et extensions ont ensuite été apportées et présentées dans le livre de Reid et al [77].
Toutes les équations cubiques sont des améliorations de celle de Van der Waals. Dans le
but de mieux représenter les propriétés volumétriques des fluides, Redlich et Kwong [76] ont
proposé une modification empirique du terme d’attraction de Van der Waals en introduisant
une variation du paramètre a avec la température (cf. tableau 2.1). Ceci permet d’améliorer le
calcul des masses volumiques, en particulier en phase vapeur. Par contre, les prédictions de la
masse volumique liquide restent médiocres. Cependant, on a remarqué que les équations d’état
cubiques à deux paramètres ne peuvent représenter avec une précision satisfaisante à la fois le
comportement volumétrique et les tensions de vapeur, et qu’il convient de choisir une priorité.
C’est ce qu’explique Soave [87] en 1972 qui a appliqué l’équation d’état de Redlich-Kwong au
calcul des tensions de vapeur des hydrocarbures en modifiant l’expression du paramètre a devenu fonction de la température et du facteur acentrique de Pitzer ω. En 1976, Peng et Robinson
[69] apportent en plus de la modification du terme d’attraction a, une nouvelle expression pour
le terme de répulsion b. Le progrès est sensible pour le calcul des masses volumiques en phase
liquide. En outre, le facteur de compressibilité critique est mieux estimé.
Les équations de Peng-Robinson (PR) et de Soave-Redlich-Kwong (SRK) sont largement
utilisées dans l’industrie, particulièrement pour le raffinage. Leurs avantages résident dans le
fait qu’elles nécessitent peu de données expérimentales (les coordonnées critiques et le facteur acentrique), un temps de simulation relativement court et surtout qu’elles conduisent à une
bonne estimation des équilibres liquide-vapeur. Par ailleurs, ces équations présentent d’importantes limitations ; par exemple, les densités des liquides ne sont pas correctement évaluées.
Ceci est observable sur les figures 2.1. On remarque sur les graphes que le domaine d’application des équations cubiques est limité aux zones relativement diluées. Dans cette zone, les
résultats obtenus avec l’équation de Peng-Robinson et, dans une moindre mesure, avec celle
de Redlich-Kwong se superposent aux données extraites de NIST [63]. Il en est de même pour
l’équation de Redlich-Kwong-Soave. Dans la phase dense, les résultats sont plus contrastés ;
Peng-Robinson surévalue légèrement la masse volumique tandis que pour Redlich-Kwong c’est
le contraire. Les équations de Redlich-Kwong-Soave et Peng-Robinson sont les mieux adaptées
pour calculer la densité en phase dense comme en phase légère. Ce sont d’ailleurs les plus utilisées.
1600
70
equation de Soave
equation de Peng-Robinson
equation de Redlich-Kwong
Donnees NIST
1400
equation de Soave
equation de Peng-Robinson
equation de Redlich-Kwong
Donnees NIST
60
1200
50
rho (kg/m3)
1000
rho (kg/m3)
52
800
40
30
600
20
400
10
200
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0
0
200
400
600
800
T
1000
1200
1400
1600
1800
2000
T
H2
O2
F IG . 2.1 – Influence de l’équation d’état sur le calcul de la masse volumique pour une pression
de 120 bar.
Équation d’état
1 bar
100 bar
400 bar
Redlich-Kwong-Soave modifiée
Redlich-Kwong-Soave
Peng-Robinson
1.03
1.02
1.02
1.04 × 102
1.07 × 102
1.11 × 102
3.26 × 102
3.21 × 102
3.69 × 102
TAB . 2.2 – Masse volumique (en kg/m3 ) d’un mélange équimolaire O2 /H2 à 200 K pour différentes pressions.
Il est également possible de comparer ces résultats à certains résultats extraits de la littérature. Vigor Yang [102], qui a utilisé une équation d’état du type Redlich-Kwong-Soave modifiée
par Graboski et Daubert, présente des calculs de masse volumique pour différentes pressions et
une température de 200 K pour un mélange équimolaire O2 /H2 (tableau 2.2). On remarque que
quelque soit l’équation choisie, les résultats obtenus sont sensiblement les mêmes excepté pour
des pressions très élevées.
Plusieurs équipes de chercheurs ont essayé de corriger les problèmes rencontrés avec les
équations cubiques. De nombreuses modifications ont alors été apportées sur les équations cubiques en jouant sur les termes d’attraction et de répulsion ce qui a abouti à un nombre élevé
d’équations d’état. Ainsi, on estime à 150 le nombre d’équations cubiques à la fin des années
1980 pour un nombre total d’environ 400 équations d’état [96]. Bien que notre choix ce soit
porté sur les équations cubiques de Redlich-Kwong-Soave et de Peng-Robinson, nous présentons également deux autres familles d’équation d’état que sont les équations à trois paramètres
critiques et les équations du Viriel qui ont aussi été très utilisées.
2.1.1.3
53
Deux autres familles d’équations d’état
Équations d’état à trois paramètres critiques :
Ce sont aussi des équations analytiques mais elles sont plus complexes que les équations
cubiques car elles comportent un troisième paramètre, en plus de la pression critique et de la
température critique, qui est le facteur de compressibilité critique Zc , défini par la relation :
Zc =
Pc vc
R Tc
(2.13)
La forme générale de ces équations d’état est la suivante :
P =
a
RT
−
v − b v (v − b) + c (v − b)
(2.14)
On voit appara^ıtre dans cette équation le troisième coefficient c. Ainsi les expressions des deux
coefficients a et b se trouvent modifiées car elles prennent désormais en compte la valeur de Zc .
Voici leurs expressions :
R2 Tc2
α (TR )
Pc2
R Tc
b = (0.02207 − 0.20868 Zc )
Pc
R Tc
c = (0.57765 − 1.87080 Zc )
Pc
h
i2
p
α (TR ) = 1 + f (ω) (1 − TR )
a = (0.66121 − 0.76105 Zc )
f (ω) = 0.46283 + 3.58230 ω Zc + 8.19417 (ω Zc )2
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Tout comme les équations cubiques, ces équations s’écrivent également en fonction du coefficient de compressibilité afin de retrouver une forme cubique :
Z 3 + (C − 1) Z 2 + A − 2 B C − B 2 − (B + C) Z + B 2 C + B C − A B = 0 (2.20)
avec :
aP
(2.21)
R2 T 2
bP
B =
(2.22)
RT
cP
C =
(2.23)
RT
Cette équation, avec les paramètres a, b et c écrits sous cette forme, est l’équation développée
par Patel et Teja [68] mais il existe d’autres équations à trois paramètres critiques comme celles
de Benedict-Webb-Rubin [9].
A =
54
Équation du Viriel :
Les équations d’état qui ont été proposées précédemment sont toutes des relations empiriques. La seule équation d’état qui reste fondée sur des bases théoriques est l’équation du
Viriel. Cette équation est un développement en série de puissance du facteur de compressibilité
autour du point où fluide réel et gaz parfait se confondent. On écrit alors :
Z=
B
C
Pv
= 1 + + 2 + ...
RT
V
V
(2.24)
où les coefficients B, C, etc, sont appelés respectivement deuxième, troisième, etc, coefficient
du Viriel et sont associés respectivement aux interactions deux à deux, trois à trois, etc. Pour un
fluide pur, les coefficients du Viriel ne dépendent que de la température. Ces développements en
série ne sauraient être considérés comme une équation d’état, puisqu’ils comportent un nombre
infini de termes dont la valeur est inconnue et la sommation impossible. Par contre, leur troncature a donné naissance aux équations d’état du Viriel que l’on caractérise par l’ordre de la
troncature et par la nature du développement dont elles sont dérivées, selon qu’il soit en volume
ou en pression. L’équation, généralement tronquée après le deuxième coefficient, n’est valable
que pour des gaz déviant assez peu du comportement des gaz parfaits.
Ces deux dernières familles d’équations sont plus complexes d’utilisation pour des résultats
assez similaires aux résultats obtenus avec les équations cubiques, comme l’ont montré Curtis
et Farrell [22] ainsi que Reid et al [77], en particulier pour les applications qui nous intéressent.
Seules les équations d’état de Soave-Redlich-Kwong et de Peng-Robinson ont été introduites
dans le code de simulation. La densité n’étant pas la seule grandeur thermodynamique a être
affectée lorsque la pression augmente, on s’intéresse par la suite aux modèles qui permettent
de calculer les autres grandeurs thermodynamiques comme l’enthalpie molaire ou encore les
capacités thermiques qui sont utilisées dans les codes de simulation numérique.
2.1.2
Enthalpie molaire
L’enthalpie molaire est une autre variable thermodynamique qui a une grande importance
dans notre étude. Dans le code de DNS utilisé dans le cadre de cette thèse, c’est l’enthalpie
molaire h qui est transportée (cf. chapitre 3), la température sera déduite à partir de celle-ci. La
précision avec laquelle est déterminée l’enthalpie influe donc directement sur le résultat de la
simulation. Il existe plusieurs méthodes couramment utilisées qui permettent de calculer l’enthalpie comme les modèles JANAF [54] et CHEMKIN [93]. Ces méthodes se présentent sous la
forme d’un polynôme qui est uniquement fonction de la température et dont les coefficients dépendent de l’espèce considérée. Ainsi pour calculer l’enthalpie molaire, il suffit avec la méthode
JANAF de résoudre le polynôme suivant :
log T
T
T2
T3
T4
1
1
(2.25)
+ j3 + j4 + j5
+ j6
+ j7
+ j8
h0 = RT −j1 2 + j2
T
T
2
3
4
5
T
55
avec, pour l’oxygène :
j1
j2
j3
j4
j5
j6
j7
j8
=
=
=
=
=
=
=
=
−3.425563420.104
4.847000970.102
1.119010961
4.293889240.10−3
−6.836300520.10−7
−2.023372700.10−9
1.03904002.10−12
−3.391454870.103
Ces modèles ne sont valables que dans une gamme de pression où l’enthalpie ne dépend que
de la température, souvent proche de la pression atmosphérique. En partant de la définition de
base de la variation d’énergie interne molaire u, on peut ainsi déterminer une expression pour
l’enthalpie valable aux pressions élevées.
du = δq + δw
(2.26)
où δw = −P dv est la variation d’énergie sous forme de travail et δq = cv dT + αl dv est la
variation d’énergie sous forme de chaleur, avec αl , un coefficient calorimétrique, défini par la
relation suivante :
∂P
αl = T
(2.27)
∂T v
l’équation 2.26 devient alors :
∂P
du = cv dT + T
− P dv
∂T v
(2.28)
À partir de la définition de l’enthalpie : h = u + P v, on obtient la forme différentielle :
dh = du + d(P v)
(2.29)
En remplaçant dans l’équation 2.29 du par son expression (cf. équation 2.28), on obtient l’expression de la différentielle d’enthalpie molaire :
∂P
dh = cv dT + T
− P dv + d (P v)
(2.30)
∂T v
En réalisant une transformation depuis un état 1 jusqu’à un état 2, définis par les variables
(v1 , P1 , T1 ) et (v2 , P2 , T2 ) respectivement, on peut alors calculer à partir de l’équation 2.30 la
56
variation d’enthalpie résultant de cette transformation. En choisissant un état dont il est possible
de conna^ıtre la valeur de l’enthalpie, par exemple à basse pression h0 (v0 , P0 , T0 ), l’état 2 correspondra alors à l’enthalpie dont on veux conna^ıtre la valeur à la pression P . Si on considère
la température constante pendant cette transformation, T = T1 = T2 et dT = 0, la variation
d’enthalpie correspondant à cette transformation est :
ZP v
h(T, v, P ) − h0 (T, v0 , P0 ) =
(P v)0
Zv ∂P
− P dv
T
d (P v) +
∂T v
(2.31)
v0
Il suffit d’intégrer l’équation précédente entre les volumes v0 et v et entre les pressions P0 et P .
Pour la première intégration, on obtient facilement :
ZP v
d (P v) = P v − P0 v0
(2.32)
(P v)0
Comme cela a été précisé avant, l’état 0 correspond à un état dont la pression est faible, il satisfait donc aux conditions des gaz parfaits. Ainsi, les différentes grandeurs thermodynamiques
peuvent être calculées avec les relations appliquées aux gaz parfaits comme l’équation d’état :
P0 v0 = R T
(2.33)
on peut donc remplacer P0 v0 par R T dans l’équation 2.32.
Pour calculer
la deuxième intégrale, il faut d’abord déterminer l’expression de la dérivée
∂P
partielle ∂T v . On utilise l’équation d’état des gaz réels, par exemple une équation cubique qui
est définie par la relation :
P =
RT
a
− 2
v − b v + u v b + w b2
(2.34)
À noter que seule la grandeur a dépend de la température (cf. tableau 2.1) et les paramètres u et
w sont des constantes qui dépendent de l’équation d’état cubique choisie (cf. tableau 2.1). On
peut alors déterminer l’expression de ∂P
:
∂T
∂a
∂P
R
∂T v
=
−
(2.35)
∂T v
v − b v 2 + u v b + w b2
− P devient, en soustrayant l’équation 2.34 à l’équation 2.35 multipliée par T :
Ainsi, T ∂P
∂T v
∂P
∂a
1
T
−P =
T −a
(2.36)
∂T v
∂T
v 2 + u v b + w b2
57
et la deuxième intégrale s’écrit :
Zv Zv 1
∂P
∂a
T
− P dv =
T −a
dv
∂T v
∂T
v 2 + u v b + w b2
(2.37)
v0
v0
Les détails des dérivées partielles de certaines variables de l’équation des gaz réels de Peng
∂a
Robinson (dont le terme ∂T
) sont détaillés en annexe C. Le terme présent dans l’intégrale peut
également s’écrire :
v2
1
1
√
ih
√
i
= h
2
2
2
+ uvb + wb
v + u+ u2 −4 w b v + u− u2 −4 w b
(2.38)
Le résultat est une fraction avec au dénominateur une multiplication de deux facteurs que l’on
nomme F1 et F2 tels que :
√
u + u2 − 4 w
F1 = v +
b
(2.39)
2
√
u − u2 − 4 w
F2 = v +
b
(2.40)
2
Ainsi :
1
1
F1 − F2
=
F1 F2
F1 − F2 F1 F2
F2
1
F1
−
=
F1 − F2 F1 F2 F1 F2
1
1
1
=
−
F1 − F2 F2 F1
Or :
u+
√
F1 − F2 = v +
√
= b u2 − 4 w
u2 − 4 w
2
b−v−
u−
√
(2.41)
(2.42)
(2.43)
u2 − 4 w
2
b
(2.44)
(2.45)
Donc :
v2
1
1
= √
×
2
2
+ uvb + wb
b u − 4w


1
1

√
−
√

2
u− u −4 w
u+ u2 −4 w
v+
b v+
b
2
2
(2.46)
58
On remplace l’équation précédente dans l’équation 2.37 pour calculer la seconde intégrale et,
en sortant le terme b√u22−4 w , qui ne dépend pas du volume, de l’intégrale, on obtient :
Zv ∂P
∂a
1
T
− P dv =
T −a √
×
2
∂T
∂T
b u − 4w
v0


Zv
1
1

−
 dv (2.47)
√
√
2
u− u −4w
u+ u2 −4w
b v+
b
v+
2
2
v0
F1 (v)
Si on considère une fonction logarithmique log F2 (v) , avec F1 et F2 qui dépendent tous deux
de v, la dérivée de cette fonction par rapport à v est :
0
F1
F10 F20
ln
−
(2.48)
=
F2
F1 F2
Par analogie entre les équations 2.48 et 2.47, on déduit que :
Zv ∂a
1
∂P
− P dv =
T −a √
×
T
∂T
∂T
b u2 − 4 w
v0
√
v
 
2
v + u− u2 −4w b
ln 
√

u+ u2 −4w
v+
b
2
(2.49)
v0
La dernière étape consiste à calculer
 
ln 
v+
v+
v
√
u− u2 −4w
b
2
√

u+ u2 −4w
b
2
v0
et comme on considère que dans les conditions (P0 , v0 ) on peut utiliser les lois des gaz parfaits,
alors v0 qui est le volume occupé par le gaz est très supérieur à b, le volume occupé par les
molécules. En effet, lorsque la pression est faible, les molécules sont suffisamment éloignées
pour qu’il n’y ait pas d’interaction entre elles ce qui n’est pas le cas lorsque la pression est
élevée. Ainsi v0 b et donc :
v
√

√

 
u− u2 −4w
u− u2 −4w
b
v+
b
v+
2
2
v0




ln 
√
√
≈ ln
− ln
(2.50)
2
2
v0
v + u+ u −4w b
v + u+ u −4w b
2
v0

≈ ln 
v+
v+
2

√
u− u2 −4w
b
2
√

u+ u2 −4w
b
2
(2.51)
59
25000
25000
20000
20000
15000
15000
h (J/mol)
h (J/mol)
10000
5000
10000
5000
0
−5000
200
0
400
600
T (K)
800
−5000
200
1000
400
O2
600
T (K)
800
1000
H2
F IG . 2.2 – Enthalpie molaire de l’oxygène et de l’hydrogène en fonction de la température
pour une pression de 100 bar. On a utilisé l’équation d’état de Peng-Robinson pour calculer les
paramètres u et w. La droite correspond aux valeurs calculées avec le modèle des gaz réels et
les ronds rouges représentent les valeurs extraites du NIST [63].
Finalement, la variation d’enthalpie molaire, à une température fixée T , entre (P0 , v0 ) et (P, v)
permet de calculer h si on connait h0 , tel que :
h (T ) = h0 (T ) + P v − R T +
∂a
T
∂T v
√
b u2 −
−a
4w
!

ln 
v+
v+

√
u− u2 −4w
b
2

√
u+ u2 −4w
b
2
(2.52)
où h0 (T ) est l’enthalpie à la pression de référence (calculée ici à la pression de 1bar) et à la
température T . La valeur de h0 est obtenue en utilisant par exemple les tables JANAF [54].
Il est possible de comparer les résultats trouvés à partir de ce modèle aux données des tables
NIST [63]. Ainsi, sur les graphes de la figure 2.2 est présentée l’évolution de l’enthalpie molaire
de l’oxygène et de l’hydrogène en fonction de la température et pour une pression ambiante de
100 bar. À partir de ces graphes, on remarque que les résultats obtenus avec le modèle physique
et les données du NIST sont assez proches surtout pour des températures élevées et donc proche
des conditions de gaz parfaits. Dans ce cas, la fonction logarithmique s’annule et P v −R T = 0,
on retrouve bien h (T ) = h0 (T ). Les effets de gaz réels apparaissent lorsque la température
devient faible car, en dessous de 200 K, on observe alors un changement dans la linéarité de
la courbe. En effet, dans ces conditions, l’enthalpie tient également compte des effets de la
pression sur le volume occupé par le fluide et des interactions entre les molécules.
60
2.1.3
Capacités calorifiques
Les capacités calorifiques Cp et Cv peuvent, comme l’enthalpie, être déterminées par le biais
d’un polynôme JANAF :
Cp0 = R −j1 T −2 + j2 T −1 + j3 + j4 T + j5 T 2 + j6 T 3 + j7 T 4
(2.53)
Dans l’équation 2.53, les coefficients sont les mêmes que pour l’équation 2.25 et dépendent
uniquement de l’espèce considérée. Dans ces conditions, l’effet induit par les hautes pressions
n’est pas prise en compte et le résultat est une valeur à pression atmosphérique. Afin de déterminer une valeur plus précise qui tienne compte des effets de la pression, on utilise la définition
de l’enthalpie molaire :
dh = δq + δw + P dv + vdP
(2.54)
δq = cp dT + αh dP
(2.55)
δq est défini tel que :
où αh est un coefficient calorimétrique défini par la relation suivante :
αh = −T
∂v
∂T
(2.56)
P
On a alors :
dh = cp dT + (αh + v) dP
(2.57)
Ainsi en dérivant l’enthalpie molaire par rapport à la température pour une pression donnée :
cp =
∂h
∂T
(2.58)
P
En utilisant l’expression 2.52 pour le calcul de la dérivée, on obtient :
cp = cp 0 − T
∂P 2
∂T ∂P
∂v
−R−T
2


v+
∂ a
1
√
ln 
2
2
∂T
b u − 4w
v+

√
u− u2 −4w
b
2
√

u+ u2 −4w
b
2
(2.59)
61
Pour déterminer la valeur de cv , l’équation couramment utilisée cp − cv = r n’est plus
valable à pression élevée. Alors, à partir des différentes définitions de la chaleur :
δq = cv dT + αl dv
(2.60)
δq = cp dT + αh dP
(2.61)
δq = λ dP + αµ dv
(2.62)
et en remplaçant dP de l’équation 2.61 par l’expression suivante :
∂P
∂P
dT +
dv
dP =
∂T v
∂v T
on obtient la relation :
∂P
∂P
dT + αh
dv
δq = cp dT + αh
∂T v
∂v T
∂P
∂P
=
cp + αh
dT + αh
dv
∂T v
∂v T
(2.63)
(2.64)
(2.65)
Par identification entre les équations 2.65 et 2.61, on a :
−αh =
cp − cv
∂P
∂T
αh = −T
∂v
∂T
(2.66)
(2.67)
On trouve ainsi la relation qui relie cp et cv :
cp − cv = T
∂P ∂v
∂T ∂T
(2.68)
Ensuite, en utilisant la relation mathématique :
∂P ∂v
∂T ∂T
∂P ∂v ∂P
∂T ∂P ∂T
2
∂v
∂P
=
∂T
∂P
∂P 2
=
= −
∂T
∂P
∂v
(2.69)
(2.70)
(2.71)
70
30.5
30
60
Cp (J/(K.mol))
Cp (J/(K.mol))
62
50
40
30
200
29.5
29
28.5
400
600
T (K)
800
1000
28
200
O2
400
600
T (K)
800
1000
H2
F IG . 2.3 – Capacité thermique à pression constante de l’oxygène et de l’hydrogène en fonction
de la température pour une pression de 100 bar. On a utilisé l’équation d’état de Peng-Robinson
pour calculer les paramètres u et w. La droite correspond aux valeurs calculées avec le modèle
des gaz réels et les ronds rouges représentent les valeurs extraites du NIST [63].
On a finalement :
cv = cp + T
∂P 2
∂T
∂P
∂v
(2.72)
La relation cp0 − cv0 = R est toujours valable à pression atmosphérique et en remplaçant cp par
son expression (équation 2.59), on otient :
√



u− u2 −4w
v
+
b
2
2
1
∂ a


√
ln
(2.73)
cv = cv 0 − T
√
u+ u2 −4w
∂T 2 b u2 − 4 w
v+
b
2
On présente sur les images de la figure 2.3, l’évolution de la capacité thermique à pression
constante de l’oxygène et de l’hydrogène en fonction de la température et pour une pression
ambiante de 100 bar. On constate sur ces graphes que les valeurs calculées par le modèle des
gaz réels sont proches des valeurs de référence dans cet intervalle de température.
2.1.4
Vitesse du son
L’expression de la vitesse du son est, elle aussi, modifiée lorsqu’on tient compte des effets
de gaz réels. Elle est définie telle que :
r
1
(2.74)
c=
ρ χs
63
où χs est le coefficient de compressibilité isentropique et est défini par la relation suivante :
χs = χT −
v T χ2v
cp
(2.75)
avec χT et χv respectivement le coefficient de compressibilité isotherme et le coefficient de
dilatation définis par les relations :
χT = −
χv = −
2.1.5
1
v
∂P
∂v
∂P
∂T
v ∂P
∂v
(2.76)
(2.77)
Le mélange binaire
La forme sous laquelle les modèles physiques ont été présentés ne peut s’appliquer qu’aux
substances pures. Or dans notre étude, on s’intéresse au mélange de deux espèces. Un mélange
peut être considéré comme étant idéal ou non. Dans le cas d’un mélange idéal de gaz parfaits,
les variations d’énergie interne et d’enthalpie dues au mélange sont nulles et le volume du
mélange est égal à la somme des volumes des constituants purs. N’utilisant pas la théorie des
gaz parfaits, il a faut introduire de nouvelles règles de mélange appliquées au cas des gaz réels.
Ce sont des corrélations empiriques qui ont été validées avec des données expérimentales et
qui représentent le comportement global des différents constituants du mélange. Ce qui revient
alors à considérer le mélange comme une seule espèce mais qui possède les propriétés des
constituants du mélange.
2.1.5.1
Équation d’état appliquée au cas d’un mélange
Dans le cas de l’équation d’état et plus particulièrement des équations cubiques, les règles de
mélange s’appliquent uniquement aux paramètres a et b de l’équation 2.6 qui eux seuls tiennent
compte de la nature du constituant. Elles s’écrivent (d’après Reid et al [77]) :
q
XX
(2.78)
am =
Xi Xj (ai aj )(1 − kij )
i
bm =
X
j
X i bi
(2.79)
i
où ai et bi sont les paramètres de l’équation d’état pour l’espèce i, am et bm sont ceux du
mélange et Xi est la fraction molaire du constituant i. La valeur du coefficient d’interaction
binaire kij est déterminée grâce aux données expérimentales sur l’équilibre liquide-vapeur mais
il est considéré comme nul lorsque les constituants du mélange sont semblables chimiquement,
64
ce qui est le cas entre O2 et H2 . Ainsi l’expression générale pour les équations d’état cubiques
devient :
P =
2.1.5.2
am
RT
− 2
v − bm v + u bm v + w b2m
(2.80)
Enthalpie molaire d’un mélange
Pour ce qui est de l’enthalpie molaire, le raisonnement est le même que pour l’équation
d’état. D’ailleurs, dans l’équation 2.52, les seules variables qui dépendent des espèces sont le
volume molaire vm et les paramètres a et b de l’équation d’état. Ainsi l’expression de l’enthalpie
molaire d’un mélange est :
√

! 
u− u2 −4w
∂am
vm +
bm
T − am
2
∂T vm
√
 (2.81)
√
ln
hm = h0 (T )+P vm −RT +
2
bm u2 − 4w
vm + u+ u2 −4w bm
De plus, dans l’équation de conservation de l’énergie, il est nécessaire de conna^ıtre la valeur
de l’enthalpie molaire de chacune des espèces, c’est à dire l’enthalpie molaire partielle h,i .
Pour cela on utilise les propriétés molaires partielles telles que, si on considère une variable
quelconque F dépendant de la température, de la pression et de la concentration, on a :
dF =
∂F
∂T
dT +
P,ni
∂F
∂P
dP +
T,ni
N X
∂F
i=1
∂ni
P,T,nj6=i
dni
(2.82)
Si les variables P ,T ,ni sont indépendantes, on peut introduire une nouvelle variable fi :
∂F
fi =
(2.83)
∂ni P,T,nj6=i
∂
∂ni
Ainsi, on détermine la valeur h,i en appliquant la dérivée partielle molaire
obtient :
v,i − v bbmi
∂am
h,i = h0,i + P v,i − R T + am − T
+
∂T v 2 + 2 v bm − b2m
√


u− u2 −4w
v
+
bm
m
2
1
√
×
√
ln 
2
bm u2 − 4 w
vm + u+ u −4w bm
à hm et on
2
∂am
∂ 2 am
∂am bi
−T
− am − T
∂Xi
∂Xi ∂T
∂T bm
(2.84)
2.2 L’équilibre liquide-vapeur d’un mélange binaire
2.1.5.3
65
Capacité thermique et vitesse du son dans un mélange
Pour le calcul de la capacité thermique d’un mélange, la méthode est la même que pour la
densité ou l’enthalpie molaire, c’est à dire considérer le fluide comme une seule espèce dont on
applique les propriétés des constituants. Ainsi, les variables qui dépendent de la composition
(masse molaire, coefficient a et b de l’équation d’état, etc) sont utilisées afin de déterminer cp et
cv ou la vitesse du son.
2.2
L’équilibre liquide-vapeur d’un mélange binaire
Lorsqu’on est en présence d’un mélange de deux ou plusieurs espèces, le diagramme de
phase classique comme celui de la figure 2 n’est plus valable et prend une forme différente en
fonction du nombre d’espèces. C’est pourquoi il est important de conna^ıtre l’état d’un fluide en
fonction des grandeurs physiques du milieu afin de prévoir la présence d’une interface.
2.2.1
La règle de phase de Gibbs
La règle de phase proposée par Gibbs fournit une relation générale entre le degré de liberté
d’un système, le nombre de phase et de constituants. Cette règle permet de conna^ıtre le nombre
de variables que l’on peut faire varier sans modifier le nombre de phases. Pour calculer le degré
de liberté (ou variance) associé à cet équilibre, on utilise l’expression donnée par Gibbs :
V = ne + 2 − np
(2.85)
avec V la variance, ne le nombre d’espèces mises en jeu et np , le nombre de phases. Pour un
mélange binaire diphasique, np = 2, ne = 2 alors V = 2. Il a donc deux degrés de liberté. Si
on considère que la pression reste constante dans tout le domaine, la variance passe de deux à
un seul degré de liberté. Cela signifie que la température et une variable autre que la pression
ne peuvent varier indépendamment les unes des autres. Il faut donc introduire une nouvelle
variable permettant de décrire le mélange : la fraction molaire X d’un des deux composants.
2.2.2
Démonstration de l’équilibre liquide-vapeur
Nous rappelons tout d’abord l’intérêt de l’enthalpie libre G qui nous permettra de déterminer l’équilibre liquide-vapeur. L’enthalpie libre, dont la définition est donnée en annexe A.6,
est un potentiel thermodynamique et pour tout système à l’équilibre il est nécessaire que ce
potentiel soit minimum mais également constant. L’équilibre d’un système est donc défini par
la relation d G = 0.
On considère ensuite un système S à l’équilibre thermodynamique et fermé, composé de
deux sous systèmes Sl et Sg qui décrivent les phases liquide et gazeuse respectivement et tous
66
deux composé d’oxygène et d’hydrogène. La variation d’enthalpie libre du système S est :
d G = d (Gl + Gg ) = d Gl + d Gg
=
X ∂Gl
∂ni
i
=
X
i
!
d ni
X ∂Gg
+
l
!
µi d ni
+
∂ni
i
X
l
(2.86)
!
d ni
(2.87)
g
!
µi d ni
i
(2.88)
g
où l’indice i correspond à l’espèce considérée et µi est le potentiel chimique de l’espèce i défini
par la relation :
∂G (2.89)
µi =
∂ni P,T,nj6=i
En développant l’équation précédente pour chaque espèce de chaque phase, on obtient :
d G = µO2 ,l d nO2 ,l + µH2 ,l d nH2 ,l + µO2 ,g d nO2 ,g + µH2 ,g d nH2 ,g
(2.90)
Le système étant fermé, le nombre de moles totales n reste constant (d n = 0) et est égal à la
somme du nombre de moles de chaque sous-système tel que n = nl + ng eux mêmes composés
d’oxygène est d’hydrogène et ainsi :
nl = nl,O2 + nl,H2
(2.91)
ng = ng,O2 + ng,H2
(2.92)
Ainsi, la variation du nombre de moles de chaque sous-système s’exprime à partir de d n tel
que :
d n = 0 = d (nl + ng )
(2.93)
d’où :
d nl = −d ng
(2.94)
d nl,O2 + d nl,H2 = − (d ng,O2 + d ng,H2 )
(2.95)
d nl,O2 = −d ng,O2
(2.96)
d nl,H2 = −d ng,H2
(2.97)
De plus :
67
car la quantité de moles d’une espèce reçue par une phase correspond nécessairement à la quantité de cette espèce perdue par l’autre phase en absence de réaction chimique. Alors, l’équation
2.90 devient :
d G = (µO2 ,l − µO2 ,g ) d nO2 ,l + (µH2 ,l − µH2 ,g ) d nH2 ,l
=
X
(µi,l − µi,g ) d ni,l
(2.98)
(2.99)
i
Enfin, pour que le système S soit à l’équilibre dG doit être nulle :
X
(µi,l − µi,g ) = 0
(2.100)
i
et donc :
µi,l = µi,g
(2.101)
Finalement, la condition d’équilibre entre deux phases constituées de deux espèces s’exprime
par l’égalité du potentiel chimique de chaque espèce de chaque coté de l’interface. Reste donc
à conna^ıtre l’expression du potentiel chimique.
Pour déterminer l’expression du potentiel chimique dans les conditions qui nous intéressent,
on présente tout d’abord l’équation du potentiel chimique appliquée au cas d’un gaz parfait :
Pi
µi (T, P ) = µ0i T, P 0 + R T ln 0
Pi
(2.102)
où µ0i est le potentiel chimique du constituant i dans l’état standard correspondant à la pression
P 0 , et Pi est la pression partielle du composant i. Or, pour un fluide réel, il existe des interactions
qui ne sont pas prises en compte dans l’équation précédente. Il est donc nécessaire d’introduire
un nouveau terme qui tient compte des effets des gaz réels tel que :
Pi
µi (T, P ) = µ0i T, P 0 + R T ln 0 + R T ln Φi
Pi
(2.103)
où Φi est le coefficient de fugacité de l’espèce i et est défini par la relation :
Φi =
fi
Pi
(2.104)
et fi est la fugacité du fluide réel i. Elle représente la pression sous laquelle devrait se trouver
le fluide, s’il était parfait, pour que son potentiel chimique soit le même que celui qu’il possède
sous la pression partielle Pi . Ainsi, lorsque la pression du milieu tend vers 0, le fluide devient
68
Pression (bar) Fugacité (bar)
1
50
100
400
1000
1
49
97
424
1830
TAB . 2.3 – Valeurs de fugacité du N2 à 273 K pour diverses pressions [32].
parfait et les fugacités des espèces présentent dans ces fluides tendent vers les valeurs des pressions partielles. Dans ce cas, Φi tend vers 0 et l’expression du potentiel chimique devient celle
des gaz parfaits. Nous donnons dans le tableau 2.3 des valeurs de fugacité pour différentes pressions pour du N2 à 273 K. L’observation des valeurs de fugacité du tableau 2.3 montre bien
l’écart entre les pressions et les fugacités lorsque la pression augmente alors qu’en condition
basse pression la fugacité et la pression prennent la même valeur. Finalement, l’expression du
potentiel chimique devient :
Pi
µi (T, P ) = µ0i T, P 0 + R T ln 0 + R T ln Φi
Pi
P Xi
= µ0i T, P 0 + R T ln 0 + R T ln Φi
Pi
P
= µ0i T, P 0 + R T ln 0 + R T ln Φi Xi
Pi
(2.105)
(2.106)
(2.107)
Pour avoir l’équilibre entre deux phases, on a montré qu’il fallait avoir égalité des potentiels
chimiques de chaque espèce dans chaque phase et en remplaçant le potentiel chimique par
l’équation 2.107 on obtient l’égalité suivante :
µi,l = µi,g
(2.108)
Les potentiels chimiques de référence ayant la même valeur, car ils sont calculés dans les mêmes
conditions (de même pour les ln PP0 ), on obtient alors l’égalité :
i
R T ln Φi Xi
=
R T ln Φi Xi
(2.109)
l
g
L’équilibre à l’interface doit finalement satisfaire la relation :
Φi,l Xi,l = Φi,g Xi,g
(2.110)
69
Le coefficient de fugacité Φi se calcule à l’aide d’une équation d’état et de la loi de mélange
appropriée. L’expression correspondante aux équations d’état cubiques est donnée par Reid et
al [77]
ln Φi =
avec
bi
(Z − 1) − ln (Z − B) +
bm
√
2 Z + B u + u2 − 4w
A
bi
√
√
− δi ln
B u2 − 4w bm
2 Z + B u − u2 − 4w
√
2 ai X √
Xj aj (1 − kij )
δi =
am j
(2.111)
(2.112)
u et w sont les paramètres de l’équation d’état cubique et kij est le coefficient d’interaction
binaire. Les variables A et B ont été introduites précédemment dans les relations 2.7 et 2.8
auxquelles il faut appliquer les règles de mélange, c’est-à-dire utiliser am et bm à la place de ai
et bi , l’équation cubique 2.6 permettant d’obtenir la valeur de Z.
2.2.3
Résolution de l’algorithme pour déterminer équilibre liquide-vapeur
Ces relations sont appliquées au cas d’un mélange binaire O2 /H2 afin de déterminer l’équilibre liquide-vapeur et elles permettent ainsi de conna^ıtre les valeurs critiques du mélange en
question. Cet équilibre a été calculé numériquement et l’algorithme est détaillé ci-dessous.
Au début du calcul, on considère une phase liquide de O2 pure et une phase gazeuse de H2
pure. La pression est fixée durant tout le calcul, seule la température évoluera. Les fractions molaires de O2 sont initialisées à XO2 ,l = 1 et XO2 ,g = 0 et pour le H2 à XH2 ,l = 0 et XH2 ,g = 1.
Le facteur de compressibilité Zg est pris égal à 1 en phase gazeuse (cas d’un gaz parfait) et
Zl = 0 en phase liquide. La température initiale est choisie de telle sorte qu’elle soit inférieure
aux températures critiques des deux constituants (le calcul a été initialisé avec une température
de 80 K). Après l’initialisation de ces variables, les conditions d’équilibre sont calculées de
manière itérative en ajustant, à chaque boucle et pour chaque phase, les valeurs de Z et de Xi
de la manière suivante :
1. Calcul des coefficients am et bm à l’aide des fractions molaires pour chacune des phases.
2. Détermination de la valeur de Z en résolvant l’équation cubique 2.6.
3. Cette valeur est ensuite injectée dans l’équation 2.111 afin d’obtenir les coefficients de
fugacité des différentes espèces dans chacune des phases.
70
Équation d’état
Peng-Robinson
Redlich-Kwong
Température critique (K) Fraction molaire critique (-)
141,0
147,5
0,708
0,774
TAB . 2.4 – Valeurs critiques du mélange O2 /H2 pour les équations d’état de Redlich-Kwong et
Peng-Robinson à 100 bar.
4. Les fractions molaires sont réinitialisées au moyen de la condition d’équilibre (équation
2.110).
5. Si le critère de convergence pour l’équilibre des coefficients de fugacité n’est pas respecté
(équation 2.110), les facteurs de compressibilité sont recalculés et les fractions molaires
sont réinitialisées jusqu’à ce que la convergence ait lieu.
6. Dès que la convergence a lieu, on extrait les valeurs des constituants dans chacune des
phases pour la température considérée. On incrémente ensuite la température d’un dT
et on recommence toute la procédure jusqu’à ce que les fractions molaires de l’oxygène soient égales de chaque côté de l’interface. Pour l’hydrogène, XH2 ,liq = XH2 ,vap =
1 − XO2 ,vap . La composition étant identique de chaque côté de l’interface, il n’y a donc
plus de distinction entre la phase liquide et la phase vapeur, on a donc atteint le point
critique du mélange binaire.
7. On conna^ıt alors, pour une pression donnée, la température critique et la fraction molaire
critique du mélange.
2.2.4
Résultats et interprétation
En utilisant les équations d’état de Redlich-Kwong et de Peng-Robinson, on obtient la
courbe d’équilibre liquide-vapeur pour le mélange binaire O2 /H2 . Sur la figure 2.4, on extrait,
pour une pression de 100 bar, les valeurs critiques du mélange. Les valeurs sont résumées dans
le tableau 2.4. Le diagramme de la figure 2.4 donne également les conditions d’existence d’une
phase pour un mélange. La courbe représente la courbe de saturation avec :
– en trait plein : la courbe de liquide saturant,
1
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.5
0.4
0.6
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
80
90
100
110
120
130
140
courbe de liquide saturant
courbe de vapeur saturante
0.9
Fraction molaire de O2
1
courbe de liquide saturant
courbe de vapeur saturante
0.9
71
150
0
80
90
T (K)
Peng-Robinson
100
110
120
130
140
150
T (K)
Redlich-Kwong
F IG . 2.4 – Diagramme de phase d’un mélange O2 /H2 pour une pression de 100 bar en utilisant
l’équation d’état de Peng-Robinson et Redlich-Kwong.
– en traits pointillés : la courbe de vapeur saturante,
– entre les deux : une zone de coexistence liquide-vapeur.
Les phases liquide et gazeuse se situent respectivement au-dessus et en dessous de la courbe
de saturation. Ainsi, pour une température de 100 K et une pression environnante de 100 bar,
l’équilibre à l’interface est atteint si la phase liquide est composée d’approximativement 90 %
en masse de dioxygène et 10 % en masse de dihydrogène avec un mélange d’environ 9 % de
O2 et 91 % de H2 en phase gazeuse (figure 2.5). On observe également que plus la température
augmente, plus la longueur du palier de transition (distance qui sépare, à une température donnée, les courbes de liquide saturant et de vapeur saturante) diminue jusqu’à ce qu’elle devienne
nulle. En ce point, la fraction molaire de O2 est la même dans la phase gazeuse et liquide. Cette
fraction molaire correspond à la fraction molaire critique de l’oxygène dans le mélange. En effet, la composition des deux phases étant identique, il y a continuité de la densité et il n’y a donc
plus de distinction entre les phases liquide et gazeuse : on a une phase supercritique. Ce point
de jonction des courbes de saturation est le point critique du mélange à une pression 100 bar.
Ce diagramme étant calculé à une pression donnée, ainsi pour une pression différente un
nouveau point critique sera déterminé. Plusieurs diagrammes de phase correspondants à différentes pressions sont présentés sur la figure 2.5. À partir de cette figure plusieurs informations
peuvent en être extraites :
– Plus la pression augmente, plus la température critique diminue, tout comme la fraction
molaire critique,
1
P=80 bar
P=100 bar
P=150 bar
0.9
0.8
0.7
72
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
80
90
100
110
120
130
140
150
T (K)
F IG . 2.5 – Équilibre liquide-vapeur calculé avec l’équation d’état de Peng-Robinson pour des
pressions de 80 bar (trait plein), de 100 bar (traits pointillés) et de 150 bar (ligne de points).
Équation d’état
Peng-Robinson
Soave
Équation TCP
Redlich-Kwong
Température critique (K) Fraction molaire critique (-)
139
141
142
147
0.71
0.72
0.77
0.78
TAB . 2.5 – Effet des équations d’état sur les valeurs critiques calculées par Daou et al [23].
L’équation TCP est une équation à trois paramètres critiques.
– Bien que la pression totale P soit supérieure aux pressions critiques de chaque constituant
pur, PCO2 et PCH2 , il existe tout de même une interface.
Enfin, on présente dans le tableau 2.4 les valeurs critiques du mélange lorsqu’on utilise différentes équations d’état. On remarque que les résultats diffèrent d’une équation à l’autre, ce
qui est normal car c’est l’équation d’état qui est à la base de l’algorithme pour le calcul de Z.
Ainsi Yang et al [102], Zhu et al [105] et Daou et al [23] ont orienté leurs recherches sur les
effets de différentes équations d’état sur les résultats. Les résultats de Daou et al sont résumés
dans le tableau 2.5. Les valeurs critiques que nous avons trouvées sont très proches de celles
calculées par Daou et al pour les équations de Redlich-Kwong et de Peng-Robinson. De plus,
nos résultats sont tout aussi proches de ceux de Yang et al qui, pour une pression de 100 bar,
ont trouvé une température critique de mélange de 142.8 K et une fraction molaire critique de
2.3 Modélisation des propriétés de transport
O2 de 0.735 [102]. L’équation d’état choisie pour leur étude est une équation de Soave-RedlichKwong modifiée par Graboski et Daubert.
Une fois les variables thermodynamiques d’un milieu à pression élevée déterminées ainsi
que les conditions d’existence des phases liquide et vapeur, il ne reste plus qu’à introduire dans
le code des modèles permettant de calculer les coefficients de transport. Ces grandeurs physiques, utilisées dans les équations de transport, jouent un rôle aussi importantes que les grandeurs thermodynamiques car elles transportent l’énergie, les espèces (conductivité thermique,
coefficients de diffusion des espèces) ou permettent de dissiper l’énergie cinétique (viscosité).
Les effets de gaz réels jouant un rôle sur ces coefficients, il a donc fallu introduire de nouveaux
modèles lorsque la pression augmente.
2.3
Modélisation des propriétés de transport
Nous analysons dans cette partie l’influence de la pression sur les caractéristiques physiques des fluides. Il est souvent difficile de calculer analytiquement les valeurs des coefficients
de transport. Certaines théories ou lois empiriques permettent néanmoins de les évaluer et nous
allons présenter les modèles que nous avons choisis ainsi que les modèles les plus utilisés.
En fonction de la configuration, il est nécessaire que les modèles puissent traiter aussi bien
les phases liquide, gazeuse que supercritique. Enfin, pour valider ces modèles physiques nous
évaluerons les résultats avec des données extraites du National Institute of Standards and Technology (NIST) [63]. Mais le manque de références concernant les mélanges, tout du moins pour
le couple O2 /H2 , nous oblige à comparer ces résultats avec les données existantes pour les espèces pures.
Il existe de nombreux modèles qui permettent de calculer les coefficients de transport. Et
comme pour les grandeurs thermodynamiques, certains modèles sont applicables uniquement
pour des gaz considérés comme parfaits. Ces modèles ne dépendent que de la température et de
la composition du mélange. Pour le cas des gaz parfaits, nous nous sommes référés à la méthode
utilisée dans le package CHEMKIN [93]. Ce package, utilisé principalement pour les réactions
chimiques, comporte aussi un module (Premixed) qui calcule des flammes de pré-mélange. Pour
ce faire, des méthodes de calcul des coefficients de transport sont utilisées, méthodes qui sont
bien établies au sein de la communauté scientifique. De la même façon que la méthode JANAF
pour le calcul de l’enthalpie ou des capacités thermiques, des polynômes dont la variable est la
température et dont les coefficients dépendent des espèces, permettent de déterminer les coefficients de transport. Ainsi, pour le calcul de la viscosité, une équation permet de donner une
valeur de µ pour chaque espèce. Les règles de mélange associées aux gaz parfaits permettent
de calculer la valeur de la viscosité du mélange considéré. Il en est de même pour le calcul de
la conductivité thermique et du coefficient de diffusion des espèces. Malgré tout, ces modèles
ne prennent pas en compte les effets des fortes pressions ce qui induit d’importantes erreurs
73
74
particulièrement pour le calcul du coefficient de diffusion. C’est pourquoi d’autres modèles ont
vu le jour et permettent ainsi d’étudier les fluides réels à haute pression. Quelque soit le terme
à calculer, la démarche adoptée par la plupart des auteurs consiste à :
1. appliquer les règles de mélange aux variables thermodynamiques qui dépendent du mélange,
2. estimer une valeur pour les faibles pressions du mélange qui devient une espèce pure
ayant les propriétés des constituants,
3. corriger la valeur basse pression en tenant compte des effets dus aux hautes pressions.
Nous allons maintenant présenter les modèles les plus utilisés ainsi que ceux qui ont été
intégrés au code. N’ayant pas pu tous les tester individuellement, nous avons fait des choix en
fonction des expériences, numériques ou expérimentales, présentées dans la littérature. Ainsi
dans un rapport de la NASA [36], les auteurs présentent pour chaque espèce le ou les modèles
les plus appropriés. De plus, Reid et al résument un grand nombre de ces modèles qui sont
décrits dans le livre Properties of gases and liquids [77]. Voici les principaux modèles utilisés
pour calculer la viscosité et la conductivité thermique.
2.3.1
La viscosité et la conductivité thermique d’un mélange à haute pression
Ces deux coefficients de transport sont souvent traités ensemble car le comportement de
la conductivité thermique est très semblable à celui de la viscosité. D’ailleurs la plupart des
méthodes qui ont été développées pour le calcul de la viscosité ont été étendues au calcul de
la conductivité thermique. Ces méthodes, qui traitent aussi bien le cas basse et haute pression,
ont été adaptées au cas d’un mélange à plusieurs espèces. Par exemple, pour le calcul de la
viscosité, on peut citer Yang et al [102] qui ont utilisé la méthode de Ely et Hanley [30] tout
comme Oefelein [61]. Curtis et Farrell [22] ainsi que Leborgne [47] ou encore Schmitt et al
[82] ont adopté la méthode de Chung et al [20]. Pour ces travaux de thèse, Lafon [46] a préféré utiliser la formule de Bromley et Wilke [12], extension des travaux d’Hirschfelder, pour le
calcul de la viscosité à basse pression auquel il a ajouté les règles de mélange de Wilke. Enfin
pour estimer la viscosité du mélange à haute pression, la méthode de Dean et Stiel [24] a été
employée. Haldenwang et son équipe [39] ont préféré utiliser des données expérimentales issues de l’Encyclopédie des Gaz [55]. On peut encore citer l’approche de Lucas [51] ainsi que la
méthode de Brulé et Starling [15] recommandées par Reid et al. Pour ce qui est du calcul de la
viscosité en phase liquide, la méthode de Teja et Rice [91] est préconisée par Bellan et al. Pour
le calcul de la conductivité thermique, on retrouve à nouveau la méthode de Ely et Hanley [31]
utilisée par Yang et al [102] et Oefelein [61]. La méthode de Chung et al [20] a été choisi par
Curtis et Farrell [22], Leborgne [47] et Schmitt et al [82]. Haldenwang et al [39] ont à nouveau
choisi des données expérimentales pour les fluides purs auxquelles ils ont appliqué les règles de
mélange de Mathur et al. Lafon [46] a quant à lui choisi la relation d’Eucken pour le calcul en
basse pression associée à la méthode de Stiel et Thodos pour la correction en pression.
Dans le code de simulation Asphodèle, nous avons introduit, pour le calcul de la viscosité
et de la conductivité thermique dans un fluide soumis à une forte pression, les méthodes développées par Chung et al [20] et par Ely et Hanley [30, 31] car ceux sont celles préconisées dans
un rapport de la NASA [36] mais également par Reid et al [77]. Ces modèles ont également
été choisis par un grand nombre de chercheurs dont ceux cités ci-avant. Les détails concernant
ces méthodes pour les calculs de la viscosité et de la conductivité thermique sont explicités en
annexe B ; on y présente également le modèle pour le calcul du coefficient de diffusion de masse.
On présente ensuite les résultats obtenus à partir du modèle de Chung et al [20] pour la viscosité et des modèles de Chung et al [20] et Ely et Hanley [31] pour la conductivité thermique.
Pour le cas de la viscosité, seuls les résultats issus du modèle de Chung et al [20] ont été retenus car plus proches des valeurs extraites du NIST. C’est d’ailleurs ce modèle qui a été choisi
pour réaliser les simulations de référence (cf. chapitre 4). De manière générale, la viscosité cinématique d’un gaz augmente avec la température tandis que celle d’un liquide diminue avec
cette dernière. Une fois les valeurs critiques dépassées, la viscosité du fluide tend à suivre le
comportement d’un gaz lorsque la densité est faible et elle tend à suivre le comportement d’un
liquide pour des fluides denses. On présente sur les images des figures 2.6 et 2.7, l’évolution
de la viscosité et de la conductivité thermique, respectivement, en fonction de la température et
pour une pression de 100 bar. Le modèle utilisé pour la viscosité est le modèle de Chung et al
[20] et pour la conductivité thermique, on présente les résultats issus des modèles de Chung et
al [20] et Ely et Hanley [31]. On a comparé ces valeurs aux valeurs extraites du NIST [63]. On
constate que les modèles utilisés sur ces figures donnent de très bon résultats pour l’oxygène.
Dans le cas de l’hydrogène, les écarts par rapport aux valeurs de référence sont plus importants.
Le modèle de Ely et Hanley semble plus adapté pour calculer la conductivité thermique.
Nous comparons ensuite nos résultats aux résultats présentés par Yang et al [102] sur le
calcul de la conductivité thermique pour un mélange équimolaire O2 /H2 à 200 K pour différentes pressions. Ces résultats sont résumés dans le tableau 2.6. Bien que le modèle utilisé soit
identique (modèle de Ely et Hanley [31] pour Yang et al), l’équation d’état étant différente, les
résultats présentent un léger écart mais permettent tout de même de valider les modèles introduits dans le code.
Pour réduire les temps de calcul, qui augmentent énormément avec l’introduction de ces
modèles, Bellan et al ont linéarisé les résultats obtenus à partir des modèles qu’ils ont retenus
et testés. Ces résultats sont résumés dans [3]. Ainsi, à partir d’un polynôme qui est fonction de
la température et de la valeur viscosité ils peuvent calculer la valeur du nombre de Prandtl. Ce
75
−5
5
−5
x 10
2.5
x 10
4.5
2
4
µ (Pa.s)
µ (Pa.s)
76
3.5
1.5
3
1
2.5
2
200
400
600
T (K)
800
1000
0.5
200
O2
400
600
T (K)
800
1000
H2
F IG . 2.6 – Effet de la température sur la viscosité (en P a.s) de l’oxygène (image de gauche)
et de l’hydrogène (image de droite) de O2 pour une pression de 100 bar. La droite présente
les résultats calculés avec le modèle de Chung et al [20] et les ronds rouges sont les valeurs
extraites du NIST [63].
1 bar
100 bar
400 bar
3.88 × 10−2
4.18 × 10−2
3.96 × 10−2
5.38 × 10−2
5.13 × 10−2
4.55 × 10−2
9.73 × 10−2
8.17 × 10−2
7.44 × 10−2
Auteurs
Résultats issus de Yang et al [102]
Notre étude (Ely et Hanley [31])
Notre étude (Chung et al [20])
TAB . 2.6 – Valeurs de conductivité thermique (W/ (m.K)) d’un mélange équimolaire O2 /H2
à 200 K pour différentes pressions et pour différents modèles comparées aux résultats issus de
Yang et al [102].
polynôme est valable uniquement si on utilise du O2 et/ou du H2 et pour une pression de 100 bar
environ. La température doit être comprise dans une échelle comprise entre 200 et 800 K. Dans
sa configuration, Bellan et al calculent la viscosité à partir d’une viscosité de référence ellemême liée aux conditions initiales de densité et de vitesse des fluides. Le nombre de Prandtl
utilisé par Bellan et al [3] est défini tel que :
Pr =
µ Cp
mλ
(2.113)
avec µ la viscosité dynamique (P a.s), λ la conductivité thermique (W.K −1 .m−1 ), Cp la capacité
thermique en J.g −1 .K −1 et m la masse molaire en g/mol. Si on conna^ıt la viscosité, la masse
molaire M et la capacité thermique molaire du mélange Cp , on peut facilement déduire la valeur
de la conductivité thermique. L’équation extraite de l’étude de Bellan et al pour calculer le
77
0.1
0.5
λ (W/(m.K))
λ (W/(m.K))
0.08
0.06
0.04
0.02
0
200
0.4
0.3
0.2
0.1
400
600
T (K)
800
1000
0
200
400
O2
600
T (K)
800
1000
H2
F IG . 2.7 – Effet de la température sur la conductivité thermique (en W/(K.m)) de l’oxygène
(image de gauche) et de l’hydrogène (image de droite) de O2 pour une pression de 100 bar. La
droite en trait plein noir présente les résultats calculés avec le modèle de Chung et al [20], la
droite en pointillés bleus les résultats de Ely et Hanley [31] et les ronds rouges sont les valeurs
extraites du NIST [63].
nombre de Prandtl est :
Pr =
1.335
T 0.1
(2.114)
Elle a également développé des équations pour des mélanges C7 H16 /N2 pour l’étude des moteurs
automobiles. Dans ce cas la température doit être comprise entre 500 et 1100 K et la pression
comprise entre 40 à 80 bar. Cette méthode est intéressante car elle permet de gagner en temps
de calcul. Cependant, elle est limité dans son domaine d’application.
2.3.2
Le coefficient de diffusion pour les espèces
Nous présenterons dans cette partie les modèles qui permettent de calculer le coefficient
de diffusion des espèces utilisé dans l’équation de conservation des espèces. La diffusion des
espèces est grandement liée à la masse volumique du milieu et c’est pourquoi la pression joue
un rôle très important. Ainsi le coefficient de diffusion de masse d’une phase liquide est très
faible par rapport à celui d’une phase gazeuse et lors du passage par le point critique, la diffusion augmente brusquement. C’est pourquoi il est plus complexe de modéliser le coefficient de
diffusion. Les principales méthodes reportées dans la littérature pour la diffusion de l’oxygène
dans l’hydrogène, aussi bien pour les phases liquide (dense) et gazeuse (légère), sont :
78
Wilke Chang (liquide)
:
Daou et al [23], Lafon [46], Curtis et Farrell [22]
Fuller et al [33] (liquide et gaz)
:
Leborgne [47], Yang et al [104]
Tyn et Calus (liquide)
:
Curtis et Farrell [22]
Chapman-Enskog (gaz)
:
Delplanque et Sirignano [25]
Stokes Einstein (liquide et gaz)
:
Bellan et al [5]
Bird et al
:
Oefelein [61]
Ces différentes méthodes permettent de calculer le coefficient de diffusion binaire mais uniquement en condition de basse pression. Tous les auteurs, exceptés Bellan et al, qui ont tenu
compte des effets de la pression, ont utilisé la corrélation de Takahashi [89]. Cette corrélation
a été obtenue à partir des données sur différents couples d’espèces dont les molécules ont des
tailles comparables à celles qui nous intéressent, à savoir essentiellement l’oxygène, l’hydrogène et l’eau. Takahashi a même utilisé des données relatives à l’auto-diffusion de l’hydrogène
ce qui permet de penser que l’estimation donnera des résultats satisfaisants pour notre étude.
Cette corrélation s’exprime sous la forme suivante :
DAB P
= f (Tr , Pr )
(DAB P )0
(2.115)
où l’exposant 0 indique la valeur du produit en condition basse pression. Les variables Pr et Tr
sont les variables du mélange réduites par les conditions critiques suivantes :
T
Tc
= XA TcA + XB TcB
P
=
Pc
= XA PcA + XB PcB
Tr =
(2.116)
Tc
(2.117)
Pr
Pc
(2.118)
(2.119)
La fonction f (Tr , Pr ) est explicitée en annexe B.3. Cependant, il existe peu de données disponibles sur le coefficient de diffusion binaire O2 /H2 . Les données extraites de Yang et al [102]
sont reportées dans le tableau 2.7 et comparées aux résultats que nous avons obtenus. Il a luimême utilisé la méthode de Fuller et al avec la corrélation de Takahashi, c’est pourquoi les
résultats sont si proches. Le problème avec la corrélation de Takahashi c’est qu’elle n’est valable qu’en phase diluée et ne peut donc être utilisée en présence de liquide.
Comme avec le calcul de la conductivité thermique, Bellan et al ont également déterminé
une fonction optimisée à partir des résultats obtenus avec un modèle physique [5], permettant
Auteurs
Yang et al [102]
Notre étude
79
1 bar
100 bar
400 bar
4.04 × 10−5
4.09 × 10−5
3.88 × 10−7
4.03 × 10−7
9.92 × 10−8
10.05 × 10−8
TAB . 2.7 – Coefficient diffusion binaire (m2 .s−1 ) d’un mélange équimolaire O2 /H2 à 200 K
pour différentes pressions.
de calculer la valeur du nombre de Schmidt. Cette fonction est définie telle que [3] :
µ
Sc =
ρ αD D
1.5 88.6
2
6
= 1.334 − 0.668 YO2 − 0.186 YO2 − 0.268 YO2 1 +
T
(2.120)
(2.121)
où αD est défini par la relation 2.122 avec Φi coefficient de fugacité de l’espèce i qui peut être
déterminé par l’équation 2.111.
∂ (lnΦi )
(2.122)
∂Xi
Cette fonction n’est utilisable que dans les conditions de pression (100 bar) et de température
(200 K → 800 K) définies par les auteurs. Là encore, cette méthode a pour but de réduire les
temps de calcul.
αD = 1 + Xi
Toutes les méthodes présentées ci-avant permettent de calculer le coefficient de diffusion
binaire Dij à pression élevée qui représente la capacité de deux espèce à diffuser l’une dans
l’autre. Or, il est nécessaire de modéliser le coefficient de diffusion dans un mélange Dim qui
caractérise la diffusion de l’espèce i dans le milieu et c’est ce second coefficient qui est utilisé
dans l’équation de conservation des espèces. Il est déterminé à partir du coefficient binaire et
des règles de mélange appropriées. Diverses règles de mélange ont été développées dont celle
utilisée par Yang et al [102] et par Sirignano [85], introduite par Williams [99]. Elle se présente
sous la forme suivante :
1 − Xi
(2.123)
Dim = P
ns
Xj
j6=i
Dij
D’autres méthodes sont disponibles dans la littérature comme celle utilisée dans CHEMKIN
[93] :
1 − Yi
Dim = P
(2.124)
ns
Xj
j6=i
Dij
80
Bien qu’à première vue ces deux règles semblent identiques, une variable les différencie pourtant. Dans l’équation 2.124, on note la présence d’une fraction massique alors que dans l’équation 2.123 il s’agit une fraction molaire. Quel est alors l’influence de l’utilisation de tel ou tel
modèle sur le calcul du coefficient de diffusion ? Quel modèle est le plus adapté au cas d’un
mélange binaire ?
En utilisant l’équation 2.123 appliquée au cas d’un mélange binaire, le coefficient de diffusion de l’espèce i dans un mélange devient égal au coefficient de diffusion binaire D12 car :
ns
X
Xj
Dij
j6=i
=
Xj
Dij
(2.125)
(2.126)
d’où :
D1m =
1 − X1
X2
D12
(2.127)
Or, pour un mélange binaire, 1 − X1 = X2 . Ainsi, l’équation 2.127 devient :
D1m = D12
(2.128)
D2m = D21
(2.129)
De la même façon on obtient :
Si on utilise le modèle de Fuller et al, présenté dans l’équation 2.130 et utilisé par Yang et
al (pour d’avantage de détails le lecteur peut se référer à l’annexe B.3), on peut remarquer que
les coefficients binaires D12 et D21 sont identiques.
D12 =
0.00143 T 1.75
2
1/2
1/3
1/3
P M12 (Σv )1 + (Σv )2
(2.130)
À partir de ce constat et si on considère la diffusion de molécules d’oxygène dans un mélange,
la valeur de DO2 m est donc égale à DO2 H2 quelque soit la composition du mélange. Ainsi, si le
mélange est composé uniquement d’oxygène, la valeur de DO2 m , qui représente l’autodiffusion
de l’oxygène, ne peut être égale au mélange binaire. Ne serait ce qu’en considérant la taille des
molécules, l’oxygène ne diffusera pas avec la même intensité en présence de petites molécules,
comme dans le dihydrogène, qu’en présence de grandes molécules comme les molécules de
dioxygène (DO2 O2 <DO2 H2 ). De plus, dans les cas de l’auto-diffusion, les deux règles de mélange
ne peuvent être définies, car Xj est nulle. Pour la première règle de mélange (l’équation 2.123),
on a montré que le coefficient de diffusion devient le coefficient de mélange binaire quelque soit
81
la composition du mélange. Dans le cas de la deuxième règle de mélange présentée en équation
2.124, il est préconisé d’ajouter un afin de pouvoir déterminer une valeur finie du coefficient
de diffusion [93] tel que :
DO2 m =
1 − YO2
XH2 +
DO2 H2
(2.131)
Le résultat est légèrement faussé mais dans l’équation de conservation des espèces, le coeffi-
i
cient de diffusion est associé au gradient de fraction massique de l’espèce considérée Dim ∂Y
∂x
qui est nul. Afin de pouvoir être utilisé dans toutes les conditions, et notamment dans le cas de
l’auto-diffusion, nous avons décidé d’utiliser la deuxième règle de mélange, celle utilisée dans
CHEMKIN [93]. Une autre raison vient du fait que ces règles de mélange ont déjà été largement
éprouvées dans de nombreuses simulations.
Au travers de ce chapitre consacré aux grandeurs physiques et thermodynamiques, nous
avons présenté les différents modèles qui ont été intégrés au code de simulation numérique directe utilisé dans le cadre de cette thèse. Contrairement aux modèles qui étaient déjà présents
dans le code, ces nouveaux modèles permettent de tenir compte des effets de la pression qui
jouent un rôle important dans le cas des moteurs de fusée. Nous pouvons désormais calculer les
grandeurs thermo-physiques d’un corps pur mais également d’un mélange de plusieurs espèces
grâce à l’introduction de règles de mélange appropriées.
Nous avons également déterminé les conditions d’existence des phases liquide, vapeur et
supercritique et tracé le diagramme de phase pour le cas d’un mélange binaire et pour des
conditions de pression élevée. On peut alors savoir, en fonction des conditions thermodynamiques s’il y aura présence ou non d’une interface.
L’ensemble des propriétés thermodynamiques et physiques des gaz réels présentées dans ce
chapitre, ont dans un premier temps été testées de manière isolée et comparées avec les résultats
issus de bases de références NIST [63]. Cette première étape a permis de sélectionner les différentes lois qui sont utilisées dans le solveur de simulation numérique directe Asphodèle. Avant
le début de cette thèse, toutes les propriétés thermo-physiques avait été introduites en version
gaz parfaits.
L’intégration de ces nouveaux modèles a été facilitée par la structure en module du code
que nous présentons au chapitre suivant. Dans ce chapitre, nous présentons les adaptations
nécessaires qui ont été apportées au code afin de réaliser des simulations d’écoulements supercritiques car l’introduction de ces modèles pénalise lourdement les temps de calcul. Nous
décrivons également la configuration qui a été choisie pour étudier le mélange en proche sortie
d’injecteur.
82
Chapitre 3
Asphodèle : un code de simulation
numérique directe supercritique
La simulation numérique directe, qui a été introduite dans les années 70 par Orszag et Patterson [65] puis Rogallo [79] ou encore Lee et al [48], a permis à ses débuts de simuler des
écoulements de gaz inertes. Depuis, son utilisation a été étendue à beaucoup d’autres applications tels que les écoulements réactifs ou diphasiques par Riley et Patterson [78]. La simulation
numérique directe résout toutes les échelles caractéristiques de la turbulence depuis l’échelle
de Kolmogorov jusqu’à l’échelle intégrale. Toutefois, si on considère un écoulement diphasique, la présence d’une interface et donc d’une discontinuité dans le domaine, compromet la
possibilité de résoudre une DNS complète de ces écoulements. Ceci est d’autant plus vrai si
les phénomènes physiques comme l’évaporation ou les transferts thermiques sont présents à
l’interface. Alors, le coût de calcul de l’écoulement complet, en incluant chacune des phases,
devient prohibitif. De plus, la quasi totalité des simulations DNS ont été effectuées pour des
configurations à pression atmosphérique. En utilisant le code Asphodèle du laboratoire et en
ajoutant la thermodynamique et la physique des fluides réels, on souhaite réaliser une des premières DNS supercritique.
L’objectif de ce chapitre est de décrire dans un premier temps le code de DNS qui, grâce
à sa structure, facilite l’intégration de nouveaux modules comme la thermodynamique des gaz
réels ou encore la mise en place de nouvelles configurations. Pour étudier le mélange en proche
sortie d’injecteur, la configuration que nous avons introduite dans le code de simulation numérique directe, permet de simuler un jet d’oxygène dans une atmosphère d’hydrogène. Cette
configuration sera présentée dans la dernière partie de ce chapitre dans laquelle nous en profiterons pour faire un rappel sur les couches de mélange et les phénomènes physiques qui y sont
associés. Enfin nous allons détailler les modifications qui ont été apportées sur les équations de
transport et sur les méthodes permettant de déterminer les champs de température et de pression.
84
3.1
Présentation du code Asphodèle
3.1.1
Un code à structure modulaire
Le solveur Asphodèle est la troisième révision majeure du code de DNS développé au CORIA depuis une dizaine d’années. Écrit entièrement en Fortran 90, il a été développé avec
comme principe de base : la modularité. Le principe de modularité fait que la validation des
autres modules et notamment ceux concernant la thermodynamique reste valable même si l’on
change la configuration géométrique ou si l’on ajoute d’autres modules. Chaque élément majeur
du solveur est donc interchangeable, de manière transparente grâce aux principes des interfaces.
Les éléments principaux qui composent le code sont les suivants :
• Maillage : en fonction de la configuration étudiée, il peut être utile de résoudre les équations
de la mécanique des fluides selon des projections différentes. C’est pourquoi, le solveur
est à même de travailler avec :
–
–
–
–
des configurations classiques 1D/2D/3D cartésiennes,
une configuration 2D axisymétrique,
des configurations 0D (réacteurs homogènes),
une configuration 1D sphérique.
• Intégration temporelle (explicite) : méthode de Runge Kutta avec stockage minimal des
données [100] d’ordre 3 en temps. Une intégration temporelle de style Euler d’ordre 2 a
également été ajoutée.
• Dérivées spatiales : La méthode de dérivée spatiale, initialement présente dans le solveur,
est une méthode PADE d’ordre 6 en espace [49]. De précision élevée, ce schéma n’est pas
dissipatif et permet d’effectuer des DNS réalistes d’écoulements turbulents. Cependant, il
est très exigeant et impose une forte limitation au niveau des gradients et donc du nombre
de Reynolds turbulent dans le problème étudié. Deux modules de type différence finie
d’ordre deux et quatre ont été introduits dans le code. La gestion modulaire fait que le
passage à toute autre méthode est simple et transparent pour les autres parties du code qui
se contentent de faire appel à une bo^ıte noire de dérivation.
• Conditions aux limites : pour le solveur à faible nombre de Mach, différentes conditions
limites peuvent être utilisées comme les conditions de Dirichlet et Von Neumann ainsi
que des conditions plus classiques comme les conditions périodiques ou de symétrie.
• Thermodynamique et propriétés physiques : l’ensemble des propriétés physiques (capacités thermiques, viscosité, nombres de Schmidt, etc) peut être considéré comme constant
3.1 Présentation du code Asphodèle
85
ou variable. Dans le cas où elles varient, le code Asphodèle a été développé avec un module de transport multi-espèces pour des gaz parfaits. Désormais, le module gaz réels, que
nous avons développé et qui a été présenté au chapitre 2, a été intégré au solveur.
• Réaction chimique : l’aspect thermodynamique est propre au solveur pour un calcul optimal
des propriétés des composants cependant, concernant l’aspect réactif, le code a été couplé
avec plusieurs solveurs de cinétique chimique tel CHEMKIN [93], qui présente l’avantage d’être en Fortran et transportable facilement sur de nombreuses machines, CANTERA [35], qui est un solveur open-source du Caltech, est plus récent mais il est écrit
en C (donc pouvant mener à des difficultés de compilation en fonction de la plate-forme
utilisée), et enfin des solveurs classiques de type Arrhénius, pour des cinétiques simples,
développées au laboratoire.
• Équations résolues. Le solveur est à même de résoudre les équations de Navier-Stokes soit
en les considérant sous leur forme pleinement compressible (full Mach number) ou alors,
en appliquant une hypothèse à faible nombre de Mach (low Mach number) permettant
de s’affranchir de la résolution de la propagation des ondes acoustiques. Comme nous
en avons discuté au premier chapitre, c’est la deuxième solution qui a été retenue. Cette
approximation modifie légèrement les équations de transport comme cela a été détaillé
dans ce même chapitre. Par contre, elles ont été introduites dans le code sous une forme
normalisée et sont présentées dans la partie suivante.
3.1.2
Les équations de transport résolues
Les équations de Navier-Stockes ne sont pas résolues directement sous leur forme usuelle
car lors de calculs numériques, afin de ne pas gérer de paramètres trop proches de l’erreur machine, il est bon d’effectuer les calculs avec des variables proches de l’unité. Pour cela, les
variables dites réelles comme les grandeurs thermodynamiques (par exemple la densité ρ) sont
divisées par une valeur de référence (ρ∞ ) qui n’a pas forcément une représentation physique
précise mais qui suit les lois comportementales (notamment la loi d’état) parfaitement définies.
Ces valeurs de référence, qui caractérisent un état de référence, sont utilisées afin de normaliser
les équations de transport par le biais des nombres adimensionnels classiques comme :
le nombre de Reynolds :
Re =
x0 U0 ρ∞
µ∞
(3.1)
U02
x0 g0
(3.2)
le nombre de Froude :
Fr =
86
le nombre de Schmidt :
Sc =
µ
ρD
(3.3)
Pr =
Cp µ
λ
(3.4)
et le nombre de Prandtl :
Afin de ne pas alourdir les expressions, il est utile d’introduire de nouvelles variables normalisées :
λ+ =
D
+
Cp∗ µ∗
R e Pr
(3.5)
µ∗
= ∗
ρ Re Sc
(3.6)
µ∗
Re
(3.7)
µ+ =
En introduisant ces nouvelles variables dans les équations de transport, on obtient les équations
ci-dessous, présentées en projection cartésienne et sous leurs formes normalisées. L’exposant ∗
est enlevé pour alléger les équations :
– Équation de conservation de la masse :
∂ρ ∂ρ Ui
+
= 0
∂t
∂xi
(3.8)
– Équation de conservation de la quantité de mouvement :
+
∂t
∂xj
= −
1 ∂ P (1) ∂ σij
+
γM 2 ∂xi
∂xj
avec σij le tenseur des contraintes normalisé, défini par la relation :
∂ Ui ∂ Uj
2 ∂ Uk
+
σij = µ
+
− µ+
δij
∂xj
∂xi
3
∂xk
(3.9)
(3.10)
– Équation de conservation de l’espèce j :
∂ρ Yj ∂ρ (Ui + Uc ) Yj
+
∂t
∂xi
∂
+ ∂ Yj
=
ρ Djm
∂xi
∂xi
(3.11)
3.1 Présentation du code Asphodèle
87
– Équation de conservation de l’énergie :
∂
∂ (σij Ui )
∂ρ h ∂ρ Ui h
+∂ T
+
=
λ
+ M 2 (γ − 1)
+
∂t
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
M 2 (γ − 1)
ρ Fi Ui + ρ Ṗ
Fr
(3.12)
Le lecteur peut se référer à l’annexe E qui présente en détail la normalisation des équations de
transport.
Ces équations de transport sont les équations préconisées par Poinsot et Veynante [74]. On
remarque dans l’équation de conservation des espèces, et particulièrement dans le terme de
convection, l’apparition d’une "vitesse" de correction. Cette vitesse est définie par la relation :
Uc =
ns
X
j=1
+
Djm
∂Yj
∂xi
(3.13)
Ce terme est ajouté dans l’équation de conservation des espèces pour assurer la conservation
de la masse globale du système. Les raisons sont expliquées dans [74]. Pour vérifier la stabilité
du code, une configuration a été mise en place afin de réaliser une simulation à température
constante. Les résultats obtenus dans ces conditions ont montré des variations de température
bien qu’elle ait été initialisée comme étant constante dans tout le domaine. Ces problèmes de
variations de la température sont dus à cette "vitesse" de correction. Si on reprend les équations
de conservation et qu’on applique l’équation 3.11 aux espèces concernées, on obtient :
∂
∂ YO2
∂ ρ YO2 ∂ρ (Ui + Uc ) YO2
+
+
=
ρ DO2 m
(3.14)
∂t
∂xi
∂xi
∂xi
∂
∂ ρ YH2 ∂ρ (Ui + Uc ) YH2
∂ YH2
+
+
=
ρ DH2 m
(3.15)
∂t
∂xi
∂xi
∂xi
Si on multiplie chacune des équations précédentes par l’enthalpie molaire partielle de l’espèce
considérée et qu’on additionne ces deux équations, on a alors :
∂ ρ (Ui + Uc ) (YO2 h,O2 +YH2 h,H2 )
∂ ρ (YO2 h,O2 +YH2 h,H2 )
= −
+
∂t
∂xi
∂ (YO2 h,O2 )
∂
+
ρ DO2 m
+
∂xi
∂xi
∂
∂ (YH2 h,H2 )
+
ρ DH2 m
∂xi
∂xi
(3.16)
88
Or,
ns
P
j=1
Yi h,i = hm avec hm l’enthalpie massique et h,i l’enthalpie massique partielle. De plus,
la température étant constante, l’enthalpie massique et l’entalpie massique partielle ne varient
pas avec la température et restent donc constantes dans tout le domaine, quelque soit l’espèce
considérée. Ainsi l’équation 3.16 devient :
" n #
s
X
∂ρ (Ui + Uc ) hm
∂
∂ρ hm
+ ∂ Yj
= −
+
ρ
(3.17)
h,j Djm
∂t
∂xi
∂xi
∂xi
j=1
et on s’aperçoit que l’on retrouve une partie de l’équation de conservation de l’énergie (équation 3.12). Si on ne tient pas compte des trois derniers termes de l’équation 3.12, les équations
3.17 et 3.12 ne sont les mêmes que si l’on ajoute une vitesse de correction Uc à l’équation 3.12.
L’ajout de la vitesse de correction dans l’équation de transport a permis de stabiliser le code
dans les conditions qui nous intéressent et ainsi de vérifier dans nos simulations que la température restait constante si elle était initialisée comme étant constante.
Nous venons de présenter la structure du code Asphodèle ainsi que les équations qui permettent de déterminer à chaque pas de temps les grandeurs que sont l’enthalpie, les fractions
massiques des différentes espèces ou encore la vitesse de l’écoulement. On remarque dans ces
équations la présence de grandeurs thermodynamiques qui ne sont pas résolues directement
mais dont il est nécessaire de conna^ıtre la valeur à chaque instant comme la température (équation de l’énergie), la densité (équation de la masse) et la pression (équation des moments). Pour
déterminer ces variables du code, des modèles ont déjà été mis en place dans le code en utilisant les lois des gaz parfaits. C’est pourquoi il a fallu introduire de nouvelles méthodes afin de
tenir compte des effets de gaz réels et surtout d’optimiser les temps de calcul qui deviennent
rapidement critiques.
3.2
3.2.1
Un code adapté pour les hautes pressions
Détermination du champ de pression
La détermination du champ de pression dépend, comme cela a été décrit en partie 1.4, de
la méthode utilisée. Dans le cas de configuration à faible nombre de Mach, la pression est
déterminée en résolvant une équation de Poisson qui s’écrit sous la forme :
∂ρ Uin
∂ρ n+1
+
∂
∂ρ Ui Uj ∂τij
∂ 2 P (1)
∂t
∂xi
=
+
−
+
(3.18)
∂x2i
δt
∂xj
∂xi
∂xi
Deux versions du code ont ainsi été développées dont une première version utilisant le module Fishpack [75] qui permet, si on donne le terme de droite de l’équation 3.18, de conna^ıtre le
champ de pression. Cette méthode est très coûteuse en temps de calcul car elle effectue une inversion de matrice ce qui limite le nombre de points pour avoir des temps de calcul raisonnables.
3.2 Un code adapté pour les hautes pressions
Pour tenter de remédier à ce problème, une méthode qui utilise les propriétés mathématiques
des transformées de Fourier a été introduite. Cette deuxième version du code est destinée à
tourner sur des machines vectorielles en utilisant la bibliothèque MathKeisan qui permet d’effectuer des transformées de Fourier 1D, 2D et 3D de type complexe/complexe, réelle/complexe
et réelle/réelle. Il a donc fallu changer la résolution de l’équation de Poisson en introduisant un
module de Transformées de Fourier Rapides (FFT). Avec les FFT, la résolution s’effectue par
bloc (dans notre application, le bloc correspond au domaine complet) et non plus en chaque
point du maillage. En plus d’avoir une meilleure précision, le gain en temps de calcul permet
ainsi d’accro^ıtre le nombre de points ce qui permettrait soit d’augmenter la taille du domaine,
soit de mettre d’avantage de points en conservant la taille du domaine afin d’augmenter la résolution du maillage. Pour résoudre l’équation de Poisson, on utilise les propriétés mathématiques
des FFT. Lorsqu’on effectue une transformée de Fourier d’une fonction, la dérivation ou l’intégration de cette fonction dans l’espace physique revient à faire une multiplication ou une
division dans l’espace de Fourier. Connaissant en chaque point du domaine la valeur du terme
de droite de l’équation 3.18, on peut intégrer deux fois cette fonction dans l’espace des phases et
une fois revenu dans l’espace physique on conna^ıt la valeur du champ de pression. Cette version
vectorielle du code a été utilisée sur le calculateur vectoriel de l’IDRIS 1 . Cependant, certaines
restrictions doivent être prises en compte comme la condition de périodicité sur les bords ainsi
que le nombre de points du domaine qui doit être égal à une puissance de 2.
3.2.2
Détermination du champ de température
Pour extraire la température à partir de l’enthalpie du mélange, il s’agit de faire, avec les
modèles gaz parfaits, une simple recherche de zéro de type Newton-Raphson car l’enthalpie est
un polynôme dont la température est une variable. Dans ce cas, cette équation est une fonction
linéaire ce qui n’est pas le cas avec les modèles gaz réels (cf. équation 2.52). La détermination
de la température à partir de l’enthalpie est une procédure qui, déjà en gaz parfaits, se révèle
coûteuse en temps de calcul. Pour extraire la température du champ d’enthalpie molaire, diverses méthodes ont été introduites dans le code et testées afin de garder la plus efficace.
Recherche de zéro
La première méthode introduite dans le code a été calquée sur la méthode des gaz parfaits.
On effectuait alors une recherche de zéro en chaque point du domaine pour que l’enthalpie
molaire calculée avec les fractions massiques du code et la température choisie corresponde
à l’enthalpie molaire du code. On utilisait la méthode de recherche de zéro développée par
Van Wijngaarden Dekker Brent [75] qui est utilisable pour résoudre n’importe quelle équation
(linéaire ou non). Cette méthode n’est pas applicable avec les équations des gaz réels car les
temps de calcul deviennent rapidement prohibitifs.
1
Institut du Développement et des Ressources en Informatique Scientifique.
89
90
Méthode dite des "arbres"
Nous avons donc développé une nouvelle procédure s’inspirant des méthodes utilisées en
combustion : la génération de tables thermodynamiques In-Situ. Plutôt que d’effectuer des tabulations standards contenant de nombreuses données non utilisées et coûteuses en mémoire,
une arborescence est générée à partir d’un vecteur dont les composantes sont les fractions massiques et l’enthalpie. Pour chaque point du maillage, deux possibilités peuvent se présenter :
– le vecteur (Yi ,h) correspond à un calcul déjà effectué, à un niveau de tolérance donné, et
la recherche de zéro est inutile puisque pour ce vecteur (Yi ,h) donné, on conna^ıt la température associée qui a déjà été calculée par la recherche de zéro,
– dans le cas contraire, la recherche de zéro est effectuée et le vecteur est stocké pour une
utilisation ultérieure.
Le calcul a gagné un rapport 5 dans son temps d’exécution, rendant possible les simulations
d’écoulement DNS en gaz réels, avec des temps de calculs raisonnables. Pour diminuer encore
le temps d’exécution, ces données sont stockées sous forme de pointeurs pour que l’accès soit
plus rapide.
Méthode des variations
Pour diminuer encore les temps de calcul, une troisième méthode a été testée et s’est avérée
être la plus efficace. Cette méthode est utilisée par Bellan et al [8] dans son code compressible
pour extraire la température à partir de l’énergie. Nous l’avons adaptée à la résolution des équations à faible nombre de Mach et appliquée à l’enthalpie. Cette méthode consiste à déterminer la
variation de température et pression entre un état 1 à un état 2 lorsqu’on conna^ıt la variation de
l’énergie et du volume permettant de passer de l’état 1 à l’état 2 pour une concentration donnée.
Dans la formulation Low Mach, la pression thermodynamique étant constante dans le domaine,
si on conna^ıt la variation d’enthalpie, on peut alors conna^ıtre la variation de température et de
volume associée à cette transformation. D’après l’équation 2.57 :
dh = cp dT + (αh + v) dP
(3.19)
Pour résoudre le problème complet, il faut conna^ıtre la variation de volume molaire en fonction de l’enthalpie molaire pour une pression et une température données. Pour déterminer la
variation de volume, on différencie le volume molaire en fonction des autres variables de l’écoulement. Ainsi pour une concentration donnée (les Yi sont constants), on obtient l’équation :
dv =
∂v
∂v
∂v
dT +
dh +
dP
∂T
∂h
∂P
(3.20)
91
La pression thermodynamique étant constante dans tout le domaine, on a alors dP = 0 dans les
équations 2.57 et 3.21. D’après l’équation 2.30 et en prenant l’équation de la chaleur 2.61, on
obtient une nouvelle équation pour dh :
dh = cv dT + αl dv + v dP
(3.21)
∂v = α1l pour une pression et une température données. À partir de l’équation 2.77,
Alors ∂h
P,T
∂v
on obtient l’expression de ∂T
tel que :
∂P
∂T
v ∂P
∂v
(3.22)
=
1 ∂ v ∂P
v ∂P ∂T
(3.23)
=
1∂v
v ∂T
(3.24)
χv = −
d’où :
∂v
= χv v
∂T
(3.25)
Pour conna^ıtre la variation de température dT , il reste à résoudre le système suivant :

 dh = cp dT

ce qui donne :
dv = χv v dT +


 dT =

 dv
=
1
cp
1
αl
dh
(3.26)
dh
χv v
cp
+
1
αl
(3.27)
dh
avec αl qui est défini par la relation :
αl = T
∂P
∂T
∂P
∂T
(3.28)
est donné par l’équation d’état (cf. équation 2.35). On peut écrire dh = h2 −h1 en choisissant
h2 = ht+1 et h1 = ht ce qui implique :

 dT = T t+1 − T t
(3.29)

t+1
t
dv = v − v
92
Pour conna^ıtre la valeur de T et v à l’instant t + 1, on utilise un système itératif. Cette résolution
s’effectue une fois les équations de conservation résolues, les valeurs Yit+1 et ht+1 étant alors
connues. On introduit dans le système itératif Yit+1 , les enthalpies des itérations t et t+1 qui sont
fixées ainsi que la température et le volume molaire de l’itération t. Les grandeurs introduites
dans le système itératif des itérations t servent de point de départ afin de minimiser le nombre
d’itérations. À partir de T t , v t et les Yit+1 , on peut calculer les grandeurs χ∗v , c∗p et αl∗ associées
et, avec le système 3.29, on détermine les variations dT et dv. Les grandeurs T ∗ et v ∗ sont
calculées telles que :

 dT = T ∗ − T t
(3.30)

∗
t
dv = v − v
On calcule à partir de T ∗ , v ∗ et Yit+1 , l’enthalpie correspondante (h∗ ) et on vérifie le critère
d’arrêt défini par la relation :
t+1
h − h∗ 6
(3.31)
h∗
où est le critère d’arrêt qui correspond à la précision de l’algorithme. Si la relation 3.31 est
vérifiée alors les champs de valeurs T ∗ , v ∗ correspondent à T t+1 et v t+1 . Sinon on refait une
nouvelle itération en partant non plus de T t et v t mais de T ∗ et v ∗ . On résume l’algorithme sur
le diagramme de la figure 3.1.
Cette méthode s’applique lorsqu’on utilise la version Low Mach du code. On a également
introduit la méthode utilisée par Bellan et al pour le cas d’une résolution compressible adaptée
pour tenir compte non pas de l’énergie mais de l’enthalpie. Dans le cas Full Mach, les équations
de conservation donne ρ (qui permet de calculer la valeur de v), Yi et h à l’instant t + 1. On a
alors besoin de conna^ıtre T t+1 et P t+1 tels que :

 dT = T t+1 − T t
(3.32)

dP = P t+1 − P t
avec dP et dT définis ainsi :


 dT
3.2.3
=
χT
v χv +χT cv

 dP =
χv
v χv +χT cv
dh +
1−T χv
v χv +χT cv
dh −
cp /v
v χv +χT cv
dv
(3.33)
dv
Détermination de la densité
Une fois déterminées la température et la composition, pour calculer la densité d’un fluide
ou d’un mélange de fluides, il reste à utiliser une équation d’état parmi celles présentées au
ht+1
Yit+1
93
P
Tt
vt
Tt = T∗
vt = v∗
On calcule h∗ , c∗p , l∗ et χ∗v
dh = ht+1 − h∗
dT =
dv =
1
c∗p
χ∗v vt
c∗p
dh
+
1
l∗
dh
t+1 ∗ h −h h∗ ≥ǫ
T ∗ = T t + dT
v ∗ = v t + dv
À partir de T ∗ , v ∗ , P et Y t+1
on calcule un nouveau h∗
t+1 ∗ h −h h∗ ≤ǫ
La méthode itérative se termine
T t+1 = T ∗
v t+1 = v ∗
On déduit ρt+1 à partir de v t+1
F IG . 3.1 – Organisation de la méthode des variations permettant de déterminer le champ de
température à partir des champs d’enthalpie molaire et des fractions massiques.
chapitre 2. Ainsi, dans le cas des équations cubiques, en résolvant l’équation du troisième degré
en Z (équation 2.6), on peut facilement calculer la densité du mélange. Il faut donc conna^ıtre la
pression, la température et les valeurs critiques des éléments qui constituent le mélange. Pour
résoudre l’équation cubique, deux méthodes s’offre à nous. La première consiste en une recherche de zéro sur Z. Or, les recherches de zéro sont des algorithmes qui demandent beaucoup
de temps de calcul. Pour essayer de toujours être le plus rapide possible, une méthode utilisant
un changement de variable a été introduite.
Si on choisit une équation cubique quelconque
Z 3 + C1 Z 2 + C2 Z + C3 = 0
(3.34)
94
les coefficients C1 , C2 et C3 de l’équation d’état cubique correspondant sont :
C1 = − (1 + B − uB)
(3.35)
C2 = A + w B 2 − u B − u B 2
(3.36)
C3 = −AB − w B 2 − w B 3
(3.37)
La détermination de la variable Z s’effectue selon l’algorithme suivant :
– On effectue le changement de variable Z = Z1 −C1 /3 pour que l’équation 3.34 devienne :
Z13 + C4 Z1 + C5 = 0
(3.38)
avec
C4 = −
C22
+ C2
3
(3.39)
2 C13 C1 C2
−
+ C3
(3.40)
27
3
– On effectue un nouveau changement de variable tel que Z1 = Z2 −C4 / (3 Z2 ). L’équation
3.38 devient :
C5 =
Z26 + C5 Z23 − C43 /27 = 0
(3.41)
– Le changement de variable Z3 = Z23 permet alors d’obtenir une équation du second
degré :
Z32 + C5 Z3 − C43 /27 = 0
(3.42)
– Il suffit donc de résoudre l’équation du second degré et en fonction du déterminant on
peut avoir une ou deux solutions réelles ou complexes.
– Enfin en effectuant les changements de variable dans le sens inverse, on obtient la (ou les)
valeur(s) de Z.
L’intérêt de cet algorithme est qu’il permet de réaliser ces opérations sur l’ensemble des points
du domaine et non plus d’effectuer une recherche de zéro point par point. Ainsi, la résolution
de cet algorithme est beaucoup plus rapide.
Toutes ces méthodes qui ont été introduites dans le code Asphodèle permettent désormais
de réaliser des simulations numériques d’écoulements supercritiques. Ces simulations sont appliquées afin d’étudier le mélange entre les deux ergols qui sont injectés dans la chambre de
combustion. Pour ce faire, une nouvelle configuration, représentant une double couche de mélange, est alors introduite dans le code. Elle est présentée dans la dernière partie de ce chapitre.
3.3 Étude d’une couche de mélange supercritique
3.3
Étude d’une couche de mélange supercritique
Afin de pouvoir utiliser la version supercritique du code Asphodèle pour l’étude du mélange
dans les conditions qui nous intéressent, une nouvelle configuration a été introduite dans le code.
Les différentes améliorations qui ont été apportées au code permettent désormais de simuler des
configurations multidimensionnelles à pression élevée. Notre choix s’est porté sur une configuration bidimensionnelle permettant de simuler la déstabilisation d’un jet d’oxygène dans une
atmosphère d’hydrogène où la pression ambiante est portée à 100 bar. Le choix d’un jet plutôt
qu’une couche de mélange est principalement dû aux conditions limites permettant l’utilisation de la méthode FFT pour la résolution de l’équation de Poisson. Mais avant de présenter la
configuration en détail, nous allons dans un premier temps faire un rappel sur les couches de
mélanges, leurs applications et les résultats qui ont déjà été décrits dans la littérature.
3.3.1
Les couches de mélange dans la littérature
Il existe dans la nature et dans de nombreuses applications industrielles des écoulements
qui mettent en contact des fluides pouvant être de natures différentes, de phases différentes, de
vitesses différentes, etc. On peut citer comme exemple les interactions atmosphère/océan, les
injecteurs ou encore la confluence d’un fleuve et d’une rivière (figure 3.2). La zone de contact
F IG . 3.2 – Mélange des eaux du rio Negro et de l’Amazone. (Crédits : Yann Arthus-Bertrand /
Altitude).
95
96
entre ces deux fluides est la zone où va intervenir le mélange local. De plus, lorsque la couche
qui sépare ces deux fluides en contact présente un différentiel de vitesse, c’est à dire que les deux
fluides ne sont pas à la même vitesse, on appelle cette zone une couche de mélange. C’est ce qui
se passe à la sortie d’un injecteur coaxial où l’oxygène liquide est injecté dans de l’hydrogène
supercritique à des vitesses différentes. C’est pourquoi il est important de bien comprendre ce
qui s’y passe car le mélange est, dans le cadre de la combustion dans le moteur Vulcain, l’étape
qui précède la combustion. Une fois les conditions de mélange réunies entre l’oxydant et le
carburant, la combustion peut avoir lieu. La question est alors de savoir comment s’organise le
mélange au sein d’une couche de cisaillement pour espérer contrôler la combustion, réduire la
consommation des ergols, etc.
Le mélange na^ıt tout d’abord par la création dans la zone de contact de grandes structures
liées à la dynamique des fluides. Ces structures tourbillonnaires sont créées par les instabilités
de Kelvin-Helmholtz qui vont, selon les cas, s’apparier entre elles puis se briser en diverses
instabilités. Par interaction mutuelle, ces tourbillons vont s’enrouler entre eux pour n’en former
plus qu’un seul de taille supérieure tout en déclenchant un processus de cascade énergétique. Ce
tourbillon va happer une partie de l’un des deux fluides pour le transporter dans l’autre. Ainsi, la
couche de mélange va permettre d’homogénéiser toute grandeur présentant des différences dans
les deux fluides en contact comme la concentration (rejet de polluants dans l’atmosphère, dilution d’un colorant, etc) ou la température (eau chaude dans un bain plus froid, etc) par exemple.
L’espacement entre les tourbillons dépend fortement du champ de vitesse à travers la couche de
mélange et donc de l’épaisseur de cette couche.
Mais lorsque sont mis en présence deux fluides dont l’un est liquide et l’autre gazeux (ou
supercritique) et que la vitesse du liquide est inférieure à celle du gaz, le liquide est atomisé par
les forces de cisaillement. C’est sur ce principe qu’ont été développés les injecteurs coaxiaux
du moteur Vulcain, dont les vitesses d’injection sont approximativement 100 m/s pour l’hydrogène et 20 m/s pour l’oxygène. Or, la présence d’une interface dans une simulation numérique
directe est très difficile à prendre en compte et demande des calculs supplémentaires qui augmentent d’avantage la durée du calcul. On peut citer les travaux de Ménard et al [57, 58] qui ont
travaillé sur l’injection d’un jet dense dans de l’air à pression atmosphérique. La prise en compte
d’une interface dans le cadre d’une DNS supercritique est pour le moment impossible, faute de
calculateur et de code numérique capables de simuler de telles conditions. En effet, lorsque la
pression devient importante, si on simule un jet liquide dans une atmosphère gazeuse ou supercritique, il faut tenir compte de la dissolution du gaz dans le liquide et la présence de l’interface
dans le domaine de calcul ne peut être uniquement déterminée en transportant une fonction de
phase comme dans les études de Ménard et al. La thermodynamique joue alors un rôle important
et doit être prise en compte d’où un accroissement des temps de calcul. En effet, la dissolution
de la phase légère (gazeuse ou supercritique) dans la phase liquide, présentée dans la partie
2.2.2, doit être prise en compte. C’est pourquoi dans nos simulations, seuls des fluides de même
nature sont utilisés, essentiellement des couches de mélange supercritique/supercritique.
En plus des variations de vitesse entre les fluides, le mélange impose des variations des propriétés thermo-physiques. Ainsi des gradients de densité et/ou de viscosité apparaissent dans la
couche de mélange ce qui modifie la dynamique de l’écoulement. On appelle ces écoulements
des écoulements stratifiés qui induisent des effets déjà étudiés :
– Effet de stratification de densité : il a été montré expérimentalement qu’une différence de
densité entre les deux écoulements initiaux formant la couche de mélange modifie la dynamique des structures [13]. Le taux d’épaississement de la couche, la vitesse et la forme
des tourbillons se trouvent profondément altérés [88].
– Effet de stratification de viscosité : selon certaines études, résumées dans la thèse de Talbot [90], les résultats montrent qu’une zone de contact fluide soumise à une stratification
de la viscosité dynamique est conditionnellement instable et engendre de manière violente des modes d’instabilité de courtes longueurs d’onde lorsque :
– Le ratio de viscosité se situe entre 1 et 30 et ce, quelque soit le nombre de Reynolds,
– L’épaisseur de diffusion entre les deux fluides à l’interface est inférieure à une épais1/3
seur critique, proportionnelle à αRe (α est le coefficient apparaissant dans l’équation
d’Orr-Sommerfield) [52]. Si l’épaisseur est plus importante que ce seuil critique, le
mode de cisaillement est préférentiellement excité au détriment du mode interfacial
qui est beaucoup plus stable sur une gamme de Reynolds élargie.
Ces effets de stratification sont particulièrement étudiés par les géophysiciens dans l’étude des
écoulements de magma lors d’irruptions volcaniques. En effet, la lave qui s’écoule sur les pentes
du volcan se refroidit et ralentit sur les bords de la coulée et devient donc plus dense et plus visqueuse en faisant appara^ıtre une couche de mélange. Or, le mélange entre l’oxygène et l’hydrogène en sortie d’injecteur implique également de la stratification et on verra les conséquences
sur l’écoulement.
La plupart des études qui portent sur le mélange, et plus particulièrement sur les couches
de mélange, ont été appliquées à des cas où la pression est la pression atmosphérique. Mais
lorsque la pression augmente, quelles peuvent être les conséquences sur de tels écoulements
surtout pour le mélange qui nous intéresse (O2 /H2 ) ? Le manque de données expérimentales
oblige les industriels à développer des simulations numériques et à notre connaissance, une
seule simulation numérique directe supercritique a été mise au point par Bellan et al et présentée
au chapitre 1. C’est pourquoi cette étude a été mise en place dans le but d’étudier le mélange
en condition supercritique avec une simulation numérique directe et dont l’objectif est, dans
un premier temps, de se rapprocher des conditions utilisées par Bellan et al [3, 8]. Pour mener
à bien cette étude, une nouvelle configuration a été introduite dans le code Asphodèle et est
97
98
présentée dans la partie suivante.
3.3.2
Couche de mélange temporelle
Cette configuration a pour objectif d’étudier l’influence de la physique et de la thermodynamique sur le mélange des réactifs appliqué au cas d’un injecteur coaxial. Dans la chambre de
combustion, l’oxygène, qui est injecté à une vitesse plus faible que l’hydrogène, se pulvérise
sous l’action des forces de cisaillement créant un brouillard de gouttelettes. Tout n’étant pas
pulvérisé, un dard liquide existe jusqu’à une certaine distance à partir de laquelle les conditions
critiques sont atteintes à l’interface. Au-delà de ce point, il reste deux fluides de même nature
(supercritique) et une couche de mélange appara^ıt.
La configuration choisie pour étudier le mélange supercritique est une couche de mélange
temporelle car c’est la configuration la plus simple qui permette le développement de couche de
cisaillement, qui est un des processus principaux de formation de production de turbulence dans
la nature ou dans les applications industrielles. La couche de mélange temporelle s’apparente
grandement à une couche de mélange spatiale mais elle permet des simulations sur un domaine
physique beaucoup plus petit, ce qui présente un avantage non négligeable en DNS. À la différence d’une couche de mélange spatiale, la couche de mélange temporelle revient à suivre une
ou plusieurs structures cohérentes qui grandissent avec le temps, mais dans ce cas on ne tient
pas compte des effets de symétrie de l’écoulement. C’est aussi la méthode choisie par Bellan
et al pour sa DNS [3]. C’est pourquoi, les équations de Navier-Stokes utilisées pour cette étude
sont choisies sous leur forme cartésienne afin de simuler une couche de mélange plane. Bien
que pour simuler l’écoulement issu d’un injecteur coaxial une version axisymétrique aurait pu
être choisie, la phénoménologie de base est similaire mais nous aurions perdu la périodicité
selon la direction transverse du jet ce qui générait un coût de calcul très élevé. De plus, la zone
d’étude de notre simulation est située assez loin de l’injecteur pour que l’oxygène, initialement
liquide passe en phase supercritique, afin d’être certain de ne pas trouver d’interface dans le
domaine.
Conditions limites
Les conditions limites qui ont été appliquées sont des conditions périodiques sur les deux
directions. Selon l’axe y, donc transverse au jet, la condition de périodicité permet de simuler
la présence d’injecteurs voisins de chaque côté du jet. Cette hypothèse semble réaliste car les
réactifs sont injectés dans la chambre de combustion à travers 516 injecteurs. Ainsi, l’impact
des deux voisins (pour un cas 2D) est pris en compte. Pour l’axe x, on a également choisi d’appliquer des conditions limites périodiques afin de permettre au jet de se déstabiliser. Comme
pour toute simulation numérique directe, la taille du domaine est toujours réduite et avec l’adimensionnement des équations de transport elle est inversement proportionnelle à la pression.
Vu que l’on cherche à atteindre une pression de 100 bar, la taille du domaine se trouve donc di-
99
Version séquentielle Version vectorielle
Axe
x
y
Nombre de points
801
201
Nombre de points
1025
257
TAB . 3.1 – Nombre de points dans les deux directions du domaine pour la version séquentielle
et vectorielle
visée par 100 par rapport à une DNS à pression atmosphérique. Si on avait choisi une condition
d’entrée et de sortie il ne se passerait rien car le jet sortirait du domaine avant de commencer à
se déstabiliser. Afin d’étudier les mécanismes du mélange, on décide alors de réinjecter ce qui
sort du domaine, dont les fluctuations de vitesse, afin de déstabiliser d’avantage le jet. On étudie
alors les effets dans le temps et non dans l’espace : c’est une couche de mélange temporelle.
Domaine de calcul et maillage
La configuration introduite dans le code Asphodèle est une configuration bidimensionnelle
permettant de simuler la déstabilisation d’un jet en condition supercritique. En fonction de la
méthode de calcul choisie pour le calcul de la pression, plusieurs maillages ont été utilisés. Ils
sont présentés dans le tableau 3.1 où δ représente l’épaisseur initiale de la couche de mélange.
On note que pour la version utilisant le solveur FFT, le nombre de points, qui est égal à 2n + 1,
est imposé par la FFT.
Initialisation des variables de l’écoulement
L’initialisation des grandeurs de l’écoulement que sont les vitesses d’injection, les températures et les fractions molaires varient en fonction des cas à traiter afin de pouvoir régler les
densités ainsi que les facteurs de compressibilité des réactifs. Les grandeurs thermodynamiques
sont choisies en fonction du diagramme de phase du mélange H2 /O2 présenté sur la figure 2.4.
Dans notre étude, le mélange ne concernera que des fluides de même nature (gaz/gaz ou supercritique/supercritique) ou qui ne présentent pas de discontinuité à la surface de contact entre les
deux fluides (gaz/supercritique). Les champs d’enthalpie sensible, de composition et de température ne peuvent être initialisés indépendamment les uns des autres pour conserver l’énergie
dans le domaine. L’initialisation des grandeurs thermodynamiques s’effectue selon la méthode
suivante :
1. Initialisation des fractions massiques avec une fonction tangente hyperbolique. On présente sur la figure 3.3 le profil de la fraction massique de O2 . La fonction tangente hyper-
100
1
0.8
Y
O
2
(−)
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
y* (−)
1.5
2
F IG . 3.3 – Coupe, selon l’axe x∗ , du champ de fraction massique de O2 à l’instant initial.
bolique est initialisée de sorte que le nombre de points dans le gradient soit suffisamment
important. Cela dépend de l’épaisseur de ce gradient qui correspond donc l’épaisseur de
la couche de mélange et qui sera noté δ par la suite.
2. Calcul de la valeur de l’enthalpie molaire pour l’oxygène pur à sa température d’injection
hO2 et de l’enthalpie molaire pour l’hydrogène pur à sa température d’injection hH2 . On
utilise à nouveau la fonction tangente hyperbolique pour calculer le champ d’enthalpie
molaire hm en utilisant comme borne pour la fonction hO2 et hH2 .
3. On utilise l’algorithme présenté ci-avant pour extraire le champ de température T (x, y) à
partir de hm (x, y) et des Yi (x, y).
4. Enfin, l’équation d’état permet de calculer la densité de l’écoulement ρ (x, y).
Pour les différentes composantes de la vitesse, on initialise tout d’abord le champ de vitesse
transverse (Uy ) à 0. Pour la vitesse axiale du jet (Ux ), on utilise le même profil que pour la
fraction massique avec, au centre du jet, la vitesse UO2 et sur les bords du jet, UH2 . La valeur
normalisée choisie pour ces deux vitesses sont 1 et 0.2 pour UH2 et UO2 respectivement. En
choisissant 100 m/s pour UH2 , on déduit la valeur de UO2 qui est égale à 20 m/s. Afin de
déstabiliser plus rapidement le jet et permettre d’accélérer le mélange, un bruit blanc est ajouté
à la vitesse du jet qui correspond à des fluctuations de vitesse très faibles devant les vitesses
UO2 et UH2 . Ainsi, ces petites perturbations vont déstabiliser le jet et créer de petites structures
tourbillonnaires qui vont fusionner pour former de plus grandes structures. Cette vitesse est
calculée en multipliant la dérivée du vecteur Ux selon y par un nombre aléatoire A compris
entre 1 et 10 et en multipliant par un facteur très faible devant les vitesses UO2 et UH2 (dans
101
notre cas 10−3 ) :
Ublanc = A ×
∂ Ux
× 10−3
∂y
(3.43)
Alors que la configuration avec ses conditions limites, ses grandeurs physiques et thermodynamiques ainsi que le domaine ont été présentés, il est désormais possible de réaliser les
premières simulations numériques directes supercritiques à faible nombre de Mach. Ces simulations ont été rendues possible par l’introduction dans le code Asphodèle des modèles thermophysiques permettant de déterminer les grandeurs de l’écoulement. Il a également fallu adapter
et le code et le modifier pour que ces simulations soient réalisables en des temps acceptables.
À partir des résultats extraits de la couche de mélange temporelle, on pourra étudier le mélange, les effets de la pression, les effets des modèles thermo-physiques, etc. Ces résultats sont
présentés dans le dernier chapitre de ce travail.
102
Chapitre 4
Simulation de la déstabilisation d’un jet en
condition supercritique
Dans les précédents chapitres de cette thèse, nous avons présenté le code Asphodèle ainsi
que les modules qui ont été introduits dans le code. Ces nouveaux algorithmes permettent de
réaliser des simulations numériques directes en conditions supercritiques avec des temps de calcul convenables. De plus, pour étudier le mélange local des réactifs en proche sortie d’injecteur,
une configuration permettant de simuler un jet d’oxygène dans une atmosphère d’hydrogène a
été mise en place et détaillée au chapitre précédent. L’étude du mélange avec une simulation numérique directe permettra de mieux comprendre et caractériser des phénomènes physiques qu’il
est actuellement impossible d’observer expérimentalement. Or, très peu d’auteurs ont travaillé
sur ce sujet et c’est pourquoi l’étude de Bellan et al [3] qui présente une simulation numérique
directe d’une couche de mélange supercritique a servi de base pour notre étude. Mais, comme
cela a été souligné en première partie, nous allons utiliser une formulation à faible nombre de
Mach pour la détermination du champ de pression.
Ce dernier chapitre de la thèse sera consacré à la présentation et à l’exploitation des résultats
obtenus à partir des diverses simulations que nous avons réalisées avec le code Asphodèle. Mais
avant toute chose, il nous a semblé important de valider les nouveaux modèles et algorithmes
présentés aux chapitres 2 et 3 qui ont été introduits dans le code de simulation Asphodèle. Nous
étudierons ensuite les limites du code Asphodèle en fonction des conditions initiales des fluides
et plus particulièrement en fonction du rapport de densité qui est reporté dans la littérature
comme étant un facteur limitant pour les simulations à faible nombre de Mach. Les facteurs de
compressibilité des fluides ont également été testés afin de tester la sensibilité du code aux effets
de gaz réels. Des différences ayant été observées entre les modèles gaz parfaits et gaz réels, lors
de la validation des nouveaux modèles, nous avons mis en place un étude concernant l’impact
des différents modèles utilisés pour le calcul des coefficients de transport sur les résultats de la
simulation. On verra alors apparaitre un pic de densité dans la zone de mélange du jet et c’est
pourquoi nous avons consacré une partie à regarder les effets du nombre de Lewis. Enfin, la
104
dernière partie sera dédiée aux études préliminaires portant sur la validation de modèles RANS
et LES utilisés dans certains codes de simulation cités au chapitre 1.
4.1
Validation de la version supercritique du code Asphodèle
Après avoir apporté un grand nombre de modifications au code Asphodèle, nous avons,
dans un premier temps, cherché à valider les modules et algorithmes apportés au code avant de
réaliser les études prévues sur le mélange en condition supercritique. La version supercritique
correspond en fait à l’introduction de l’ensemble des modèles physiques permettant de calculer
les grandeurs thermodynamiques et les coefficients de transport (présentés au chapitre 2) ainsi
que les algorithmes décrits au chapitre 3 pour le calcul du champ de pression, de densité et de
température. Bien qu’ayant été testés individuellement, l’intégration de l’ensemble des modèles
thermo-physiques doit pourtant être vérifiée.
Ainsi, à partir de la version gaz parfaits du code Asphodèle, qui a déjà permis de simuler de
nombreuses configurations [16] [81], nous allons comparé les résultats de cette version dont les
grandeurs ont été calculées avec les lois des gaz parfaits aux résultats issus de simulations dont
les grandeurs physiques ont été déterminées avec le module gaz réels. Par la suite, on utilisera
le terme "gaz parfaits" lorsque les grandeurs thermodynamiques sont calculées avec les lois des
gaz parfaits et/ou lorsque les coefficients de transport sont déterminés avec le module extrait du
logiciel Chemkin qui ne dépend pas de la pression ambiante. Par opposition, "gaz réels" correspond à l’ensemble des modèles présentés au chapitre 2.
Pour comparer les résultats extraits de ces deux versions du code, les conditions initiales
doivent être identiques tout en s’assurant que les effets de gaz réels soient négligeables. Pour
cela, le coefficient de compressibilité doit être proche de 1 dans tout le domaine. Dans un premier temps, nous comparons uniquement les résultats où seules les variables thermodynamiques
sont calculées avec les lois des gaz parfaits et des gaz réels. Ainsi, on utilise la même méthode
pour le calcul des coefficients de transport pour les deux simulations et nous avons choisi les
modèles gaz parfaits pour leur rapidité. Dans ces conditions, les résultats issus des deux simulations doivent être très proches. Par contre, il est nécessaire de préciser que pour le calcul du
coefficient de diffusion nous apportons une correction lorsque nous utilisons la méthode des
gaz parfaits. Nous avons divisé la valeur issue du modèle gaz parfaits par la pression du milieu
(100 bar) car lorsque la pression augmente, le coefficient de diffusion est inversement proportionnel à cette dernière. Ainsi cette division permet de rester proche de ce qui se passe en réalité
et de permettre la comparaison avec les modèles gaz réels.
Avant de présenter les résultats des simulations, nous allons décrire la configuration utilisée
pour cette étude. Les conditions initiales sont une pression de 100 bar et une température d’injection de 225 K et 600 K pour l’hydrogène et l’oxygène respectivement. Dans ces conditions
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
Z (−)
Z (−)
4.1 Validation de la version supercritique du code Asphodèle
0.6
0.4
0.2
0
105
0.6
0.4
200
400
600
T (K)
800
1000
0.2
0
Oxygène
200
400
600
T (K)
800
1000
Hydrogène
F IG . 4.1 – Évolution du coefficient de compressibilité de l’oxygène et de l’hydrogène en fonction de la température pour une pression de 100 bar.
et en effectuant une coupe des diagrammes de la figure 1.3 à la pression utilisée dans notre
étude (cf. figure 4.1), on constate que les coefficients de compressibilité des deux espèces sont
très proches de 1 ce qui signifie donc que les fluides se comportent comme des gaz parfaits. Les
valeurs des coefficients de compressibilité pour les deux fluides dans leur condition initiale sont
présentées dans le tableau 4.2. Pour définir le domaine de calcul, nous utilisons les équations
présentées au chapitre 3, et plus particulièrement les nombres adimentionnels permettant de normaliser les équations de transport. On voit apparaitre dans ces équations des grandeurs définies
comme des grandeurs de référence (ρ∞ , µ∞ , x0 , etc). Ces variables thermodynamiques notées
avec l’indice ∞, sont déterminées à partir d’un état de référence quelconque mais elles suivent
les lois de comportement comme l’équation d’état. Pour cette configuration, l’état de référence
a été choisi comme étant de l’oxygène pur à la température T∞ = 298.15 K, à la pression P∞ =
101133 P a. À partir de ces variables, on peut calculer les densité et viscosité correspondantes :
ρ∞ = 1.3054 kg/m3
µ∞ = 2.0486 × 10−5 P a.s
En utilisant l’équation du nombre de Reynolds du code (équation 3.1), on peut déterminer la
longueur de référence telle que :
x0 =
Rec µ∞
U0 ρ∞
(4.1)
Pour d’avantage de détails sur les grandeurs normalisées, de référence et les grandeurs physiques, le lecteur peut se référer à l’annexe E qui présente la normalisation des équations de
transport. Pour des raisons de stabilité numérique due à l’augmentation de la pression, le nombre
de Reynolds du code a été fixé à 30 pour le maillage utilisé. Enfin, il reste à détailler le maillage
utilisé qui est fonction des vitesses des fluides. Dans la partie 3.3.2, nous avons fixé la valeur des
106
Valeur normalisée (-) Valeur physique (m)
Lx
Ly
e
δ
dx(=dy)
Ly
257
8
2
0.75
0.1
= 0.008
3.8 × 10−5
9.4 × 10−6
3.5 × 10−6
4.7 × 10−7
3.8 × 10−8
m
m
m
m
m
TAB . 4.1 – Caractérisation des différentes grandeurs liées au maillage. Lx et Ly sont les longueurs du domaine de calcul selon la direction x et y respectivement, e est le "diamètre" du jet,
δ est l’épaisseur initiale de la couche de mélange et dx est la longueur d’une maille.
vitesses d’"injection" des réactifs. Ainsi, pour l’hydrogène, la valeur de U0 est égale au rapport :
U0 =
=
UH2
UH+2
(4.2)
100
= 100 m/s
1
(4.3)
avec UH2 la valeur physique de la vitesse d’injection de l’hydrogène et UH+2 la valeur normalisée
correspondante. Finalement, on obtient la longueur de référence x0 égale à 4.7 × 10−6 m et les
longueurs du domaine de la simulation, définies par la relation :
L = x0 × L +
(4.4)
sont données dans le tableau 4.1 qui résume toutes les longueurs liées au maillage.
Pour comparer les deux simulations, on a extrait à divers instants de la simulation (t∗ = 0,
10 et 20) des champs de densité ainsi que des coupes transverses du jet. Le temps t∗ utilisé pour
présenter l’évolution du champ de densité correspond à un temps normalisé qui est défini par la
relation :
x0 +
t
(4.5)
t∗ =
Uo
Ainsi, pour les x0 et U0 définis ci-avant, les temps normalisés t∗ = 10 et 20 correspondent à
4.7 × 10−7 s et 9.4 × 10−7 s respectivement. Pour avoir un ordre d’idée, la longueur normalisée
selon la direction x étant de 8 et la vitesse axiale normalisée de H2 étant égale à 1, il faut 8 t∗
pour que l’hydrogène, initialement présent à x∗ = 0, traverse complètement le domaine de simulation dans la direction x, soit approximativement 3.8 × 10−7 s.
20
30
40
50
60
70
10
y* (−)
y* (−)
20
1
0
0
2
4
*
x (−)
6
2
20
30
40
50
60
70
70
10
4
*
x (−)
6
4
x* (−)
6
10
20
30
40
50
60
70
1
2
4
x* (−)
6
50
ρ (kg/m3)
60
50
ρ (kg/m3)
60
50
40
30
20
20
10
0
10
0
1.5
Coupes à x∗ = 4 et t∗ = 0
2
70
4
*
x (−)
6
8
30
40
50
60
70
2
4
x* (−)
6
8
1.5
2
Gaz réels à t∗ = 20
60
1
y (−)
20
0
0
8
70
*
60
1
70
0.5
2
10
70
30
50
1
40
40
2
0
0
8
30
Gaz parfaits à t∗ = 20
y* (−)
1
2
20
0
0
8
2
y* (−)
y* (−)
60
ρ (kg/m3)
50
1
0
0
8
2
0
0
40
2
10
30
2
y* (−)
10
2
107
40
30
20
0.5
1
y (−)
*
1.5
2
10
0
0.5
1
y* (−)
F IG . 4.2 – Champs de densité extraits à t∗ = 0, 10 et 20 des simulations gaz parfaits et gaz
réels. Les figures du bas présentent des coupes effectuées au centre (x∗ =4) de la simulation gaz
parfaits (carrés noirs) et gaz réels (ronds rouges). Les coefficients de transport sont calculés avec
les modèles des gaz parfaits.
Les résultats issus des deux simulations sont présentés sur les images de la figure 4.2.
Comme pour la plupart des résultats qui seront présentés dans la suite de ce chapitre, nous
utilisons la densité comme principale grandeur pour présenter les résultats. Ce choix est motivé
par le fait que lorsque l’approximation à faible nombre de Mach est utilisée, la densité n’est pas
une variable résolue directement par une équation de transport mais elle est calculée à partir
d’autres variables qui sont résolues par une équation de transport (fractions massiques) ou déterminées par des lois thermodynamiques (température). On constate initialement, sur la coupe
de la figure 4.2 à t∗ = 0, une légère différence entre les deux modèles, principalement du côté
de l’oxygène. Cette différence s’explique par l’utilisation des lois des gaz réels qui diffèrent
légèrement des lois des gaz parfaits même lorsque le coefficient de compressibilité est proche
de 1. On retrouve d’ailleurs ces légères différences sur les autres coupes de figures 4.2. Finalement, l’évolution temporelle des champs de densité étant quasiment identique pour les deux
108
x
L (m)
δ (m)
Rec (-)
3.76×10−5
y
9.4×10−6
4.7×10−7
30
O2
Pression (bar)
Vitesse (m/s)
Température (K)
Densité (kg/m3 )
Coefficient de compressibilité (-)
H2
100
20
600
63.3
1.02
100
225
10.6
1.04
Modèle
Viscosité
Diffusion des espèces
Chung et al [20]
Ely et Hanley [31]
Fuller et al [33] + Takahashi [89]
TAB . 4.2 – Description complète de la configuration de référence
simulations, on peut conclure que le calcul des grandeurs thermodynamiques ainsi que les algorithmes présentés au chapitre 3 se comportent parfaitement.
Après avoir validé le module permettant de calculer les variables thermodynamiques, nous
allons vérifier le comportement du module calculant les coefficients de transport. En conservant la même configuration que précédemment, nous utilisons maintenant, en lieu et place des
modèles des gaz parfaits pour le calcul des coefficients de transport, les nouveaux modèles qui
tiennent compte de la pression. Les modèles utilisés sont les modèles de Chung et al [20], Ely
et Hanley [31] et la méthode de Fuller et al [33] associée à la correction de Takahashi [89] pour
déterminer respectivement la viscosité, la conductivité thermique et les coefficients de diffusion
des espèces. Cette configuration, complètement décrite par les modèles des gaz réels, sera nommée par la suite configuration de référence. Elle servira de point de comparaison dans le cadre
des différentes études à venir. Cette configuration de référence est présentée dans le tableau 4.2.
10
20
30
40
50
60
70
10
20
0
0
2
4
*
x (−)
6
60
70
1
0
0
8
10
10
20
30
40
50
2
4
*
x (−)
6
60
70
10
2
4
x* (−)
6
8
20
2
30
40
50
60
70
10
20
1
0
0
2
4
x* (−)
6
8
0
0
60
50
50
50
30
3
20
10
0
10
0
3
40
20
2
ρ (kg/m )
70
60
ρ (kg/m )
70
1.5
70
6
8
30
40
50
60
70
4
x* (−)
6
8
60
1
y* (−)
4
*
x (−)
2
70
0.5
60
1
30
50
2
40
40
y* (−)
y* (−)
1
30
1
0
0
8
2
0
0
20
2
ρ (kg/m )
50
2
y* (−)
40
y* (−)
1
3
30
2
y* (−)
y* (−)
2
109
40
30
20
0.5
1
y* (−)
1.5
2
10
0
0.5
1
y* (−)
1.5
2
F IG . 4.3 – Champs de densité extraits à t∗ = 10, 15 et 20 des simulations gaz parfaits et gaz
réels. Les figures du bas présentent des coupes effectuées au centre (x∗ =4) de la simulation gaz
parfaits (carrés noirs) et gaz réels (ronds rouges).
Comme précédemment, les résultats sont présentés sous la forme de champs et de coupes
de densité. Ils ont été extraits à 10, 15 et 20 temps de code et sont présentés sur les images de
la figure 4.3). En observant ces résultats, on constate que les différences entre les deux simulations sont plus importantes que dans le cas précédent. Ces écarts ne pouvant être imputés au
calcul des variables thermodynamiques testées précédemment dans les mêmes conditions, ils
sont donc uniquement liés aux modèles utilisés pour calculer les coefficients de transport. Nous
présentons sur les images de la figure 4.4, les profils initiaux des coefficients de transport qui ont
été utilisés dans cette étude. D’après ces profils, on remarque qu’il existe bien des différences
entre la méthode gaz parfaits et gaz réels mais elles sont minimes surtout au centre du jet, c’est
à dire pour l’oxygène. On présente d’ailleurs dans les tableaux 4.3 et 4.4, les valeurs de la viscosité et de la conductivité thermique à 1 bar et 100 bar, pour l’oxygène et l’hydrogène dans les
conditions initiales de la simulation (TH2 = 225 K et TO2 = 600 K). De même, dans le tableau
4.5, on présente les résultats issus des modèles utilisés du coefficient de diffusion binaire en
fonction de la pression. Ces valeurs ont été déterminées avec le modèle gaz parfaits, le modèle
110
−5
4
x 10
0.2
0.15
λ (W/(m.K))
µ (Pa.s)
3
2
1
0.1
0.05
0
0
0.5
1
y* (−)
1.5
0
0
2
Viscosité dynamique (P a.s)
6
x 10
(m2/s)
4
2
O m
(m2/s)
6
3
D
2
m
2
5
8
DH
1.5
−7
x 10
4
2
0
1
y* (−)
Conductivité thermique (W/(m.K))
−6
10
0.5
2
0.5
1
y* (−)
1.5
Coefficient de diffusion du H2
dans le mélange
(m2 /s)
2
1
0
0.5
1
y* (−)
1.5
2
Coefficient de diffusion du O2
dans le mélange (m2 /s)
F IG . 4.4 – Comparaison des coefficients de transport, à l’instant initial, entre les modèles des
gaz parfaits (carrés noirs) et gaz réels (ronds rouges).
gaz réels et elles sont comparées aux valeurs extraites du NIST. À partir des valeurs de conductivité thermique et de viscosité, on remarque que les modèles de gaz réel se comportent de façon
satisfaisante car les valeurs augmentent avec la pression. Cependant, il apparait tout de même
des différences avec les valeurs de référence et, plus surprenant, on constate que les valeurs du
modèle gaz parfaits sont plus proches des valeurs issues du NIST [63] que de celles calculées
avec les modèles gaz réels dans le cas de l’hydrogène. D’ailleurs, en comparant les valeurs à
pression atmosphérique et à 100 bar, on remarque que la pression agit très faiblement ces deux
coefficients dans les conditions qui nous intéressent (pas d’effet de gaz réels) et dans le cas
des espèces pures. Ainsi, seul le coefficient de diffusion des espèces, qui ne peut être comparés
à des données expérimentales précises, semble affecter les simulations en créant ces différences.
En conclusion, à partir des observations concernant les diverses simulations présentées ciavant, on peut conclure que les modèles et les algorithmes implémentés dans le code se comportent de façon satisfaisante pour être validés et pour permettre de continuer les études projetées. Les différences que nous avons pu observer sur les champs de densité lorsque les coefficients de transport ont été calculé par les modèles des gaz réels et les modèles des gaz parfaits,
nous ont motivés à regarder l’impact des coefficients de transport sur la dynamique de l’écoulement en utilisant les différents modèles physiques à notre disposition. Mais avant cela, nous
O2 (T = 600 K)
H2 (T = 225 K)
1 bar
GP
GR
NIST
34.070 34.459 34.671
7.4196 6.2304 7.3513
111
100 bar
GP
GR
NIST
34.070 34.699 35.467
7.4196 6.5933 7.6784
TAB . 4.3 – Valeurs de la viscosité (µP a.s) pour les fluides utilisés dans la simulation calculées
avec les modèles de gaz parfaits, gaz réels et extraites du NIST.
O2 (T = 600 K)
H2 (T = 225 K)
1 bar
GP
GR
NIST
0.0482 0.0466 0.0507
0.1510 0.1289 0.1468
100 bar
GP
GR
NIST
0.0482 0.0496 0.0522
0.1510 0.1424 0.1573
TAB . 4.4 – Valeurs de la conductivité thermique (W/(m.K)) pour les fluides utilisés dans la
simulation calculées avec les modèles de gaz parfaits, gaz réels et extraites du NIST.
allons chercher à atteindre les limites du code Asphodèle en faisant varier le rapport de densité
et le rapport des coefficients de compressibilité, le but étant de se rapprocher des conditions
utilisées par Bellan et al [3].
112
T = 600 K
T = 225 K
1 bar
GP
GR
−4
2.67 × 10
2.85 × 10−4
5.00 × 10−5 5.31 × 10−5
GP
2.67 × 10−6
5.00 × 10−7
100 bar
GR
2.85 × 10−6
5.31 × 10−7
Bellan el al [3]
2.39 × 10−6
4.26 × 10−7
TAB . 4.5 – Valeurs du coefficient de diffusion binaire DO2 H2 (m2 /s) pour les fluides utilisés
dans la simulation calculées avec les modèles de gaz parfaits, gaz réels et le polynôme de Bellan
et al [3].
4.2 Limites du code Asphodèle dans le cas de simulations supercritiques
4.2
113
Limites du code Asphodèle dans le cas de simulations supercritiques
Les modifications apportées au code Asphodèle ayant été validées dans la première partie
de ce chapitre, nous allons désormais tester la capacité du code à simuler des configurations
plus contraignantes (rapport de densité, effets de gaz réels) afin de se rapprocher des conditions
présentées par Bellan et al dans [3, 8]. Dans la plupart des simulations numériques directes,
dilatables et utilisant l’approximation à faible nombre de Mach, il est rapporté que le rapport de
densité est un facteur limitant ; une valeur de 10 a été souvent relevée comme étant une valeur
critique. De plus, la presque totalité de ces simulations a été réalisée à pression atmosphérique
et donc elles utilisaient les lois de gaz parfaits. Ainsi, nous allons, dans cette partie, tester la
sensibilité du code à tenir un rapport de densité élevé en faisant varier les températures initiales
des réactifs mais également en jouant sur la résolution du maillage et le choix de la nature des
réactifs.
4.2.1
Sensibilité du code au rapport de densité
Nous avons expliqué au chapitre 3, pourquoi il est impossible pour le moment de réaliser
une simulation numérique directe en utilisant les conditions réelles d’injection d’un moteur fusée et en particulier les températures d’injection des ergols. Nous avons montré que, dans ces
conditions, il y aurait la présence d’une interface dans le domaine de calcul qui augmenterait
de façon trop importante les temps de calcul pour pouvoir réaliser une DNS. C’est pourquoi
nous allons dans un premier temps essayer de dépasser la valeur critique de 10 du rapport des
densités entre les ergols ce qui serait une première étape pour se rapprocher des valeurs utilisées
par Bellan et al [3].
Pour augmenter la valeur du rapport de densité, nous allons faire varier les températures
initiales des ergols. Dans la configuration précédente, les températures de l’oxygène et de l’hydrogène étaient de 600 K et 225 K respectivement. Avec ces températures et une pression de
100 bar, le rapport de densité est proche de 6. Nous allons diminuer la température de l’oxygène tout en conservant le même domaine de calcul que la configuration de référence (cf. tableau
4.2). À partir des diverses configurations testées, on a constaté que lorsque la température de
l’oxygène est supérieure ou égale à 450 K, la simulation se déroule sans problème. Dans ces
conditions, le rapport de densité est de 8.2 tandis que le coefficient de compressibilité de l’oxygène reste proche de 1. Mais en dessous de cette valeur de température (et donc au dessus d’un
rapport de densité de 8.2), le code diverge en raison de l’apparition d’une onde de pression dans
le domaine de calcul.
Plusieurs causes peuvent être à l’origine de l’apparition de ce pic de pression. Il y a tout
d’abord l’utilisation de la méthode PADE, pour le calcul des dérivées. En effet, la méthode
PADE est une méthode très précise pour déterminer la valeur des dérivées mais elle est très
114
sensible aux gradients. Ainsi, un gradient trop important de certaines grandeurs (comme la
densité) peut créer des fluctuations qui peuvent se répercuter sur la pression lorsqu’on utilise la
méthode de projection et qui peuvent s’accumuler pour former ce pic de pression. En jouant sur
la résolution du maillage, il serait donc possible de résoudre ce problème en diminuant la valeur
des gradients dans le domaine de calcul. Une autre cause de la divergence du code pourrait
être la conséquence de la dynamique et plus particulièrement l’augmentation du nombre de
Reynolds local lorsqu’on augmente la densité de l’oxygène. En effet, le nombre de Reynolds
étant défini par la relation :
Re =
LU ρ
µ
(4.6)
Pour une vitesse U et une longueur L fixées, lorsque la densité augmente, le nombre de Reynolds augmente également. On aurait alors atteint une valeur critique du nombre de Reynolds
pour le maillage en question. Ainsi, en modifiant la taille du domaine et la résolution du
maillage, il serait possible de réaliser des simulations présentant un rapport de densité plus
élevé.
Nous allons donc faire varier la taille du maillage en jouant sur les conditions de référence.
En effet, la longueur de référence est définie par l’équation :
x0 =
Rec µ∞
U0 ρ∞
(4.7)
En augmentant la valeur de la densité ρ∞ , on diminue la longueur x0 et donc la taille des
mailles. On a alors choisi comme état de référence un fluide composé d’hydrogène pur de température 298.15 K avec une pression de 100 bar. Les grandeurs ρ∞ et µ∞ deviennent égales à
8.2243 kg/m3 et 8.9503 × 10−6 P a.s et ainsi x0 devient égale à 3, 3 × 10−7 m. La configuration complète est résumée dans le tableau 4.6. Ainsi, lorsqu’on utilise le nouveau domaine de
simulation, aucun pic de pression apparait et on présente les résultats à différents instants sur
les images de la figure 4.5. Les résultats montrent que la simulation s’est parfaitement déroulée
mais on peut surtout remarquer qu’il faut dans ce cas attendre que t∗ soit proche de 30 pour
voir apparaitre des structures tourbillonnaires dans le domaine. Comme on a modifié la taille
du maillage, et donc l’épaisseur du jet, on a donc diminué la valeur le nombre de Reynolds.
Cependant, avec cette configuration, on a dépassé le seuil de 10 pour le rapport de densité et on
peut remarquer que le coefficient de compressibilité de l’oxygène devient inférieur à 1, contrairement aux précédentes configurations. Le code de simulation Asphodèle est donc capable de
réaliser des simulations d’écoulement à faible nombre de Mach dont les fluides présentent des
effets de gaz réels. Cependant, on remarque que la taille et la résolution du maillage restent des
paramètres importants.
Même si on est encore éloigné des conditions utilisées par Bellan et al dans leurs simulations
[3] (cf. tableau 1.1) et pour un domaine de simulation très petit, nous avons franchi une première
x
L (m)
δ (m)
Rec (-)
2.61×10−6
y
6.5×10−7
3.3×0−8
30
O2
Pression (bar)
Vitesse (m/s)
Température (K)
Densité (kg/m3 )
Coefficient de compressibilité (-)
115
H2
100
20
300
139.3
0.92
100
200
11.8
1.04
Modèle
Viscosité
Diffusion des espèces
Chung et al [20]
Ely et Hanley [31]
Fuller et al [33] + Takahashi [89]
TAB . 4.6 – Description complète de la configuration utilisée pour tester la sensibilité du code
Asphodèle
étape en réalisant une simulation numérique directe dont le rapport de densité est supérieur à
la valeur critique de 10. La parallélisation du code, qui était en cours et qui est réalisée dans le
cadre de la thèse de Benoit Leveugle, serait une solution qui permettrait d’atteindre des rapports
de densité plus élevés dans les simulations réalisées par Bellan et al [3]. En effet, en parallélisant le code, il serait possible d’augmenter le nombre de points du domaine et donc augmenter
la résolution de maillage. En améliorant la résolution, on a montré qu’il était possible d’augmenter le rapport de densité. Mais il serait également possible, en conservant ce même rapport,
d’augmenter la valeur du nombre de Reynolds du code. Actuellement, le nombre de Reynolds
du code ne permet de simuler que les plus petites structures de l’écoulement. La raison vient
de la sensibilité du code à simuler des écoulements supercritiques car ce nombre de Reynolds,
utilisé pour la normalisation des variables, est inversement proportionnel à la pression. Enfin,
la parallélisation permettrait tout simplement d’augmenter la taille de la simulation car dans les
précédentes configurations la taille du domaine de calcul est de l’ordre du micromètre.
80
100
120
140
20
2
4
x* (−)
6
8
2
1
0
0
Densité à t∗ = 0
2
1
0
0
0.2
0.4
2
0.6
4
x* (−)
0.8
1
0
8
2
1
0
0
6
Fraction massique de O2 à t∗ = 0
2
1
0
0
220
240
260
2
4
x* (−)
80
100
120
140
2
4
x* (−)
6
20
8
2
1
0
0
280
6
Température à t∗ = 0
0.2
0.4
2
0.6
4
x* (−)
300
200
8
2
1
0
0
220
240
260
2
4
x* (−)
40
2
60
80
100
4
x* (−)
120
140
6
8
0.8
1
0
8
2
1
0
0
6
y* (−)
y* (−)
200
60
y* (−)
y* (−)
0
40
y* (−)
60
280
6
0.2
2
0.4
0.6
4
x* (−)
0.8
1
6
8
300
200
8
2
1
0
0
y* (−)
2
1
0
0
40
y* (−)
y* (−)
20
y* (−)
116
220
2
240
260
4
x* (−)
280
6
300
8
F IG . 4.5 – Champs de densité, de température et de fraction massique de O2 , extraits à t∗ = 0,
15 et 30 de la simulation présentée au tableau 4.6.
Nous venons de montrer dans cette partie que la code Asphodèle dépendait fortement du
rapport de densité mais qu’en améliorant la résolution, il est possible de réaliser des simulations
d’écoulement à faible nombre de Mach présentant un rapport de densité supérieur à 10. Or, dès
que le rapport de densité augmente, on s’aperçoit que le facteur de compressibilité de l’oxygène
décroit ce qui pourrait également avoir une incidence sur les problèmes de stabilité du code qui
ont été observés. C’est pourquoi nous avons testé la sensibilité du code en fonction des facteurs
de compressibilité des réactifs.
4.2.2
Sensibilité du code aux effets de gaz réels
Après avoir étudié l’effet du rapport de densité, nous nous penchons maintenant sur l’impact des effets de gaz réels et plus particulièrement du rapport des coefficients de compressibilité entre les deux espèces. Or, dans le cas du mélange entre l’oxygène et l’hydrogène, plus
le rapport de densité augmente, plus le rapport des facteurs de compressibilité augmente. La
simulation ayant le plus grand rapport des coefficients de compressibilité est la dernière que
150
200
250
300
100
200
40
2
4
x* (−)
RZ = 0.65
6
8
1
0
0
60
80
100
2
y* (−)
1
0
0
150
2
y* (−)
y* (−)
2
117
2
4
x* (−)
RZ = 0.74
6
8
1
0
0
2
4
x* (−)
6
8
RZ = 0.96
F IG . 4.6 – Champs de densité, extraits à t∗ = 10, pour un mélange O2 /N2 et pour différents
rapports des coefficients de compressibilité RZ .
nous ayons présentée avec des coefficients de compressibilité de 0.92 et de 1 pour l’oxygène et
l’hydrogène respectivement. Le problème avec le couple de réactifs O2 /H2 , est qu’il est difficile
d’atteindre de faibles valeurs de Z car le rapport de densité devient rapidement trop important ce
qui implique la divergence du code. Ainsi, pour étudier les effets du facteur de compressibilité
sur les résultats de la simulation, nous avons utilisé un autre mélange : le mélange O2 /N2 . Les
masses molaires de ces deux espèces étant très proches (environ 32 g/mol pour le dioxygène
et 28 g/mol pour le diazote contre 2 g/mol pour le dihydrogène), il est alors possible d’utiliser
des températures beaucoup plus faibles afin d’avoir une meilleure amplitude sur le facteur de
compressibilité tout en ayant un rapport de densité supportable pour le code.
Pour cette étude, le domaine de calcul utilisé est identique à la simulation de référence de
même que la pression qui est égale à 100 bar, seule l’espèce hydrogène est remplacée par de
l’azote. Pour étudier uniquement l’impact du rapport des coefficients de compressibilité, trois
nouvelles configurations ont été intégrées au code et elles ont un rapport de densité quasiidentique (environ 2.5) et, en jouant sur la température des deux fluides, on fait alors varier le
rapport des Z. Ainsi, seuls les effets de Z auront un impact sur l’écoulement. Pour faciliter
la compréhension, on introduit un nouveau paramètre RZ , équivalent à Rρ , qui représente le
rapport entre les facteurs de compressibilité des fluides de l’écoulement tels que :
ρ02
ρN2
Z02
=
ZN2
Rρ =
(4.8)
RZ
(4.9)
et nous résumons dans le tableau 4.7, les valeurs des principales grandeurs physiques utilisées
dans les différentes simulations. Les résultats de ces simulations sont présentés sur les images
de la figure 4.6 où on a extrait des champs de densité au même instant (t∗ = 10).
On peut tout d’abord signaler que le facteur de compressibilité n’est pas un facteur limitant
car contrairement au cas du mélange O2 /H2 , nous avons utilisé un facteur de compressibilité largement inférieur à 1 pour l’oxygène (ZO2 = 0.64 pour la configuration 1) ce qui ne présente pas
118
O2
Configuration 1
Configuration 2
Configuration 3
N2
Température (K)
200
285
Coefficient de compressibilité (-) 0.63 0.97
Densité (kg/m3 )
307.8 123.1
Rρ (-)
2.50
RZ (-)
0.65
Température (K)
225
367
Densité (kg/m3 )
227.9 91.3
Rρ (-)
2.50
RZ (-)
0.75
Température (K)
400
850
Densité (kg/m3 )
97.8 38.8
Rρ (-)
2.52
RZ (-)
0.96
TAB . 4.7 – Configurations utilisées pour l’étude de l’impact des coefficients de compressibilité
sur la dynamique de l’écoulement.
de problème particulier pour le code. La seconde remarque que l’on puisse faire concerne la dynamique de l’écoulement. On remarque que plus le paramètre RZ est faible, plus les tourbillons
apparaissent rapidement. Alors que pour le cas RZ = 0.65 de la configuration 1 et RZ = 0.74
de la configuration 2, les structures tourbillonnaires sont développées, aucune déstabilisation
n’est observée lorsque RZ est proche de 1. De plus, si on observe les champs de densité extraits
à t∗ = 20 et 30 de configuration 3, qui sont présentés sur la figure 4.7, les tourbillons qui se
développent sont moins nombreux mais la taille de ces derniers est plus importantes. À partir
de ces premières observations, il semblerait que le nombre de Reynolds, lié au développement
de la turbulence et donc au développement des tourbillons dans le domaine, varie en fonction
du paramètre RZ . On peut donc calculer le nombre Reynolds dans chacune des configurations
présentées ci-avant. Ce dernier est défini par la relation 4.6 et comme la longueur de référence
ainsi que les vitesses sont identiques pour toutes les configurations, pour comparer le Re de
chaque configuration, il suffit de comparer le rapport µρ = ν1 . On présente dans le tableau 4.8, la
valeur du nombre de Reynolds du jet telle que :
Re =
∆U ρO2 e
µO2
(4.10)
∆U est la différence de vitesse entre le fuel et l’oxydant, e est le "diamètre" du jet. Ainsi, on
40
60
80
100
40
1
0
0
80
100
2
y* (−)
y* (−)
2
60
119
2
4
x* (−)
6
8
t∗ = 20
1
0
0
2
4
x* (−)
6
8
t∗ = 30
F IG . 4.7 – Champs de densité, extraits à t∗ = 20 et 30 de la configuration 3 (RZ ' 1).
Configuration 1 Configuration 2 Configuration 3
ρO2 (kg/m3 )
µO2 (P a.s)
Nombre de Reynolds
307.8
1.50 × 10−5
7800
228.6
1.65 × 10−5
5300
97.7
2.6 × 10−5
1500
TAB . 4.8 – Valeurs du nombre de Reynolds pour les trois configurations présentées au tableau
4.7.
remarque le nombre de Reynolds varie bien en fonction du paramètre RZ et, comme on a pu le
constater, il décroit lorsque RZ augmente. La valeur du rapport du rapport des coefficients de
compressibilité RZ a donc une influence sur l’écoulement car quend RZ varie, on a constaté des
modifications dans la physionomie de ce dernier et ces changements sont directement liés à la
variation du nombre de Reynolds.
Pour étudier les effets des gaz réels sur la dynamique de l’écoulement sans faire varier le
nombre de Reynolds, une nouvelle configuration a été mise en place en utilisant la thermodynamique des gaz parfaits. Nous avons déjà effectué une étude identique lorsque nous avons
comparé les résultats issus d’une simulation gaz parfaits aux résultats issus d’une simulation gaz
réels qui utilisaient des modèles identiques pour calculer les coefficients de transport. Mais dans
ce cas, nous avons choisi les conditions initiales de telle sorte que les coefficients de compressibilité étaient proche de 1. Nous avons constaté, à partir des résultats issus des deux simulations,
que les champs de densité ne présentaient que très peu de différences (cf. figure 4.8) ce qui
est normal car nous avons simulé une configuration gaz parfaits avec des modèles gaz réels.
Hormis les valeurs de la densité qui diffèrent, ce qui est normal car l’équation d’état est différente, la structure de l’écoulement est presque identique. Ainsi, comme on peut l’observer sur
les images de la figure 4.8, dans le cas d’une simulation à faible nombre de Mach, les fluides
restent quasiment incompressibles quelque soit la méthode pour calculer la thermodynamique.
C’est d’ailleurs le principe même de la formulation à faible nombre de Mach basée sur l’utilisa-
120
175
180
185
190
220
1.5
1
0.5
0
240
250
260
270
280
290
300
2
coordonnee y (−)
coordonnee y (−)
2
230
0
1
2
3
4
coordonnee x (−)
Gaz parfaits
5
6
7
8
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
coordonnee x (−)
5
6
7
8
Gaz réels
F IG . 4.8 – Comparaison de champs de densité calculés avec la thermodynamique des gaz parfaits (à gauche) et la thermodynamique des gaz réels (à droite) lorsque la température initiale
est de 200 K.
tion de faibles vitesses devant la vitesse du son. Les fluctuations de pression engendrées par la
dynamique ne sont donc pas suffisantes pour voir apparaitre des effets de compressibilité. Cela
aurait été différent si les vitesses des fluides avait été supérieures et proches de la vitesse du son.
On remarque tout de même qu’il est important d’utiliser les lois de gaz réels pour calculer avec
précision la valeur de la densité car cette dernière est largement sous-estimée avec les lois des
gaz parfaits (cf. figure 4.8). L’écart entre les deux simulations représente une erreur d’environ
50%.
À travers cette partie, nous avons testé les capacités du code le code Asphodèle à simuler
des écoulements supercritiques. L’objectif était de se rapprocher des conditions utilisées par
Bellan et al en simulant un jet dont le rapport de densité entre la phase dense et la phase légère
est d’environ 25. Dans la version actuelle du code, nous avons réussi à dépasser le seuil de 10
en jouant sur la résolution du maillage. Ainsi, avec la parallélisation du code Asphodèle qui
était en cours à la fin de cette thèse, nous avons bon espoir d’augmenter le rapport de densité.
La parallélisation du code permettrait également d’augmenter la taille du domaine ou encore
d’augmenter le nombre de Reynolds du code pour augmenter la taille des structures tourbillonnaires simulées. Le principal effet que nous avons noté est le lien qui existe entre la variation des
grandeurs thermodynamiques et la variation du nombre de Reynolds qui, à son tour, modifie la
structure de l’écoulement. Ainsi, l’augmentation du rapport de densité induit une augmentation
du nombre de Reynolds. De même, l’impact du paramètre RZ sur la dynamique de l’écoulement
reste faible car il entraine également une augmentation du nombre de Reynolds. La divergence
du code, que nous avons observée en faisant varier les conditions initiales tout en gardant le
même maillage, serait donc liée au nombre de Reynolds et seule l’augmentation de la résolution du maillage permet d’empêcher la divergence du code.
Après avoir étudié l’impact de la thermodynamique sur les résultats de la simulation, nous
souhaitons revenir en détail sur les différences qui existent entre les modèles gaz parfaits et gaz
réels que nous avons remarquées dans la première partie de ce chapitre. Il apparaissait alors des
différences non-négligeables entre les deux simulations en fonction des coefficients de transport
121
utilisés et cela malgré un coefficient de compressibilité égal à 1 (pas d’effet de gaz réels). C’est
pourquoi nous avons démarré une série de test permettant de déterminer quel modèle ou encore
quel coefficient peut-être à l’origine de ces différences.
122
4.3
Effets des coefficients de transport sur la dynamique de
l’écoulement
Dans la première partie de ce chapitre, nous avons validé les modèles et algorithmes introduit dans le code Asphodèle qui permettent de tenir compte des effets liés à l’augmentation de
la pression dans le domaine de calcul. Or, lorsque nous avons comparé les résultats issus de simulations où les coefficients de transport ont été calculés avec les modèles de gaz parfaits et les
modèles de gaz réels, nous avons observé d’importantes différences sur les champs de densité
(figure 4.3) malgré un écart assez faible entre les modèles de gaz parfaits et les modèles de gaz
réels (cf. figure 4.3 et les tableaux 4.3 à 4.5). Il est donc important de comprendre l’origine de
ces différences.
Comme il n’existe pas de consensus dans la littérature sur l’utilisation d’un modèle plutôt
qu’un autre, en particulier pour la diffusion des espèces, nous avons introduit dans le code,
plusieurs modèles pour calculer les coefficients de transport et permettre à l’utilisateur d’avoir
le choix. Nous avons ainsi retenu les modèles suivants en fonction du coefficient de transport
désiré :
– Viscosité : Chung et al [20], gaz parfaits.
– Conductivité thermique : Chung et al [20], Ely et Hanley [31], polynôme de Bellan et al
[3], gaz parfaits.
– Diffusion des espèces : Fuller et al [33] avec ou sans la correction de Takahashi [89],
polynôme de Bellan et al [3], gaz parfaits.
Ces modèles sont essentiellement des lois empiriques et n’ont pas été développés spécifiquement mais adaptés pour être appliqués au mélange entre l’oxygène et l’hydrogène. Bien sur, les
conditions d’utilisation (pression très élevée) ne sont pas celles préconisées pour l’utilisation
des modèles gaz parfaits mais dans les conditions de pression et de température utilisées dans
notre configuration de référence, nous avons montré que les effets de gaz réels étaient négligeables, du moins pour la viscosité et la conductivité thermique (cf. tableaux 4.3 et 4.4). Nous
avons donc décidé de mener une étude sur l’impact des modèles sur la dynamique de l’écoulement afin de savoir quel paramètre physique influence le plus l’écoulement.
Pour cela, nous utilisons à nouveau la configuration, présentée dans la première partie,
qui possède les mêmes caractéristiques physiques (vitesses d’injection, températures, espèces,
maillage, etc), décrites dans le tableau 4.2. La thermodynamique des gaz réels est utilisée pour
toutes les simulations et seuls les modèles, qui calculent les coefficients de transport, varient.
Pour commencer, nous allons comparer les résultats issus des simulations dont les coefficients
de transport ont été calculés avec le modèle des gaz parfaits (simulation S1 ), aux résultats issus
4.3 Effets des coefficients de transport sur la dynamique de l’écoulement
10
30
40
50
60
70
10
0
0
2
10
4
x (−)
6
*
8
50
60
70
10
20
30
40
50
60
70
2
4
x (−)
6
*
2
4
x* (−)
6
µGR , λGR et DGR à t∗ = 10
8
10
40
50
60
70
2
20
30
40
50
60
4
x* (−)
6
8
µGP , λGP et DGP à t∗ = 30
70
10
20
30
40
50
60
70
y* (−)
2
1
0
0
30
1
0
0
8
2
1
20
2
y* (−)
y* (−)
40
1
0
0
2
0
0
30
y* (−)
1
Sr
20
2
y* (−)
2
y* (−)
S1
20
123
2
4
x* (−)
6
8
1
0
0
2
4
x* (−)
6
8
F IG . 4.9 – Champs de densité extraits à t∗ = 10, 20 et 30 lorsque les coefficients de transport
sont calculés avec les modèles des gaz parfaits (simulation S1 , en haut) ou les modèles des gaz
réels (simulation Sref , en bas).
de la configuration de référence (Sref ). On rappelle que dans la configuration de référence les
modèles choisis sont ceux de Chung et al [20], Ely et Hanley [31] ainsi que la méthode de Fuller
et al [33] associée à la correction de Takahashi [89] pour déterminer respectivement la viscosité, la conductivité thermique et les coefficients de diffusion des espèces. Les résultats sont
présentés sur les images de la figure 4.9 sous forme de champs de densité qui ont été extraits
à divers instants (t∗ = 10, 20 et 30) de la simulation. Bien que les méthodes de calcul soient
très différentes les unes des autres, on constate que les ordres de grandeur sont respectés mais
des différences apparaissent au fur et à mesure que l’écoulement se développe. Ces différences
ne peuvent s’expliquer que par le rôle joué par les coefficients de transport car les variables
thermodynamiques sont calculées de la même façon (modèles des gaz réels).
Afin de savoir lequel de ces coefficients peut bien être à l’origine de ces différences, nous
allons les tester séparément. Ainsi, à partir de la configuration de référence, trois nouvelles
configurations ont été mises en place dans le code Asphodèle en utilisant le modèle des gaz parfaits pour calculer successivement la viscosité (simulation S2 ), puis la conductivité (simulation
S3 ) et enfin les coefficients de diffusion (simulation S4 ). Comme précédemment, les résultats
sont présentés sous forme de champs de densité, extraits à t∗ = 10, 20 et 30, sur les images de
la figure 4.10. À partir de ces résultats, on remarque que la structure de l’écoulement se trouve
modifiée lorsque le modèle utilisé pour calculer les coefficients de diffusion des espèces est
différent. Ainsi, quelque soit la méthode choisie pour déterminer la viscosité et la conductivité,
la structure de l’écoulement est identique (simulations S2 et S3 ), seules les valeurs de la densité
diffèrent légèrement. On peut alors déduire que c’est le coefficient de diffusion qui est le prin-
124
10
30
40
50
60
70
10
0
0
2
10
20
4
x (−)
6
*
8
70
10
30
40
50
60
70
2
4
x (−)
6
*
0
0
8
2
4
x (−)
6
*
10
20
30
40
50
60
70
10
20
30
40
50
60
70
1
2
4
x (−)
6
*
10
20
30
40
50
60
70
4
x* (−)
6
µGR , λGR et DGP à t∗ = 10
8
60
70
4
x* (−)
6
8
30
40
50
60
70
1
2
4
x* (−)
6
8
10
20
30
40
50
60
70
2
y* (−)
y* (−)
2
50
µGR , λGP et DGR à t∗ = 30
1
0
0
20
0
0
8
2
1
2
10
2
40
2
0
0
8
30
µGP , λGR et DGR à t∗ = 30
y* (−)
1
20
1
y* (−)
y* (−)
60
2
0
0
y* (−)
50
2
0
0
2
0
0
40
1
S4
30
y* (−)
1
S3
20
2
y* (−)
2
y* (−)
S2
20
2
4
x* (−)
6
8
1
0
0
2
4
x* (−)
6
8
F IG . 4.10 – Champs de densité extraits à t∗ = 10, 20 et 30 lorsque la viscosité (simulation S2 ,
en haut) ou la conductivité thermique (simulation S3 , au milieu) ou les coefficients de diffusion
des espèces (simulation S4 , en bas) sont calculés par les modèles des gaz parfaits, les autres
coefficients de transport étant calculés par les modèles des gaz réels.
cipal responsable des différences observées et qui domine les échanges au sein de l’écoulement.
Ayant à notre disposition les polynômes de Bellan et al [3] pour calculer la conductivité
thermique et les coefficients de diffusion, on va tenter de confirmer ces premières observations.
Pour cela, trois nouvelles simulations ont été mises en place. Dans la première simulation, la
viscosité est calculée par la méthode de Chung et al [20], la conductivité par le polynôme de
Bellan et al [3] et les coefficients de diffusion par le modèle de Fuller et al [33] associé à la
correction de Takahashi [89] (simulation S5 ). Pour la deuxième simulation, la viscosité est déterminée de la même manière, la conductivité thermique est calculée par le modèle de Ely et
Hanley [31] et les coefficients de diffusion avec le polynôme de Bellan et al [3] (simulation
S6 ). Pour la dernière simulation, la viscosité est toujours calculée par la méthode de Chung et al
[20], la conductivité thermique et les coefficients de diffusion étant tous deux déterminés par les
polynômes de Bellan et al [3] (simulation S7 ). Nous résumons dans le tableau 4.9 les différentes
configurations qui ont été utilisées pour cette étude en fonction des modèles des coefficients de
transport. Avant de présenter les résultats de ces trois dernières simulations, on trace sur les
Simulation
Viscosité
S1
Sref
S2
S3
S4
S5
S6
S7
Gaz parfaits
Gaz réels
Gaz parfaits
Gaz Réels
Gaz réels
Gaz réels
Gaz réels
Gaz réels
125
Conductivité thermique Coefficient de diffusion Résultats
Gaz parfaits
Gaz réels
Gaz réels
Gaz parfaits
Gaz réels
Bellan et al
Gaz réels
Bellan et al
Gaz parfaits
Gaz réels
Gaz réels
Gaz réels
Gaz parfaits
Gaz réels
Bellan et al
Bellan et al
Figure 4.9
Figure 4.9
Figure 4.10
Figure 4.10
Figure 4.10
Figure 4.12
Figure 4.12
Figure 4.12
TAB . 4.9 – Configurations utilisées pour l’étude de l’impact des coefficients de transport sur la
dynamique de l’écoulement.
images de la figure 4.11, les profils initiaux de la conductivité thermique et des coefficients de
diffusion des espèces à partir des polynômes développés par Bellan et al [3]. Pour permettre la
comparaison, les modèles des gaz parfaits et des gaz réels sont également présentés sur la même
figure. La méthode de Bellan et al [3] possède un avantage certain : sa rapidité. En effet, si on
conna^ıt la température, l’équation 2.114 donne la valeur du nombre de Prandtl. La conductivité
thermique est alors déduite de la valeur de Pr , de la viscosité µ et de la capacité thermique
Cp . Le coefficient de diffusion se calcule à partir du nombre de Schmidt (équation 2.120) et
de grandeurs déjà connues avant de calculer Dij (densité, viscosité et αD ). Ces méthodes ont
tout de même une limite : leur précision. Bien que les valeurs au centre du jet (oxygène pur)
soient déterminées avec précision, la partie hydrogène est largement sous-estimée ; l’écart atteint 30 % par rapport aux deux autres modèles. Cette différence peut s’expliquer par le fait que
ces polynômes sont valables pour une large gamme de températures (200 K → 800 K) et de
concentrations des deux réactifs (0 → 1).
On a extrait sur les images de la figure 4.12, les champs de densité des simulations S5 à
S7 aux mêmes instants. En comparant ces résultats, on peut tirer la même conclusion : quelque
soit la méthode choisie pour calculer la viscosité et la conductivité thermique, la structure de
l’écoulement dépend presque exclusivement du modèle utilisé pour déterminer le coefficient de
diffusion. En effet, les simulations Sref , S4 et S6 (présentées sur les figures 4.9, 4.10 et 4.12 respectivement) utilisent les mêmes modèles pour calculer la viscosité et la conductivité thermique
et seul le modèle pour déterminer les coefficients de diffusion varie. Si on compare les champs
de densité, nous avons trois écoulements différents alors que les simulations Sref , S2 , S3 et S5
sont quasiment semblables car on a utilisé le modèle des gaz réels pour calculer le coefficient
de diffusion binaire.
126
−7
0.8
x 10
m
4
2
0.4
DO
2
0.05
0
0
6
0.6
H m
0.1
x 10
(m2/s)
0.15
(m2/s)
1
D
λ (W/(m.K))
−5
0.2
2
0.2
0.5
1
*
y (−)
1.5
Conductivité thermique (W/(m.K))
2
0
0
0.5
1
*
y (−)
1.5
Coefficient de diffusion du H2
dans le mélange
(m/s2 )
2
0
0
0.5
1
*
y (−)
1.5
2
Coefficient de diffusion du O2
dans le mélange (m/s2 )
F IG . 4.11 – Comparaison des coefficients de transport selon les modèles des gaz parfaits (carrés
noirs), gaz réels (ronds rouges) et calculés par les polynômes de Bellan et al [3] (étoiles vertes).
Pour confirmer ces observations, on présente l’évolution des champs d’enthalpie, de température et de fraction massique d’oxygène aux mêmes instants (figures 4.13 à 4.15). On constate
sur ces champs de grandeur que la concentration d’oxygène (et donc d’hydrogène) a presque
atteint un niveau d’homogénéité alors que de larges gradients d’enthalpie et de température subsistent encore à t∗ = 30. Cela montre bien que les transferts de masse sont plus efficaces que
les transferts thermiques. D’ailleurs, en calculant l’écart type de ces trois grandeurs aux trois
instants t∗ = 10, 20 et 30 (cf. tableaux 4.10, 4.11 et 4.12), on peut comparer l’état d’avancement
du mélange. Cette comparaison est valable uniquement si les grandeurs varient entre les mêmes
bornes. La fraction massique variant entre 0 et 1, on normalise alors les valeurs d’enthalpie et
de la température pour que ces dernières varient également dans le même intervalle de valeurs.
Le changement de variable est réalisé en utilisant la relation :
T∗ =
T − Tmin
Tmax − Tmin
(4.11)
h∗ =
h − hmin
hmax − hmin
(4.12)
Les statistiques ayant été divisées par le nombre de points pour chaque variable, nous avons
donc calculé des moyennes volumiques et non massiques et c’est pourquoi on remarque des
différences de la valeur de la moyenne de la concentration d’oxygène aux différents instants. À
partir de ces tableaux, on constate que l’écart type de la fraction massique d’oxygène décro^ıt
lorsque le temps avance. La dispersion des valeurs de YO2 par rapport à la moyenne étant plus
faible, l’homogénéité est donc atteinte plus rapidement pour cette variable que pour l’enthalpie
molaire et la température. De plus, en fonction du modèle choisi pour calculer le coefficient de
diffusion, on retrouve des valeurs d’écart type très proches les unes des autres pour un même
modèle et au même instant. Par exemple pour les simulation Sref , S2 , S3 et S5 qui utilisent le
30
40
50
60
70
10
1
0
0
2
4
x* (−)
6
20
30
40
50
60
70
60
70
10
2
4
x* (−)
6
10
4
x (−)
6
*
20
30
40
50
60
70
10
20
30
40
50
60
70
10
2
4
x (−)
6
*
10
2
4
x (−)
*
6
µGR , λBEL et DBEL à t∗ = 10
8
60
70
4
x* (−)
6
8
20
30
40
50
60
70
1
20
30
40
50
60
2
4
x* (−)
6
8
µGR , λGR et DBEL à t∗ = 30
70
10
20
30
40
50
60
70
2
y* (−)
y* (−)
0
0
2
0
0
8
2
1
50
1
2
40
2
1
0
0
8
30
µGR , λBEL et DGR à t∗ = 30
y* (−)
y* (−)
2
20
0
0
8
2
1
0
0
y* (−)
50
S7
40
2
0
0
8
2
y* (−)
S6
30
1
10
20
2
y* (−)
y* (−)
S5
20
y* (−)
10
2
127
1
0
0
2
4
x (−)
*
6
8
1
0
0
2
4
x* (−)
6
8
F IG . 4.12 – Champs de densité extraits à t∗ = 10, 20 et 30 lorsque la conductivité thermique (Simulation S5 , en haut) ou les coefficients de diffusion des espèces (S6 , au milieu) ou la conductivité thermique et les coefficients de diffusion des espèces (S7 , en bas) sont calculés par les
polynômes de Bellan et al [3], les autres étant calculés par les modèles des gaz réels.
modèle de Fuller et al + Takahashi, les valeurs sont très proches les unes des autres à un instant
donné. Il en est de même pour les simulations S1 , S4 avec le modèle gaz parfaits et les simulations S6 , S7 qui utilisent les polynômes de Bellan et al pour les coefficients de diffusion des
espèces.
À partir des résultats extraits des différentes simulations qui nous ont permis d’étudier l’impact des coefficients de transport, nous pouvons conclure que les différences observées dans la
structure de l’écoulement sont principalement dues au modèle physique utilisé pour calculer le
coefficient de diffusion. Bien que la forme des profils initiaux ne présente que très peu de différences, on s’aperçoit surtout que c’est l’intensité des coefficients de diffusion qui implique de
telles conséquences. En effet, entre les modèles gaz parfaits et gaz réels, l’écart maximum entre
les champs initiaux ne dépasse pas 8% et pourtant on observe de grandes différences entre les
champs de densité. On remarque également que les différences sur les coefficients de diffusion,
dues à l’utilisation des modèles gaz réels (polynôme de Bellan et al [3] ou méthode de Fuller et
al [33] associée à la corrélation de Takahashi [89]) sont du même ordre que les différences entre
les modèles gaz réels et gaz parfaits. Or, comme cela a été souligné au chapitre 2, ces modèles
128
0
0.4
0.6
0.8
1
0
0
0
0
2
4
x (−)
*
6
8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
4
x (−)
*
6
0
0
8
0
0
2
4
x (−)
*
6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y* (−)
2
4
x (−)
*
6
0
0
8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
4
x (−)
*
6
8
2
4
x* (−)
6
8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
4
x* (−)
6
8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
y* (−)
y* (−)
0
0
1
2
1
0.8
1
2
0.6
2
1
0
0
8
0.4
2
1
0.2
1
y* (−)
y* (−)
0.8
2
0
0
2
y* (−)
0.6
1
S6
0.4
y* (−)
1
S4
0.2
2
y* (−)
2
y* (−)
Sr
0.2
1
0
0
2
4
x (−)
*
6
8
1
0
0
2
4
x* (−)
6
8
F IG . 4.13 – Champs de fraction massique d’oxygène extraits à t∗ = 10, 20 et 30 pour les simulations Sref , S4 et S6 .
utilisés pour calculer les coefficients de diffusion binaires O2 /H2 n’ont pas été validés dans ces
conditions de pression avec des données expérimentales. Paradoxalement, c’est celui qui joue
le rôle le plus important sur la dynamique de l’écoulement en condition supercritique.
C’est pourquoi, dans la partie suivante, nous allons regarder et comparer les effets de la diffusion de la masse et les transferts thermiques à travers l’étude du nombre de Lewis dans le cas
d’écoulement supercritique. Cette étude permettra également d’expliquer l’augmentation locale
de la densité comme on peut le voir sur les images 4.3. Au lieu de s’étaler de façon homogène
avec l’homogénéisation des grandeurs thermodynamiques, le profil de densité augmente dans
la zone de mélange de telle sorte que le maximum de la densité ne se situe plus au centre du jet
mais dans la couche de mélange. La différence d’intensité entre la diffusion de la masse et de la
température semble jouer un rôle important et c’est pourquoi nous avons appelé ces effets : les
effets de Lewis.
−2000
2000
4000
6000
−2000
0
0
2
4
*
x (−)
6
8
−2000
0
2000
4000
6000
*
2
4
*
x (−)
6
0
0
8
−2000
0
2000
4000
6000
−2000
2
4
x (−)
*
6
*
1
0
0
8
−2000
0
2000
4000
6000
2
4
x (−)
*
6
0
0
8
−2000
0
2000
4000
6000
−2000
4
x* (−)
6
8
1
*
*
2
4
*
x (−)
6
8
0
2000
4000
6000
2
4
*
x (−)
6
8
0
2000
4000
6000
2
4
x* (−)
6
8
2
y (−)
y (−)
0
0
2
2
1
6000
1
2
4000
2
y (−)
*
0
0
2000
2
1
0
1
y (−)
y* (−)
6000
1
0
0
2
y* (−)
4000
y (−)
*
1
−2000
S6
2000
2
S4
0
2
y (−)
y* (−)
Sr
0
2
129
0
0
2
4
x* (−)
6
8
1
0
0
F IG . 4.14 – Champs d’enthalpie molaire extraits à t∗ = 10, 20 et 30 pour les simulations Sref , S4
et S6 .
130
200
400
500
600
200
0
0
2
4
x* (−)
6
200
300
400
500
600
2
4
x* (−)
6
0
0
8
0
0
2
4
x (−)
*
6
200
300
400
500
600
200
y* (−)
1
200
300
400
500
600
2
4
x (−)
*
6
0
0
8
200
300
400
500
600
200
2
4
x* (−)
6
8
4
x* (−)
6
8
300
400
500
600
2
4
x* (−)
6
8
300
400
500
600
2
4
x* (−)
6
8
2
y* (−)
y* (−)
0
0
2
2
1
600
1
2
500
2
0
0
8
400
2
1
300
1
y* (−)
y* (−)
600
1
0
0
8
2
y* (−)
500
y* (−)
1
200
S6
400
2
S4
300
2
y* (−)
y* (−)
Sr
300
2
1
0
0
2
4
x* (−)
6
8
1
0
0
F IG . 4.15 – Champs de température extraits à t∗ = 10, 20 et 30 pour les simulations Sref , S4 et
S6 .
Simulation
S1
Sref
S2
S3
S4
S5
S6
S7
t∗
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
131
Moyenne Écart type
0.6333
0.6978
0.7085
0.6333
0.7097
0.7074
0.6333
0.7097
0.7073
0.6343
0.7112
0.7071
0.6335
0.6989
0.7087
0.6354
0.7117
0.7071
0.5630
0.6741
0.7087
0.5646
0.6844
0.7092
0.2230
0.1218
0.0254
0.2515
0.0719
0.0108
0.2514
0.0722
0.0102
0.2519
0.0703
0.0096
0.2245
0.1285
0.0291
0.2510
0.0708
0.0093
0.3403
0.1728
0.0440
0.3417
0.1583
0.0349
TAB . 4.10 – Moyennes et variances de la fraction massique d’oxygène en fonction des simulations aux instants t∗ = 10, 20 et 30.
132
Simulation
S1
Sref
S2
S3
S4
S5
S6
S7
t∗
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
Moyenne Écart type
0.2126
0.1989
0.1667
0.2032
0.1869
0.1506
0.2053
0.1889
0.1510
0.2162
0.2031
0.1584
0.2080
0.1879
0.1652
0.2225
0.2114
0.1622
0.2037
0.1860
0.1623
0.2201
0.2079
0.1785
0.2959
0.2598
0.1772
0.2716
0.2285
0.1228
0.2742
0.2309
0.1192
0.3016
0.2671
0.1458
0.2721
0.2464
0.1537
0.3174
0.2883
0.1590
0.2711
0.2247
0.1612
0.3128
0.2806
0.2082
TAB . 4.11 – Moyennes et variances de l’enthalpie en fonction des simulations aux instants
t∗ = 10, 20 et 30.
Simulation
S1
Sref
S2
S3
S4
S5
S6
S7
t∗
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
133
Moyenne Écart type
0.2220
0.2094
0.1779
0.2132
0.1977
0.1618
0.2152
0.1997
0.1621
0.2259
0.2138
0.1695
0.2137
0.2044
0.1713
0.2321
0.2222
0.1734
0.2131
0.1964
0.1733
0.2291
0.2181
0.1896
0.3010
0.2633
0.1786
0.2764
0.2313
0.1236
0.2788
0.2336
0.1199
0.3056
0.2695
0.1466
0.2977
0.2570
0.1721
0.3211
0.2907
0.1598
0.2771
0.2291
0.1629
0.3175
0.2841
0.2097
TAB . 4.12 – Moyennes et variances de la température en fonction des simulations aux instants
t∗ = 10, 20 et 30.
134
4.4
Nombre de Lewis du mélange O2/H2
Dans la plupart des simulations que nous avons réalisées, nous avons choisi l’oxygène et
l’hydrogène comme réactifs car ils sont utilisés dans le moteur Vulcain. Lorsque nous avons
étudié l’évolution de la déstabilisation du jet et plus particulièrement l’évolution de la densité,
nous avons remarqué l’apparition d’un phénomène particulier dans la zone de mélange : l’apparition d’un pic de densité. Ce pic de densité est facilement observable sur l’évolution de la
densité du cas de référence, surtout sur les coupes du jet de la figure 4.2. Si on compare les
images extraites à l’instant initial et à t∗ = 10, l’apparition du pic de densité dans la zone
de mélange est flagrante. Nous allons dans cette partie chercher à comprendre les mécanismes
d’apparition de cette augmentation locale de la densité
4.4.1
Origine de l’apparition du pic de densité
Lorsqu’on a comparé l’évolution des champs de température et des fractions massiques, présentés sur les images des figures 4.13 et 4.15, on a remarqué que les transferts de température
et de masse ne s’effectuent pas avec la même intensité ; l’homogénéisation de la concentration
étant plus rapide que celle de la température. Ceci est également observable en regardant les
valeurs des moyennes de la température et des fractions massiques dans les tableaux 4.10 et
4.12. Il suffit de regarder l’évolution temporelle des ces deux grandeurs tracées à différents instants de la simulation sur les images de la figure 4.16. On y présente également les profils de
la densité afin de voir apparaitre ces pics de densité au fur et à mesure que le temps avance.
Ainsi, on remarque dans la zone de mélange que la température décroit plus rapidement dans
le jet qu’elle augmente à l’extérieur du jet. On observe en même temps un transfert important
de la masse d’oxygène vers l’extérieur du jet qui fait augmenter fortement la fraction massique
d’oxygène dans cette zone alors qu’au centre du jet, elle décroit faiblement. La conséquence de
ces transferts à deux vitesses, est que l’augmentation de la concentration d’oxygène se cumule à
une diminution de la température et qu’au bout d’un certain temps, la concentration d’oxygène
dans la zone de mélange se rapproche de la valeur de YO2 au centre du jet mais dans une zone où
la température est beaucoup plus faible et proche de la température initiale de l’hydrogène. La
température étant plus faible, la densité augmente et finit par dépasser la densité au centre du jet.
On peut expliquer la faible augmentation de la température dans l’hydrogène à partir des
capacités thermiques des deux fluides dont les valeurs initiales, pour chacun des deux fluides,
sont notées dans le tableau 4.13. Si on s’intéresse à la variation d’enthalpie qui est définie à une
pression donnée par la relation suivante :
∆H = Cp ∆T
(4.13)
on en déduit que, pour une variation d’enthalpie ∆H équivalent d’un coté ou de l’autre de
la couche de mélange, la variation de température sera beaucoup plus faible du coté de l’hydrogène que du coté de l’oxygène car la valeur de la capacité thermique de l’hydrogène est
4.4 Nombre de Lewis du mélange O2 /H2
135
1
600
0.8
YO (−)
400
300
200
0
0.6
2
T (K)
500
0.4
0.2
0.5
1
*
y (−)
1.5
0
0
2
80
2
60
1.5
40
20
0
0
1
*
y (−)
1.5
2
Fraction massique de O2 (-)
Le (−)
ρ (kg/m3)
Température (K)
0.5
1
0.5
0.5
1
y* (−)
1.5
2
0
0
Densité (kg/m3 )
0.5
1
y* (−)
1.5
2
Nombre de Lewis (-)
F IG . 4.16 – Évolution de la température, de la fraction massique de O2 , de la densité et du
nombre de Lewis extraits de la simulation de référence à t∗ = 0 (trait plein rouge), t∗ = 5 (traits
pointillés noirs) et t∗ = 10 (croix vertes).
supérieure à celle de l’oxygène. De même, les coefficient de diffusion des deux espèces dans le
mélange (figure 4.11) montrent que l’oxygène diffusera d’avantage dans le mélange formé du
côté hydrogène que le H2 dans le mélange formé du côté oxygène. Cette description sommaire
ne permet pas à elle seule d’expliquer l’apparition des pics de densité car la variation d’enthalpie
entre deux instants, calculée par l’équation de transport de l’enthalpie, n’est pas nécessairement
la même et le mélange des espèces fait varier la concentration.
Ainsi, pour comparer la diffusion de la température et la diffusion des espèces, il existe un
nombre adimensionnel : le nombre de Lewis. En effet, il permet de quantifier l’intensité de la
diffusion des espèces par rapport à la diffusivité thermique et est défini par la relation :
Le =
λ
ρ Cp Dij
(4.14)
avec λ la conductivité thermique, ρ la densité, Cp la capacité thermique massique (Cp = cp /M )
et Dij le coefficient de diffusion binaire. À partir des modèles disponibles pour calculer les coefficients de transport, le nombre de Lewis a alors été calculé de trois manières différentes :
136
CpH2 (T = 225 K)
CpO2 (T = 600 K)
Gaz réels
NIST
14350
1035
14239
1031
TAB . 4.13 – Valeurs de la capacité thermique massique à pression constante (J/(kg.K)) des
fluides à l’instant initial, calculées à partir des modèles gaz réels et issues du NIST [63].
2.5
Le (−)
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
y* (−)
1.5
2
F IG . 4.17 – Profil du nombre de Lewis à l’instant initial lorsque les coefficients de transport
sont calculés avec les lois des gaz parfaits, des gaz réels et les polynômes développés par Bellan
et al [3] (étoiles vertes).
1. lorsque les coefficients de transport sont déterminés par les lois des gaz réels,
2. lorsque les coefficients de transport sont déterminés par les lois des gaz parfaits,
3. en utilisant les polynômes développés par Bellan et al [3] qui permettent de calculer le
nombre de Schmidt (équation 2.120) et le nombre de Prandtl (équation 2.114). À partir
de ces deux nombres adimensionnels, on déduit facilement le nombre de Lewis en faisant
le rapport Schmidt sur Prandtl.
Les profils du nombre de Lewis, calculés à l’instant initial, sont présentés sur la figure 4.17.
Dans un premier temps, on remarque qu’au centre du jet, la valeur du nombre de Lewis est
sensiblement la même quelque soit le modèle utilisé ; cette partie est composée d’oxygène pur.
À l’extérieur du jet, on obtient des valeurs différentes en fonction du modèle et cette partie est
composée d’hydrogène pur. On peut lier ces constatations aux profils initiaux des coefficients
de transport présentés sur les images de la figure 4.11. En effet, pour les trois modèles utilisés,
on voit peu de différences pour la valeur de la conductivité thermique et pour la valeur des
coefficients de diffusion au centre du jet, et donc pour l’oxygène pur. À l’extérieur du jet (hydrogène pur), on observe des écarts plus importants surtout avec les polynômes de Bellan et al.
Simulation LeO2
S1
Sref
S2
S3
S4
S5
S6
S7
0.27
0.26
0,26
0.26
0.28
0.27
0.32
0.32
137
LeH2
LeH2 /LeO2
1.93
1.78
1.78
1.89
1.92
1.44
2.65
2.14
7.18
6.74
6.74
7.35
6.88
5.27
8.32
6.68
TAB . 4.14 – Valeurs du nombre de Lewis à l’instant initial, pour les différentes simulations du
tableau 4.9, au centre du jet (LeO2 ) et sur les bords (LeH2 ).
Pour expliquer l’origine de cette augmentation de la densité dans la zone de mélange à partir du
nombre de Lewis, il suffit de regarder la valeur de ce dernier. On remarque qu’au centre du jet le
nombre de Lewis est environ égal à 0.3 et donc largement inférieur à 1. On en déduit que dans
cette zone, la diffusion de la masse va être largement supérieure à la diffusion de l’énergie sous
forme de chaleur. Or, à l’extérieur du jet, le nombre de Lewis est proche de 2 et ainsi la diffusion
de l’énergie sous forme de chaleur se propage plus rapidement que la diffusion de la masse et
donc des molécules d’hydrogène et d’oxygène. Ainsi, les molécules d’oxygène vont diffuser
depuis le centre du jet vers la couche de mélange plus rapidement que le jet oxygène réchauffe
le co-flow. De plus, à l’extérieur du jet, le nombre de Lewis étant supérieur à 1, l’hydrogène
refroidi le jet plus vite que les molécules d’hydrogène ne pénètrent dans le jet. Ainsi, dans la
zone de mélange, le mélange qui se crée aura une température faible et proche de la température
initiale du H2 mais il sera composé d’hydrogène et d’oxygène. Dans ces conditions, le mélange
formé devient plus dense que le centre du jet.
4.4.2
Effets des modèles utilisés pour calculer les coefficients de transport
Nous avons précédemment calculé le nombre de Lewis de trois façons différences en utilisant les modèles gaz parfaits, gaz réels et à partir des polynômes de Bellan et al. Nous allons à
présent nous attarder sur les effets des modèles permettant de calculer les coefficients de transport sur le nombre de Lewis. Dans un premier temps, on calcule les valeurs initiales du nombre
de Lewis pour les simulations présentées au tableau 4.9, mais uniquement au centre du jet (oxygène pur) et au bord du domaine (hydrogène pur). Les valeurs sont regroupées dans le tableau
4.14 et on y présente également le rapport LeH2 /LeO2 . De plus, on trace sur la figure 4.18,
les profils de densité pour toutes les simulations à t∗ = 10, instant de la simulation où on voit
apparaitre des pics de densité. Tout d’abord, on remarque à partir du tableau 4.14 et de la figure
4.17, que la valeur du nombre de Lewis est sensiblement identique au centre du jet, quelque
70
70
60
60
60
50
50
50
40
Le (−)
70
Le (−)
Le (−)
138
40
40
30
30
30
20
20
20
10
0
10
0
0.5
1
*
y (−)
1.5
2
0.5
1
y* (−)
1.5
2
10
0
0.5
1
y* (−)
1.5
Simulations S1 (ronds rouges)
Simulations S2 (ronds rouges),
Simulations S5 (ronds rouges),
et Sref (carrés noirs)
S3 (carrés noirs) et S4 (étoiles bleues)
S6 (carrés noirs) et S7 (étoiles bleues)
2
F IG . 4.18 – Profils de la densité à t∗ = 10 pour les différentes simulations du tableau 4.9.
40
ρ (kg/m3)
35
30
25
20
15
10
0
0.5
1
y* (−)
1.5
2
F IG . 4.19 – Profils de densité extraits de la simulation S6 à t∗ = 10 (carrés noirs) et 12.5 (ronds
rouges).
soit le modèle utilisé alors qu’à l’extérieur du jet, on obtient des valeurs différentes. On peut à
nouveau lier cette constatation aux profils initiaux des coefficients de transport présentés sur les
images de la figure 4.11. De plus, si on compare les profils initiaux de la densité en fonction des
modèles utilisés pour calculer les coefficients de transport, on remarque que la valeur maximale
de la densité apparait aux mêmes valeurs de x∗ . Cette valeur n’est plus située au centre du jet
mais dans la zone de mélange à x∗ ' 0.6 et x∗ ' 1.4 à l’exception de la simulation S6 qui
ne présente pas de pics de densité flagrants. Il suffit alors d’avancer dans le temps pour constater qu’à t∗ = 12, 5, ils apparaissent clairement (cf. figure 4.19). En comparant les valeurs du
nombre de Lewis initiales au centre et sur les bords du domaine, on s’aperçoit que la simulation
S6 possède la valeur maximale du nombre de Lewis du coté de l’hydrogène et au centre du jet
ainsi que le rapport LeH2 /LeO2 le plus grand. On peut d’abord écarter comme unique facteur
de cause, le nombre de Lewis au centre de la simulation car la simulation S7 possède la même
valeur du nombre de Lewis au centre du jet mais elle présente des pics de densité à t∗ = 10.
Si on compare la hauteur du pic, qui correspond à la différence entre la valeur maximale de
la densité et la valeur de la densité au centre, on déduit que plus le nombre de Lewis du coté
de l’hydrogène est important, plus la hauteur est grande à un instant donné. Bien que pour la
simulation S6 , le rapport LeH2 /LeO2 soit le plus grand, on remarque que celui de la simulation
139
2.5
2.5
2
2
2
1.5
1.5
1.5
1
0.5
0
0
Le (−)
2.5
Le (−)
Le (−)
1
0.5
0.5
1
*
y (−)
1.5
2
0
0
TH2 = 100 K
1
0.5
0.5
1
*
y (−)
TH2 = 200 K
1.5
2
0
0
0.5
1
*
y (−)
1.5
2
TH2 = 400 K
F IG . 4.20 – Profil du nombre de Lewis à l’instant initial, déterminé à partir des variables calculées avec les lois des gaz réels lorsque la température initiale de O2 est de de 200 K et qu’on
fait varier la température de H2 de 100 à 400 K.
S7 est supérieur à celui de la simulation Sref et pourtant la hauteur du pic est supérieure pour
cette dernière alors que le nombre de Lewis du coté du H2 est plus petit. Ainsi, plus la valeur du
nombre de Lewis du coté de l’hydrogène est grande, plus le pic de densité se forme tard.
4.4.3
Effets de la température
Les simulations utilisées pour cette étude sont très éloignées des conditions réelles présentes
en proche sortie des injecteurs du moteur Vulcain. Cependant, il est possible de faire varier les
conditions initiales et de regarder comment évolue le nombre de Lewis sans pour autant réaliser
la simulation complète. On peut alors atteindre des valeurs des conditions initiales proches de la
réalité sans pour autant les simuler avec le code Asphodèle. Ainsi, on fait varier la température
des réactifs, dans la limite de validité des modèles physiques utilisés, pour calculer les profils
du nombre de Lewis associés à ces conditions.
Dans un premier temps, nous allons fixer la température de l’oxygène, à 200 K et nous allons faire varier celle de l’hydrogène. Trois cas de tests ont été mis en œuvre en choisissant
différentes températures de H2 telles que :
– TH2 = 100 K ⇒ TH2 < TO2 ,
– TH2 = 200 K ⇒ TH2 = TO2 ,
– TH2 = 400 K ⇒ TH2 > TO2 .
Les profils initiaux du nombre de Lewis sont présentés en figure 4.20. On constate alors que la
valeur du nombre de Lewis du coté de l’hydrogène varie avec la température ce qui est normal
car les grandeurs utilisées pour calculer le nombre de Lewis dépendent aussi de la température.
140
Il augmente lorsque la température diminue, quand on se rapproche des conditions d’injection.
Par contre, si on compare la valeur du nombre de Lewis de l’oxygène sur les images de la figure 4.20 (TO2 = 200 K) à celle de la figure 4.17 (TO2 = 600 K), on constate qu’elle ne varie
presque pas.
Dans toutes les simulations qui ont été présentées depuis le début, avec le couple de réactif
O2 /H2 , la température de l’oxygène est supérieure à celle de l’hydrogène. En fait, la température
du fluide le plus lourd est toujours supérieure à celle du fluide le plus léger. Que se passe-t’il
dans le cas contraire ? Si on inverse les températures, comme dans le cas TH2 de la figure 4.20,
l’intensité des transferts de masse par rapport aux transferts d’énergie doivent être quasiment
identique puisque le profil de Lewis est sensiblement le même. Pourtant, dans cette configuration, la température de l’oxygène va augmenter mais, d’après le profil du nombre de Lewis, le
jet va se réchauffer plus vite que le co-flow se refroidit. Cela va donc faire diminuer la densité
de l’hydrogène. En même temps, la concentration d’oxygène va s’étaler et faire augmenter la
densité à l’extérieur du jet qui restera toujours inférieur à la densité au centre du jet car la température est plus faible et la concentration en oxygène toujours supérieure qu’à l’extérieur du
jet. Par contre, le gradient de densité ne s’étalera pas de manière uniforme du coté du jet ou du
co-flow.
On a remarqué ici, que la température initiale des réactifs n’affectait que très peu la valeur
initiale du nombre de Lewis. Par contre, la distribution des températures joue un rôle important.
Ces effets apparaissent lorsque la pression est élevée mais qu’en est il à la pression atmosphérique ? Nous allons donc nous intéresser aux effets de la pression sur le nombre de Lewis car
toutes les grandeurs utilisées dans l’équation 4.14 dépendent également de la pression.
4.4.4
Effets de la pression
Afin de regarder les effets de la pression sur le profil du nombre de Lewis, nous avons
utilisé la configuration de référence en prenant comme valeur pour la pression, la pression atmosphérique. Le profil du nombre de Lewis est présenté sur la figure 4.21. Il est calculé avec
les grandeurs physiques qui ont été déterminées avec les lois des gaz parfaits et les lois des gaz
réels. En effet, les polynômes de Bellan et al n’étant valables qu’à une pression de 100 bar, il
est donc impossible de les utiliser pour ce cas. On constate que la pression ne joue pas un rôle
important sur les valeurs du nombre de Lewis de l’oxygène et de l’hydrogène. En divisant la
pression par 100, la densité est également divisée 100 environ et il en est de même pour le coefficient de diffusion binaire. La viscosité, quant à elle, ne varie que faiblement (cf. tableau 4.3).
Ainsi, il est donc normal que la valeur du nombre de Lewis ne varie presque pas avec la pression.
Nous avons regardé les effets dus aux modèles physiques, aux températures initiales et à
la pression, nous allons, pour conclure cette étude, nous intéresser au couple de réactifs utilisé
pour la simulation. La différence entre les masses molaires entre les réactifs est peut être la
141
Le (−)
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
*
y (−)
1.5
2
F IG . 4.21 – Profil du nombre de Lewis à l’instant initial en fonction des variables calculées avec
les lois des gaz parfaits (trait plein) et les lois des gaz réels (traits pointillés) pour la configuration
de référence à la pression atmosphérique.
0.8
0.6
0.4
0
1
Le (−)
1
Le (−)
Le (−)
1
0.8
0.6
0.5
1
y* (−)
Configuration 1
1.5
2
0.4
0
0.8
0.6
0.5
1
y* (−)
1.5
2
0.4
0
Configuration 2
0.5
1
y* (−)
1.5
2
Configuration 3
F IG . 4.22 – Profil initial du nombre de Lewis pour les trois configurations présentées dans le
tableau 4.7.
cause de l’apparition du pic de densité dans la zone mélange.
4.4.5
R^
ole des espèces choisies : cas du mélange O2 /N2
Nous allons maintenant regarder les effets du nombre de Lewis lorsque le rapport des masses
molaires diminue. Pour cela, nous utilisons à nouveau les trois configurations présentées dans
le tableau 4.7 qui nous ont servi à tester la sensibilité du code aux effets de gaz réels. En effet,
le rapport des masses molaires étant plus faible, il est possible de simuler les écoulements présentant de faibles coefficients de compressibilité tout en ayant des densités assez proches.
On a donc calculé les profils initiaux du nombre de Lewis pour les trois configurations.
Ils sont tracés sur les images de la figure 4.22. On remarque tout d’abord que, pour ce couple
d’espèces, le nombre de Lewis est inférieur à 1 partout dans le domaine. Les espèces diffuseront avec une intensité plus importante que la température et ce, n’importe où dans le domaine
de calcul. Ainsi, il n’apparait pas dans ce cas de pic de densité comme dans le cas du mélange O2 /H2 . De plus, lorsque les effets de gaz réels diminuent et donc lorsque le rapport des
coefficients de compressibilité RZ se rapproche de 1, le nombre de Lewis se rapproche de 1
142
également. N’ayant pas effectué de simulation, avec ce couple de réactif, dont la température de
l’espèce la plus dense serait supérieure à cette celle de l’espèce la moins dense, il est impossible
de voir apparaitre des effets de Lewis sur la couche de mélange ; le rapport des masses molaires
étant faible, il n’y aurait peut-être eu aucun effet.
4.4.6
Bilan
Quelles peuvent être les conséquences de l’apparition de ces pics de densité sur la dynamique de l’écoulement ? Plutôt que de s’étaler au fur à mesure que les deux fluides se mélangent, la densité augmente dans un premier temps pour atteindre un pic puis elle s’étale dans
un second temps. Ceci a pour conséquence d’augmenter la tenue dans le temps du gradient de
densité. Ainsi, si on considère une poche d’oxygène, issue d’une goutte liquide qui aurait atteint à sa surface les conditions critiques ou issue d’un dard liquide, qui se serait réchauffée et
serait en contact avec de l’hydrogène plus froid (proche de l’injecteur), on peut penser que cette
poche parcourra une distance plus importante avant d’être complètement diluée. Ainsi, la poche
en question, qui ira plus loin, modifiera par exemple l’emplacement du front de flamme, le taux
de combustion, les transfert de chaleur aux parois, etc.
À travers cette étude, nous avons, dans un premier temps, cherché à comprendre comment
apparaissaient ces pics de densité dans la couche de mélange. Il semble que le nombre de Lewis
en soit directement la cause. En effet, la fraction massique d’oxygène diffusant plus rapidement
que la température du jet réchauffe le coflow, il apparait donc, dans la couche de mélange, des
zones dont la composition en oxygène augmente et qui se trouvent à faible température ; la densité devient alors supérieure à la densité du centre du jet. Dans un second temps, nous avons étudié l’impact de divers paramètres comme la température, la pression et le rapport des nombres
de Lewis sur l’apparition de ces pics. Les températures des fluides jouent un rôle important car
il est nécessaire que la température du fluide le plus lourd soit supérieure à celle du fluide le
plus léger pour que ce phénomène puisse avoir lieu. Par contre, la variation de la température
ne fait que faiblement varier le profil du nombre de Lewis et il en est de même pour la pression.
Seule la valeur du nombre de Lewis de la phase légère semble influencer le temps d’apparition
des effets de Lewis. Plus le nombre de Lewis de la phase dense est important, plus ces effets
sont retardés. Il serait intéressant de voir l’influence de cette valeur sur l’intensité de ces pics de
densité. Enfin, le changement des réactifs a permis de vérifier que si la température du fluide le
plus léger était supérieure à celle du fluide le plus lourd, alors il n’y aurait pas d’effets de Lewis. On a également remarqué qu’avec ces espèces, le nombre de Lewis est partout inférieur à 1.
Pour certains modèles présentés au chapitre 1, les transferts de masse doivent être d’intensité
égale, ou du moins proche, des transferts thermiques ce qui est notamment le cas des simulations
RANS lorsqu’elles sont couplées à la méthode de variable de mélange. Or, cette partie montre
bien que ce n’est pas le cas pour le mélange entre l’oxygène et l’hydrogène. Quelles peuvent
être les conséquences du choix de ce modèle lorsque le nombre de Lewis diffère de 1 ? C’est
143
pourquoi, nous allons dans, la partie suivante, regarder les effets du nombre de Lewis sur le
modèle de variable de mélange. Mais nous allons nous intéresser dans un premier temps au
formalisme LES et plus particulièrement aux équations d’état. En effet, les codes LES, qui
déterminent la pression ou la densité à partir de cette équation, y introduisent les grandeurs
thermodynamiques filtrées sans utiliser de terme de sous-maille.
144
4.5
Études préliminaires portant sur la validation des approches LES et RANS
Le code de simulation Asphodèle permet désormais de réaliser des simulations supercritiques et comme il s’agit d’un code de simulation numérique directe, il simule toutes les échelles
de l’écoulement. En réalité, dans sa configuration actuelle, seules les plus petites échelles sont
simulées. La parallélisation du code qui est en train de s’achever, va permettre de simuler des
rapports de densité plus élevés ou encore d’augmenter le nombre de Reynolds du code afin de
simuler des structures de tailles plus importantes. Pour l’instant, dans le cadre des simulations
réalisées durant cette thèse, il est important de souligner qu’il n’y a pas à proprement parlé de
turbulence. Néanmoins, il existe bien des zones de mélange où l’étirement par les tourbillons
est en compétition avec les processus diffusifs. Ainsi, à partir des résultats issus du code Asphodèle, nous avons mis en place deux études permettant de tester des modèles physiques utilisés
par certains auteurs dans leur code de simulation. Pour commencer, nous allons tester si le
formalisme actuel utilisé en LES, qui consiste à filtrer les grandeurs thermo-physiques en les
utilisant telles quelles dans l’équation d’état sans modèle de sous-maille, est toujours valable
dans ces conditions de pression. Une deuxième série de tests concerne l’utilisation du modèle
de la variable de mélange associée à des pdf présumées [27] alors que les nombres de Lewis et
de Schmidt sont différents de 1.
4.5.1
Effet du filtrage pour la simulation aux grandes échelles sur l’équation d’état
La simulation aux grandes échelles permet de réaliser des simulations numériques d’écoulement en simulant les grandes échelles alors que les plus petites échelles sont filtrées et modélisées. Pour des cas où la pression est faible et proche de la pression atmosphérique, cette
approche a déjà été validée à de nombreuses occasions. La question qu’on peut se poser est :
quel peut être l’impact de l’utilisation d’un filtrage et des termes de sous-maille lorsque la pression est élevée ou encore lorsque les coefficients de compressibilité deviennent différent de 1 ?
4.5.1.1
DNS, LES et équation d’état
Cette question a déjà été soulevée par Bellan et al [8] qui souligne que les modèles de sousmaille développés pour les écoulements à basse pression ne peuvent être utilisés directement
pour les simulations LES supercritiques. De plus, dans les simulations LES, l’équation d’état
est utilisée sans modèle de sous-maille alors que sont utilisées dans cette équation des grandeurs moyennes que sont la température, la pression et les fractions massiques filtrées. Lorsque
la pression est faible, il semble que cela ne pose pas de problème mais qu’en est-il à une pression de 100 bar ?
4.5 Études préliminaires portant sur la validation des approches LES et RANS
145
Pour tester l’impact des modèles de sous-maille utilisés en LES et plus particulièrement
l’utilisation d’un filtre appliqué aux équations résolues, nous avons adapté la méthode dite des
tests a priori. Cette méthode consiste à comparer des résultats issus d’une simulation DNS aux
résultats obtenus en appliquant le même filtre que celui utilisé dans la simulation LES. La comparaison entre les deux variables résolue et filtrée s’effectue par le biais d’un graphique appelé
Scatter plot. Sur ce graphique, on trace la première variable en fonction de la seconde et si le
modèle est parfait, on obtient alors la droite affine. Dans la plupart des cas, le modèle est une
approximation et on obtient sur le Scatter plot un nuage de points plus ou moins éloignés de
cette droite. Nous avons utilisé cette méthode dans le cadre d’une étude préliminaire pour ainsi
tester l’impact du filtrage LES sur l’équation d’état.
Si on se penche sur la détermination de la densité dans les codes de simulation, cette dernière est liée à plusieurs grandeurs thermodynamiques (pression, composition, température) et
toutes ces grandeurs sont liées les unes aux autres par une loi de comportement qu’est l’équation d’état. L’équation d’état, qui doit être constamment valable quelque soit les conditions, doit
être vérifiée dans le cadre d’une simulation aux grandes échelles. Or, avec ce formalisme, les
variables ont été filtrées avant d’être introduites dans l’équation d’état ce qui peut jouer un rôle
non négligeable sur les résultats du calcul lorsque la pression est très éloignée de la pression
atmosphérique et lorsque les effets de gaz réels se font sentir. De plus, dans la totalité des simulations LES présentées au premier chapitre, l’équation d’état ne sert pas à calculer la densité
mais elle est utilisée pour déterminer le champ de pression. La densité est, elle, transportée et
son évolution temporelle est déterminée à partir de l’équation de conservation de la masse.
Les équations d’état, qui ont été détaillées au chapitre 2, se présentent sous la forme d’une
relation qui lie les variables thermodynamiques entre elles, tel que :
ρ = f (P, T, Yi )
(4.15)
Dans le cadre d’une LES, les grandeurs qui sont introduites dans cette équation sont filtrées et
nous allons regarder si la relation 4.15 est encore applicable ou s’il est nécessaire d’apporter
une correction de sous-maille. Cette correction est notée ∆ρ SGS et les grandeurs filtrées, comme
la densité, sont notées ρ. Ainsi, l’équation d’état appliquée aux grandeurs filtrées devient :
ρ = f P , T , Yi + ∆ρ SGS
(4.16)
Le résultat issu de l’équation d’état dans laquelle on a introduit les variables filtrées, sera noté
ρ̌ tel que :
ρ = ρ̌ + ∆ρ SGS
4.5.1.2
(4.17)
Mise en œuvre
Pour étudier l’impact du filtrage des grandeurs physiques dans l’équation d’état, nous avons
appliqué un filtre sur les variables issues des résultats des DNS. Pour cette étude préliminaire,
146
le filtre utilisé revient à calculer en chaque point du maillage la moyenne des valeurs sur un
domaine caractérisé par la taille du filtre. Cette moyenne est calculée à partir des valeurs se
trouvant à une distance choisie (taille du filtre) d’un point telle que, pour la densité :
n P
n
P
ρ xi+α− n+1 , yj+β− n+1
2
2
α=1 β=1
ρ (xi , yj ) =
(4.18)
n2
On nomme n, l’ordre du filtre. Les conditions limites de périodicité facilitent le calcul des grandeurs filtrées sur les bords.
On applique ce filtre d’une part sur un champ de densité afin d’obtenir la grandeur ρ et dans
un second temps, on applique le même filtre aux champs de température, des fractions massiques des différentes espèces et du coefficient de compressibilité pour calculer les grandeurs
T , Yi . Ces grandeurs sont ensuite introduites dans l’équation d’état pour calculer la nouvelle
densité ρ̌. On a appliqué le filtrage au champ de densité extrait de la configuration de référence
à t∗ = 20. Ce champ de densité est intéressant car on y voit le pic de densité dans la couche
de mélange ainsi que des structures tourbillonnaires. De plus, on a utilisé différentes valeurs de
taille du filtre qui sont n = 25, 51 et 101. La taille du filtre est fonction de la taille des structures
présentes dans l’écoulement. Elle peut para^ıtre importante pour notre configuration mais elle
est à comparer aux grands tourbillons qui pourraient être présents dans le domaine si la taille de
la simulation était plus grande et/ou le nombre de Reynolds plus important.
4.5.1.3
Résultats
Les résultats sont présentés sur les images de la figure 4.24 sur lesquelles on détaille les
champs ρ et ρ̌, la différence entre ρ et ρ̌ qui correspond à ∆ρ SGS est le pourcentage d’écart de
ρ par rapport à ρ̌. Mais avant tout, nous présentons le champ de densité utilisé pour cette étude
sur l’image de la figure 4.23. À partir de ces images, on peut observer l’impact du filtrage sur
10
20
30
40
50
60
70
y* (−)
2
1
0
0
2
4
x* (−)
6
8
t∗ = 20
F IG . 4.23 – Champs de densité extraits à t∗ = 20 de la simulation de référence Sref .
le champs de densité. On remarque que plus la valeur de n augmente, plus on lisse les fluctuations jusqu’à obtenir le champ moyen (n = 101). Les conséquences sur l’écoulement sont
mises en évidence sur des coupes des champs ρ et ρ̌, effectuées à x∗ = 4 et présentées sur les
10
20
30
40
50
60
70
10
20
0
0
2
10
20
4
x* (−)
6
8
10
30
40
50
60
70
2
4
x* (−)
6
0
0
8
2
4
*
x (−)
6
10
20
30
40
50
60
70
1
2
ρ̌ pour n = 25
10
0
0.2
0.4
0.6
4
*
x (−)
6
0
2
4
x* (−)
6
0.2
0.4
0.6
0.5
1
1.5
2
2.5
2
4
x* (−)
6
0.5
1
1.5
2
2.5
3
4
x* (−)
6
8
Pourcentage d’erreur entre ρ et ρ̌ pour n = 25
8
40
50
60
70
4
*
x (−)
6
8
0.2
0.4
0.6
2
4
x* (−)
6
8
0.5
1
1.5
2
2.5
3
2
y* (−)
y* (−)
2
6
∆ρ SGS pour n = 101
1
0
0
30
2
0
0
8
2
1
4
x* (−)
1
2
20
0
1
70
2
0
0
8
60
ρ̌ pour n = 101
y* (−)
y* (−)
0
0
2
0
0
8
2
1
50
1
ρ̌ pour n = 51
2
40
2
0
0
8
30
ρ pour n = 101
y* (−)
1
20
1
ρ pour n = 51
y* (−)
y* (−)
70
2
0
0
y* (−)
60
1
0
0
2
*
50
2
ρ pour n = 25
y (−)
40
y* (−)
1
0
0
30
2
y* (−)
y* (−)
2
147
2
4
x* (−)
6
8
1
0
0
2
4
x* (−)
6
8
F IG . 4.24 – Champs de ρ, ρ̌ à t∗ = 20 de la simulation de référence pour différentes valeurs de
n. On présente également la différence entre ρ et ρ̌ (∆ρ SGS ) et le pourcentage d’erreur de ρ par
rapport à ρ̌.
images de la figure 4.25. Plus la taille du filtre est grande et plus les pics de densité dans la
zone de mélange sont gommés. On constate d’ailleurs que lorsque n = 101, le pic de densité a
complètement disparu. De plus, l’augmentation de la taille du filtre fait disparaitre les structures
tourbillonnaires et l’écoulement devient presque laminaire quand l’ordre du filtre est égal à 101.
Pour étudier l’impact de l’utilisation des grandeurs filtrées dans l’équation d’état, on regarde
les champs de ∆ρ SGS qui correspondent à l’écart entre la densité filtrée et la densité calculée avec
l’équation d’état et les grandeurs filtrées. On constate que le maximum d’écart est situé dans les
zones de gradient élevé. En effet, ce filtre effectuant la moyenne de chaque variable et en présence de fort gradient, il impose de tenir compte des valeurs de chaque côté du gradient qui sont
plus faibles et plus fortes que la valeur du point en question et cela d’autant plus que l’ordre du
filtre est grand. Par contre, la valeur du maximum de ∆ρ SGS pour les différentes tailles de filtre
35
35
30
30
30
25
20
15
ρ (kg/m3)
35
ρ (kg/m3)
ρ (kg/m3)
148
25
20
15
0
0.5
1
y* (−)
1.5
n = 25 et t∗ = 20
2
0
25
20
15
0.5
1
y* (−)
1.5
n = 51 et t∗ = 20
2
0
0.5
1
y* (−)
1.5
2
n = 101 et t∗ = 20
F IG . 4.25 – Profils de ρ (ligne noire), ρ (ronds rouges) et ρ̌ (carrés bleus) tracés à x∗ = 4 pour
différentes valeurs de n.
varie très peu. Enfin, on constate que la valeur de ∆ρ SGS est toujours positive. ∆ρ SGS étant égal
à la différence entre ρ et ρ̌, cela signifie donc qu’on sous-estime globalement la valeur de ρ̌. Or,
c’est cette valeur qui est utilisée dans les codes LES et cela peut avoir un effet cumulatif et avoir
un impact non négligeable sur les résultats des simulations LES.
On a vu que le pourcentage d’écart entre les densités filtrées et calculées était faible (inférieur à 3 %). Par contre, la valeur de ∆ρ SGS étant partout positive et pour n’importe quelle
taille de filtre, un effet cumulatif de ces erreurs pourrait, à la longue, ne plus être négligeables.
Cependant, les conditions utilisées pour cette étude restent éloignées des conditions réelles d’injection. C’est d’ailleurs pour cela que les conséquences sur l’équation d’état sont faibles car les
effets de gaz réels sont négligeables. Nous avons effectué la même étude sur un écoulement qui
présente des valeurs de coefficients de compressibilité des réactifs qui soient plus faibles.
4.5.1.4
Effets des gaz réels
Dans la configuration précédente, les fluides utilisés présentaient des coefficients de compressibilité proches de 1. Or, nous avons simulé des écoulements dont les coefficients de compressibilité étaient plus faibles mais pour cela, il a fallu changer le couple d’espèces. Ainsi,
avec le couple oxygène et azote, nous allons étudier l’impact du filtrage sur des écoulements
qui présentent des effets de gaz réels. On utilise alors la configuration 1 du tableau 4.7 à l’instant t∗ = 10 et, comme précédemment, on présente les champs ρ, ρ, ρ̌ et ∆ρ SGS , pour des tailles
de filtre de 25, 51 et 101 sur les images des figures 4.26 et 4.27. On s’aperçoit que lorsqu’on
s’éloigne des conditions de gaz parfaits, l’erreur relative de ρ̌ par rapport à ρ augmente.
4.5.1.5
Bilan
L’étude de l’effet du filtre sur l’équation d’état permettant de calculer la densité ρ a montré
que le terme correctif reste faible lorsque le coefficient de compressibilité est proche de 1. Ce
149
terme correctif, représenté par ∆ρ SGS , reste inférieur à 5 %. Par contre, si le coefficient de compressibilité décroit (de 1 à 0.7), la valeur de ∆ρ SGS augmente jusqu’à représenter 10 % d’erreur.
De plus, sa valeur est toujours de même signe ce qui pourrait induire un rôle de plus en plus
important au fur et à mesure que les erreurs se cumulent pour ne plus être négligeable. Les effets
de gaz réels
Il serait intéressant d’étendre cette étude aux autres grandeurs thermo-physiques qui sont
déterminées par un modèle dans lequel sont introduites des grandeurs filtrées. Par exemple,
avec la méthode des variations qui permet de déterminer la valeur de la température à partir la
composition et de l’enthalpie. Cette méthode a été présentée au chapitre 3 et est notamment utilisée par Schmitt et al dans la version supercritique du code AVBP [82]. C’est aussi le cas avec
le calcul des coefficients de transport qui sont déterminés par le biais de modèles physiques.
Ces modèles sont utilisés dans des simulations LES dans lesquelles les variables filtrées sont
introduites sans utiliser de terme de sous-maille.
À partir des résultats de la DNS et d’un code LES, il serait également possible d’effectuer
des tests a priori pour étudier des modèles calculant les termes non fermés des équations de
transport. En effet, il n’existe quasiment aucun modèle pour des applications supercritiques.
Or, lorsque la pression est faible et proche de la pression atmosphérique, des problèmes de fermeture existent. C’est pourquoi des études ont été mises en place afin de tester et trouver des
modèles [18] et [94]. De plus, comme l’a souligné Bellan et al [8], l’utilisation des modèles
développés pour les basses pressions dans la cas de simulations supercritiques entraine d’importantes erreurs. Ainsi, à partir des résultats extraits du code Asphodèle, il serait possible de
trouver des modèles adaptés pour les hautes pressions.
150
200
250
300
y* (−)
2
1
0
0
2
4
x (−)
*
6
8
Configuration 1 à t∗ = 10
F IG . 4.26 – Champs de densité extraits à t∗ = 10 de la configuration 1 présentée dans le tableau
4.7.
150
150
200
250
300
150
0
0
2
150
4
x* (−)
200
6
8
2
250
300
150
2
4
x* (−)
6
8
0
0
8
5
10
15
250
300
2
4
x* (−)
6
2
4
x* (−)
5
6
10
15
20
25
2
4
6
8
10
y* (−)
2
4
x* (−)
6
2
y* (−)
2
4
x* (−)
6
8
250
300
4
x* (−)
6
8
10
15
20
1
4
6
8
2
4
x* (−)
6
8
10
2
4
6
8
10
2
1
0
0
2
0
0
8
2
1
200
5
2
8
ρ̌ pour n = 101
1
6
2
0
0
8
4
x* (−)
1
0
0
8
y* (−)
0
0
2
150
2
1
300
2
1
20
250
ρ pour n = 101
ρ̌ pour n = 51
y* (−)
*
200
0
0
2
y (−)
6
y* (−)
y* (−)
*
y (−)
1
200
1
ρ pour n = 51
ρ̌ pour n = 25
*
4
x* (−)
2
0
0
y (−)
150
1
0
0
2
0
0
300
2
ρ pour n = 25
0
250
y* (−)
1
0
200
2
y* (−)
*
y (−)
2
2
4
x* (−)
6
8
1
0
0
2
4
x* (−)
6
8
F IG . 4.27 – Champs de ρ et de ρ̌ à t∗ = 10 de la configuration 1 pour différentes valeurs de
n. On présente également la différence entre ρ et ρ̌ (∆ρ SGS ) et le pourcentage d’erreur de ρ par
rapport à ρ̌.
4.5.2
151
Couplage de la méthode RANS et des pdf présumées
La dernière étude proposée dans le cadre de cette thèse a été mise en place pour vérifier la
pertinence de l’utilisation d’une variable de mélange et des pdf présumées dans le cadre d’application supercritique [27]. Pour réaliser des simulations d’écoulement supercritique issu d’un
injecteur coaxial, une nouvelle équation de transport associée à la fraction de mélange a été
couplée à des fonctions de densité de probabilité présumée. Cette méthode leur permet de déterminer les grandeurs physiques et thermodynamiques à partir d’une seule et unique variable :
la fraction de mélange Z. Ainsi, au lieu de résoudre une équation de transport pour l’énergie,
pour les fractions massiques et de déterminer la densité à partir d’une équation d’état (méthode
à faible nombre de Mach) ou d’une équation de transport (méthode à haut nombre de Mach)
puis de calculer les coefficients de transport, on résout une unique équation de transport pour la
fraction de mélange Z en plus de l’équation du mouvement. La valeur moyenne de chacune des
grandeurs est obtenue après intégration avec la pdf de Z en utilisant les relations entre chacune
des variables thermo-physiques et Z.
4.5.2.1
Analyse des méthodes basées sur la variable de mélange
La simplicité apparente du modèle implique des avantages comme la diminution des temps
de calcul. Le gain en temps de calcul est important car il n’y a que deux équations de transport
et les grandeurs physiques sont tabulées. Or, dans le code de simulation Asphodèle, il est nécessaire de résoudre trois équations de transport (mouvement, énergie et espèces), de déterminer
le champ de pression à partir de la méthode à faible nombre de Mach, de calculer le champ de
densité avec l’équation d’état et enfin d’extraire la température à partir de la méthode présentée
au chapitre 3. La méthode est sensiblement la même pour les codes de simulation LES présentés au chapitre 1 à la différence qu’ils utilisent une méthode compressible ce qui implique la
résolution de l’équation de la masse pour déterminer le champ de densité. L’équation d’état sert
quant à elle à déterminer le champ de pression.
L’utilisation d’un code RANS ne permet pas de suivre l’évolution des grandeurs thermophysiques dans le temps. Malgré cela, on a constaté que ce type d’approche permet d’obtenir de
très bons résultats sur les champs de grandeurs moyennées. On a présenté au premier chapitre
des résultats extraits de simulations RANS [27] qui ont été comparés à des données expérimentales issues du banc Mascotte (cf. figure 1.10). Sur le cas test Mascotte, l’approche RANS
donne des résultats moyens mais ils sont au moins aussi bons que ceux extraits des simulations
LES comme celle de Schmitt et al [82] tout en ayant des temps de calcul beaucoup plus faibles.
Malgré tout, l’utilisation de l’équation de transport de la fraction de mélange impose que les
transferts de masse et d’énergie s’effectuent avec la même intensité, c’est à dire qu’il faudrait
que le nombre de Lewis soit proche de 1 dans tout le domaine. Or, nous avons calculé et présenté le nombre Lewis pour le cas d’une simulation supercritique et, en présence d’hydrogène
et d’oxygène, nous avons montré dans la partie 4.4, qu’il diffère de 1 que l’on soit du coté de
l’un ou l’autre des réactifs. Quelles sont alors les conséquences de l’utilisation de cette méthode
152
lorsque le nombre de Lewis est différent de 1 pour des écoulements à haute pression ?
4.5.2.2
Mise en œuvre
Pour étudier les effets du nombre de Lewis sur le couplage de la variable de mélange avec
les grandeurs thermo-physiques, nous utilisons à nouveau les résultats issus du code de simulation numérique directe Asphodèle. À partir d’un champ d’une grandeur, par exemple la densité,
nous connaissons en chaque point du domaine la valeur de cette grandeur et ce, pour différents instants de la simulation. Nous avons également accès à la valeur des fractions massiques
d’hydrogène et d’oxygène en ces mêmes points. Or, lorsque l’écoulement étudié ne contient
que deux espèces différentes, la fraction de mélange Z correspond à la fraction massique d’un
des deux constituants ; dans notre cas Z est égal à la fraction massique d’hydrogène YH2 . Nous
allons ainsi extraire des champs de la DNS, la valeur de la densité qui est tracée en fonction de
la fraction de mélange au même point, pour les différentes configurations utilisées pour tester
l’impact des coefficients de transport sur l’écoulement et à différents instants. Les différentes
configurations sont résumées dans le tableau 4.9. Les variables présentées sont la densité (figure
??), la température (figure ??), l’enthalpie (figure ??), la viscosité (figure ??), la conductivité
thermique (figure ??) et le coefficient de diffusion du H2 dans le mélange (figure ??). Les variables ont été extraites à t∗ = 0, 10, 20 et 30 et pour un maximum de visibilité, toutes les
valeurs de chacune des grandeurs n’ont pas été tracées sur les figures. Nous avons effectué des
coupes transverses au jet avec un intervalle de 50 points entre chaque coupe.
4.5.2.3
Résultats
À partir de ces figures, on remarque à nouveau que l’écoulement est fortement dépendant
des modèles utilisés pour calculer les coefficients de transport. La dispersion des points est différente pour toutes les configurations mais on retrouve de grandes similitudes lorsque le coefficient de diffusion des espèces est calculé avec le même modèle, comme on peut le voir dans les
simulations Sref , S2 , S3 et S5 . De plus, il est possible d’observer qu’il y a plus de ressemblance
entre les images dont les coefficients de diffusion des espèces sont calculés avec le modèle des
gaz parfaits (simulations S1 et S4 ) et avec le polynôme de Bellan et al (simulations S6 et S7 )
que lorsque les coefficients de diffusion des espèces sont calculés avec les modèles gaz réels.
Nous confirmons ainsi les premières conclusions que nous avons tirées lors de l’analyse des
effets des coefficients de transport sur la dynamique de l’écoulement (cf. partie 4.3).
Enfin, on s’aperçoit qu’à t∗ = 30, presque toutes les grandeurs sont plus ou moins centrées
autour de la relation initiale quelque soit la simulation. C’est tout de même moins flagrant
pour la température et l’enthalpie dont la dispersion des points s’étale sur une large gamme
de température mais sur un faible intervalle de fractions de mélange. Cela montre bien que
l’homogénéisation est plus efficace pour la concentration que pour la température et qu’elle
peut être directement liée au effets du nombre de Lewis. De plus, on remarque sur les images
70
10000
60
8000
500
30
4000
T (K)
40
2000
400
0
20
300
−2000
10
0
0.2
0.4
0.6
Z (−)
0.8
−4000
0
1
Densité
0.5
Z (−)
200
0
1
0.8
1
Température
x 10
0.2
10
3
1
(m2/s)
0.1
0.5
0.2
0.4
0.6
Z (−)
Viscosité
0.8
1
8
m
1.5
0.15
0.05
0
6
2
2
DH
λ (W/(m.K))
2.5
µ (Pa.s)
0.4
0.6
Z (−)
−6
x 10
0
0
0.2
Enthalpie
−5
3.5
153
600
6000
50
h (J/mol)
ρ (kg/m3)
4
2
0.5
Z (−)
1
0
0.5
Z (−)
1
Coefficient de diffusion du H2 dans le mélange
F IG . 4.28 – Évolution des différentes grandeurs thermo-physiques en fonction de la fraction de
mélange, extraite de la simulation de référence aux instants t∗ = 0 (ligne rouge), t∗ = 10 (croix
bleues), t∗ = 20 (losanges noirs) et t∗ = 30 (plus vert).
de la figure ??, qu’à t∗ = 10, lorsque la fraction de mélange est supérieure à 0.5, la température
est constante et égale à la température initiale de l’hydrogène. Ceci est du à la diffusion des
molécules d’oxygène dans les zones de faibles températures qui se trouvent à l’extérieur du
jet. Toujours sur ces images de température mais à t∗ = 20, la fraction de mélange ne varie
plus qu’entre environ 0.1 et 0.5, soit moins de la moitié de l’intervalle initial, tandis que la
température varie entre 225 K et approximativement 525 K soit encore 90 % de l’intervalle
initial de température. Cette remarque est encore valable à t∗ = 30 où la différence entre les
températures maximale et minimale est toujours aussi importante alors que Z est presque égale
à 0.3 partout dans le domaine.
4.5.2.4
Étude de la méthode de variable de mélange à haute pression
Pour s’intéresser aux conséquences des effets de Lewis sur le modèle de la variable de mélange, nous allons nous intéresser à chaque grandeur individuellement en commençant par la
densité. Dans ce modèle, les grandeurs thermo-physiques sont découplées de la simulation hormis la viscosité et les coefficients de diffusion des espèces utilisés respectivement dans l’équa-
154
tion des moments et dans l’équation de transport de Z.
Sur les images présentant l’évolution de la densité, on observe assez peu de différences
entre les modèles utilisés qui tiennent compte de la pression. Bien que pour certains modèles la
dispersion au cours du temps soit plus importante, à t∗ = 30, l’ensemble des points est centré
autour de la relation initiale. À cet instant, les valeurs maximales et minimales de la densité sont
presque toutes identiques pour tous les modèles (entre 16 et 34 kg/m3 ) . Pour ce qui est de la
forme particulière de la répartition des points à t∗ = 10 qui diffère de celle des autres grandeurs
avec cette forme en cloche, elle est liée à la présence du pic de densité sur les bords du jet.
En effet, la fraction massique d’oxygène est la plus élevée au centre du jet et donc lorsque la
fraction de mélange est la plus faible. Ensuite, lorsque Z augmente, la densité augmente également (pic de densité) à cause des températures plus froides que dans l’O2 pur, avant de décroitre
lorsqu’on s’éloigne du centre du jet.
Pour l’enthalpie (figure ??) et la température (figure ??), on remarque que, contrairement à
la densité, à t∗ = 30, il n’y a pas de nuage de points centré autour de la relation initiale mais
plutôt une ligne axée sur la valeur de Z ≈ 0.3 qui est due aux effets du nombre de Lewis. Nous
avons vu précédemment que le nombre de Lewis varie beaucoup en fonction de la concentration
de H2 (figure 4.17). Dans la zone de l’hydrogène et donc lorsque Z est proche de 1, le nombre
de Lewis est supérieur à 1 ce qui veut dire que les transferts thermiques se produisent plus vite
que les transferts de masse (O2 et H2 donc Z). Les graphes ?? et ?? illustrent ces phénomènes
puisque pour Z proche de 1, l’ homogénéisation de h et de T est presque complète dès le début du calcul. Inversement dans la zone de l’oxygène (Z proche de 0), le nombre de Lewis est
inférieur à 1 ; en conséquence, les transferts thermiques sont moins efficaces que les transferts
de masse. Ainsi, l’amplitude de variation de h et T reste très grande alors que la variation des
concentrations (et donc de Z) se réduit par le mélange. On observe par exemple, que très vite
dans le calcul, il n’y a plus de point ayant une forte concentration de O2 (et donc des valeurs de
Z proche de 0). Les deux phénomènes couplés (Le < 1 avec Z = 0 et Le > 1 avec Z = 1)
modifient profondément la relation initiale entre h et Z. Il est clair que ce phénomène ne peut
être représenté avec un modèle à variable de mélange. Les erreurs sur la température provoquent
d’autres erreurs pour ρ mais aussi pour les coefficients de transport que nous allons étudier par
la suite.
Nous étudions ensuite l’impact de la fraction de mélange sur les coefficients de transport en
commençant par la viscosité. Dans le modèle de variable de mélange, la viscosité est utilisée
dans l’équation du moment. Le comportement de la viscosité (figure ??) est semblable à la densité. Les valeurs de la viscosité, en fonction de la fraction de mélange, s’éloignent assez peu de
la relation qui lie la viscosité à la fraction de mélange. C’est d’ailleurs la grandeur qui reste la
plus proche de la relation initiale.
Pour la conductivité thermique (figure ??), on observe des différences beaucoup plus im-
155
portantes entre la relation initiale et l’évolution temporelle de λ. De plus, exceptée avec le
polynôme de Bellan et al, l’évolution temporelle de la répartition des points n’a plus rien de
semblable avec la relation initiale. C’est également à partir du polynôme de Bellan et al que la
relation entre la fraction de mélange et la conductivité thermique est la mieux respectée. Mais
contrairement à la viscosité, la conductivité thermique n’est pas utilisée dans les équations de
transport et l’erreur générée sur la détermination de λ n’impacte pas les autres grandeurs.
Enfin, nous terminons par l’évolution temporelle du coefficient de diffusion avec la fraction
de mélange figure ??. Il est important que ce coefficient de transport soit correctement modélisé
car il est utilisé dans l’équation de transport de Z qui est à la base de la détermination des autres
grandeurs. En effet, si le coefficient de diffusion n’est pas modélisé avec assez de précision ce
sont toutes les autres grandeurs thermo-physiques qui s’en trouveront impactées. Or, d’après ce
qu’il est possible d’observer sur les images de la figure ??, il apparait une grande dispersion
des valeurs de DH2 m en fonction de Z et ce quelque soit le modèle utilisé. Seuls les coefficients
de diffusion calculés avec les polynômes de Bellan et al (Simulation S6 ) restent proches de la
relation initiale.
Comme prévu, les écoulements étudiés ici sont dominés par les effets de Lewis. Ceux-ci ne
peuvent pas être pris en compte avec un modèle de variable de mélange classique. L’utilisation
d’un modèle avec deux variables de mélange, une pour calculer la température et l’autre pour la
concentration. Les erreurs les plus importantes sont obtenues pour les variables qui dépendent
fortement de la température. Il faut aussi remarquer que les erreurs sur la densité, la viscosité
et le coefficient de diffusion vont entrainer un mauvais calcul des équations du mouvement et
de Z ce qui va ajouter des erreurs supplémentaires. Cependant, on voit aussi que la conservation de la masse et de l’énergie (nous sommes dans un cas de mélange adiabatique) permet de
retrouver correctement l’état final. Les erreurs sont donc commises sur la façon d’arriver à cet
état final. Ainsi, si l’approche ne considère pas le détail du mélange à petite échelle l’erreur
devient moindre. C’est le cas avec l’approche RANS et cela se traduit dans les équations par
des termes additionnels (νT , λT et DT ) dus à la turbulence. En LES, cela correspond à νSGS , λSGS
et DSGS . Quand ces termes dominent, le modèle de variable de mélange peut être appliqué, mais
cela devient plus problématique quand on s’approche des conditions de DNS, étudiées ici. De
toute façon, pour la combustion, le mélange à petite échelle reste important.
156
Conclusion
La thématique du sujet de thèse était la modélisation des milieux supercritiques avec comme
application l’injection dans les moteurs de fusée ; l’objectif étant le développement un code de
simulation pour l’injection cryogénique. La première étape consistait à réaliser une étude bibliographique sur les simulations numériques appliquées au cas des moteurs cryogéniques. Or,
on a vu qu’il existe globalement peu de communication dans le domaine lié à l’injection et au
mélange à la sortie des injecteurs de fusée. D’une part, l’élévation des gradients (surtout de densité) liée à l’augmentation de la pression dans le domaine, met à rude épreuve nombre de codes
de simulation qui ne parviennent pas à simuler de tels écoulements. D’autre part, les conditions
physiques extrêmes qui règnent au sein de la chambre de combustion réduisent considérablement les expériences en laboratoire pour des raisons de sécurité. C’est pourquoi les agences
spatiales, en charge du développement et de la fabrication des moteurs, privilégient les études
numériques. Une étude menée par la NASA [95] a permis de comparer des simulations issus de
cinq codes de calculs différents (RANS et LES). La confrontation des résultats fait apparaitre de
nombreuses divergences, aussi bien sur les champs instantanés que moyennés et pour toutes les
grandeurs. Notre choix s’est alors orienté sur le dernier formalisme de résolution des équations
de transport : la simulation numérique directe (DNS). Par contre, ce formalisme a été peu utilisé
dans le cadre de simulation supercritique et seuls Bellan et al [3] ont opté pour cette méthode
avec un solveur compressible et une simulation à nombre de Mach élevé. Dans ce travail, notre
choix s’est porté sur une formulation originale, basée sur les équations à faible nombre de Mach
qui permettent une résolution plus rapide lorsque les vitesses considérées ne dépassent pas 20%
de la vitesse du son.
Afin de réaliser une simulation numérique directe supercritique, c’est à dire dans des milieux où la pression ambiante est élevée (100 fois la pression atmosphérique), nous avons dans
un premier temps, étudié le comportement des grandeurs thermodynamiques (densité, enthalpie,
etc) et l’impact des coefficients de transport. Ainsi, la deuxième partie de cette thèse présente en
détail les lois thermodynamiques appliquées aux conditions supercritiques et leur modélisation.
Pour remplacer l’équation d’état des gaz parfaits, qui n’est plus valable lorsque le coefficient de
compressibilité devient inférieur à 1, les équations cubiques semblent être plus adaptées pour
158
leur rapidité de calcul. Parmi cette famille d’équations d’état, l’équation de Peng-Robinson
[69] donne des résultats proches des données de référence extraites du NIST [63]. Les autres
grandeurs thermodynamiques étant affectées par l’augmentation de la pression, des lois thermodynamiques des gaz réels ont été modélisées afin de calculer l’enthalpie ou les capacités
thermiques. L’augmentation de la pression modifie également les coefficients de transport et,
parmi les différents modèles existant, les méthodes de Chung et al [20], de Ely et Hanley [31]
et Fuller et al [33] associée à la corrélation de Takahashi [89] pour les milieux à pression élevée ont été introduites dans le code de simulation pour calculer, respectivement, la viscosité,
la conductivité thermique et le coefficient de diffusion binaire. Les polynômes développés par
Bellan et al [3], qui permettent de déterminer la conductivité thermique et les coefficients de
diffusion des espèces, ont également été utilisés. Toutes ces grandeurs thermo-physiques ont
également été testées et comparées à des données extraites du NIST [63] et l’utilisation de
règles de mélange appropriées permet de décrire le mélange entre les deux réactifs. Elles ont
également permis de déterminer le diagramme d’équilibre liquide-vapeur du mélange O2 /H2
afin de connaitre les valeurs caractéristiques du mélange tel le point critique du mélange à une
pression donnée.
Tous ces modèles physiques ont été introduits dans le code de simulation Asphodèle ; sa
structure modulaire ayant facilité cette tache. C’est un code de simulation numérique directe,
dilatable qui utilise un maillage structuré. Les dérivées spatiales sont déterminées avec une méthode PADE d’ordre 6 qui est très précise. Les équations de transport résolues sont les équations
de la mécanique des fluides à bas nombre de Mach [74]. Pour avoir une meilleure conservation
de la masse, une vitesse de correction est généralement introduite dans l’équation de transport
des espèces (Uc ) [74]. Or, en étudiant des problèmes de stabilité, on s’est aperçu que cette vitesse de correction devait être également introduite dans l’équation de transport de l’énergie.
On a également présenté dans la section décrivant le code, les algorithmes qui permettent de
déterminer les champs de température, de pression et de densité pour des simulations d’écoulement à faible nombre de Mach, avec comme objectif principal, la réduction des temps de calcul
tout en conservant le maximum de précision. Enfin, nous avons présenté la configuration introduite dans le code qui se rapproche des injecteurs coaxiaux utilisés dans le moteur Vulcain :
un jet d’oxygène entouré d’hydrogène, une pression ambiante fixée à 100 bar et des vitesses
des fluides fixées à 100 m/s et 20 m/s pour l’hydrogène et l’oxygène respectivement. Seules
les températures sont éloignées des conditions réelles sinon elles imposent la présence d’une
interface dans le domaine de calcul et d’un rapport de densité trop élevé.
Avec toutes les modifications apportées au code de simulation Asphodèle, nous avons réalisé, à notre connaissance, les premières simulations DNS d’écoulement à faible nombre de
Mach en condition supercritique. Après avoir, dans un premier temps, validé l’introduction des
modèles physiques qui permettent de tenir compte des effets de gaz réels. Les résultats ont
montré que les modèles physiques liés aux grandeurs thermodynamiques des gaz réels (densité,
enthalpie, capacités thermiques) et les méthodes numériques se comportent parfaitement tandis
159
que des différences non négligeables apparaissent en fonction des modèles utilisés pour le calcul des coefficients de transport. Nous avons alors testé les différents modèles concernés et on
a pu remarquer que l’écoulement étaient dominé par la modélisation du coefficient de diffusion
des espèces : nous avons évalué trois modèles différents et dans les trois cas, les simulations
donnent des résultats disparates pour chaque coefficient. Or, le coefficient de diffusion binaire
DO2 H2 est une grandeur peu connue à pression élevée ce qui ne permet pas de confronter les
modèles à des données expérimentales.
L’objectif étant de se rapprocher des simulations de Bellan et al [3], nous avons ensuite
fait varier les températures d’injection afin d’augmenter le rapport des densités entre le fluide
dense et le fluide léger. Alors, en adaptant sur la résolution, nous avons réalisé des simulations
d’écoulement dont le rapport des densités était supérieur à 10, valeur considérée comme étant
une limite pour les écoulements à faible nombre de Mach. Pour cette simulation, la température
de l’oxygène était de 300 K et dans ces conditions, son coefficient de compressibilité était égal
à 0.92, ce qui reste proche de 1. Pour tester la sensibilité du code aux effets de gaz réels, nous
avons simulé le mélange entre l’oxygène et l’azote car il est alors possible de diminuer la température dans le domaine de telle sorte que Z soit très inférieur à 1 (Z ' 0.6 au minimum) tout
en ayant un rapport de densité assez faible. On remarque d’une part que la simulation d’écoulement ayant des coefficients de compressibilité faibles ne posait pas de problème particulier à la
formulation bas nombre de Mach. De plus, on a également constaté que la variation du rapport
des facteurs de compressibilité RZ influençait la dynamique de l’écoulement uniquement en
faisant varier le nombre de Reynolds. À l’inverse du rapport des densités, plus RZ diminue et
plus le nombre de Reynolds augmente.
En étudiant le mélange de l’oxygène et de l’hydrogène, nous avons détecté un phénomène
particulier apparaissant dans la zone de mélange : une augmentation locale de la densité. Cet
effet semble directement lié aux valeurs locales du nombre de Lewis et plus le nombre de Lewis
du gaz léger est faible et plus les pics de densité apparaissent rapidement. Nous avons ensuite
regardé le comportement du nombre de Lewis en fonction des différentes grandeurs physiques.
Les variations de pression et température n’ont que très peu d’effet mais la distribution de la
température est importante. Il est nécessaire que la température du fluide ayant la densité la plus
élevée soit supérieure à celle du fluide le plus léger pour qu’il y ait des effets de Lewis. Enfin, on
a également pu remarquer que les espèces composant le mélange modifient la valeur du nombre
de Lewis et donc la dynamique de l’écoulement.
Les résultats obtenus avec le code de simulation numérique directe Asphodèle, nous ont
servi afin de regarder la contribution de certains modèles utilisés dans des codes de simulations
présentés au chapitre 1 comme l’introduction des grandeurs filtrées, issues d’une simulation
LES, dans l’équation d’état sans ajouter de terme de sous-maille. En effet, la DNS permet de
connaitre à un instant quelconque toutes les grandeurs physiques sans quelles aient été filtrées.
Ainsi, connaissant la densité, la température et la concentration, nous avons filtré a priori ces
160
grandeurs et comparé la densité filtrée à la densité déterminée par l’équation d’état à partir de
la concentration et de la température filtrée. On a alors montré que pour le cas O2 /H2 , l’écart
entre la densité filtrée et la densité issue du modèle ne dépasse pas 6 %. Dans ces conditions, les
effets de gaz réels étant presque nuls, nous avons à nouveau réalisé cette étude avec les résultats
extraits des simulations O2 /N2 qui présentent des coefficients de compressibilité plus faibles.
Dans ce cas l’erreur avoisine au maximum les 10 %. L’utilisation d’un terme de sous-maille
ne semble donc pas nécessaire dans les conditions de calcul présentées ici d’autant plus que
la valeur déduite de l’équation d’état est globalement sous-estimée. Les erreurs induites par la
non utilisation de termes de sous-maille pour l’équation d’état sont à mettre au regard d’autres
approximations liées à la formulation LES. Par contre, il pourrait y avoir un effet cumulatif sur
le champ de pression (ou de densité) ce qui aurait un impact sur la dynamique de l’écoulement.
Un autre modèle utilisé dans les simulations supercritiques a été comparé aux résultats issus
de la DNS. Il s’agit du modèle de variable de mélange associé à des fonctions densité de probabilité. Ainsi, on a tracé en fonction de la fraction de mélange Z, les grandeurs thermo-physiques
extraites de la DNS. L’hypothèse de base, qui permet de ne transporter qu’une variable dans
leur code RANS, est que le nombre de Lewis doit être proche de 1 ce qui n’est pas le cas ;
les conséquences sur la simulation RANS sont plus ou moins importantes. La viscosité et dans
une moindre mesure la densité, semblent peu affectées par la valeur du nombre de Lewis et, à
la fin de la simulation, ces deux grandeurs retrouvent la relation initiale qui les lie à Z. Pour
le coefficient de diffusion des espèces, il en est autrement. En effet, des écarts très importants
apparaissent dès le début et jusqu’à la fin de la simulation. Or, ces trois grandeurs sont utilisées
dans l’équation de transport de la fraction de mélange ce qui peut affecter les résultats si elles
ne sont pas calculées correctement. Pour les autres grandeurs, comme la température, l’impact
sur la simulation est nul car elles ne sont pas utilisées dans les équations de transport. Elles sont
cependant calculées à partir de Z et des erreurs commises sur la température peuvent entrainer
des erreurs sur les flux thermiques à la paroi, les taux de combustion, etc. Pour remédier à ce
problème, il a été proposé d’utiliser non pas une seule variable de mélange mais d’en introduire
une deuxième. Ainsi, la première décrirait le mélange des espèces tandis que la seconde serait
liée aux transferts thermiques et permettraient de déterminer avec plus de précision les grandeurs qui dépendant fortement de la température.
À partir de toutes ces informations, issues de l’observation et de la compréhension de la
dynamique des écoulements et du mélange à haute pression, nous avons pu identifier un certain
nombre d’effets principalement lié aux conditions initiales. Ces effets sont dus :
– aux coefficients de transport,
– au nombre de Reynolds.
– au nombre de Lewis,
161
– au rapport de densité (Rρ ),
– au rapport des coefficients de compressibilité (RZ ),
– aux coefficients de compressibilité (Z)
On a également remarqué que leurs impacts sur la simulation n’étaient pas tous du même ordre.
On a d’abord constaté que les effets liés aux variations des grandeurs thermodynamiques sont
assez faibles dans le cas de simulation à faible nombre de Mach. Parmi ces effets, on a montré
que les coefficients de compressibilité, et donc les effets de gaz réels, n’affectaient pas l’écoulement mais uniquement la valeur des grandeurs thermodynamiques (densité, enthalpie, etc).
Il est donc utile d’utiliser les modèles des gaz réels pour déterminer les grandeurs thermodynamiques pour ne pas avoir d’erreurs importantes. Par contre, on a montré que la variation
des paramètres Rρ et RZ influencent l’écoulement car ils faisaient varier la valeur du nombre
de Reynolds et c’est de la valeur de ce nombre adimensionnel que dépend la physionomie de
l’écoulement. Le nombre de Lewis a également une influence sur l’écoulement et plus particulièrement avec l’augmentation de la densité et donc de la tenue dans le temps des gradients,
lorsque les conditions initiales le permettent. Enfin, l’effet le plus important de tous est le rôle
des coefficients de transport et en particulier, du coefficient de diffusion binaire. On a montré
que l’écoulement dépend fortement du modèle choisi et non des conditions initiales et on a
constaté que, en fonction du modèle, la valeur des coefficients de diffusion des espèces modifient grandement la structure de l’écoulement. Ainsi, sans confrontation des différents modèles
à des données expérimentales, il subsistera un doute sur le choix des modèles de diffusion dans
les simulations supercritiques que ce soit des simulations RANS, LES ou DNS. Finalement,
il serait intéressant de comparer les simulations du projet Constellation [95] de la NASA, en
utilisant le même modèle pour calculer le coefficient de diffusion binaire.
Perspectives
Les études qui ont été menées à partir des résultats issus du code de simulation Asphodèle
sont à développer car la taille du domaine simulé et le nombre de Reynolds du code utilisé sont
trop faibles pour que nos interprétations des résultats soient validées pour des configurations
plus complexes. En effet, il aurait fallu simuler des structures tourbillonnaires de taille plus importante. C’est pourquoi, la parallélisation qui était en cours avant la fin de cette thèse et qui est
maintenant terminée, permettrait de réaliser ces deux objectifs. Il y aurait ainsi une turbulence
plus proche des conditions expérimentales qui permettrait de mener des études plus précises
sur les modèles de sous-maille en application avec la LES et affiner l’étude sur l’impact des
grandeurs filtrées sur l’équations d’état. Il serait également intéressant de vérifier si la méthode
utilisée pour déterminer la température à partir de l’enthalpie et de la composition (méthode
162
des variations) nécessite l’utilisation d’un terme de sous-maille lorsque ce modèle est utilisé
avec des variables filtrées. Plus généralement, il faudrait vérifier tous les modèles physiques
utilisés sans terme de sous-maille dans les code LES, pour calculer les coefficients de transport,
l’enthalpie, les capacités thermiques etc. De même, des études a priori permettraient d’évaluer
l’ordre de grandeur et la contribution sous-maille des termes non fermés des équations de transport pour des configurations à pression élevée.
L’étude sur les effets de Lewis mériterait également d’être développée. On a montré que
l’apparition des pics de densité variait en fonction du nombre de Lewis de l’hydrogène. Peut
être qu’à une condition initiale donnée, la valeur de la densité des pics arriverait a être supérieure à la valeur de la densité initiale du fluide lourd. Il serait également intéressant de regarder
l’effet du gradient et du rapport de densité sur l’instant d’apparition des pics, leur amplitude. Les
effets liés aux réactifs utilisés ont simplement été présentés. Une configuration dans laquelle la
température du O2 serait supérieure à celle du N2 , permettrait de voir apparaitre des effets de
Lewis d’autant plus que le nombre de Lewis serait inférieur à 1 partout dans le domaine.
La dernière étude décrivait l’impact des effets du nombre de Lewis sur les résultats lorsque
le modèle de la variable de mélange, basé sur l’hypothèse d’un nombre de Lewis unitaire, est
utilisé. Or, on a constaté que cette hypothèse était fausse. En conséquence, les transferts de
masse et de température ne s’effectuant pas avec la même intensité, il serait nécessaire, pour
décrire au mieux les variables qui dépendent fortement de la température, d’utiliser une seconde variable de mélange, transportée par une autre équation de transport. Enfin, on pourrait
réaliser une simulation numérique directe dans laquelle on remplacerait l’équation d’état par
une fonction de ρ dépendant uniquement de la fraction de mélange Z permettrait de valiser
cette formulation. De même, la viscosité et la conductivité thermique, qui ont peu d’influence
sur la simulation, pourraient aussi être calculées de cette manière. Le gain en temps de calcul
permettrait d’augmenter la taille du domaine ou la valeur du nombre de Reynolds du code afin
de réaliser une simulation plus réaliste.
L’injection dans les milieux à pression élevée d’écoulement à faible nombre de Mach est
amenée à se développer dans le futur et notamment dans le domaine des moteurs automobiles.
En effet, l’injection de l’oxydant et de carburant s’effectue à faible nombre de Mach. De plus,
la pression dans le cylindre augmentant de plus en plus, pour permettre de diminuer la consommation de carburant ainsi que les rejets de polluant, la pression critique de l’oxydant et du
carburant va bientôt (si ce n’est déjà le cas) être dépassé. Les derniers moteurs diesel à injection
par rampe commune, fonctionnent avec une pression de 60 bar alors que la pression critique
du N-heptane est d’environ 30 bar et 50 bar pour l’oxygène. D’ailleurs, Bellan et al ont déjà
étudié la vaporisation de gouttes de N-heptane dans de l’azote à haute pression [4] ainsi que des
couches de mélange temporelle de N-heptane/azote en condition supercritique [7].
Annexe A
Quelques définitions de thermodynamique
Il semble utile dans cette annexe de rappeler quelques définitions de thermodynamique qui
permettent notamment d’introduire la notion de changement de phase, plus particulièrement le
changement de phase liquide-gaz (vaporisation ou évaporation). Pour d’avantage de détails, le
lecteur peut se rapporter aux livres d’Hirschfelder [40] et de Bruhat pour une version française
[14].
A.1
Équilibre thermodynamique
Un système est à l’équilibre thermodynamique s’il n’évolue pas dans le temps et s’il n’est
l’objet d’aucun échange avec l’extérieur (s’il est isolé et fermé).
A.2
Fonctions d’état
Une fonction d’état est une grandeur qui ne dépend que de l’état d’un système. Sa variation
au cours d’une transformation du système thermodynamique ne dépend que de l’état final et de
l’état initial d’équilibre et non de la nature de la transformation et du chemin suivi.
A.3
Énergie interne
L’énergie interne d’un système représente, à l’échelle microscopique, la somme de toutes
les formes d’énergie, cinétique et potentielle, attachées aux molécules (ou aux atomes) du système comme l’énergie cinétique de translation, de rotation, de vibration ainsi que les énergies
potentielles (interaction moléculaire ou atomique) et bien d’autres. Étant donné la complexité
des interactions au niveau microscopique, l’énergie interne U n’est pas calculable et seule sa
variation peut être déterminée. De plus, l’énergie interne est une fonction d’état définie telle
164
que :
U = Q+W
(A.1)
La forme différentielle s’obtient facilement :
dU = δQ + δW
= δQ − P dV
A.4
(A.2)
(A.3)
Enthalpie
L’enthalpie est aussi une fonction d’état dont la variation permet d’exprimer la quantité de
chaleur mise en jeu pendant la transformation d’un système lorsque celui-ci reçoit ou fournit un
travail mécanique. Dès lors qu’il n’y a pas de changement de phase, la variation d’enthalpie correspond à une variation de température du corps. En revanche, lors d’un changement de phase,
la variation d’enthalpie ne décrit plus la variation de température du corps mais le changement
de nature de celui-ci. C’est pourquoi un changement de phase s’effectue toujours à température
constante si la pression est aussi constante. L’enthalpie est définie par :
H = U + PV
(A.4)
avec U l’énergie interne, d’où la forme différentielle pour la variation d’enthalpie :
dH = dU + d (P V )
= dU + P dV + V dP
A.5
(A.5)
(A.6)
Entropie
L’entropie S (fonction d’état) caractérise la progression d’un système vers son état d’équilibre. La variation d’entropie lors d’une transformation réversible est définie telle que :
dS =
A.6
δQ
T
(A.7)
Enthalpie libre
L’enthalpie libre G ou énergie de Gibbs (fonction d’état) représente le potentiel thermodynamique d’un système évoluant à température, pression et nombre de moles constants. Elle
atteint un minimum quand un tel système est à l’équilibre (potentiel) et est définie, pour un
nombre de moles constant, par :
G = H − TS
(A.8)
A.7 Énergie sous forme de chaleur
165
La forme différentielle est définie par l’équation suivante :
dG = dH − d (T S)
= dH − T dS − SdT
(A.9)
(A.10)
et d’après les équations A.5 et A.7, on obtient finalement :
dG = V dP − SdT
A.7
(A.11)
Énergie sous forme de chaleur
Il faut tout d’abord distinguer deux types d’énergie sous forme de chaleur δQ.
A.7.1
Chaleur sensible
C’est l’énergie sous forme de chaleur apportée (ou retirée) à un corps afin qu’il puisse élever
(ou diminuer) sa température et ainsi passer de la température T à T +dT (ou à T -dT ) tel que,
pour une mole de corps pur :
δQs = Cv dT + l dV
δQs = Cp dT + h dP
δQs = λ dV + µ dP
A.7.2
(A.12)
(A.13)
(A.14)
Chaleur latente de changement de phase
La chaleur latente de changement de phase, Ql , est l’énergie qu’il faut apporter à un corps
ou libérée par ce dernier pour lui permettre de changer d’état. On déduit son équation d’après
les relations A.5 et A.3 :
dH = δQl + V dP
(A.15)
Un changement de phase s’effectuant toujours à pression constante (si la température est également constante), l’équation A.15 devient :
dH = δQl
(A.16)
Ql = H2 (T ) − H1 (T )
(A.17)
d’où la relation :
La chaleur latente se réduit donc à la variation d’enthalpie du corps lorsqu’il passe de l’état 1
à l’état 2. On note que la température est identique qu’on soit en 1 ou en 2. Voici une première
166
équation qui permet de calculer Ql .
On peut aussi redémontrer les équations de Clapeyron en utilisant l’enthalpie libre. Lors
d’un changement de phase, et si les phases mutuelles sont à l’équilibre, l’enthalpie libre des
deux phases en question est identique. Si on s’intéresse, par exemple, à la transition liquide-gaz,
cette transition s’effectue à température et pression identique de chaque côté de l’interface :
Gl (T, P ) = Gv (T, P )
(A.18)
dGl = dGv
Vl dP − Sl dT = Vg dP − Sg dT
(A.19)
(A.20)
ce qui implique :
À partir de l’équation A.20, on obtient :
Sg − Sl = (Vg − Vl )
= ∆Sl→g
dP
dT
(A.21)
(A.22)
D’après la définition de l’entropie (équation A.7), on obtient la forme intégrale :
∆Sl→g =
Ql
T
(A.23)
avec ∆S1→2 la variation d’entropie pour passer de l’état d’équilibre 1 vers l’état d’équilibre
2. Finalement, en introduisant A.23 dans A.21 on obtient une équation pour la chaleur latente
molaire de vaporisation :
Ql = (Vg − Vl ) T
dP
dT
(A.24)
qui est une des relations de Clapeyron.
Remarque 1 : en utilisant le même raisonnement, il est possible de retrouver les chaleurs latentes de fusion et de sublimation.
Remarque 2 : pour une même quantité de matière, le volume occupé par un gaz étant toujours supérieur à celui occupé par un liquide, la valeur de la chaleur latente de vaporisation est
donc positive ; il faut apporter de l’énergie pour vaporiser un liquide.
Remarque 3 : pour les changements de phase inverses, il suffit d’inverser les indices pour des
volumes. Dans ce cas, la valeur de la chaleur latente est de signe opposé.
Annexe B
Calcul des propriétés physiques
B.1
Calcul de la viscosité
La méthode de Chung et al pour calculer la viscosité d’un mélange gazeux à pression élevée
est une extension de la théorie cinétique des gaz de Chapman et Enskog. L’expression de la
viscosité du gaz est la suivante [20] :
η = η∗
36.344 (Mm Tcm )1/2
(B.1)
2/3
Vcm
où Tcm est sa température critique en Kelvin, Vcm son volume molaire critique en cm3 .mol−1 .
La valeur de η est exprimée en µP a. Enfin, Mm est la masse molaire du mélange en g.mol−1
définie telle que :
P P

Mm = 
i
j
1/2 2
Xi Xj (ij /k) d2ij Mij
2/3
(/k)m dm


(B.2)
Xi et Xj sont les fractions molaires en phase gazeuse des espèces i et j, k est la constante de
Boltzmann et est le minimum de l’énergie potentielle d’interaction entre deux molécules. Les
168
autres variables sont définies telles que :
PP
k
m
ij
k
=
i
j
Xi Xj (ij /k) d3ij
(B.3)
dm
1/2
i j
=
k k
(B.4)
i
Tci
ii
=
=
k
k
1.2593
XX
d3m =
Xi Xj d3ij
i
(B.5)
(B.6)
j
dij = (di dj )1/2
(B.7)
dii = di = 0.809 Vc1/3
i
(B.8)
Mij =
2Mi Mj
Mi + Mj
(B.9)
où Tci est la température critique de l’espèce i, Vci est le volume critique de l’espèce i, di est
défini comme le diamètre de la sphère rigide i et Mi est la masse molaire de l’espèce i. Ainsi :
Tcm = 1.2593
km
3
dm
Vcm =
0.809
(Tm∗ )1/2
1
∗
F cm
+ E6 ym
+ η ∗∗
η =
Ωv
G2
T
Tm∗ =
(B.10)
(B.11)
(B.12)
(B.13)
k m
avec T la température du fluide.
∗
Ωv = 1.16145 (Tm∗ )−0.14874 + 0.52487 e(−0.77320 Tm ) +
∗
2.16178 e(−2.43787 Tm )
Fcm = 1 − 0.275 ωm + 0.059035 µ4rm + km
(B.14)
(B.15)
B.1 Calcul de la viscosité
169
Pour calculer ωm , µrm et ki , on utilise les équations suivantes :
PP
Xi Xj ωij d3ij
i j
ωm =
dm
ωi + ωj
ωij =
2
ωii = ωi
µrm =
(B.19)
(Vcm Tcm )1/2
d3m
X X Xi Xj µ2i µ2j
i
km =
XX
i
(B.17)
(B.18)
131.3 µm
µm =
(B.16)
!1/4
d3ij
j
Xi Xj kij
(B.20)
(B.21)
j
kij = (ki kj )1/2
(B.22)
kii = ki
(B.23)
où ωi est le facteur acentrique de Pitzer de l’espèce i, µi est le moment dipolaire de i en debyes et
ki le coefficient d’interaction binaire qui correspond à une correction pour les espèces fortement
polaires.
Il faut encore définir ym et G2 qui apparaissent dans l’équation B.12, tels que :
ym =
Vcm
6 Vm
(B.24)
avec Vm le volume spécifique molaire calculé à partir du facteur de compressibilité Z et :
1 − 0.5 ym
(1 − ym )3
E1 1 − e−E4 ym /ym + E2 G1 eE5 ym + E3 G1
=
E1 E4 + E2 + E3
G1 =
(B.25)
G2
(B.26)
Ei = ai + bi ωm + ci µ4rm + di km
(B.27)
Les valeurs des paramètres ai ,bi ,ci et di sont regroupées dans le tableau B.1.
Enfin l’expression de η ∗∗ est donnée par la relation suivante :
∗ −1 +E (T ∗ )−2
10 m
2
η ∗∗ = E7 ym
G2 eE8 +E9 (Tm )
(B.28)
170
i
ai
1
6.324
2 1.21 × 10−3
3
5.283
4
6.623
5
19.745
6
-1.900
7
24.275
8
0.7972
9
-0.2382
10
0.06863
bi
ci
di
50.412
−1.154 × 10−3
254.209
38.096
7.630
-12.537
3.450
1.117
0.06770
0.3479
-51.680
−6.257 × 10−3
-168.48
-8.464
-14.354
4.985
-11.291
0.01235
-0.8163
0.5926
1189.0
0.03728
3898.0
31.42
31.53
-18.15
69.35
-4.117
4.025
-0.727
TAB . B.1 – Coefficients de Chung et al pour calculer Ei de l’équation B.27.
B.2
Calcul de la conductivité thermique
B.2.1
Méthode de Chung et al
La conductivité thermique λ d’un mélange gazeux à haute pression est donnée selon Chung
et al par la relation suivante :
1/2
η Ψm
T
−1
2
λ = 31.2
G2
(B.29)
G2 + B6 ym + qm B7 ym
0
Mm
Tcm
où η est la viscosité du fluide donnée par l’expression :
26.69 Fcm (Mm T )1/2
η =
d2m Ωv
(B.30)
Dans cette expression les paramètres dm ,Fcm ,Mm et Ωv sont calculés à l’aide des relations
(B.2),(B.6),(B.14) et (B.15) utilisées pour le calcul de la viscosité. De même Tcm et Vcm sont
0
obtenus grâce aux équations (B.10) et (B.11). Mm
= Mm × 10−3 et les coefficients G1 et G2
sont donnés par :
1 − 0.5 ym
(1 − ym )3
(B1 /ym ) 1 − e−4B4 ym + B2 G1 eB5 ym + B3 G1
=
B1 B4 + B2 + B3
G1 =
(B.31)
G2
(B.32)
Les coefficients Bi sont calculés d’après :
Bi = ai + bi ωm + ci µ4rm + di km
(B.33)
B.2 Calcul de la conductivité thermique
171
Les différents coefficients ai ,bi ,ci et di sont rassemblés dans le tableau B.2.
Les deux derniers paramètres qm et Ψm sont obtenus avec les relations suivantes :
i
ai
1
2
3
4
5
6
7
bi
2.4166 0.74824
-0.50924 -1.5094
6.6107
5.6207
14.543 -8.9139
0.79274 0.82019
-5.8634
12.801
91.089
128.11
ci
di
-0.91858
-49.991
64.760
-5.6379
-0.69369
9.5893
-54.217
121.72
69.983
27.039
74.344
6.3173
65.529
523.81
TAB . B.2 – Coefficients de Chung et al pour le calcul de Bi de l’équation B.33.
qm =
0 1/2
−3 (Tcm /Mm )
3.586.10
2/3
Vcm
Φm = 1 + αm
0.215 + 0.28288 αm − 1.061 βm + 0.26665 Zm
0.6366 + βm Zm + 1.061 αm βm
(B.34)
(B.35)
avec :
Cvm
2
−
R
3
X
=
Xi C v i
αm =
C vm
(B.36)
(B.37)
i
2
βm = 0.7862 − 0.7109 ωm + 1.3168 ωm
2
T
Zm = 2 + 10.5
Tcm
(B.38)
(B.39)
R est la constante des gaz parfaits et Cvi est la capacité thermique à volume constant de l’espèce
considérée.
B.2.2
Méthode de Ely et Hanley
0
λm = λ∗∗
m + λm
(B.40)
172
avec :
λ0m =
λ0ii
=
λ0ij =
λ0i
=
XX
i
0
λi
Xi Xj λ0ij
(B.41)
j
2 λ0i λ0j
λ0i + λ0j
η∗
1.32 i 0
Mi
(B.42)
(B.43)
3R
C vi −
2
(B.44)
où λ0i est la conductivité thermique de chacune des espèces dans un milieu à basse pression. Mi0 ,
Cvi et R sont respectivement la masse molaire de l’espèce i en kg/mol, la capacité thermique
de l’espèce i en J/(mol.K), et la constante des gaz parfaits en J/(mol.K). Le calcul de ηi∗
s’effectue de la manière suivante pour chacune des espèces du mélange :
1. Détermination de la température réduite Tr = T /Tc afin de calculer T + défini par la
relation suivante :
(
Tr si Tr ≤ 2
T+ =
(B.45)
2 si Tr > 2
2. Calcul des facteurs de forme de l’espèce considérée :
0.69852
+
Θ = 1 + (ω − 0.011) 0.56553 − 0.86276 ln T −
T+
Φ =
1 + (ω − 0.011) 0.38560 − 1.1617 ln T +
0.288
Zc
(B.46)
(B.47)
Les valeurs 0.011 et 0.288 correspondent au facteur acentrique et au facteur de compressibilité critique du fluide de référence qu’est le méthane.
3. Calcul des paramètres de taille pour la température et le volume à partir des facteurs de
forme :
f =
Tc
Θ
190.4
(B.48)
h =
Vc
Φ
99.2
(B.49)
avec 190.4 qui est la température critique du méthane en K et 99.2 le volume critique en
cm3 /mol
173
4. Détermination de la température équivalente T0 afin d’estimer la viscosité et conductivité
du méthane à basse pression et à la température T0 :
T0 =
T
f
η0 = 10
(B.50)
−7
9
X
(n−4)/3
Cn T0
(B.51)
n=1
λ0 = 1944 η0
(B.52)
Les coefficients Cn sont :
C1 = 2907740
C4 =−433190
C7 = 432.517
C2 =−3312870
C5 = 70624.8
C8 =−14.4591
C3 = 1608100
C6 =−7116.62
C9 = 0.203712
5. L’expression de η ∗ est donnée par la relation suivante :
M0
16.04.10−3
1/2 1/2
16.04.10−3
f
H =
0
M
h2/3
η ∗ = η0 H
(B.53)
(B.54)
Le calcul du second terme λ∗∗
m s’effectue en appliquant la procédure suivante :
1. Détermination des paramètres Ti+ et Vi+ pour chaque espèce à partir des variables réduites :
Ti+
Vi+
(
Tri si
=
2
si


Vri si
=
0.5 si


2
si
Tri ≤ 2
Tri > 2
(B.55)
0.5 < Vri < 2
Vri ≤ 2
Vri ≥ 2
(B.56)
174
2. Calcul de Φi et Θi :
Θi = 1 + (ωi − 0.011) ×
0.46568
+
+
(Vi − 0.5)
0.09057 − 0.86276 ln Ti + 0.31664 −
Ti+
Φi
(B.57)
+
+
+
=
1 + (ωi − 0.011) 0.39490 Vi − 1.02355 − 0.93281 Vi − 0.75464 ln Ti
×
0.288
Zci
(B.58)
3. Calcul des paramètres hi et fi à partir des équations B.49 et B.48 auxquelles on applique
les règles de mélange suivantes :
hm =
XX
i
Xi Xj hij
(B.59)
j
hii = hi
hij =
fm =
(B.60)
i3
1h
(hi )1/3 + (hj )1/3
8
PP
Xi Xj fij hij
i
(B.61)
j
(B.62)
hm
fii = fi
(B.63)
fij = (fi fj )1/2
(B.64)
On peut ainsi déterminer la masse molaire du mélange définie par la relation :
"
0
=
Mm
XX
i
#−2
−1/2
Xi Xj Mij
−4/3
hij
fm h−8/3
m
(B.65)
j
Mii0 = Mi0
Mij0 =
1/2
fij
2 Mi0 Mj0
Mi0 + Mj0
(B.66)
(B.67)
175
4. Calcul de T0 et ρ0 , les température et masse volumique équivalentes :
T0 =
T
fm
(B.68)
ρ0 =
16.04 hm
V
(B.69)
avec T et V respectivement la température (K) et le volume molaire (cm3 /mol) du mélange.
5. Avec l’équation B.51 on détermine la valeur de η0 .
6. La première composante de λ∗∗ se calcule a partir de l’équation B.52 :
λ(1) = 1944 η0
7. La seconde composante est calculée à partir de l’expression suivante :
2 T0
ρ0
λ(2) =
b1 + b2 b3 + ln
b4
(B.70)
(B.71)
avec les bn définis ci-dessous :
b1
b2
b3
b4
=
=
=
=
−2.5276.10−4
3.3433.10−4
1.12
1.680.102
8. La troisième composante est donnée par l’expression suivante :
!
a2
a4
λ(3) = exp a1 +
exp
a3 + 3/2 ρ0.1
0 +
T0
T0
ρ
a6
a7
0
1/2
− 1 ρ0
a5 +
+ 2
− 1.0 × 10−3
0.1617
T0 T0
où les constantes an sont :
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
=
=
=
=
=
=
=
−7.19771
85.67882
12.47183
−984.6252
0.3594685
69.79841
−872.8833
(B.72)
176
9. On obtient finalement la valeur de λ∗∗
m :
λ∗∗
m
=
λ(1) + λ(2) + λ(3) H
(B.73)
H est défini par l’équation B.54.
B.3
Calcul du coefficient de diffusion binaire
Le coefficient de diffusion DAB d’un gaz A dans un gaz B est calculé d’après Fuller et al
par l’expression [33] :
0.00143 T 1.75
2
1/3
1/3
1/2
P MAB (Σv )A + (Σv )B
DAB =
(B.74)
où DAB est le coefficient de diffusion binaire en cm2 .s−1 , T est la température du gaz en K, P
est la pression en bar, (Σv )A et (Σv )B sont les volumes de diffusion des deux molécules. Ces
valeurs sont obtenues en sommant la contribution de chaque atome dans la molécule. Quelques
valeurs de Σv pour différentes espèces sont données à titre d’exemple dans le tableau B.3. Enfin
MAB est donné par la relation B.9.
C
Σv
O
15.9 6.11
H
N
2.31
4.54
He
H2
2.67 6.12
O2
Air
16.3
19.7
TAB . B.3 – Valeurs du volume de diffusion de certaines molécules [77]
Pour les cas où la pression est élevée, on utilise la correction de Takahashi [89] telle que :
DAB P
= f (Tr , Pr )
(DAB P )+
où l’exposant
+
(B.75)
est utilisé pour les valeurs en basse pression. Pr et Tr sont les valeurs du
B.3 Calcul du coefficient de diffusion binaire
177
mélange réduites par les conditions critiques suivantes :
T
Tc
= XA TCA + XB TCB
P
=
Pc
= XA PCA + XB PCB
Tr =
(B.76)
Tc
(B.77)
Pr
Pc
(B.78)
(B.79)
La fonction f (Tr , Pr ) est définie telle que :
f (Tr , Pr ) = (DPR,l ) × 1 − A Tr−B
1 − C Tr−E
(B.80)
Les coefficients A,B,C et E, qui dépendent de la pression partielle réduite Pr , sont résumés dans
le tableau B.4
Pr
(DPR,l )
A
B
C
E
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.5
3.0
4.0
5.0
1.01
1.01
1.01
1.01
1.01
1.01
1.01
1.02
1.02
1.02
1.02
1.03
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
0.038042
0.067433
0.098317
0.137610
0.175081
0.216376
0.314051
0.385736
0.514553
0.599184
0.557725
0.593007
0.696001
0.790770
0.502100
0.837452
0.890390
1.52267
2.16794
2.42910
2.77605
2.98256
3.11384
3.50264
3.07773
3.54744
3.61216
3.41882
3.18415
3.37660
3.27984
2.39031
3.23513
3.13001
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.141211
0.278407
0.372683
0.504894
0.678469
0.665702
0.0
0.602907
0.0
0.0
13.45454
14.00000
10.00900
8.57519
10.37483
11.21674
6.19043
-
TAB . B.4 – Coefficient de la corrélation de Takahashi pour corriger le coefficient de diffusion
des espèces à haute pression [89].
178
Annexe C
Dérivées de l’équation de Peng-Robinson
et valeurs critiques croisées
C.1
Dérivées de l’équation d’état utilisées pour la thermodynamique des gaz réels
X
∂Am
= 2
Xj Aij
∂Xi
j
∂Am
1 XX
= −
Xi Xj Aij Gij
∂T
T i j
∂ 2 Am
∂Xi ∂T
∂ 2 Am
∂Xi ∂T
Gij
= −
2X
Xj Aij Gij
T j
Tc
0.457236 R2 X X
=
Xi Xj Cij ij
2T
Pcij
i
j
q
Cij TTc
ij
=
q 1 + Cij 1 − TTc
ij
(C.1)
(C.2)
(C.3)
r
Tcij
T
(C.4)
(C.5)
180
C.2
Dérivées de l’équation de Peng-Robinson et valeurs critiques croisées
Valeurs critiques croisées
Aij =
Bi =
0.457236 R Tcij
0.077796 R Tcij
Pcij
2
q 2
1 + Cij 1 − TTc
ij
Pcij
Cij = 0.37464 + 1.54226 ωij − 0.26992 ωij2
q
Tcii Tcjj (1 − kij )
Tcij =
1 i
1
1h
vcij =
(vcii ) 3 + vcjj 3
8
1
Zcij =
Zcii + Zcjj
2
1
(ωii + ωjj )
ωij =
2
Zci j R Tcij
Pcij =
vcij
(C.6)
(C.7)
(C.8)
(C.9)
(C.10)
(C.11)
(C.12)
(C.13)
Annexe D
Détails de trois méthodes Low Mach
D.1
Méthode proposée par Pierce [70]
Les équations qui sont utilisées dans cet exemple sont les équations de continuité et du
moment afin de simplifier la démonstration. Ces équations sont définies ci-dessous :
∂ ρ ∂ρ Ui
+
= 0
∂t
∂xi
∂P 1)
1 ∂ σij
+
= −
+
∂t
∂xi
∂xi
Re ∂xi
(D.1)
(D.2)
La densité est déterminée en transportant l’énergie et la composition couplées avec une équation d’état. Une fois la densité déterminée, l’équation du moment est résolue en utilisant une
méthode à pas fractionnaire. On utilise alors une méthode à pas de temps décalés telle que :
ρn+3/2 − ρn+1/2 ∂ ρ Uin+1
+
= 0
(D.3)
∆t
∂xi
Note : la dérivée temporelle est une dérivée centrée en n + 1. Pour obtenir la valeur de ρ au pas
de temps n + 3/2 on fait un avancement en temps de l’énergie, et des fractions massiques d’un
demi pas de temps et on calcule ρ à partir de l’équation d’état.
L’étape de prédiction pour la vitesse pour la méthode à pas de temps fractionnaire est donnée
par l’équation du moment :
n+1/2 n+1/2
∂
ρ
U
U
∗
n
i
j
ρU − ρU
∂ σij
+
=
(D.4)
∆t
∂xi
∂xi
On détermine la valeur de U ∗ , les autres grandeurs étant connues.
182
Dans un second temps, la vitesse est corrigée par la pression dynamique définie par la relation :
ρ U n+1 − ρ U ∗
n+1/2
= −∇P (1)
∆t
(D.5)
La pression dynamique peut être calculée en appliquant la divergence sur l’équation précédente
et en remplaçant le terme ∇ρ Uin+1 de l’équation D.3. Ainsi il reste à résoudre l’équation de
Poisson suivante :
n+1/2
∆P (1)
=
ρn+3/2 − ρn+1/2
1 ∂ρ U ∗
+
∆t2
∆t ∂xi
(D.6)
et mettre à jour la vitesse telle que :
n+1/2
ρU
n+1
U n+1
∂P (1)
= ρ U − ∆t
∂xi
ρ U n+1
=
ρ n+1
∗
(D.7)
(D.8)
On a alors effectué une étape complète de la procédure itérative. On calcule un résidu à partir
du terme de gauche de l’équation de conservation de la masse D.1 afin de vérifier si la masse
est conservée et on recommence l’algorithme.
D.2
Méthode proposée par Nicoud [59]
– On résout l’équation de conservation de l’énergie.
– On calcule la densité à partir de l’équation d’état.
– Pour la détermination du champ de pression, il utilise l’équation du moment :
ρn+1
U n+1 − U ∗
U∗ − Un
U n+1 − U n
= ρn+1
+ ρn+1
∆t
∆t
∆t
= β I n+1 − I n + γE n + ζE n−1 − 2 β ∇P n −
2 β ∇ δP n+1
(D.9)
(D.10)
où I et E représentent les termes spatiaux implicites et explicites à l’exception de la pression P n de l’instant n et de la variation de pression δP n+1 = P n+1 − P n . Les paramètres
D.2 Méthode proposée par Nicoud [59]
183
β = 1/2, γ = 3/2 et ζ = −1/2 sont les coefficients du schéma de discrétisation temporelle d’Adams-Brashforth/Crank-Nicolson. Il est décomposé en deux équations. Une
première étape pour calculer l’estimation du champ de vitesse :
ρn+1
U ∗ − un
= β I n+1 − I n + γE n + ζE n−1 − 2 β ∇P n
∆t
(D.11)
et l’autre pour déterminer le champ de pression :
ρn+1
U n+1 − U ∗
= −2 β ∇ δP n+1
∆t
(D.12)
L’équation de Poisson est obtenue en divisant chaque membre de l’équation précédente
par ρn+1 et en appliquant la divergence sur les deux membres :
∇
1
ρ
∇δP
n+1
n+1
=
1
∇U ∗ − ∇U n+1
−2β∆t
(D.13)
Il reste à déterminer la valeur de U n+1 . En considérant que la densité dépend uniquement
de la température (et de la pression thermodynamique) l’équation de l’énergie agit alors
comme une contrainte sur le champ de vitesse (via l’équation d’état). En combinant les
équations de continuité et de l’énergie :
∂ρ ∂ρ Ui
+
= 0
∂t
∂xi
1
∂T
∂T
∂
∂T
+ ρ Ui Cp
=
ρ Cp
k
∂t
∂xi
Re P r ∂xi
∂xi
(D.14)
(D.15)
ainsi que l’équation d’état des gaz parfaits adimensionnée :
P (0) = ρT
(D.16)
la valeur de cette contrainte est déterminée par l’expression suivante :
∂Ui
1
1
∂
∂T )
=
k
∂xi
P (0) Cp Re Pr ∂xi
∂xi
(D.17)
si P (0) est constant.
On conna^ıt alors toutes les variables à l’instant n + 1, on peut donc calculer
∂Uin+1
.
∂xi
184
D.3
Méthode utilisée par Benteboula [10]
I - Prédiction : schéma d’Adams-Brashforth explicite
Les solutions prédites à l’instant intermédiaire t∗ = t + ∆t0 sont notées avec l’exposant ∗ .
1. Résolution de l’équation d’évolution de la masse volumique pour obtenir la valeur de ρ∗
et calcul de
∂ρ ∗
∂t
ρ∗ − ρn
1
3
(−Aρ + Dρ )n − (−Aρ + Dρ )n−1
=
0
∆t
2
2
(D.18)
tel que :
∂ρ
∂t
∗
3ρ∗ − 4ρn + ρn−1
=
2 ∆t0
(D.19)
2. Résolution du champ dynamique par la méthode à pas de temps fractionnaire. La résolution des équations de quantité de mouvement est effectuée en deux étapes :
(a) On calcule un champ intermédiaire pour chaque composante de la vitesse avec un
schéma d’Adams-Bashforth d’ordre 2 :
3
ρ U∗ − ρ Un
=
(−Ac + Cc + Dc )n −
0
∆t
2
1
(−Ac + Cc + Dc )n−1 −
2
∇P n
(D.20)
On a ainsi le champ de quantité de mouvement qui est découplé du gradient de pression.
(b) Le champ de pression dynamique intermédiaire est déterminé par l’inversion de
l’équation de Poisson :
∗ 1
∂ρ
(1)∗
∗
∆P
=
∇. (ρ U ) +
(D.21)
0
∆t
∂t
On met à jour la pression :
∗
∇P ∗ = ∇P (1) + ∇P n
(D.22)
Le champ de vitesse à l’instant t∗ est calculé par
U∗ =
ρ U∗
ρ∗
(D.23)
D.3 Méthode utilisée par Benteboula [10]
185
3. Détermination du champ de température par le biais de l’équation d’état :
T∗ =
1
ρ∗
(D.24)
4. Et des scalaires en utilisant la relation :
1
ρ Yi∗ − ρ Yin
3
(−AY + DY )n − (−AY + DY )n−1
=
0
∆t
2
2
(D.25)
tel que
Yi∗ =
ρ Yi∗
ρ∗
(D.26)
II - Correction : schéma d’Adams-Moulton
Les équations sont intégrées en utilisant les solutions intermédiaires déterminées à l’étape
précédente.
1. Résolution de l’équation d’évolution de la masse volumique :
3
1
ρn+1 − ρn
=
(−Aρ + Dρ )∗ − (−Aρ + Dρ )n−1
0
∆t
2
2
Ensuite, on calcule la dérivée temporelle de la masse volumique par :
ρ n+1
3ρn+1 − 4ρn + ρn−1
=
∂t
2 ∆t0
(D.27)
(D.28)
2. Comme précédemment, on résout le champ dynamique par la méthode à pas fractionnaire :
(a) Calcul du champ intermédiaire pour chaque composante de la vitesse :
ρ U ∗∗ − ρ U n
3
=
(−Ac + Cc + Dc )n+1 −
0
∆t
2
1
(−Ac + Cc + Dc )n −
2
∇P ∗
(D.29)
(b) Détermination du champ de pression dynamique en inversant l’équation de Poisson :
ρ n+1 1
(1)n+1
∗∗
∇.ρU +
(D.30)
∆P
=
∆t0
∂t
186
On met à jour la pression :
n+1
∇P n+1 = ∇P (1)
+ ∇P n
(D.31)
et le champ de vitesse tel que :
n+1
ρ U n+1 = ρ U ∗∗ − ∆t ∇P (1)
U n+1 =
ρ U n+1
ρn+1
(D.32)
(D.33)
3. Calcul du champ de pression à partir de l’équation d’état des gaz parfaits :
T n+1 =
1
ρn+1
(D.34)
4. Et des scalaires en utilisant la relation :
ρ Yin+1 − ρ Yi∗
3
1
=
(−AY + DY )∗ − (−AY + DY )n
0
∆t
2
2
Yin+1
ρ Yin+1
=
ρn+1
(D.35)
(D.36)
Annexe E
Adimensionnement des équations de
transport
On présente dans le tableau suivant les variables utilisées dans les équations de transport.
On obtient ainsi pour chaque valeur physique la relation :
Valeur physique Valeur de référence Valeur adimensionnée
x
Ui
t
ρ
e
P
x0
U0
x0
U0
ρ∞
U02
ρ0 U02
x∗
Ui∗
t∗
ρ∗
e∗
P∗
Valeur physique = Valeur de référence × Valeur adimensionnée
E.1
(E.1)
Conservation de la masse
L’équation de conservation de la masse dimensionnée s’écrit :
∂ρ ∂ρ Ui
+
= 0
∂t
∂xi
(E.2)
peut être directement adimenssionnée sous la forme
∂ρ∗ ∂ρ∗ Ui∗
+
= 0
∂t
∂x∗i
(E.3)
188
Adimensionnement des équations de transport
E.2
Moments
L’équation de transport de la quantité de mouvement s’écrit, sous forme conservative :
∂ ρUi ∂ρ Ui Uj
+
∂t
∂xi
= −
∂p
∂ σij
+
∂xi
∂xj
(E.4)
Cette équation est facilement adimensionnée tout en portant une attention spéciale au tenseur
de cisaillement σij tel que :
σij
∂Ui ∂Uj
2 ∂Uk
= µ
+
− µ
δij
∂xj
∂xi
3 ∂xk
2 ∗ ∂Uk∗
µ0 U0 ∗ ∂Ui∗ ∂Uj∗
µ
+
− µ
=
δij
x0
∂x∗j
∂x∗i
3 ∂x∗k
ρ0 U02 ∗ ∂Ui∗ ∂Uj∗
2 ∗ ∂Uk∗
µ
+
δij
=
− µ
Re
∂x∗j
∂x∗i
3 ∂x∗k
ρ0 U02 ∗
σ
=
Re ij
(E.5)
(E.6)
(E.7)
(E.8)
en utilisant le nombre de Reynolds :
Re =
x0 U0
µ∗
(E.9)
Finalement, on obtient l’équation de conservation de la quantité de moment adimensionnée :
∂ρ∗ Ui∗ ∂ρ∗ Ui∗ Uj∗
∂P ∗ ∂ σij∗
+
=
−
+
∂ t∗
∂ x∗i
∂ x∗i
∂ x∗j
E.3
(E.10)
Énergie totale
∂ρ et ∂ (ρ et + P ) Ui
∂
+
=
∂t
∂xi
∂xi
∂T
∂ σij Uj
k
+
+ ρṖ
∂xi
∂xi
Détaillons l’adimensionnement du flux de température :
(E.11)
E.4 Enthalpie
189
∂
∂xi
∂
∂T
U02
∂T ∗
k
=
k ∗
∂xi
Cp0 x20 ∂x∗i
∂xi
3
ρ0 U0 ∂
µ0
k
∂T ∗
=
x0 ∂x∗i ρ0 U0 x0 µ0 Cp0 ∂x∗i
∗
ρ0 U03 ∂
1 k
∗
∗ ∂T
=
µ Cp
x0 ∂x∗i Re µ Cp
∂x∗i
ρ0 U03 ∂
1 1 ∗ ∗ ∂T ∗
=
µ Cp
x0 ∂x∗i Re Pr
∂x∗i
(E.12)
(E.13)
(E.14)
(E.15)
L’équation pour l’énergie totale devient :
∂ρ∗ e∗t
∂ (ρ∗ e∗t ) Ui∗
∂
1 1 ∗ ∗ ∂T ∗
1 ∂ σij∗ Uj∗
+
µ
Cp
=
+
+ ρ∗ Ṗ ∗
∂t∗
∂x∗i
∂x∗i Re Pr
∂x∗i
Re ∂x∗i
E.4
(E.16)
Enthalpie
Nous avons :
h = e+
d’où :
(E.17)
∗
∂ρ∗ h∗ ∂ρ∗ Ui∗ h∗
∂p∗
∂
1 1 ∗ ∗ ∂T ∗
1 ∂ σij∗ Uj∗
∗ ∂p
+
= Ui ∗ + ∗ + ∗
µ Cp
+
∂t∗
∂x∗i
∂xi
∂t
∂xi Re Pr
∂x∗i
Re ∂x∗i
+ρ∗ Ṗ ∗
E.5
p∗
ρ∗
(E.18)
Fraction massique
De la même façon qu’avec l’équation de l’énergie totale, on trouve l’équation de conservation de la fraction massique de l’espèce i, telle que :
∗
∂ρ∗ Yi ∂ρ∗ Ui∗ Y
∂
µ ∂Y
+
=
+ ρ∗ ω̇ ∗
(E.19)
∂t∗
∂x∗i
∂x∗i Re Sc ∂x∗i
avec ω̇ =
ω̇ ∗
t0
190
Adimensionnement des équations de transport
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