Unité 3 – Multiples, Facteurs et les Exposants Les nombres premiers

Unité 3 – Multiples, Facteurs et les Exposants
Les nombres premiers et les nombres composés
Un nombre premier est un nombre qui n’a que 2 facteurs différents, c’est-à-dire 1 et lui-même.
Un nombre composé est un nombre qui a 3 facteurs ou plus.
Crible d’Ératosthène (pour trouver les nombres premiers inférieurs à 100)
 Entoure 2 et biffe tous les multiples de 2
 Entoure 3 et biffe tous les multiples de 3
 Entoure 5 et biffe tous les multiples de 5
 Entoure 7 et biffe tous les multiples de 7
 Entoure les nombres qui restent
Les nombres biffés sont des nombres composés. Les nombres entourés sont des nombres premiers.
En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que
de 2.
L'ensemble des nombres premiers jumeaux jusqu'à 1000 :
(3, 5)
(5, 7)
(11, 13)
(17, 19)
(29, 31)
(41, 43)
(59, 61)
(71, 73)
(101, 103) (107, 109)
(137, 139) (149, 151) (179, 181) (191, 193) (197, 199)
(227, 229) (239, 241) (269, 271) (281, 283) (311, 313)
(347, 349) (419 , 421) (431 , 433) (461 , 463) (521 , 523)
(569 , 571) (599 , 601) (617 , 619) (641 , 643) (659 , 661)
(809 , 811) (821 , 823) (827 , 829) (857 , 859) (881 , 883)
Les Multiples
Un multiple d'un nombre naturel est le produit de ce nombre entier et de n'importe quel autre nombre
entier naturel. (Par contre, pour cette leçon, nous n'utiliserons que les nombre entier naturel non nuls
comme multiplicateurs pour trouver nos multiples). Par exemple, pour trouver les multiples de 4,
multiplie 4 par 1, 4 par 2, 4 par 3, et ainsi de suite. Pour trouver les multiples de 5, multiplie 5 par 1, 5
par 2, 5 par 3, et ainsi de suite. Les multiples sont les produits de ces multiplications.
Exemple 1 :
Trouve les multiples du nombre entier naturel 4.
Multiplication :
4 x 1 4 x 2 4 x 3 4 x 4 4 x 5 4 x 6 4 x 7 4 x 8 4 x 9 4 x 10 4 x 11
Multiples de 4 :
4
Solution :
Les multiples de 4 sont: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44...
Exemple 2 :
Trouve les multiples du nombre entier naturel 5.
Multiplication :
5 x 1 5 x 2 5 x 3 5 x 4 5 x 5 5 x 6 5 x 7 5 x 8 5 x 9 5 x 10 5 x 11
Multiples de 5 :
5
Solution :
Les multiples de 5 sont: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55...
Exemple 3 :
Trouve les multiples du nombre entier naturel 7.
Multiplication :
7 x 1 7 x 2 7 x 3 7 x 4 7 x 5 7 x 6 7 x 7 7 x 8 7 x 9 7 x 10 7 x 11
Multiples de 7 :
7
Solution :
Les multiples de 7 sont: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77...
8
10
14
12
15
21
16
20
28
20
25
35
24
30
42
28
35
49
32
40
56
36
45
63
40
50
70
44
55
77
Plus Petit Commun Multiple (PPCM)
PPCM est un acronyme de Plus Petit Commun Multiple.
Le PPCM de nombres que l’on compare entre eux est le plus petit nombre qui est un multiple de ces
nombres.
Deux hommes complètent plusieurs fois le tour d’une piste. Le premier prend 30 minutes pour réaliser
un tour de piste, alors que le second prend 45 minutes. S’ils sont partis en même temps, à quel moment
vont-ils se rencontrer pour la première fois?
On imagine les deux hommes parcourant la piste…
Le premier revient au point de départ après : 30, 60, 90, 120, … minutes.
Le deuxième revient au point de départ après : 45, 90, 135, … minutes.
Donc, ils vont se retrouver au point de départ après 90 minutes. Pendant ce temps le premier homme
aura parcouru 3 tours et le deuxième, 2 tours. Dans cet exemple, on a trouvé le PPCM de 30 et 45. Il
s'agit de 90. On a aussi trouvé par combien il faut multiplier chacun des nombres comparés pour
obtenir le PPCM de 90 : il faut multiplier 30 par 3 et 45 par 2.
Trouver le PPCM – Méthode 1 : les multiples des nombres
On peut trouver le PPCM en dressant tout simplement la liste des multiples de chacun des nombres
comparés. Cette méthode convient surtout pour les petits nombres.
On cherche le PPCM de 6, 8, 12.
Listes des multiples de chacun des nombres comparés :
6 {6, 12, 18, 24, 30, 36, 48, …}
8 {8, 16, 24, 32, …}
12 {12, 24, …}
Le plus petit commun multiple (qui se retrouve dans chaque ensemble) est 24
On écrit la réponse ainsi : PPCM (6, 8, 12) = 24
On peut arrêter les listes quand on trouve un multiple commun à tous les nombres comparés.
Trouver le PPCM – Méthode 2 : le tableau des diviseurs
Étape 1 : Prenons deux nombres, 12 et 108. On place chacun d’eux dans un tableau.
Étape 2 : Ensuite, on divise ces deux nombres par des nombres premiers, en commençant par 2, puis, si
cela ne fonctionne pas avec 2, en continuant avec 3, 5, 7, 11, 13 et ainsi de suite, jusqu’à ce que cela
fonctionne.
Étape 3 : On poursuit les divisions jusqu’à ce que les nombres soient devenus 1 dans chaque colonne.
Pour trouver le PPCM, il faut ensuite multiplier ensemble tous les diviseurs premiers de la colonne de
gauche.
Dans ce cas-ci : 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 108
On écrit la réponse ainsi : PPCM (12, 108) = 108
Trouver le PPCM – Méthode 3 : l’arbre de facteurs et le diagramme
Quand on cherche le PPCM de deux ou plusieurs nombres, on trouve d’abord le plus petit multiple de
ces nombres.
Pour trouver le PPCM, on peut construire un arbre de facteurs.
Les Facteurs (ou Diviseurs)
Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit et les nombres que l’on multiplie entre eux
s’appellent les facteurs. Un diviseur est un nombre qui peut en diviser un autre sans qu'il n'y ait de
reste. Si on veut énumérer les facteurs ou diviseurs d’un nombre, on se questionne sur les diviseurs
possibles en ordre croissant…
Quand on se rend compte que les deux nombres qui sont côte à côte se multiplient ensemble pour faire
24, il ne reste qu’à compléter les paires de facteurs.
Parmi la liste de diviseurs, il y a des nombres premiers.
Parmi les diviseurs de 24 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}, les nombres premiers sont : {2,3}.
La factorisation d’un nombre
La factorisation d’un nombre est son écriture sous la forme d'une multiplication de deux ou plusieurs
facteurs. Les facteurs sont les termes qui interviennent dans une multiplication.
56 = 2 x 28
= 4 x 14
2 est un diviseur de 56.
28 est un diviseur de 56.
2 et 28 sont des facteurs de 56.
Les multiplications ne sont pas uniquement composées de nombres premiers, mais aussi de nombres
composés.
X2
X2
Méthode : Arbre des facteurs
La factorisation première d’un nombre
La factorisation première d’un nombre est sa décomposition en facteurs premiers. Autrement dit, c'est
son écriture sous forme d'une multiplication de facteurs qui sont uniquement des nombres premiers. On
y parvient en construisant un arbre des facteurs.
Le PPCM et le PGCD (ou PGFC)
PPCM (Plus petit commun multiple); PGCD (Plus grand commun diviseur); PGFC (Plus grand facteur
commun).
Lorsqu’on veut connaître le PGCD (PGFC) et le PPCM de deux nombres, il est inutile de faire deux fois le
travail, car on peut le faire en même temps. Il existe deux méthodes qui nous permettent de trouver le
PGCD et le PPCM en même temps.
Méthode 1 : le tableau des diviseurs
Si on cherche le PPCM et le PGCD de deux nombres, on peut utiliser un tableau de diviseurs. La colonne
de gauche sera celle des diviseurs : on doit y inscrire des diviseurs qui sont de nombres premiers en
commençant par 2, 3, 5 et ainsi de suite. Ces diviseurs divisent l’un ou les deux nombres. On inscrit la
réponse de la division vis-à-vis le facteur et vis-à-vis le nombre divisé. Le tableau est terminé lorsqu’on
retrouve un 1 dans chaque colonne.
On cherche le PPCM et le PGCD (PGFC) des nombres 30 et 54.
Pour trouver le PPCM, on multiplie tous les diviseurs de la colonne de gauche. Pour trouver le PGCD
(PGFC), on multiplie les diviseurs qui ont des résultats dans les deux colonnes.
Méthode 2 : l’arbre des facteurs et diagramme
Pour trouver le PPCM et le PGCD (PGFC), on peut aussi construire un arbre de facteurs. Pour construire
un arbre de facteurs, on trouve tout d’abord deux facteurs au nombre. Ensuite, on trouve deux facteurs
à ces nouveaux facteurs sauf s’ils sont premiers. L’arbre est terminé quand toutes les branches sont des
nombres premiers.
On veut connaître le PGCD et le PPCM de 48 et 40.
Une fois que l’on a trouvé tous les facteurs premiers, on peut trouver le PPCM et le PGCD (PGFC). Pour
le PPCM, on multiplie ensemble tous les facteurs : si un facteur se répète dans les deux séries, on le
multiplie une seule fois. Pour le PGCD (PGFC), on multiplie seulement les facteurs communs aux deux
séries.
Après avoir fait l’arbre des facteurs premiers, on peut placer ces facteurs dans un diagramme pour que
ce soit plus facile:
Règles de divisibilité
Par 2
Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un nombre pair (0, 2, 4, 6, 8).
Ainsi 961853154 se termine par 4 qui est pair, donc il est divisible par 2.
En revanche, 45387612836459 se termine par 9 qui est impair, il n’est donc pas divisible par 2.
Par 4
Un nombre est divisible par 4 s'il est 2 fois divisible par 2.
On divise donc le nombre par 2, et on regarde si on peut le diviser encore une fois par 2.
Exemple : 860 et 622.
860/2 = 430, et 430 est divisible par 2, donc 860 est divisible par 4.
622/2 = 311 mais 311 n'est pas divisible par 2 !
Donc 622 n'est pas divisible par 4...
Petit truc : pour un grand nombre de plusieurs chiffres, il suffit de regarder si ses 2 derniers chiffres sont
divisibles par 4.
Exemple : 6259824
Il suffit de regarder si 24 est divisible par 4.
1653698689456 : il suffit de regarde si 56 est divisible par 4.
Par 3
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Pour 14635, on fait 1+4+6+3+5 = 19, et on recommence : 1+9 = 10, et on recommence 1+0 = 1.
Or 1 n’est pas divisible par 3 donc 14635 n’est pas divisible par 3.
En revanche, pour 4569 : 4+5+6+9 = 24, 2+4 = 6, or 6 est divisible par 3, donc 4569 est divisible par 3.
Par 9
Pour 9 c’est la même chose, Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Pour 936, 9+3+6 = 18, et 1+8 = 9, or 9 est divisible par 9, donc 936 est divisible par 9.
Par 5
Pour 5 : un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
5360 et 5645 se terminent par 5, donc sont divisibles par 5, mais pas 45869 qui se termine par 9.
Par 6
Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible par 2 ET par 3 (voir ci-dessus).
828 est divisible par 2 car il se termine par 8 qui est pair, et par 3 car 8 + 2 + 8 = 18 qui est divisible par 3.
828 est donc divisible par 2 et 3 donc par 6.
Par 10
Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0, comme 156320 par exemple.
Exposants
Examinons maintenant les facteurs et produits du tableau ci-dessous :
Facteurs
Produit
Description
2x2=
4 2 est 2 fois un facteur
2x2x2=
8 2 est 3 fois un facteur
2x2x2x2=
16 2 est 4 fois un facteur
2x2x2x2x2=
32 2 est 5 fois un facteur
2x2x2x2x2x2=
64 2 est 6 fois un facteur
2x2x2x2x2x2x2=
128 2 est 7 fois un facteur
2x2x2x2x2x2x2x2=
256 2 est 8 fois un facteur
Un meilleur moyen d'aborder cette situation est d'utiliser les exposants. La notation exponentielle est
un moyen plus facile d'écrire un nombre résultant du produit de plusieurs facteurs.
BaseExposant
L'exposant nous dit combien de fois la base est utilisée comme facteur.
Forme exponentielle
Forme de facteurs
Forme standard
22 =
2x2=
4
23 =
2x2x2=
8
24 =
2x2x2x2=
16
25 =
2x2x2x2x2=
32
26 =
2x2x2x2x2x2=
64
27 =
2x2x2x2x2x2x2=
128
28 =
2x2x2x2x2x2x2x2=
256
Exemple 1 :
Écris chacune des suites de facteurs sous forme exponentielle puis lis-la :
3x3x3x3x3
6x6x6x6
8x8x8x8x8x8x8
3x3x3x3x 5
3
3=
Solution :
6x6x6x6= 6
4
8x8x8x8x 7
8
8x8x8=
¨3 exposant
5¨
¨6 exposant
4¨
¨8 exposant
7¨
Exemple 2 : Écris chaque nombre sous forme de facteurs puis sous forme standard :
9
6
10 , 3 , 1
Solution :
8
Forme exponentielle Forme de facteurs
9
10 =
10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 =
6
3x3x3x3x3x3=
8
1x1x1x1x1x1x1x1=
3 =
1 =
Forme standard
1 000 000 000
729
1
Voici certaines règles mathématiques concernant les exposants 0, 1, 2 et 3:
Règle
Exemple
Tout nombre (sauf 0) élevé à la puissance zéro est toujours égal à 1.
1490 = 1
Tout nombre élevé à la puissance un est toujours égal à lui-même.
81 = 8
Si un nombre est élevé à la puissance deux, on le dit ¨au carré¨.
32 se lit ¨3 au carré¨
Si un nombre est élevé à la puissance 3, on le dit ¨au cube¨.
43 se lit ¨4 au cube¨