A propos de la loi uniforme. Exercice : Soit un segment [AB] de

A propos de la loi uniforme.
Exercice : Soit un segment [AB] de longueur 1 que l'on coupe au hasard en deux points X et Y.
On définit alors deux variables aléatoires X et Y, uniformes sur [0;1] et indépendantes.
On obtient alors trois segments.
Quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle à l'aide de ces trois segments ?
1) Exprimer en fonction de X et de Y les longueurs , et des trois segments obtenus.
Quelles conditions doivent vérifier ces longueurs pour que ce triangle existe ?
2) Illustration du problème par un algorithme :
Pour N = 5000, on obtient :
3) Afin de justifier que la coupe a eu lieu au hasard, montrer que
,
et
suivent la même loi.
= min(X,Y).
Pour tout t[0;1], P(min(X,Y)>t) = P( X>t  Y>t) = P( X>t ) P(Y>t) car X et Y indépendantes
donc P( min(X,Y)>t) =
–
= 2(1-t) sur [0;1], où
donc P( min(X,Y)  t) = 1 est la densité de
.
–
d'où, en dérivant,
=
–
Pour tout t[0;1],
P( –
)=
–
–
= P( -tX-Y  X-Y  t)
= P(Y  X+t  Y  X-t)
donc, d'après le graphique ci-contre, P(
d'où, en dérivant
–
)=1-
= 2(1-t) sur [0;1] où
–
.
est la densité de
.
= 1-Max(X,Y) = Min(1-X,1-Y).
1-X et 1-Y sont uniformes sur [0,1] et indépendantes. On raisonne comme pour
= 2(1-t) sur [0;1] où
,
et
est la densité de
.
.
ayant la même densité suivent bien la même loi.
4) Déterminer la probabilité cherchée.
–

–
–
–
–
–
Si
le système devient
–
–
–
–
–
Si
le système devient

–
–
–
–

–
–
L'aire de l'ensemble des points (x;y) tels que
–
–
vaut .
–
–
–
La probabilité de pouvoir fabriquer un triangle vaut donc .
Espérance d'une variable aléatoire de loi uniforme sur [a;b] :
L'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur [a;b] est donnée par :
E(X) =
=
=
.
On peut observer que la définition de l'espérance par la formule E(X) =
l'espérance d'une variable aléatoire discrète.
prolonge celle de
…
Reprise du document d'accompagnement – TS – Probas/Stats – page 40 que l'on peut compléter sur [a;b]
avec :
–
=
=a+
–
=
=
+
–
=a+
–
=a+
–
.
.
Exercice :
Roméo et Juliette sont dans une zone non couverte par les opérateurs de téléphonie mobile.
Pour se rencontrer, ils se donnent rendez-vous entre 19h et 20h, et décident d'arriver chacun indépendamment
l'un de l'autre, au hasard.
Combien de temps le premier arrivé attend-il le second, en moyenne ?