sollicitation de traction - Hervé JARDIN

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Terminale S.T.I.
Jardin-Nicolas Hervé
http://perso.orange.fr/herve.jardin-nicolas/
SOLLICITATION DE TRACTION
Résistance des matériaux
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Sollicitation de
traction
I. INTRODUCTION
1. Buts de la résistance des matériaux
La résistance des matériaux a trois objectifs principaux :
♦ la connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux.
(comportement sous l’effet d’une action mécanique)
♦ l'étude de la résistance des pièces mécaniques.
(résistance ou rupture)
♦ l'étude de la déformation des pièces mécaniques.
Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d'une pièce mécanique
en fonction des conditions de déformation et de résistance requises.
II. SOLLICITATION DE TRACTION
2.1 Traction
2.1.1 Définition
Une poutre est sollicitée en traction simple lorsqu'elle est soumise à deux
forces égales et directement opposées, appliquées au centre de surface des
sections extrêmes et qui tendent à l'allonger.
A
B
A
E
A
y
R
(S)
JJG
R
Nx
A
G
E1
z
B
x
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Sollicitation de
traction
Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment par :
⎧ Nx 0⎫
{Tcoh ( E 2 → E1)}= ⎪⎨ 0 0⎪⎬
avec Nx > 0
⎪ 0 0⎪ G G G
⎭( x , y, z )
G⎩
2.1.2 Contraintes
Soit (E1) le morceau de la poutre (E) issu de sa coupure par un plan orthogonal
à sa ligne moyenne.
σ0
JG
A
A
JG
Le morceau (E1) est en équilibre sous l'action de A et des efforts de cohésion
dans la section droite (S).
Soit « S » l'aire
G de la section droite (S). On définit la force de cohésion en
projection sur x appelée contrainte normale σ 0 (SIGMA NOMINAL) dans la
section droite (S) par la relation :
σ0 =
avec
Nx
S
σ 0 : contrainte normale NOMINALE d'extension (σ > 0) en MPa.
Nx : effort normal d'extension en Newton.
S : aire de la section droite (S) en mm2.
Dans chaque section droite, il apparaît un champ de contrainte normale σ dont
la répartition est UNIFORME sur toute la section de coupure.
(même valeur de σ en tout point de la section de coupure).
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Sollicitation de
traction
En R.D.M. on recherche toujours la valeur de la contrainte maxi à laquelle doit
résister le matériau
Dans le cas de la traction ou de la compression, la valeur de σ 0 est la même en
tout point d’une même section. Mais d’une section à l’autre, σ 0 peut changer.
En effet en regardant la relation
σ0 =
Nx
S
Nous pouvons remarquer que σ 0 dépend de :
•
•
« Nx », souvent constant tout au long de la poutre.
« S », la section peut varier le long de la poutre.
o σ 0 sera maxi à dans la section de coupure ou « Nx » est maxi et
ou « S » est mini.
Exemple :
JG
JG
Soit une poutre « E » soumis à deux forces A(1 → E ) et B(2 → E ) égales et
directement opposée de direction (A,B)
JG
JG
On donne A = B = 10000 N
JG
A(1 → E )
JG
B (2 → E )
⎧10000 0 ⎫
⎪
⎪
Une étude de l’équilibre de E1 montre que {Tcoh ( E 2 → E1)} = ⎨ 0
0⎬
⎪ 0
0 ⎪⎭ R
G ⎩
Sur toute la longueur de la poutre.
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Sollicitation de
traction
Or la section « S2 » est plus petite que « S1 »
La contrainte normale σ 0 sera donc plus importante dans « S2»
Vérification :
•
Calcul de σ 0 dans « S1 »
Nx 10000
σ0 =
=
=12.43 Mpa
S1 π .322
4
•
Calcul de σ 0 dans « S2 »
Nx 10000
σ0 =
=
=49.73 Mpa
S 2 π .162
4
2.1.3 Concentration de contraintes
Lorsque les poutres étudiées présentent de brusques variations de sections
(trous, gorges, épaulements...), les formules précédentes ( σ 0 = Nx / S) ne sont
plus applicables.
Au voisinage du changement de section, la répartition des contraintes n'est plus
uniforme (ou constante) et présente un minimum et un maximum.
Le maximum est atteint pour les points situés à proximité des variations.
On dit qu'il y a concentration de contraintes en ces points.
La valeur est :
K t , est appelé le coefficient de concentration de contrainte.
K t dépend de la forme de la section et du type de la variation.
La valeur de K t est déterminée à l’aide d’abaques. (Voir annexes fig. 16 à 21)
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Sollicitation de
traction
Exemple : Déterminons σ max i près de l'épaulement, au niveau de la section S,
pour la pièce proposée.
2.1.4 Caractéristiques mécaniques d'un matériau
◊ Résistance limite élastique en extension σe
C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine élastique, appelée
aussi limite d'élasticité Re.
Pour l'acier, cette valeur est voisine de 300 MPa.
◊ Résistance limite de rupture en extension σr
C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'éprouvette, appelée
aussi nommée résistance à la traction R.
Pour l'acier, cette valeur est voisine de 480 MPa.
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2.1.5 Coefficient de sécurité.
Pour être certain qu’une pièce mécanique résiste parfaitement aux actions
mécaniques auxquelles elle doit faire face durant toute sa durée de vie, il faut
connaître parfaitement les conditions de fonctionnement du mécanisme auxquels elle
appartient.
Or une surcharge accidentelle est toujours possible.
Exemple :
•
•
Un moteur peut faire un sur régime lors d’un changement de vitesse
raté.
Le câble qui soulève un ascenseur peut subir une surcharge accidentelle
si la masse des personnes à transporter dépassent la valeur inscrite dans
la cabine.
Pour palier à ces incertitudes, on adopte un coefficient de sécurité noté « s ».
Ce coefficient sert à calculer une « limite élastique virtuelle »
Cette limite est appelée RESISTANCE PRATIQUE A L’EXTESION et notée σp.
σp est donné par la relation suivante
σp =
σe
s
σp :Résistance pratique à l’extension en Mpa
σe :Résistance élastique du matériau en Mpa
S : Coef. De sécurité (sans unité).
La valeur du coefficient de sécurité dépend du domaine d’application du mécanisme
auxquelles appartient la pièce.
Exemple :
• Mécanique courante : S est compris entre 3 et 6
• Aérospatial, formule 1, compétition : S est compris entre 1.2 et 2.5
• Génie civil (ponts, viaduc immeubles etc..) S est compris entre 10 et 20
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traction
2.1.6 Condition de résistance
Pour vérifier si la pièce étudiée qui soumise à des forces de traction ou de
compression est compatible avec le matériau prévu (qui résiste dans le domaine
élastique), il faut comparer deux valeurs :
•
σ max i
qui dépend des forces, des dimensions de la pièce et de sa
forme
•
σp
qui dépend de la résistance élastique
σe
et du coef. De sécurité.
Pour que la pièce résiste face aux sollicitations de traction ou de compression il
faut vérifier la condition de résistance suivante.
σ max i ⊆ σ p
σ max i
σp =
Avec
σp
σe
0
σr
σe
s
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traction
III) DEFORMATION D’UNE POUTRE SOLLICITEE A LA TRACTION.
1. Déformation longitudinale.
DOMAINE D’ETUDE : Dans la zone de déformation élastique.
a. RELATION ENTRE L’EFFORT ET L’ALLONGEMENT D’UNE
EPROUVETTE DE TRACTION.
Avant d’exercer un effort de traction, l’éprouvette a une longueur initiale « L0 »
Si on lui applique deux efforts
« L ».
L’allongement est :
F
égaux et opposés, sa longueur est plus importante, elle a pour valeur
ΔL = L – L0
Dans le domaine élastique, le graphe expérimental donnant l’allongement de l’éprouvette en fonction de
l’effort de traction F
= f(ΔL) est le suivant :
L’allongement est proportionnel à l’effort de traction.
F= K. ΔL
ΔL
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traction
b) RELATION ENTRE LA CONTRAINTE NORMALE ET
L’ALLONGEMENT D’UNE POUTRE UNITAIRE.
Isolons une poutre unitaire de forme cubique noyée au sein de l’éprouvette précédente.
Ses dimensions initiales (avant déformation) sont de 1mm de coté.
1mm
Poutre unitaire de
1mm2 de section et de
1mm de long.
ETAT
REPOS
εx
-σ
SOUS UNE
CHARGE F
σ
Lorsque l’éprouvette de longueur « L0 » s’allonge d’une valeur ΔL sous l’action de deux efforts « F »
égaux et opposés, la poutre unitaire quant à elle s’allonge d’une valeur
contraintes
εx sous l’action de deux
σ égales et opposées.
Dans le domaine élastique, le graphe donnant l’allongement de la poutre unitaire en fonction de la
contrainte normale
σ =f (εx)
est le suivant :
σ
)
Il y a proportionnalité entre la contrainte
Unitaire.
σ et l’allongement
(N/mm2
σ
σ
εx
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Sollicitation de
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Module de Young.
Le coefficient de proportionnalité entre
« E » s’appel :
σ et εx est noté « E »
MODULE D’ELASTICITE LONGITUDINAL.
ou : MODULE DE YOUNG.
Ce module est une constante pour chaque famille de matériaux.
Exemple :
E
aciers
= 210000 MPa
E = 70000MPa
alu
E
cuivre
= 120000MPa
Loi de Hooke.
σ
La loi de proportionnalité entre la contrainte
et l’allongement unitaire
est appelée LOI DE HOOKE.
MPa
Elle s’écrit :
MPa
σ = E. εx
εx
mm/mm
ou
sans unité
avec
mm
ΔL
εx =
L0
mm
Ou « E » est appelé MODULE D’ELASTICITE LONGITUDINALE
( ou encore MODULE DE YOUNG).
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Sollicitation de
traction
c) RELATION EFFORT – DEFORMATION LONGITUDINALE D’UNE
POUTRE DROITE.
Ceci est valable en traction comme en compression.
Nx > 0
En compression, l’effort normal Nx < 0
Rappel : En traction, l’effort normal
Reprenons la loi de HOOKE
σ = E. εx
Nous avons vu dans le cour précédent que la contrainte
suivante :
σ=
Et comme :
Alors :
σ était donnée par la relation
Nx
S0
εx =
ΔL
L0
Nx
ΔL
= E.
S0
L0
La relation donnant la déformation longitudinale d’une poutre est la
suivante :
Avec :
•
•
•
•
•
ΔL : Allongement de la poutre en « mm »
Nx : Effort normal de traction sur la poutre en
«N»
L0 : Longueur initiale de la poutre en « mm »
S0 : Section initiale de la poutre en « mm2 »
E : Module de Young en « Mpa »
La longueur «
L » de la poutre après déformation est :
En traction :
L = L0 + ΔL
En compression :
L = L0 − ΔL
Nx.L0
ΔL =
S 0.E
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2. Déformation transversale.
L’allongement de la poutre provoque une contraction transversale de cette dernière (C’est à dire une
diminution des dimensions extérieures de chaque section droite).
1mm
ETAT
REPOS
d0
1mm
εx
SOUS UNE
CHARGE F
-σ
σ
d0-Δd
1-
εy
Pour la poutre.
Soit «
d0 » la dimension transversale initiale de la de la poutre. Sous un effort de traction
« F » elle s’allonge d’une valeur « ΔL ».
Ce phénomène s’accompagne d’une diminution de « do ».
Cette « contraction » de « d0 » est noté « Δd ».
Pour la poutre élémentaire
εx » de la poutre élémentaire s’accompagne d’une diminution
de sa dimension transversale d’une valeur notée « εy » appelée contraction transversale unitaire.
L’allongement d’une valeur «
« εy » est donnée par la relation :
ε
Relation entre « x» et «
εy =
εy ».
Le coefficient de POISSON noté
Δd
d0
ν permet de lier ces deux valeurs par la relation suivante :
εy = ν . ε x
Pour les matériaux isotropes (mêmes résistance dans toutes les directions)
Relation générale donnant la contraction d’une poutre.
Δd = ν .d 0.
ΔL
Lo
ν = 0.3

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