Première S2 Devoir en classe n˚5 23/01/15

Première S2
Devoir en classe n˚5
23/01/15
Exercice 1 :
Les quatre questions sont indépendantes.
5 points
1. La suite (un ) a pour terme général un = 2n + 1. Alors un+1 = . . .
2. La suite (un ) vérifie la relation de récurrence un+1 = u2n pour tout n ∈ N et u0 = 5. Calculer u2 .
1
8
3. (un ) est une suite géométrique de raison telle que u2 = . Calculer u5 (valeur exacte).
2
3
28
P
1
4. (un ) est une suite arithmétique de raison − et de premier terme u0 = 3. Calculer
ui
2
i=0
Exercice 2 :
5 points
Une entreprise de forage est chargée d’augmenter la profondeur d’un puits déjà profond de 12 m.
Elle descend de 1,2 m chaque jour de forage. On appelle u0 la profondeur de départ (u0 = 12), u1
la profondeur atteinte au bout d’un jour de forage , un la profondeur atteinte au bout de n jours de
forage.
1. Calculer u1 et u2 .
2. Exprimer un+1 en fonction de un et en déduire la nature de la suite (un ).
3. Quelle est la profondeur atteinte au bout de 8 jours ?
4. On souhaite atteindre une profondeur de 114 m. Combien de jours de forage faut-il envisager ?
Exercice 3 :
10 points
On injecte dans le sang d’un malade une dose de médicament. On suppose que ce médicament
se répartit instantanément dans le sang et qu’il est ensuite éliminé progressivement, la concentration
diminuant de 25% chaque heure. On note cn la concentration, en mg/L, n heures après l’injection
(n ∈ N). On donne c0 = 6.
1.
(a) Calculer c1 , c2 , c3 .
(b) Quelle est la nature de la suite (cn ) ?
(c) En déduire l’expression de cn en fonction de n.
(d) Quelle est la concentration 18h après l’injection (arrondir au millième) ?
2. On souhaite maintenir la concentration du médicament au-dessus de 3 mg/L pendant 18 heures,
et pour cela on pratique une heure après la première injection, puis toutes les heures, une injection
de 1 mg/L du médicament. On note Kn la valeur de la concentration , n heures après l’injection
(n ∈ N). (On a donc K0 = c0 ).
(a) Justifier que, pour tout n ∈ N, Kn+1 = 0, 75Kn + 1
(b) Soit dn = Kn − 4, pour tout n ∈ N. Démontrer que la suite (dn ) est géométrique.
(c) En déduire l’expression de dn en fonction de n puis l’expression de Kn en fonction de n.
(d) Quelle est la concentration du médicament 18h après l’injection (arrondir au millième) ?