LES ENSEMBLES DE NOMBRES

LES ENSEMBLES DE NOMBRES
L'ensemble des nombres entiers naturels :
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ...
Si on rajoute à l'ensemble précédent tous les nombres entiers négatifs on obtient :
L'ensemble des nombres entiers relatifs
Si on rajoute à l'ensemble précédent tous les nombres à virgule ayant un nombre fini de
chiffres derrière la virgule (ce sont les nombres qui correspondent aux divisions ou aux
fractions qui tombent juste) , on obtient :
L'ensemble des nombres décimaux relatifs
Si on rajoute à l'ensemble précédent tous les nombres qui correspondent aux divisions ou aux
fractions qui ne tombent pas juste, on obtient :
L'ensemble des nombres rationnels relatifs
(C'est l'ensemble de tous les nombres qui peuvent s'écrire sous la
forme d'une fraction)
En rajoutant encore les nombres non rationnels, comme π et beaucoup de racines carrées, on
obtient :
L'ensemble des nombres réels
C'est l'ensemble de tous les nombres imaginables (en troisième).
Remarque :
Tous les nombres entiers sont décimaux, tous les nombres décimaux sont
rationnels, et tous les nombres rationnels sont des réels.
Les ensembles de nombres sont emboîtés comme des poupées gigognes.
ARITHMETIQUE
L'arithmétique est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des entiers naturels.
-1- MULTIPLES ET DIVISEURS D'UN NOMBRE ENTIER
Exemple :
Les multiples de 30 sont : 30 , 60 , 90 , 120 , 150 , 180 , 210 , 240 , 270 , ... (il y en
a une infinité).
Les diviseurs de 30 sont : 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 (il y en a un nombre fini).
Soit n un nombre entier non nul,
Les multiples de n sont les nombres entiers suivants : n , 2n , 3n , 4n , 5n , 6n ,
...
Les diviseurs de n sont les nombres entiers dont n est un multiple.
Remarque : Tous les nombres entiers sont divisibles par 1 et par eux mêmes.
Cas particulier :
Un nombre qui a exactement deux diviseurs est appelé nombre premier.
Début de la liste des nombres premiers : 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 ,
31 , ...
-2- MULTIPLES ET DIVISEURS COMMUNS À DEUX NOMBRES ENTIERS
Exemple avec les nombres 30 et 24 :
diviseurs
(communs)
30
24
1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30
1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24
multiples 30 , 60 , 90 , 120 , 150 , 180 ,
(communs)
210 , 240 , 270 , ...
24 , 48 , 72 , 96 , 120 , 144 ,
168 , 192 , 216 , 240 , 264 ...
Le plus grand diviseur commun à 30 et 24 est 6.
On écrit : PGDC (30 , 24) = 6
Le PGDC est utile pour simplifier les fractions :
Cas particulier :
Quand deux nombres n'ont pas d'autre diviseur commun que 1, on dit que ces
deux nombres sont premiers entre eux.
Exemple : 12 et 35 sont premiers entre eux car les diviseurs de 12 sont 1 , 2 , 3 ,
4 , 6 , 12 et les diviseurs de 35 sont 1 , 5 , 7 , 35 . Seul 1 est commun.
Remarque : Une fraction est irréductible quand son numérateur et son
dénominateur sont des nombres premiers entre eux.
-3- MÉTHODES DE DÉTERMINATION DU PGDC DE DEUX NOMBRES
1ère méthode : En écrivant des listes (voir paragraphe 2)
2ème méthode : En décomposant les deux nombres en produits de nombres
premiers.
Exemple pour les deux nombres 30 et 24 :
3ème méthode : ALGORITHME D'EUCLIDE
Exemple : déterminer le PGDC des deux nombres 792 et 1908:
1ère étape, division euclidienne de 1908 par 792 :
1908 = 792 x 2 + 324
2ème étape, division euclidienne de 792 par le reste 324 :
792 = 324 x 2 + 144
et ainsi de suite :
324 = 144 x 2 + 36 (PGDC)
144 = 36 x 4 + 0 "FIN"
CONCLUSION : PGDC(1908 , 792) = 36
Cette méthode est basée sur le fait que si deux nombres entiers sont divisibles
par un certain nombre k, alors leur différence est également divisible par k.
On peut résumer les calculs dans des tableaux :
ETAPES
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ETAPES
1
2
3
4
a
b
1908
792
1116
792
468
324
180
144
108
72
36
792
324
324
144
144
36
36
36
36
a
b
1908
792
792
324
144
324
144
36
a-b
1116
324
468
144
180
36
108
72
36
0
quotient entier
restes a/b
2
2
2
4
324
144
36
0