La synthèse du son de la guitare par modélisation physique

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PÉDAGOGIQUES
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OLYMPIADES DE PHYSIQUE – OLYMPIADES DE PHYSIQUE – OLYM
La synthèse du son de la guitare
par modélisation physique
LYCÉE
Lycée Pierre Mendès France - 13127 Vitrolles Cedex (Aix-Marseille)
PARTICIPANTS
Professeur
Hervé IDDA - mél. : [email protected]
Élèves
Terminale S : Nicolas EVRARD, Shéhérazade MAASSAM et Déborah TEBOUL.
Terminale STI génie électronique : Romain BOUCHER.
Partenaire
Laboratoire de mécanique et d’acoustique (CNRS - Marseille).
Site internet
http://pedagogie.ac-aix-marseille.fr/physique/
sciences_physiques/Menu/Activites_pedagogiques/Guitare/index.html
PRÉSENTATION DU PROJET
Ce projet est le résultat de deux années de travail dans le cadre des olympiades de
physique. Comme l’indique le titre, l’objectif pour l’année 2000 était donc de synthétiser le son émis par la guitare en utilisant des modèles mathématiques représentant les
vibrations de l’instrument (ce type de synthèse porte le nom de « Virtual Acoustic »).
L’enregistrement (cf. figure 1 ci-après) nous montre que la note émise n’est pas permanente. Elle a un début et une fin, et son oscillogramme n’est pas périodique sur la totalité de sa durée. L’analyse spectrale comporte de nombreuses harmoniques réparties régulièrement (cf. « Autopsie d’une guitare ou la mélodie des cordes » : BUP n° 827).
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Figure 1 : Enregistrement du son émis par la corde.
Remarque : La première partie de l’étude nous a montré que le son complexe émis
par la guitare est la conséquence des modes propres de vibration de la corde modélisable
par :
Mode
Longueur d’onde
Mode n
n!N
mn = 2n.L
Fréquence
fn = n 1
2L
T
n
Modélisation de la corde
N
J
yn (x, t) = An sin KK 2r. x OO. sin e 2r. Tt o
mn
n
P
L
D’après ces résultats, pour reproduire le son émis par notre guitare, il suffirait donc
de superposer les différentes harmoniques convenablement choisies. Cependant, le son
résultant d’une telle synthèse est sans « chaleur », sans « caractère ». En effet, à un signal
périodique de spectre déterminé correspondrait une note de musique permanente.
Or le son passe de zéro à une valeur maximale, maintenue temporairement, puis
revient à zéro. L’attaque et l’extinction constituent ce que l’on appelle les transitoires du
son. Ils permettent à l’auditeur de reconnaître l’instrument.
La réalisation de notre synthèse sonore s’est donc effectuée en trois étapes :
♦ Nous avons d’abord cherché à modéliser le mouvement complet de la corde pincée
par superposition des différents modes n en tenant compte des amortissements.
♦ Connaissant notre modèle global, nous avons dû trouver un moyen de transformer
notre équation en fichiers sonores compatibles avec l’ordinateur (.wav).
♦ Et, pour finir, nous avons modélisé l’écart en fréquence entre une corde parfaite et
notre corde afin d’essayer de prendre en compte le manque d’harmonicité de la corde
réelle dans notre synthèse.
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MISE EN OEUVRE DU PROJET
1 - La modélisation de la corde pincée
Nous avons utilisé les logiciels Généris et Son afin de faire la décomposition spectrale spatiale de la corde pincée (on connaît ainsi les amplitudes et les phases de chaque
mode n de longueur d’onde mn) (cf. figures 2 et 3). On avons ainsi recomposé la corde et
suivi son évolution au cours du temps par simulation avec Maple (cf. site web).
Figure 2 : Corde de 65 cm pincée
d’une hauteur de 5 mm à x = 18 cm.
Figure 3 : Décomposition spectrale spatiale
de la corde.
Afin de tenir compte de l’amortissement de chaque mode constituant la corde en
vibration, nous avons étudié son évolution au cours du temps. Pour cela, on a mesuré le
temps de décroissance xn dans un mode n (cf. figures 4a et 4b).
Figure 4a : Évolution du son émis par la corde dans le mode 1.
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Figure 4b : Évolution du son émis par la corde dans le mode 2.
Nous avons enfin obtenu le modèle complet. De plus, la simulation des vibrations
de la corde nous montre bien que celle-ci évolue vers un mode unique (le mode 1).
J
N
y (x, t) = ! An sin KK 2r. x OOsin e 2r. Tt o . exp (- t / Cn)
mn
n
n
L
P
2 - La synthèse du son
Afin de réaliser un fichier sonore « .wav » compréhensible pour tout ordinateur à
partir de nos équations, nous avons :
– utilisé le logiciel Maple pour créer un fichier de points correspondant au son de la
guitare ;
– transformé ce fichier de points en fichier sonore.
La première partie n’a pas posé de difficulté particulière, en effet, Maple peut créer
un fichier de points au format « .txt ».
La deuxième partie qui consiste à transformer ce fichier de points en fichier sonore
s’est avérée plus délicate à traiter. Après des recherches sur Internet, nous avons trouvé
deux programmes spécialisés dans le traitement du son pouvant aussi lire des fichiers au
format « .txt ». Il s’agit du logiciel Cool Edit 2000 de la société Syntrillium Software
Corporation et de Gold Wave de Chris S. CRAIG, qui acceptent tous deux un grand
nombre de format.
Dans un premier temps, nous avons voulu écouter la fonction représentant le mouvement d’un point de la corde par rapport au temps. Notre choix s’est porté sur le point
d’abscisse x = 18 cm, celui-ci étant le point d’attaque de la corde de guitare (cf. figure 5
ci-contre).
L’écoute de ce fichier montre que l’objectif est atteint (cf. site web), le son émis a
de grandes similitudes avec celui de la guitare (du point de vue auditif, mais aussi dans
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Figure 5 : Mouvement du point d’abscisse x = 18 cm (durée 15 ms).
l’analyse spectrale ainsi que l’enveloppe globale).
Nous nous sommes ensuite demandé quel serait le son émis si on écoutait la vitesse
de ce point plutôt que son mouvement (cf. figure 6). Or, à l’écoute de ce fichier (cf. site
web), nous avons remarqué que le son émis ressemble encore plus à celui de la guitare.
Figure 6 : Son correspondant à la vitesse du point d’abscisse x = 18 cm
(durée 10 s avec amortissement).
Des considérations énergétiques peuvent expliquer le phénomène ; en effet la caisse
de résonance transforme l’énergie cinétique de la corde en énergie acoustique ; ce serait
donc bien la vitesse qui interviendrait et non pas le mouvement.
3 - Le manque d’harmonicité de la corde réelle
Du fait de leurs raideurs, les harmoniques des cordes réelles ne sont pas tout à fait
aux fréquences multiples du mode 1. C’est pourquoi, les sons produits par une corde dont
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la raideur n’est pas négligeable sont peu agréables à entendre pour l’oreille : on dit que
la corde sonne « mal ».
On peut modéliser la fréquence réelle fn en fonction de la fréquence théorique
fn par :
fn = fn : (1 + f.n2)
O
O
Nous avons donc repris les résultats des pics de résonances (cf. BUP n° 827), en
prenant cette fois fn au maximum du pic et non plus en son milieu.
Les résultats sont dans le tableau suivant :
Mode n
fn
(Hz)
fn
(Hz)
Dfn = fn - fn
(Hz)
Dfn / fn
Mode n2
1
2
3
4
5
140,17
280,34
420,51
560,68
700,85
140,17
280,39
420,69
561,11
701,75
0
0,05
0,18
0,43
0,9
0
1,78E-04
4,28E-04
7,67E-04
1,28E-03
1
4
9
16
25
O
O
Pour obtenir un ordre de grandeur de f pour notre corde, nous avons tracé Dfn / fn
en fonction de n2 (cf. figure 7). Cette courbe peut alors être modélisée par une droite, la
régression linéaire nous donne : f = 4.10- 5.
Figure 7 : Dfn / fn en fonction de n2.
En conséquence, la faiblesse de f nous a permis de confondre en première approximation les fréquences théoriques et réelles de la corde. Seule une oreille bien exercée
peut distinguer des fréquences aussi proches.
CONCLUSION
Notre synthèse par modélisation physique a donné des résultats très convenables, et il ne
semble pas nécessaire de modifier nos équations pour tenir compte de la raideur de la corde.
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Au vue de la complexité des phénomènes physiques mis en jeux, on comprend aisément pourquoi ce type de technologie commence tout juste à exister dans le commerce.
Il est clair qu’avec l’augmentation de la puissance des processeurs, le Virtual Acoustic
est promis à un brillant avenir.
L’ensemble de ce travail nous aura permis de découvrir ce qu’est la synthèse sonore,
ainsi que la puissance du Virtual Acoustic. En effet, avec des modèles relativement
simples, nous avons obtenu des résultats très réalistes.
Pour finir, et c’est peut-être aussi là tout l’intérêt du VL, nous avons maintenant la
possibilité d’entendre des instruments impossibles à construire. Quel serait le son émis
par une corde de 50 m avec une tension due à une masse de 10 tonnes ???
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