DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D`UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL.

TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal
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CORRIGÉ EXERCICE 1 : DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL. .............................. 1
CORRIGÉ EXERCICE 2 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE IV. ................................................................. 2
Exemple 2.1 : Poulies Redex. ......................................................................................................... 2
Exemple 2.2 : Boîtier de commande de raboteuse. ........................................................................ 3
CORRIGÉ EXERCICE 3 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE III. .................................................................. 4
Exemple 3.1 : Réducteurs ATV. ...................................................................................................... 4
CORRIGÉ EXERCICE 4 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE I. .................................................................... 5
Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant. .................................................................................... 5
Exemple 4.2 : Réducteur à 2 vitesses. ............................................................................................ 9
Vous devez être capable de déterminer la loi E/S en vitesse de trains épicycloïdaux selon 2 méthodes
différentes :
 par la cinématique graphique (voir exercice du treuil-palan),
 à l’aide de la relation de Willis.
Corrigé Exercice 1 : DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN
TRAIN ÉPICYCLOÏDAL.
Question 1 : Reprendre le train de type II du cours et compléter les tableaux suivants, représentant les
différentes configurations possibles de ce train.
Caractéristique du train épicycloïdal
Satellite
2
Porte Planétaire Planétaire
satellite
A
B
4
1
3
Relation de Willis
1/0  .3/0     1 .4/0  0
Raison de base du train

1/0
3/0  0
4/0
z
z
 ( 1)1. 2' . 3
z1 z2''
Utilisation possible
Pièce Pièce de Pièce
d’entrée
sortie fixe/bâti 0
Relation de Willis simplifiée avec e et s,
et en tenant compte de la pièce qui est fixe
Rapport de transmission : i 
e /0
1
3
4
e /0  .s /0  0
1
4
3
e /0     1 .s /0  0
3
1
4
s /0  .e/0  0
3
4
1
.e /0     1 .s /0  0
i 
e /0
4
1
3
s /0     1 .e /0  0
i 
e /0
4
3
1
.s /0     1 .e /0  0
i 
e /0
4, 3
1
MPSI-PCSI
i 
i 
s /0
e /0
s /0
i 
s /0
s /0
s /0
s /0

 1 
e /0
s /0
e /0

1


 1


1
1 


 1
s /0  .e1/0     1 .e2/0  0
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Corrigé Exercice 2 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE IV.
Exemple 2.1 : Poulies Redex.
(Selon le concours École de l’Air filière PSI 2004)
5
6
10
24
31
Satellite
Porte satellite
1er cas : on choisit
Planétaire A
Planétaire B
6, 10
5
2ème cas : on choisit
Planétaire A
Planétaire B
31
24
24
31
Train épicycloïdal (de raison de base 1 ) :
Train épicycloïdal (de raison de base  2 ) :
31/0  1.24/0   1  1 .5/0  0
24/0  2 .31/0   2  1 .5/0  0
avec 1 
31/0
z z
 ( 1)2 . 6 . 24  1,17
24/0  0
z31 z10
5/0
Utilisation :
D'où :
24 fixe par rapport à 0,
s /0   1  1 .e /0  0
e /0
s /0

5 est l'entrée e
avec 2 
24/0
z
z
 ( 1)2 . 10 . 31  0,856
31/0  0
z24 z6
5/0
et 31 la sortie s
D'où :
1
 5,9
1  1
(5=e et 31=s)
2 .s /0   2  1 .e /0  0
e /0
s /0

2
2  1
 5,9
On retrouve bien le même rapport de réduction dans les 2 cas.
Ainsi le choix du planétaire A ou B n’a pas d’importance dans la relation de Willis.
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Exemple 2.2 : Boîtier de commande de raboteuse.
8
Moteur 2
9B
9C
10
11
13
Moteur 1
Sortie
Question 1 : Déterminer, en fonction des nombres de dents des roues dentées, la relation entre
e1/0 , e2/0 et s /0 .
Train épicycloïdal :
8/0
Satellite
Porte satellite
Planétaire A
Planétaire B
 ( 1)1.
Train simple :
13/0
Utilisation :
10  e1
D'où :
9
13
10
11
10/0  .11/0     1 .13/0  0

z
z
avec   10/0
 ( 1)2 . 9B . 11
11/0  0
z10 z9C
13/0
z13
z8
8  e2
11  s
z
z
  z 
z 
z
e1/0   9B . 11  .s /0   9B . 11  1 .   8  .e2/0  0
 z10 z9C 
 z10 z9C
  z13 
Question 2 : Déterminer, après avoir formulé l’hypothèse qui convient, la relation entre les zi liée aux
conditions géométriques de montage des roues dentées.
Pour le train épicycloïdal : R10  R9B  R11  R9C
 z10  z9B  z11  z9C
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Si et seulement si les modules
des 2 engrenages sont égaux,
car d=m ;z
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Corrigé Exercice 3 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE III.
Exemple 3.1 : Réducteurs ATV.
Voir exemple donné dans
le cours (page 24) pour le
schéma cinématique et le
calcul...
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Corrigé Exercice 4 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE I.
Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant.
Étude analytique du réducteur seul (sans la partie frein).
Question 1 : Compléter le repère des
pièces dans le tableau
décrivant les 2 trains
épicycloïdaux (droite et
gauche).
Train
Train
épicycloïdal 1 épicycloïdal 2
Satellite
2
5
Porte satellite
4
7
Planétaire A
1
4
Planétaire B
10d (droite)
10g (gauche)
10g
5
22
10d
2
25
7
4
1
23
Tambour (qui était
non représenté sur
le plan ci-dessus)
Emplacement
du câble
Question 2 : Déterminer la condition géométrique de montage qui relie les z i .
D10d  D1  2.D2
Pour le 1er train épicycloïdal :
(pour pouvoir engrener ensemble, il faut m10d  m1  m2 )
Pour le 2ème train épicycloïdal :
D10g  D4  2.D5

z10d  z1  2.z2

z10g  z4  2.z5
(pour pouvoir engrener ensemble, il faut m10g  m4  m5 )
Question 3 : Indiquer les repères des pièces matérialisant l’entrée et la sortie du système.
Pièce d’entrée : arbre 1
Pièce de sortie : arbre 7
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Question 4 : Déterminer littéralement, en fonction des nombres de dents, le rapport de transmission.
Train épicycloïdal 1 (de raison de base 1 ) :
1/0  1.10d /0   1  1 .4/0  0
1 
avec
1/0
z
z
z
 ( 1)1. 10d . 2  10d
10d /0  0
z2 z1
z1
4/0
Train épicycloïdal 2 (de raison de base  2 ) :
4/0  2 .10g /0   2  1 .7/0  0
Utilisation :
10d /0  10g /0  0

1/0  e /0

 7/0  s /0
2 
avec
4/0
10g /0
 ( 1)1.
28/0 0
z10g z5
z10g
.

z5 z4
z4
(10d et 10g solidaires du bâti).
Par conséquent :
Train épicycloïdal 1 donne : e /0   1  1 .4/0  0
Train épicycloïdal 2 donne : 4/0   2  1 .s /0  0
D’où : e /0   1  1 .  2  1 .s /0  0
e /0
s /0

 z
  z10g
  1  1 .  2  1   10d  1 . 
 1


 z1
  z4

e /0

s /0

( z1  z10d )( z4  z10g )
z1.z4
Question 5 : Compléter le tableau page précédente indiquant le nombre de dents, le module et les diamètres
primitifs des différents pignons ou couronnes.
Pignon arbré 1
Nombre
Diamètre
Module
de dents
primitif
21
2
42
Pignon rapporté 2
51
2
102
Couronne 10d
123
2
246
Pignon arbré 4
23
3
69
Pignon rapporté 5
34
3
102
Couronne 10g
91
3
273

m10d  m1  m2
On a Di  mi  zi et 

m10g  m4  m5
Question 6 : En déduire la valeur numérique du rapport de réduction du système.
A.N. :
e /0
s /0
MPSI-PCSI
 34
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Étude graphique du réducteur seul (sans la partie frein).
Question 7 : Identifier les solides en mouvement quelconque. En déduire les positions des CIR qui seront
nécessaires lors de l’utilisation d’une méthode graphique.
Solides en mouvement quelconque : Les satellites 2 et 5.
On aura certainement besoin d’utiliser : I2/0  D et I5/0  G (tout point de RSG est un CIR).
Question 8 : Imaginer et mettre en œuvre une démarche pour déterminer graphiquement (dans la position
du système décrite sur la figure) le vecteur vitesse du centre F de la roue 5 par rapport au
bâti 0 : VF5/0 . (Justifier les différentes étapes de la construction).

I5/0


VE5/0  VE4/0
VF7/0  VF5/0

A


VC4/0  VC2/0

I2/0


VB2/0  VB1/0
NB : 10d = 10g = 0 le bâti.
1) Tout point de roulement sans glissement est un Centre Instantané de Rotation donc :
B  I2/1
D  I2/0
E  I5/4
G  I5/0
2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point B, on obtient VB2/0  VB2/1  VB1/0  VB1/0
(car, comme B  I2/1 , on a VB2/1  0 ).
3) Connaissant I2/0 et VB2/0 , on détermine VC2/0 par la répartition linéaire des vitesses.
4) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point C, on obtient VC4/0  VC4/2  VC2/0  VC2/0
(car, comme C centre de la rotation de 4/2, on a VC4/2  0 ).
5) Connaissant A et VC4/0 , on détermine VE4/0  VE5/0 par la répartition linéaire des vitesses.
6) Connaissant I5/0 et VE5/0 , on détermine VF5/0  VF7/0 par la répartition linéaire des vitesses.
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Question 9 : Justifier que VF5/0  VF7/0 . En déduire, en utilisant les propriétés du théorème de Thalès
(proportionnalité des côtés dans les triangles de répartition linéaire des vecteurs vitesse), la
relation entre VF7/0 , VB1/0 , R1 , R2 et R4 .
En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point F, on obtient VF7/0  VF7/5  VF5/0  VF5/0
(car, comme F est le centre de la rotation du mouvement de 5/7, on a VF7/5  0 ).
D’après le théorème de Thalès, on a successivement :
VF5/0
VE5/0

R5
2.R5
d’où

VE4/0
1
2
VC4/0
VF5/0
VE5/0
.
VE4/0
VC2/0
.
VC4/0
VC2/0
R4
R1  R2

VB2/0
VB2/0

R2
2.R2

1
2
R4
1
1
.
.
2 R1  R2 2
R4
1
.
. VB2/0
4 R1  R2
VF5/0 
donc

Question 10 : En déduire, en fonction de R1 , R2 , R4 et R5 , le rapport de transmission.
Les mouvements de 1/0 et 7/0 sont des mouvements de rotation d’axe (AA’), donc :
VF7/0  7/0 .A ' F  7/0 .(R4  R5 )
VB1/0  1/0 .AB  1/0 .R1
En remarquant que les deux vecteurs vitesses VF7/0 et VB1/0 ont même sens, on obtient le rapport de
transmission :
1/0
4.(R4  R5 )(R1  R2 )
R4
1


7/0 .(R4  R5 )  .
.1/0 .R1
4 R1  R2
7/0
R4 .R1
Question 11 : Retrouver, à l’aide du résultat de la question 2, le rapport de transmission en fonction du
nombre de dents.
Comme R10d  R1  2.R2 et R10g  R4  2.R5
On a :
1/0
7/0
1/0
7/0


4.(R4 
R10g  R4
2
)(R1 
(voir question 2)
R10d  R1
2
)
R4 .R1

2.R4  R10g  R4

R4 .R1
(R4  R10g )(R1  R10d )
4.(
1/0
7/0
R1.R4
1/0
7/0


)(
2.R1  R10d  R1
2
)
R4 .R1
(R1  R10d )(R4  R10g )
C'est-à-dire en fonction du nombre de dents :
2

(D1  D10d )(D4  D10g )
D1.D4
(m1.z1  m1.z10d )(m2 .z4  m2 .z10g )
m1.z1.m2 .z4
( z1  z10d )( z4  z10g )
z1.z4
On retrouve bien le même rapport de transmission qu’avec la relation de Willis (question 4).
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Exemple 4.2 : Réducteur à 2 vitesses.
Question 1 : Déterminer la vitesse de rotation de l’arbre de sortie 1 en fonctionnement « Petite Vitesse »,
puis en fonctionnement « Grande Vitesse ».
Entrée
Petite vitesse
8
34
13
25
36
37
28
Sortie
MPSI-PCSI
17
Entrée
Grande vitesse
19
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Satellite
Porte satellite
Planétaire A
Planétaire B
Train épicycloïdal 1
37
17
19
25
Page 10/10
Train épicycloïdal 2
36
28
17
8
Train épicycloïdal 1 (de raison de base 1 ) :
19/0  1.25/0   1  1 .17/0  0
avec
1 
19/0
z
z
83
 ( 1)1. 25 . 37 
 4,37
25/0  0
z37 z19
19
17/0
Train épicycloïdal 2 (de raison de base  2 ) :
17/0  2 .8/0   2  1 .28/0  0
avec

z z
79
2  17/0
 ( 1)1. 8 . 36 
 4,65
8/0  0
z36 z17
17
28/0
Réducteur roue 13 et vis sans fin 34 :
34/0
z
41
  13  
 41 (plus ou moins, selon que la vis ait un pas à droite ou à gauche)
13/0
z34
1
Utilisation :
On a 19/0  18/0 , 28/0  1/0
et
De plus 8/0  0 (8 solidaire du bâti).
25/0  13/0
(pièces solidaires entre elles)
Par conséquent :

Train épicycloïdal 1 donne : 18/0  1. 34/0   1  1 .17/0  0
41
Train épicycloïdal 2 donne : 17/0   2  1 .1/0  0

D’où 18/0  1. 34/0   1  1 .  2  1 .1/0  0
41
34/0 

1
1/0 
18/0  1.

41 
 1  1 .  2  1 
1/0  0,033.(18/0  0,107.34/0 )
Fonctionnement en petite vitesse ( 18/0  0 et 34/0  1500tr / min )  1/0  5,3tr / min
Fonctionnement en grande vitesse ( 18/0  34/0  1500tr / min )  1/0  44,2tr / min ou 54,8tr / min
NB : si on choisit de prendre :
-0,107, on trouve 1/0  5,3tr / min (petite vitesse) et 1/0  44,2tr / min (grande vitesse)
+0,107, on trouve 1/0  5,3tr / min (petite vitesse) et 1/0  54,8tr / min (grande vitesse)
Comme les 2 vitesses sont dans le même sens, les solutions sont :
1/0  5,3tr / min (petite vitesse) et 1/0  54,8tr / min (grande vitesse)
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