Exercice [Problème du Grand duc de Toscane]

1S/Cours
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Exercice [Problème du Grand duc de Toscane]
Quand on lance trois dés, quelle est la somme la plus probable, 9 ou 10 ?
Solution
Tout d'abord, il y a 6× 6× 6 = 216 cas possibles.
Une somme de 9 obtenue par 9 = 1 + 2 + 6 compte pour six cas (les six manières d'ordonner
{1,2,6}) : (1,2,6) ; (1,6,2) ; (2,1,6) ; (2,6,1) ; (6,1,2) ; (6,2,1).
Alors qu'une somme de 9 obtenue par 9 = 1 + 4 + 4 compte pour trois cas (selon la position du
1) : (1,4,4) ; (4,1,4) ; (4,4,1).
Résumons l'ensemble des cas favorables dans un tableau :
6 fois
6 fois
9 = 1+ 2+ 6
10 = 1 + 3+6
6 fois
6 fois
9 = 1+ 3+ 5
10 = 1 + 4+5
3 fois
3 fois
9 = 1+ 4+ 4
10 = 2 + 2+6
3 fois
6 fois
9 = 2+ 2+ 5
10 = 2 + 3+5
6 fois
6 fois
9 = 2+ 3+ 4
10 = 2 + 4+4
1 fois
6 fois
9 = 3+ 3+ 3
10 = 3 + 3+4
Total
25 cas
27 cas
25
27
Conclusion : 10 est plus favorable que 9 : P(9) =
et P(10) =
.
216
216
Exercice
Quatre personnes se donnent rendez-vous au café du village. Mais il y a quatre cafés dans ce
village. Quelle est la probabilité qu'aucune d'elles n'en rencontre aucune autre ?
Solution
Notons A, B, C et D les quatre personnes et 1, 2, 3 et 4 les quatre cafés.
Désignons une répartition des quatre personnes par un quadruplet dont
le premier élément indique le café où se rend la personne A,
le deuxième élément indique le café où se rend la personne B,
le troisième élément indique le café où se rend la personne C,
le quatrième élément indique le café où se rend la personne D.
Par exemple, 2311 signifie que A est allé en 2, B est allé en 3, et C et D sont allés en 1.
Ainsi, il y a 4× 4× 4× 4 = 256 répartitions possibles.
Les répartitions où personne ne se rencontre sont représentées par un quadruplet dont les
quatre éléments sont distincts. Par exemple 2143. Il y en a donc autant que de manières
d'ordonner quatre éléments distincts, c'est à dire 4! = 24.
24
3
La probabilité cherchée est donc
=
.
256
32
06/12/2001