ENS-Cachan 2D2 Hugo Harari-Kermadec 2011

ENS-Cachan 2D2
2011-2012
Hugo Harari-Kermadec
[email protected]
Séries Temporelles
TD n˚4
Exercice 1 Analyse de séries
On considère un bruit blanc gaussien εt et les 3 modèles suivants :
– modèle A : Xt = εt − 14 εt−1.
– modèle B : Xt = Xt−1 + 41 εt.
– modèle C : Xt = 21 Xt−1 + St + εt, où St est une composante saisonnière de période 12.
☞ Q1 (3pt). Pour chaque modèle, dites s’il est stationnaire.
☞ Q2 (3pt). On obtient les trois graphiques suivants :
.6
Série 3
.5
5
Série 2
0
20
40
60
80
100
Serie3
.4
.3
.2
−15
−30
−10
−20
Serie1
Serie2
−5
−10
0
0
Série 1
0
20
40
temps
60
80
100
0
10
20
temps
30
40
50
temps
0
20
40
60
temps
Série X
80
Partial autocorrelations of X
−0.50
0.00
0
10
20
Lag
100
Bartlett’s formula for MA(q) 95% confidence bands
30
40
−1.00
−4
−1.00
−2
X
0
2
Autocorrelations of X
−0.50
0.00
0.50
4
Série X
0.50
1.00
Série 1
Série 2
Série 3
Faîtes correspondre chaque graphique à l’un des trois modèles précédents, en justifiant vos choix.
0
10
20
Lag
30
40
95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)]
auto-corrélation simple auto-corrélation partielle
1
a) Rappelez les propriétés des fonctions d’auto-corrélation simple et
partielle d’un pur AR et d’un pur MA. Quel modèle semble alors
convenir pour X ?
b) Commentez la représentation graphique à partir de la réponse
précédente.
c) Quel indicateur permettrait de comparer le modèle choisi à la question Q2-a) avec d’autres modèles ? Quels tests permettraient de le
valider ?
Exercice 3 Système de séries temporelles (7 points)
On considère deux séries temporelles centrées, X et Y , telles que
pour tout t ∈ Z
Yt = a1Yt−1 + bXt + ut
Xt = a2Xt−1 + vt
avec u et v des bruits blancs et a1, a2 et b des réels appartenant à
] − 1; 1[.
☞ Q1 (3pt).
a) Montrez que la série Xt est stationnaire. Calculez sa fonction
d’auto-corrélation ρX (k), pour k ≥ 0.
b) Que vaut fonction d’auto-corrélation partielle rX (k), pour k ≥ 0 ?
☞ Q2 (2pt). On pose Zt = (1 − a2L)(1 − a1L)Yt.
a) Montrez que Z est stationnaire et calculez sa fonction d’autocorrélation ρZ (k), pour k ≥ 0.
b) Déduisez-en que Z est un MA(1).
☞ Q3 (2pt). Quel modèle correspond alors à Y ? Est-ce une série
stationnaire ?
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