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Les vecteurs en Voyage 200.
Les vecteurs en Voyage 200. I. Principes. • Une translation est caractérisée par un vecteur. • Un vecteur est représenté par un couple de points, une origine et une extrémité. • Deux couples de points, (A, B) et (C, D), représentent le même vecteur si et seulement si la figure (A, B, D, C) est un parallélogramme ( éventuellement aplati ). II. Les vecteurs avec Cabri Géomètre. Pour traiter les vecteurs, Cabri nous propose quatre outils principaux : 7| Crée le représentant d’un vecteur sous forme d’un couple de points. 1| Applique une translation à un objet. 3| Applique une homothétie à un objet. 7| Crée, à partir d’un point du plan, un représentant de la somme de deux vecteurs. Soulignons que ce « vecteur somme » peut être placé n’importe où. III. Somme de deux vecteurs. a. Composée de deux translations. → → Nous créons un triangle T et deux vecteurs − u et − v. 3| Enter| Déplacement de curseur Enter| Déplacement de curseur Enter| 7| Quelque part ailleurs Enter| Déplacement de curseur Enter| Encore ailleurs Enter| Déplacement de curseur Enter| Remarquons que Cabri trace les sommets du triangle et les extrémités des représentants des vecteurs alors que ces objets ne font pas partie de l’objet principal proprement dit : on peut effacer le triangle sans effacer ses sommets, mais l’effacement d’un sommet entraı̂ne le décès du triangle. Ceci mis en place, nous appliquons successivement, la translation T− → u au triangle T , puis 0 la translation T− → → u (T ) : v au triangle T = T− → 1| Curseur sur le triangle T Enter| Curseur sur le vecteur − u Enter| − 1| Curseur sur le triangle T 0 Enter| Curseur sur le vecteur → v Enter|. Pour donner plus de poids à l’image, nous construisons les deux parallélogrammes visibles sur la figure de gauche : 4| Curseur sur le premier sommet Enter| Curseur sur le deuxième sommet Enter| Curseur sur le troisième sommet Enter| Curseur sur le quatrième sommet Enter| Curseur sur le premier sommet Enter| Pour chacun des parallélogrammes ... Tivctrs, page 1/4 - 5 mars 2006 Nous traçons aussi, même si c’est très discutable, un vecteur allant du sommet supérieur du triangle T vers son homologue du triangle T 00 . Nous souhaitons ainsi souligner le fait qu’une translation amène T sur T 00 : 7| Curseur sur le sommet de T Enter| Curseur sur le sommet de T 00 Enter| Somme et translation. Nous utilisons maintenant les outils spécifiques à Cabri pour construire la somme de deux vecteurs ( figure de droite ). → 1| Curseur sur l’extrémité du représentant du vecteur − u Enter| → Curseur sur le vecteur − v Enter| Le point obtenu, que nous nommons u0 serait l’extrémité de la résultante construite à → partir du vecteur − u ... → Curseur sur l’extrémité du représentant du vecteur − v Enter| → Curseur sur le vecteur − u Enter| Nous nommons v 0 le point obtenu ... − − 7| Curseur sur le vecteur → u Enter| Curseur sur le vecteur → v Enter| Curseur en un point arbitraire Enter| − → A pour effet de créer un représentant de la somme vectorielle → u +− u. L’objectif est maintenant de montrer que les trois méthodes donnent le même résultat. Pour cela, nous marquons d’abord les vecteurs issus des translations précédentes, puis nous construisons les parallélogrammes. → 7| Curseur sur l’extrémité du représentant du vecteur − u Enter| Curseur sur le point u0 . Enter| → Curseur sur l’extrémité du représentant du vecteur − v Enter| Curseur sur le point v 0 . Enter| Tivctrs, page 2/4 - 5 mars 2006 4| Curseur sur le premier sommet Enter| Curseur sur le deuxième sommet Enter| Curseur sur le troisième sommet Enter| Curseur sur le quatrième sommet Enter| Curseur sur le premier sommet Enter| Pour chacun des parallélogrammes ... Ces figures devront être complétées pour faire passer, avec un vocabulaire adapté, l’idée du groupe additif des vecteurs du plan. Vous avez les outils nécessaires ... IV. Produit d’un vecteur par un réel. Le concept de produit par un réel n’a rien d’immédiat, pour l’appréhender nous réinventons l’histoire en partant du produit par un entier positif qui, lui, se ramène à une somme. 2 Nous montrons ici deux manipulations : La construction du produit par le rationnel et 3 l’utilisation de l’outil homothétie. Pour la construction, nous partons d’un représentant d’un vecteur que nous divisons dans un rapport donné. Nous utilisons la propriété de Thalès selon le protocole suivant : 7| Enter| Assez loin Enter| −→ Crée et représente le vecteur OA. Nous n’insistons pas sur les noms donnés aux objets traités. Curseur en O Enter| Curseur un peu plus loin Enter| Crée un petit vecteur unitaire que nous allons reproduire deux fois pour obtenir trois parties isométriques d’un segment de référence. 1| Curseur sur le dernier vecteur tracé Enter| Enter| Curseur sur le dernier vecteur tracé Enter| Enter| Puis nous complétons la configuration de Thalès : 5| Curseur sur le dernier point tracé Enter| Curseur sur le point A Enter| 2| Curseur sur le segment Enter| Curseur sur la division 2 Enter| Nous obtenons une figure qui ressemble au modèle suivant ( à gauche ). Ce montage est bien connu de nos lecteurs. Sur la figure de droite, nous utilisons l’outil « Homothétie » ( ] 3| ) de Cabri : Tivctrs, page 3/4 - 5 mars 2006 6| 2| ÷| 3| Enter| Le rapport d’homothétie est affiché dans un coin de l’écran. 3| Curseur sur le vecteur Enter| Curseur sur le rapport d’homothétie Enter| Curseur sur le point O Enter| Notons bien que la mention du centre d’homothétie est indispensable. Le résultat de la manipulation apparaı̂t sur la figure ci-dessous, à gauche. On peut envisager de comparer ce résultat à la construction de Thalès déjà vue. Sur la figure de droite, nous proposons une plausible illustration de la distributivité du produit par un réel sur la somme des vecteurs. −→ −−→ Sans rentrer dans les détails, nous construisons les vecteurs OA et OB et nous utilisons la −−→ 2 −→ −−→ 2 −−→ méthode précédente pour construire les vecteurs OA0 = OA et OB 0 = OB. 3 3 Pour construire les sommes de vecteurs, nous suggérons deux protocoles possibles : −−→ −−→ 7| Curseur sur le vecteur OA0 Enter| Curseur sur le vecteur OB 0 Enter| Curseur sur le point O Enter| Utilise l’outil somme de deux vecteurs. −→ −−→ 1| Curseur sur le vecteur OA Enter| Curseur sur le vecteur OB Enter| −−→ −→ Curseur sur le vecteur OB Enter| Curseur sur le vecteur OA Enter| Construit le parallélogramme par des translations des vecteurs composants. −→ −−→ Une droite mobile, parallèle au vecteur OA ( ici ), ou au vecteur OB, permet de mettre en évidence les égalités vectorielles en justifiant l’alignement. V. Mise en garde. Ce document n’est absolument pas une leçon clefs en main, ni un modèle de prestation à restituer devant un jury. Sur une trame classique, certes, nous avons essayé de présenter un maximum d’outils dans un minimum d’espace et n’avons pas pris le temps de développer le plus important : votre discours d’accompagnement et la justification de vos choix personnels. Par exemple, nous ne prenons pas parti entre les trois méthodes proposées pour construire une somme, i.e. translation d’un point, utilisation de l’outil somme ou construction du parallélogramme. Il serait bon que vous ayez une idée sur la question ! N’oubliez pas que les différents jurys attendent des candidats un engagement argumenté et non la répétition d’exposés maintes fois ressassés par leurs grands anciens. Tivctrs, page 4/4 - 5 mars 2006
