Logique du premier ordre Application en linguistique

Transcription

Formalismes linguistiques – Logique du premier ordre © 2005-2006 R. Marlet
Cours de formalismes linguistiques
Master 1 — 2005-2006
Logique du premier ordre
Application en linguistique
Renaud Marlet
LaBRI / INRIA
http://www.labri.fr/~marlet/teaching
màj : 07/02/2006
1
Objectif
●
Se donner un langage formel pour exprimer la
sémantique, ici sous un aspect logique
–
pouvoir représenter des faits / des états du monde
–
pouvoir juger vrais ou faux des énoncés relatifs à cette
connaissance du monde
●
●
●
N.B. On ne juge pas ici si le monde « réel » est fidèlement
représenté ; ce monde peut être « imaginaire »
On se contente de juger la véracité de certains énoncés par
rapport à une connaissance donnée (arbitraire) du monde
(Savoir associer à une phrase en langue naturelle
sa ou ses sémantiques logiques, quand il y en a)
2
Au programme
●
Vocabulaire
–
●
Modèle
–
●
sens effectivement donné à un vocabulaire
Langage du premier ordre
–
–
●
briques de base d'une représentation sémantique
énoncé → formule logique basée sur le vocabulaire
véracité d'une phrase par rapport à un/des modèle(s)
Lambda-calcul
–
construction compositionnelle d'une formule logique
associée à une phrase en langue naturelle
3
4
Rappel mathématique
Relation R sur un ensemble E
R = ensemble d'éléments choisis dans E × E
Exemples pour E = {0,1}
R = {(1,1)}, R = {(0,0),(0,1),(1,1)}, ...
Notation (pour tout x et y  E)
x R y ssi (x,y)  R
[ on note aussi R(x,y) ]
Plus généralement (relation d'arité n):
R = ensemble d'éléments choisis dans E1 × ... × En
Notation : R(x1, ..., xn), R(x), R(x,y,z)
5
Vocabulaire
d'après « Computational Semantics »
(Burchart, Walter, Koller, Kohlhase, Blackburn, Bos)
Vocabulaire (termes/briques de base)
–
constantes
●
–
–
ex. Marie, Jean, Anne, Pierre
prédicats (relations)
●
ex. aime, violoniste, gastronome
●
exemple d'usage : aime(Pierre,Marie)
arité = nombre d'arguments d'un prédicat
●
ex. arité de aime = 2
●
ex. arité de violoniste et de gastronome = 1
Notation :
({Marie, Jean, Anne, Pierre}, {aime/2, violoniste/1, gastronome/1})
6
Vue d'ensemble (1)
Lexique
syntaxique
Vocabulaire
sémantique
Phrases
grammaticales
utilisant le
lexique
Phrases
/ formules
utilisant le
vocabulaire
sémantique
Usage des symboles
●
Le sens du vocabulaire est arbitraire
–
●
●
Il est juste constitué de symboles
On pourrait (!)
–
dire que le symbole Pierre désigne Marie Curie
–
dire que le symbole Marie désigne Pierre Curie
–
dire que le symbole aime désigne l'action de réveiller
–
et écrire aime(Pierre, Marie) pour signifier que Marie
Curie réveille son mari
Mais on ne le fera pas : on utilisera toujours les
symboles de façon « suggestive »
7
8
Modèle (intuition)
☛ Un modèle donne un sens à un vocabulaire
Intuitivement, un modèle est :
–
une situation, une connaissance supposée de l'état du
monde
–
exprimable à l'aide des symboles d'un vocabulaire
Un modèle est constitué par :
–
un ensemble ayant pour éléments les « véritables »
entités dont on veut parler
–
une correspondance entre les symboles du vocabulaire
et les entités / des faits concernant ces entités
9
Vue d'ensemble (2)
Lexique
syntaxique
Vocabulaire
sémantique
construction
Phrases
grammaticales
utilisant le
lexique
Phrases
/ formules
utilisant le
vocabulaire
sémantique
interprétation
Modèle
satisfaction
Entités
construction
Faits
concernant
les entités
Modèle (définition formelle)
Un modèle M est défini par M = (D, F) tel que :
–
D est un domaine
[c'est l'ensemble des entités dont on veut parler]
–
F est une fonction d'interprétation
[c'est la correspondance entre symboles et entités/faits]
●
●
Si c est une constante, F(c) ∈ D
Si p est un prédicat d'arité n, F(p) est une relation d'arité n
dans D
10
11
Exemple de modèle
Domaine D = {d1,d2,d3,d4}
Fonction d'interprétation F définie par :
●
F(Marie) = d1
●
F(Anne) = d2
●
F(Jean) = d3
●
F(Pierre) = d4
●
F(violoniste) = {d1,d3}
→ Marie et Jean sont violonistes
●
F(gastronome) = {d2,d4}
→ Anne et Pierre sont gastronomes
●
F(aime) = {(d4,d2),(d3,d1)} → Pierre aime Anne, Jean aime Marie
(mais Anne n'aime pas Pierre,
Anne n'aime pas Jean, ...)
Exercice :
Donnez une description en français
●
D = {d1,d2,d3,d4}
●
F2(Marie) = d2
●
F2(Anne) = d1
●
F2(Jean) = d4
●
F2(Pierre) = d3
●
F2(violoniste) = {d1,d2,d4}
●
F2(gastronome) = {d3}
●
F2(aime) = {(d4,d1)}
12
Exercice :
Donnez une description en français
●
D = {d1,d2,d3,d4}
●
F2(Marie) = d2
●
F2(Anne) = d1
●
F2(Jean) = d4
●
F2(Pierre) = d3
●
F2(violoniste) = {d1,d2,d4}
●
F2(gastronome) = {d3}
●
F2(aime) = {(d4,d1)}
13
→ Il y a quatre entités : Anne, Marie, Pierre, Jean. Anne,
Marie et Jean sont violonistes. Pierre est gastronome.
Jean aime Anne. Et rien d'autre.
Remarques
–
–
Une entité peut avoir plusieurs noms, c.-à-d. être
associée à plusieurs constantes du vocabulaire
●
D = {d1}
●
F(Marie) = d1
●
F(Anne) = d1
Des entités peuvent ne pas être nommées, c.-à-d. ne
pas être associées à une constante du vocabulaire
●
D = {d1,d2,d3,d4}
●
F(Marie) = d1
●
F(Anne) = d2
14
15
Modèle exact
Définition : un modèle M = (D, F) est exact ssi
chaque entité de D correspond à une et une
seule constante du vocabulaire
Exemple :
constantes : Marie, Anne, Jean, Pierre
domaine : D = {d1,d2,d3,d4}
fonction d'interprétation : F(Marie) = d1
F(Anne) = d2
F(Jean) = d3
F(Pierre) = d4
Modèle inexact
Définition : un modèle M = (D, F) est inexact ssi il
n'est pas exact
–
–
à une entité peut correspondre plusieurs constantes
●
D = {d1}
●
F(Marie) = d1
●
F(Anne) = d1
certaines entités peuvent ne pas être nommées
●
D = {d1,d2,d3,d4}
●
F(Marie) = d1
●
F(Anne) = d2
16
17
Modèle inexact
Un modèle est inexact ssi il n'est pas exact :
[rappel]
–
à une entité peut correspondre plusieurs constantes
–
certaines entités peuvent ne pas être nommées
Attention !
–
Un modèle inexact n'est pas faux, incohérent, ambigu...
–
C'est juste un modèle avec lequel c'est peu pratique de
travailler (en particulier si D est infini)
–
Mais pour la plupart des problèmes, on utilise des
modèles exacts, plus faciles à représenter et presque
aussi « puissants » [cf. modèles de Herbrand]
18
Plan
On a vu :
–
vocabulaire : briques de base
–
modèle : sens donné à un vocabulaire
On va voir :
–
construction de phrases qui utilisent ce vocabulaire
→ langage du premier ordre : formule logique
Langages du premier ordre :
ingrédients
–
les symboles d'un vocabulaire (aussi appelés
symboles non logiques)
–
un ensemble (infini) de variables : x, y, z, w, ...
–
les quantificateurs
●
–
les connecteurs booléens
●
–
∀ (universel) et ∃ (existentiel)
¬ (négation), ⇒ (implication), ∧ (conjonction), ∨ disjonction
les parenthèses « ( » et « ) »
Ce qui distingue un langage du premier ordre d'un
autre : le choix du vocabulaire
19
définitions (1)
Terme (du premier ordre) :
–
Un terme est une constante ou une variable
Exemples :
–
Pierre, Marie, x, y
Non-exemples :
–
aime, violoniste
Exercice :
–
Donnez d'autres exemples et non-exemples
20
définitions (2)
Formule atomique :
–
Si R est un symbole de relation d'arité n et t1, ..., tn
sont des termes, alors R(t1, ..., tn) est une formule
atomique
Exemples :
–
violoniste(Pierre), aime(x,Marie)
Non-exemples :
–
x, violoniste, gastronome(Jean,aime)
Exercice : Donnez d'autres exemples et non-exemples
21
définitions (3)
22
Formule bien formée (ou complexe) :
[en anglais : well-formed formula (wff)]
●
●
●
●
Une formule atomique est une formule bien formée
Si  et  sont des formules bien formées alors ¬ , ( ⇒ ),
( ∧ ) et ( ∨ ) sont des formules bien formées
Si  est une formule bien formée et x est une variable, alors
∀x  et ∃x  sont des formules bien formées
Rien d'autre n'est une formule bien formée [mais en pratique,
précédence des opérateurs pour éviter les parenthèses inutiles]
Ex. : violoniste(Jean), ∀x (violoniste(x) ⇒ aime(Marie,x))
Non-exemples : ¬Jean, gastronome(Pierre∧Jean), ∃Marie
définitions (4)
Littéral
–
formule atomique ou négation d'un formule atomique
Exemples
–
violoniste(Pierre), ¬gastronome(Jean)
Non-exemples
–
Pierre, ¬gastronome, violoniste(Pierre ∨ Jean)
Exercice :
–
Donnez d'autres exemples et non-exemples
23
Interprétation linguistique (1) :
cas de figure courants
●
∀x P(x)
–
–
Pour tout x, P(x)
Tout est P
●
●
●
∀x gastronome(x)
Tout le monde, toute chose est gastronome
∀x ¬P(x)
–
–
–
[ = ¬ ∃x P(x) ]
Pour tout x, non P(x)
Aucun x n'est tel que P(x)
Il n'existe aucun x « de type P »
●
●
∀x ¬violoniste(x)
Personne, rien n'est violoniste
24
●
∀x (P(x) ⇒ Q(x))
–
–
–
Pour tout x, si P(x) alors Q(x)
Tous les x tels que P(x) sont tels que Q(x)
Tout x « de type P » est « de type Q »
●
●
●
25
∀x (violoniste(x) ⇒ gastronome(x))
Tout violoniste est gastronome [= Tous les violonistes sont gastronomes]
∀x (P(x) ⇒ ¬Q(x))
–
–
–
Pour tout x, si P(x) alors non Q(x)
Aucun x tel que P(x) n'est tel que Q(x)
Aucun x « de type P » n'est « de type Q »
●
●
∀x (violoniste(x) ⇒ ¬gastronome(x))
Aucun violoniste n'est gastronome
●
∃x P(x)
–
–
Il existe un x tel que P(x)
Il y a (au moins) un x « de type P »
●
●
●
∃x gastronome(x)
Il y a un(e) gastronome
∃x ¬P(x)
–
–
[ = ¬ ∀x P(x) ]
Il existe un x tel que non P(x)
(Au moins) un x n'est pas « de type P »
●
●
●
∃x ¬violoniste(x)
Quelqu'un, quelque chose n'est pas violoniste
On ne peut pas dire que tout le monde est violoniste
26
●
∃x (P(x) ∧ Q(x))
–
–
–
[= ∃x (Q(x) ∧ P(x))]
Il existe un x tel que P(x) et Q(x)
Il existe un x à la fois « de type P et Q »
Il existe un x « de type P » qui est aussi « de type Q »
●
●
●
27
∃x (violoniste(x) ∧ gastronome(x))
Il y a un violoniste gastronome
[= il y a un gastronome violoniste]
∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
–
–
Il existe un x tel que P(x) et non Q(x)
Il existe un x « de type P » qui n'est pas « de type Q »
●
●
∃x (violoniste(x) ∧ ¬gastronome(x))
Il y a un violoniste qui n'est pas gastronome
Noter la différence entre quantificateurs :
–
∀x (P(x) ⇒ Q(x))
●
–
∀x (P(x) ⇒ ¬Q(x))
●
–
Aucun x « de type P » n'est « de type Q »
∃x (P(x) ∧ Q(x))
●
–
Tout x « de type P » est « de type Q »
Il existe un x « de type P » qui est aussi « de type Q »
∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
●
Il existe un x « de type P » qui n'est pas « de type Q »
28
Double interprétation de certaines
formes linguistiques
Un violoniste est gastronome
–
...
–
...
29
–
Un fait concernant un individu :
●
–
Il y a un violoniste qui est (aussi) gastronome
Une règle générale :
●
Tout violoniste est gastronome
30
–
●
–
●
Un train peut en cacher un autre
–
...
Un chien aboie dans le lointain
–
...
31
32
–
●
–
●
Un train peut en cacher un autre
–
cas = règle : tout train peut cacher tout autre train
Un chien aboie dans le lointain
–
cas = individu : il y a un chien qui aboie dans le lointain
Exercice
Écrivez les formules bien formées
–
Pierre est gastronome
●
–
...
Marie aime un(e) gastronome mais ce n'est pas Pierre
●
–
...
Marie aime un(e) gastronome mais elle n'aime pas Pierre
●
–
...
Marie aime un gastronome
●
–
33
...
Tous les gastronomes que Marie aime, Anne les aime aussi
●
...
Exercice
–
Pierre est gastronome
●
–
–
∃x (gastronome(x) ∧ aime(Marie,x))
Marie aime un(e) gastronome mais elle n'aime pas Pierre
●
–
gastronome(Pierre)
Marie aime un gastronome
●
–
34
∃x (gastronome(x) ∧ aime(Marie,x)) ∧ ¬aime(Marie,Pierre)
Marie aime un(e) gastronome mais ce n'est pas Pierre
●
Ce n'est pas exprimable dans le langage :
●
∃x (gastronome(x) ∧ aime(Marie,x) ∧ x ≠ Pierre
[pas dans le langage]
Tous les gastronomes que Marie aime, Anne les aime aussi
●
∀x (gastronome(x) ∧ aime(Marie,x) ⇒ aime(Anne,x))
Exercice
–
Il existe quelqu'un qui s'appelle Marie
●
–
Si Jean est gastronome, alors Pierre est violoniste
●
–
...
Un violoniste aime tous les gastronomes
●
–
...
Il y a un(e) violoniste qui aime un(e) gastronome
●
–
...
...
Tous les violonistes gastronomes sont égoïstes
●
...
35
Exercice
–
Il existe quelqu'un qui s'appelle Marie
●
–
–
gastronome(Jean) ⇒ violoniste(Pierre)
Il y a un(e) violoniste qui aime un(e) gastronome
●
–
Ce n'est pas exprimable dans le langage : ∃x x = Marie, ∃Marie
Si Jean est gastronome, alors Pierre est violoniste
●
–
36
∃x ∃y (violoniste(x) ∧ gastronome(y) ∧ aime(x,y))
Un violoniste aime tous les gastronomes
●
∃x (violoniste(x) ∧ ∀y (gastronome(y) ⇒ aime(x,y))) [un : individu]
●
∀x (violoniste(x) ⇒ ∀y (gastronome(y) ⇒ aime(x,y))) [un : règle]
Tous les violonistes gastronomes sont égoïstes
●
∀x (violoniste(x) ∧ gastronome(x) ⇒ aime(x,x))
Exercice
Paraphrasez les formules logiques
–
●
–
∃y ∃x (violoniste(x) ∧ gastronome(y) ∧ aime(x,y))
●
–
...
∀y (gastronome(y) ⇒ ∃x (violoniste(x) ∧ ¬aime(x,y))
●
–
...
∃x (violoniste(x) ∧ ∀y (gastronome(y) ⇒ ¬aime(x,y))
●
–
...
∃x (violoniste(x) ∧ ∃y (gastronome(y) ∧ aime(x,y)))
●
–
...
...
∀y ∃x (gastronome(y) ⇒ (violoniste(x) ∧ ¬aime(x,y))
●
...
37
Exercice
Paraphrasez les formules logiques
–
–
–
∃y ∃x (violoniste(x) ∧ gastronome(y) ∧ aime(x,y))
∃x (violoniste(x) ∧ ∃y (gastronome(y) ∧ aime(x,y)))
●
–
∃x (violoniste(x) ∧ ∀y (gastronome(y) ⇒ ¬aime(x,y))
●
–
Il existe un violoniste qui n'est aimé par aucun gastronome
∀y (gastronome(y) ⇒ ∃x (violoniste(x) ∧ ¬aime(x,y))
●
●
–
Un violoniste aime un gastronome
Tout gastronome a un violoniste qu'il n'aime pas
Tout gastronome n'aime pas un violoniste
∀y ∃x (gastronome(y) ⇒ (violoniste(x) ∧ ¬aime(x,y))
●
Tout gastronome a un violoniste qu'il n'aime pas
38
39
Plan
On a vu :
–
–
–
langage du 1er ordre : phrases utilisant le vocabulaire
On va voir :
–
valeur de vérité associée à ces phrases
→ notion de formule logique satisfaite
Variables libres, variables liées
Variable liée
Exemple : ∃x (violoniste(x) ∧ gastronome(x))
Exemple : ∀x (gastronome(x) ⇒ ∃y aime(x,y))
Variable libre
Exemple : ∃x (gastronome(y) ∧ violoniste(x))
40
Variables libres, variables liées :
Analogie dans la langue
41
Variable liée : phrase autonome/indépendante (self-contained)
●
Exemple : ∃x (violoniste(x) ∧ gastronome(x))
Il existe un(e) violoniste gastronome
●
Exemple : ∀x (gastronome(x) ⇒ ∃y aime(x,y))
Tout gastronome est aimé (de quelqu'un)
Variable libre : référent à trouver dans le contexte
●
Exemple : ∃x (gastronome(y) ∧ violoniste(x))
Il/elle est gastronome et il y a un(e) violoniste
Variable libre
Définition formelle (par induction) :
–
Toute occurrence de variable est libre dans une
formule atomique
–
Si une occurrence de variable est libre dans  ou
dans , alors cette occurrence est libre dans ¬,
( ⇒ ), ( ∧ ) et ( ∨ )
–
Si une occurrence d'une variable x est libre dans ,
alors elle est libre dans ∀y  et dans ∃y  pour
toute variable y différente de x
42
Variable liée
Définition formelle (par induction) :
–
Aucune occurrence de variable n'est liée dans une
formule atomique
–
Si une occurrence de variable est liée dans  ou
dans , alors cette occurrence est liée dans ¬,
( ⇒ ), ( ∧ ), ( ∨ ), ∀x  et ∃x  pour
toute variable x
–
Si une occurrence d'une variable x est libre dans ,
alors elle est liée dans ∀x  et dans ∃x 
43
Notion de satisfaction
●
●
On ne peut pas donner une définition « dans
l'absolu » de ce qui est vrai ou pas
On va dire ce qui est vrai dans un modèle
→ relation entre une phrase et un modèle (c.-à-d. une
connaissance de l'état du monde)
●
On va définir une relation de satisfaction entre
–
une formule (≈ une phrase) 
–
un modèle M = (D,F)
–
une affectation de valeurs aux variables g
44
Affectation de (valeurs aux) variables
–
Définition : une affectation de variables (ou affectation
de valeurs aux variables) est une application g de
l'ensemble des variables dans D
Ex. D = {d1,d2,d3,d4}
g(x) = d1 ; g(y) = d2 ; g(z) = d1 ; g(w) = d4 ; ...
–
Soient x une variable et g une affectation de variables.
Une x-variante de g est une affectation de variables g'
telle que pour toute variable y ≠ x, g'(y) = g(y)
Ex. g'(x) = d1 ; g'(y) = d3 ; g'(z) = d1 ; g'(w) = d4 ; ...
g' est une y-variante de g (et réciproquement) mais
g' n'est pas une x-variante de g (et réciproquement)
45
Interprétation : définition
Soient M = (D,F) un modèle, g une affectation de
variables dans M et  un terme.
L'interprétation de  par rapport à M et g, notée
IgF(), est définie par :
–
IgF() = F() si  est une constante
–
IgF() = g() si  est une variable
46
47
Interprétation : exemple
–
Modèle : M = (D,F)
–
Domaine : D = {d1,d2,d3,d4}
–
Fonction d'interprétation :
–
F(violoniste) = {d1,d3}
F(Marie) = d1
F(Jean) = d3
F(gastronome) = {d2,d4}
F(Anne) = d2
F(Pierre) = d4
F(aime) = {(d4,d2),(d3,d1)}
Affectation de variables :
g(x) = d1 ; g(y) = d3 ; g(z) = d1 ; g(w) = d4 ; ...
–
Interprétation :
IgF(Marie) = F(Marie) = d1
IgF(Anne) = F(Anne) = d2
IgF(x) = g(x) = d1
IgF(y) = g(y) = d3
48
Satisfaction : définition
Soient M = (D,F) un modèle et g une affectation de variables dans M.
La relation de satisfaction « M, g ∣=  » ( est satisfaite dans M
par rapport à l'affectation de variables g) est définie par :
M, g ∣= R(1,...,n) ssi (IgF(1),...,IgF(n)) ∈ F(R)
M, g ∣= ¬
ssi non M, g ∣= 
M, g ∣=  ∧ 
ssi M, g ∣=  et M, g ∣= 
M, g ∣=  ∨ 
ssi M, g ∣=  ou M, g ∣= 
M, g ∣=  ⇒ 
ssi non M, g ∣=  ou M, g ∣= 
M, g ∣= ∃x 
ssi non M, g' ∣=  pour une x-variante g' de g
M, g ∣= ∀x 
ssi non M, g' ∣=  pour toute x-variante g' de g
Si M, g ∣=  n'est pas vrai, on note M, g ∣≠ 
49
Satisfaction : exemples
M = (D,F) D = {d1,d2}
F(Marie) = d1 F(Jean) = d2 F(violoniste) = {d2} F(aime) = {(d1,d2)}
g(x) = d1 ; g(y) = d2 ; g(z) = d1 ; g(w) = d1 ; ...
On a :
M, g ∣= violoniste(Jean)
mais M, g ∣≠ violoniste(Marie)
M, g ∣= violoniste(y)
mais M, g ∣≠ violoniste(x)
M, g ∣= violoniste(x) ∨ aime(z,Jean)
M, g ∣= ∃y aime(y,Jean)
mais M, g ∣≠ ∃y aime(Jean,y)
M, g ∣= ∀x aime(Marie,x)
mais M, g ∣≠ ∀x aime(x,Jean)
M, g ∣= ∀x violoniste(x) ⇒ aime(Marie,x)
Valeur de vérité dans un modèle :
définition
Définition :
–
Une phrase  est vraie dans le modèle M ssi pour
toute affectation de variables g, on a : M, g ∣=  Notation :
–
Si  est vraie dans le modèle M, on note M ∣= 
50
Valeur de vérité dans un modèle :
exemples
51
M = (D,F) D = {d1,d2}
F(Marie) = d1 F(Jean) = d2 F(violoniste) = {d2} F(aime) = {(d1,d2)}
g(x) = d1 ; g(y) = d2 ; g(z) = d1 ; g(w) = d1 ; ...
g'(x) = d1 ; g'(y) = d2 ; g'(z) = d2 ; g'(w) = d1 ; ...
On a :
M ∣= violoniste(Jean)
M ∣≠ violoniste(x) ∨ aime(z,Jean)
M ∣= ∃x aime(x,Jean)
M ∣= ∃y aime(y,Jean)
M ∣= ∀x aime(Marie,x)
mais M ∣≠ violoniste(z)
mais M ∣≠ ∃x aime(Jean,x)
mais M ∣≠ ∃y aime(Jean,y)
mais M ∣≠ ∀x aime(x,Jean)
Peu importe l'affectation de variables pour déterminer si  est vraie →
pas de variables libres dans  ou relation vraie pour toute valeur
52
Formule valide
Intuition :
–
Une formule est valide ssi elle est vrai quelle que soit la
réalité du monde
Définition :
–
Une formule  est valide ssi elle est vraie dans tous les
modèles
Exemples :
. ∣= (∀x violoniste(x) ⇒ aime(Marie,x)) ∧ violoniste(Jean) ⇒ aime(Marie,Jean)
. ∣≠ (∀x violoniste(x) ⇒ aime(Marie,x)) ∧ ¬violoniste(Jean) ⇒ ¬aime(Marie,Jean)
53
Plan
On a vu :
–
–
–
langage du 1er ordre : phrases utilisant le vocabulaire
–
valeur de vérité des phrases : formule satisfaite
On va voir (très succinctement et superficiellement) :
–
lien avec la langue
→ lambda-calcul
Lambda-Calcul
Intuition (1)
Plusieurs écritures pour une même réalité :
–
f : ℝ  ℝ
x  x+3
–
fonction f(x) = x+3
–
f = fonction x  x+3
f(5) = 8
Notations :
–
f = x . x+3
–
f x = f(x)
–
Ex. f 5 = (x . x+3) 5 → 5+3 → 8
54
Lambda-Calcul
Intuition (2)
Plusieurs écritures pour une même réalité :
–
f : ℝ × ℝ  ℝ
(x,y)  x+3−y
–
f(5,2) = 6
f = fonction (x,y)  x+3−y
Alternative
–
f = fonction x  (fonction y  x+3−y)
–
f = x .(y.(x+3−y))
–
f 5 = (x.(y.(x+3−y))) 5 → y.(5+3−y)
–
(f 5) 2 → (y.(5+3−y)) 2 → 5+3−2 → 6
55
56
Lambda-termes
L'ensemble des -termes est défini inductivement
de la manière suivante :
–
Atomes : toutes les variables et les constantes sont
des -termes
–
Application : si A et B sont des -termes, alors (A B)
est un -terme
–
Abstraction : si A est un -terme et x est une variable,
alors x.A est un -terme
Lambda-termes
et langage du premier ordre
Exemples d'abstraction de constantes :
–
violoniste(Pierre) ← (x.violoniste(x)) Pierre
–
aime(Jean,Marie) ← (x.y.aime(x,y)) Jean Marie
Exemples d'abstraction de prédicats
–
–
(P.∃x (P x)) violoniste
→ ∃x violoniste(x)
(P.Q.(∀x (P x) ⇒ (Q x))) violoniste gastronome
→ ∀x violoniste(x) ⇒ gastronome(x)
57
Sémantique de Montague
(intuition)
58
Sémantique compositionnelle :
–
À chaque mot, on associe un (ou des) -terme(s), qui
représente(nt) sa sémantique
–
On considère une analyse syntaxique de la phrase (en
constituants)
–
On construit un -terme isomorphe à l'arbre d'analyse
syntaxique :
–
●
Toute feuille (mot) est remplacée par le -terme associé
●
Tout autre noeud est une -application
La sémantique est le résultat de l'évaluation du -terme
59
Sémantique de Montague
(exemple simple)
●
un = P.Q.(∃x (P x) ∧ (Q x))
●
violoniste = x.(violoniste(x)
●
aime = y.x.aime(x,y)
●
●
Marie = Marie
((un violoniste) (aime Marie))
P
SV
SN
Det
N
un violoniste
V
aime
SN
Marie
→ ((P.Q.(∃x (P x) ∧ (Q x))) x.(violoniste(x)) (aime Marie)
→ (Q.(∃x violoniste(x) ∧ (Q x)) ((y.x.aime(x,y)) Marie)
→ (Q.∃x violoniste(x) ∧ (Q x)) (x.aime(x,Marie))
→ ∃x violoniste(x) ∧ aime(x,Marie)
60
Vue d'ensemble
Lexique
syntaxique
Vocabulaire
sémantique
-termes
Phrases
grammaticales
utilisant le
lexique
Phrases
/ formules
utilisant le
vocabulaire
sémantique
interprétation
Modèle
satisfaction
Entités
construction
Faits
concernant
les entités
À retenir
●
●
Notion de modèle :
–
donne du sens à un vocabulaire
–
décrit une connaissance (hypothétique) du monde
Langage du premier ordre / formule logique
–
●
Satisfaction d'une formule logique
–
●
interprétation(s) linguistique(s)
définit ce qui est vrai dans un modèle
Lien formel avec la langue
–
-calcul, sémantique compositionnelle (Montague)
61

Logique du premier ordre Application en linguistique

Transcription

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