Le déterminant

Le déterminant
1
1.1
Définition, vocabulaire
Soient n vecteurs de Rn : pour savoir si ils forment une famille libre, et donc une base de Rn , il existe un
outil appellé déterminant, qui renvoie 0 si la famille est liée, et un nombre non nul sinon.
Le déterminant de e1 , . . . , en se note de la façon suivante : on écrit les coordonées des vecteurs dans une
matrice, et on referme le tableau ainsi obtenu non pas dans des parenthèses, mais entre des barres verticales.
Exemple:
2 15 2
15
e1 =
,e2 =
. On écrit alors det(e1 , e2 ) = −1
−2
−1 −2
1.2
On peut aussi parler du déterminant d’une matrice : le déterminant de la matrice A s’écrit comme A, mais
avec des barres à la place des parenthèses.
1.3
Si A est une matrice, det(A) = 0 ⇔ A pas inversible.
2
2.1
2.2
Calcul du déterminant
a b = ad − bc
Pour un déterminant 2 × 2, on apprend par coeur :
c d
Pour un déterminant 3 × 3, on apprend par coeur la règle de Sarrus :
a b c d e f = aei + dhc + gbf − (gec + hf a + idb)
g h i Exemple:
1 −1 3 0 2 −2 =
1 0
1
2.3
Le déterminant de matrices plus grandes s’effectue avec la technique du développement par rapport à une
ligne ou une
⎞
⎛ colonne:
a11 . . . a1n
⎜
.. ⎟ une matrice dont on veut calculer le determinant.
Soit A = ⎝ ...
. ⎠
an1 . . . ann
On note alors Aij = matrice obtenue à partir de A en enlevant la ligne i et la colonne j. On peut montrer
le résultat suivant :
Proposition 1 Quelque soit la ligne i choisie,
a11 . . . a1n ..
.. .
. det(A) = ai1 . . . ain = ai1 (−1)i+1 det(Ai1 ) + . . . + (−1)i+n ain det(Ain )
..
.. .
. an1
ann De plus, on a le résultat identique en travaillant avec une colonne.
Exemple:
1 2 4
1 1 1 −1 2 −2 2 5 −1 =
0 1 3 −1
2.4
Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses termes diagonaux.
2.5
On peut simplifier le déterminant en faisant des opérations élémentaires, c’est à dire remplacer la ligne Li
par Li + αLj ( ou la colonne Ci par Ci + αCj
Ces opérations nous permettent de faire apparaitre des 0 où on le souhaite dans le déterminant que l’on
cherche à calculer.
Exemple:
2 −1 3 1 1 −1 =
0 0
2
2.6
Si on transpose une ligne avec une autre, (ou une colonne avec une autre) le déterminant est multiplié par
−1
2.7
Si toute une ligne (ou toute une colonne) est facteur d’un même terme, on peut factoriser ce terme dans le
calcul du déterminant
Exemple:
a a2 a3 1 −1 0 =
0 0
6
3
3.1
Applications du déterminant
Pour calculer les valeurs propres d’une matrice A, on calcule χA , le polynôme caractéristique de A avec la
formule χA = det(XIn − A)
Exemple:
3.2
Le déterminant sert à calculer l’inverse d’une matrice avec la formule A.t com(A) = det(A).In .
Rappel: on appelle comatrice de A la matrice bij dont les coefficients sont (−1)i+j det(Aij ).
On la note com(A).
Exemple:
⎛
⎞
2 −1 3
Calculer l’inverse de A = ⎝1 1 −1⎠
0 0
2
3.3
Le déterminant sert aussi à calculer le rang.
2
Proposition 2 Le déterminant d’une matrice est la taille du plus grand déterminant non nul extrait de la
matrice.
Rappel : On appelle déterminant extrait de A un determinant obtenu à partir de det(A) en enlevant k lignes
et k colonnes.
Exemple:
1 −2 0 −1 −1
est un déterminant extrait de A.
Si det(A) = −1 1 −1, 2
4
2
0
4
Ainsi, pour calculer le rang d’une matrice A ∈ Mn (R), on procèdera de la façon suivante :
(a) On calcule le determinant de la matrice. S’il est non nul, rg(A) = n
(b) Sinon, on cherche un déterminant de taille n − 1 non nul. s’il y en a un, la matrice est de rang n − 1.
Sinon, on continue en cherchant un déterminant de taille n − 2, et ainsi de suite...
Exemple:
⎛
⎞
1 −2 0
Calculer le rang de ⎝−1 1 −1⎠
2
0
4
3