A22-TD - syscope.net

G. Pinson - Physique Appliquée
Régulateur PID
A22-TD/1
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A22-1- Action proportionnelle et intégrale.
Vs
du correcteur PI ci-dessous.
Ve
En remplaçant jω par p, montrer que cette expression s'écrit en notation de Laplace :
1-1) Etablir l'expression de la fonction de transfert T( jω) =
T=

Vs
1 
= Ki 1+

Ve
 τi p 
En déduire les expressions de Ki et τi en fonction de R1 , R2 , et Ci .
t
U
1-2) Sachant que, en notation de Laplace, U 2 = 1 ⇔ u2 = ∫ 0 u1.dt , en déduire l'équation
p
différentielle qui lie v s (t) à v e(t).
1-3) En déduire l'expression de v s (t) pour t ≥ 0 si on applique à l'entrée un échelon de tension :
t < 0 : ve = 0 et vs = 0

 t ≥ 0 : ve = E
+
1-4) Calculer v s (0 ) et v s (τi ).
1-5) Pour le correcteur PI étudié, la réponse à un échelon a donné le résultat tracé ci-dessous.
Mesurer Ki et τi en utilisant les résultats du 1-4. En déduire les valeurs numériques de R1 et R2 .
V
vs
20
10
0
ve
-10
- 10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
ms
1-6) Tracer le diagramme asymptotique de la courbe de gain dans le plan de Bode.
1-7) Pour limiter le gain en basse fréquence, on ajoute une résistance ri en parallèle sur le circuit
R2 Ci . Calculer ri pour limiter ce gain à 48 dB en CC. Jusqu'à quelle fréquence cette limitation agitelle ?
ISBN 2-9520781-1-4
http://www.syscope.net
EAN 9782952078115
G. Pinson - Physique Appliquée
Régulateur PID
A22-TD/2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A22-2- Action proportionnelle et dérivée.
2-1) Etablir l'expression de la fonction de transfert T( jω) du correcteur PD ci-dessous.
En remplaçant jω par p, montrer que cette expression s'écrit en notation de Laplace :
T=
Vs
= Kd (1+ τd p)
Ve
En déduire les expressions de Kd et τd en fonction de R3 , R4 , et Cd .
2-2) Sachant que, en notation de Laplace, U 2 = pU 1 ⇔ u2 =
du1
, en déduire l'équation
dt
différentielle qui lie v s (t) à v e(t).
2-3) En déduire l'expression de v s (t) si on applique à l'entrée une rampe telle que : v e(t) = at.
+
2-4) Calculer v s (0 ) et v s (τd ).
2-5) Pour le correcteur PD étudié, la réponse à une rampe a donné le résultat tracé ci-dessous.
Mesurer Kd et τd en utilisant les résultats du 2-4. En déduire les valeurs numériques de R3 et R4 .
V
vs
20
10
0
ve
-10
- 10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
ms
2-6) Tracer le diagramme asymptotique de la courbe de gain dans le plan de Bode.
2-7) Pour limiter le gain en haute fréquence, on insère une résistance rd << R3 en série avec Cd .
Calculer rd pour limiter ce gain à 48 dB en HF.
A partir de quelle fréquence cette limitation agit-elle ?
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G. Pinson - Physique Appliquée
Régulateur PID
A22-TD/3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A22-3- Action PID.
3-1) Etablir l'expression de la fonction de transfert T( jω) =
Vs
du correcteur PID ci-dessous
Ve
(structure "mixte").
En remplaçant jω par p, montrer que cette expression s'écrit en notation de Laplace :


V
1
T = s = K1+
+ Td p
Ve
 Ti p

3-2) En déduire l'équation différentielle qui lie v s (t) à v e(t).
3-3) Calculer les valeurs numériques de Ti , Td , K.
3-4) En déduire l'expression de v s (t) si on applique à l'entrée une rampe telle que : v e(t) = at.
∞
A22-4- Correcteur PI non inverseur
1) a) Quel est le régime de fonctionnement de l'AOP ?
Quelle relation y a-t-il entre Ve et Vk ?
b) Exprimer Vk en fonction de Vs . En déduire
V
l'expression de la fonction de transfert T( jω) = s
Ve
c) En remplaçant jω par p, montrer que cette expression
V
1
s'écrit en notation de Laplace : T = s = 1+
Ve
τp
Préciser l'expression de τ en fonction de R et C.
2) Sachant que, en notation de Laplace, U 2 =
U1
⇔ u2 =
p
C = 1µF
Ve
Vs
Vk
R
∫ u1.dt , en déduire l'équation différentielle
qui lie v s (t) à v e(t).
3) a) En déduire l'expression de v s (t) pour t ≥ 0 si on applique à l'entrée un échelon de tension :
t < 0 : ve = 0 et vs = 0

 t ≥ 0 : ve = E
+
b) Calculer v s (0 ) et v s (τ).
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Régulateur PID
A22-TD/4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
REPONSES
A22-1- Correcteur PI


1
R2 +


jCiω
1+ jR2Ciω
R2 1+ jR2Ciω
R2 
1 
1-1) T = −
=−
=−
=−
1+
R1
jR1Ciω
R1 jR2Ci ω
R1 
jR2Ci ω 


Ki 
τi


V
1 
KiVe
Ki t
1-2) T = s = Ki 1+
⇒
V
=
K
V
+
⇒
v
=
K
v
+

∫ v dt
s
i e
s
i e
Ve
τi p
τi 0 e
 τi p 
1-3) On suppose que pour t < 0, v e et v s sont nulles :

Ki t
v
dt
∫ e  ⇒ v s = Ki E + Ki Et
τi 0
τi

t ≥ 0 : ve = E

v s = Kive +
+
1-4) v s (0 ) = Ki E ; vs (τi ) = 2Ki E
+
1-5) On lit : E = – 1 V et v s (0 ) = 10 V = Ki E donc Ki = – 10
Puis on reporte sur le graphe : 2Ki E = 20 V = v s (τi ) ⇒ on lit : τi = 100 ms
τ
0,1
Enfin
on
calcule
:
τi
=
R2 Ci
⇒
R2 = i =
=100 kΩ
Ci 1.10−6
Ki = −
et
R2
R
1.105
⇒ R1 = − 2 = −
=10 kΩ
R1
Ki
−10
1-6) G = 20log T = 20log Ki
1+ jτi ω
= 20log Ki
jτiω
+ 20log
20 log 10=20 dB
1
+ 20log1+ jτiω
jτiω
diagramme de
1
la fonction
jx
diagramme de
la fonction 1+ jx
On trace le diagramme asymptotique de gain, qui est la somme des diagrammes des trois fonctions
élémentaires :
GdB
T(jω)
1/jτi ω
+ 6dB/octave
fi =
1
=1,6 Hz
2πτi
T( jω) = Ki
1+jτi ω
0
1
(1+ jτiω)
jτ i ω
+20logKi
fi
f (log)
– 6dB/octave
1-7) En courant continu, le condensateur ne conduit pas. Le gain du montage est donc celui d'un
amplificateur inverseur classique :
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Régulateur PID
A22-TD/5
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ri
R2
ve
Ci
R1
∞
vs
48
r
r
G = 20log i = 48 ⇒ i = 10 20 = 251 ⇒ ri = 251.10000 ≈ 2,5 MΩ
R1
R1
Cette résistance ri n'agira qu'en très basse fréquence, en deça d'une fréquence de coupure fc . Comme
on le voit sur le diagramme, le calcul s'effectue en considérant que l'on doit avoir l'égalité :
ri
1
R
1
r
R
1
≈ 20log Ki + 20log
= 20log 2 + 20log
soit : i = 2 .
R1
jτiω
R1
τi 2πfc
R1 R1 τ i 2πf c
1
f
R
Or fi =
, donc, en simplifiant par R1 : ri = R2. i ⇒ fc = fi 2 , soit fc ≈ fi /25 ≈ 0,064 Hz
2πτ i
fc
ri
G = 20log
GdB
T(jω)
48 dB
+20logKi
0
fc
fi
f (log)
A22-2- Correcteur PD
2-1) T = −
R4
1
1
+ jCdω
R3


 1

R4 

= −R4 + jCd ω = − 1+ jR3Cd ω
R3 
 R3


τd


Kd
Vs
dv
= Kd (1+ τd p) ⇒ Vs = KdVe + Kd τ d pVe ⇒ v s = Kd ve + Kd τd e
Ve
dt
dv 
v s = Kd ve + Kd τd e 
2-3)
dt  ⇒ v s = Kd at + Kd τ d a

t ≥ 0 : ve = at
2-2) T =
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Régulateur PID
A22-TD/6
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
2-4) v s (0 ) = Kd τd a ; v s (τd ) = 2Kd τd a
+
2-5) On lit : a = – 100 V/s et v s (0 ) = 10 V = Kd τd a donc Kd τd = – 0,1 s
Puis on reporte sur le graphe : 2Kd τd a = 20 V = v s (τd ) ⇒ on lit : τd = 100 ms
On en déduit : Kd = – 1
Enfin on calcule : τd = R3 Cd
τ
0,1
R
⇒ R3 = d =
=1 MΩ et Kd = − 4 ⇒ R4 = −Kd R3 = −(−1)1 = 1 MΩ
−6
Cd 0,1.10
R3
2-6) G = 20log T = 20log Kd (1+ jτdω) = 20log Kd + 20log1+ jτ d ω
20 log 1=0 dB
diagramme de
la fonction 1+ jx
D'où le diagramme indiqué ci-dessous :
GdB
fd =
T( jω) = Kd (1+ jτ d ω)
T(jω)
1+jτd ω
0
1
=1,6 Hz
2πτ d
+6dB/octave
+20logKd
fd
Kd = 1⇒ ici, 20 log Kd = 0
f (log)
2-7) En HF, l'impédance du condensateur tend vers 0. Le gain du montage est donc celui d'un
amplificateur inverseur classique. Comme rd << R3 , on peut négliger R3 qui est en parallèle avec rd :
R3
ve
rd
R4
Cd
vs
∞
48
R
R
G = 20log 4 = 48 ⇒ 4 = 10 20 = 251 ⇒ rd =1.000.000 / 251 ≈ 4 kΩ
rd
rd
Cette résistance rd n'agira qu'en très haute fréquence, au delà d'une fréquence f'c telle que :
R
R
G = 20log 4 ≈ 20log Kd + 20 log jτdω = 20log 4 + 20log τ d 2πfc′ ⇒
rd
R3
R4 R4
R 1
≈
.τd 2πf c′ ⇒ f c′ = 3
rd
R3
rd 2πτ d
1
R
Or f d =
, donc fc′ = fd 3 soit, numériquement, f'c ≈ fd .250 ≈ 400 Hz
2πτ d
rd
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Régulateur PID
A22-TD/7
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GdB
48 dB
0
fd
f’c
A22-3- Correcteur PID


V
1
KVe
K
3-1) T = s = K1+
+ Td p ⇒ Vs = KVe +
+ KTd pVe ⇒ vs = Kve +
Ve
Ti p
Ti
 Ti p

t
∫ vedt + KTd
0
dve
dt
3-2) On reconnaît le schéma d'un sommateur inverseur, donc la FT du PID est la somme des FT des
correcteurs PI et PD :






 

1 
Ki
1 1
Kd

T = − Ki 1+
+
τ d p
 + Kd (1+ τ d p) = ( Ki + Kd ) 1+


Ki + K d τi p Ki + K d
  τi p 

−K


1
Td


Ti




 K = −(Ki + Kd ) =10 +1 = 11

K + Kd
11
Soit, par identification : Ti = i
τi = 0,1=110 ms
Ki
10


Kd
1
Td = K + K τ d = 11 0,1 ≈ 9,1 ms
i
d
On remarque qu'il n'est pas possible de régler Ti et Td indépendamment, ce qui constitue un
inconvénient de ce type de shéma.
3-3) On suppose que pour t < 0, v e et v s sont nulles :
K t
dve 
v s = Kve +
v
dt
+
KT
1K 2
∫ e
d
at + KTd a
Ti 0
dt  ⇒ vs = Kat +
2 Ti

t ≥ 0 : ve = at

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G. Pinson - Physique Appliquée
Régulateur PID
A22-TD/8
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A22-4
1) AOP en régie de fonctionnement linéaire car boucle de contre-réaction entre la sortie et l'entrée (-).
Donc Ve = Vk


Ve =Vk


R
V
1+ jRCω
1
Vk =
V s ⇒ T = s =
=1+
1
Ve
jRCω
jτω

R+
jCω 

τ = RC
Vs
1
V
1
=1+
⇒ Vs = Ve + e ⇒ vs (t) = ve (t) + ∫ ve (t ).dt
Ve
τp
τp
τ
E
ve (t) = E ⇒ vs (t )t> 0 = E + t ⇒ vs (0+ ) = E ; vs (τ) = 2E
τ
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∞
C = 1µF
Ve
Vs
Vk
R
vs
ve
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