Gen.2. Mesures de longueurs et calculs d`erreurs

Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d’erreurs
1
Gen.2. Mesures de longueurs et calculs d’erreurs
Prérequis Chapitre 2
1. Introduction : mesure des longueurs
La mesure des longueurs se fait avec une règle généralement graduée en millimètres ou demimillimètres. Bien qu’un observateur exercé puisse estimer le dixième de millimètre, on dira
que la précision de la mesure est de 1mm ou 1/2mm respectivement. Pour améliorer cette
précision, on utilise un vernier1 ou une vis micrométrique.
1.1 Le vernier
Le vernier est utilisé pour la mesure des longueurs et des angles ou de toute autre grandeur
dont la mesure peut être ramenée à celle d’une longueur ou d’un angle (ex : la mesure de la
pression atmosphérique à l’aide d’un baromètre à mercure).
1.1.a Principe
Soit une règle graduée en divisions de longueur a. Le long de cette règle peut coulisser une
réglette appelée vernier, graduée de telle façon que la longueur v d’une division est un peu
plus petite que la longueur de k divisions de la règle principale (soit k.a, k étant un nombre
entier généralement égal à 1, 2 ou 3).
Figure 1 : représentation d’un vernier
1
Du nom de P.Vernier, géomètre français qui, au début du 17ème siècle, a imaginé ce dispositif
Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d’erreurs
2
1.1.b Calcul de la précision du vernier
Soit a la longueur d’une division de la règle principale et m le nombre de divisions du vernier,
la précision2 du vernier vaut alors :
p = a/m
On voit que la précision d’un vernier comportant m divisions est égale au mième de la division
de la règle principale.
Exemples :
a. Considérons le vernier représenté sur la figure 1. Si la règle principale est graduée en
mm, a vaut 1mm et m vaut 10 (j=1 donc p=a/m). On a alors : p =1/10mm
b. La règle principale est graduée en mm et, pour constituer le vernier, on divise une
longueur de 19mm en 20 parties égales.
On a : a = 1mm, m = 20 (j=1 donc p=a/m)
Donc, p = 1/20mm.
c. Pour constituer le vernier, on divise en 4 parties égales la longueur de 7 divisions de la
règle principale.
Si a = 1/2mm, on a : m = 4 (j=1, donc p=a/m)
Donc, p = 1/8mm
Si a = 1mm, on a : m = 4 (j=1, donc p=a/m)
Donc, p = 1/4mm
2
Cette relation n’est valable que si la longueur totale du vernier est égale à (k.m-1) divisions de la règle
principale. Il arrive néanmoins que l’on utilise une longueur de k.m-j divisions de la règle principale avec j=2 ou
3. Exemple : la règle principale est graduée en demi-mm et, pour constituer le vernier, on divise une longueur de
24mm en 50 parties égales. On a :
a=1/2mm, m=50, k=1, j=2 et p = j.a/m = 1/50mm.
Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d’erreurs
3
1.1.c Comment lire un vernier pour améliorer la précision3 d’une mesure ?
Reprenons l’exemple de la figure 1.
Le « pointeur » vous permettant de lire la valeur sur la règle principale est le « 0 » du
vernier (représenté par une flèche sur la figure 1). Dans ce cas particulier, la ligne 0 est
parfaitement alignée sur le 11ème mm, la lecture est donc 11mm.
Prenons un autre cas représenté sur la figure suivante.
Figure 2 : lecture sur un vernier
On voit cette fois que la ligne « 0 » ne s’aligne pas exactement avec une des lignes de la
règle principale. Dans ce cas, la lecture sera comprise entre 10 et 11mm. On voit que la
longueur mesurée vaut un nombre n (ici 10) entier de mm plus une fraction de mm que le
vernier va permettre d’évaluer.
On remarque que l’une des graduations du vernier vient pratiquement en coïncidence avec
une graduation de la règle principale. Notons n’ cette graduation.
3
Remarquons qu’augmenter la précision, mot pris dans le langage courant, c’est diminuer la précision, mot
utilisé en physique !
Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d’erreurs
4
La lecture sur le vernier vaut alors :
n.a + n’.p
Dans le cas de la figure 2 : n = 10 et n’ = 8, donc : 10*a + 8*p = 10*1mm + 8*0,1mm
La lecture est donc 10,8mm.
Remarque : si aucune graduation du vernier ne coïncide avec un trait de la règle, on
prendra celle qui en est la plus proche.
1.2 La vis micrométrique
La vis micrométrique est une vis, de construction très soignée, qui se déplace dans un écrou.
Figure 3 : représentation d’une vis micrométrique
Lorsqu’elle fait un tour complet dans un écrou fixe, elle se déplace longitudinalement d’une
longueur a, appelée pas. Si l’on construit une circonférence graduée solidaire de la vis et
centrée sur l’axe de celle-ci, et un trait repère sur l’écrou, on pourra lire la fraction 1/n de
tours si la circonférence porte n graduations équidistantes.
Exemple : si la circonférence est divisée en 100 parties égales, on peut lire le 100ème de tours.
Si le pas de la vis est a = 1mm, on obtient donc le déplacement longitudinal de la vis au
centième de mm près.
Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d’erreurs
5
1.3 Le pied à coulisse
Une photographie d’un pied à coulisse est présentée sur la figure 4. Le pied à coulisse se
compose d’une règle principale portant généralement une graduation millimétrique et munie
d’un palpeur fixe et d’un coulisseau solidaire du palpeur mobile. Un vernier est gravé sur le
coulisseau de telle façon que son zéro coïncide avec le zéro de la règle lorsque les palpeurs
sont en contact. Si ce n’est pas le cas, il y a une erreur de zéro (systématique) dont on doit
tenir compte dans chaque mesure.
L’objet à mesurer est pincé entre les palpeurs et on effectue la lecture comme indiqué au
§1.1.c.
Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d’erreurs
6
1.4 Le compas palmer
Le compas palmer comporte une vis micrométrique et un palpeur fixe, solidaire de l’écrou et
placé en face du palpeur de la vis (figure 6). L’écrou porte une graduation longitudinale dont
une division est égale au pas de la vis. Celle-ci est solidaire d’un tambour sur le biseau
duquel est gravée une graduation circulaire permettant de lire les fractions de tour4. La vis est
entraînée par l’intermédiaire d’un rochet qui permet de limiter la pression de contact des
palpeurs contre les surfaces des pièces à mesurer.
Figure 6 :le compas palmer
Il existe également un système de blocage de la vis micrométrique pendant la lecture ; avant
de manœuvrer le rochet, on vérifiera que la vis est débloquée.
Avant de se servir du palmer, on déterminera la valeur du pas de la vis et d’une division du
tambour. On en déduira la précision du compas palmer. On évaluera ensuite l’erreur de zéro
(systématique).
2. But de la manipulation
Le but de la manipulation est double :
1./ vous apprendre à utiliser vernier et vis micrométrique, éléments de beaucoup d’appareils
ou dispositifs de mesure où leur présence augmente la précision des déterminations de
longueurs ou d’angles.
2./ vous familiariser progressivement avec le calcul des erreurs de mesure.
4
Parfois, un vernier, gravé sur l’écrou, augmente la précision de la lecture
Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d’erreurs
7
3. Dispositif expérimental
Vous travaillerez d’abord avec le vernier sur l’échelle linéaire d’un pied à coulisse (§1.3),
ensuite avec la vis micrométrique d’un palmer (§1.4).
4. Manipulation
4.1 Lecture d’un pied à coulisse
Si l’échelle de la règle principale représentée sur la figure 7 est exprimée en mm, quelle est la
valeur indiquée par ce pied à coulisse?
Figure 7 : exercice sur la lecture d’un pied à coulisse
4.2 Mesure de l’aire d’une face et du volume d’un parallélipipède rectangle
Vous utiliserez le pied à coulisse (cfr §1.3) pour mesurer la longueur des arêtes d’un
parallélépipède rectangle. Vous en déduirez l’aire de la plus grande des faces et le volume V
de ce solide et noterez votre résultat de la manière requise : (A ± εA) et (V ± εV).
a. Vérifiez d’abord que lorsque les becs du pied à coulisse sont en contact, le zéro
de la règle principale coïncide avec le zéro du vernier.
b. Déterminez la précision du vernier et notez-la, sans oublier l’unité utilisée,
comme il convient de le faire sans qu’il le soit dit à chaque fois, pour toute
valeur d’une grandeur qui n’est pas sans dimensions.
c. Mesurez chaque grandeur sur une seule arête, longueur (L), largeur (l) et
hauteur (h) du parallélépipède, déterminez l’erreur absolue ε affectant chacune
de ces déterminations et notez vos résultats de la manière requise (L ± εL pour
la longueur par exemple).
Manipulation G2 : Mesures de longueurs et calculs d’erreurs
8
d. Calculez l’erreur relative correspondant à chacune des déterminations faites au
point c en veillant à n’écrire finalement que les seuls chiffres qu’il est convenu
de garder comme étant significatifs.
e. Calculez l’aire de la plus grande des faces et le volume du parallélépipède ainsi
que les erreurs absolues affectant ces déterminations. Annoncez finalement
votre résultat de la manière demandée. Veillez à nouveau à ne garder que les
seuls chiffres significatifs ; notez bien que cette exigence est de règle générale
et qu’elle sera sous-entendue par la suite.
4.3 Mesure du volume d’un cylindre droit
Vous utiliserez un palmer (cfr § 1.4) pour mesurer le diamètre d’un cylindre droit et un
pied à coulisse pour mesurer sa hauteur. Vous en déduirez le volume V de ce solide et
noterez votre résultat de la manière requise (V ± εV).
a. Trouvez la valeur du pas de la vis du palmer, examinez le nombre de graduations
du tambour et calculez la précision de l’appareil.
b. Evaluez l’erreur de zéro du palmer (veillez à toujours manœuvrer lentement le
rochet pour éviter les effets d’inertie). Si l’erreur n’est pas négligeable par rapport
à la précision, on peut la rendre telle en jouant sur le dispositif de réglage prévu à
cet effet (petit « crochet » noir).
c. Effectuez 5 déterminations du diamètre du cylindre, soit un petit nombre de
déterminations, à des hauteurs de section différentes. Calculez la valeur et l’erreur
de mesure (d ± εd).
d. Effectuez, au moyen du pied à coulisse, une seule détermination de la hauteur du
cylindre (h ± εh).
e. Calculez le volume du cylindre, l’erreur absolue affectant ce calcul et indiquez
votre résultat de la manière demandée.
f. Combien de décimales votre calculatrice indique-t-elle pour la valeur du nombre
π ? Quelle erreur commettrait-on si, ne disposant pas de calculatrice, on évaluait π
à 3,14 ?
4.4. Exercices
Résolvez les exercices suivants :
(la résolution doit se trouver dans le rapport de laboratoire)
1. u = 3x6 + 2
Ö Calculer u ± ε(u) pour
a) x = 0,36 ± 0,07
b) x = -2,27 ± 0,32
2. u = cos x + sin y
Ö Calculer u ± ε(u) pour
x = 33°17’ ± 2’ & y = 71°48’ ± 2’