3ème - Arithmétique

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3ème - Arithmétique

☺ Exercice p 58, n° 1 :
Déterminer le quotient entier et le reste de chaque division euclidienne :
a) 15 par 7
;
b) 67 par 13
;
c) 124 par 61
d) 275 par 25
;
e) 88 par 17
;
f) 146 par 15.
;
Correction :
a) 15 = 7 × 2 + 1 et 1 < 7 : dans la division euclidienne de 15 par 7, le quotient est 2 et le reste est 1.
b) 67 = 13 × 5 + 2 et 2 < 13 : dans la division euclidienne de 67 par 13, le quotient est 5 et le reste est 2.
c) 124 = 61× 2 + 2 et 2 < 61 : dans la division euclidienne de 124 par 61, le quotient est 2 et le reste est 2.
d) 275 = 25 × 11 et 1 < 25 : dans la division euclidienne de 275 par 25, le quotient est 11 et le reste est 0.
e) 88 = 17 × 5 + 3 et 3 < 17 : dans la division euclidienne de 88 par 17, le quotient est 5 et le reste est 3.
f) 146 = 15 × 9 + 11 et 11 < 15 : dans la division euclidienne de 146 par 15, le quotient est 9 et le reste est 11.
Dans chaque cas, calculer le nombre n sachant que :
a) dans la division euclidienne de n par 7, le quotient entier est 8 et le reste 5 ;
b) dans la division euclidienne de 68 par n, le quotient entier est 7 et le reste 5 ;
c) dans la division euclidienne de 127 par 17, le quotient entier est 7 et le reste n.
Correction :
a) On a :
n = 7×8 + 5
n = 56 + 5
n = 61 .
b) On a :
68 = n × 7 + 5
7 n = 68 − 5
63
n=
7
n=9.
c) On a :
127 = 17 × 7 + n
n = 127 − 119
n = 8.
On a : 226 = 24 × 9 + 10 .
a) Donner le quotient entier et le reste de la division euclidienne de 226 par 24.
b) Donner le quotient entier et le reste de la division euclidienne de 226 par 9.
c) Donner le quotient entier et le reste de la division euclidienne de 216 par 24.
Correction :
a) 226 = 24 × 9 + 10 et 10 < 24 , donc dans la division euclidienne de 226 par 24, le quotient entier est 9 et le
reste est 10.
b) 226 = 9 × 24 + 10 , donc 226 = 9 × 25 + 1 et 1 < 9 , donc dans la division euclidienne de 226 par 9, le quotient
entier est 25 et le reste est 1.
c) 226 = 9 × 24 + 10 et 216 = 226 − 10 , donc 216 = 9 × 24 , donc dans la division euclidienne de 216 par 24, le
quotient entier est 24 et le reste est 0.
On a : 232 = 31× 7 + 15 .
a) Donner le quotient entier et le reste de la division euclidienne de 232 par 31.
b) Donner le quotient entier et le reste de la division euclidienne de 232 par 7.
c) Trouver quatre diviseurs du nombre 217.
Correction :
a) 232 = 31× 7 + 15 et 15 < 31 , donc dans la division euclidienne de 232 par 31, le quotient entier est 7 et le
reste est 15.
b) 232 = 7 × 31 + 15 , donc 232 = 7 × 33 + 1 et 1 < 7 , donc dans la division euclidienne de 232 par 7, le quotient
entier est 33 et le reste est 1.
c) 232 = 7 × 31 + 15 et 217 = 232 − 15 , donc 217 = 31× 7 : donc 1 ; 7 ; 31 et 217 sont quatre diviseurs de 217.
Compléter en utilisant les mots « diviseur », « multiple », « divisible » ou « divise » :
a) 65 est un …… de 5.
b) 5 est un …… de 65.
c) 65 est …… par 5.
d) 7 n’est pas un …… de 65.
e) 5 ne …… pas 49.
f) 65 n’est pas un …… de 7.
g) 49 n’est pas …… par 5.
Correction :
a) 65 est un multiple de 5.
b) 5 est un diviseur de 65.
c) 65 est divisible par 5.
d) 7 n’est pas un
diviseur
multiple
de 65.
e) 5 ne divise pas 49.
f) 65 n’est pas un
multiple
diviseur
g) 49 n’est pas divisible par 5.
de 7.
Donner la liste des diviseurs de chaque nombre :
a) 8
;
b) 15
;
c) 21
;
d) 19
;
e) 36
;
f) 35.
;
f) 1.
Correction :
a) Les diviseurs de 8 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8.
b) Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
c) Les diviseurs de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 21.
d) Les diviseurs de 19 sont : 1 ; 19.
e) Les diviseurs de 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.
f) Les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35.
Pour chaque nombre, indiquer s’il est premier :
a) 27
;
b) 17
;
c) 5
;
d) 68
;
e) 93
Correction :
a) 27 est divisible par 3 (car 27 = 3 × 9 et 9 est entier), donc 27 n’est pas premier.
b) 17 possède exactement deux diviseurs (1 et 17), donc 17 est premier.
c) 5 possède exactement deux diviseurs (1 et 5), donc 5 est premier.
d) 68 est divisible par 2 (car son chiffre des unités est 8), donc 68 n’est pas premier.
e) 93 est divisible par 3 (car la somme de ses chiffres est 9 + 3 = 12 , qui est un multiple de 3), donc 93 n’est pas
premier.
f) 1 ne possède qu’un seul diviseur (c’est 1), donc 1 n’est pas premier.
Déterminer les diviseurs communs aux deux nombres :
a) 14 et 21 ;
b) 6 et 10
;
c) 11 et 22
d) 12 et 17 ;
e) 16 et 20 ;
f) 25 et 35.
;
Correction :
Les diviseurs de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 21.
Les diviseurs communs de 14 et 21 sont 1 et 7.
c) Les diviseurs de 11 sont : 1 ; 11.
d) Les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.
Les diviseurs de 17 sont : 1 ; 17.
12 et 17 n’ont qu’un seul diviseur commun : 1.
e) Les diviseurs de 16 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16.
Les diviseurs de 20 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20.
Les diviseurs communs de 16 et 20 sont 1 ; 2 et 4.
f) Les diviseurs de 25 sont : 1 ; 5 ; 25.
Déterminer les diviseurs communs aux deux nombres, puis indiquer leur PGCD :
a) 15 et 27 ;
b) 35 et 14 ;
c) 4 et 8
;
d) 25 et 65 ;
e) 18 et 16 ;
f) 15 et 14.
Correction :
Donc : PGCD (15; 27 ) = 3 .
Donc : PGCD ( 35;14 ) = 7 .
c) Les diviseurs de 4 sont : 1 ; 2 ; 4.
Donc : PGCD ( 4;8) = 4 .
d) Les diviseurs de 25 sont : 1 ; 5 ; 25.
Donc : PGCD ( 25;65 ) = 5 .
e) Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18.
Les diviseurs de 16 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16.
Donc : PGCD (18;16 ) = 2 .
f) Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
Donc : PGCD (15;14 ) = 1 .
Déterminer le PGCD des deux nombres :
a) 11 et 29 ;
b) 28 et 21 ;
d) 45 et 81 ;
e) 30 et 77 ;
c) 24 et 36 ;
f) 254 et 127.
Correction :
a) Diviseurs de 11 : 1 ; 11.
Diviseurs de 29 : 1 ; 29.
Donc : PGCD (11; 29 ) = 1 .
b) Diviseurs de 28 : 1 ; 4 ; 7 ; 28.
Diviseurs de 21 : 1 ; 3 ; 7 ; 21.
Donc : PGCD ( 28; 21) = 7 .
c) Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; …… ; 12 ; 24.
Diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; …… ; 12 ; 18 ; 36.
Donc : PGCD ( 24;36 ) = 12 .
d) Diviseurs de 45 : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45.
Diviseurs de 81 : 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81.
Donc : PGCD ( 45;81) = 9 .
e) Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30.
Diviseurs de 77 : 1 ; 7 ; 11 ; 77.
Donc : PGCD ( 30; 77 ) = 1 .
f) 127 divise 254 (car 254 est le double de 127), donc : PGCD (127; 254 ) = 127 .
Ecrire la liste des diviseurs de chacun des deux nombres, puis déterminer leur PGCD :
a) 15 et 25
;
b) 42 et 35
;
c) 12 et 55.
Correction :
Les diviseurs de 25 sont : 1 ; 5 ; 25.
Donc : PGCD (15; 25 ) = 5 .
b) Les diviseurs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42.
Donc : PGCD ( 42;35 ) = 7 .
c) Les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.
Donc : PGCD (12;55 ) = 1 .
Déterminer le PGCD des deux nombres sans écrire la liste de leurs diviseurs.
a) 5 et 10
;
b) 150 et 75 ;
c) 71 et 355.
Correction :
a) 5 divise 10 (car 10 est le double de 5), donc : PGCD ( 5;10 ) = 5 .
b) 75 divise 150 (car 150 est le double de 75), donc : PGCD (150;75 ) = 75 .
c) 71 divise 355 (car 355 = 71× 5 et 5 est entier), donc : PGCD ( 71;355) = 71 .
Déterminer les diviseurs communs aux deux nombres, puis leur PGCD.
a) 54 et 18
;
b) 69 et 92
;
c) 38 et 85.
Correction :
a) Les diviseurs de 54 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54.
Les diviseurs communs de 54 et 18 sont 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18.
Donc : PGCD (18;54 ) = 18 .
Donc : PGCD ( 69;92 ) = 23 .
c) Les diviseurs de 38 sont : 1 ; 2 ; 19 ; 38.
Donc : PGCD ( 38;85) = 1 .
Déterminer les diviseurs communs aux deux nombres, puis leur PGCD :
a) 121 et 77 ;
b) 60 et 64
;
c) 147 et 148.
Correction :
a) Les diviseurs de 121 sont : 1 ; 11 ; 121.
Donc : PGCD (121; 77 ) = 11 .
b) Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.
Les diviseurs de 64 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64.
Donc : PGCD ( 60; 64 ) = 4 .
c) Les diviseurs de 147 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 21 ; 49 ; 147.
Donc : PGCD (147;148 ) = 1 .
Calculer le PGCD des deux nombres en utilisant l’algorithme d’Euclide :
a) 145 et 116
;
b) 136 et 425
;
c) 121 et 85
Correction :
a) Déterminons le PGCD de 145 et 136 en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
145
116
29
116
29
0
Le PGCD est le diviseur de la division dont le reste est nul.
Donc : PGCD (145;116 ) = 29 .
b) Déterminons le PGCD de 136 et 425 en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
425
136
17
136
17
0
Donc : PGCD (136; 425) = 17 .
;
d) 274 et 137.
c) Déterminons le PGCD de 121 et 85 en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
121
85
36
85
36
13
36
13
10
13
10
3
10
3
1
3
1
0
Donc : PGCD (121;85 ) = 1 .
a) 4 284 et 6 001
;
b) 3 242 et 16 210.
Correction :
a) Déterminons le PGCD de 4 284 et 6 001 en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
6 001
4 284
1 717
4 284
1 717
850
1 717
850
17
850
17
0
Donc : PGCD ( 4 284;6 001) = 17 .
b) Déterminons le PGCD de 3 242 et 16 210 en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
16 210
3 242
0
Donc : PGCD ( 3242;16 210 ) = 3242 .
a) 2 124 et 2 478
;
b) 1 257 et 5 894.
Correction :
a) Déterminons le PGCD de 2 124 et 2 478 en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
2 478
2 124
354
2 124
354
0
Donc : PGCD ( 2124; 2 478) = 354 .
b) Déterminons le PGCD de 1 257 et 5 894 en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
5 894
1 257
866
1 257
866
391
866
391
84
391
84
55
84
55
29
55
29
26
29
26
3
26
3
2
3
2
1
2
1
0
Donc : PGCD (1257;5894 ) = 1 .
Le sol d’une pièce est un rectangle de longueur 935 cm et de largeur 385 cm.
On désire le recouvrir entièrement, sans faire de découpes, par des carrés de moquette identiques dont le côté
est un nombre entier de centimètres.
On note c la longueur d’un côté de carré de moquette en centimètres.
1) Justifier que c est un diviseur commun à 935 et 385.
2) On veut utiliser le moins de carrés possibles pour recouvrir le sol.
a) Justifier que c est le PGCD de 935 et 385.
b) Calculer le nombre c.
c) Calculer le nombre de carrés de moquette nécessaires à la réalisation.
Correction :
1) Schéma :
Puisqu’on désire recouvrir entièrement le sol par des carrés de moquette identiques sans faire de découpes (et
sans chevauchements), la longueur du côté d’un carré de moquette (nombre entier de centimètres) doit diviser
935 et 385 : le nombre c est donc un diviseur commun à 935 et 385.
2) a) Pour utiliser le moins possible de carrés de moquette, le côté d’un carré doit être le plus grand possible.
D’après la question 1, le nombre c est donc dans ce cas le PGCD de 935 et 385.
b) Longueur du côté d’un carré :
Déterminons le PGCD de 935 et 385 en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
935
385
165
385
165
55
165
55
0
Donc : PGCD ( 935;385 ) = 55 .
Pour recouvrir entièrement le sol en utilisant le moins possible de carrés, le côté c d’un carré de moquette doit
mesurer 55 cm.
c) Nombre de carrés de moquette :
1ère méthode :
935 ÷ 55 = 17 et 385 ÷ 55 = 7 .
Il y a 17 carrés suivant la longueur et 7 suivant la largeur.
17 × 7 = 119 .
119 carrés de moquette sont donc nécessaires pour recouvrir le sol de cette pièce.
2ème méthode :
Aire de la pièce : 935 × 385 = 359975 cm².
Aire d’un carré de moquette : 552 = 3025 cm².
359975 ÷ 3025 = 119 .
119 carrés de moquette sont donc nécessaires pour recouvrir le sol de cette pièce.
Un fabriquant dispose de 291 stylos noirs et de 388 stylos bleus. Il désire réaliser des lots identiques contenant
des stylos noirs et des stylos bleus en utilisant tous les stylos.
1) Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser.
2) Calculer alors le nombre de stylos bleus et le nombre de stylos noirs contenus dans chaque lot.
Correction :
1) Nombre maximal de lots :
Puisque le fabriquant utilise les 291 stylos noirs et les 388 stylos bleus et que les lots sont identiques (même
nombre de stylos noirs, même nombre de stylos bleus), le nombre de lots cherché doit diviser 291 et 388 : c’est
donc un diviseur commun à 291 et 388.
Le nombre maximal de lots qu’il peut ainsi réaliser est donc le plus grand diviseur commun à 291 et 388.
Déterminons-le en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
388
291
97
291
97
0
Donc : PGCD ( 291;388 ) = 97 .
Le fabriquant pourra donc réaliser au maximum 97 lots identiques.
2) Composition d’un lot :
291 ÷ 97 = 3 et 388 ÷ 97 = 4 .
Chaque lot sera composé de 3 stylos noirs et 4 stylos bleus.
(Amérique du Nord 2007)
Un confiseur reçoit une commande de caramels d’un montant de 120,40 €. Pour fidéliser son client, il décide
d’accorder une remise de 20 %.
1) Calculer le montant de la facture après la remise.
2) Quelques jours plus tard, le confiseur répartit 301 caramels et 172 chocolats dans des sachets de contenance
identique.
a) Calculer le nombre maximal de sachets réalisables.
b) Calculer le nombre de caramels et le nombre de chocolats contenus dans chaque sachet.
Correction :
1) Montant de la facture :
F = 120, 4 − 120, 4 ×
20
10 0
F = 120, 4 − 24, 08
F = 96, 32 .
Après la remise, la facture s’élève à 96,32 €.
2) a) Nombre de sachets :
Puisque le confiseur utilise les 301 caramels et les 172 chocolats et que les sachets sont de contenance
identique, le nombre de sachets cherché doit diviser 301 et 172 : c’est donc un diviseur commun à 301 et 172.
Le nombre maximal de sachets qu’il peut ainsi réaliser est donc le plus grand diviseur commun à 301 et 172.
Déterminons-le en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
301
172
129
172
129
43
129
43
0
Donc : PGCD ( 301;172 ) = 43 .
Le confiseur pourra donc réaliser au maximum 43 sachets identiques.
b) Composition de chaque sachet :
301 ÷ 43 = 7 et 172 ÷ 43 = 4 .
Chaque sachet sera composé de 7 caramels et 4 chocolats.
(Centres étrangers 2007)
1) Déterminer par la méthode de votre choix et en détaillant les différentes étapes le PGCD de 144 et 252.
2) Une association organise une compétition sportive ; 144 filles et 252 garçons se sont inscrits.
L’association désire répartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque
équipe, ainsi que le nombre de garçons. Tous les inscrits doivent être dans une des équipes.
a) Quel est le nombre maximal d’équipes que cette association peut former ?
b) Quelle est alors la composition de chaque équipe ?
Correction :
1) PGCD de 144 et 252 :
Dividende
Diviseur
Reste
252
144
108
144
108
36
108
36
0
Donc : PGCD (144; 252 ) = 36 .
2) a) Nombre d’équipes :
Puisque les 144 filles et les 252 garçons inscrits doivent être dans une équipe et que les équipes doivent avoir la
même composition (même nombre de filles, même nombre de garçons), le nombre d’équipes cherché doit
diviser 144 et 252 : c’est donc un diviseur commun à 144 et 252.
Le nombre maximal d’équipes que l’association peut ainsi constituer est donc le plus grand diviseur commun à
144 et 252.
D’après la question 1, l’association pourra former au maximum 36 équipes identiques.
b) Composition de chaque équipe :
144 ÷ 36 = 4 et 252 ÷ 36 = 7 .
Chaque équipe sera constituée de 4 filles et 7 garçons.
(Polynésie 2004)
9 009 2 3
− × .
10395 5 2
1) a) Déterminer le PGCD de 9 009 et 10 395.
On considère l’expression A =
b) Expliquer comment rendre irréductible la fraction
9 009
.
10395
9 009
.
10395
2) Calculer A en donnant le détail des calculs : on donnera le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
c) Rendre irréductible la fraction
Correction :
1) a) PGCD de 9 009 et 10 395 :
Déterminons le PGCD de 9 009 et 10 395 en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
10 395
9 009
1 386
9 009
1 386
693
1 386
693
0
Donc : PGCD ( 9 009;10395 ) = 693 .
b) Si on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, alors on obtient une
fraction irréductible.
9 009
Pour rendre irréductible la fraction
, il suffit donc de la simplifier par le PGCD de 9 009 et 10 395, soit
10395
693.
c)
9 009
693 × 13 13
13
=
=
, et
est irréductible.
10395 693 × 15 15
15
2) Calcul de A :
A=
9 009 2 3
− ×
10395 5 2
13 2 × 3
−
15 5 × 2
13 9
A= −
15 15
4
A=
.
15
A=
(Besançon 2000)
1) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
756
2) La fraction
est-elle irréductible ? Sinon, l’écrire sous forme irréductible en justifiant.
441
756 19
3) Calculer la somme D =
+
.
441 21
Correction :
1) 7 + 5 + 6 = 18 et 4 + 4 + 1 = 9 : 9 et 18 sont deux multiples de 9, donc les nombres 756 et 441 sont divisibles
par 9 : ils ne sont donc pas premiers entre eux.
2) Les nombres 756 et 441 ne sont donc pas premiers entre eux, donc la fraction
756
n’est pas irréductible.
441
Dividende
Diviseur
Reste
756
441
315
441
315
126
315
126
63
126
63
0
Donc : PGCD ( 756; 441) = 63 .
Si on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, alors on obtient une
756 63 × 12 12
12
Donc :
=
=
, et
est irréductible.
441 63 × 7
7
7
3) Calcul de D :
756 19
+
441 21
12 19
D= +
7 21
36 19
D=
+
21 21
55
D=
.
21
D=
(Amérique du Sud 2005)
1) a) Reproduire le tableau ci-dessous et compléter chaque case par oui ou non :
2
5
9
1 035 est divisible par
774 est divisible par
774
322
et
sont-elles irréductibles ? Pourquoi ?
1035
774
322
2) Calculer le PGCD de 322 et 1 035 par la méthode de votre choix. La fraction
est-elle irréductible ?
1035
b) D’après ce tableau, les fractions
Correction :
1) a) Tableau :
2
5
9
1 035 est divisible par
non
oui
oui
oui
non
oui
oui
non
non
2) Les nombres 774 et 1 035 sont divisibles par 9, donc ne sont pas premiers entre eux : la fraction
774
n’est
1035
donc pas irréductible.
Les nombres 322 et 774 sont divisibles par 2, donc ne sont pas premiers entre eux : la fraction
pas irréductible.
322
n’est donc
774
2) Déterminons le PGCD de 322 et 1 035 en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
1 035
322
69
322
69
46
69
46
23
46
23
0
Donc : PGCD ( 322;1035) = 23 .
PGCD ( 322;1035 ) ≠ 1 , donc les nombres 322 et 1 035 ne sont pas premiers entre eux : la fraction
322
n’est
1035
donc pas irréductible.
1) Déterminer le PGCD des nombres 408 et 578.
408
2) Ecrire
sous la forme d’une fraction irréductible.
578
Correction :
1) Déterminons le PGCD de 408 et 578 en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
578
408
170
408
170
68
170
68
34
68
34
0
Donc : PGCD ( 408;578) = 34 .
2) Si on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, alors on obtient une
408 34 ×12 12
12
Donc :
=
=
, et
est irréductible.
578 34 × 17 17
17
(Groupe Nord 2006)
1) Calculer le PGCD de 1 911 et 2 499 en précisant la méthode utilisée.
2 499
2) Ecrire sous forme irréductible la fraction
. On indiquera le détail des calculs.
1911
Correction :
1) Déterminons le PGCD de 1 911 et 2 499 en appliquant l’algorithme d’Euclide :
Dividende
Diviseur
Reste
2 499
1 911
588
1 911
588
147
588
147
0
Donc : PGCD (1911; 2 499 ) = 147 .
2 499 147 × 17 17
17
Donc :
=
=
, et
est irréductible.
1911 147 × 13 13
13
1) Les nombres 288 et 224 sont-ils premiers entre eux ? Expliquer pourquoi.
2) Déterminer le PGCD de 288 et 224.
224
3) Ecrire la fraction
sous forme irréductible.
288
4) Un photographe doit réaliser une exposition en présentant ses œuvres sur des panneaux contenant chacun le
même nombre de photos de paysage et le même nombre de portraits. Il dispose de 224 photos de paysage et de
228 portraits.
a) Combien peut-il réaliser au maximum de panneaux en utilisant toutes les photos ?
b) Combien chaque panneau contient-il de paysages et de portraits ?
Correction :
1) Les nombres 288 et 224 sont divisibles par 2 : ils ne sont donc pas premiers entre eux.
2) PGCD de 288 et 224 :
Dividende
Diviseur
Quotient
Reste
288
224
1
64
224
64
3
32
64
32
2
0
Donc : PGCD ( 288; 224 ) = 32 .
224 32 × 7 7
7
=
Donc :
= , et
est irréductible.
288 32 × 9 9
9
4) a) Nombre de panneaux :
Puisque le photographe doit utiliser ses 224 photos de paysage et ses 288 portraits que les panneaux doivent
contenir le même nombre de photos de paysage et le même nombre de portraits, le nombre de panneaux
cherché doit diviser 224 et 288 : c’est donc un diviseur commun à 224 et 288.
Le nombre maximal de panneaux que le photographe peut ainsi réaliser est donc le plus grand diviseur commun
à 224 et 288.
D’après la question 2, le photographe pourra ainsi réaliser au maximum 32 panneaux.
b) Composition de chaque panneau :
224 ÷ 32 = 7 et 288 ÷ 32 = 9 .
Chaque panneau sera constitué de 7 photos de paysage et 9 portraits.

3ème - Arithmétique

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