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Université Pierre et Marie Curie
- PARIS VI, Jussieu -
Doctorat Paris VI
Présentée Par Mr
HITTA Amara
Sous la direction de Mr
WIGNER David
Sujet de la Thèse :
(Co)-Homologies continue et lisse des groupes localement compacts totalement discontinus et suite spectrale de Hochschild-Serre
Soutenue devant la commission composée de :
M. Wigner D.
Prof.
Univ.P.6
M. Duflo M.
Prof.
Univ. P.7 Exam.
M. Labesse J. P.
Prof.
ENS
M. Charbonnel J. Y. Dir. R. CNRS
1
Président
Exam.
Exam.
2
Contents
1
Résumé de la thèse
7
1.1
Approche discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Résumé
8
1.3
1.4
2
Représentations et (Co)Homologies continues et lisses sur les
Groupes `.c.t.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Suites spectrales de Hochschild-Serre . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Groupes Localement Compacts Totalement Discontinus et leurs Représentations 13
2.1
2.2
2.3
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriétés et définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.1
Structure locale des groupes l.c.t.d. . . . . . . . . . . . .
13
2.1.2
Exemples de groupes l.c.t.d. . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1.3
Existence de sections continues . . . . . . . . . . . . . . .
15
Représentations lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2.1
Catégorie Alg(G) des G-modules lisses . . . . . . . . . .
15
2.2.2
Algèbre de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2.3
Les Cc∞ (G)-modules non dégénérés . . . . . . . . . . . . .
19
2.2.4
Représentation induites (Dualité de Fröbénius) . . . . .
21
2.2.5
Foncteurs de Jacquet (Exemple) . . . . . . . . . . . . . .
24
Vecteurs lisses d’une représentation continue . . . . . . . . . . .
25
2.3.1
Les G-modules continus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.3.2
Vecteurs différentiables d’un G-module continu . . . . .
25
(Co)-Homologie et extensions de G-modules lisses et continus
3
27
4
3.1
3.2
3.3
3.4
4
5
6
Cohomologie lisse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.1.1
Modules injectifs et résolutions injectives . . . . . . . . .
27
3.1.2
Existence d’injectifs dans la catégorie Alg(G) . . . . . .
29
3.1.3
Exemple de résolution injective dans Alg(G) . . . . . . .
31
3.1.4
Conséquences
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Cohomologie continue et régularisation . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2.1
Cohomologie continue
34
3.2.2
Procédure de Régularisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
36
Homologie lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.3.1
Modules projectifs et résolutions projectives . . . . . . .
37
3.3.2
Existence de projectifs dans la catégorie Alg(G) . . . . .
38
3.3.3
Exemple de résolution projective . . . . . . . . . . . . . .
40
3.3.4
Conséquences
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Homologie continue et régularisation . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.4.1
G-modules continus relativement projectifs . . . . . . . .
42
3.4.2
Existence d’objets relativement projectifs . . . . . . . . .
43
3.4.3
Résolution forte relativement projective . . . . . . . . . .
43
3.4.4
Homologie différentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Suite Spectrale de Hochschild- Serre en Homologie Lisse
45
4.1
Etude du Foncteur V → VH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.2
Lemme de Shapiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.3
Suite spectrale de Hochschild-Serre en Homologie lisse . . . . .
49
Suite spectrale de Hochschild- Serre en Cohomologies lisse et continue 55
5.1
Existence d’injectifs dans Alg(G/H) . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
5.2
Résultats essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.3
Théorème de Künneth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Appendice sur les suites spectrales
61
6.1
Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
6.2
Suites exactes associées à une suite spectrale . . . . . . . . . . .
62
6.3
Suites spectrale associées un complexe filtré . . . . . . . . . . . .
62
5
6.4
Suites exactes associées à un complexe filtré
. . . . . . . . . . .
63
6.5
Suites spectrales associées à un bicomplexe . . . . . . . . . . . .
64
6.6
Suites spectrales dégénérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
6
Chapter
1
1.1
Approche discrète
Dans ce qui suit, G est un groupe discret, noté multiplicativement, et soit V un groupe
abélien noté additivement. On dit que G opère à gauche sur V si l’on se donne un
homomorphisme G → Aut(G) où Aut(G) désigne le groupe des automorphismes de G.
Ceci est équivalent à la donnée d’une application (g, v) → gv de G × V dans V vérifiant
1v = v
g(v + v 0 ) = gv + gv 0
et
(gg 0 )v = g(g 0 v).
Dans ces conditions, si l’on désigne par Z[G] l’algèbre du groupe G sur Z, V devient un
G-module unitaire à gauche en posant
X
X
ng g v =
ng (gv),
g ∈ G, ng ∈ Z et v ∈ V.
Si V et V 0 sont deux G-modules, une application ϕ : V → V 0 est un G-morphisme si
c’est un homomorphisme de groupes abéliens qui commute avec l’action de G.
Ainsi, les G-modules forment une catégorie abélienne, au sens de Grothendieck, notée
ModZ[G] sur laquelle on peut définir la notion d’objets :
¬
Projectifs i.e. le foncteur HomG (V, V 0 ) est exact par rapport à V 0 .

Injectifs i.e. le foncteur HomG (V, V 0 ) est exact par rapport à V .
Désignons par Ab la catégorie des groupes abéliens. Soit T : ModZ[G] → Ab le foncteur
défini par T (V ) = V G , où V G = {v ∈ V : gv = v} c’est la plus grand sous-module de
V invariant sous l’action de G. Le foncteur T est additif et exact à gauche. Le nième
7
8
foncteur dérivée à droite de T , noté Rn T (V ), est dit nième groupe de cohomologie de
G à cœfficients dans V . On le note H n (G, V ).
On munit Z de l’action triviale de G. Comme V G = HomZ[G] (Z, V ), , on a
H 0 (G, V ) = V G
et H q (G, V ) = ExtqZ[G] (Z, V )
et
H q (G, V ) = 0, q ≥ 1, si V est un G-module injectif
De façon similaire, notons par VG le groupe V quotienté par le sous-groupe de V engendré
par les gv − v, g ∈ G et v ∈ V , c’est le plus grand module quotient sur lequel G opère
trivialement. Le foncteur V → VG est additif et exact à droite, ses foncteurs dérivés
gauches sont, par définition, les groupe d’homologie de G à cœfficients dans V . On les
notes (Hq (G, V ))q≥0 et ils forment un foncteur homologique. Ainsi, l’on a
H0 (G, V ) = VG = Z ⊗Z[G] V
et Hq (G, V ) = TorZ[G]
(Z, V )
q
et
Hq (G, V ) = 0, q ≥ 1, si V est un G-module projectif
Si {Pi } est une résolution projective de Z, les groupes Hq (G, V ) s’identifie aux groupes
d’homologie du complexe formé par les {Pi ⊗Z[G] V }i .
Les groupes Hq (G, V ) s’identifie, dans ce cas, aux groupes de cohomologie du complexe
formé par les {HomZ[G] (Pi , V )}i .
1.2
Résumé
Dans, le cas des groupes `.c.t.d. nous utiliserons des méthodes algébriques (resp. topologiques) pour construire de telles résolutions lorsque les (co)chaines sont lisses (resp.
continues).
La thèse concerne la (co)homologie des groupes localement compact totalement discontinus.
Dans le premier chapitre on introduit les notions de bases sur les représentations (lisses
et continues) de dimensions infinis, les représentations induites, dualité de Fröbénius,
l’algèbre de Hecke et foncteurs de Jacquet et on introduit une catégorie de modules
différentiables.
9
Dans le second chapitre, on étudie les (co)homologies lisse et continue des groupes `.c.t.d.,
les suites exactes fortes, existence de suffisament d’injectifs et projectifs ainsi que les
résolutions injectives et projectives et les rapports entre les deux théories.
Enfin, on montre l’existence des suites spectrales de Hochschild-Serre en (co)homologies
lisse et continue.
Cette question a déjà été abordée par plusieurs auteurs mais dans des cas très restrectifs.
Notre résultat est une généralisation simultanée des résultats de J. P. Serre ”Gohomologie
Galoisienne”, Borel et Wallach ”Continuous cohomology, discrete subgroups, ans representations of reductive groups” et de certains résultats énoncés sans démonstration par
W. Casselman.
1.3
Représentations et (Co)Homologies continues et
lisses sur les Groupes `.c.t.d.
Le sujet de cette thèse est consacré, principalement, à une étude conjointe de divers notions de cohomologies et d’homologies associées aux représentations de dimensions infinies
d’un groupe localement compact totalement discontinu G, en abrégé `.c.t.d., dans un espace vectoriel localement convexe quasi-complet séparé V sur le corps C des nombres
complexes. En fait, le groupe G admet une base de voisinages de l’unité 1G formée de
sous-groupes ouverts compacts.
On désignera par VG (resp. V G ) est l’espace quotient de V par le sous-espace engendré
par les vecteurs gv − v, g ∈ G et v ∈ V (resp. les vecteurs G-invariants).
On étudiera, ainsi, la catégorie CG des G-modules continus et la catégorie Alg(G) des Gmodules lisses c’est-à-dire que chaque vecteur de l’espace de la représentation est invariant
par un sous-groupe ouvert compact de G. Les G-morphismes dans CG sont continus, Clinéaires et commutent avec l’action de G. Par contre, dans Alg(G), les G-morphismes
respectent les structures algébriques des objets, C-linéaires et entrelace G.
Désignon par l’espace Cc∞ (G) des fonctions localement constantes à supports compacts
et par C ∞ (G) l’espace des fonctions lisses.
Soit (π, V ) une représentation lisse de G. Si D est une distribution lisse à support compact,
il existe un opérateur π(D) associée à D. Fixons une mesure de Haar µ invariante à gauche
sur G. A chaque ϕ ∈ C ∞ (G), on peut lui associée une distribution lisse
D : ϕ 7→ Dϕ = ϕ(x)dµ(x).
10
Si ϕ ∈ Cc∞ (G) telle que D = Dϕ . Pour chaque v ∈ V , on définie
Z
π(D)v =
ϕ(x)π(x)dµ(x).
G
Si K est un sous-groupe ouvert compact de G, posons eK = µ(K)−1 .IK . L’opérateur π(eK )
est idempotant et applique V dans V K . Supposons que D1 et D2 sont deux distributions
lisse à support compact qui correspondent à ϕ1 et ϕ2 , alors
Z
Z
ϕ1 (x)π(x)dµ(x) ϕ1 (y)π(y)vdµ(y)
π(D1 )π(D2 )v =
G
ZG
=
ϕ1 (x)ϕ2 (y)π(xy)vdµ(x)dµ(y)
G×G
Z
ϕ(z)π(z)vdµ(z)
=
G
où
Z
ϕ(z) =
ϕ1 (zy −1 )ϕ2 (y)dµ(y).
G
La distribution Dϕ , est une distribution lisse à support compact , notée D1 ∗ D2 , et dite
la convolée de D1 et D2 . L’ensemble des distributions lisses à support compact, muni du
produit de convolution est dite algèbre de Hecke H(G) du groupe G. Elle n’admet pas
d’élément unité. Par contre, la sous-algèbre, notée H(G//K), de H(G) formée par les
distributions invariantes à gauche et à droite par un sous-groupe ouvert compact K de
G, admet une unité eK .
Les notions d’homologies (resp. cohomologies) lisse et continue repose sur l’existence de
suffisamment de projectifs (resp. injectifs), qu’on a construit au moyen de l’espace Cc∞ (G)
des fonctions localement constantes à supports compacts (resp. C ∞ (G) des fonctions
lisses). Précisons que l’espace Hp∗ (G; V ) (resp. H∗p (G; V )) est définie comme étant le pème
foncteur dérivé gauche (resp. droit) du foncteur V −→ VG (resp. V G ). L’astérisque ∗
désigne la (co)homologie lisse ou continue (c ou `).
Par une procédure de régularisation (cf. [5]) nous déduisons un isomorphisme naturel
entre les deux cohomologies.
1.4
Suites spectrales de Hochschild-Serre
Contentons nous de dire que la suite spectrale est une machinerie de nature algébrique qui
calcule les groupes d’homologie d’un espace fibré en fonction de ceux de sa base et de sa
fibre. On découvre, ainsi, l’apparition des méthodes homologiques modernes en topologie;
ces méthodes ont d’aileurs joué un rôle, sans cesse, grandissant dans les mathématiques
11
contemporaines. J. P. Serre et J. Leray, à sa sortie de la prison durant la deuxième guerre
mondiale, ont étudié la suite spectrale des espaces fibrés :
π
Théorème 1 (Suite spectrale de Leray-Serre) Soit F ,→ E −→ B une fibration
localement triviale. On suppose que B admet une structure de CW -complexe fini. Il
existe une suite spectrale de type cohomologique (Er )r≥2 qui converge vers H ∗ (E) et
dont le deuxième terme est
E2p,q ' H p (B; H q (F )).
La suite spectrale ne dépend pas de la décomposition en CW -complexe de la base B.
En théorie des groupes, une fibration est une extension de groupes de la forme
π
1 −→ H ,→ G −→ G/H −→ 1
où π est la projection canonique associant à chaque x ∈ G sa classe d’equivalence dans
G/H. Le groupe G est une extension de base G/H et de fibre H. Les relations entre
les différentes (co)homologies d’un groupe et celles d’un sous-groupe fermé distingué sont
codés dans la notion de suite spectrale, démontrée pour les groupes finis et discrets par
G. Hochschild et J. Serre (cf. [ ]). On se propose, dans cette thèse, de généraliser ces
résultats aux cas des groupes localement compacts totalement discontinus.
Soient (π, V ) ∈ Alg(G), H un sous-groupe fermé distingué de G et on note Cc∞ (G)
l’algèbre de Hecke des fonctions localement constantes à support compact. Il convient de
vérifier tout d’abord si :
Le foncteur V −→ VH transforme les G-modules projectifs en G/H-modules projectifs
dans Alg(G/H) ?
Question qui revient à caractériser les fonctions d’intégrale nulle comme somme finie de
R
différences des translatés c’est à dire : une fonction f ∈ Cc∞ (G) telle que f (ξ)dξ = 0,
est-elle de la forme f =
n
P
H
ϕi (hi g)ϕi (g) ? où ϕi ∈ Cc∞ (G), hi ∈ H et dξ une mesure de
i=1
Haar invariante à gauche sur H.
La réponse à cette question et l’utilisation systématique des chaı̂nes lisses, nous conduit
à montrer l’existence de la suite spectrale homologique de Hochschild-Serre pour
la catégorie Alg(G) :
p
2
`
Ep,q
= Hp` (G/H, Hq` (H, V )) =⇒ Hp+q
(G, V ), p, q ∈ N.
12
En cohomologie, la difficulté réside essentiellement dans le fait que l’espace C ∞ (G) des
fonctions complexes sur G, invariantes par un sous-groupe ouvert compact de G, n’est pas
en général un H-module injectif comme c’est le cas pour les groupes discrets. Ceci est dû
essentiellement au fait que les cochaines considérées ne sont pas uniformes. Néanmoins,
on aurait souhaité que tout G-module injectif dans Alg(G) soit un H-module acyclique,
ce qui garantit la convergence de la suite spectrale de Hochschild-Serre, ceci est toutefois
vrai dans le cas où H est sous-groupe réductif p-adique de G (cf. [ ], lemme 5.4, p. 315).
Notre résultat repose sur l’injectivité dans Alg(G) de l’espace Hom(Cc∞ (G), V )∞ muni
de l’action (xϕ)(g) = π(x)ϕ(x−1 g), x ∈ G, et que l’espace HomH (Cc∞ (G), V )∞ est un
G/H-module injectif dans Alg(G/H). Par conséquent, en filtrant le bicomplexe
K p,q = C ∞ ((G/H)p , HomH (Cc∞ (G), V )∞ ), p, q ∈ N,
on obtient la suite spectrale de Hochschild-Serre en cohomologie lisse, et par régularisation,
on montre l’existence de la suite spectrale en cohomologie continue :
p
2
= Hcp (G/H, Hcq (H, V )) =⇒ Hcp+q (G, V ), p, q ∈ N.
Ep,q
Cette étude généralise les résultats de A. Borel et N. Wallach (cf. [ ], lemme 5.4, p.
315), J.P. Serre (cf. [ ], p. 14) et certains résultats énoncés sans démonstration par W.
Casselman (cf. [ ], lemme 5.4, p. 922). Ceci nous permettra d’établir, pour la catégorie
Alg(G), une suite exacte à cinq termes en basses dimensions :
· · · → H2` (G, V ) → H2` (G/H, VH ) → H1` (H, V )G/H → H1` (G, V ) → H1` (G/H, VH ) → 0.
Notons, enfin, que cette étude a été abordée par voie topologique par W. Casselman et
D. Wigner (cf. [ ], p. 199-211) et par P. Blanc (cf. [ ], p. ) pour la cohomologie Lp`oc ,
p ≥ 1, mais avec des hypothèses très fortes, la raison en est que la catégorie CG est
quasi-abélienne et les cochaines ne sont pas lisses.
Chapter
2
Groupes Localement Compacts Totalement
Discontinus et leurs Représentations
Dans ce travail - sauf mention du contraire - on désignera par G un
groupe localement compact totalement discontinu l.c.t.d., qu’on supposera désormais séparé, métrisable, dénombrable à l’infini et d’élément
neutre 1G .
2.1
Propriétés et définitions générales
Presque tout le contenu de ce paragraphe est fondamental pour la suite. On reprend
l’étude de la structure interne du groupe localement compact totalement discontinu G,
ainsi que l’existence des sections continues pour les applications linéaires canoniques continues de G dans le groupe G/H muni de la topologie quotient (H sous-groupe fermé
de G), en ce sens qu’on peut choisir dans G d’une façon continue des représentants des
classes d’équivalence à gauche ou à droite suivant H.
2.1.1
Structure locale des groupes l.c.t.d.
Le groupe G admet une base de voisinages de l’unité 1G formée de sous-groupes ouverts
compacts c’est-à-dire que G est un groupe localement profini i.e. tout sous-groupe ouvert
compact voisinage de 1G est limites projective de sous-groupes finis de G. Ceci est assuré
par le lemme, (cf [6]), suivant
Lemme 1 Tout voisinage V de l’élément neutre 1G de G contient un sous-groupe ouvert
compact.
13
14
Ceci étant, tout sous-groupe compact K de G est limite projective de groupes finis i.e. K
est un sous-groupe profini (c.f. [23]), tel que les sous-groupes ouverts distingués forment
un système fondamental de voisinages de 1G . Les groupes localement compacts totalement
discontinus forment une catégorie, les morphismes étant les homomorphismes continus.
Cette catégorie est stable par les opérations suivantes :
Sous-groupes fermés, passage au quotient par des sous-groupes fermés distingués, produit de groupes l.c.t.d. et limites projectives.
D’après le lemme 1 et le fait que le groupe G soit séparé, on en déduit :
Lemme 2 Pour tout recouvrement ouvert d’un sous-groupe compact K de G, il existe
un recouvrement ouvert fini plus fins formé d’ouverts compacts disjoints deux à deux.
2.1.2
¬
Exemples de groupes l.c.t.d.
Soit F un corps topologique localement compact non discret, muni d’une valuation
non archimédienne |.|F . Avec sa structure de groupe additif il devient un groupe
l.c.t.d. dont l’anneau des entiers OF = {x ∈ F : |x|F ≤ 0} est un sous-groupe
ouvert compact. L’ensemble P = {x ∈ F : |x| < 1} est un idéal premier principal
de O i.e. P = pO, pour un certain p de valuation |p|F = q −1 . Le corps des classes
résiduelles O/P admet q = mj éléments (m premier). Il existe un ε ∈ F ∗ d’ordre
q − 1 et de valuation 1 tel que l’ensemble {0, ε, ε2 , · · · , εq−1 = 1} soit un système
de représentants de O/P. Chaque x ∈ F s’écrit ainsi d’une manière unique sous la
forme
x = Pn (a0 + a1 p + a2 p2 + · · · ),
(
)
où n ∈ Z et ai ∈ {0, ε, ε2 , · · · , εq−1 }. Dans le cas où F = Qp =
bj pj alors
j>−∞
(
)
(
)
P
P
OF =
bj pj et PF =
bj pj . Le corps O/P sera engendré par p tel que
P
|p|F = p

j≥0
−1
j≥1
(cf [21]).
2 +1
Fixons un entier n ≥ 1. Le groupe G = GLn (F ), sous-groupe ouvert de F n
, via
−1
l’application g = (gij ) → (g11 , g12 , · · · , gnn , (detg) ), est un groupe l.c.t.d. et admet
pour sous-groupe ouvzrt compact ω = GLn (OF ). En effet, G est une sous-variété
2 +1
affine de F n
®
pour la topologie de Zariski.
Soit G un sous-groupe algébrique linéaire de GLn (F ) i.e. G est l’ensemble des zéros
d’une famille de polynômes en xij à cœfficients dans F . La structure de GLn (F )
15
induit sur G une structure de groupe l.c.t.d. dont la base de voisinages de la matrice
unité I = (δij )1≤i,j≤n est donnée par les sous-groupes :
Km = {(gij ) : |gij − δij |m ≤ q −m , q ∈ N},
2.1.3
m ∈ N.
Existence de sections continues
Soit H un sous-groupe fermé de G et π : G → G/H la projection canonique de G dans
le groupe quotient G/H muni de la topologie quotient de façon que π soit continue et
ouverte. L’existence de sections sont assuées par le théorème de E. Michaël (cf [22])
Théorème 3 Soit π l’application canonique de G dans G/H, il existe une application
continue s de G/H dans G tel que π ◦ s = IdG/H .
Cette dernière égalité entraine que s et la restriction de π à s(G/H) sont continues,
bijectives et réciproque l’une de l’autre donc : s(G/H) est homéomorphe à G/H. D’autre
part, l’application β : G → G/H définie pour tout g ∈ G par β(g) = g.s(π(g −1 )), est un
inverse à gauche de l’inclusion i : H ,→ G. Comme π et β sont continues, on obtient ainsi
daprès (cf [6]) un isomorphisme topologique γ : G → G × (G/H) défini, pour tout g ∈ G,
par γ(g) = (β(g), π(g)).
2.2
Représentations lisses
La catégorie des représentations lisses nous permettra de travailler d’une manière algébrique
et sans aucune référence à une stucture topologique sur l’éspace de la représentation. Les
modules lisses peuvent être munis ainsi de la topologie la plus fine compatible avec leurs
structures d’espaces vectoriels.
2.2.1
Catégorie Alg(G) des G-modules lisses
Soit π une représentation de G dans le groupe GL(V ) des automorphismes de V .
Définition 4 Une application f : G → V est dite lisse si elle est invariante par un
sous-groupe ouvert compact de G.
On désignera par C∞ (G, V ) l’espace des fonctions lisses de G à valeurs dans V . Si V = C
on notera cet espace par C ∞ (G, C) = C ∞ (G).
16
Définition 5 Un vecteur v ∈ V est dit lisse si l’application x → π(x)v de G dans V est
lisse c’est-à-dire qu’il existe un sous-groupe ouvert compact K de G tel que π(k)v = v
pour tout k ∈ K.
On désignera par V K le sous-espace des vecteurs de V invariants par K. Posons V∞ =
S K
V où K décrit la famille des sous-groupes ouverts compacts de G, c’est l’espace des
K
vecteurs lisses de V , qui est stable sous l’action de G. On notera π∞ la sous-représentation
induite par π sur V∞ .
Définition 6 La représentation π est dite lisse si π = π∞ c’est-à-dire V = V∞ .
Un opérateur d’entrelacement d’une représentation π dans une autre π 0 qui commute avec l’action de G est appellé G-morphisme. L’ensemble HomG (π, π 0 ) de ces
G-morphismes est muni d’une structure canonique d’espace vectoriel complexe. Les Gmodules lisses et les G-morphismes forment une catégorie abélienne qu’on notera Alg(G).
2.2.2
Algèbre de Hecke
Nous allons maintenant indiquer des définitions et des résultats relatifs à l’algèbre du
groupe G (algèbre de Hecke), dont l’étude est fondamentale pour les représentations lisses
de G. Fixons K un sous-groupe ouvert compact de G. On notera
HK (G) = Cc (G//K)
l’espace vectoriel des fonctions complexes vérifiant :
1 - f est K-bi-invariante f (kxk 0 ) = f (x) pour tout x ∈ G et k, k 0 ∈ K.
2 - f est portée par un nombre fini de classes doubles de G modulo K i.e. f est à support
compact.
L’espace vectoriel complexe HK (G) admet une base {ξα }α∈I définie ainsi : Soit {gα }α∈I
S
un système de représentant des classes doubles de G suivant K i.e. G =
Kgα K où
α∈I
l’ensemble I contient 0. On a deux cas :
a - si α 6= 0, on définit ξα par : ξα (g) = µ(K)−1 .Iα (g) où Iα est la fonction caractéristique
de Kgα K et µ désigne la mesure de Haar invariante à gauche sur G.
b - si α = 0, on désigne par eK la fonction ξ0 définie par :
eK (g) = ξ0 (g) = µ(K)−1 .IK (g)
où IK est la fonction caractéristique de K.
17
Ainsi, tout vecteur f ∈ HK (G) peut s’écrire sous la forme
f=
P
f (gα )ξα
sauf pour un nombre fini de valeurs de α.
α∈I
L’espace Hk (G) devient une algèbre associative d’unité eK et dont la multiplication est
donnée par la convolution
ξα ∗ ξβ =
X
Cαβγ ξγ .
α,β
Les cœfficients Cαβγ sont explicités ainsi :
Posons Kα = K
S
S
(gα Kgα−1 ) et Kβ = K (gβ Kgβ−1 ) deux sous-groupes ouverts com-
pacts de K donc il existe des éléments x1 , x2 , · · · , xm et y1 , y2 , · · · , ym de K tels que
K=
m
[
xi K α =
i=1
n
[
y j Kβ .
j=1
On obtient alors
Kgα K =
m
[
xi gα K
et Kgβ K =
i=1
n
[
yj gβ K.
i=1
Le cœfficient Cαβγ sera le nombre des couples (i, j) tel que xi gα gβ yj gγ−1 ∈ K.
Posons
Cc∞ (G) = lim HK (G)
−→K
où K parcourt la famille des voisinags ouverts compacts de 1G , c’est l’espace des fonctions
à supports compacts localement constantes sur G et à valeurs complexes. Cet espaces
devient une algèbre associative sans unité sur C, en le munissant, pour f1 et f2 ∈ Cc∞ (G),
de la multiplication bilinéaire (convolution)
Z
(f1 ∗ f2 )(g) =
f1 (x)f2 (x−1 g)dx.
G
Dans le cas général, posons Z(G) le centre de G et ω un caractère de Z(G). On définit
l’espace Hω,K (G) comme étant l’espace vectoriel des fonctions f de G à valeurs complexes
vérifiant :
1 - f est K-bi-invariante : f (kxk 0 ) = f (x) pour tout x ∈ G et k, k 0 ∈ K.
2 - f est à support compact modulo Z(G).
18
3 - L’action de Z(G) sur Hω,K (G) est définie par `z (f ) = ω(z)f , z ∈ Z(G).
La convolution sur Hω,K (G) est définie par
Z
(ϕ ∗ ψ)(x) =
ϕ(xg −1 )ψ(g)dg.
G/Z(G)
On pose, alors
Hω (G) = lim HK,ω (G).
−→K
Si Z(G) = {1G }, on obtient le cas précédent. Enfin, la représentation droite Rx et la
resprésentation gauche `x de G sur l’espace Cc∞ (G) sont définies par



(Rx f )(g) = f (gx)




(` f )(g) = f (x−1 g),
x
où x, g ∈ G et f ∈ Cc∞ (G), sont lisses.
Proposition 7 Si (π, V ) ∈ Alg(G), alors V est un Cc∞ (G)-module.
Preuve : Soient f ∈ Cc∞ (G), v ∈ V , il existe un sous-groupe ouvert compact K de G tel
que v ∈ V K et f (xk) = f (x) pour tout k ∈ K, l’application f s’écrit
f=
n
X
f (gi )Ii
i=1
où gi ∈ G/K et Ii la fonction caractéristique de l’ouvert compact gi K. L’action de Cc∞ (G)
sur V est définie par
π(f )v = µ(K).
n
X
Z
f (gi )π(gi )v =
i=1
f (x)π(x)vdx,
G
où µ est la mesure de Haar invariante à gauche sur G. Cette action est indépendante
du choix du système de représentants g1 , g2 , · · · , gn . L’application f → π(f ) est un
homomorphisme de Cc∞ (G) dans EndC V et vérifie la relation π(ϕ ∗ ψ) = π(ϕ).π(ψ) où ϕ
et ψ ∈ Cc∞ (G). Pour g ∈ G on a π(g)v = µ(K)−1 (`g eK )v.
u
L’opérateur PK = π(eK ) est un projecteur de V parallèlement au sous-espace V K des
vecteurs de V invariants par K, son noyau VK = Ker PK est engendré algébriquement par
les vecteurs v − PK v, v ∈ V . En écrivant
v = PK v + (IdV − PK )v,
19
on voit que V peut s’écrire comme somme directe de V K et VK . On en déduit alors
l’équivalence :
V est un G-module lisse si et seulement si V =
S
PK V où K décrit la famille des sous-
K
groupes ouverts compacts de G.
Lemme 8 Soit V un espace vectoriel complexe, on a un G-isomorphisme :
Cc∞ (G, V ) ' Cc∞ (G) ⊗G V.
Preuve : Si v ∈ V2K est l’image de 0 dans V3 , on choisit v1 ∈ V1 d’image v ∈ V2 . Le
vecteur PK v ∈ V1K est d’image v.
J
Lemme 9 Soient (πi , Vi ) ∈ Alg(G), (i = 1, 2, 3). Si V1 → V2 → V3 est une suite exacte
de G-morphismes, il en est de même de la suite V1K → V2K → V3K
Preuve : L’action de G sur Cc∞ (G) ⊗G V est définie par x(f ⊗ v) = `x f ⊗ v où x ∈ G et
f ∈ Cc∞ (G). On définit, d’une part, l’application ΦV : Cc∞ (G) ⊗G V 7→ Cc∞ (G, V ) par
ΦV (f ⊗ v)(g) = f (g)v
où f ∈ Cc∞ (G) et v ∈ V . On vérifie, aisément, que ΦV est injective et pour tout x, g ∈ G
on a
ΦV (x.(f ⊗ v))(g) = ΦV (`x f ⊗ v)(g)
= ΦV (f ⊗ v)(x−1 g)
= `x ΦV (f ⊗ v)(g),
d’où ΦV (x.(f ⊗ v)(g)) = `x ΦV (f ⊗ v)(g) i.e. l’application ΦV est un G-morphisme.
Soit φ ∈ Cc∞ (G, V ) et posons Kφ = supp φ, il existe une famille d’ouverts compacts
n
S
disjoints (Ki )ni=1 tel que Kφ =
Ki . L’application φ étant lisse, il existe des vecteurs
i=1
v1 , · · · , vn ∈ V tel que φ(Ki ) = vi . Il suffit de vérifier la surjectivité de ΦV pour chaque
i. Or, φ(Ki ) = vi donc φ = ξi .vi où ξi est la fonction caractéristique de Ki et ξi ⊗ vi ∈
Cc∞ (G) ⊗ V . On a ΦV (ξi ⊗ vi )(g) = ξi (g)vi = φ(g), ce qui prouve que ΦV est surjective. u
2.2.3
Les Cc∞ (G)-modules non dégénérés
Définition 10 Un Cc∞ (G)-module est dit non dégénéré si Cc∞ (G).V = V c’est-à-dire que
n
P
chaque vecteur v de V s’écrit sous la forme v =
fi vi où vi ∈ V et f ∈ Cc∞ (G).
i=1
20
L’objet de cette section est de démontrer qu’il existe une équivalence entre la catégorie
des G-modules lisses et les Cc∞ (G)-modules non dégénérés.
Lemme 11 Soit π une représentation lisse de G dans V . On a
π(y)π(f ) = π(`y f )
π(f )π(y −1 ) = π(Ry f )
et
pour tout y ∈ G et f ∈ Cc∞ (G).
Preuve : On a
Z
π(y)π(f )v =
f (x)π(yx)vdx
ZG
=
(`y f )(z)π(z)vdz
G
= π(`y f )v.
On montre de la même façon la deuxième relation. u
Proposition 12 La catégorie des Cc∞ (G)-modules non dégénérés est identique à la catégorie
Alg(G).
Preuve : Soit π l’action de Cc∞ (G) sur un espace vectoriel V . Posons V1 = π(Cc∞ (G))V ⊂
V . Soit v1 ∈ V1 , il existe alors un sous-groupe ouvert compact K de G tel que v1 = π(eK )v
pour un certain v ∈ V . On définit la représentation ρ1 par ρ1 (g)v = π(`g eK )v pour g ∈ G.
D’après le lemme 11 on a
ρ1 (g)v1 = π(`g eK )v1 = π(`g eK )π(eK )v = π(g)π(eK )π(eK )v = π(g)v.
donc ρ1 est la sous-représenation lisse de Cc∞ (G) sur V1 c’est-à-dire V1 = V∞ . Donc, si
V ∈ Alg(G) alors V = V∞ = V1 qui est un Cc∞ (G)-module non dégénéré. Reste à montrer
l’isomorphisme
HomG (W1 , W2 ) ' HomCc∞ (G) (W1 , W2 ).
Il est évident que tout G-morphisme est un Cc∞ (G)-morphisme. Inversement, supposons
que f : W1 → W2 est un Cc∞ (G)-morphisme. Soit w ∈ W1K tel que π1 (g)w ∈ W1K , alors
π1 (g)w = µ(gK)−1 π1 (`g eK )w,
Il vient que
f (π1 )(gw) = µ(gK)−1 f (π1 (`g eK )w)
= µ(gK)−1 π2 (`g eK )f (w)
= π2 (g)f (w).
u
21
2.2.4
Représentation induites (Dualité de Fröbénius)
Soit H un sous-groupe fermé de G et σ une représentation lisse de H dans un espace
vectoriel U . On note IndG
H U l’espace des fonctions f : G → U tel que :
¬
f (hg) = σ(h).f (g) pour h ∈ H et g ∈ G.

f est localement constante sur G et à support compact modulo H.
L’action de G sur IndG
H U est définie par
(π(x)f )(g) = f (gx),
g, x ∈ G.
La représentation π notée IndG
H (σ) est dite représentation induite par σ de H à G.
On a ainsi un foncteur, dit foncteur d’induction de H à G :
IndG
H : Alg(H) → Alg(G)
ede la catégorie des représentations lisses de H dans la catégories des représentations lisses
de G.
Théorème 13 Soit H un sous-groupe fermé de G et (σ, U ) ∈ Alg(H). Pour tout V ∈
Alg(G) on a l’isomorphisme
HomG (V, IndG
H U ) ' HomG (V, U ).
Preuve : Pour tous ϕ ∈ HomG (V, IndG
H U ) et ψ ∈ HomG (V, U ). On définit une bijection
i par i(ϕ)(v) = ϕ(v)(1G ) et son inverse par i−1 (ψ)(v)(g) = ψ(gv), v ∈ V . u
Il découle de cette dualité que le foncteur d’induction IndG
H : Alg(H) → Alg(G) est un
foncteur exact.
Lemme 14 Soient H un sous-groupe fermé de G, K un sous-groupe ouvert compact de
G et S un système des représentants des classes double H\G/K. Pour tous g ∈ S, posons
L(g) = H ∩ g −1 Kg qui est un sous-groupe ouvert compact de H et soit U ∈ Alg(H). La
K
restriction des fonctions de G à S définie un isomorphisme de (IndG
sur l’espace des
HU)
fonctions f de S à valeurs dans U tel que f (g) ∈ U L(g) .
K
Preuve : Une application f : G → U telle que f ∈ (IndG
est complètement définie
HU)
sur S donc pour g ∈ S et k ∈ L(g) = H ∩ g −1 Kg on a f (g) = f (gk) = σ(gkg −1 ).f (g)
alors f (g) ∈ U L(g) .
u
22
Définition 15 Soit V un espace vectoriel complexe. Une représentation π de G dans V
est dite admissible ou lisse si :
¬
Pour tout v ∈ V , l’application x → π(x)v, x ∈ G, est localement constante.

Si K est un sous-groupe ouvert de G, le sous-espace vectoriel de V formé des vecteurs
invariants par π(K) est de dimension finie.
u
Remarque : Si (π, V ) est une représentation de G sur un F-espace vectoriel et K/F est
une extension de corps, on a une nouvelle représentation (πK , V ⊗F K) qui est l’ extension
de π à V ⊗F K.
Proposition 16 La représentation (π, V ) est lisse si, et seulement si, (πK , V ⊗F K) est
lisse.
Preuve : En effet, on a (V ⊗ K)K ' V K ⊗ K. Dans un sens l’inclusion est triviale.
P
Dans l’autre, supposons que
vi ⊗ xi est stable par K et que les xi sont K-linéairement
i
indépendants on a alors
!
π(k)
X
vi ⊗ xi
=
π(K)vi ⊗ xi =
i
i
Donc π(k)vi = vi pour tout k ∈ K.
X
X
v i ⊗ xi .
i
u
Proposition 17 Soit H un sous-groupe de G et (σ, U ) ∈ Alg(H). L’application
∇ : Ind(σ) → U
est un H-morphisme surjectif.
Preuve : On vérifie facilement que ∇(Rh f ) = σ(h)∇(f ), pour tout h ∈ H. Choisissons
u ∈ U et K un sous-groupe ouvert compact de G tel que u ∈ U K∩H et définissons f sur
G par

σ(h)u si g = hk, h ∈ H et k ∈ K
f (g) =
0
si g ∈
/ HK.
On vérifie que f ∈ Ind(σ) et que u est son image sous l’application ∇.
u
Corollaire 18 Soit H un sous-groupe fermé de G et (σ, U ) une représentation admissible
de H. Si le groupe quotient G/H est compact, alors la représentation π = IndG
H (σ) de G
sur IndG
H (U ) est admissible.
23
Preuve : Comme G/H est compact, le système des représentants des classes doubles
H \ G/K est fini, K étant un sous-groupe ouvert compact de G. La preuve du lemme 14
montre qu’il existe un sous-groupe ouvert compact L de H tel que :
K
L
f ∈ (IndG
H U ) −→ f (s) ∈ U , s ∈ S,
K
s’identifie à un sous-espace d’une somme directe finie de copies de U L , il
donc (IndG
HU)
est alors de dimension finie i.e. π = IndG
H σ est admissible.
u
Proposition 19 Soient H un sous-groupe fermé distingué de G et (σ, U ) ∈ Alg(H), pour
tout f ∈ Cc∞ (G, U ), l’application Ψ définie par :
Z
Ψ(f )(x) =
σ(ξ)f (x−1 ξ)dξ,
H
dξ est une mesure de Haar invariante à gauche sur H, est un G-morphisme surjectif de
Cc∞ (G, U ) dans l’espace IndG
HU.
Preuve : Pour h ∈ H on a Ψ(f )(hx) =
R
H
σ(ξ)f (x−1 h−1 ξ)dξ. En faisant un changement
de variable ξ 0 = h−1 ξ il vient que Ψ(f )(hx) = σ(h).ψ(f )(x). Donc Ψ est bien définie.
D’autre part, en posant π = IndG
H (σ) on aura
Z
Ψ(`g f )(x) =
σ(ξ)(`g f )(x−1 ξ)dξ
ZH
=
σ(ξ)(f )((xg)−1 ξ)dξ
H
= π(g)ψ(f )(x),
d’où Ψ(`g f ) = π(g)ψ(f ) pour tout g ∈ G. Soit α ∈ IndG
H U , choisissons un ouvert compact
K de G tel que supp(α) ⊂ KH et soit K 0 un sous-groupe ouvert compact de H tel que
KK −1 ∩ H ⊂ K 0 . On définie f ∈ Cc∞ (G, U ) par

µ(K 0 )−1 α(x−1 ) si x ∈ KK 0
f (x) =
0
si x ∈
/ KH,
µ étant une mesure de Haar invariante à gauche sur H, alors :
Z
Z
−1
0 −1
Ψ(f )(x) =
σ(ξ)(`g f )(x ξ)dξ = µ(K )
σ(ξ)α(ξ −1 x)dξ
H
K0
Z
0 −1
= α(x).µ(K ) .
dξ = α(x) si x ∈ K,
K0
d’où
Soit que Ψ(f ) = α.

α si x ∈ K
Ψ(f )(x) =
0 si x ∈
/ KH.
u
24
2.2.5
Foncteurs de Jacquet (Exemple)
Soient K un corps topologique non discret muni d’une valuation |.|K , G un sous-groupe
algébrique de GLn (K), (n ≥ 1), et P un sous-groupe de Borel de G de radical unipotent
N , il existe un sous-groupe algébrique M de G tel que P = M N (produit semi-direct)
(voir cf. [10]).
1 - Le premier foncteur de Jacquet : Soit le diagramme suivant
M
O
ρ
/
0
P
i
/
G
L’application i étant l’injection de P dans G et ρ est définie par ρ(mn) = m pour
tout m ∈ M et n ∈ N . Le premier foncteur de Jacquet est :
JG,M : Alg(G) −→ Alg(M )
(π, V )
−→ V N ' V /VN ,
où VN désigne le sous-espace de V engendré par π(n)v − v. L’action de M sur V N
est la restriction de π à M qui laisse invariant VN car M normalise N .
2 - Le deuxième foncteur de Jacquet : Soit (α, V ) ∈ Alg(M ) et Vα désigne l’espace
des fonctions f : G → V muni de l’action droite de G tel que
f (mng) = α(m).f (g)
g ∈ G, m ∈ M et n ∈ N.
On définit le deuxième foncteur de Jacquet par
IM,G : Alg(M ) −→ Alg(G)
(α, V )
−→ (πα , Vα ).
Le foncteur IM,G n’est autre que le foncteur d’induction IndG
P . Si (α, V ) est admissible il en est de même de (πα , Vα ) dans Alg(G) car G/P est compact.
25
Les deux foncteurs de Jacquet sont exacts et vérifient pour W ∈ Alg(M ) et V ∈ Alg(G),
l’isomorphisme
HomM (JG,M V, W ) ' HomM (V, IM,G W ).
2.3
2.3.1
Vecteurs lisses d’une représentation continue
Les G-modules continus
Définition 20 Un G-module continu V est un espace vectoriel topologique localement
convexe quasi-complet séparé, sur lequel G agit par une représentation continue π c’està-dire que l’application (g, v) → π(g)v, v ∈ V et g ∈ G, est continue.
Soient U et V deux G-modules, un G-morphisme est une application linéaire continue qui
entrelace les représentations respectives de G. on note par CG la catégorie des G-modules
continus, les flèches sont les G-morphismes continus. On dira G-morphisme α est une Ginjection forte (resp. G-morphisme surjectif fort), s’il admet un inverse à gauche
(resp. droit) linéaire et continu. un G-morphisme est dit fort s’il se décompose en deux
G-morphisme injectif et surjectif forts. Soit
ε
d0
d1
0 → V −→ X 0 −→ X 1 −→ · · ·
une résolution algébrique d’un G-module V par des G-modules X 0 , X 1 , · · · , on dira que
c’est une résolution forte de V si les G-morphismes ε, d0 , d1 , · · · sont forts.
2.3.2
Vecteurs différentiables d’un G-module continu
Soit (π, V ) ∈ CG . Un vecteur v ∈ V est dit différentiable s’il est fixé par un sous-groupe
ouvert de G. Notons V∞ le sous-espace des vecteurs différentiables de V , qui est dense
dans V (cf. [5], p. 290). Posons π∞ la restriction de π à V∞ , la représentation (π∞ , V∞ )
est dite partie différentiable de la représentation (π, V ). On muni naturellement V∞ de
la topologie limite inductive des topologies usuelles des V K induites par celle de V où K
décrit les sous-groupes ouverts compacts de G.
Définition 21 Un G -module V ∈ CG est dit différentiable si V = V∞ comme G-modules
topologiques.
On introduit une carégorie intermédiaire entre Alg(G) et CG que l’on notera C∞
G et qui
a pour objets les modules G-différentiables et les flèches les G-morphismes continus. Un
26
G-morphisme f : V → W dans CG induit un G-morphisme f∞ : V∞ → W∞ dans C∞
G . En
effet, il suffit de montrer que f∞ est continu, or pour tout sous-groupe ouvert compact
K de G, f∞ : V K → W K coincide avec f sur V K , donc la restriction de f∞ à V K est
continue. Par suite, f∞ est continue sur V∞ . On T∞ le foncteur de CG dans C∞
G qui à
V associe V∞ , dont la propriété essentielle est de transformer toute suite exacte de Gmorphismes forts dans CG en une suite exacte de G-morphismes forts dans C∞
G (cf. [5], p.
∞
292). Soit α : C∞
G → Alg(G) le foncteur d’oubli qui ignore la topologie i.e. si V ∈ CG alors
α(V ) ∈ Alg(G). D’autre part, si W ∈ Alg(G) définissons le foncteur β : Alg(G) → C∞
G tel
que β(V ) sera l’espace W muni de la topologie localement convexe la plus fine compatible
avec la structure vectoriel de W . En récapitulant, On obtient les diagrammes suivants
CG o_
T∞
/
_ _ _ _ _ _ _ _ _
γ
C∞
G o_
α
/
_ _ _ _ _ _ _ _ Alg(G).
β
Chapter
3
(Co)-Homologie et extensions de G-modules
lisses et continus
On suppose une certaine familiarité avec le language des foncteurs
dérivés et universels sur les catégories abéliennes. Pour cela, on renvoie
le lecteur à (cf. [7], [13], [15], [22]). On montre la régularisation entre la
cohomologie lisse et la cohomologie continue ce qui nous permettra de
généraliser certains résultats sur les G-modules lisses aux G-modules
continus.
3.1
Cohomologie lisse
On montre que l’espace des fonctions invariantes par des sous-groupes ouverts compacts de G sous la représentation régulière droite, est un G-morphisme injectif dans
la catégorie Alg(G), ceci nous amènra à définir les groupes de cohomologie de G et de
calculer ainsi les foncteurs Extn` , n ≥ 0, entre les représentations lisses du groupe G.
3.1.1
Modules injectifs et résolutions injectives
Soient A, B et V des objets de la catégorie Alg(G). Le G-module V est dit injectif
ε
si pour tout G-morphisme C-linéaire injectif 0 → A −→ B, et pour tout G-morphisme
ϕ
A −→ V il existe un G-morphisme δ : B → V prolongeant ϕ tel que δ ◦ ε = ϕ i.e. le
27
28
diagramme suivant est commutatif
VO
`A
A
A
ϕ
/A
0
Aδ
A
A
A
ε
A
/B
Lemme 22 Soit V un G-module injectif dans Alg(G). Tout G-morphisme injectif ε :
V −→ B, possède un inverse à gauche et fait de V un facteur direct de B:
ε
/ V o_ _ _ _ _/
δ
0
/
B
0.
Preuve : Appliquons la définition pour A = V et ϕ = IdV , il existe un G-morphisme
δ : B → V tel que δ ◦ ε = IdV . Le noyau de ε, qui est V , sera le supplémentaire à ε(V )
dans B i.e. B = V ⊕ ε(V ).
u
Un résolution injective de V dans Alg(G) est une suite
d
ε
d
dq−1
dq
dq+1
0
1
0 −→ V −→ B 0 −→
B 1 −→
· · · −→ B q −→ B q+1 −→ · · ·
où chaque B q est un G-module injectif dans Alg(G), les opérateurs dq , q ≥ 0, vérifient
d0 ◦ ε = 0
et
dq+1 ◦ dq = 0,
ce qui équivaut d’après le lemme 22 à l’éxistence de G-morphismes
δ : B 0 −→ V
et
εq : B q −→ B q−1 ,
tel que
IdV
= δ ◦ ε,
IdB 0 = ε ◦ δ + e1 ◦ d0 ,
..
.
. = ..
IdB q = eq+1 ◦ dq + dq−1 ◦ eq .
29
3.1.2
Existence d’injectifs dans la catégorie Alg(G)
On montre en terme de l’algèbre de Hecke, que l’espace HomC (Cc∞ (G), V )∞ est un module
injectif dans Alg(G), pour cela on notera − ⊗G − le produit tensoriel des G-modules lisses
i.e. Cc∞ (G)-modules non dégénérés.
Lemme 23 Soit (π, V ) ∈ Alg(G), on a :
¬
L’application Φ : (f, v) → f.v induit un Cc∞ (G)-isomorphisme
Cc∞ (G) ⊗G V ' V.

L’application µ : V → HomC (Cc∞ (G), V ) définie par µ(v)(f ) = f v, v ∈ V et f ∈
Cc∞ (G), est un Cc∞ (G)-morphisme surjectif et induit un Cc∞ -isomorphisme
HomG (Cc∞ (G), V )∞ ' V.
Preuve : L’application Φ est surjective car V est un Cc∞ -module non dégénéré. D’autre
part, pour tout sous-groupe ouvert compact K de G voisinage de l’unité 1G , soit v ∈ V .
On définit un inverse de Φ par Ψ(v) = eK ⊗ v, qui est indépendant du choix de K et on
vérifie aussitôt que
(Ψ ◦ Φ)(f ⊗ v) = ψ(f.v) = eK ⊗ f v = (f ∗ eK ) ⊗ v = f ⊗ v
d’où Ψ ◦ Φ = IdCc∞ (G)⊗G V , on vérifie de même que Φ ◦ Ψ = IdV . D’autre part
Ψ(f v) = eK ⊗ f v = f.(eK ⊗ v) = f.Ψ(v)
d’oùΨ estun Cc∞ (G)-morphisme. L’action de Cc∞ (G) sur HomG (Cc∞ (G), V )∞ est définie
c
par(g.f )(ϕ) = g.f (ϕ), g et ϕ ∈ C∞
(G). Soit K un sous-groupe ouvert compact laissant
c
f ∈ C∞
(G) invariante et une application
µ : HomG (Cc∞ (G), V )∞ → V
donnée par µ(f ) = f (eK ). Les relations suivantes montrent que µ et µ sont des Gmorphismes réciproques. En effet, soient f et g ∈ Cc∞ (G), v ∈ V et ϕ ∈ HomG (Cc∞ (G), V )∞
alors
µ(gv)(f ) = g.f v = gµ(v)f et µ(gϕ) = gϕ(eK ) = gµ(ϕ).
D’autre part, on a
µ ◦ µ(v) = µ[µ(v)] = µ(v)(eK )
= eK .v = v.
Donc µ ◦ µ = IdV . u
30
Lemme 24 Soit V ∈ Alg(G) alors HomC (Cc∞ (G), V )∞ muni de l’action θ définie, pour
x ∈ G, f ∈ Cc∞ (G) et ϕ ∈ HomC (Cc∞ (G), V )∞ , par
(θ(x)ϕ)(f ) = ϕ(`x−1 f ),
est un G-module injectif dans la catégorie Alg(G) :
La catégorie Alg(G) admet suffisamment d’objets injectifs
Preuve : Soit U ∈ Alg(G). on a
HomG (U, (HomC (Cc∞ (G), V )∞ , σ)) ' HomG (U, (HomG (Cc∞ (G), V ), σ))
' HomG (U, (HomG (Cc∞ (G), V ), µ))
' HomG (U ⊗G Cc∞ (G), V )
' HomC (U, V ).
Si l’application A → B est un G-morphisme injectif, l’application
HomC (B, V ) → HomC (A, V )
est surjetif pour tout v ∈ Alg(G), il en est de même de l’application
HomG (B, V ) → HomG (A, V )
. En applicant ceci à l’isomorphisme précédent, on aura le diagramme commutatif suivant
HomC (Cc∞ (G), V )∞
O
dI
I
I
I
ϕ
/
0
ce qui assure l’injectivité du module
A
I
Iδ
I
I
I
I
ε
HomC (Cc∞ (G), V )∞ .
I
I
I
/B
u
Corollaire 25 Pour tout V ∈ Alg(G), l’application
µ : V → HomC (Cc∞ (G), V )∞
est un Cc∞ (G)-morphisme injectif d’inverse à gauche le Cc∞ (G)-morphisme µ. Tout V ∈
Alg(G) s’injecte dans un Cc∞ (G)-module injectif. Ceci assure l’existence d’une résolution
injective en terme de l’algèbre de Hecke.
31
3.1.3
Exemple de résolution injective dans Alg(G)
Une autre façon de montrer l’existence d’injectifs dans Alg(G), sans faire intervenir
l’algèbre Alg(G) est donnée par le lemme qui suit. Soit V ∈ Alg(G), on note par F (G, V )
l’espace de applications quelconques de G dans V . L’action de G sur cet espace est définie
par
(`x f )(g) = f (x−1 g),
x, g ∈ G et f ∈ F (G, V ).
Lemme 26 Pour tout V ∈ Alg(G), l’esapce vectoriel C ∞ (G, V ) des application lisses de
G dans V , muni de l’action régulière `x , x ∈ G, est un G-module injectif dans la catégorie
Alg(G).
Preuve : Soit K le sous-groupe compact de G qui fixe f ∈ C ∞ (G, V ). Comme G/K est
un espace discret alors f ∈ F (G/K, V ), on en déduit que
C ∞ (G, V ) = lim inf F (G/K, V ).
K
Or, les espaces F (G/K, V ) sont des modules injectifs (c.f. [24]). Donc l’espace C ∞ (G, V )
l’est aussi dans Alg(G).
3.1.4
u
Conséquences
À D’après le lemme 26, on obtient une résolution injective de V ∈ Alg(G), dite complexe de cochaines non homogène lisses :
d
d
d
0
1
2
0 → V −→
C ∞ (G, V ) −→
C ∞ (G2 , V ) −→
···
dq
· · · −→ C ∞ (Gq , V ) −→ C ∞ (Gq+1 , V ) −→ · · ·
où Gq désigne le produit G × · · · × G (q fois), muni de la topologie produit.
Les opérateurs (dq )q≥0 sont définis ainsi
(dq f )(g0 , · · · , gn+1 ) = g0 .f (g1 , · · · , gq )
q
X
+
(−1)i+1 f (g0 , · · · , gi gi+1 , · · · , gq )
i=0
(−1)q+1 f (g0 , · · · , gq−1 ).
Á Le q ème groupe de cohomologie, noté H`q (G, V ) de V ∈ Alg(G) est le q ème
groupe de cohomologie du complexe :
G
0 → V G → C ∞ (G, V )G −→ C ∞ (G2 , V ) −→ · · · −→ C ∞ (Gp , V )G −→
32
où C ∞ (Gp , V )G désigne le sous-espace des fonctions localement constantes sur le
groupe produit Gp ,p ≥ 1, invariantes sous l’action Rx de G définie par
(Rx f )(g0 , · · · , gp−1 ) = f (g0 x, · · · , gp−1 x),
g0 , · · · , gp−1 et x ∈ G.
Â Pour tout U ∈ Alg(G), on définit Extq` (U, .) comme étant le q ème foncteur dérivé
droit de HomG (U, .) c’est-à-dire
Extq` (U, V ) = H q (HomG (U, IV )
quelle que soit la résolution injective IV choisie du G-module V . En particulier, si
U = C on a
HomG (C, V ) ' V G
et
ExtG (C, V ) ' H`q (G, V ).
En dimension q = 0, on aura
Ext0` (U, V ) = HomG (U, V )
et
H`0 (G, V ) ' V G
.
on démontre, par ailleurs, que H`q (G, .) ne dépend pas de la résolution injective
choisie.
On dit que V ∈ Alg(G) est G-acyclique si Extq` (U, V ) = 0 pour q > 1 et U ∈ Alg(G).
En particulier :
Tout G-module injectif V est G-acyclique dans Alg(G)
Corollaire 27 Tout G-module injectif est un G-module acyclique dans Alg(G).
Preuve : Soit IV la résolution injective de V dans Alg(G) définie par
ε
IV : 0 −→ V −→ V −→ 0,
ε = IdV ,
33
où V est un G-module injectif dans Alg(G). Avec un tel choix, tout les groupes de
cohomologie seront nuls pour q ≤ 1, on a alors
Extq` (U, V ) = H q (HomG (U, IV ) = 0, q ≤ 1
où U ∈ Alg(G).
u
Lemme 28 Soit K un groupe compact. Alors tout objet de Alg(K) est injectif.
Preuve : Soient U et V deux K-module dans Alg(K). Supposons qu’on ait le diagramme
suivant :
WO
ϕ
/
0
U
ψ
/
o_ _ _ _ _ _ V
σK
avec W ∈ Alg(K) et i un K-morphisme injectif. Choisissons une section C-linéaire de V
dans U noté σ et notons dk la mesure de Haar invariante à gauche sur K. L’application
Z
σK : v →
k.σ(k −1 v)dk,
K
est une section K-linéaire de V dans U . L’application ϕ ◦ σK est un prolongement de V
dans W .
u
Corollaire 29 Si K est un sous-groupe compact de G, le foncteur U → U K , U ∈ Alg(K),
est exacte.
Preuve : On a H`1 (K, U ) = 0. Donc pour toute suite exacte 0 → A → B → C → 0 de
Alg(K), on a la suite exacte : 0 → AK → B K → C K → 0. u
Proposition 30 Soit K un sous-groupe compact de G. Le G-module induit IndG
K (V ) est
injectif dans Alg(G), avec V ∈ Alg(K).
Preuve : Soient U, W ∈ Alg(G) et i : U → W un G-morphisme injectif. Choisissons une
section S de i qui est C-linéaire. On définit une application K-linéaire sK : W → U par
Z
sK (w) =
k.s(k −1 w)dk, w ∈ W.
K
34
Considérons le diagramme suivant
IndG
KV
O
ϕ
/
0
U
i
/
o_ _ _ _ _ _ _ V.
sK
Comme ϕ est un G-morphisme, on applique la dualité de Fröbenius pour obtenir un
K-morphisme ξ : U → V . D’où un morphisme ξ ◦ sK : W → V qui prolonge ϕ. La
dualité de Fröbenius, appliquée deux fois, nous donne un G-morphisme β : W → IndG
KV
pour lequel on a β ◦ i = ϕ. Enfin, on a
∇
/V
O
x; x
G
x
G
x
G
x
G
x
G
ξ◦s
Gx x
K
x GG β
x
ξx
G
G
x
G
x
G
x
G i
x
/
o_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ W.
sK
IndG
KV
O
cG
ϕ
/
0
U
Ce diagramme récapitule tout ce qui a été avancé ci-dessus.
3.2
Cohomologie continue et régularisation
3.2.1
¬
u
Cohomologie continue
G-module injectif fort : Un G-module V ∈ CG est dit injectif (fort) si pour
i
toute G-injection forte 0 → A −→ B et tout G-morphisme ϕ : A → V , il existe un
G-morphisme ε : B → V prolongeant ϕ tel que ε ◦ i = ϕ. Une résolution injective
forte de V ∈ CG est une suite forte :
ε
d
dq−1
d
dq
0
1
0 → V −→ X 0 −→
X 1 −→
· · · −→ X q −→ X q+1 −→ · · · ,
où chaque X q est un G-module injectif fort dans CG , ce qui équivaut à l’existence
des applications linéaires continues
δ : X 0 −→ V
et
eq : X q −→ X q−1 ,
35
tel que
= δ ◦ ε,
IdV
IdX 0 = ε ◦ δ + e1 ◦ d0 ,
..
.
. = ..
IdX q = eq+1 ◦ dq + dq−1 ◦ eq .

Pour tout U ∈ CG , on définit Extqc (U, .) comme étant le q ème foncteur dérivé droit de
HomG (U, .) i.e.
Extqc (U, V ) = H q (HomG (U, IV )
quelle que soit la résolution injective forte IV choisie du G-module V . En particulier,
si U = C on a
G
HomG (C, X i ) ' X i .
En particulier, ExtG (C, V ) est le q ème groupe de cohomologie du complexe {X i }G :
Extqc (C, V ) ' Hcq (G, V ).
En dimension q = 0, on aura
Ext0c (U, V ) = HomG (U, V )
et
Ext0c (C, V ) = HomG (C, V ) ' V G
®
.
Exemple de résolution injective forte : Soit C(G, V ) l’espace des fonctions continues sur G et à valeurs dans V ∈ CG , muni de la topologie de la convergence
compacte. Muni de l’action continue de G définie par (`x f )(g) = f (x−1 g), l’espace
C(G, V ) est un G-module injectif fort dans CG (cf.[18]) et l’application ε : V →
C(G, V ) définie par ε(v)(x) = xv est G-morphisme injectif fort. Le q ème groupe de
cohomologie continue, noté Hcq (G, V ) de G à cœfficients dans V , est le q ème groupe
de cohomologie du complexe des cochaines non homogènes continues
d
d
d
0
1
2
0 → V −→
C(G, V ) −→
C(G2 , V ) −→
···
···
dq
dq+1
−→ C(Gq , V ) −→ C(Gq+1 , V ) −→ · · ·
où Gq désigne le produit topologique direct G×· · ·×G (q fois), muni de la topologie
produit. Les opérateurs (dq )q≥0 sont définis comme dans la page 31.
36
Lemme 31 Soit V ∈ CG un injectif fort, alors le sous-espace de ses vecteurs différentiables V∞ est un injectif fort dans C∞
G.
Preuve : Soit β : A → B une injection forte dans la catégorie C∞
G et f : A → V∞ un
G-morphisme dans C∞
G . Comme V est injectif dans CG , f se prolonge par continuité en
une application g : B → V qui induit un G-morphisme dans C∞
G , noté g∞ : B∞ toV∞ .
Comme B∞ = B alors Img ⊂ V∞ . Le diagramme suivant
i
/V
O
D
D
D
D
D g∞
g
D
D
D
D
D
D D
β
_o _ _ _ _ _ _ _ _ _/ B
σ
V∞
O
aD
f
0
/
A
récapitule tout ce qu’a été abordé dans cette preuve.
uPour tout V ∈ C∞
G , on définit
q
(G, V ) comme le q ème groupe de cohomologie de G à cœfficients dans V , calculé dans
H∞
q
ème
∞
la catégorie C∞
G . Généralement : Si U et V ∈ CG , on pose Ext∞ (U, V ) comme le q
foncteur dérivée droit dans C∞
G de HomG (U, V ). En particulier on a :
q
Extq∞ (C, V ) ' H∞
(G, V )
3.2.2
Procédure de Régularisation
Soit V ∈ CG . Il n’y aura pas lieu de distinguer entre la cohomologie continue de V et la
cohomologie de V∞ calculée dans C∞
G , ceci est assuré par :
Proposition 32 Soit V ∈ CG et U ∈ C∞
G . On a les isomorphismes :
q
Extqc (U, V ) ' Extq∞ (U, V∞ ) et Hcq (G, V ) ' H∞
(G, V∞ ), q ≥ 0.
Preuve : Soit 0 → V → X 0 → X 1 → · · · une résolution injective forte de V dans CG et
0
1
0 → V∞ → X∞
→ X∞
→ · · · une résolution injective forte associé de V dans C∞
G . Les
espaces Extqc (U, V ) et Extq∞ (U, V∞ ) sont les q ème groupes de cohomologie des complexes
i
(HomG (U, X i ))i≥0 et (HomG (U, X∞
))i≥0 respectivement. Comme U est lisse dans C∞
G,
son image par un G-morphisme continu est dans l’espace des vecteurs lisses des espaces
(X i )i≥0 donc les deux complexes sont identiques. u
37
Soit α le foncteur d’oubli,précédemment définie, de C∞
G dans Alg(G) qui ignore la topologie. Si U ∈ C∞
G , est muni de sa topologie localement convexe, alors toute application
linéaire de U dans un espace localement convexe quelconque est continue. Soit β le foncteur de Alg(G) dans C∞
G , qui associe à chaque V ∈ Alg(G), l’espace lui-même muni de la
topologie localement convexe plus fine :
Proposition 33 Soit U et V ∈ C∞
G , on a les isomorphismes :
q
q
q
Ext∞
c (α(U ), α(V )) ' Ext` (U, α(V )), H∞ (G, V ) ' H` (G, α(V )), q ≥ 0.
Si U et V ∈ Alg(G), on a les isomorphismes :
q
Ext`c (U, V ) ' Extq∞ (β(U ), β(V )) et H`q (G, V ) ' H∞
(G, α(V )), q ≥ 0.
3.3
Homologie lisse
On montre que l’espace Cc∞ (G) des fonctions localement constantes à supports compacts et à valeurs complexes, est un G-module projectif dans la catégorie Alg(G), ce
qui nous permettra de définir les groupes d’homologie lisse de G comme étant les foncteurs dérivés gauches du foncteur VG où VG est l’espace V quotienté par le sous-espace
engendré algébriquement par les vecteurs gv − v, g ∈ G et v ∈ V .
3.3.1
Modules projectifs et résolutions projectives
Soient A et B deux objets de la catégorie Alg(G). Le G-module V est dit projectif si,
π
pour tout G-morphisme linéaire surjectif A −→ B −→ 0 et pour tout G-morphisme
f
V −→ B, il existe un G-morphisme f¯ : V −→ A relevant f tel que le diagramme suivant
soit commutatif :
A
f¯ π
V
π ◦ f¯ = f
/
f
B
/ 0.
38
Lemme 34 Etant donné un objet projectif V ∈ Alg(G) et un G-morphisme surjectif
π : A → V ; celui-ci possède un inverse à droite et fait de V un quotient de A
Preuve : Appliquons la définition pour B = V et f = IdV , il existe un G-morphisme
f : V → A tel que π ◦ f¯ = IdV qui est l’inverse à droite de π donc f¯ est injectif et on a
Ker(π) ⊕ f¯(V ) = A soit que f¯(V ) ' A/Ker(π). u
Une résolution projective de V ∈ CG est une suite forte :
dn−1
d
d
d
ε
n
1
0
Pn −→ · · · −→
P1 −→
P0 −→ V → 0,
· · · → Pn+1 −→
où chaque Pn est un G-module projectif dans Alg(G) et pour n ≥ 1 on a
ε ◦ d0 = 0
dn ◦ dn+1 = 0.
et
Ce qui équivaut d’après le lemme 34 à l’existence de G-morphismes C-linéaires:
δ : V → P0
∂q : Pq−1 → Pq
et
tel que
ε ◦ δ = IdV ,
3.3.2
δ ◦ ε + d0 ◦ δ1 = IdP0
et ∂q+1 ◦ dq + dq−1 ◦ δq = IdPq−1 .
Existence de projectifs dans la catégorie Alg(G)
Choisissons ϕ ∈ Cc∞ (G) tel que
R
ϕ(x)dx = 1. Pour tout g ∈ G et f ∈ Cc∞ (G), on définit
G
la famille {fg }g∈G d’applications de Cc∞ (G) par la formule
fg (x) = f (x)ϕ(gx),
x ∈ G.
Lemme 35 Pour tous h, g ∈ G, la famille {fg }g∈G vérifie les relations suivantes :
R
¬
fg dg = f
`h fhg = (`h f )g .
G
Preuve : Pour ¬, comme les intégrales sont des sommes finies, alors pour tout x ∈ G,
on a
Z
fg dg
G
Z
Z
=
fg (x)dg = f (x) ϕ(gx)dg
G
Z
= f (x) ϕ(g)dg = f (x).
G
G
39
Pour , pour tout x ∈ G, on a
(`h fhg )(x) = fgh (h−1 x) = f (h−1 x)ϕ(ghh−1 x)
Z
= (`h f )g (x) . u
G
Théorème 36 Le G-module Cc∞ (G) muni de la représentation gauche de G : (`x f )(g) =
f (x−1 g), g, x ∈ G et f ∈ Cc∞ (G), est un G-module projectif dans la catégorie Alg(G).
Preuve : Considérons le diagramme suivant
Cc∞ (G)
x
A
Ψ x
x
x
x
x
x
Ψ
x
{x
π
o_ _ _ _ _ _ _/ B
s
/
0.
où A et B ∈ Alg(G), π et Ψ deux G-morphismes. Soit s une section C-linéaire de π. On
définit, alors, une application Ψ de Cc∞ (G) dans A par
Z
Ψ(f ) =
g −1 sgΨ(fg )dg.
G
On doit vérifier que Ψ est un G-morphisme qui relève Ψ. En effet, en utilisant le lemme 35,
pour tout h ∈ G et f ∈ Cc∞ (G) et en procédant à un changement adéquat de variables,
on obtient :
Z
Ψ(`h f ) =
Z
−1
g sgΨ((`h f )g )dg =
G
g −1 sgΨ(`h fgh )dg
G
= hψ(f ).
Donc Ψ est un G-morphisme. D’autre part, en tenant compte du lemme 35, on aura
Z
(π ◦ Ψ)(f ) =
g −1 .(π ◦ s).gΨ((`h f )g )dg =
Z
ZG
=
Ψ(fg )dg = Ψ
fg dg
G
G
= Ψ(f ). u
Soit V ∈ Alg(G), l’action fr G sur Cc∞ (G, V ) ' Cc∞ (G) ⊗C V , est définie par
g.(f ⊗ v) = `g f ⊗ v,
g ∈ G, v ∈ V et f ∈ Cc∞ (G).
40
Corollaire 37 L’espace Cc∞ (G, V ) muni de l’action précédente est un projectif dans
Alg(G)
Preuve : Considérons le diagramme suivant
Cc∞ (G) ⊗C V
s
A
Ψs s
s
s
s
s
Ψ
s
s
ys
π
o_ _ _ _ _ _ _ _ _ _/ B
s
/ 0.
où A et B ∈ Alg(G), π et Ψ deux G-morphismes, s une scetion C-linéaire de π. Le
relèvement Ψ de Ψ est défini par
Z
Ψ(f ⊗ v) =
g −1 .s.gΨ(fg ⊗ v)dg.
G
On vérifie aussitôt que Ψ est un G-morphisme et que π ◦ Ψ = Ψ.
u
Corollaire 38 Tout G-module V dans Alg(G) admet une résolution projective
Preuve : Considérons l’application ε : Cc∞ (G) ⊗ V → V définie par
Z
f (x)π(x)vdx = π(f )v
ε(f ⊗ v) =
G
où f ∈ Cc∞ (G), v ∈ V et π la représentation de G (i.e. Cc∞ (G)) sur V .
ε est un G-morphisme : Pour tout g ∈ G on a ε(g.(f ⊗ v)) = π(`g f ⊗ v) = π(`g f )v.
Or, π(`g f )(v) = π(g)π(f )v. Donc π(g.(f ⊗ v)) = π(g)π(f )v = π(g)ε(f ⊗ v).
ε est surjectif : Comme V ∈ Alg(G) est un Cc∞ (G)-module non dégénéré, pour tout v
dans V , il existe f ∈ Cc∞ (G) tel que π(f )v = v. L’élément f ⊗ v ∈ Cc∞ (G) ⊗ V vérifie la
surjectivité. u
3.3.3
Exemple de résolution projective
Proposition 39 Soit (π, V ) ∈ Alg(G), le complexe
d
d
ε
· · · −→ Cc∞ (G2 , V ) −→ Cc∞ (G, V ) −→ V −→ 0
est une résolution projective de V , les opérateurs d et ε sont définis ainsi :
ε(ϕ ⊗ v) = π(ϕ)v
et
d(ϕ ⊗ v) = ∂ϕ ⊗ v
41
où l’opérateur ∂ est donné, pour ϕ ∈ Cc∞ (Gn ) et n 6= 2, par la formule :
Z
n
X
i
(∂ϕ)(g0 , · · · , gn ) =
(−1)
ϕ(g0 , · · · , gi−1 , g, gi , · · · , gn )dg
Zi=0
ε(ϕ) =
G
ϕ(g)dg.
G
Preuve : On montre par récurrence sur p que l’espace Cc∞ (Gp ), p ≥ 1, muni de l’action
(Rg f )(g1 , · · · , gp ) = f (g1 g, · · · , gp g),g ∈ G est un G module projectif dans Alg(G), donc
l’espace Cc∞ (Gp , V ) ' Cc∞ (Gp ) ⊗C V l’est aussi. En appliquant deux fois le théorème de
Fubini, on vérifie que
(d ◦ d)(ϕ ◦ v) = d(∂ϕ ⊗ v) = ∂ 2 (ϕ) ⊗ v = 0,
ainsi que
Z
(ε ◦ d)(ϕ ◦ v) = ε(∂ϕ ⊗ v) = π(∂ϕ)v =
(∂ϕ)π(x)vdx = 0. u
G
3.3.4
¬
Conséquences
Soit (π, V ) ∈ Alg(G). On note par VG l’espace quotient du G-module V par le sousespace vectoriel engendré algébriquement pas les vecteurs π(g)v − v = gv − v où
g ∈ G et v ∈ V . L’espace VG est l’espace quotient maximal de V invariantpar G, de
plus le foncteur V → VG est exact à droite comme on peut le constater aisément.

Considérons une résolution projective de V ∈ Alg(G) :
· · · −→ Pn+1 −→ Pn −→ · · · −→ P1 −→ P0 −→ V −→ 0.
On définit le q ème groupe d’homologie, noté Hq` (G, V ), de G dans V , comme
étant le q ème groupe d’homologie du complexe
· · · −→ (Pn+1 )G −→ (Pn )G −→ · · · −→ (P1 )G −→ (P0 )G −→ VG −→ 0
c’est-à-dire que Hq` (G, .) est le q ème foncteur dérivé gauche du foncteur V −→ VG .
d’homologie
®
Pour U ∈ Alg(G), l’espace Extq` (., U ) est le le q ème foncteur dérivé gauche du foncteur
HomG (., U ) c’est-à-dire
Extq` (V, U ) = H q (HomG (PV , U )),
q ≥ 0,
42
quelle que soit la résolution projective PV choisie du G-module V . En particulier
Extq` (C, V ) = Hq` (G, V ).
Si q = 0, on obtient
Ext0` (C, V ) = HomG (V, U ) et H0` (G, V ) = VG .
On démontre de la même façon qu’en cohomologie que H∗` (G, −) ne dépend pas de
la résolution choisie.
¯
On dit que V ∈ Alg(G) est G-acyclique si Extq` (U, V ) = 0 pour tout q ≥ 1 et
U ∈ Alg(G). En particulier, si V est un G-module acyclique alors Hq` (G, V ) = 0
°
Tout G-module V projectif dans Alg(G) est G-acyclique. En effet, le choix de la
ε
résolution projective PV : V −→ V −→ 0, où ε = IdV , nous conduit à écrire
Extq` (U, V )) = H q (HomG (PV , U )) = 0, ∀q ≥ 1 et U ∈ Alg(G).
3.4
Homologie continue et régularisation
3.4.1
G-modules continus relativement projectifs
Définition 40 Un objet V ∈ CG est dit relativement projectif si pour tout diagramme
f ~~
~
~
~
~
V
f
~
~~
π
A o_ _ _s_ _ _/ B
/
0
où π est une G-surjection forte de section linéaire continue s et f un G-morphisme continu
dans la catégorie CG , il existe un G-morphisme f : V −→ A tel que π ◦ f = f .
Pour tout V ∈ CG , les espaces d’homologie de G dans V notés Hnc (G, V ) seront les
espaces d’homologie du complexe fort
· · · −→ (P1 )G −→ (P0 )G
ou · · · −→ P1 −→ P0 est une résolution relativement projective de V . Les espaces
H∗c (G, V ), munis de la topologie quotient, sont indépendants de la résolution projective
choisie.
43
3.4.2
Existence d’objets relativement projectifs
L’espace Cc (G, V ) des fonctions continues à support compact de G dans V ∈ CG , est
relativement projectif pour l’action définie par (f ϕ)(x) = g.ϕ(g −1 x) avec g, x ∈ G et
ϕ ∈ Cc (G, V ) (c.f.[]). Dans ce cas, un relèvement f de f est donné par
Z
f (ϕ) =
g.s.g −1 f (ϕg )dg
G
où la famille (ϕg )g∈G est définie par
ϕg (x) = ϕ(x)θ(x−1 g),
θ étant un élément de Cc (G) d’inétgrale 1 pour la mesure de Haar invariante à gauche dg.
3.4.3
Résolution forte relativement projective
Soit V ∈ CG . Dans (c.f.[ ]), P. Blanc a montré que le complexe
· · · o_ _ _ _/ Cc (Gn+1 , V ) o_ _ _ _/ Cc (Gn , V ) · · · o_ _ _/ Cc (G, V ) o_ _ _/ V
∂
∂
∂
∂
δ
δ
δ
δ
∂
/0
est une résolution forte relativement projective, où ∂ et δ sont définis ainsi
Z
n
X
i
ϕ(g0 , · · · , gi−1 , g, gi+1 , · · · , gn−1 )dg
(∂ϕ)(g0 , · · · , gn−1 ) =
(−1)
i=0
G
(δϕ)(g0 , · · · , gn ) = θ(g0 )ϕ(g1 , · · · , gn ).
3.4.4
Homologie différentiable
Si V ∈ C∞
G , Il n’y aura pas lieu de distinguer entre l’homologie continue de V comme objet
de CG et son homologie calculée à partir d’une résolution forte relativement projective dans
C∞
G . En effet,
Proposition 41 Soit V un objet de C∞
G . Les propriétés suivantes sont équivalentes :
¬
V est relativement projectif dans CG .

V est relativement projectif dans C∞
G.
44
Preuve : Il est immédiat que ¬ implique . Supposons que V est relativement projectif
dans C∞
G et considérons le diagramme de la définition 40. On peut lui associé, dans la
catégorie C∞
G , le diagramme suivant
z
f∞ z z
z
z
z
|z
π∞
A∞ o_ _ s_ _ _ _/
∞
z
V
f∞
B∞
/
0
où π∞ est la restriction de π à A∞ et s∞ est définie par
Z
s∞ (x) =
g.s.g −1 θ(g)dg
G
où θ est prise telle que
R
G
θ(g)dg = 1. L’application π∞ est une surjection forte dans la
catégorie C∞
G , par conséquent il existe un G-morphisme continu f ∞ de V dans A∞ ⊂ A
qui est un G-morphisme continu de V dans A. u
Chapter
4
Suite Spectrale de Hochschild- Serre en
Homologie Lisse
Le but de ce chapitre est d’établir la suite spectrale de Hochschild-Serre en (co)-homologie
continue et lisse des groupes l.c.t.d. dans la catégorie CG et Alg(G). Les techniques et les
notions élémentaires qui nous permettent le maniement des suites spectrales sont exposées
en annexe (A.1). Pour plus de détails, on renvoie à
4.1
Etude du Foncteur V → VH
On fixe H un sous-groupe fermé distingué de G et on considère le groupe quotient G/H
de G muni de la topologie quotient.
Lemme 42 On a un isomorphisme de H-modules :
Cc∞ (G) ' Cc∞ (H) ⊗C Cc∞ (G/H).
L’action de H sur le second terme est définie par
h(f ⊗ f2 ) = `h f1 ⊗ f2
où h ∈ H, f1 ∈ Cc∞ (H) et f2 ∈ Cc∞ (G/H).
Preuve : L’existence des sections continues, identifie G au produit direct topologique
H × (G/H). On définie une application canonique η de Cc∞ (H) ⊗C Cc∞ (G/H) sur Cc∞ (G)
par
η(ϕ ⊗ ψ)(x, y) = ϕ(x)ψ(y),
où x ∈ H, ϕ ∈ Cc∞ (H) et ψ ∈ Cc∞ (G/H). On vérifie, aussitôt
45
46
¬
η est injective : Soit f =
n
P
ϕi ⊗ ψi ∈ Cc∞ (H) ⊗C Cc∞ (G/H), on peut supposer que
i=1
les vecteurs ϕ1 , ϕ2 , · · · , ϕn sont des fonctions caractéristiques d’ouverts compacts
K1 , K2 , · · · , Kn de H disjoints deux à deux, quite à les remplacer par des sommes
finies de ces dernières. Choisissons h1 , h2 , · · · , hn dans chaque ouvert compact, il
vient que fi (hj ) = δij qui est égal à 1 si i = j et à 0 si i 6= j. Donc pour tout
y ∈ G/H on a
η(f )(hi , y) =
=
n
X
i=1
n
X
(fi ⊗ gi )(hi , y)
fi (hi )gi (y),
i=1
ce qui prouve que η est injective.

η est surjective : Soit f ∈ Cc∞ (G), il suffit de faire la preuve dans le cas où f est
la fonction caractéristique IK d’un ouvert compact K = K1 × K2 où K1 (resp. K2 )
est un ouvert de H (resp. G/H) donc IK = I(K1 ) × I(K2 ) et l’on vérifie
IK = I(K1 ) × I(K2 ) = η(I(K1 ) ⊗ I(K2 )).

(
η est un H-morphisme : Soit h ∈ H, f1 ∈ Cc H) et f2 ∈ Cc∞ (G/H) :
η(h.(f1 ⊗ f2 ))(x, y) = (`h f1 )(x)f2 (y) = f (h−1 x)f2 (y)
= f1 (h−1 x)f2 (h−1 y) = `h η(f1 ⊗ f2 )(x, y).
soit que η(h.(f1 ⊗ f2 )) = `h η(f1 ⊗ f2 ).
u
Corollaire 43 Soit H un sous-groupe fermé distingué de G, alors tout G-morphisme
projectif dans Alg(G) est un H-module projectif dans Alg(H).
Preuve : Soit V ∈ Alg(G), l’action de H sur Cc∞ (G, V ) est défini par (`h ϕ)(x) = ϕ(h−1 x),
h ∈ H et x ∈ G. Il suffit de montrer que l’espace Cc∞ (G, V ) muni de cette action est
projectif dans Alg(H). On a, en effet, les H-isomorphismes
Cc∞ (H, Cc∞ (G, V )) ' Cc∞ (H) ⊗C Cc∞ (G/H) ⊗C V
' Cc∞ (G) ⊗C V ' Cc∞ (G, V ). u
Soit V ∈ Alg(G). On note VH le G-module V quotienté par le sous-espace vectoriel
engendré algébriquement par les vecteurs de la forme hv − v, h ∈ H et v ∈ V . L’action
lisse de G sur VH passe au quotient et donne une action lisse de G/H sur VH d’où
47
VH ∈ Alg(G/H). L’espace Cc∞ (G)H désignera, alors, l’espace Cc∞ (G) quotienté par le
sous-espace vectoriel, noté HCc∞ (G) , engendré algébriquement par les vecteurs de la forme
f=
X
λi ∈ C, fi ∈ Cc∞ (G) et hi ∈ H.
λi (`hi fi − fi ),
i
Lemme 44 Si H est un sous-groupe fermé distingué de G, on a un isomorphisme de
G/H-modules
Cc∞ (G)H ' Cc∞ (G/H).
Preuve : On définit une application Ψ de Cc∞ (G) dans Cc∞ (G/H) par
Z
Ψ(f )(ẋ) =
f (xξ)dξ
H
dξ désigne la mesure de Haar invariante à gauche sur H et ẋ l’image canonique de x dans
G/H. On remarque que
Ψ(f )(ẋ) = Ψ(f )(x), ∀x ∈ G
et que :
¬
Ψ est un G-morphisme bien défini :
Z
Z
Ψ(`g f )(x) =
(`g f )(xξ)dξ =
f (g −1 xξ)dξ
H
H
−1
= Ψ(f )(g x) = `g .Ψ(f )(x),
d’où Ψ(`g f ) = `g .Ψ(f ) pour tout g ∈ G. D’autre part, en tenant compte du fait
que dξ est invariante à gauche il vient que Ψ(`h f ) = Ψ(f ) pour tout h ∈ H.

Ψ est un G-morphisme surjectif : Soit α ∈ Cc∞ (G/H), un ouvert compacty K 0
de H dont la fonction caractéristique est IK 0 . Posons η = µ(K 0 ).IK 0 ∈ Cc∞ (H), µ
mesure de Haar invariante à gauche sur H. On obtient ainsi unn vecteur η ⊗ α ∈
Cc∞ (G) qui vérifie
Z
Z
Ψ(η ⊗ α)(ẋ) =
(η ⊗ α)(xξ)dξ =
Z
= α(x2 ).
η(x1 ξ)dξ,
η(x1 ξ)α(x2 )dξ
H
H
H
avec x = (x1 , x2 ) ∈ H × G/H, donc
0
Z
Ψ(η ⊗ α)(ẋ) = α(x2 )µ(K ).
dξ
K0
= α(x2 ) = α(ẋ),
48
ce qui prouve la surjectivité, donc
Cc∞ (G)/Ker(Ψ) ' Cc∞ (G/H).
D’autre part, il est évident que HCc∞ (G) ⊂ Ker(Ψ). Pour l’inclusion inverse, soit
f ∈ Cc∞ (G) tel que Ψ(f ) = 0. L’isomorphisme topologique G ' H × G/H réduit
R
la preuve au cas où f ∈ Cc∞ (H) tel que H f (ξ)dξ = 0. En effet, soit f ∈ Cc∞ (G)
telle que ∼ni=1 λi (fi × gi ) soit son image dans Cc∞ (H) × Cc∞ (G/H). Supposons que
les vecteurs g1 , · · · , gn son linéairement indépendants donc
Z
n
X
Ψ(f )(ẋ) =
gi (x)
fi (zξ)dξ = 0 où x = (z, ẋ) ∈ H × G/H,
H
i=1
Pn
R
fi (zξ)dξ = 0 d’où H fi (ξ)dξ =
R
0. On se contente ainsi du cas où f ∈ Cc∞ (H) tel que H f (ξ)dξ = 0. Soit K un sousdonc
i=1
gi (x)
R
H
fi (zξ)dξ = 0 sur tout G, soit
R
H
groupe ouvert compact de H qui laisse l’application f invariante par translation et
{h1 , · · · , hp } un système de représentants des classes H/K. L’application f s’écrit
alors sous la forme
f =
p
X
f (hi )Ihi K =
i=1
p
=
X
p
X
f (hi )[Ihi K − IK ] +
i=1
X
f (hi ).IK
i=1
−1
Z
f (hi )[`hi IK − IK ] + µ(K) .
f (ξ)dξ.IK
H
i=1
p
=
p
X
f (hi )[`h−1
IK − IK ] + µ(K)−1 .Ψ(f ).IK
i
i=1
=
p
X
f (hi )[`h−1
IK − IK ]
i
i=1
où µ est la mesure de Haar invariante à gauche sur H. En posant λi = f (hi ), le
p
P
vecteur f s’écrit alors f =
λi [`h−1
IK − IK ] ∈ HCc∞ (G) . u
i
i=1
Corollaire 45 Soit H un sous-groupe fermé distingué de G. Si V est un G-module
projectif dans Alg(G), alors VH est un G/H-module projectif dans Alg(G/H).
Preuve : L’action de H sur l’espace Cc∞ (G, V ) est définie par
h.(f ⊗ v) = `h f ⊗ v,
h ∈ H, f ∈ Cc∞ (G) et v ∈ V.
D’où les G/H-isomorphismes
Cc∞ (G, V )H ' Cc∞ (G)H ⊗C V ' Cc∞ (G/H) ⊗C V
soit que Cc∞ (G, V )H ' Cc∞ (G/H, V ) donc l’espace Cc∞ (G, V )H est un G/H-module projectif dans la catégorie Alg(G/H).
u
49
4.2
Lemme de Shapiro
On établi dans ce paragraphe un résultat qui est une généralisation naturelle du lemme
de Shapiro bien connu en cohomologie des groupes finis.
Proposition 46 (Lemme de Shapiro) Soit H un sous-groupe fermé de G, U ∈ Alg(G)
et V ∈ Alg(H). Le H-morphisme
∇ : IndG
H V −→ V
définie par ∇(f ) = f (1), induit les isomorphismes
•
Ext•G (U, IndG
H V ) ' ExtH (U, V )
et
`
H•` (U, IndG
H V ) ' H• (H, V )
Preuve : Considérons la résolution projective suivante de U ∈ Alg(G) :
· · · −→ Pn+1 −→ Pn −→ · · · −→ P1 −→ P0 −→ U −→ 0.
G
L’espace Ext•G (U, IndG
H V ) est la cohomologie du complexe : HomG (P• , IndH V ). Mais,
d’après la dualité de Frobénius, on a
Hom•G (P• , IndG
H V ) ' HomH (P• , V ).
D’autre part, la résolution (P• ) est une résolution de U dans Alg(H) et Ext•H (U, V ) est la
cohomologie du complexe HomH (P• , V ). D’où l’isomorphisme cherchée. u
4.3
Suite spectrale de Hochschild-Serre en Homologie lisse
Soit V un G-module dans la catégorie Alg(G), on note VG le G-module V quotienté par le
sous-espace engendré algébriquement par les vecteurs de la forme gv − v, g ∈ G et v ∈ V .
Lemme 47 Soit V ∈ Alg(G), on a un G-isomorphisme
VG ' V ⊗C C.
50
Preuve : Comme l’action de G sur C est triviale, dans le produit tensoriel V ⊗C C on a
l’identité
gv ⊗ 1 = v ⊗ g.1 = v ⊗ 1,
v ∈ V et g ∈ G.
On définit une application ϕ : VG → V ⊗C C par ϕ(v̄) = v ⊗ 1 où v̄ désigne l’image de v
dans VG . En utilisant l’identité précédente, on voit que ϕ ne dépend pas du représentant
v de v̄. D’autre part, on définit un G-morphisme réciproque de ϕ par ϕ−1 (v ⊗ c) = v̄ avec
c ∈ C. u
Théorème 2 Soit
eq
e
1
A0 −→ 0
A∗ : · · · −→ Aq+1 −→ Aq −→ · · · −→ A1 −→
un complexe de G-modules H∗` -acycliques et de G-morphismes C-linéaires dans
Alg(G). Il existe une suite spectrale dont le terme limite est le groupe d’homologie
du complexe :
eq
e
1
(A∗ )G : · · · −→ (Aq+1 )G −→ (Aq )G −→ · · · −→ (A1 )G −→
(A0 )G −→ 0
tel que
p
2
Ep,q
= Hp` (G, Hq (A∗ )) =⇒ Hp+q ((A∗ )G ).
Preuve : Les cycles Zq = Ker(eq ) et les bords Bq = eq+1 (Aq+1 ) sont stables sous l’action
de G. Le groupe Hq` (A∗ ) hérite l’action de G et devient un G-module algébrique ce qui
2
. On note par K la famille bigraduée d’espaces
donne un sens au premier membre de Epq
vectoriels complexes, définies pour chaque bidegré (p, q), p ≥ 0 et q ≥ 0, par
Kp,q = Cc∞ (Gp ) ⊗G Aq .
Les opérateurs
∂ 0 : Kp,q → Kp−1,q
et ∂ 00 : Kp,q → Kp,q−1
sont définis par
∂ 0 (f ⊗ aq ) = ∂f ⊗ aq
et ∂ 00 (f ⊗ aq ) = (−1)p f ⊗ eq aq ,
∀f ∈ Cc∞ (Gp ) et aq ∈ Aq ,
où l’opérateur de bords ∂ est tel que
∂f (g0 , · · · , gp ) =
p
X
i=1
p
Z
f (g0 , · · · , gi−1 , g, gi , · · · , gp )dg.
(−1)
G
51
Le triplet (K, ∂ 0 , ∂ 00 ) est ainsi muni d’une structure de bicomplexe. On vérifie, en effet,
que l’on a les relations
∂ 0 ∂ 0 = 0,
∂ 0 ∂ 00 + ∂ 00 ∂ 0 = 0 et ∂ 00 ∂ 00 = 0.
On construit alors le complexe total (Tot(K), ∂) défini en chaque degrè n par
Tot(K))n = ⊗p+q=n Kp,q
et ∂ = ∂ 0 + ∂ 00 ,
ce qui est repésenté par le diagramme commutatif suivant :
0O
0O
∂ 00
/
∂0
Cc (G2 ) ⊗C A0
O
/
Cc (G2 ) ⊗C A1
O
/ Cc (G)
∂0
⊗ C A0
O
/
Cc (G2 ) ⊗C A2
O
/
AO 0
∂0
∂ 00
/ Cc (G)
∂0
O
∂ 00
∂0
∂ 00
∂ 00
∂ 00
∂0
0O
⊗ C A1
/ Cc (G)
∂ 00
O
⊗ C A2
∂ 00
/0
∂ 00
/
∂0
∂ 00
∂0
∂0
AO 1
∂0
/0
∂ 00
∂0
/
AO 2
∂0
/0
∂ 00
On construit sur Tot(K) deux filtrations 0 F et 00 F à partir du bicomplexe K et on note
0
E et 00 E les suites spectrales associées respectivement aux deux filtrations. Ces suites
spectrales convergent vers l’homologie du complexe Tot(K) voir (c.f.[ ].
¬
2
Calcul de la première suite spectrale 0 Ep,q
: D’après (A.1.4) on a
0
2
Ep,q
= Hp0 Hq00 (K).
Fixons p et considérons le complexe (Cc∞ (Gp ) ⊗G Aq )q≥0 dont l’opérateur est ∂ 00 , son
homologie suivant la colonne p est :
0
1
Ep,q
= Hq00 (K) = Hq` (Cc∞ (Gp ) ⊗G A∗ ) = Cc∞ (Gp ) ⊗G Hq` (A∗ )
car le foncteur Cc∞ (Gp ) ⊗G • est exact. En prenant, maintenant, l’homologie du
1
complexe (0 Ep,q
)p≥0 pour q fixé, dont l’opérateur est induit par ∂ 0 , on obtient que :
(4.1)
0
2
Ep,q
= Hp` (G, Hq (A∗ )).
52

Calcul de la deuxième suite spectrale
00
2
Ep,q
: Comme les modules Aq sont
G-acycliques dans la catégorie Alg(G), alors :

(Aq )G p = 0
00 1
Ep,q =
0
p=
6 0.
2
On obtient ainsi, un complexe (00 E0,q
)q≥0 dont l’opérateur est induit par celui du
complexe (A∗ ) dont l’homologie est :

Hq ((A∗ )G ) p = 0
00 2
Ep,q =
0
p=
6 0.
La suite spectrale dégénère, donc
Hn (Tot(K)) '
(4.2)
00
2
En,0
= Hn ((A∗ )G ).
En résumé, les relations (3.1) et (3.2) nous assurent le résultat suivant :
0
p
2
Ep,q
= Hp` (G, Hq (A∗ )) =⇒ Hp+q ((A∗ )G ). u
Théorème 3 Soit H un sous-groupe fermé distingué de G. Pour tout v ∈ Alg(G), il
existe une suite spectrale d’homologie :
p
2
`
Ep,q
= Hp` (G/H, Hq` (H, V )) =⇒ Hp+q
(G, V ).
Preuve : L’espace H∗` (H, V ) est un G/H-module lisse ce qui donne un sens au premier
membre de la suite spectrale. Considérons une résolution projective de V dans Alg(G) :
A∗ : · · · −→ An+1 −→ An −→ · · · −→ A1 −→ A0 −→ V
qui devient une résolution projective dans Alg(H) d’après le corollaire 43. Donc
Hq ((A∗ )H ) = Hq` (H, V ),
q ≥ 0.
D’après le corollaire 45, les modules (Aq )H sont G/H-projectifs. On botient ainsi, un
complexe de G/Hmodules acycliques :
(A∗ )H : · · · −→ (An+1 )H −→ (An )H −→ · · · −→ (A1 )H −→ (A0 )H .
Le théorème 2 appliquée au complexe (A∗ )H nous donne une suite spectrale
2
Ep,q
= Hp` (G/H, Hq ((A∗ )H ) = Hp` (G/H, Hq` (H, V ))
53
qui converge vers le terme limite qui est l’homologie du complexe ((A∗)H )G/H ' (A∗ )G
qui n’est autre que H∗` (G, V ). D’où
p
2
`
Ep,q
= Hp` (G/H, Hq` (H, V )) =⇒ Hp+q
(G, V ). u
Corollaire 48 Sous les hypothèses du théorème 3, on a une suite exacte de HochschildSerre à cinq termes :
H2` (G, V ) −→ H2` (G/H, VH ) −→ H1` (H, V )G/H −→ H1` (G, V ) −→ H1` (G/H, VH ) −→ 0.
Preuve : Soit A∗ une résolution projective de V ∈ Alg(G). La proposition 2 de l’annexe
(A.1.3) appliquée au complexe (A∗ )G nous donne la suite exacte
2
2
2
H2` ((A∗ )G ) −→ E2,0
−→ E0,1
−→ H1 ((A∗ )G ) −→ E1,0
−→ 0.
Le théorème 3 nous donne explicitement l’expression de chaque terme de cette suite, à
savoir
2
E2,0
= H2` (G/H, H0` (H, V )) = H2` (G/H, VH )
2
E0,1
= H0` (G/H, H1` (H, V )) = H1` (H, V )G/H
2
E1,0
= H1` (G/H, H0` (H, V )) = H1` (G/H, VH ).
Enfin : H2` ((A∗ )G ) = H2` (G, V ) et H1` ((A∗ )G ) = H1` (G, V ). u
54
Chapter
5
Suite spectrale de Hochschild- Serre en
Cohomologies lisse et continue
Soient H un sous-groupe distingué de G et V ∈ Alg(G). On désignera par V H le sousespace des vecteurs de V invariants sous l’action de H.
5.1
Existence d’injectifs dans Alg(G/H)
L’action lisse de G sur V H passe au quotient pour donner une action lisse de G/H donc
V H ∈ Alg(G).
Lemme 49 Si V est injectif dans Alg(G), alors V H est injectif dans Alg(G/H).
Preuve : Soient A et B deux objets de la catégorie Alg(G/H) et i0 : A → B un G/Hmorphisme injectf. Considérons les diagrammes suivants :
V OH
i
/
V
VO `@
f
0_
_ _ _ _ _/
A
i◦f
i0
/
0 _ _ _ _ _ _/ A
B
@
@
@ f¯
@
@
i0
@
@
/B
Les application i et f sont des G/H-morphismes. Comme V est injectif dans Alg(G), il
existe un G-morphisme f¯ : B → V tel que i ◦ f = f¯ ◦ i0 . Or, pour tout couple (h, b) du
produit H × B on a hb = b donc h.f¯(b) = f¯(hb) = f¯(b) c’est-à-dire que Im(f¯) ⊂ V H . u
55
56
Soit (π, V ) ∈ Alg(G). On définit deux actions de G dans HomC (Cc∞ (G), V ) par
(θ(x)ϕ)(g) = ϕ(x−1 g) et (ω(x)ϕ)(g) = π(x)ϕ(x−1 g)
où x et g ∈ G et ϕ ∈ HomC (Cc∞ (G), V ).
Proposition 4 On a un isomorphimse de G-modules
µ : (HomC (Cc∞ (G), V ), θ) −→ (HomC (Cc∞ (G), V ), ω)
défini par µ(ϕ)(g) = π(g)ϕ(g).
Preuve : L’application µ est un G-morphisme
µ(θ(x)ϕ)(g) = π(g)((θ(x)ϕ)(g)
= π(g)ϕ(x−1 g),
g ∈ G,
d’autre part
(ω(x)µ(ϕ)(g) = π(x))µ(ϕ)(x−1 g)
= π(x)π(x−1 g)ϕ(x−1 g)
= π(g)ϕ(x−1 g).
d’où µ(θ(x)ϕ) = ω(x)µ(ϕ). L’inverse de µ est le G-morphisme µ définie par µ(ϕ)(g) =
π(g −1 )ϕ(g), g ∈ G. u
Théorème 5 Soit
(π, V )
HomH (Cc∞ (G), V )∞
un
G-module
dans
est injectif dans Alg(G/H).
Alg(G).
Le
G/H-module
Preuve : L’injectivité de HomH (Cc∞ (G), V )∞ découle du lemme précédent et des G/Hisomorphismes naturels suivants
HomG/H (U, HomH (Cc∞ (G), V )∞ ) ' HomG/H (U, HomC (Cc∞ (G), V )ω(H) )
= HomG (U, (HomC (Cc∞ (G), V ), ω))
= HomG (U, (HomC (Cc∞ (G), V ), µ))
= HomC (U ⊗G Cc∞ (G), V )
= HomC (U, V ).
Comme le foncteur HomC (., .) transforme les suites exactes en suites exactes, la proposition
est alors démontrée. u
57
5.2
Résultats essentiels
Dans ce qui suit, on donne une preuve finale de l’existence de la suite spectrale de
Hochschild-Serre en cohomologies lisse et continue des groupes localement compacts totalement discontinus.
Théorème 6 Soient G un groupe localement compact totalement discontinu séparé,
H un sous-groupe fermé distingué de G. Pour tout V ∈ Alg(G), il existe une suite
spectrale en cohomologie lisse dans le premier cadran E2p,q dont le terme limite est
H`∗ (G, V ). Ce qui se traduit par
p
E2p,q = H`p (G/H, H`q (H, V )) =⇒ H`p+q (G, V ).
Preuve : On note par K la famille bigraduée d’espaces vectoriels définie pour chaque
bidegré (p, q), p ≥ 0 et q ≥ 0, par
K p,q = C ∞ ((G/H)p , HomH (Cc∞ (Gq ), V )∞ )G/H .
Les opérateurs d1 et d2 sont induits respectivement par les opérateurs sont induits respectivement par les oéprateurs des chaines et des cochaines lisses. On obtient ainsi un
complexe total défini en chaque degrè n par
(Tot)n = ⊕p+q K p,q
de différentielle d = d1 + d2 . Sur Tot(K), on construit deux filtrations F 0 et F 00 à partir
du complexe K et on note 0 E et 00 E les suites spectrales associées respectivement à F 0 et
F 00 . Elles convergent vers la cohomologie du complexe Tot(K).
¬
2
Calcul de la première suite spectrale 0 Ep,q
= H 0 p (H 00 q (K)p ) : Le terme
H 00 q (K)p est la cohomologie du complexe (K p,q , d2 )q≥0 d’où
q
H 00 (K)p = C ∞ ((G/H)p , ExtqH (C, V ))G/H ' C ∞ ((G/H)p , H`q (H, V ))G/H .
Donc 0 E2p,q sera la cohomologie du complexe (C ∞ ((G/H)p , H`q (H, V ))G/H ; d01 )p≥0 où
d01 est la différentielle induite par d1 sur le complexe K. Ainsi
(5.1)
0
E2p,q = H`p (G/H, H`q (H, V )).
58
¬
2
Calcul de la deuxième suite spectrale 00 Ep,q
= H 00 p (H 0 q (K)p ) : Pour cela,
considérons le bicomplexe transposé (K q,p )p,q≥0 . Fixons p, l’expression H 0 q (K)p est
la cohomologie du complexe (K q,p , d1 )q≥0 . Donc
q
H 0 (K)p = H`q (G/H; HomH (Cc∞ (Gp ), V )∞ ).
Comme les G/H-modules HomH (Cc∞ (Gp ), V )∞ , p ≥ 1, sont injectifs dans Alg(G/H),
il vient que

HomH (C ∞ (Gp ), V )G/H
∞
c
0q
H (K)p =
0
si q = 0
si q 6= 0
soit que
q
H 0 (K)p =

HomG (C ∞ (Gp ), V )∞
si q = 0
0
si q 6= 0.
c
La suite spectrale dégénère, et on obtient un complexe dont la différentielle d01 est
induite par d2 , donc
00
E2p,0 = H`p ((HomG (Cc∞ (Gp ), V )∞ , d02 )
= Extp` (C, V ) ' H`p (G, V ),
soit que
(5.2)
H`p (Tot(K)) '00 E2n,0 ' H`n (G, V ).
En combinant les relations (4.1) et (4.2), on obtient la suite spectrale
p
E2p,q = H`p (G/H, H`q (H, V )) =⇒ H`p+q (Tot(K)) = H`p+q (G, V ). u
Comme conséquence au théorème 6 et de la procédure de régularisation entre cohomologie
lisse et cohomologie continue, on obtient :
Théorème 7 Soient G un groupe localement compact totalement discontinu séparé,
H un sous-groupe fermé distingué de G. Pour tout V ∈ CG , il existe une suite spectrale
de Hochschild-Serre en cohomologie continue :
p
E2p,q = Hcp (G/H, Hcq (H, V )) =⇒ Hcp+q (G, V ).
59
5.3
Théorème de Künneth
Soit G un groupe `.c.t.d produit direct de deux groupes localement compacts totalement
discontinus G1 et G2 . Les résultats obtenus dans la section précédente nous permettent
de calculer la cohomologie de G sachant celles de G1 et G2 .
Théorème 8 Soient G1 et G2 deux groupes localement compacts totalement discontinus et G = G1 ⊕G2 leurs produit direct. Supposons que V1 ∈ Alg(G1 ) et V2 ∈ Alg(G2 )
et posons V = V1 ⊗ V2 , alors on a :
H`∗ (G, V ) = H`∗ (G1 , V1 ) ⊗ H`∗ (G2 , V2 ).
ε
i
Preuve : Soit 0 −→ Vi −→
Ai une résolution du Gi -module Vi , i = 1, 2. Par la formule
de Künneth, le complexe Cr,s = Ar1 ⊗ Ar2 est une résolution de V . Il existe une suitr
spectrale (Er ) qui converge vers la cohomologie H` (G, Cr,s ) (théorème 6) tel que
E2p,q = H`p (G2 , H`q (G1 , Cr,s )), p, q ∈ N.
Comme les Ar1 sont des G1 -modules injectifs alors

(Ar )G1 ⊗ As
1
2
H`q (G1 , Cr,s ) = H`q (G1 , Ar1 ) ⊗ As2 =
0
si q = 0
si q ≥ 1,
ce qui montre que E2p,q = 0 si (p, q) 6= (0, 0) donc H`p+q (G, Cr,s ) = 0 si p + q > 0. Les
G-modules Cr,s sont acycliques. Comme H`∗ (G, V ) = H ∗ ((C∗,∗ )G ), on a les isomorphismes
suivantes
H`∗ (G, V ) = H((A∗1 )G1 ⊗ (A∗2 )G2 )
= H((A∗1 )G1 ) ⊗ H(A∗2 )G2 )
= H`∗ (G1 , V1 ) ⊗ H`∗ (G2 , V2 ). u
60
Chapter
6
Appendice sur les suites spectrales
La motivation essentielle de cet appendice est d’exposer les techniques qui nous permettent
de comprendre le maniement des suites spectrales. Certains résultats seront admis sans
démonstrations auxquelles cas on renvoie à (c.f. [ ], [ ], [ ],[ ]).
6.1
Définitions et premières propriétés
Définition 50 Une suite spectrale est un système (E r , dr )r≥2 de modules bigradués E r =
r
(Ep,q
) et d’opérateurs différentiels dr = (drp,q ) et de bidegré (−r, r − 1) c’est-à-dire :
r
r
drp,q : Ep,q
−→ Ep−r,q+r−1
tel que
E r+1 = H(E r , dr )
et
dr ◦ dr = 0.
r
On représente souvent les éléments Ep,q
par des points du premier cadran du plan. Ainsi,
deux flèches consécutives donnent la suite
dr
e
r
avec dr ◦ dr = 0.
Ep+r,q−r+1
−→ Ep−r,q+r−1
Il vient que
r+1
r
Ep,q
= Ep,q
si r > max(p, q + 1).
Suivant que r > q + 1 ou que r > p, on a
q+2
∞
p+1
∞
Ep,q
= · · · = Ep,q
ou Ep,q
= · · · = Ep,q
La suite spectrale est considérée, ainsi, comme une approximation successive du terme
E ∞.
61
62
6.2
Suites exactes associées à une suite spectrale
r+1
En considérant le couple (p, 0), on obtient que Ep,0
= Ker(drp,0 ) est un sous-module de
r
Ep,0
donc il existe des morphismes injectifs de bords, sur l’axe horizontal du plan :
p+1
∞
3
2
0 −→ Ep,0
= Ep,0
−→ · · · −→ Ep,0
−→ Ep,0
et une suite exacte (r=p, q=0) :
(6.1)
0 −→
∞
Ep,0
−→
p
p d0,p−1
Ep,0 −→
p
E0,p−1
−→ 0.
r+1
r
D’autre part, pour un couple (0, q), le terme E0,q
est un module quotient de E0,q
donc il
existe des morphismes surjectifs de bords, sur l’axe horizontal du plan :
q+1
q+1
q+2
2
3
∞
E0,p
−→ E0,p
−→ · · · −→ E0,q
−→ E0,q
−→ E0,q
= E0,q
−→ 0
et une suite exacte (r=q+1, p=0) :
dq+1
0,q
q+1
q+1
∞
0 −→ Eq+1,0
−→ E0,q
−→ E0,q
−→ 0
(6.2)
Posons q = p − 1 dans la suite 6.2 et en tenant compte de la suite 6.1, on a
Proposition 9 Il existe pour tout p ≥ 0 une suite exacte
0 −→
∞
Ep,0
−→
p
p d0,p−1
Ep,0 −→
p
∞
E0,p−1
−→ E0,p−1
−→ 0.
En particulier, pour p = 2 :
d20,1
∞
2
2
∞
0 −→ E2,0
−→ E2,0
−→ E0,1
−→ E0,1
−→ 0.
6.3
Suites spectrale associées un complexe filtré
Soit C un complexe ou un module gradué. Une filtration de C est une famille de souscomplexe notée {Φp (C); p ∈ Z} tel que
· · · ⊂ Φp−1 (C) ⊂ Φp (C) ⊂ Φp+1 C · · ·
Une telle filtration détermine un complexe gradué de la manière suivante :
Gr[C] = ⊕p≥0 Grp (C) avec Grp [C] = Φp (C)/Φp−1 (C)
et induit une filtration sur le mudule d’homologie H(C) de la manière suivante :
Φp H(C) = Im[Hn (Φp (C))] ,→ Hn (C).
63
Le module gradué associé à cette filtration est
Gr(C) = ⊕p,q Grp Hq (C) ou Grp Hq (C) = Φp Hq /Φp−1 Hq .
Une filtration {Φp H}p∈Z d’un module gradué H est dite bornée s’il existe des entiers s < t
qui dépendent de n tel que
0 = Φs Hn ⊂ Φs+1 Hn ⊂ · · · ⊂ Φt Hn = Hn .
Une suite {Epr , dr } est dite convergente vers le module gradué H s’il existe
une filtration Φ de H tel que
Ep∞ ' Φp H/φp−1 H = Grp [H].
On écrit, dans ce cas :
p
Ep2 =⇒ H.
Théorème 10 Chaque filtration bornée Φ d’un complexe C détermine une suite spectrale (E r , dr )r≥1 tel que
1
Ep,q
' Hp+q (Φp C/φp−1 C) ' Hp+q (Gr[C])
et
1
Ep,q
' Φp (Hp+q C)/φp−1 (Hp+q C) i.e.
6.4
p
Ep2 =⇒ H(C).
Suites exactes associées à un complexe filtré
On conserve les notation du paragraphe précédent. La filtartion de H1 (C) nous donne
∞
E0,1
' Φ0 (H1 (C))
∞
E0,1
' Φ1 (H1 (C))/Φ0 (H1 (C))
et
d’où la suite exacte
∞
∞
−→ H1 (C) −→ E1,0
−→ 0.
0 −→ E0,1
(6.3)
De la filtartion de
(6.4)
H
n (C)
on obtient les homomorphismes de modules :
∞
0 −→ E0,1
−→ Hn (C)
et
∞
Hn (C) −→ En,0
−→ 0.
En combinant avec les homomorphismes de bords, on obtient
(6.5)
∞
E0,n
−→ Hn (C)
et
∞
Hn (C) −→ E2,0
−→ 0.
64
Proposition 11 Pour tout n > 1, on a une suite exacte
n
∞
−→ E0,n−1 −→ Hn−1 (C).
−→ Hn (C) −→ En,0
· · · −→ E0,1
En particulier, pour n = 2, on a
2
2
2
H2 (C) −→ E2,0
−→ E0,1
−→ H1 (C) −→ E1,0
.
Preuve : Les résultats précédents s’écrivent
0
/
∞
En,0
/
O
z
z
z
z
z
z
z
n
En,0
/
z=
n
E0,n−1
H
/
H
H
H
H
Hn (C)
H
H
H
∞
E0,n−1
H$
Hn−1 (C).
D’où la première suite exacte. Pour n = 2, on obtient que
d2
2
2
H2 (C) −→ E2,0
−→ E0,1
−→ H1 (C).
On conclut en remarquant que
2
1
E1,0
' H(E1,0
) ' H(H1 (C)). u
6.5
Suites spectrales associées à un bicomplexe
Un bicomplexe est un module bigradué K = (Kp,q ) muni de deux opérateurs ∂ 0 et ∂ 00 de
bidegré (−1, 0) et (0, −1) :
∂ 0 : Kp,q −→ Kp−1,q
et
∂ 00 : Kp,q −→ Kp,q−1
tel que
∂ 0 ∂ 0 = 0,
∂ 0 ∂ 00 + ∂ 00 ∂ 0 = 0 et ∂ 00 ∂ 00 = 0.
On lui associe un complexe total X = Tot(K) défini par
Xn = ⊕p+q Xp,q
dont l’opérateur est la somme des opérateurs partiels ∂ = ∂ 0 + ∂ 00 de degré −1.
La première et la duexième filtration s du complexe total X = Tot(K) sont définies par
(0 Fp X)n = ⊕i≤p Ki,n−i ,
(00 Fp X)n = ⊕j≤p Kn−j,j
65
Théorème 12 Soient K un bicomplexe de premier cadran, (0 E r ) et (00 E r ) les suites
spectrales déterminées par les filtartions 0 F et 00 F du complexe Tot(K), on a
¬
0
∞
r
∞
r
Ep,q
=0 Ep,q
et 00 Ep,q
=00 Ep,q
pour r > max(p, q + 1).

0
2
2
Ep,q
=⇒ Hn (Tot(K)) et 00 Ep,q
=⇒ Hn (Tot(K))
p
p
Calcul explicite des suites spectrales 0 E 2 et 00 E 2 : Posons 0 F = F donc
(Fp Tot(K))n = ⊕i≤p Ki,n−1
d’ou Fp /Fp−1 = Kp,q . D’autre part, on a
∂ 0 (Kp,q ) ⊂ Kp−1,q ⊂ Fp−1
soit que ∂ 0 s’annule sur Fp /Fp−1 qui devient la pème colonne de différentielle ∂ 00 , son
homologie est alors
00
1
Hp,q
(K) = Ker(∂ 00 : Kp,q −→ Kp,q−1 )/(∂ 00 Kp,q+1 ) ' H(Fp /Fp−1 ], ∂ 00 ) ' Ep,q
.
00
1
(K) dont l’opérateur d1 : E 1 → E 1 est
= Hp,q
On obtient ainsi un module bigradué Ep,q
induit par ∂ = ∂ 0 + ∂ 00 . Il vient que
0
6.6
E 2 = H(E 1 , d1 ) = H 0 H 00 K
et
00
E 2 = H 00 H 0 K.
Suites spectrales dégénérées
2
Proposition 13 Supposons que Ep,q
= 0 pour q = 1, · · · , m − 1. Il existe une suite
exacte
2
2
Hm+1 (C) −→ Em+1,0
−→ E0,m −→ Hm (C) −→ Em,0
−→ 0
où C est un complexe filtré.
m
∞
Preuve : Ep,q
= 0 pour q = 1, · · · , m − 1, il vient que Ep,q
= 0 donc la filtration de
Hm+1 (C) nous donne
Hm+1 (C) −→ Em+1,0 −→ 0.
D’autre la proposition 5.1 donne la suite exacte
∞
m+1
m+1
∞
0 −→ Em+1,0
−→ Em+1,0
−→ E0,m
−→ E0,m
.
66
Comme
2
m+1
,
= Em+1,0
Em+1,0
2
m+1
= E0,m
E0,m
et
∞
= Hm (C),
E0,m
on obtient la suite
2
∞
−→ Hm (C)
−→ E0,0
0 −→ Em+1,0
D’où le résultat. u
2
2
Corollaire 51 Si Ep,q
= 0 pour tout q ≥ 1, on a Hp (C) ' Ep,0
, p ≥ 0.
Une suite spectrale qui vérifie les cons=ditions de ce corollaire est dite dégénérée.
Corollaire 52 Soit (E r ) une suite dégénérée du bicomplexe K de premier cadran alors
∞
2
Ep,q
= Ep,q
et
2
En,0
' Hn (Tot(K)
.
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67
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