1 Quantification non perturbative, topologie et théories de jauge

Propositions de sujets de mémoires 2008-2009
Equipe du Professeur Jan GOVAERTS
Promoteur:
Jan Govaerts (E-mail: [email protected])
Doctorants:
Bruno Bertrand (UCL), Ousman Samary Dine (ICMPA-UNESCO, Univ. Abomey-Calavi, Bénin),
Calvin Matondo-Bwayi (Univ. de Kinshasa, Kinshasa, Rép. Dém. du Congo), Olivier Mattelaer
(UCL)
Visiteurs (à partir de septembre 2008):
Seán Murray (Postdoctorant PAI), Victor Villanueva (Séjour sabbatique, Univ. de Michoacana,
Mexique)
Collaborateurs extérieurs:
International UNESCO Chair in Mathematical Physics and Applications (ICMPA-UNESCO),
Université d’Abomey-Calavi, Bénin: Gabriel Avossevou, M. Norbert Hounkonnou
National Institute for Theoretical Physics, Stellenbosch Institute for Advanced Study, University
of Stellenbosch; African Institute for Mathematical Sciences, Afrique du Sud: Joseph Ben Geloun,
Hendrik B. Geyer, Laure Gouba, Frederik G. Scholtz
University of New South Wales, Sydney, Australie: Chris Hamer
University of Tasmania, Hobart, Australie: Peter D. Jarvis
University of Zambia, Lusaka, Zambie: Habatwa Mweene
Université de Lomé, Lomé, Togo: Antoine Sodoga
En fonction d’intérêts pouvant être exprimés par les étudiants, ainsi que de développements dans les programmes de recherche en cours, divers sujets couvrant une gamme allant de la phénoménologie des particules
et des interactions fondamentales jusqu’à des problèmes de caractère réellement théorique ou de physique
mathématique peuvent être proposés et envisagés, aussi après discussion. Afin d’être explicite, voici quelques
exemples d’axes possibles d’investigation, nécessitant plus d’explications que ces quelques lignes cependant.
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Quantification non perturbative, topologie et théories de jauge
Dans un développement récent avec C. Matondo, nous avons établi comment il est possible de quantifier de
manière non perturbative la formulation de tout système dynamique Hamiltonien en terme de ses variables
d’action-angle lorsque cette transformation intégrable classique est connue (ce qu’il est toujours possible
d’accomplir tout au moins de manière numérique). Il s’agit en quelque sorte d’une extension non perturbative
et exacte à tous les ordres en ~ de la célèbre règle de quantification semi-classique de Bohr-Sommerfeld si
largement utilisée dans la théorie des solutions de type soliton, et de manière plus générale des solutions
topologiques de théories de champs non linéaires classiques, l’exemple par excellence de telles théories étant
les théories de jauge. De nombreuses avenues d’application et d’étude de ce résultat original, au-delà de
systèmes à un seul degré de liberté, comme par exemple la comparaison de cette approche à celle basée
sur des techniques de supersymétrie permettant la construction de larges classes de systèmes quantiques
intégrables, ou encore une extension à des théories intégrables de champs classiques non linéaires à 1+1
dimensions d’espace-temps, s’offrent maintenant comme domaines de généralisation et de mise en œuvre de
ces résultats.
Cette approche se greffe également à la problématique de la quantification non perturbative de théories
de jauge et du problème de confinement dans les théories de jauge de type Yang-Mills couplées à des champs
de matière.
Divers thèmes peuvent être proposés dans cette perspective fort vaste et générale, allant des problèmes
de physique mathématique ainsi soulevés jusqu’à l’ambition de développer des approximations non pertubartives nouvelles aux théories de jauge abéliennes de type électrodynamique quantique, voire le cas non
abélien de théories de type de la chromodynamique quantique basées sur des groupes tels SU(2), SU(3), voire
SU(n). Quelques exemples en sont donnés ici, mais bien d’autres, moins ambitieux, sont également possibles.
1
1.1
Topologie, dualités et dynamique non perturbative de théories de Yang-Mills
L’idée que la dynamique non perturbative responsable du confinement dans les théories de Yang-Mills puisse
trouver son origine principalement dans un secteur purement topologique des configurations des champs de
jauge gagne de plus en plus du terrain. Par exemple dans le cas des théories de Yang-Mills pures, il est
possible de donner une expression covariante de Lorentz à la formulation Hamiltonienne de ces théories telle
que certaines limites formelles et naı̈ves dans le couplage de jauge, en particulier un couplage infini, réduisent
la dynamique à celle d’une théorie purement topologique et pourtant retenant un secteur non perturbatif de
la théorie initiale. Ce programme vient d’être réalisé explicitement et de manière proprement définie dans des
théories de jauge alternatives à celles de Yang-Mills, tout au moins dans le cas abélien, à savoir les théories
de jauge topologiquement massives. Dans le cadre de sa thèse de doctorat, B. Bertrand poursuit l’étude de
ces dernières théories maintenant couplées à divers champs de matière, cherchant à exploiter l’existence du
secteur purement topologique et non perturbatif afin de mettre en place une approche par approximation à
la dynamique non perturbative de ces théories de jauge.
Diverses avenues d’exploration complémentaires s’ouvrent ainsi. Dans le cas des théories de Yang-Mills
non abéliennes dans leur formulation Hamiltonienne covariante, il est possible d’introduire des couplages
additionnels et pourtant à la fois invariants de jauge et de Lorentz, conduisant à des extensions de ces
théories de Yang-Mills y compris QCD basé sur le groupe SU(3). Il serait intéressant de comprendre les
propriétés de renormalisation de ces extensions à QCD, et de les confronter aux résultats expérimentaux
(à commencer par exemple par le calcul des fonctions beta et la question de leur liberté asymptotique).
Une question alternative est l’étude des déformations que ces extensions impliquent pour les solutions non
perturbatives classiques euclidiennes de type instanton.
Une autre avenue est d’exploiter les propriétés de dualités identifiées au travers des travaux cités plus
haut, à savoir l’équivalence physique de théories a priori différentes mais reliées par des transformations de
champs, dans le contexte de certaines de ces classes de théories maintenant couplées à des champs scalaires
à une ou deux dimensions d’espace, et offrant ainsi une formulation duale au célèbre mécanisme de masse
de Higgs. Bien souvent ces théories possèdent des solutions de type soliton ou instanton, parfois avec des
propriétés très spécifiques pour certaines valeurs de leurs couplages associées à l’existence inhérente de supersymétries, et il serait intéressant de comprendre comment ces solutions et propriétés se manifestent dans
la théorie duale. Bien que la thèse de B. Bertrand reponde déjà à certaines de ces questions, une analyse
générale reste à accomplir.
Références:
1. J. Govaerts, Topological Quantum Field Theory and Pure Yang-Mills Dynamics, Proceedings of the
Third International Workshop on Contemporary Problems in Mathematical Physics, 1st -7th November 2003,
Cotonou (Republic of Benin), eds. J. Govaerts, M. N. Hounkonnou and A. Z. Msezane (World Scientific,
Singapore, 2004), pp. 273-293 [e-print: arXiv:hep-th/0408023].
2. B. Bertrand and J. Govaerts, Gauge Invariant Factorisation and Canonical Quantisation of Topologically
Massive Gauge Theories in Any Dimension, J. Phys. A40 (2007) 9609 - 9634 [e-print: arXiv:0704.1512
[hep-th]].
3. B. Bertrand and J. Govaerts, Topologically Massive Gauge Theories and their Dual Factorised Gauge
Invariant Formulation, J. Phys. A40 (2007) F979 - F986 [e-print: arXiv:0705.3452 [hep-th]].
1.2
Topologie et dynamique non perturbative en électrodynamique quantique à 2+1
dimensions
Dans l’esprit du programme évoqué plus haut, une étude détaillée de l’électrodynamique quantique pour une
saveur d’électron de masse nulle à 2+1 dimensions et pour un espace compactifié possédant les topologie et
géométrie d’un tore a été entamée il y a quelque temps en collaboration avec Florian Payen. Une factorisation
invariante de jauge des degrés de liberté bosoniques et fermioniques perturbatifs de la théorie a été réalisée,
laissant encore à imposer les restrictions sur les états quantiques, dans une approche de quantification canonique par opérateurs, des “grandes” symétries de jauge non triviales pour une telle topologie de l’espace. C’est
dans ce secteur que résident les degrés de liberté purement topologiques du champ de jauge qui seraient a
priori responsables du confinement attendu dans cette théorie. En ce point spécifique ce système partage
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de nombreuses analogies avec des systèmes collectifs de fermions en matière condensée, comme par exemple
pour les modèles microscopiques de supraconductivité de type BCS ou encore l’effet Hall quantique.
L’objet du travail serait de mener à sa conclusion ce travail dans ce qui en fait le point central mais
également le plus difficile, dans un premier temps tout au moins pour des conditions au bord topologiques
triviales dans le secteur de jauge. En cela, il rejoint également les préoccupations poursuivies par B. Bruno
autour des problématiques évoquées dans le point précédent. Un aboutissement quand bien même dans
une approche par approximation incluant ces aspects non perturbatifs constituerait un résultat non trivial,
fort intéressant et original, ouvrant sans doute la voie à une approche semblable pour l’électrodynamique
quantique non perturbative à 3+1 dimensions, à savoir la théorie de QED ordinaire. Un tel résultat fournirait
également une alternative intéressante à un travail célèbre de A. Polyakov portant sur QED à 2+1 dimensions
mais déformé en une théorie de type Higgs dans laquelle un secteur d’instantons devient responsable du
confinement. D’autres approches existent encore, comme les théories sur réseau, mais elles partagent toutes
de déformer la théorie initiale de QED en une théorie se rapprochant soit du modèle de Higgs avec un secteur
d’instantons, soit avec plusieurs saveurs de fermions. A strictement parler une quantification non perturbative
de QED per se est encore à construire. S’il aboutit, ce projet en fournira une première réalisation non triviale,
et une extension à 2+1 dimensions de la célèbre solution du modèle de Schwinger, à savoir QED de masse
nulle à 1+1 dimensions.
1.3
Fermions et solitons dans les théories de Yang-Mills non-abéliennes à deux dimensions
L’électrodynamique quantique de masse nulle à 1+1 dimensions, à savoir le modèle de Schwinger, est un des
rares exemples d’une théorie quantique de champs en interaction possédant une solution non perturbative
analytique exacte. Le cas des théories de Yang-Mills non abéliennes, par contre, échappe encore à une telle
solution, sauf dans la limite d’un nombre infini de couleurs N pour le groupe de jauge SU(N ). Cependant,
le secret de la résolution du modèle de Schwinger réside dans une procédure de bosonisation du fermion de
Dirac de masse nulle, en terme de configurations de type soliton dans la théorie bosonisée. Or, pour la théorie
SU(2), tout au moins au niveau classique par une transformation canonique de type action-angle précisément,
il existe des solutions explicites représentant le doublet de fermions comme des solutions solitons, offrant ainsi
peut-être la possibilité d’une bosonisation non triviale de QCD à deux dimensions au niveau quantique (de
telles solutions, moins explicites, existent pour tous les groupes SU(N )). L’objet de ce travail serait d’explorer
la possibilité de quantifier ces configurations soliton comme forme de bosonisation des quarks et d’étudier
leur utilité dans une approche non perturbative à QCD à deux dimensions d’espace-temps de Minkowski.
Référence:
R. de Mello Koch and J. Rodrigues, Classical Integrability of Chiral QCD in Two-Dimensions and Classical
Curves, Mod. Phys. Lett. A 12 (1997) 2445 [e-print: arXiv:hep-th/9701138]; The Dynamics of Classical
Chiral QCD in Two-Dimensional Currents, e-print: arXiv:hep-th/9708080.
1.4
Le problème de la constante cosmologique
La recherche de l’unification fondamentale des interactions et des particules est aujourd’hui confrontée à
une série de conflits de concepts entre les règles de la mécanique quantique et de la relativité restreinte
(théorie quantique de champs relativistes), d’une part, et celles de la relativité générale ou plus largement
toute formulation classique et relativiste de la gravitation au travers d’une géométrie courbe et dynamique
de l’espace-temps, d’autre part. Parmi ces problèmes, celui de la constante cosmologique en constitue un
exemple par excellence. Récemment, un éclairage nouveau a été apporté à ce problème en considérant des
systèmes de mécanique quantique quelconques couplés à la gravitation à une dimension (le temps). En
effectuant de manière adéquate la quantification de tels systèmes, il apparaı̂t que la constante cosmologique
est alors quantifiée. La question se pose donc d’étendre une telle approche à des dimensions supérieures.
Le but du travail consisterait à poursuivre cette étude, entamée il y a quelques temps déjà mais laissée en
suspend depuis, pour une théorie de champs, par exemple de champs scalaires pour commencer, couplés à la
gravitation à 1+1 dimensions, et de comprendre à quel type de restriction une quantification s’affranchissant
des difficultés inhérentes à toute fixation de la symétrie de jauge conduit pour la constante cosmologique.
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La construction des modes propres des équations du mouvement a essentiellement été complétée.
Leur quantification canonique au travers de techniques de symétries conformes à 1+1 dimensions reste
à être élaborée de manière complète et cohérente, afin d’étudier l’algèbre quantique des contraintes des
difféomorphismes. Il s’agit d’étendre à ce cadre plus général des résultats standards de la théorie quantique
des cordes. Les résultats escomptés, à savoir une restriction sur la valeur de la constante cosmologique en
fonction du nombre et de la nature des champs de matière afin d’assurer la cohérence quantique des symétries
de jauge de la gravitation, donneraient un éclairage nouveau au problème de la constante cosmologique. Ils
montreraient qu’il est indispensable d’inclure dans ces considérations également les fluctuations quantiques du
champ de gravitation outre celles des champs de matière, alors que jusqu’ici seuls ces derniers sont considérés
et conduisent alors à ce célèbre problème. Les résultats attendus pourraient également être d’intérêt pour la
théorie des cordes, ouvrant la voie à de nouvelles constructions avec des surfaces d’univers courbées et non
plus invariantes conformes, en particulier dans un espace-temps de dimension quatre le cas échéant.
Référence:
J. Govaerts, The Cosmological Constant of One-Dimensional Matter Coupled Quantum Gravity is Quantised, Proceedings of the Third International Workshop on Contemporary Problems in Mathematical Physics,
November 1st –7th , 2003, Cotonou (Republic of Benin), eds. J. Govaerts, M. N. Hounkonnou and A. Z. Msezane
(World Scientific, Singapore, 2004), pp. 244 – 272 [e-print: arXiv:hep-th/0408022].
1.5
Facteurs de Chan-Paton et quantification de la particule topologique sur des groupes
de Lie compacts
En théories des cordes relativistes ouvertes, les charges quantiques des interactions de jauge de type YangMills sont introduites “à la main” au travers des célèbres facteurs de Chan-Paton. Récemment, il a été montré
par Florian Payen de quelle manière des degrés de liberté additionnels peuvent être couplés à la théorie des
cordes de manière à introduire de manière cohérente de tels nombres quantiques non abéliens. Ces degrés de
liberté additionnels correspondent à une particule purement topologique associée à la variété du groupe de
Lie compact à réaliser, alors que toutes les tentatives disponibles jusqu’ici ne pouvaient rendre compte que
de la partie abélienne du groupe de jauge. Or la quantification de tels systèmes de particules topologiques
sur des variétés de groupes de Lie compacts a été réalisée dans le mémoire de licence de Yannick Voglaire
(Y. Voglaire, Quantification de particules topologiques avec symétrie, Mémoire de Licence UCL, juin 2005).
L’objet du travail consiste donc en la quantification explicite de la formulation de F. Payen des théories
de cordes avec symétries de Yang-Mills en terme de particules topologiques définies sur des groupes de Lie
compacts.
Référence:
F. Payen, An Action for Chan-Paton Factors, Phys. Lett. B 654 (2007) 121–126 [e-Print: arXiv:0708.0888
[hep-th]].
1.6
Approche modale à la théorie quantique des champs
A quatre dimensions, essentiellement la seule approche existante à la théorie quantique des champs est celle
perturbative, et il est difficile d’obtenir des résultats non perturbatifs, comme par exemple pour tout ce qui
touche au problème des états liés dans une théorie quantique des champs en interaction. Récemment, une
nouvelle approche non perturbative a été proposée, dans laquelle les champs sont tout d’abord développés
en harmoniques sphériques, chacun des modes radiaux ainsi obtenus étant alors quantifié. A priori, cette
approche est de nature non perturbative, et est complémentaire aux approches habituelles. Le projet consisterait à explorer le potentiel de l’approche modale à la théorie quantique des champs pour ce qui concerne le
difficile problème des états liés en théorie des champs, en commençant par l’appliquer à des situations plus
simples pour des champs scalaires uniquement par exemple, possédant des auto-interactions non linéaires de
type potentiel de Higgs, ou encore en se restreignant aux ondes S uniquement pour des théories de Yang-Mills
abéliennes et non abéliennes à d + 1 dimensions, en cherchant à exploiter des situations à 1+1 dimensions
où des solutions exactes non perturbatives sont connues. L’éventuelle relation d’une telle approche non perturbative aux solutions de type Q-ball de théories non linéaires de champs scalaires et de Yang-Mills serait
également intéressante.
4
Références:
1. N. Salwen, Nonperturbative Methods in Modal Field Theory, e-print arXiv:hep-lat/0212035;
N. Salwen and D. Lee, Modal Expansions and Nonperturbative Quantum Field Theory in Minkowski Space,
Phys. Rev. D 62 (2000) 025006.
2. S. Coleman, Classical Lumps and their Quantum Descendents, in Aspects of Symmetry (Cambridge
University Press, Cambridge, 1985).
3. R. Jackiw, Quantum Meaning of Classical Field Theory, Reviews of Modern Physics 49 (1977) 681.
4. S. Coleman, Q Balls, Nucl. Phys. B 262 (1985) 263; Erratum: ibid. B 269 (1986) 744;
A. Safian, S. R. Coleman and M. Axenides, Some Nonabelian Q Balls, Nucl. Phys. B 297 (1988) 498;
M. Deshaies-Jacques, R. MacKenzie, Q-balls in Maxwell-Chern-Simons Theory, Phys. Rev. D 74 (2006)
025006 [e-print: arXiv:hep-th/0604036];
M. Deshaies-Jacques, R. MacKenzie, Maxwell-Chern-Simons Q-Balls, e-print arXiv:hep-th/0606258, 6
pages (June 2006).
1.7
Extensions auto-adjointes d’opérateurs differentiels
En mécanique quantique, les observables physiques sont associées à des opérateurs auto-adjoints. Cependant
lorsque l’espace de configuration est borné, et donc par extension également lorsque l’espace de configuration
n’est pas borné comme dans le cas de la ligne réelle, des opérateurs différentiels symétriques ou hermitiens
ne sont pas nécessairement auto-adjoints. Au travers d’une identification précise de l’espace des fonctions
sur lesquels ces opérateurs agissent, par exemple au travers d’un choix particulier de conditions aux bords,
des extensions auto-adjointes peuvent être construites. Il existe une approche générale à ce problème basée
sur la théorie des indices de déficience de von Neumann. Cependant dans un article récent ces questions
sont discutées d’une manière intuitivement et physiquement plus transparente, au travers d’exemples sur un
intervalle fini.
L’objet du travail est d’appliquer des considérations semblables au mouvement d’une particule libre sur
un disque annulaire, de rayons interne et externe finis, en prêtant une attention particulière également aux
aspects topologiques inhérents à une telle situation conduisant à un degré de liberté quantique d’holonomie
apparaissant pour la théorie des représentations de l’algèbre de Heisenberg pour une telle topologie. Au
travers de limites appropriées dans les rayons interne et externe, une discussion complète de la particule libre
sur le plan pointé ou avec un trou circulaire de rayon fini devient possible, en évitant les difficultés propres à
la normalisation singulière des états quantiques dans le plan. Dans ces limites, une relation directe peut être
établie avec le célèbre effet d’Aharonov-Bohm ainsi que ses états de diffusion, le tout basé sur une construction
cohérente et complète des opérateurs et états quantiques.
Référence:
1. G. Bonneau, J. Faraut and G. Valent, Self-Adjoint Extensions of Operators and the Teaching of Quantum
Mechanics, Am. J. Phys. 69 (2001) 322.
2. J. Govaerts and F. Payen, Topological Background Fields as Quantum Degrees of Freedom of Compactified
Strings, Mod. Phys. Lett. A 22 (2007) 119-130 [e-print: arXiv:hep-th/0608023].
3. J. Govaerts and V. M. Villanueva, Topology Classes of Flat U(1) Bundles and Diffeomorphic Covariant Representations of the Heisenberg Algebra, Int. J. Mod. Phys. A 15 (2000) 4903-4932 [e-print:
arXiv:quant-ph/9908014].
4. P. Giacconi, F. Maltoni and R. Soldati, On the Scattering Amplitude in the Aharonov-Bohm Gauge Field,
Phys. Rev. D 53 (1996) 952-959 [e-print: arXiv:hep-th/9509003].
5
2
2.1
Géométrie quantique et gravitation
Effet Hall quantique, géométrie non commutative et déformations de la mécanique
quantique
L’effet Hall quantique, à savoir le système constitué d’une particule chargée confinée à deux dimensions et
plongée dans un champ magnétique perpendiculaire, et ses diverses projections sur certains de ses sous-états
quantiques, ses extensions par des interactions additionnelles, ou encore ses diverses déformations dans les
algèbres quantiques associées à sa quantification, fournissent des laboratoires mathématiques d’exemples de
géométries non commutatives. Ces systèmes sont également en relation avec des systèmes dont l’Hamiltonien,
bien que non hermitien, possède un spectre de valeurs propres qui est purement réel. Ces diverses déformations
des structures ordinaires de géométrie et de mécanique quantique sont utilisées pour explorer des idées visant
à mieux comprendre comment réconcilier les concepts de la mécanique quantique en combinaison avec la
relativité restreinte, à savoir la théorie quantique des champs, et ceux de la théorie classique de la relativité
générale pour la gravitation, dans le but d’élaborer une théorie quantique de la gravitation incluant les trois
autres interactions fondamentales quantiques.
En fonction des intérêts pouvant être exprimés ainsi que du développement des travaux actuels dans le
groupe autour de ces idées, en relation, par exemple à ceux d’Olivier Mattelaer pour certaines déformations
de la mécanique quantique conduisant à des déformations de la théorie quantique des champs relativistes
s’affranchissant des difficultés des divergences ultra-violettes à courtes distances ou grandes énergies, il est possible de proposer diverses lignes d’investigations dans ce contexte général. Par exemple une extension n’offrant
sans doute pas de difficultés outre mesure pour un mémoire, pourrait être de construire les généralisations
supersymétriques aux diverses réalisations de l’effet Hall quantique en présence de divers champs externes
magnétique et électrique et de diverses topologies, voire même d’interactions additionnelles. L’étude des
symétries et de leur réalisation quantique au travers de leurs charges de Noether dans de telles situations
pourrait également être poursuivie. Les premières indications dans ce contexte sont certainement fort attrayantes.
Une autre possibilité est l’étude de l’effet Hall quantique en présence de la gravitation elle-même, un
projet pouvant offrir des applications en nanophysique, ainsi que dans la perspective d’un récent article sur
les puits de potentiels quantiques gravitationnels en présence d’un espace-temps non commutatif.
Une autre ligne d’étude pourrait concerner les déformations de la mécanique quantique considérées par
Olivier Mattelaer, et étudier comment celles-ci pourraient modifier, le cas échéant, l’évolution quantique de la
fonction d’onde de l’Univers dans un modèle de type mini-superspace du Big Bang, ou encore la dynamique
des modes d’énergie trans-Planckienne contribuant au rayonnement de Hawking des trous noirs.
Références:
1. J. Govaerts, On the Road Towards the Quantum Geometer’s Universe: An Introduction to FourDimensional Supersymmetric Quantum Field Theories, Proceedings of the Third International Workshop
on Contemporary Problems in Mathematical Physics, November 1st –7th , 2003, Cotonou (Republic of Benin),
eds. J. Govaerts, M. N. Hounkonnou and A. Z. Msezane (World Scientific, Singapore, 2004), pp. 94 – 150
[e-print: arXiv:hep-th/0408021].
2. F. G. Scholtz, B. Chakraborty, S. Gangopadhyay and J. Govaerts, Interactions and Non-commutativity in
Quantum Hall Systems, J. Phys. A 38 (2005) 9849-9858 [e-print: arXiv:cond-mat/0509331];
F. G. Scholtz, B. Chakraborty, J. Govaerts and S. Vaidya, On the Spectrum of the Non-Commutative
Spherical Well, J. Phys. A 40 (2007) 14581 - 14592 [e-print: arXiv:0708.XXXX [hep-th]];
J. Govaerts and F. G. Scholtz, The Weyl-Heisenberg Group on the Noncommutative Two-Torus: A Zoo of
Representations, J. Phys. A 40 (2007) 12415 - 12438 [e-print: arXiv:0706.3650 [hep-th]].
3. J. Ben Geloun, J. Govaerts and M. N. Hounkonnou, A (p, q)-Deformed Landau Problem in a Spherical
Harmonic Well: Spectrum and Noncommuting Coordinates, Europhysics Letters 80 (2007) 30001 (6 pages)
[e-print: arXiv:hep-th/0609120];
J. Ben Geloun, J. Govaerts and M. N. Hounkonnou, (p, q)-Deformations and (p, q)-Vector Coherent States
of the Jaynes-Cummings Model in the Rotating Wave Approximation, J. Math. Phys. 48 (2007) 032107
[e-print: arXiv:quant-ph/0610192].
4. J. Govaerts, P. D. Jarvis, S. O. Morgan and S. G. Low, Worldline Quantisation of a Reciprocally Invariant
6
System, J. Phys. A 40 (2007) 12095 - 12111 [e-print arXiv:0706.3736 [hep-th]].
5. K. H. C. Castello-Branco and A. G. Martins, Free-Fall in a Uniform Gravitational Field in Non-Commutative
Quantum Mechanics: on an Upper-Bound on θ and the “Quantum Galileo Experiment”,
e-print arXiv:0803.0981 [hep-th], 34 pages (March 2008).
2.2
L’expérience PVLAS et la non commutativité de l’espace-temps
L’expérience PVLAS (E. Zavattini et al., Experimental Observation of Optical Rotation Generated in Vacuum
by a Magnetic Field, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 110406), conçue pour mettre en évidence des effets
électromagnétiques indirects dus à l’existence des axions, a observé avec une amplitude inattendue la rotation
du plan de polarisation linéaire d’un faisceau laser se propageant dans un champ magnétique intense et
perpendiculaire au faisceau. Ce résultat, réfuté depuis par l’expérience elle-même, a conduit à un “déluge”
d’articles proposant des expériences complémentaires, des modèles alternatifs d’axions ou des explications
possibles de l’effet, car le domaine de paramètres nécessaire afin d’expliquer cette observation en terme
d’axions pour les modèles minimaux est depuis longtemps exclu par d’autres expériences directes et indirectes
ainsi que des arguments astrophysiques.
Une explication alternative possible ne nécessitant pas l’existence d’un axion, mais n’ayant pas encore
fait l’objet d’une étude approfondie dans la littérature, repose sur l’idée qu’il puisse exister à suffisamment
petite échelle une structure non commutative pour les coordonnées de l’espace-temps, conduisant à considérer
l’électrodynamique sur un tel espace-temps. Indépendamment de cette expérience, cette question mérite
d’être étudiée afin d’identifier d’éventuelles circonstances expérimentales propices à la mise en évidence d’une
échelle de non commutativité de l’espace-temps au travers de l’interaction électromagnétique. Une première
étude réalisée en 2005-2006 (V. Revello, Electrodynamique non commutative: Une analyse phénoménologique,
Mémoire de Licence UCL, juin 2006) a établi que le résultat de l’expérience PVLAS est en effet possible dans
un tel contexte, sans pourtant pouvoir fixer une valeur ou une limite supérieure pour le paramètre de non
commutativité. Cependant, en présence à la fois de champs électrique et magnétique externes et croisés, il
est a priori possible d’imaginer des scenarii expérimentaux semblables à l’expérience PVLAS, permettant le
cas échéant d’identifier un protocole expérimental intéressant. L’objet du travail proposé est de réaliser une
telle étude détaillée.
3
3.1
Phénoménologie des interactions
Désintégrations de l’électron et du proton dans un champ magnétique intense
Lorsque l’interaction effective d’une particule de spin 1/2 avec le champ électromagnétique inclut le couplage magnétique anomal, l’énergie associée à ce dernier, pour un champ magnétique suffisamment intense,
permet de compenser la différence dans les énergies de masse entre l’électron et le muon, ou le proton et
le neutron, rendant ainsi possible les désintégrations inverses de l’électron et du proton. Les valeurs du
champ magnétique nécessaires à de tels processus peuvent exister dans certaines étoiles à neutrons de type
“magstar”. Une première étape dans ce projet consisterait à calculer les taux de ces désintégrations dans
un champ magnétique homogène (en relation directe également avec le problème de Landau évoqué plus
haut, mais cette fois pour l’équation de Dirac elle-même). Ce résultat pourrait ensuite être utilisé dans les
équations d’équilibre thermodynamique des diverses saveurs leptoniques et baryoniques, modifiant le bilan
en énergie de tels systèmes, et conduire ainsi à des conséquences originales et d’un grand intérêt potentiel en
astrophysique.
Références:
1. D. Binosi and V. Pascalutsa, The Effect of Electromagnetic Fields on the Lifetime of Unstable Particles,
e-print arXiv:0704.0377 [hep-ph].
2. D. A. Dicus, W. Repko and T. M. Tinsley, Pair Production with Neutrinos in an Intense Background
Magnetic Field, Phys. Rev. D 76 (2007) 025005 (13 pages) [e-print: arXiv:0704.1695 [hep-ph]]; Erratum:
ibid. D 76 (2007) 089903 (1 page).
7
3.2
Corrections radiatives à la capture du muon sur le proton
Le facteur de forme pseudoscalaire du couplage du nucléon au courant axial électrofaible semi-leptonique
n’est connu qu’avec une précision toute grossière de quelques 17%. Pourtant ce paramètre fournit un des
tests importants de la dynamique non perturbative de QCD (Quantum Chromodynamics) au travers des
symétries chirales et de leur brisure explicite traitée au moyen de la théorie de perturbation. Ce couplage
a donc fait l’objet de nombreuses expériences, en particulier dans le contexte de la capture du muon sur
les noyaux, de préférence le proton seul. Mais ce n’est que tout récemment qu’une expérience réalisée au
Paul Scherrer Institute, Villigen, CH (MuCap Experiment, V. A. Andreev et al., Measurement of the Rate
of Muon Capture in Hydrogen Gas and Determination of the Proton’s Pseudoscalar Coupling, Phys. Rev.
Lett. 99 (2007) 032002 [e-Print: arXiv:0704.2072 [nucl-ex]]) a réussi la réelle prouesse d’une mesure sans
ambiguı̈té instrumentale ou expérimentale de la capture directe du muon sur le proton avec une précision de
2% pour le taux de capture, conduisant à une précision de 15% pour le couplage pseudoscalaire, alors que la
prédiction théorique pour ce dernier est précise à 3%. Ce premier résultat expérimental est en accord avec la
valeur attendue sur base de QCD.
L’expérience MuCap rentre ainsi dans sa phase finale d’une mesure du taux de capture de l’ordre du
pourcent, soit une valeur du couplage pseudoscalaire à 7%. Cependant ces précisions sont telles qu’il devient
indispensable de déterminer la valeur théorique des corrections radiatives pour le processus afin d’extraire
la valeur du couplage pseudoscalaire. Les deux évaluations disponibles (M. R. Goldman, Nucl. Phys. B
49 (1972) 621 ; A. Czarnecki, W. J. Marciano and A. Sirlin, Phys. Rev. Lett. 99 (2007) 032003 [e-Print:
arXiv:0704.3968 [hep-ph]]) sont en désaccord, et une évaluation indépendante alternative devient donc
nécessaire. Se basant sur une étude phénoménologique antérieure (J. Govaerts and J.-L. Lucio-Martinez,
Nucl. Phys. A 678 (2000) 110), il est proposé ici de réaliser l’évaluation des corrections radiatives au taux
de capture du muon sur le proton au niveau de précision nécessaire, à savoir de l’ordre d’une fraction du
pourcent.
3.3
Configurations de vortex entiers et demi-entiers dans la théorie de Ginzburg-HiggsLandau de la supraconductivité
La théorie effective de la supraconductivité de Ginzburg-Landau correspond au modèle de Higgs pour une
théorie de jauge U(1) avec brisure spontanée. Cette théorie possède des solutions de type vortex magnétiques
dont le flux est quantifié avec une valeur entière. Cependant, dans un espace de volume fini, il a été prédit
qu’il pourrait aussi exister des solutions d’énergie finie et de flux demi-entier, qui n’ont pas encore été étudiées
en détail. Il se fait que lorsque ces théories sont réduites à une seule dimension spatiale ayant la topologie
d’un cercle, il existe des solutions analytiques exactes de type soliton au niveau classique associées à ces
vortex entiers et demi-entiers. Le but du travail serait d’étendre l’étude de ces configurations dans un disque,
probablement à l’aide d’une approche principalement semi-analytique et numérique, afin de comprendre les
propriétés (existence, stabilité) des configurations demi-vortex en fonction de divers couplages apparaissant
dans le modèle de Ginzburg-Higgs-Landau à 1+2 dimensions.
Référence:
J. Govaerts, J. Phys. A 34 (2001) 8955 [e-print: arXiv:hep-th/0007112].
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