Topographie 3

TOPOGRAPHIE
CONSTRUCTION DE
polygones
inscrits dans un cercle
construction d’ETOILES
Dossier n°3
Mai 1997
Tous droits réservés au réseau
C.D.R.
CONSTRUCTIONS DE POLYGONES
INSCRITS DANS UN CERCLE
CONSTRUCTION D’ETOILES
AGRIMEDIA
Apprentissage
Pré-requis :
- Savoir tracer des perpendiculaires, des médiatrices
Objectifs :
- Savoir tracer des polygones inscrits dans un cercle
- Savoir tracer des étoiles
Matériel :
- Feuilles, crayon, règle, compas, gomme
Sommaire :
I - Tracé d’un pentagone ou d’une étoile à 5 branches
II - Tracé d’un hexagone ou d’une étoile à 6 branches.
III - Tracé d’un heptagone ou d’une étoile à 7 branches
IV - Tracé d’un octogone ou d’une étoile à 8 branches.
Public concerné :
Toute personne désirant maîtriser les tracés de polygones
inscrits dans un cercle.
2
TRACES DE POLYGONES INSCRITS DANS UN CERCLE
TRACES D’ETOILES
I - PENTAGONE ET ETOILE A 5 BRANCHES
1) Le pentagone
Un pentagone est un polygone ayant 5 côtés et 5 sommets.
Construction :
O
a-
Tracer un cercle de centre O.
____________________________________________________________________
b-
Dans ce cercle, tracer un diamètre
AB.
O
A
B
____________________________________________________________________
c-
Tracer un diamètre CD perpendiculaire
à AB.
(si vous avez des difficultés pour
construire les perpendiculaire reportez
vous au dossier n°1 : « tracés de
perpendiculaires »)
C
O
A
B
D
____________________________________________________________________
d-
Tracer la médiatrice du rayon OB.
(si vous avez des difficultés pour
cette construction reportez-vous à
l’annexe n°3)
Elle passe par le point E milieu de
OB.
OE = EB.
C
A
E
O
B
D
____________________________________________________________________
3
e-
De E comme centre, tracer l’arc de
cercle de rayon CE.
Il coupe AB en F.
1
de la circonférence
CF représente
5
c’est-à-dire la mesure du côté du
pentagone.
C
F
A
E
O
B
D
____________________________________________________________________
f-
Reporter cette mesure (CF) 5 fois
sur le cercle, à l’aide du compas.
On obtient 5 points.
1
C
2
F
A
5
E
O
3
B
4
D
____________________________________________________________________
g-
Joindre les 5 points obtenus en
suivant.
On obtient un pentagone.
1
C
2
F
A
E
O
3
5
B
4
D
____________________________________________________________________
2) Etoile à 5 branches
C
Construction :
a-
Tracer un cercle de centre O puis
tracer 2 diamètres AB et CD
perpendiculaires.
A
O
B
D
____________________________________________________________________
4
C
b-
Tracer la médiatrice du rayon OB.
Elle passe par le point E milieu de
OB.
E
O
A
B
D
____________________________________________________________________
c-
Tracer le cercle de centre E et de
rayon EB puis tracer la droite DE elle
coupe le cercle de rayon EB en F et
G.
C
G
E
O
A
B
F
D
____________________________________________________________________
d-
Tracer le cercle de centre D et de
rayon DF.
Il coupe le cercle de centre O en 2
points : H et I.
C
G
E
O
A
B
F
H
I
D
____________________________________________________________________
e-
C
Tracer le cercle de centre D et de
rayon DG. Il coupe le cercle de
centre O en 2 points : J et K.
G
J
Les points C, K, I, H, J sont les
sommets de l’étoile.
K
E
O
A
B
F
H
I
D
____________________________________________________________________
f-
C
Joindre les points par une droite :
C et H
C et I
H et K
I et J
J et K
Vous obtenez ainsi une étoile à 5
branches.
G
J
K
E
O
A
B
F
H
I
D
5
II - HEXAGONE OU ETOILE A 6 BRANCHES
1) Tracé d’un hexagone
Un hexagone est un polygone ayant 6 côtés et 6 sommets
Construction :
a-
Tracer un cercle de centre O et de
rayon OB. Le rayon OB correspond
1
au
de la circonférence.
6
O
B
____________________________________________________________________
b-
5
4
A partir du point B reporter à l’aide
du compas 6 fois la mesure OB sur
la circonférence.
3
O
B
6
On obtient 6 points.
2
1
____________________________________________________________________
c-
Pour obtenir l’hexagone il suffit de
joindre les points 1 à 1.
5
4
3
O
B
6
2
1
____________________________________________________________________
2) Tracé de l’étoile à 6 branches
Le tracé est le même que celui de l’hexagone.
Reportez vous au paragraphe :
1) Tracé d’un hexagone / a et b
Quand les 6 points sont obtenus, vous
pouvez tracer l’étoile.
5
4
3
O
Pour cela, rejoignez alors les points :
1 avec 3 et 5
2 avec 4 et 6
3 avec 5
4 avec 6
2
B
6
1
6
III - HEPTAGONE OU ETOILE A 7 BRANCHES
1) Tracé d’un heptagone :
Un heptagone est un polygone ayant 7 côtés et 7 sommets.
Construction :
O
a-
B
Tracer un cercle de centre O et de
rayon OB.
____________________________________________________________________
b-
Tracer la médiatrice du rayon OB.
Elle coupe :
- le rayon OB en E tel que OE = EB
- et le cercle (O) en C.
C
E
O
B
1
de la
7
circonférence c’est-à-dire au côté de
l’heptagone.
____________________________________________________________________
CE
c-
correspond
au
A l’aide du compas (dont l’écartement
est égal à CE) reporter 7 fois cette
mesure sur la circonférence à partir du
point B.
3
C
2
4
1
B
E
O
5
7
6
____________________________________________________________________
d-
Joindre les points obtenus un à un.
Vous obtenez ainsi un heptagone.
3
C
2
4
O
1
B
E
5
7
6
7
2) Etoile à 7 branches
Pour cette étoile, la construction est la même que pour l’heptagone.
Suivre les étapes.
a
3
b
C
et c
2
4
d-
1 avec 3 et 6
2 avec 4 et 7
3 avec 5
4 avec 6
5 avec 7
1
B
E
O
Pour obtenir l’étoile il faut relier par
des droites les points :
5
7
6
IV - OCTOGONE OU ETOILE A 8 BRANCHES
1) Octogone
Un octogone est un polygone à 8 côtés et 8 sommets.
Construction :
C
a-
Tracer un cercle de centre O.
Tracer 2 diamètres AB et CD
perpendiculaires.
(en cas de difficultés, reportez vous
au dossier n°1)
A
O
B
D
____________________________________________________________________
b-
Tracer les bissectrices :
C
$
F
- de l’angle AOC
E
$
- puis de l’angle AOC
(en cas de difficultés, reportez vous
O
A
B
à l’annexe 2 construction de la
bissectrice d’un angle).
H
Prolonger les au-delà de O.
G
Vous obtenez 4 points : E, F, G, H
D
____________________________________________________________________
8
c-
Pour obtenir l’octogone, rejoigner les
points un à un.
C
F
E
O
A
B
H
G
D
2) Tracé de l’étoile à 8 branches
Pour ce tracé la construction est la même
que pour l’octogone.
Suivre les étapes :
a
et b de la contruction de l'octogone
C
F
E
O
A
B
c Pour obtenir une étoile il faut tracer
les droites :
H
G
D
AE, AH
FB, FD
CG, CH
ED
BG
9