Série 11 - Oscillateurs et résonance

Physique avancée I
28 octobre 2016
Prof. J.-Ph. Ansermet
Série 11 - Oscillateurs et résonance
1. Projeté d’une balançoire
Une enfant se jette d’une balançoire en mouvement. Son papa se demande à quelle position du mouvement d’amplitude donnée est-ce qu’elle devrait se laisser aller hors du siège
pour aller le plus loin. Pour analyser la situation, on modélise l’enfant sur sa balançoire
par un pendule mathématique : un point matériel pesant au bout d’un fil. Un dispositif
sans masse libère le point matériel sans interférer autrement sur le mouvement du pendule.
a) Si le pendule a une amplitude maximum θmax ,
trouver la vitesse v0 = kv0 k au point θ0 < θmax
quelconque.
b) Quel est l’angle α que fait la vitesse v0 en θ0
par rapport à l’horizontale ? Quelle est la hauteur H du point matériel par rapport au sol
quand le pendule est à l’angle θ0 , comparée à
H0 , la hauteur du point d’attache du pendule ?
c) Quelle est l’énergie cinétique de l’enfant au niveau du sol ?
2. Jokari vertical
Un Jokari est constitué d’un bloc de masse M posé sur le sol
et d’une balle de masse m reliée à ce bloc par un élastique de
constante de rappel k. Le système subit l’action de la pesanteur.
La longueur au repos et la masse de l’élastique sont supposées
nulles.
a) Etablir le bilan des forces pour la balle.
b) Déterminer l’équation du mouvement de la balle.
c) Etablir le bilan des forces pour le bloc.
d) Exprimer la condition d’équilibre du bloc.
e) Déterminer la hauteur h de la balle à laquelle le bloc décolle.
f) La balle est initialement lâchée de cette hauteur h. Déterminer l’équation horaire de la balle
avant le premier rebond sur le bloc.
3. Gotham City
Le Joker a réussi à piéger Batman ! Ce dernier se retrouve suspendu au bout d’une corde de
longueur l entre deux hélices géantes tranchantes comme des lames de rasoir. Ces deux hélices
tournent à des vitesses variables, de telle manière que le souffle qui en résulte exerce une force
totale Fh = F0 sin(Ωt)eθ (perpendiculaire à la corde) sur Batman. On assimile Batman à un
point matériel de masse m qui oscille dans un plan contenant les axes de rotation des hélices
et on considère la corde comme étant rigide. On néglige de plus les frottements.
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Physique avancée I
28 octobre 2016
Prof. J.-Ph. Ansermet
a) Donnez l’équation du mouvement de Batman dans l’approximation des petites oscillations.
b) Exprimez l’amplitude des oscillations de Batman ainsi que la pulsation de résonnance Ωr .
c) La rotation des hélices est contrôlée par le Joker, de telle sorte que ce dernier puisse ajuster la pulsation Ω de la force s’exerçant sur Batman. Par ailleurs, les hélices sont assez
éloignées pour que l’approximation des petits angles ne soit plus vraie quand Batman
s’en approche. Le Joker étant joueur, il propose au héros de choisir entre une pulsation
légèrement supérieure ou inférieure à la pulsation de résonnance Ωr (calculée au point b).
Lequel de ces choix sauvera Batman ? Justifiez sans calcul.
Indication : Dans l’approximation des petits angles sin θ ≈ θ. De plus, la solution d’une
équation différentielle du type Aθ̈ + Bθ = C sin(ωt + φ) est de la forme θ(t) = θ0 sin(ωt + φ).
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