Transformée de Fourier Discrète

UV Traitement du signal
Cours 7
Signaux discrets et Transformée de Fourier
De la Transformée de Fourier à temps discret (TFTD) à la
Transformée de Fourier Discrète (TFD)
ASI 3
Contenu du cours
 Signaux discrets
 Rappels, définition
 Propriétés
 Transformée de Fourier des signaux à temps discret (TFTD)
 Définition
 Propriétés
 Transformée de Fourier discrète
 Définition
 Propriétés
 Application de la TFD à l'analyse spectrale : précision et résolution
 TFD rapide (Fast FFT)
2
Rappels : Signaux discrets
 Rappels de base :
Ensemble des réels : 1,234 ; -1 ;
ℝ
 ; etc.
Ensemble des entiers naturels : 0, 1, 2, 3, 4, etc.
ℕ
Ensemble des entiers relatifs : -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, etc.
ℤ
ℚ Ensemble des nombres rationnels (quotient de deux ℤ ). ex :
 2∉ℚ
 Signal discret
Soit un signal x(t) échantillonné à une période Te. Le signal échantillonné s'écrit :
xe (t ) = ∑ x(nTe)δ (t − nTe)
n
En considérant une période d'échantillonnage normalisée ( Te = 1 ) , on a :
xe (t ) = ∑ x(n)δ (t − n)
On obtient la suite de valeurs {x(n)} appelée signal discret.
n
 Ainsi, un signal discret est une suite {x(n)} représentée par la fonction de ℤ  ℂ: n  x n
 Remarque : la normalisation permet de considérer la suite de valeurs x(nTe) indépendamment
du processus de discrétisation qui l'a générée.
3
Signaux discrets particuliers
Γ(n)
 Echelon unité
 1 pour n ≥ 0
Γ ( n) = 
 0 sinon
 Remarque : Γ ( n) =
+∞
∑ δ (n − r )
n
r= 0
 Impulsion discrète (fonction delta de Kronecker)
 1 pour n = 0
δ ( n) = 
 0 sinon
δ (n)
 Remarque : δ ( n) = Γ ( n) − Γ ( n − 1)
 Exponentielle décroissante causale
n
1
a nΓ (n), (a < 1)
x(n) = a nΓ (n), a < 1 ∀ n ∈ ℤ

 Signal rectangulaire
 1 pour − T ≤ n ≤ T
Π T ( n) = 
 0 sinon
n
T ∈ ℕ
Π2(n)
Le signal est de longueur 2T+1
 Remarque : Π T ( n) = Γ ( n + T ) − Γ ( n − (T + 1))
-2
2
n
4
Signaux discrets périodiques
 Définition de la périodicité
Un signal discret est périodique de période N si :
∃ N∈ ℕ
 tel que x(n + N ) = x(n) ∀ n ∈ ℤ

 Remarque : la plus petite valeur de N est la période fondamentale
 Exemples
- Signal sinusoïdal : x( n) = A cos(ω 0 n + ϕ )
- Signal exponentiel complexe : x ( n) = ae jω 0n
!
En discret, les signaux sinusoïdaux ne sont pas nécessairement périodiques.
 Condition de périodicité : ω 0n = 2π k
soit
2π n
=
avec
ω0 k
n∈
k
avec
n ∈ ℕ et k ∈ ℤ

ℚ
La période est l'entier naturel N (s'il existe) tel que N =
2π
ω0
 Remarque : en continu, la condition de périodicité s'énonce 2π = n ∈ ℝ et est moins restrictive.
ω0
k
5
Energie et puissance des signaux discrets
 Energie
+∞
E = ∑ x ( n)
2
n= − ∞
 Puissance moyenne
Si le signal est à énergie infinie, on définit la puissance moyenne
+∞
2
1
P = lim
∑ x ( n)
N → + ∞ 2 N + 1 n= − ∞
 Exemple : signal échelon discret
E=
P=
+∞
∑ 1=
n= 0
lim
N→ + ∞
+∞
1
2N + 1
N
2
∑ Γ ( n) →
n= − N
P=
lim
N→ + ∞
1
2N + 1
N
∑
1
n= 0
→
P=
lim
N→ + ∞
N+1 1
=
2N + 1 2
 Puissance moyenne d'un signal périodique
Si N est la période alors P = lim 1 ∑ x( n) 2
N→ + ∞ N N
Energie sur une période : E =
N−1
∑ x ( n)
2
n= 0
6
Opération sur les signaux discrets
Soit { x( n)} = { x( n), n ∈ ℤ
 } et
{ y (n)} = { y (n), n ∈ ℤ
 } , des signaux discrets
 Multiplication par un scalaire
 Somme de signaux discrets
λ ∈ ℝ , λ { x(n)} = { λ x(n), n ∈ ℤ
}
 Multiplication de signaux discrets
{ x(n)} × { y (n)} = { x(n) ×
y (n), n ∈ ℤ
}
{ x(n)} + { y (n)} = { x(n) +
y (n), n ∈ ℤ
}
Ces opérations sur les signaux discrets
donnent des signaux discrets.
 Signaux définis par une relation de récurrence :
Aux équations différentielles dans le cas continu correspondent des équations de récurrence
dans le cas discret. Ces équations permettent de décrire des signaux discrets et des opérations
sur ces signaux à l'aide d'additions et multiplications scalaires.
 Exemple : considérons l'équation récurrente :
x(n) = ax(n − 1) avec x(0) = c (condition initiale)
On montre aisément que la solution à cette équation est : x(n) = c a n Γ (n)
7
Transformée de Fourier des signaux à temps discret
(TFTD)
 Question : Comment faire l'analyse fréquentielle de signaux discrets ?
Soit xe(t) un signal issu de l'échantillonnage de x(t) : xe (t ) =
+∞
∑ x(nTe )δ (t − nTe )
n= − ∞
 Que donne la TF “classique” du signal échantillonné ?
+∞
 +∞

X e ( f ) = ∫  ∑ x(nTe )δ (t − nTe )  e − j 2π ft dt



− ∞  n= − ∞
Xe( f ) =
+∞
∑
n= − ∞
+∞
x(nTe ) ∫ δ (t − nTe )e − j 2π ft dt
−∞
+∞
En utilisant la définition de la distribution de Dirac, on a :
Par conséquent : X e ( f ) =
+∞
∑
∫ δ (t − nTe )e− j 2π ft dt =
e − j 2π nfTe
−∞
x(nTe )e − j 2π nfTe
n= − ∞
La TF d'un signal échantillonné est une combinaison linéaire d'exponentielles complexes
pondérées par la valeur des échantillons.
 Normalisation de la période d'échantillonnage :
dorénavant et sauf mention contraire, on considerera que Te=1
X(f ) =
+∞
∑ x(n)e − j 2π nf
n= − ∞
8
TFTD
 Définition
Soit x(n) un signal discret. La TFTD X( f ) de ce signal est donnée par l'expression :
Xe( f ) =
+∞
∑
x( n)e − j 2π nf
f est une variable continue
n= − ∞
La TF d'un signal discret est une fonction continue ou non de la variable continue f
Remarque : idem que la TF d'un signal quelconque, avec une somme à la place de l'intégrale.
 Condition d'existence de la TFTD
La TF d'un signal discret x(n) existe si
+∞
∑
x(n) < ∞ i.e. si le signal est absolument sommable.
n= − ∞
L'existence de la TFTD est donc liée à la convergence absolue de la série x(n)
n
−1
(Exemple d'une série semi-convergente : ∑
car
n
n1
n
n
−1
∣)
est finie mais pas ∑ ∣
∑ −1
n
n
n1
n1
9
TFTD
 Périodicité de la TFTD
+∞
Soit X( f ) la TFTD du signal discret x(n) : X ( f ) =
X ( f + 1) =
X ( f + 1) =
∑
x(n)e − j 2π nf
∑
x(n)e − j 2π n( f + 1)
∑
x(n)e − j 2π nf e − j 2π n
n= − ∞
+∞
n= − ∞
+∞
n= − ∞
X ( f + 1) = X ( f )
 La TF des signaux discrets est périodique de période f=1
 Toute l’information fréquentielle du signal
est localisée dans l'intervalle de fréquence :
1 1
f ∈ − , 
 2 2 
x(n) est caractérisé par
ce contenu fréquentiel
X(f)
 Remarque
Si x(n) est réel, |X( f )| est paire et arg(X( f )) est
impair. On réduit donc l'analyse de X( f ) sur
l'intervalle de fréquence f ∈  0, 1 
 2 
-1/2
0
1/2
f
10
TFTD
 Périodicité de la TFTD : généralisation avec Fe ≠ 0
Pour un signal échantillonné à la fréquence Fe, sa TFTD Xe( f ) est périodique de période Fe
 F F 
 l'information fréquentielle est contenue dans la bande f ∈  − e , e 
 2 2
On retombe sur un résultat connu, par un calcul différent !
 TF inverse des signaux discrets
TFTD :
X(f ) =
+∞
∑
x(n)e − j 2π nf
n= − ∞
Comme la TF des signaux discrets est périodique de période 1, l'expression de la TFTD
inverse est donnée par :
1
2
∫ X ( f )e j 2π nf df
x ( n) =
−
Remarque : Intégrale car f est une variable continue
1
2
11
Représentation spectrale
x(n), signal discret (support discret)
En fonction de la nature (périodique ou non) de x(n), on a deux types de
représentation spectrale possibles :
 x(n) non périodique
 x(n) périodique
TFTD
TFTD
X( f ) est à support continu
X( f ) est à support discret
 1 n ∈ [ − N , N − 1]
x
(
n
)
=
Ex. :

 0 ailleurs
Ex. :
x (n) = A. cos(2π f 0 n)
|X(f) |
|X(f) |
0
A
δ ( f − fo )
2
1/2
1
f
0
1/2
1
f
12
Exemple de TFTD
1 n ≤ N 2
x ( n) = 
 0 ailleurs
Soit
On a
X(f ) =
+∞
∑
X(f ) =
x(n)e − j 2π nf
n= − ∞
N /2
∑ e − j 2π nf
n= − N / 2
X(f) est la somme de N+1 termes d'une suite
géométrique de raison e-j2πf et de premier terme ejπN f
X  f =e
− j2N 1 f
1−e
1−e− j2 f
j  Nf
− j f
X  f =
e
X( f )
j  N1  f
− j N 1 f
e
−e
e− j  f e j  f −e− j  f 
 sin  f  N 1
=
sin  f
Remarques (pour Te = 1)
-Toute l'info est contenue dans [-½ , ½]
- Périodique de période 1
13
Propriétés de la TFTD
Globalement, la TFTD possède les mêmes propriétés que la TF :
 X( f ) est une fonction complexe. Si x(n) est réel :
X(f )
Etude sur l'intervalle de fréquence
: spectre d'amplitude est une fonction paire
arg( X ( f ) )
: spectre de phase est une fonction impaire
1
f ∈  0, 
 2 
♦ Linéarité
a.x(n) + b. y (n) → aX ( f ) + bY ( f )
♦ Décalage temporel
x(n − n0 ) → X ( f )e−
♦ Décalage fréquentiel
(ou modulation)
x(n)e j 2π f0n → X ( f − f 0 )
j 2π fn0
14
Propriétés de la TFTD
♦ TF de la dérivée du signal
♦ Relation de Parseval
(conservation de l'énergie)
♦ Relations de Plancherel
dx(n)
→ j 2π f X ( f )
dn
+∞
1/ 2
2
2
∑ x(n) = ∫ X ( f ) df
n= − ∞
− 1/ 2
x(n) ∗ y (n) → X ( f ).Y ( f )
x(n). y (n) → X ( f ) ∗ Y ( f ) =
♦ TFTD Inverse
x ( n) =
1/ 2
∫ X(f
1/ 2
∫ X (u )Y ( f − u )du
− 1/ 2
)e j 2π nf df
− 1/ 2
ou x( n) =
1
∫ X ( f )e j 2π nf df
0
Bilan sur la TFTD :
- La TF fonctionne sur un signal à temps discret
- Mais en fréquence, on repasse en continu
= on perd l'avantage du numérique !
15
De la TFTD à la Transformée de Fourier Discrète (TFD)
TFTD de x(n) : X ( f ) =
+∞
∑
x(n)e − j 2π nf
n= − ∞
 Objectif : On veut calculer la TF d'un signal discret à l'aide d'un calculateur
 Difficultés
 Le calcul de la TF nécessite une infinité de points de mesures x(n) (pas toujours possible dans la
pratique : contraintes temps réel, etc.)
 Le calculateur ne peut calculer une TFTD car sa réponse fréquentielle est forcément
discrète = un nombre fini de points fréquentiel fn, alors que f varie continûment ...
 Solution : Transformée de Fourier Discrète (TFD)
 Limiter la durée de x(n) i.e. considérer un nombre fini N de points temporels
 Discrétiser la fréquence (considérer un nombre fini L de points fréquentiels)
A un nombre fini de valeurs x(1) , …, x(N), on fait correspondre un nombre fini de valeurs
X(f1), …, X(fL) telle que la TFD de x soit une approximation aussi bonne que possible de X( f )
 Question
 Quelle est l'influence du nombre de points temporels N et du nombre de points
fréquentiels L sur l'observation spectrale ?
16
Détermination de la TFD
Soit {x(0), x(1), …, x(N-1)} un signal discret de durée finie N. Sa TFTD est :
X(f ) =
N−1
∑
x ( n )e −
j 2π nf
n= 0
 Discrétisation de la fréquence sur L points :
X( f ) est périodique de période 1, donc :
f = k∆ f avec ∆ f =
1
L
et k = 0,..., L − 1
L'approximation discrète de la TFTD de ce signal est :
F=k/L
k
X   =
 L
N−1
∑
k
− j 2π n
L
x ( n )e
n= 0
k et n ne jouent pas le même rôle :
n : variable temporelle n = 0, …, N−1
k : variable fréquentielle k = 0, …, L−1
 Notation : X  k  = X ( k ) avec k = 0,..., L − 1
L


 La TFTD inverse de x(n) est
x ( n) =
∫
1
X ( f )e j 2π nf df
0
car X( f ) est périodique de période 1
 L'approximation discrète de la TFTD inverse est
1
~
x ( n) =
L
L− 1
∑
k= 0
X ( k )e
j 2π
k
n
L
c'est la TFD inverse.
17
Transformée de Fourier Discrète (TFD)
 Définition
 La TFD évaluée sur un nombre L de points fréquentiels d'un signal discret est définie par :
N −1
X ( k ) = ∑ x ( n)e
− j 2π
N : nombre de points temporels
n : variable temporelle n = 0, …, N−1
L : Nombre de points fréquentiels
k : variable fréquentielle k = 0, …, L−1
k
n
L
n= 0
 Remarque : X (k ) est périodique de période L
 La TFD inverse est :
 Remarque
j 2π
1 L− 1
~
x ( n ) = ∑ X ( k )e
L k= 0
k
n
L
~
x (n) est une suite périodique de période L.
La discrétisation de x(k) a entrainé une périodisation de x(n)
Dans la suite, sans perte de généralités et sauf mention contraire, on considérera
L=N
 Remarque
On a vu avec la TFTD que : Discrétisation en temporel
Ici avec la TFD :
 Périodisation en fréquentiel
Discrétisation en fréquentiel  Périodisation en temporel
18
TFD d'un signal périodique
 Que se passe t'il si l'on applique la TFD à un signal périodique ?
Soit xp(n) , un signal périodique de période N. Pour calculer sa TFD, on se restreint à une période
 La TFD
 La TFD inverse
X p(k) =
N−1
1
x ( n) =
N
∑ x p ( n)e
− j 2π
k
n
N
n= 0
N−1
∑ X p ( k )e
j 2π
k
n
N
k= 0
Si x(n) est une suite périodique de période
N et x(n) coincide exactement avec xp(n)
Ce n'est pas le cas pour un signal quelconque !
TFD
Suite x(n) périodique de période N
TFD inverse
Suite X(k) périodique de période N
19
Propriétés de la TFD
La TFD possède les propriétés classiques de la TFTD mais tous les calculs
d'indice k et n se font modulo N
♦ Périodicité
X (k ) est périodique de période N
♦ Linéarité
a.x(n) + b. y (n) → aX (k ) + bY (k )
♦ Décalage temporel
♦Décalage fréquentiel
ou modulation
♦ Relation de Parseval :
conservation de l'énergie
x(n − n0 ) → X (k )e
x ( n )e
N−1
∑
n= 0
j 2π
k0
n
N
k
n
N 0
→ X ( (k − k0 ) mod N )
1
x ( n) =
N
2
− j 2π
N−1
∑
X (k )
2
k= 0
20
TFD et convolution circulaire
 Produit de convolution circulaire
Soit x(n) et y(n) deux signaux discrets de durée finie N. Leur produit de convolution circulaire
est défini par
N−1
c(n) est donc périodique
c(n) = x(n) ⊗ y (n) avec c(n) = ∑ x(i ). y ( (n − i ) mod N )
de période N
i= 0
On peut voir la convolution circulaire comme la rotation d'une séquence autour d'une autre.
 Exemple : Soit x(n)=1 pour n∈{0, 1, ..., 7}
 convolution linéaire : x(n) ∗ x(n) = {1, 2, ..., 7, 8, 7, ..., 2, 1} pour n∈{0, 1, ..., 15}
x(0) = somme des x(i).x(0-i) = 1*1+1*0+1*0+...=1
x(1) = somme des x(i).x(1-i) = 1*1+1*1+1*0+...=2
...
 convolution. circulaire : x(n) ⊗ x(n) = 8 pour n ∈ {0, 1, ..., 7}
x(0) = somme des x(i).[x(0-i) mod 8] = 1*1+1*1+1*1+...=8
x(1) = somme des x(i).[x(1-i) mod 8] = 1*1+1*1+1*1+...=8
...
 TFD et convolution circulaire
TFD
x(n) ⊗ y (n) → X (k ).Y (k )
TFD-1
x(n). y (n) →
1
X (k ) ⊗ Y (k )
N
21
Analyse spectrale et TFD
 Introduction
On veut utiliser la TFD pour analyser le contenu fréquentiel d'un signal continu x(t). Ceci impose les
opérations suivantes :
 Echantillonnage de x(t)
 choix de la fréquence d'échantillonnage Fe
(fixé par le th de Shannon)
Numérisation : OK
 Quantification pour générer le signal discret x(n)
 Troncature de x(n) à N échantillons
TFD
 Discrétisation du domaine fréquentiel en L points
Quelle est l'influence de ces 2
opérations sur le spectre
donné par la TFD?
22
Analyse spectrale et TFD
 Troncature du signal discret (fenêtrage temporel)
 Opération dans le domaine temporel
Soit x(n) un signal discret. Le signal résultant de la troncature de x(n) à N d'échantillons est :
xN (n) = x(n).h(n)
avec
 1 0 ≤ n ≤ N − 1 h(n) : fenêtre rectangulaire de largeur N
h( n) = 
N : durée d'observation du signal x(n)
 0 ailleurs
Note : si x(n) est issu de la discrétisation d'un signal à une période Te, la durée d'observation est NTe
 Influence de la troncature dans le domaine fréquentiel :
Calculons la TFTD du signal tronqué.
xN (n) = x(n).h(n)
Théorème de
Plancherel
XN ( f ) = X ( f )∗ H( f )
 Remarque : La TFTD du signal tronqué xN(n) est obtenue par filtrage de la
TFD de x(n) à travers un filtre de réponse impulsionnelle H( f ).
23
Analyse spectrale et TFD
 Echantillonnage de XN( f )
 La TFD XN(k) est obtenue par discrétisation du domaine fréquentiel de XN( f )
f = k∆ f avec ∆ f =
1
L
et k = 0,..., L − 1
1 (ou Fe)
Δf 2Δf 3Δf ….
(L-1) Δf
F(Hz)
La distance entre 2 points fréquentiels est 1 (ou : Fe prise en compte fréquence d'échantillonnage)
L
L
 Avec l'opération de fenêtrage, on obtient : X N (k ) = X ( f ) ∗ H ( f ) f = k
L
 Remarque : XN(k) est constitué d'échantillons de X( f ) filtré à travers le filtre H( f ).
24
Analyse spectrale et TFD
 Influences du fenêtrage temporel et de la discrétisation fréquentielle
 TFD du signal tronqué xN(n) : X N (k ) = X ( f ) ∗ H ( f ) f = k
L
avec k = 0,..., L − 1
|X( f )|
Remarque :
|X(k)|
Le choix du pas fréquentiel 1/L (ou Fe /L ) aura une influence sur la précision
de l'analyse spectrale (précision de mesure d'une fréquence particulière)
 TFTD de la fenêtre rectangulaire
H  f =
f
Fe /L
sin  f  N 1
sin  f
 Remarque
La convolution fréquentielle de X( f ) par H( f ) aura pour conséquence l'apparition
d'ondulations dans le spectre XN( f ) et donc dans XN(k) : c'est le problème de résolution.
25
Précision de la TFD
 Problématique :
- Fenêtrage -> le spectre de la sinusoïde apparaît sous
forme de plusieurs raies non nulles
- La plus importante en module est proche de la vraie
fréquence f0
- L'erreur maximale commise sur cette estimation est 1/L
X N (k ) = X ( f ) ∗ H ( f ) f = k
L
Correspond à l'estimation par la TFD de f0
8
7
6
5
 2objectifs :
 Résolution en fréquence (largeur du lobe)
permet de distinguer 2 fréquences proches
4
3
1/L
2
1
0
0
0 .1
0 .2
Exemple : soit un signal contenant 2 fréquences f1 et f2.
Si |f1−f2|<1/N, les lobes principaux seront trop proches pour les distinguer
0 .3
0 .4
f0
2/N
0 .5
0 .6
0 .7
1
1/N
 la résolution en fréquence est de l'ordre de 1/N (ou Fe /N ).
 Résolution en amplitude (atténuation des lobes secondaires)
permet de distinguer des raies spectrales de faibles amplitudes ou une raie de
faible amplitude proche d'une raie d'amplitude élevée.
26
Précision de la TFD
 Amélioration de la précision
 Diminuer Fe = augmenterTe

Suppression des hautes fréquences
 Amélioration de la précision sur les fréquences restantes
 Altération du signal ...
 Augmentation du nombre de points fréquentiel L

Pas toujours possible ...
 Augmentation du nombre de points temporels N





Ajout d'échantillons nuls
Interpolation fréquentielle : ”zéro padding”
Ajout de K-1 zéros entre les échantillons
Précision de 1/KN au lieu de 1/N
Exemple en 1D :
[1 , 2, 3] -> [1 ,0,0,2,0,0,3]

Application : zoom sur une image :
(voir http://perso.enst.fr/~maitre/BETI/zero_pad2/projet.html)
27
TFD et fenêtrage temporel
 Objectif
Amélioration de l ’analyse spectrale par pondération des échantillons avant filtrage
 Réalisation
Remplacement de la fenêtre rectangulaire h(n) par une fenêtre dont la TF présente des
ondulations plus faibles.
Exemples de fenêtre
 Fenêtre de Hanning
 Fenêtre de Hamming
 
n
 0.5 1 + cos 2π
, n = 0,, N − 1
h( n) =  
N  

 0 ailleurs
 0.54 − 0.46 cos 2π n  , n = 0,, N − 1

h( n) = 
N 

 0 ailleurs
Chaque type de fenêtre a une réponse en fréquence particulière (largeur du lobe principale, amplitude
des lobes secondaires, …) qui permet de choisir au mieux la « bonne » en fonction des applications
En général les résolutions en fréquence et en amplitude sont d'autant meilleures que le
lobe principal est étroit et les lobes secondaires sont de faibles amplitudes
28
Choix de la fenêtre
|H( f )|
∆F
Critères de sélection
- rapport A entre les maximum du lobe central et des lobes
secondaires de la TFD des fenêtres.
A
- atténuation des lobes secondaires de la TFD des fenêtres S.
S
- largeur du lobe central ∆F
f
Rectangle
Type de fenêtre
Rapport d’amplitude
entre le lobe principal
et le lobe secondaire
Largeur
principal
Rectangulaire
-13dB
2/N
Triangulaire
-25dB
4/N
Hanning
-31dB
4/N
Hamming
-41dB
4/N
Blackman
-57dB
6/N
Triangle
Hamming
Hanning
Blackman
du
lobe
 Remarque : diminution de la largeur du lobe principal  augmentation de l'amplitude des lobes secondaires
d'où un compromis à trouver
29
Transformée de Fourier Rapide (FFT)
X p(k) =

n= 0
N-1 sommes complexes et N produits complexes
N(N-1) sommes complexes N2 produits complexes
Sur un signal son wav de 6 secondes qui a 6*44100 = 264 600
points, on arrive à :


k
n
N
Pour calculer une TFD à N points , il faudra donc :


∑ x p ( n)e
− j 2π
D’après la définition ci-dessus, il faut, pour calculer 1 valeur en
fréquence de la TFD d’un signal de N points :


N−1
1011 opérations complexes !!!
La FFT va permettre de diminuer cela
30
Transformée de Fourier Rapide
 Objectif : trouver un algorithme de calcul efficace de la TFD de {x(n)}
La TFD de {x(n)} s'écrit : X ( k ) =
N−1
∑
x ( n )e
− j 2π
k
n
N
Xk =
n= 0
N−1
∑
n= 0
x(n)WNn.k
avec WN = e
− j
2π
N
 Propriétés de WN

WNk + l = WNk .WNl
WNl + kN = WNl


WN2.n.k = WNn./k2
Ecriture matricielle (avec N pair)
1
1
 X0  
 X  1
W2
1

 
X
 2  = 
W4
   1

 
X
 N − 1 
 N 
 2   1 W 2 2 − 1


  x0   1
 
W
  x2   W
 

N
4 − 1 
x

 +  W2
4

 2 
 
W
   

  N 


 x2 N − 1    2 − 1
N
N
2  − 1   − 1  
W
W  2   2     2   
1
 x0   1 0
 X0 
 x
 1 W
 X 
2
1

 


x
X

 + 0 0
4
 2  = TN
   
  
2

 


x
X

 0 0
N
N


2 − 1 
2
 2

 

1

 0
 
W2 


1
W3
N
2 − 1 
 2 
0
  x 
  1 
  x3 
T  x 
 N2  5 

 N − 1 




 2 
x
W
  N − 1
W4
W
 x
 1 
W
  x3 
 
W 2( N − 1)   x 
 5 

  
 N − 1  ( N − 1) 


 x 
 2 
 N − 1
W

1 
 
N
3 − 1 
 2 
0
X
N
0 − 1
2
XN
2
N − 1
1
( N − 1)
= TN x pair + DTN ximpair
2
2
= TN x pair − DTN ximpair
2
2
31
Conclusion
 TFTD
 Idem TF mais avec une somme.
 Signal non périodique -> support en fréquence continu.
 Signal périodique -> support discret.
 La TFTD d'un signal est Périodique de période Fe.
 Mais impossible à exploiter par un calculateur ...
 TFD
 Limitation de la durée du signal par fenêtrage.
 Discrétisation de la fréquence ...
 ... d'où une périodisation dans le temps.
 Le fenêtrage implique des déformations du spectre fréquentiel.
 Gourmand en calcul => FFT !
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