Exercices corrigés sur l`étude des fonctions composées

Exercices corrigés sur l’étude des fonctions composées
Exercice 1 Voir la correction
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
1. f (x) = 4x + 5 + e −2x+3
2. f (x) = xl n(2x + 1)
3. f (x) =
2
1 + e −4x
4. f (x) = l n(
3
)
1 + 2x
Exercice 2 Voir la correction
On considère la fonction f définie pour x > 0 par :
f (x) = xe ax+b
Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de la fonction f admette une tangente horizontale en x = 1
et passe par le point de coordonnées (2; 6)
Exercice 3 Voir la correction
On considère la fonction f définie sur R par :
f (x) = x − l n(x 2 + 1)
L’objet de cet exercice est l’étude de la suite (u n ) définie par :
u n+1 = f (u n ) avec u 0 = 1
1.
(a) Etudiez les variations de f sur [0; 1].
(b) En déduire que si 0 ≤ x ≤ 1 alors 0 ≤ f (x) ≤ 1.
2.
(a) Démontrez par récurrence que : ∀n, 0 ≤ u n ≤ 1.
(b) Déterminez le sens de variation de la suite.
(c) En déduire que la suite (u n ) est convergente et calculer sa limite.
Exercice 4 Voir la correction
On cherche une fonction s de la variable t , solution de l’équation différentielle :
s ′′ (t ) − 5s ′ (t ) + 6s(t ) = 12
où s ′′ désigne la dérivée seconde de s et s ′ la dérivée de s.
1. Démontrer que quelque soit les réels a et b, la fonction s définie par s(t ) = ae 2t + be 3t + 2 vérifie cette relation (on
dit que s est solution de l’équation différentielle).
2. Déterminer celle qui vérifie les deux conditions initiales s(0) = 0 et s ′ (0) = 5
Exercice 5 Voir la correction
On considère la fonction f définie sur R par :
1. Démontrez que pour tout réel x, on a :
p
p
f (x) = x + 1 + x 2
1 + x 2 × f ′ (x) = f (x).
2. En déduire pour tout réel x que :
1
(1 + x 2 ) f ′′ (x) + x f ′ (x) − f (x) = 0
Exercice 6 Voir la correction
On considère la fonction g définie par :
g (x) = (2x − 5)5 où n est un entier.
1. Déterminer g ′ (x).
2. Démontrer que pour tout réel x, on a :
g (x) = g (0) +
x k g (k) (0)
k!
k=1
k=5
X
où g (k) (0) désigne la valeur en 0 de la k i ème dérivée de g et k! = k × (k − 1) × (k − 2) × ... × 2 × 1(factorielle k).
2
Correction exercice n°1
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1. f ′ (x) = 4 − 2e −2x+3
2. f ′ (x) = l n(2x + 1) +
2x
2x + 1
3. f ′ (x) =
8e −4x
(1 + e −4x )2
4. f ′ (x) = −
2
1 + 2x
Correction exercice n°2
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La courbe passe par le point de coordonnées (2; 6) donc f (2) = 6 = 2e 2a+b d’où e 2a+b = 3.
(1)
La courbe admet une tangente horizontale en x = 1 donc f ′ (1) = 0 avec f ′ (x) = (1 + ax)e ax+b . D’où (1 + a)e a+b = 0 soit
a = −1.
Puis en reportant dans la relation (1), b = 2 + l n(3).
Correction exercice n°3
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1.
(a) Pour tout x, f ′ (x) = 1 −
2x
(x − 1)2
=
. D’où le tableau de variation de f sur [0; 1].
x2 + 1
x2 + 1
0
x
f (x)
′
1
+
f (x)
0
ր
1 − l n(2)
(b) Donc d’après le tableau de variations de f sur [0; 1], si 0 ≤ x ≤ 1 alors 0 ≤ f (x) ≤ 1 − l n(2) ≤ 1.
2.
(a) Posons P n : ∀n, 0 ≤ Un ≤ 1.
Alors P 0 est vraie. Supposons la relation vraie au rang k, c’est-à-dire 0 ≤ Uk ≤ 1. D’après la question 1.b, si
0 ≤ Uk ≤ 1 alors 0 ≤ f (Uk ) ≤ 1 avec f (Uk ) = Uk+1 . D’où l’hérédité de la propriété. La propriété est finalement
vraie pour tout n.
(b) Un+1 −Un = Un − l n(Un2 + 1) −Un = −l n(Un2 + 1). Or lorsque 0 ≤ Un ≤ 1, alors 1 ≤ Un2 + 1 ≤ 2 donc −l n(2) ≤
−l n(Un2 + 1) ≤ 0, quelque soit n. Donc la suite Un est décroissante.
(c) La suite (Un ) est minorée par 0 et décroissante ; donc elle converge vers une limite l solution de l’équation
f (x) = x. On a donc :l = l − l n(l 2 + 1), soit l n(l 2 + 1) = 0 ou encore l 2 + 1 = 1 soit l = 0.
Correction exercice n°4
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1. On a successivement s(t ) = ae 2t + be 3t + 2 puis s ′ (t ) = 2ae 2t + 3be 3t et s ′′ (t ) = 4ae 2t + 9be 3t . Donc pour tout t , on
a:
s ′′ (t ) − 5s ′ (t ) + 6s(t ) = 4ae 2t + 9be 3t − 10ae 2t + 15be 3t + 6ae 2t + 6be 3t + 12 = 12 car les termes en t s’annulent.
2. Si s(0) = a + b = 0 et s ′ (0) = 2a + 3b = 5 alors a = 1 et b = −1.Donc s(t ) = e 2t − e 3t .
Correction exercice n°5
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p
p
1
x
1
= 1+ p
. Donc 1 + x 2 f ′ (x) = 1 + x 2 + x = f (x).
× 2x × p
2
1 + x2
1 + x2
p
2. Dérivons membre à membre la dernière relation : 1 + x 2 f ′ (x) = f (x). On obtient :
p
p
1
1
× 2x × p
× f ′ (x) + 1 + x 2 f ′′ (x) = f ′ (x) puis en multipliant chaque membre par 1 + x 2 , on obtient la rela2
2
1+x
tion souhaitée :
1. f ′ (x) = 1 +
3
(1 + x 2 ) f ′′ (x) + x f ′ (x) − f (x) = 0
Correction exercice n°6
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1. g ′ (x) = 5 × 2 × (2x − 5)4
2. La formule du binôme
à ! de Newton donne
à ! :
à !
à !
5
5
5
5
4
3
2
2
3
5
5
(2x − 5) = (2x) +
(2x) × (−5) +
(2x) × (−5) +
(2x) × (−5) +
(2x) × (−5)4 + (−5)5
1
2
3
4
soit (2x − 5)5 = 32x 5 − 400x 4 + 2000x 3 − 5000x 2 + 6250x − 3125
En effectuant les dérivées successives de g , on trouve :
g (x) = (2x − 5)5 donc g (0) = −3125
g ′ (x) = 10(2x − 5)4 donc g ′ (0) = 10 × (−5)4 = 6250
g ′′ (x) = 80(2x − 5)3 donc g ′′ (0) = 80 × (−125) = −10000
g (3) (x) = 480(2x − 5)2 donc g (3) (0) = 480 × 25 = 12000
g (4) (x) = 1920(2x − 5) donc g (4) (0) = −9600
g (5) (x) = 3840 donc g (5) (0) = 3840
x5
x2
Ainsi g (0) + xg ′ (0) + g ′′ (0) + ... + g (5) (0) = −3125 + 6250x − 5000x 2 + 2000x 3 − 400x 4 + 32x 5 = g (x).
2!
5!
–
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–
4