4 R R R R C = ε π h C R R π ε

Electrostatique: Leçon n°3 – Milieux diélectriques – Condensateurs Exercice n°1 Les expressions des capacités des condensateurs plan, sphérique et cylindrique sont respectivement égales à : C = e 0 × S , S est la surface d’une armature, a : la distance qui sépare les deux armatures a
C = 4p e 0 C = 2 p e 0 R 1 × R 2 ; R1 et R2 les rayons des sphères intérieure et extérieure respectivement. R 2 - R 1 h ; R1 et R2 les rayons des cylindres (de longueur h) intérieur et extérieur. On æ R 2 ö
ln ç ÷
è R1 ø négligera les effets de bord. Retrouver ces expressions en utilisant la définition de la capacité et la relation champ ­ potentiel.
Electrostatique: Leçon n°3 – Milieux diélectriques – Condensateurs Cor r ection Capacité d’un condensateur plan Dans le cas du condensateur plan, la champ est nul à l’extérieur et l’espace utile se limite au volume compris entre les deux armatures. Le champ E entre les armatures d’un condensateur plan vaut E =
s
, s étant la densité e 0 surfacique de charge. V = E´d =
Or la tension V est telle que V =
C =
s
1 Q
1 1 ´ d = ´ d = ´ ´ ( C V ) d Þ
e0
e0 A
e0 A 1 1 ´ ´ ( C V ) d Þ
e0 A e 0 A d
Electrostatique: Leçon n°3 – Milieux diélectriques – Condensateurs Capacité d’un condensateur sphérique Comme précédemment, les armatures jouant le rôle d'écran électrostatique, le champ n'existe que dans l’espace inter­armatures (voir figure ci­dessus). Nous choisissons une surface de Gauss sphérique de rayon r tel que R1 £ r £ R2 . r Appelons F å le flux du champ électrique E à travers la surface S . Le théorème de Gauss, appliqué à une sphère de rayon R1 £ r £ R2 conduit à l'expression : r uur å Q int Q F å = òò E. dS =
=
S e0
e 0 r S’agissant d’une symétrie radiale, le champ E est constant sur la surface S . Par conséquent :
Få = E ´ S =
Q
Q
Q Þ E ´ S = E ´ ( 4 p r 2 ) =
Þ E = e0
e0
4 p r 2 e 0 Soit D V = V1 - V2 , la capacité C est donc égale à : C =
Or E = -
d V Þ d V = - E. dr dr
Q D V
Electrostatique: Leçon n°3 – Milieux diélectriques – Condensateurs R2
R 2 1
1 Q
òR d V = R ò - 4 p r 2 e 0 dr Þ V ( R2 ) -V ( R 1 ) =
R 2 Q é 1 ù
Þ V2 - V1 = - D V =
4 p e 0 êë r úû R 1 Þ D V = -
Q 4 p e 0
é 1 1 ù
ê - ú
ë R2 R 1 û
Þ D V = -
Q 4 p e 0
é 1 1 ù
ê - ú
ë R2 R 1 û
Þ D V =
Q é R2 - R 1 ù
ê
ú
4 p e 0 ë R1 R2 û
Comme C =
é R R ù
Q Þ C = 4 p e 0 ê 1 2 ú
DV
ë R2 - R1 û
R 2 é Q ù
ê
ú
ë 4 p e 0 r û R 1 Electrostatique: Leçon n°3 – Milieux diélectriques – Condensateurs Capacité d’un condensateur cylindrique Les armatures jouant le rôle d'écran électrostatique, le champ n'existe que dans l'espace inter­armatures. Le théorème de Gauss appliqué à un cylindre de rayon r et de hauteur l (voir r uur
figure), condit à F å = òò E. dS =
å Q int e 0 S 2 p r l ®
Or : 2 p r h ®
å Q int Q
üï
ýÞ
ïþ
å Q int Q
=
F å = E ´ ( 2 p r l ) =
Par conséquent :
Þ E =
l
Þ
h
å Q int å Q int e0
=
=
Q ´ l h Q´l
Q ´ l 1 Þ E =
´
h e0
h e 0 2 p r l Q 2 p r h e 0 Soit D V = V1 - V2 , la capacité C est donc égale à : C =
Or E = -
d V Þ d V = - E. dr dr
Q D V
Electrostatique: Leçon n°3 – Milieux diélectriques – Condensateurs
R2
Q
òR d V = - 2 p h e 0
1
R 2 ò
R 1 1 r
dr Þ V ( R2 ) - V ( R1 ) = -
Or V2 - V1 = - D V Q R Þ DV =
Ln 2 2 p h e 0
R 1 Q Or C =
D V h Þ C = 2 p e 0 ´
R Ln 2 R1 Q R [ Ln(r ) ] R Q p e 0 h 2 1