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Les systèmes d’équations à deux variables
Table des matières
1 Systèmes linéaires
1.1 Définition de système linéaire
1.2 Résolution par table de valeurs
1.3 Résolution graphique
1.4 Résolution algébrique
1.4.1 Méthode de comparaison
1.4.2 Méthode de substitution
1.4.3 Méthode de réduction
1.4.4 Choix de la méthode
1.5 Les systèmes linéaires particuliers
1.5.1 Droites parallèles
1.5.2 Droites confondues
1.5.3 Lignes brisées
1.6 La régression linéaire
1.6.1 Nuage de points et droites
1.6.2 Équation de droite
2 Systèmes semi-linéaires
2.1 Méthode graphique
2.2 Résolution par table de valeurs
2.3 Méthode algébrique
2.3.1 Méthode de comparaison
2.3.2 Méthode de substitution
2.4 Nombre de solutions
2.5 Comment tracer un cercle avec la calculatrice
Emmanuel Duran
Notes de cours systèmes d’équations à 2 variables
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1 Systèmes linéaires
1.1 Définition de système linéaire
Il est fréquent dans la vie d’avoir à comparer deux fonctions différentes provenant de
solutions analogues afin de faire le meilleur choix ou de prendre la meilleur décision.
Ces situations nous amènent à comparer deux variables dont les valeurs dépendent
d’une même variable indépendante.
Lorsqu’on compare des variables dépendantes sur la base d’une même variable
indépendante, on obtient un ensemble de deux ou plusieurs équations qu’on appelle
un système d’équations.
Un système d’équations linéaires s’écrit sous la forme:
⎧ y1 = a1x + b1
⎨
⎩ y 2 = a2 x + b2
Résoudre un système d’équations, c’est chercher la ou les valeurs de la variable
indépendante pour lesquelles les variables dépendantes prennent la même valeur.
1.2 Résolution par table de valeurs
Le principe consiste à trouver une valeur de x pour laquelle y1 et y2 sont égaux en
diminuant ou augmentant le pas de variation de x. Pour cela on utilise “TBLSET” avec
la calculatrice graphique.
Exemple #1: Grossir pour
survivre p115
Exemple #2: Loin des yeux, près du coeur p116
Exemple #3: La boutique avant-gardiste p117
1.3 Résolution graphique
Emmanuel Duran
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Nous avons déjà tracé des droites sur des plans cartésiens sur papier ou à l’aide de la
calculatrice à affichage graphique. Cependant, ces représentations graphiques ne
servaient pas à résoudre des systèmes d’équations. Ce thème va permettre de saisir
davantage l’utilité de tracer des graphiques dans le cas non seulement de situations
concrètes, mais aussi de problèmes abstraits. Les graphiques peuvent servir à
résoudre des systèmes d’équations, mais cette méthode à des limites.
Dans la représentation graphique, les coordonnées du point d’intersection de deux
droites constituent la solution du système d’équations représenté par ces droites.
Exemple #4: Les montgolfières p119
⎧ y = 50 + 12x
⎨
⎩ y = 150 − 20x
Si vous ne voyez pas de point de rencontre, c’est peut-être parce que vous n’avez pas
choisi des valeurs adéquates pour x et y. Vous pouvez peut-être deviner dans quel
sens il faudra aller pour trouver la solution. Si votre graphique est fait sur du papier,
vous pouvez prolonger vos axes dans ce sens. Si vous avez fait votre graphique à
l’aide d’une calculatrice graphique, changez la fenêtre et l’échelle des valeurs des
abscisses et des ordonnées.
Emmanuel Duran
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1.4 Résolution algébrique
1.4.1 Méthode de comparaison
Pour résoudre un système d’équation du premier degré à deux variables par la
méthode de comparaison, tu dois:
1/
Isoler la même variable dans les deux équations
2/
Comparer les résultats obtenus pour la variable isolée
3/
Résoudre l’équation à une variable de l’étape 2
4/
Calculer la valeur de l’autre variable en remplaçant la variable déterminée
précédemment par sa valeur dans l’une ou l’autre des équations du
système
5/
Vérifier le couple-solution dans chacune des équations initiales
6/
Donner la solution du système
Exemple #5:
⎧ 4x + y = −9
⎧ y = −4x − 9
⇔
⎨
⎨
⎩7x − y = −46
⎩ y = 7x + 46
⇔ −4x − 9 = 7x + 46
⇔ −11x = 55 ⇔ x = −5
En remplaçant la valeur de x dans une des équations on trouve :
4( −5) + y = −9 ⇔ y = 11
Le couple solution est ( −5,11)
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1.4.2 Méthode de substitution
Pour résoudre un système d’équations par la méthode de substitution, tu dois:
1/
Isoler, si ce n’est déjà fait, une variable dans une seule des deux
équations du système;
2/
Remplacer la même variable dans l’autre équation par l’expression de
l’étape 1;
3/
Résoudre l’équation à une variable qui en résulte;
4/
Remplacer la variable dont tu as trouvé la valeur à l’étape 3 dans
l’équation de l’étape 1;
5/
Vérifier le couple-solution dans chacune des équations du système;
6/
Donner la solution
Exemple #6:
⎧8x + 2y = 16
⎧ y = 8 − 4x
⇔⎨
⎨
⎩2x + 2y = 4
⎩2x + 2y = 4
⇔ 2x + 2(8 − 4x) = 4
⇔ 2x + 16 − 8x = 4
⇔ −6x = −12 ⇔ x = 2 donc y = 8 − 4(2) = 0
Le couple solution est : (2,0)
Exemple #7:
⎧ 2x − 1 y + 2
+
=4
⎧ 4(2x − 1) + 3(y + 2) = 4(12)
⎪⎪ 3
4
⇔⎨
⎨
⎩3(x + 3) − 2(x − y) = 3(6)
⎪x + 3 − x − y = 3
⎪⎩ 2
3
⎧8x − 4 + 3y + 6 = 48
⎧8x + 3y = 46
⎧8x + 3y = 46
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⎩3x + 9 − 2x + 2y = 18
⎩ x + 2y = 9
⎩ x = 9 − 2y
⇔ 8(9 − 2y) + 3y = 46 ⇔ 72 − 16y + 3y = 46 ⇔ −13y = −26 ⇔ y = 2
En remplaçant dans une des équations on trouve :
x = 9 − 2(2) = 5
Le couple solution est : (5,2)
1.4.3 Méthode de réduction
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Pour résoudre un système d’équations du premier degré à deux variables par la
méthode de réduction, tu dois:
1/
Choisir la variable à éliminer;
2/
Obtenir des coefficients numériques opposés devant la variable choisie en
trouvant des équations équivalentes au besoin;
3/
Additionner membre à membre les équations obtenues à l’étape 2;
4/
Résoudre l’équation à une seule variable qui en résulte;
5/
Trouver la valeur de l’autre variable en plaçant la valeur trouvée à l’étape
4 dans l’une ou l’autre des équations du système;
6/
Vérifier si le couple-solution trouvé respecte l’égalité de chacune des
équations;
7/
Donner le couple solution.
Exemple #8:
⎧3x − 5y = 8
⎨
⎩−3x + 2y = −5
⎧3x − 5y = 8
⎧3x − 5y = 8
⇔⎨
⎨
⎩−3x + 2y = −5 (×( −1))
⎩3x − 2y = 5
3x − 5y = 8
−
3x − 2y = 5
⇔ y = −1
−3y = 3
En remplaçant dans une des équations on trouve :
3x − 5( −1) = 8 ⇔ x = 1
Le couple solution est : (1, −1)
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Exemple #9:
⎧3x + 4y = 7
⎨
⎩7x − 5y = −2
⎧3x + 4y = 7 (×5)
⎧15x + 20y = 35
⇔⎨
⎨
⎩7x − 5y = −2 (×4)
⎩28x − 20y = −8
+
15x + 20y = 35
27
24x − 20y = −8
⇔x=
43x = 27
43
En remplaçant dans une des équations on trouve :
3(
27
55
) + 4y = 7 ⇔ y =
43
43
Le couple solution est : (
Emmanuel Duran
27 55
, )
43 43
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1.4.4 Choix de la méthode
Méthode
algébrique
Forme des
équations
Comparaison
Substitution
Réduction
Lorsque la même
variable est isolée
dans les deux
équations.
Lorsqu’une variable
est isolée dans une
seule équation.
Lorsqu’aucune
variable n’est
isolée.
⎧a1x + b1y = c1
⎨
⎩ y = a2 x + b2
⎧a1x + b1y = c1
⎨
⎩a 2 x + b 2 y = c 2
⎧ y = a1x + b1
⎨
⎩ y = a2 x + b2
Dans chaque cas, on peut comparer, substituer ou réduire la variable de son choix.
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1.5 Les systèmes linéaires particuliers
1.5.1 Droites parallèles
Lorsque le graphique représentant un système d’équations linéaires est composé de
deux droites parallèles non confondues, le système n’a aucune solution.
Lorsque les deux équations linéaires qui composent un système ont le même taux de
variation, mais des valeurs initiales différentes, le système n’a aucune solution.
Exemple #10
⎧ y = 2x + 3
⎨
⎩ y = 2x + 6
Aucune solution car le taux de variation est le même pour les deux équations; les
droites sont donc parallèles.
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Exemple #11
⎧−12,5x + y = 0,5x + 2
⎨
⎩13x − 4 = y − 4
⎧ y = 0,5x + 2 + 12,5x
⇔⎨
⎩ − y = −4 + 4 − 13x
⎧ y = 13x + 2
⇔⎨
⎩ − y = −13x
⎧ y = 13x + 2
⇔⎨
⎩ y = 13x
Aucune solution car le taux de variation est le même pour les deux équations; les
droites sont donc parallèles.
La résolution d’un système d’équations sans solution par une méthode algébrique
conduit à une impossibilité.
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1.5.2 Droites confondues
Lorsque le graphique représentant un système d’équations linéaires est composé de
deux droites confondues, ou superposées, le système a une infinité de solutions.
Lorsque les deux équations linéaires qui composent un système ont le même taux de
variation et la même valeur initiale, le système a une infinité de solutions.
Exemple #12
⎧2y = 3x − 12
⎪
⎨
3x
y
=
−6
⎪⎩
2
⎧y = 1,5x − 6
⇔⎨
⎩y = 1,5x − 6
Le système a une infinité de solutions.
Emmanuel Duran
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1.5.3 Lignes brisées
Exemple #13
Dans une équation linéaire, un changement soudain du taux de variation se
traduit par une modification du tracé dans le graphique cartésien et
engendre une ligne brisée.
Dans certaines situations, il peut y avoir plus d’une solution. La méthode
graphique permet de les déceler aisément.
Emmanuel Duran
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1.6 La régression linéaire
Les données correspondant aux couples d’une relation linéaire issue de la vie
courante ne sont pas toujours parfaitement exactes. Pour mathématiser une
situation, il faut souvent l’idéaliser. Trouver une droite qui est le plus près
possible d’un ensemble de points plus ou moins alignés, c’est effectuer une
régression linéaire. On appelle cette droite “droite de régression”.
Exemple #14
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