Les circuits linéaires

Les circuits linéaires
q Révisé et compris
DEF
q Chapitre à retravaillé
q Chapitre incompris
Soit une tension sinusoïdale u(t)= U√2 sin (wt + ϕ)
u(t) : tension instantanée à l’instant t, exprimé en
Volts
U : valeur efficace, exprimé en volts
W :pulsation, vitesse angulaire, en rad.s-1
W= 2πf= 2π / f
ϕ= phase à l’origine
(wt + ϕ)= phase à l’instant t
Û= U√2
Soit Û= U√2 x sin (2πft + ϕ)
À u(t), on associe le vecteur de Fresnel u, en utilisant le sens de rotation inverse des aiguilles d’une
montre.
La méthode du vecteur de Fresnel à cependant un frein : c’est une
méthode graphique, donc assez imprécise, ce qui rend son emploi très
limité.
La forme polaire et cartésienne :
Forme polaire :multiplication et division
Forme cartésienne : addition et soustraction
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Exemple pour comprendre :
Exemple 1 :
Exemple 2 :
DEF
Impédance et admittance : Si le dipôle est linéaire, la tension u(t), et l’intensité i(t), sont
sinusoïdaux, d’où l’obligation d’employer les nombres complexes.
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Dipôles passifs élémentaires :
Courant et
tension
Impédance
Z
Resistor
Inductance
Capacité
En phase (ϕ = 0)
Tension en quadrature avance
sur l’intensité.
Tension en quadrature retard
sur l’intensité.
Purement inductif (partie
imaginaire positive)
Purement capacitif (partie
imaginaire négative)
Admittances
Y
Loi d’ohm
instantannée
Loi d’ohm en
complexe
Note
Purement résistif
Petits rappels mathématiques :
Dans l’écriture polaire, le module est toujours positif. Pour s’en rappeler penser au fait que l’on utilise
l’écriture polaire pour les multiplications et divisions, et qu’on ne peut pas diviser par zéro.
Pour comparer deux grandeurs, il faut que la forme trigonométrique soit identique : on compare des
sinus avec des sinus, et des cosinus avec des cosinus. Pour faire la transition de l’un vers l’autre,
sachez que :
Avec la forme cartésienne, on peut procéder à quelques petits arrangements qui feront le bonheur de
tous les mathématiciens :
Voici comment procéder pour faire une division avec la
forme polaire :
Pour faire une division en polaire, on fait le quotient des
modules, et la différence des arguments.
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Association de dipôle linéaire :
Association série
Association parallèle
En série, les impédances complexes s’ajoutent
En parallèle, les admittances complexes s’ajoutent.
Note sur le comportement des dipôles élémentaires :
Résistance
Bobine
Condensateur
T
e
n
s
i
o
n
I
n
t
e
n
s
i
t
é
Association de dipôles :
On fait une association série d’une résistance, d’une bobine,
et d’un condensateur.
Pour connaître l’impédance équivalente, on se contente d’additionner les impédances respectives aux
trois dipôles :
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Peu importe le nombre de dipôle
associé en série, le principe
réside dans l’idée d’associer les
impédances
respectives
des
dipôles, pour obtenir l’impédance
équivalente.
On converti ensuite, de façon à
passer de la forme cartésienne à
la forme polaire.
Notion de puissance :
1. Puissance instantanée en sinusoïdale :
Le raisonnement, certes instructif, n’est pas à retenir, le résultat se suffit à lui-même.
2. Puissance active :
DEF
Puissance active : Cela correspond à la valeur moyenne de la puissance instantanée.
Or on sait qu’en sinusoïdale, la valeur moyenne est nulle :
On applique la définition ci-dessus :
L’unité de la puissance active, est le Watt.
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3. La puissance réactive
S’exprime en Voltampères Réactives (VAR)
Puissance active et réactive des trois dipôles :
Resistor
Inductance
Capacité
P Formules
A
P
A
Pa
P Formules
R
P
Pr
R
4. La puissance apparente
Elle permet de dimensionner les appareils, et s’exprime en Voltampères (VA). Un transformateur
20VA, signifie, que le produit de la tension (U) par l’intensité (I) ne devra pas excéder 20VA, soit pour
une tension de 20V, il délivrera 1A, ou pour 10V, il délivrera 2A.
5. Le théorème de Boucherot
DEF
Théorème de Boucherot : Les puissances actives et réactives consommés par une association de
dipôle, sont égale à la somme des puissances actives et réactives consommés par chaque dipôle.
Exemple : Soit une association RLC série :
I= 2A ; f= 50Hz ; R= 440 Ohms ; L= 1H ; C= 5µF. Calculer Pr, Pa, U, et
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ϕ.
Modèles séries et parallèle d’un dipôle passif linéaire
1. Les modèles
Tout DPL, peut être modéliser par un modèle série ou parallèle.
Série
Parallèle
Le signe de la réactance, dépends de la nature du Le signe de la suceptance dépends de la nature du
dipôle :
dipôle :
Z : impédance en ohms
R : résistance en ohms
X : réactance en ohms
Y : admittance en Siemens
G : conducatnce en Siemens
B : suceptance en Siemens
2. Le facteur « Q », d’un DPL
Attention à la notation du facteur Q, qui est un quotient sans unité, et toujours positif. Il caractérise
l’aspect réactif du dipôle. On peut exprimer le facteur de qualité par le modèle série ou parallèle.
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Série
Parallèle
Si le dipôle est très réactif, cela signifie que q est très grand devant 1,
donc Q² est très grand devant 10. On peut donc utiliser l’expression
simplifiée :
Remarque : L’équivalence n’est valable que pour une fréquence donnée.
3. Modèle équivalent d’une bobine réelle :
Facteur de qualité Q de la bobine :
Plus Q est grand, plus la bobine est de bonne qualité (la résistance est faible).
Expression de Xp et Rp du modèle équivalent :
4. transformation série- parallèle :
Soit un DPL, on peut lui associer indifféremment un modèle série ou un modèle parallèle.
Ces structures so,nt équivalentes, et on peut passer de l’une à l’autre. On cherche à exprimer Rp et
Xp, en fonction de Rs et Xs. La démonstration étant assez fastidieuse, seul le résultat final sera
présenté ici :
Exercice d’application : Soit une bobine d’inductance L= 0.5H, avec une résistance Rs= 10ohms, les
deux dipôles sont soumis à une tension de fréquence 50Hz. Déterminer par le calculs Rp, et Lp.
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a) Commençons par calculer le facteur de qualité :
b) Poursuivons, en utilisant les formules simplifier, car 15,7 est très grand devant 1 :
c) Continuons encore, en sachant que Lp = Ls, dans notre cas :
d) Concluons :
Dans la majorité des exercices proposés, on est en mesure d’utiliser les formules simplifier, car on a
fréquemment un facteur Q, qui est très grand devant la valeur 1.
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