principes et formules d`hydraulique à surface libre

Transcription

TRAITÉ D'HYDRAULIQUE À SURFACE LIBRE.
1.1- DÉFINITIONS ESSENTIELLES : LES PARAMÈTRES GÉOMÉTRIQUES..................................... 11
1.2 - DÉFINITIONS ESSENTIELLES : LES PARAMÈTRES HYDRAULIQUES .................................... 13
1.2.1 - MASSE VOLUMIQUE ................................................................................................................................ 13
1.2.2 - POIDS VOLUMIQUE .................................................................................................................................. 13
1.2.3 - DÉBIT...................................................................................................................................................... 13
1.2.4 - VITESSE EN UN POINT DE L’ÉCOULEMENT ............................................................................................... 13
1.2.5 - VITESSE MOYENNE.................................................................................................................................. 13
1.2.6 - LIGNE DE COURANT ................................................................................................................................ 13
1.2.7 - TUBE DE COURANT.................................................................................................................................. 13
1.2.8 - PRESSION HYDROSTATIQUE EN UN POINT ................................................................................................ 14
1.2.9 - CHARGE HYDRAULIQUE EN UN POINT D’UN LIQUIDE EN MOUVEMENT ..................................................... 14
1.2.10 - CHARGE MOYENNE DANS UNE SECTION ................................................................................................ 14
1.2.11 - LIGNE PIÉZOMÉTRIQUE ......................................................................................................................... 15
1.2.12 - LIGNE DE CHARGE MOYENNE ................................................................................................................ 16
1.2.13 - CHARGE SPÉCIFIQUE ............................................................................................................................. 16
1.2.14 - POUSSÉE SUR UNE PAROI DU CANAL ...................................................................................................... 17
1.2.15 - FROTTEMENT SUR UNE PAROI DU CANAL............................................................................................... 17
1.3 - LES DIFFÉRENTS RÉGIMES D’ÉCOULEMENT ............................................................................... 18
1.3.1 - RÉGIME PERMANENT ............................................................................................................................... 18
1.3.2 - ÉCOULEMENT PERMANENT UNIFORME .................................................................................................... 18
1.3.3 - ÉCOULEMENT PERMANENT VARIÉ ........................................................................................................... 18
1.3.4 - RÉGIME TRANSITOIRE ............................................................................................................................. 18
1.4 - CALCUL DES ÉCOULEMENTS PERMANENTS UNIFORMES....................................................... 19
1.4.1 - RAPPEL DE LA DÉFINITION ...................................................................................................................... 19
1.4.2 - ÉQUATION DE CONTINUITÉ ...................................................................................................................... 19
1.4.3 - ÉQUATION DU RÉGIME UNIFORME ........................................................................................................... 19
1.4.4 - FORMULE DE CHÉZY ET FORMULE DE MANNING-STRICKLER .................................................................. 20
1.5 - ÉCOULEMENTS PERMANENTS GRADUELLEMENT VARIÉS .................................................... 26
1.5.1 - PRÉSENTATION DU PROBLÈME CONSIDÉRÉ .............................................................................................. 26
1.5.2 - ÉQUATION DE LA LIGNE D’EAU ; TIRANT D'EAU NORMAL ........................................................................ 26
1.5.3 - TIRANT D’EAU CRITIQUE ......................................................................................................................... 27
1.5.4 - ÉCOULEMENT FLUVIAL, ÉCOULEMENT TORRENTIEL ............................................................................... 28
1.5.5 - CALCUL D’UNE COURBE DE REMOUS ....................................................................................................... 29
1.6 - ÉCOULEMENTS RAPIDEMENT VARIÉS ........................................................................................... 31
1.6.1 - RESSAUT HYDRAULIQUE ......................................................................................................................... 31
1.6.2 - TYPOLOGIE ET LONGUEUR DU RESSAUT .................................................................................................. 32
1.6.3 - POSITION DU RESSAUT ............................................................................................................................ 36
1.6.4 - SEUIL DÉNOYÉ OU NOYÉ ......................................................................................................................... 36
1.7 - ÉCOULEMENTS TRANSITOIRES ........................................................................................................ 39
1.7.1 - LES DEUX ÉQUATIONS DE BASE ............................................................................................................... 39
1.7.2 - RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE BARRÉ DE SAINT VENANT (MÉTHODE DES CARACTÉRISTIQUES) ......... 44
1.7.3 - PROBLÈMES RÉELS RENCONTRÉS ............................................................................................................ 45
1.7.4 - PROPAGATION DE CRUE DANS LES CHENAUX À FORTE PENTE .................................................................. 46
1.7.5 - PROPAGATION DE CRUE DANS LES CHENAUX À TRÈS FAIBLE PENTE ........................................................ 47
1.7.6 - CONCLUSION SUR LA PROPAGATION DES CRUES EN RIVIÈRE ................................................................... 49
1.8 - LOGICIELS DE CALCUL DE LIGNE D’EAU EN RIVIÈRES OU CANAUX.................................. 50
1.8.1 - LOGICIEL DE CALCUL PERMANENT ET FLUVIAL ....................................................................................... 50
1.8.2 - LOGICIEL DE CALCUL TRANSITOIRE ........................................................................................................ 50
1.8.3 - CALCULER EN PERMANENT OU EN TRANSITOIRE ?................................................................................... 51
1.8.4 - MODÈLE À UNE OU À DEUX DIMENSIONS ? .............................................................................................. 52
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TRAITÉ D'HYDRAULIQUE À SURFACE LIBRE
Gérard DEGOUTTE
10
Gérard DEGOUTTE
Une liste des notations figure en tête d'ouvrage.
Nous allons nous limiter à un chenal (rivière à lit unique ou canal) dont le tracé peut être
raisonnablement considéré comme rectiligne. La géométrie du chenal peut alors être
parfaitement définie par une succession de sections perpendiculaires à son axe. Il existe une
direction privilégiée de l’écoulement appelée axe de l’écoulement. Par voie de conséquence,
la surface libre est supposée horizontale d’une rive à l’autre (absence de dévers). Les
composantes verticales de l'écoulement ainsi que les composantes de rive à rive sont donc
négligées. Tous les paramètres géométriques peuvent être considérés comme des fonctions
de l’abscisse mesurée sur l’axe d’écoulement. Les vitesses sont supposées homogènes
dans une section. Ce type d’approche est celle de la modélisation filaire (ou à une
dimension). Le jargon classique emploie l’appellation « modèle 1D ». A la fin du chapitre 1
du texte principal sont données quelques indications sur les logiciels 1D et 2D.
La rivière est enfin supposée transporter de l'eau claire et avoir ses parois et son fond fixes.
1.1- DÉFINITIONS ESSENTIELLES : LES PARAMÈTRES GÉOMÉTRIQUES
Ces paramètres sont relatifs à une section du chenal dans un plan perpendiculaire à son
axe, dont la position est définie par une abscisse (x). Les paramètres essentiels sont le tirant
d’eau (y), la section mouillée (S), la largeur au miroir (L) ou largeur de la section mouillée, le
périmètre mouillé (P). Ils sont définis sur le schéma de la figure 1.1. Bien noter que le
périmètre mouillé est la longueur de paroi en contact avec l'eau (berges et fond), mais ne
comporte pas le contact eau-atmosphère.
L
: largeur au miroir
y
P
tirant
d'eau
périmètre mouillé
y
α
Figure 1. 1 - tirant d’eau, largeur au miroir et section mouillée
Le rayon hydraulique est le rapport entre section mouillée et périmètre mouillé, R = S/P. Pour
un canal rectangulaire, R =
L.y
. Pour un canal infiniment large, R = y.
L + 2. y
La pente du chenal est la pente de son fond1, mesurée tout le long de son axe, et comptée
1
aussi appelé radier.
11
Gérard DEGOUTTE
positivement si le chenal est descendant. Elle est notée i ( i = sin α ) . Si z désigne la cote du
fond, alors i = −
dz
.
dx
Il ne faut pas se laisser abuser par l’appellation « paramètres géométriques ». Tous les
paramètres L, y, S, P, R dépendent du débit et ne sont donc pas des constantes
géométriques. Seule la pente (i) est une constante géométrique (c’est à dire indépendante
du débit, mais certes, pas forcément de l’abscisse).
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Gérard DEGOUTTE
1.2 - DÉFINITIONS ESSENTIELLES : LES PARAMÈTRES HYDRAULIQUES
1.2.1 - Masse volumique
La masse volumique de l'eau est notée ρw et vaut 1000 kg/m dans le cas de l’eau sans
matières en suspension.
3
1.2.2 - Poids volumique
Le poids volumique de l'eau est noté γw= g.ρw et vaut 9,81 kN/m pour de l’eau sans matières
2
en suspension. g désigne l'accélération de la pesanteur et vaut 9,81 m/s .
3
1.2.3 - Débit
Le débit (Q) est le volume d’eau qui traverse une section perpendiculaire à l’axe du chenal
par unité de temps.
1.2.4 - Vitesse en un point de l’écoulement
Par définition, la vitesse (v) en un point de l'écoulement est celle de la particule qui passe en ce
point au moment considéré.
1.2.5 - Vitesse moyenne
La vitesse moyenne est par définition V = Q/S, c’est à dire V =
élément de surface ( S =
∫∫ v.ds , ds
désignant un
S
∫∫ ds ).
1.2.6 - Ligne de courant
Une ligne de courant est une courbe tangente en chacun de ses points P au vecteur vitesse
en ce point. Son équation est donc vΛdP = 0 (produit vectoriel).
En écoulement non permanent, la vitesse v au point P évolue dans le temps ; les lignes de
courant se déforment donc avec le temps. En écoulement permanent, les lignes de courant
ne se déforment pas et constituent des trajectoires de particules d’eau. Le profil de la surface
libre est une ligne de courant particulière.
1.2.7 - Tube de courant
Un tube de courant est le volume délimité par les lignes de courant qui s’appuient sur un
contour fermé.
13
Gérard DEGOUTTE
1.2.8 - Pression hydrostatique en un point
p
Dans un liquide au repos, z +
est constant. p désigne la pression appliquée à une
γw
facette passant par le point considéré et ne dépend pas de l’orientation de cette facette. Elle
2
s'exprime en Pascal (symbole Pa ou N/m ). Dans ce qui suit, p désignera la pression relative
(autrement dit, en surface d’un liquide p = 0). A une profondeur h sous la surface libre,
p = γ w .h
1.2.9 - Charge hydraulique en un point d’un liquide en mouvement
L'appellation charge hydraulique désigne une énergie par unité de poids de liquide. Par
définition, la charge en un point P d’une ligne de courant est la valeur H P = z P +
p
γw
+
v2
2g
où z P est la cote du point, p la pression en ce point, v la vitesse au point P. Si ∆z désigne la
différence d'altitude entre le point P et la surface libre, la pression (relative) en P est
p = γ w .∆z (figure 1.2). Si y P désigne la distance du point P à la surface et si α désigne
l'angle du fond avec l'horizontale, y P = ∆z / cos α
Donc p = γ w . y P / cos α . Dans les problèmes courants de rivières ou de canaux, la pente est
très faible (quelques %o à quelques %) et cos α ≈ 1. Par exemple, jusqu'à un angle de 8°,
c'est à dire une pente de 14%, l'erreur n'est que de 1%.
D’où : p = γ w . y P , comme pour un problème hydrostatique. Donc, en hydraulique à surface
libre et pour une pente faible, la charge en un point vaut aussi : H P = z P + y P + v 2 2 g .
∆z
yP
.
P
α
Figure 1. 2 - pression en un point p = γw. ∆z
1.2.10 - Charge moyenne dans une section
2
En intégrant H P = z P + y P + v 2 2 g dans une section, il vient : H = z f + y + βV 2g , où z f
désigne la cote du fond et y le tirant d’eau pour la section. Le coefficient β vaut 1 si la
14
Gérard DEGOUTTE
v ds
. En
β = ∫∫
3
répartition des vitesses dans la section est uniforme. Sa formulation est :
V 3 .S
rivière, β est généralement compris entre 1 et 1,2. Par la suite, c’est cette charge moyenne
que nous utiliserons.
1.2.11 - Ligne piézométrique
C’est par définition le lieu de z P + p / γ w lorsque P décrit une ligne de courant. Or
l'éloignement de P à la surface libre mesuré verticalement est
p
cos α .γ w
. Si la pente est
faible, cet éloignement est pratiquement égal à : p / γ w (figure 1.3).
La ligne piézométrique coïncide avec la surface libre dans un écoulement à surface
libre à faible pente.
ligne piézométrique =
surface libre
p / γw
P
zP
ligne de
courant
fond
Figure 1. 3 - ligne piézométrique
15
Gérard DEGOUTTE
1.2.12 - Ligne de charge moyenne
La ligne de charge moyenne 2 est obtenue en reportant graphiquement V 2 2 g au-dessus de
la ligne piézométrique (figure 1.4). Sur cette figure, le tirant d'eau est assimilé à la distance
verticale entre le fond et la surface libre, toujours compte tenu de l'hypothèse de pente faible.
Cette assimilation sera maintenue par la suite.
ligne de charge
2
v / 2.g
surface libre
y
HP
fond
zf
Figure 1. 4 - ligne de charge et ligne piézométrique
1.2.13 - Charge spécifique
La charge spécifique est la charge moyenne mesurée par rapport au fond du chenal :
p
Hs = H − z f =
+β
V2
. La pression hydrostatique vaut p = γ w . y. cos α . Si la pente
2.g
γw
est faible, p = γ w . y . D’où :
H s = y + β .V 2 /( 2.g ) (figure 1.5).
ligne de charge
2
V / 2.g
Hs
surface libre
y
fond
Figure 1. 5 - charge spécifique (β est ici supposé égal à 1)
2
ou ligne d'énergie.
16
Gérard DEGOUTTE
1.2.14 - Poussée sur une paroi du canal
L’eau exerce une poussée égale à celle qui existerait si l’eau était au repos. Sur un élément
de section ds, la poussée est dP = p .ds avec p = γ w . y .
1.2.15 - Frottement sur une paroi du canal
L’eau étant en mouvement, exerce aussi sur les parois du chenal une force de frottement
habituellement notée : dF = τ 0 .ds cf. figure 1.6.
τ 0 est la force de frottement par unité de surface ou contrainte tangentielle à la paroi.
L’expression consacrée est celle de force tractrice. C’est un abus de langage puisque l’on
devrait parler de tension. L’intérêt de cette notion de force tractrice apparaît plus clairement
en examinant la condition de stabilité des grains qui constituent le fond ou les berges des
rivières (cf. § 2.7 au chapitre 2).
d P= p .ds
d F= τ0 .ds
Figure 1. 6 - forces appliquées par l'eau sur les parois
(l'une perpendiculaire, l'autre tangentielle)
17
Gérard DEGOUTTE
1.3 - LES DIFFÉRENTS RÉGIMES D’ÉCOULEMENT
1.3.1 - Régime permanent
Le chenal transporte un débit Q constant dans le temps. Le tirant d'eau y en un point donné
est donc aussi constant. En pratique, on peut calculer en régime permanent des canaux
d'irrigation, des écoulements en rivière à l'étiage ou en régime moyen. Mais le calcul d'un
écoulement en crue ne peut pas être abordé par le régime permanent.
Permanent : Q indépendant de t ⇒ y indépendant de t
Le régime permanent peut être uniforme ou varié selon la géométrie du chenal.
1.3.2 - Écoulement permanent uniforme
Les caractéristiques géométriques du chenal sont constantes tout au long du tronçon
considéré : section mouillée S, pente i ainsi que la rugosité des parois. Le tirant d’eau est
constant tout au long du tronçon (appelé tirant d’eau normal). Dans le cas
contraire l'écoulement est dit varié. Nous verrons que la pente ne peut être que strictement
positive. Voir paragraphe 1.4.
Permanent uniforme :
S , i( > 0 ) et rugosité indépendantes de x ; Q indépendant de t ;
y indépendant de x et t (appelé tirant d'eau normal).
1.3.3 - Écoulement permanent varié
L'écoulement est varié lorsque la géométrie ou la rugosité ne sont pas constantes. Mais il
l'est aussi dans un tronçon dont la géométrie et la rugosité sont constantes si le tirant d'eau
n'est pas constant. Nous distinguerons les écoulements graduellement ou rapidement
variés. Voir paragraphes 1.5 et 1.6.
1.3.4 - Régime transitoire
Le débit varie en fonction du temps, et il en va donc de même du tirant d'eau en chaque
point du cours d'eau. Le calcul du laminage d’une crue par un barrage est typiquement un
problème de calcul transitoire ; de même le calcul d'un écoulement de rivière en crue,
surtout lorsque le lit majeur est sollicité. Voir paragraphe 1.7.
18
Gérard DEGOUTTE
1.4 - CALCUL DES ÉCOULEMENTS PERMANENTS UNIFORMES
1.4.1 - Rappel de la définition
Un écoulement permanent est en outre uniforme lorsque la géométrie, la pente et la nature
des parois restent inchangées et lorsque le tirant d’eau (y) garde une valeur constante. Un
écoulement réellement uniforme se rencontre rarement dans les rivières, mais plutôt dans
les canaux de grande longueur, à section et pente constantes. C’est néanmoins un
écoulement auquel on se réfère souvent, même dans l’étude des problèmes réels non
uniformes. Souvent par simplification de langage, nous nous contentons de parler
d'écoulement uniforme, au sens d'écoulement permanent et uniforme.
1.4.2 - Équation de continuité
L’équation de continuité exprime que la masse de liquide sortant d’une section 2 est égale à
la masse de liquide entrant dans une section amont 1 pendant le même intervalle de temps
∆t (1). D’autre part, le liquide est supposé homogène et incompressible ( γ w = constante). Il y
a donc aussi continuité du volume.
Donc le volume entrant Q1 .∆t est égal au volume sortant Q2 .∆t ⇒ Q1 = Q2 .
En écoulement permanent (uniforme ou non), le débit se propage en restant constant.
Comme en outre y est constant par définition, S est aussi constant. La vitesse moyenne
V = Q / S est aussi constante.
En écoulement permanent uniforme, la section mouillée et la vitesse moyenne sont
constantes le long du chenal.
1.4.3 - Équation du régime uniforme
Soit i la pente du fond ( i = −
dz f
dx
). La pente de la surface libre est aussi égale à i car le
tirant d’eau est constant dans l’espace.
La charge moyenne en une section est par définition H = y + z + V 2 / 2 g (cf. § 1.2.10).
Entre une section 1 et une section 2, la charge varie d’une quantité H1 – H2 appelée perte
de charge (figure 1.7).
Le théorème de Bernoulli exprime que dans un écoulement permanent d'un fluide parfait
(viscosité nulle), la charge est constante. Mais nous nous intéressons à des liquides réels
(visqueux). Le théorème de Bernoulli généralisé exprime simplement que la variation de la
charge ∆H est égale à la perte de charge j .∆x .
La perte de charge linéaire (j) est donc identique à la pente de la ligne de charge
(1) C’est le fameux principe « rien ne se perd, rien ne se crée » de Lavoisier.
19
Gérard DEGOUTTE
j=−
dz f
dH
d 
V2 
 = −
. D'où : j = −  y + z f +
car y comme V sont constants. Il en
dx
dx 
2g 
dx
résulte : i i = j . Au passage, constatons qu'un écoulement uniforme n'existe que si la pente
est positive, ce que le bon sens indique.
Dans un écoulement uniforme la ligne de charge, la surface libre et le fond sont parallèles..
V 2/ 2.g
ligne de charge
surface libre
H1
H2
fond
Figure 1. 7 - écoulement uniforme
1.4.4 - Formule de Chézy et formule de Manning-Strickler
Pour calculer complètement un régime uniforme, il reste à calculer le tirant d’eau y obtenu
lorsque le débit vaut Q. Il ne nous manque plus qu’une relation. Celle-ci consiste à écrire
que dans l’écoulement uniforme, les forces appliquées à la masse fluide comprise entre
deux sections espacées d’une distance l sont en équilibre.
S
γw S.l.i
τ 0 .P.l
α
l
Figure 1. 8 - frottement sur les parois
20
Gérard DEGOUTTE
Le poids de la tranche d’eau considérée sur la figure 1.8 est γ w .S .l . Sa projection sur le
fond est γ w .S .l . sin α = γ w .S .l .i .
Pour le même volume d’eau, la force de frottement est τ 0 .P .l (en effet, la surface de contact
avec le liquide est P .l où P est le périmètre mouillé). D’où : γ w .S .l.i = τ 0 .P.l
Soit : τ 0 = γ w .i .S / P , soit : τ 0 = γ w .R .i .
τo (déjà défini au paragraphe 1.2.15) est évidemment fonction de la masse volumique du
liquide et de la vitesse de l’écoulement. Nous écrirons (par analogie avec les écoulements
en charge) : τ 0 = C f .γ w .V 2 / 2 g . C f est le coefficient de frottement unitaire (sans
dimension). En hydraulique à surface libre, on préfère poser C f = 2 g / C 2 , C s’appelant le
coefficient de Chézy qui s’exprime en m1/2/s-1.
2
V 
D’où : τ 0 = γ w   .
C 
2
V 
De ces deux relations, il résulte :   = R .i .
C 
Ce résultat s’écrit classiquement sous la forme
V = C
R.i
(formule de Chézy).
Le coefficient de Chézy C dépend de la nature des parois et du rayon hydraulique. Pour
l'estimer, une des formules expérimentales les plus utilisées est celle de Manning-Strickler
C = K .R 1 / 6 , K étant le coefficient de Strickler de dimension L1/3 T−1. Il dépend de la rugosité
des parois du chenal.
En partant de la formule de Chézy et de la valeur du coefficient C donnée ci-dessus, nous
obtenons la très classique et très importante formule de Manning-Strickler
V = K .R 2 / 3i 1 / 2
2 / 3 1/ 2
Elle s’écrit aussi : Q = K .S .R i
Avec Q = S / V
V
K
S
R
P
i
vitesse moyenne ;
coefficient de rugosité (ou de Strickler) du lit ;
section mouillée ;
rayon hydraulique R = S / P ;
périmètre mouillé ;
pente (constante par hypothèse) du tronçon de cours d'eau (pente du fond).
Dans cette relation, R et S sont des fonctions du tirant d'eau y. La résolution de l'équation
donne y en fonction de Q. Le tirant d'eau obtenu est par définition le tirant d'eau normal
baptisé yn . La pente de la ligne d’eau est égale à celle du chenal et à la perte de charge par
unité de longueur.
21
Gérard DEGOUTTE
Cas particulier : dans une rivière très large, et de forme rectangulaire, le rayon hydraulique
devient sensiblement égal au tirant d’eau.
On en déduit : Q = K .L. y 5 / 3i 1 / 2 . Il existe donc dans ce cas particulier une relation explicite
y = Q 3 / 5 K −3 / 5 L−3 / 5 i −3 / 10 .
donnant le tirant d’eau en fonction du débit :
Voici quelques ordres de grandeur du coefficient de Strickler.
Valeur de K en m1 / 3 / s
Nature des parois
Béton lisse
75
Canal en terre, non enherbé
60
Canal en terre, enherbé
50
35-40
Rivière de plaine, sans végétation arbustive
Rivière de plaine, large, végétation peu dense
30
Rivière à berges étroites très végétalisées
10-15
Lit majeur en prairie
20-30
Lit majeur en vigne ou taillis
10-15
Lit majeur urbanisé
10-15
Lit majeur en forêt
<10
Dans le cas d’un chenal dont le fond et les berges sont en graviers, des formules
empiriques ont pu être établies :

formule de Strickler :
1/ 6
K = 21 / d 50

formule de Meyer-Peter et Müller :
1/ 6
K = 26 / d 90

formule de Raudkivi :
K = 24 / d 651 / 6
Dans ces formules, K est exprimé en m1 / 3 / s et d n désigne le diamètre (en mètres) des
grains du lit tel que n% en poids aient un diamètre inférieur. Nous y reviendrons en détail
au § 2.6. d 90 représente donc les grains les plus gros ou presque. d 50 est le diamètre
médian, (couramment appelé aussi diamètre moyen par confusion).
Nous recommandons l’emploi de la première formule lorsque la granulométrie est étroite et
la seconde lorsqu’elle est étalée.
)
Attention : le coefficient de rugosité du lit d’une rivière varie en fait en fonction du tirant
d’eau, c’est à dire en fonction du débit pour trois raisons :
• la rugosité du fond et celle des berges ne sont généralement pas identiques (matériaux
plus fins, présence de végétation ou de protection ;
22
Gérard DEGOUTTE
• en cas de débordement, le lit majeur a une rugosité a priori différente de celle du lit
mineur ;
• enfin, la rugosité du fond varie selon que le fond est plat ou bien constitué de dunes,
comme nous le verrons au chapitre 2.
Par exemple, sur la Loire moyenne, le diamètre moyen des matériaux du fond est souvent
assez proche de 1 mm. La formule ci-dessus conduirait pour le fond à K = 66 environ, alors
que le coefficient de rugosité du lit mineur vaut 30 à 35.
Si l’on s’intéresse au seul lit mineur, il est donc utile de distinguer le coefficient relatif au
fond ( K f ), celui des berges ( K b ) et le coefficient global (K).
Rugosité composée
Il est assez courant que la rugosité du fond K f et celle des berges K b soient différentes.
Einstein (1934) a proposé de calculer la rugosité équivalente K de la manière suivante :
Pf
P
P
=
+ 3b / 2 (cité dans [25] et [51]). Dans le calcul des périmètres mouillés Pf et
3/ 2
3/ 2
K
Kf
Kb
Pb relatifs aux berges ou au fond, seuls les contacts terre-eau sont à considérer.
Si par exemple la hauteur de berges vaut 2 m, la largeur du fond vaut 30 m, le coefficient de
rugosité du fond vaut K f = 35 m 1 / 3 s −1 et celui des berges K b = 20 m 1 / 3 s −1 , on obtient :
34
30
2
= 3 / 2 + 2 3 / 2 , d’où K = 32 m 1 / 3 s −1 .
3/ 2
K
35
20
K
Pb1
Pb2
b
Pf
Kb
Kf
Figure 1. 9 - rugosité composée
Cas d'un lit majeur :
La section est découpée en sous sections et le débit total est ainsi obtenu :
Q = K j .S j .R 2j / 3 i j (voir figure 1.10).
∑
j
Dans le calcul des périmètres mouillés Pj , seuls les contacts terre-eau sont à considérer.
Dans le cas d’un chenal avec risbermes, les pentes i j sont toutes pratiquement égales.
Mais dans le cas du lit majeur d’un cours d’eau, i1 = i3 représente la pente du lit majeur et
i2 ( < i1 ) celle du lit mineur.
23
Gérard DEGOUTTE
En pratique, on ne mesure pas séparément les coefficients des lits mineur et majeur. Par
calage d’une ligne d’eau, on peut faire une estimation du coefficient K 2 du lit mineur, et si
l’on peut observer une crue débordante, on peut faire une estimation du coefficient global.
Ramette [51] et Nicollet [37], à la suite de mesures en laboratoire à Chatou, proposent
pour le coefficient global :
K = 0 ,9.K m5 / 6 K M1 / 6
où K m représente le coefficient de rugosité du lit mineur au moment du début de
débordement, et K M le coefficient du lit majeur. Cela traduit le fait qu’au moment du
débordement, l’écoulement dans le lit mineur est perturbé par les tourbillons qui se
développent au contact des deux lits.
1
2
3
Figure 1. 10 - lits mineur (2) et majeur (1 et 3)
RÉSUMÉ : ÉCOULEMENT UNIFORME
→ Q = K .S .R 2 / 3i 1 / 2
→ pente surface libre = pente ligne de charge = pente du fond
→ y = constante (tirant d’eau dit normal).
24
Gérard DEGOUTTE
Exercice sur le régime uniforme .
Soit un canal d’irrigation à section rectangulaire uniforme de pente (i) devant transiter
un débit permanent Q. Quels sont le tirant d’eau (y) et la largeur (L) pour que la section
mouillée soit minimale ?
 Q
Réponse : y = L/2 et L = 27 / 8 
K i



3/ 8
.
Résolution. La formule du régime uniforme, Q = K.S.R2/3.i1/2,montre que puisque Q, K et i sont fixés, si S est minimal,
alors R est maximal. Puisque le périmètre mouillé P = S/R , P est aussi minimal. Donc dP = 0.
Or P = L+2.y, d'où dL+2.dy=0⇒
dS=L.dy+y.dL = 0 ⇒ L.dy – 2.y.dy = 0, soit y=L/2.
La formule Q = K.S.R2/3.i1/2 en remplaçant S par L2/2 et R par L/4, se transforme en :
Q=K
L2  L 
 
2 4
2/3
i1 / 2 = K
L8 / 3
27 / 3
i 1 / 2 . D'où L.
Nota : une revanche devra être adoptée, par sécurité.
25
Gérard DEGOUTTE
1.5 - ÉCOULEMENTS PERMANENTS GRADUELLEMENT VARIÉS
1.5.1 - Présentation du problème considéré
En pratique dans un chenal uniforme, c’est à dire de section, pente et rugosité uniformes, le
tirant d’eau n’est constant qu’à une grande distance des extrémités. Près des extrémités,
l’écoulement est varié, c’est-à-dire que le tirant d’eau varie. Plus généralement, l’écoulement
est également non uniforme lorsque le chenal est non uniforme (sa géométrie et/ou sa
rugosité sont variables).
Ce chapitre se limite au cas des faibles variations. Un écoulement graduellement varié est
obtenu lorsque :
•
les dimensions, les formes, la rugosité, la pente du chenal varient faiblement sans
brusquerie ;
•
le tirant d’eau varie faiblement.
La figure 1.12 illustre un exemple où l'écoulement est varié dans deux tronçons successifs.
1.5.2 - Équation de la ligne d’eau ; tirant d'eau normal
La charge moyenne dans une section d’abscisse x est :
H = y + zf +
V2
Q2
= y + zf +
(cf. § 1.2.10).
2.g
2.g .S 2
avec y = tirant d’eau ;
zf = cote du fond ;
V = vitesse moyenne dans la section, ces trois valeurs y, zf ,V étant des fonctions de x.
Intéressons-nous à la perte de charge qui est j = −
D'où : j = −
dH
(cf. § 1.4.3).
dx
dz f
dH
dy
Q 2 dS
=−
−
+
(car Q est constant tout au long du chenal ;
dx
dx
dx
g .S 3 dx
voir paragraphe 1.4.2)
D’autre part
D’où : j = −
dz f
dx
= −i et dS =
∂S
∂S
dx +
dy = L .dy (L = largeur au miroir) 3.
∂x
∂y
dy
dy
Q 2 L.dy
=
+i + 3
. Soit
dx
dx
gS dx
i− j
.
Q2L
1−
g .S 3
Pour le second membre, Q et i sont des constantes connues et L et S sont des fonctions
3
Nous supposons ici que S n’est fonction que de y, c’est-à-dire que
26
Gérard DEGOUTTE
∂S
est nul ou tout au moins négligeable.
∂x
connues de y. Reste le terme j. On considère que la perte de charge a la même valeur qu’en
régime uniforme pour le même tirant d’eau et le même débit. Donc
j=
Q2
K 2 .S 2 .R 4 / 3
d’après la formule de Manning Strickler vue au § 1.4.4. C’est donc aussi une fonction connue
de y.
Nous avons bien une équation différentielle de la ligne d’eau. Puisqu’elle est du premier
ordre, le problème est complètement résolu avec une seule condition à la limite.
Remarques :
lorsque i = j on retrouve

dy
= 0 (y = constante), c’est-à-dire le régime uniforme ;
dx
nous n’avons pas le droit d’écrire l’équation différentielle ci-dessus lorsque
Q2
L=1
g .S 3
(division par zéro). Nous allons y revenir.
Par définition, le tirant d'eau normal ( yn ) est la solution de l'équation différentielle en y :
dH s
dH s
= 0 . Or H s = H − z ⇒
= i − j . yn est donc la solution de l'équation en y :
dx
dx
Q = K .S .R 2 / 3i 1 / 2 . Nous constatons qu'en régime uniforme (i = j), le tirant d'eau réel est
forcément le tirant d'eau normal. En régime non uniforme, si la pente est négative, il ne peut
exister de tirant d'eau normal. Enfin, si la pente est positive, le tirant d'eau réel n'a aucune
raison d'être égal au tirant d'eau normal.
1.5.3 - Tirant d’eau critique
dH s
Q2
Intéressons-nous à
. Hs = y +
(énergie spécifique ; cf. § 1.2.13).
2.g .S 2
dy
D’où en dérivant : dH s = dy −
Q2
g .S 3
 ∂S

∂S

dy +
dx  .
∂x
 ∂y

Par définition du régime graduellement varié, S varie peu avec x et le dernier terme est nul.
En admettant en outre que les pentes des parois sont fortes,
D’où :
∂S
= L.
∂y
dH s
Q2
= 1−
L.
dy
g .S 3
L’énergie spécifique est donc minimale lorsque le tirant d’eau vérifie Q 2 L g .S 3 = 1 . Par
définition, cette valeur est appelée tirant d’eau critique ( yc ) . Remarquons que c’est
justement le cas où l’on ne peut pas écrire l’équation différentielle de l’écoulement
graduellement varié. Nous dirons tout simplement qu'au voisinage du tirant d’eau critique,
l’écoulement n'est pas graduellement varié du fait de la courbure des filets liquides.
Le lecteur vérifiera facilement que l’énergie spécifique minimale est : H sc = yc +
27
Gérard DEGOUTTE
Sc
.
2.L
Dans le cas d’un chenal rectangulaire, le tirant d’eau critique peut s’expliciter ainsi :
yc = 3
Q2
g .L2
=
3
V2
, et l’énergie spécifique minimale vaut : H sc = yc .
2
g
1.5.4 - Écoulement fluvial, écoulement torrentiel
Posons
F=
Q2L
g .S 3
F=
, appelé nombre de Froude. Il s'écrit aussi
V
, où
g .ym
y m = S / L est le tirant d'eau moyen dans la section.
Le nombre de Froude est un nombre sans dimension dont le carré représente le rapport de
l’énergie cinétique du liquide en mouvement à l’énergie potentielle de la pesanteur. Il a un
rôle tout à fait fondamental pour caractériser les écoulements.
En section rectangulaire, S = L. y . D’où F = V
g . y . Il est souvent pratique d’utiliser le
débit linéaire ou débit par mètre de largeur du lit q = Q / L . Le nombre de Froude en section
rectangulaire s’écrit donc aussi : F = q
En section quelconque, F = q
g .y 3 .
g . ym3 .
Lorsque F = 1 , le tirant d’eau est critique d’après ce qui précède.
De plus, d’après le § 1.5.3 :
dH s
= 1− F2 .
dy
Lorsque F < 1 (ou lorsque y > yc ) le régime est dit fluvial. H s est une fonction croissante
de y et l’on se trouve sur la branche de droite de la courbe figure 1.11.
Lorsque F > 1 (ou lorsque y < yc ), le régime est dit torrentiel.
Hs
torrentiel
fluvial
ligne de
charge
H sc
y1
yc
y1
surface
libre
yc
y
Figure 1. 11 - relation charge spécifique – tirant d’eau pour un débit donné
!!! inverser fluvial – torrentiel sur dessin
La notion de régime fluvial, torrentiel ou critique s’applique évidemment au cas particulier du
régime uniforme.
28
Gérard DEGOUTTE
Lorsque yn < yc l’écoulement est uniforme torrentiel, et lorsque yn > yc l’écoulement est
uniforme fluvial.
La figure 1.11 ci-dessus a l’intérêt de montrer que pour une même énergie spécifique, deux
tirants d’eau sont possibles l’un fluvial, l’autre torrentiel. Bien entendu, la connaissance de la
condition à la limite aiguillera vers l’un ou vers l’autre, selon sa position par rapport à yc.
1.5.5 - Calcul d’une courbe de remous
Il s’agit simplement de résoudre une équation différentielle du premier ordre du type
dy dx = f(y) connaissant une condition aux limites y = y0 pour x = x0 .
Attention, la condition doit être donnée à l’amont si l’écoulement est torrentiel et à l’aval s’il
est fluvial.
Donnons deux exemples avec un changement de pente net.
a) fluvial puis torrentiel (figure 1.12)
Fluvial
yn y
c
yn
Torrentiel
Figure 1. 12 - passage fluvial – torrentiel
La ligne d’eau amont est fluviale et le tirant d’eau tend vers l’amont vers le tirant d’eau
normal yn. La forme de la ligne d’eau est imposée par un contrôle aval, ici y = yc .
De même, dans la partie torrentielle, le tirant d’eau tend vers le tirant d’eau normal vers
l’aval. Le contrôle est amont (le même, y = yc ).
b) torrentiel vers fluvial
Dans ce cas les deux contrôles (amont du torrentiel, aval du fluvial) peuvent conduire à une
incompatibilité. L’équation différentielle de la ligne d’eau n’est pas applicable sur tout le
tronçon. Il s’agit d’un cas où l’équation de Bernoulli ne permet pas de conclure partout. Nous
verrons au chapitre suivant (paragraphe 1.6.1) comment procéder.
Plus généralement, la résolution numérique de l’équation différentielle de la ligne d’eau doit
toujours être confrontée à la réalité physique. La ligne d’eau réelle est limitée par des
29
Gérard DEGOUTTE
singularités connues (seuils, vannes, …) voire par des singularités qui ne sont pas toujours
connues à l’avance (ressauts).
La figure 1.13 résume les différents types d’écoulement permanent.
2
1
3
4
5
6
7
Figure 1. 13– écoulements uniforme, graduellement varié, rapidement varié.
1 : uniforme fluvial
2 : fluvial graduellement décéléré
3 : rapidement accéléré (fluvial puis torrentiel)
4 : ressaut
5 : uniforme fluvial
6 : rapidement accéléré (fluvial puis torrentiel)
7 : uniforme torrentiel
30
Gérard DEGOUTTE
1.6 - ÉCOULEMENTS RAPIDEMENT VARIÉS
Les écoulements rapidement variés se rencontrent soit en cas de changements de
géométrie brutaux en plan (convergents, divergents), soit dans le cas d’écoulements dont les
lignes de courant deviennent très courbes (en profil).
1.6.1 - Ressaut hydraulique
Un ressaut est obtenu lorsqu’un écoulement torrentiel «rencontre» un écoulement fluvial. Le
passage se fait avec une forte discontinuité du tirant d’eau, et une importante agitation qui
dissipe une grande part de l’énergie acquise dans le tronçon torrentiel. L'observation montre
de grands tourbillons, des remous ainsi que de nombreuses bulles d'air entraînées.
Le principe de conservation de l'énergie ne permet pas de conclure car la perte de charge
dans le ressaut n’est pas connue.
Nous appliquons alors le théorème de la quantité de mouvement (ou théorème d’Euler), car
il permet de nous passer de la connaissance des forces de frottement internes au fluide.
Entre deux sections S1 et S2 encadrant le ressaut, la quantité de mouvement sortant à
travers la surface du volume fluide est égale à la somme des forces appliquées (cf. figure
1.14). Il s’agit d’une égalité vectorielle, que nous allons utiliser en projection sur l’axe du
fond du chenal. Pour simplifier le calcul, le chenal est supposé rectangulaire à fond plat
horizontal.
S2
Fp 1
S1
Fp 2
Figure 1. 14 - passage torrentiel – fluvial (ressaut hydraulique)
Les forces en présence sont le poids, le frottement sur les parois et les forces de pression.
En rapprochant au maximum les deux sections considérées, nous pouvons négliger les
deux premières forces devant celles de pression.
En supposant le canal uniforme, les forces de pressions exercées par les parois sont
perpendiculaires à l’axe. Leur projection est nulle. Restent les forces de pression sur les
sections de sortie et d’entrée, Fp 1 et Fp 2 (figure 1.14).
31
Gérard DEGOUTTE
Fp =
∫S γ w y .ds =
γ w S .y G où G est le centre de gravité de la section S.
D’où : F p 1 − F p 2 = γ w (S 1 . yG 1 − S 2 . yG 2 ) .
Pour simplifier, supposons la section rectangulaire ⇒ yG = y / 2 et S = L. y .
D’où : F p 1 − F p 2 = γ w .L.( y12 − y 22 ) / 2 = ρ w .g .L.( y12 − y 22 ) / 2 . y1 et y2 désignent les
tirants d'eau de part et d'autre du ressaut (figure 1.16).
La variation de quantité de mouvement est :
 1
d ( m.v ) (ρ w S 2V2 dt )V2 − (ρ w S1V1dt )V1
1
=
= ρ w ( S 2V22 − S1V12 ) = ρ wQ 2  − 
dt
dt
 S 2 S1 
= ρw
Q2
L
 1
1
Q 2 y1 − y2
 −  = ρ w
L y1 . y2
 y2 y1 
Le théorème de la quantité de mouvement implique donc :
2.Q 2 .( y1 − y 2 ) = L2 .( y1 − y 2 )( y1 + y 2 ) y1 . y 2 ⇒ 2.Q 2 = g .L2 ( y1 + y 2 ) y1 . y 2
(car y2 = y1
n’est évidemment pas une solution intéressante).
y
En divisant par y1 , il vient : 2
y1
3
y
Ou bien,  2
 y1
 y2

2Q 2


.
+ 1 =
3
2
 y1
 g .L . y1
2

y
 + 2 − 2.F12 = 0 , en introduisant le nombre de Froude amont F1.
y1

Cette équation de second degré se résout en :
On arriverait de même à : y1 = −
y2 = −
1 + 8.F12
y1
+ y1
2
2
1 + 8.F22
y2
. y1 et y2 sont appelés tirants d’eau
+ y2
2
2
conjugués.
On vérifiera que la perte de charge dans le ressaut est ∆H =
( y 2 − y1 )3
(toujours dans
4. y 1 ⋅ y 2
l’hypothèse d’un chenal uniforme rectangulaire à fond horizontal). Ces différentes formules
sont intégrées dans l'abaque de la figure 1.16, fortement inspiré de Lencastre [39].
Valeur approchée : pour F1 > 3 , la formule ci dessus se simplifie en : y 2 = ( 2 F1 − 1 / 2 ) y1 .
1.6.2 - Typologie et longueur du ressaut
D'après Lencastre [39], sont distingués cinq types de ressaut (figure 1.15).
•
Le ressaut ondulé est obtenu pour des nombres de Froude inférieurs à 1,7. Seules
32
Gérard DEGOUTTE
quelques légères rides sont observées en surface.
•
Le ressaut faible est obtenu pour des nombres de Froude compris entre 1,7 et 2,5. Des
petits tourbillons ou rouleaux prennent naissance.
•
Le ressaut oscillant apparaît pour des nombres de Froude compris entre 2,5 et 4,5. Des
turbulences fortes se produisent non seulement en surface, mais aussi au fond et cela de
manière irrégulière. Ces turbulences peuvent se propager loin à l'aval.
•
Lorsque le nombre de Froude est compris entre 4,5 et 9, le ressaut est dit établi ou
stationnaire. Il est bien localisé et efficace en terme de dissipation de l'énergie.
•
Enfin, au-delà d'un nombre de Froude de 9, ce qui ne se rencontre pas en rivière, le
ressaut est dit fort. De véritables paquets d'eau sont projetés par intermittence.
Lorsque le nombre de Froude croît, le ressaut devient moins ondulé et présente un rouleau
marqué. Il est donc plus facile à stabiliser.
1,7 < F < 2,5
1 < F < 1,7
Ressaut faible
Ressaut ondulé
2,5 < F < 4,5
F > 4,5
Ressaut établi
Ressaut oscillant
Figure 1. 15 - typologie des ressauts
La longueur du ressaut est par définition la distance entre sa face amont et la zone atteinte
lorsque toute l'énergie est pratiquement dissipée et ne provoque pas plus d'érosion que
l'écoulement fluvial. Il faut être conscient de l’imprécision de cette définition. L'abaque de la
figure 1.16 permet d'estimer la longueur du ressaut ( Lr ) en fonction du nombre de Froude
à l'extrémité du tronçon torrentiel et du tirant d'eau fluvial aval. Selon Sinniger et Hager [55],
on peut également appliquer la formule Lr / y 2 = 35 F1 /( 8 + F1 ) , valable au-delà de
F1 = 3 .
Lorsque l'on dimensionne un bassin de dissipation d'énergie d'un ressaut, il est important de
bien noter que l'écoulement aval est indépendant du ressaut, et qu'il n'y a aucune raison
pour que la ligne d'eau fluviale aval rejoigne le tirant d'eau conjugué calculé. Lorsque le
tirant d'eau aval est supérieur, le ressaut est dit submergé. La dissipation d'énergie
demande plus de place, et selon Lencastre [39], la longueur du ressaut submergé est :
33
Gérard DEGOUTTE
Lr = 4 ,9. yaval + 1,2. y2 .
Le dimensionnement des bassins de dissipation d'énergie à l'aval des seuils est traité au
paragraphe 9.4.3.2.
34
Gérard DEGOUTTE
1
F1
H2 / H1
∆ H/H1
0,9
0,8
6
y / H1
5
2
y2 / H 1
0,6
4
H2 / H1
Ressaut oscillant
2,5 < F1 < 4,5
3
F1
0,4
Ressaut établi
4,5 < F1 < 9
0,3
2
0,2
1
Ressaut faible
1, 7 < F1 < 2,5
Ressaut ondulé
1 < F1 < 1, 7
Pas de ressaut
0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0, 7
y1 / H 1
∆H
2
2
V2 /2g
V1 / 2g
H1
H2
y2
y1
Lr
7
Fond horizontal
6
Pente 5%
Lr / y 2
5
4
3
2
0
2
1
4
6
8
10
F1 = V1 /
12
14
16
18
20
g.y1
Figure 1. 16 - détermination rapide des caractéristiques du ressaut
35
Gérard DEGOUTTE
1.6.3 - Position du ressaut
Le ressaut se positionne à l’endroit où le tirant d’eau conjugué du tirant d’eau torrentiel
amont devient égal au tirant d’eau fluvial aval. Cette approche théorique conduit en fait à
supposer que la longueur du ressaut est nulle. En pratique, la longueur du ressaut est
assez importante et vaut environ Lr = 4,5 à 6.y2 comme on l'a vu au paragraphe précédent.
Cela permet alors de positionner avec plus de précision le début et la fin du ressaut. Sur la
figure 1.17, le ressaut se positionne là où la distance horizontale entre la ligne d’eau aval est
écartée de Lr de la courbe amont des tirants d’eau conjugués.
fluvial
conjugué
torrentiel
longueur ressaut
Lr
Figure 1. 17 - positionnement du ressaut
1.6.4 - Seuil dénoyé ou noyé
Un seuil est dénoyé tant que l'écoulement aval n'influe pas sur l'écoulement au droit du
seuil. Lorsque le débit est suffisant pour que l'écoulement aval conditionne l'écoulement au
droit du seuil, le seuil est noyé ; le niveau d'eau obtenu à l'amont est alors supérieur à ce
qu'il serait si les conditions aval permettaient un fonctionnement dénoyé.
Loi de seuil dénoyé
L'écoulement reste dénoyé tant que H’ < 2. H /3. H et H’ sont les charges spécifiques
2
2
2
relatives à la crête du seuil (cf. § 1.2.13). H = y + V /2.g − p = y + Q /(2.g.S ) − p. Voir
notations en figure 1.18.
Q = µ .L. 2.g .H 3 2
La loi du seuil s'écrit alors :
où
L = longueur du seuil ;
p = pelle du seuil .
µ = coefficient du débit du seuil varie entre 0,32 et 0,50 selon que le seuil est mal ou bien
profilé et selon la charge sur le seuil.
36
Gérard DEGOUTTE
ligne de charge
H
H'
y
y'
p
Figure 1. 18 - écoulement sur un seuil
Loi de seuil noyé
Lorsque H’ > 2. H /3, l'écoulement au droit du seuil est influencé par le tirant d'eau aval, et
l'écoulement sur le seuil est dit noyé. La loi devient alors : Q = µ'.L.H '. 2.g( H − H ' ) avec
µ' = 3 3µ / 2 . Cette formulation a l'avantage de respecter la continuité des résultats
obtenus lorsque H’ vaut 2. H /3.
Pour un même débit, la charge amont est supérieure à celle qui aurait été obtenue pour un
écoulement dénoyé.
Lorsque l’on fait croître le débit, la limite dénoyé-noyé apparaît pour H’ = 2.H/3 c’est-à-dire
environ pour y’ = 2.y/3. Or, au niveau critique : H = y c + Vc2 /( 2.g ) = 3. y c / 2. La limite
noyé-dénoyé apparaît donc lorsque y’ atteint yc. Ceci n’est bien sûr possible qu’en
écoulement fluvial. On en déduit que lorsque l’écoulement du tronçon aval du seuil est
torrentiel, le seuil est dénoyé pour tout débit. (Ce résultat est intéressant pour la conception
des évacuateurs de crue des barrages).
Attention au vocabulaire : dans le langage courant, un seuil noyé désigne plutôt un seuil
ne provoquant pas de forte dénivelée de la ligne d'eau. Cela est gênant, car au début du
vrai ennoiement, il reste encore une dénivelée égale au tiers de la différence de charge.
Pour éviter toute confusion, il convient de réserver l'appellation de seuil noyé au cas où les
conditions aval influent sur la charge sur le seuil. Pour qualifier un seuil qui ne marque plus
vraiment l'écoulement, nous préférons dire qu'il est complètement noyé. Donc, lorsque le
débit croît, un seuil est successivement dénoyé puis noyé puis complètement noyé.
RÉSUMÉ pour les lois de seuil :
Si H’ < 2. H /3 :
Si H’ > 2. H /3 :
Q = µ .L. 2.g .H 3 2
Q = µ'.L.H '. 2.g( H − H ' ) avec µ' = 3 3µ / 2
37
Gérard DEGOUTTE
Seuils profilés
Lorsque l’on souhaite améliorer l'écoulement et éviter des dépressions entre la lame d'eau
et le béton, on donne aux seuils la forme de la surface libre d'une lame déversante. Le profil
classiquement utilisé est le profil Creager d'équation :
z = 0,50. x1,85 / H0
0,85
où x (positif vers l'aval) et z (positif vers le bas) sont les coordonnées d'un point du profil de
sommet x = z = 0, et H0 la charge pour laquelle le seuil est calculé. Elle est comptée audessus du sommet du seuil. Pour une charge égale à H0, la pression appliquée par
l'écoulement au seuil est égale à la pression atmosphérique. La pression est supérieure à la
pression atmosphérique si la charge est supérieure et inversement.
Le raccordement entre le parement amont et la crête a une forme courbe constituée d’un arc
de cercle (figure 1.19). Le rayon de l’arc de cercle et la distance de l’extrémité d’arc à l’axe
de la crête sont : r = 0,40.Ho ; d = 0,28.H0. (Source US Bureau of Reclamation).
Le coefficient de débit d'un seuil Creager est d'environ µ0 = 0,50 lorsque la charge est
voisine de H0 , alors que pour un seuil plat il est de l'ordre de 0,32 seulement. Le bénéfice
est donc significatif. Lorsque la charge H est très faible, le coefficient de débit tend vers
0,385. Lorsqu'elle est très forte, il vaut environ 0,55. Selon V.T. Chow, cité dans [55], le
coefficient de débit varie ainsi en fonction de la charge :
µ = µ0 (H / H 0 )0 ,12
pour 0 ,2 < H / H 0 < 2 avec µ0 ≈ 0 ,50 .
H0
x
r
d
z
Figure 1. 19 - seuil de type Creager
38
Gérard DEGOUTTE
1.7 - ÉCOULEMENTS TRANSITOIRES
1.7.1 - Les deux équations de base
1.7.1.1 - Conservation de la masse
Le principe de continuité exprime que la variation de la masse de liquide comprise entre
deux sections pendant un certain temps est égale à la masse de liquide entrant moins la
masse de liquide sortant.
En supposant le liquide homogène et incompressible (1), le principe traduit la conservation du
volume.
Considérons les sections d’abscisses x et x+dx (figure 1.20).
à t
à t+dt
dS
Q
y (x,t)
Q+
Q.dx
x
à t + dt
surface
libre à t
dx
y (x,t)
fond
Figure 1. 20 - volumes entrant et sortant d’un domaine élémentaire
A l’instant t, le débit entrant est Q, le débit sortant Q +
pendant l’intervalle de temps dt est donc −
∂Q
dx.dt .
∂x
∂Q
dx . La différence de volume
∂x
Cette variation est due au déplacement de la ligne d’eau entre t et t+dt qui engendre une
augmentation de volume :
dS .dx =
D’où
∂S
.dt.dx (parties grisées figure 1.20).
∂t
∂Q ∂ S
+
=0.
∂x ∂ t
Rappel des hypothèses :
-
fluide homogène et incompressible ;
-
problème filaire : à chaque abscisse, le niveau de l'eau est horizontal d'une rive à
l'autre ;
-
absence d’apports ou de départs latéraux (problème conservatif).
Mais, la dernière condition est facile à lever. Dans le cas d’un apport latéral uniforme q (en
(1) En hydraulique à surface libre, il est presque toujours parfaitement licite de considérer les liquides comme
incompressibles. En écoulement en charge, dans l’étude des coups de bélier, cette hypothèse n’est plus
justifiée. Elle ne l’est pas non plus dans l’étude de la cavitation (qui peut se produire dans des écoulements
très rapides à surface libre ou en charge).
39
Gérard DEGOUTTE
m3/s/m), ou d’un débordement latéral (q<0), l’équation devient :
∂Q ∂ S
+
=q.
∂x ∂ t
Pour chaque couple (x,t), les inconnues sont Q et S. Il nous faut donc une deuxième
équation. C’est l’objet du paragraphe suivant.
Cas particulier du régime permanent :
∂Q
∂S
= 0 par définition, donc
= 0 . On retrouve le résultat du paragraphe 1.4.2.
∂t
∂x
1.7.1.2 - Équation dynamique
Nous considérons à nouveau deux sections d’abscisses x et x+dx. Elles délimitent un
volume liquide D auquel nous appliquons le théorème de la quantité de mouvement. Ce
théorème avait déjà été énoncé au paragraphe 1.6.1 à propos de la formule du ressaut. Il
consiste à écrire que la variation de quantité de mouvement
la somme des forces extérieures (
∑F
e
dM
entre x et x+dx est égale à
dt
) appliquées au volume considéré. Il s’agit d’une
égalité vectorielle, que nous allons utiliser en projection sur l’axe du fond du chenal. Les
forces extérieures sont la gravité (action de la pesanteur) Fg , les forces de pression F p et
les forces de frottement F f (cf. figure 1.21).
volume liquide D
Fp
γw Sidx
Fp + dFp
x
dFf
x+dx
α
Figure 1. 21 - forces extérieures appliquées à un domaine D (!! α et non i sur
dessin)
La projection de la force de gravité vaut dFg = γ w .S .i.dx (avec i = sin α).
La projection de la force de pression appliquée à la section amont est : F p = γ w .S .hG , hG
désignant la distance verticale par rapport au fond du centre de gravité G de la section S
(c’est-à-dire le point d’application de la résultante de la force de pression appliquée à la
section S). Celle appliquée à la section aval est F p + dF p et la résultante appliquée au
domaine D par l’extérieur est − dF p .
40
Gérard DEGOUTTE
D’où : dF p =
∂F p
∂x
dx = γ w
∂
(S .hG )dx . On suppose ici (comme déjà fait au § 1.6.1.) que
∂x
les forces de pression appliquées par les parois ont une résultante perpendiculaire à l’axe
du chenal. C’est en particulier vrai lorsque le chenal est de section uniforme.
Nous allons supposer, pour simplifier l’exposé, que la section est sensiblement rectangulaire
(S = L.y et hG = y / 2 ) et que la largeur L varie faiblement.
dFp = γ w
∂( L . y 2 / 2 )
∂y
∂y
dx = γ w .L.y dx = γ w .S dx .
∂x
∂x
∂x
Enfin, la force de frottement appliquée par les parois est :
dF f = −τ 0 .P .dx = ( −γ w .R . j )P .dx = −γ w .S . j .dx où j est la pente de la ligne de charge.
Au total :
∑F
e
= dFg − dF p + dF f = γ w .S .( i − j −
∂y
)dx .
∂x
Pour calculer maintenant la variation de quantité de mouvement, considérons à l’instant t le
domaine D délimité par les deux sections écartées de dx et le domaine D’ obtenu à l’instant
t+dt (cf. figure 1.22).
volume liquide D à l'instant t
D ' à l'instant t+dt
x
x+dx
Figure 1. 22 - déformation du domaine pendant dt
La variation dM de la quantité de mouvement lorsque l’on passe de t à t+dt est la somme
algébrique de :
• la variation de quantité de mouvement du volume commun à D et D’,
∂Q
 ∂Q 
dt dx = ρ w .
dt .dx .
∂t
 ∂t 
• la quantité de mouvement perdue à l’entrée de D,
Q2
dt ;
soit : ρ w .(V .dt ).S .V = ρ w .V 2 .S .dt = ρ w
S
soit : d ( ρ w .S .V ).dx = d ( ρ w .Q ).dx = ρ w 
41
Gérard DEGOUTTE
•
la quantité de mouvement gagnée à l’entrée de D, c'est à dire la valeur ci-dessus en
remplaçant x par x+dx.
La somme algébrique des deux derniers termes est :
∂ ( ρ w .Q 2 / S .dt )
∂ (Q 2 / S )
dx = ρ w
dt.dx.
∂x
∂x
Finalement, la variation globale de quantité de mouvement pendant dt est :
 ∂Q ∂( Q 2 / S ) 
dM = ρ w 
+
 dt .dx .
∂x
 ∂t

Il s’agit là du module d’un vecteur parallèle au vecteur vitesse, c’est à dire au fond du chenal
en supposant négligeable la courbure des filets liquides.
dM
= ∑ Fe (en projection sur l’axe du
dt
∂Q ∂( Q 2 / S )
∂y 

+
= g .S . i − j −  .
fond). Après division par ρ w = γ w / g nous obtenons :
∂t
∂x
∂x 

Le théorème de la quantité de mouvement donne
Telle est la seconde équation qui, jointe à l’équation de continuité, devrait permettre de
résoudre le problème moyennant la connaissance adéquate des conditions initiales et aux
limites. Les inconnues sont Q ( x, t ) et y ( x, t ) ou indifféremment V(x,t) et y(x,t) puisque à
chaque instant Q = S .V .
Les données sont S (connu si y est connu) et i. Le terme j est la pente de la ligne de charge.
On peut admettre qu’à chaque instant, la formule du régime uniforme est valable.
V2
avec la formulation de Strickler,
K 2 .R 4 3
V2
ou j = 2 avec la formulation de Chézy.
C .R
Ainsi : j =
Le premier terme de l’équation dynamique se transforme facilement :
∂Q
∂V
∂S
∂(Q 2 /S)
∂(QV)
∂V
∂Q
et
. Or, l’équation de continuité
= S
+V
=
= Q
+V
∂t
∂t
∂t
∂x
∂x
∂x
∂x
∂S
∂Q
permet d’annuler la somme V
. Selon que l’on choisit comme variables d’état Q
+V
∂t
∂x
et y ou V et y, le système d’équation s’écrit donc en admettant la formulation de Strickler pour
les pertes de charge :
- formulation en débit :
∂S ∂Q
+
=0
∂t ∂x
1 ∂Q
1 ∂ Q 2 /S ∂y
− Q2
+
+
− i = − j = 2 2 4/3
∂x
g .S ∂t g .S ∂x
K .S .R
(
)
- formulation équivalente, en vitesse :
42
Gérard DEGOUTTE
∂S ∂( V .S )
+
=0
∂t
∂x
1 ∂V V ∂V ∂y
−V 2
+
+
− i = − j = 2 4/3
g ∂t g ∂x ∂x
K .R
Ces équations sont les équations de Barré de Saint Venant (1871). Elles ont été
démontrées pour des sections rectangulaires, mais sont valables pour des sections de
forme quelconque.
Dans ces équations, il ne faut pas oublier que les inconnues Q, V, y sont des fonctions de x
et t. R et S sont des fonctions de x et y. i est fonction de x (modèle à fond fixe) et K est une
constante (ou éventuellement une fonction de x et même de y).
3
Dans le cas d’un apport latéral uniforme q (en m /s/m), ou d’un débordement latéral (q<0),
les équations ci-dessus restent valables en remplaçant 0 par q dans le second membre des
deux premières équations.
1.7.1.3 - Cas particuliers
Régime permanent non uniforme :
∂Q
=0.
∂t
Le système se réduit à :
Q = constante,
1 d ( Q 2 / S ) dy
+
=i− j
g .S
dx
dx
D'où : −
Q 2 dS dy
+
=i− j
g .S 3 dx dx
Supposons que la vallée ait des pentes latérales fortes. (Ce n’est pas le cas des champs
d’inondation où d’ailleurs les écoulements peuvent rarement être considérés comme
permanents). Alors dS = L.dy.

La deuxième équation s’écrit donc :  1 −

Q 2 .L  dy

=i− j
g .S 3  dx
On retrouve, par une méthode différente, la formulation de l’écoulement graduellement varié
(paragraphe 1.5.2).
Cas du régime permanent uniforme :
Le système d’équation se réduit à : Q = constante,
i=j
Résultat déjà vu au paragraphe 1.4.3.
43
Gérard DEGOUTTE
1.7.2 - Résolution des équations de Barré de Saint Venant (méthode des
caractéristiques)
La résolution analytique des équations de Barré de Saint Venant n'est pas possible, mais la
résolution numérique est maintenant tout à fait courante sur micro ordinateur. Le principe en
est soit la méthode aux différences finies, soit celle aux éléments finis. La méthode
classique des caractéristiques que seule nous exposons présente cependant un intérêt
pédagogique et conduit à des résultats intermédiaires intéressants.
Prenons par exemple la formulation en vitesse. En raisonnant non pas sur les variables de
base (V et y) mais sur leurs dérivées partielles, nous avons formellement quatre inconnues
qui sont :
∂y
∂V
∂V ∂y
et .
,
,
∂x
∂t
∂x
∂t
Aux deux équations de Barré de Saint Venant s’ajoutent deux relations évidentes :
-
dy =
∂y
∂y
dx + dt
∂x
∂t
-
dV =
∂V
∂V
dx +
dt
∂x
∂t
Quatre inconnues, quatre équations : le problème est théoriquement résolu.
Prenons un chenal rectangulaire (S=L.y).
L’équation de continuité
∂y
∂y
∂V
+V
+y
=0
∂x
∂x
∂t
∂S ∂( V .S )
+
= 0 devient :
∂t
∂x
En posant c 2 = g .y (d’où g
∂y
∂c
et de même en t), puis en éliminant y et faisant la
= 2.c
∂x
∂x
somme puis la différence des deux équations, on arrive très facilement au système
d’équations où les inconnues sont V et c :
∂ (V + 2c )
∂( V + 2c )
+ (V + c )
= g(i − j)
∂t
∂x
∂ (V − 2c )
∂ (V − 2c )
+ (V − c )
= g(i − j)
∂t
∂x
Nous pouvons passer des dérivées partielles aux dérivées totales puisque :
∂ (V + 2c )
∂ (V + 2c )
dt +
dx
∂t
∂x
∂( V − 2c )
∂( V − 2c )
d ( V − 2c ) =
dt +
dx
∂t
∂x
d(V + 2c) =
44
Gérard DEGOUTTE
D’où
dx
d (V + 2c )
= g(i − j) avec V + c =
dt
dt
dx
d (V − 2c )
= g(i − j) avec V − c =
dt
dt
Ce système de deux équations aux dérivées totales remplace le système des deux
équations aux dérivées partielles de Barré de Saint Venant 4.
dx
= V ± c exprime que c = g . y est la célérité des intumescences (vitesse
dt
dx
pour un observateur qui suit l’écoulement) alors que
est la vitesse par rapport au sol.
dt
Ces deux équations différentielles dans lesquelles V et c sont des fonctions de x et t,
La relation
définissent les familles de trajectoires des perturbations (ou familles des caractéristiques).
Il est facile de généraliser à une section non rectangulaire en passant par le tirant d'eau
moyen y m = S / L .
Résultat : la célérité des intumescences vaut c = g .y m .
Remarque : une autre façon de caractériser les régimes est la suivante :
- si V < c, le régime est fluvial ;
- si V > c, le régime est torrentiel ;
- si V = c, le régime est critique.
L'observation de ronds dans l'eau permet de déterminer la nature de l'écoulement. Si la
partie amont des ronds progresse vers l'amont pour un observateur fixe, l'écoulement est
fluvial. Si l'écoulement est torrentiel sans être trop agité, l'observateur peut voir que tous les
ronds sont emportés vers l'aval.
1.7.3 - Problèmes réels rencontrés
Les équations de Barré de Saint Venant permettent de résoudre tous les problèmes
d’hydraulique transitoire dès lors que la courbure des filets liquides n’est pas trop forte et
que la pression reste hydrostatique :
-
propagation d’une crue en rivière ;
-
ondes provoquées en amont et en aval d’une vanne fermée brutalement, ou ouverte
brutalement ;
-
phénomène analogue pour la vidange ou le remplissage d’une écluse de canal
navigable ;
-
phénomène analogue lors de l’arrêt ou de la mise en marche des turbines d’une centrale
hydroélectrique ;
4
Une présentation plus élégante conduit à une seule équation vectorielle dont les coefficients sont des matrices. Nous l'avons
volontairement écartée pour ne pas encore accroître l'abstraction de la démonstration.
45
Gérard DEGOUTTE
-
onde de crue provoquée par une rupture de barrage.
Nous allons examiner plus en détail le cas des crues en rivière à pente forte puis faible.
1.7.4 - Propagation de crue dans les chenaux à forte pente
Dans le cas des chenaux à forte pente, et lorsque le lit majeur n'est pas très large, les
1 ∂V V ∂y
 ∂y 
) sont négligeables et la variation de profondeur   sont
+
g ∂t
g ∂x
 ∂x 
négligeables devant celle du fond (i). L’équation dynamique se réduit alors à i = j (ce qui
termes d’inertie (
revient à considérer que l’évolution du débit est suffisamment lente pour que l’écoulement
soit assimilé à une succession d’états où l’écoulement est uniforme). L’onde de crue est dite
cinématique. Elle ne s’atténue pas.
D’où : Q = K .S .R 2 / 3 i , relation univoque entre Q et y.
Transformons l’équation de continuité :
∂S ∂Q
+
=0.
∂t ∂x
En un point d’abscisse x0 donnée, et si le chenal est prismatique uniforme, Q et S ne
 ∂S  ∂Q ∂Q  ∂Q 
∂S

peut être remplacé par 
=

 . L’équation de
∂t  ∂S  x0
∂t
 ∂Q  x0 ∂t
dépendent que de y,
continuité se transforme en :
∂Q  ∂Q  ∂Q
 ∂Q 
+
= 0 . Il apparaît donc que cc = 
 est

∂t  ∂S  x0 ∂x
 ∂S  x0
une estimation de la célérité de la propagation de la crue en un point donné (figure 1.23).
à t0
à t0 + x / cc
x
Figure 1. 23 - front de l’onde cinématique
Pour un chenal rectangulaire large dont la rugosité ne dépend pas du tirant d’eau, la célérité
de l’onde de crue est :
(
)
5
5
∂Q 1 ∂Q ∂ K .y 5 / 3 .i 1 / 2
cc =
=
=
= K . y 2 / 3i 1 / 2 = V .
3
3
∂S L ∂y
∂y
(Avec la formule de Chézy au lieu de celle de Strickler, nous obtiendrions cc = 3V / 2 ).
Comme les intumescences se propagent à la célérité V + c = V +
46
Gérard DEGOUTTE
g . y , nous aurions c = c c
si V +
g . y = 5V / 3 soit si 2V / 3 = g .h c’est-à-dire si F = 1,5 (nombre de Froude).
En rivière, généralement
intumescences.
F < 1,5. La crue se propage donc moins vite que les
1.7.5 - Propagation de crue dans les chenaux à très faible pente
Ce type de phénomène peut être résolu de manière approchée en négligeant les termes
d’inertie (c’est-à-dire de quantité de mouvement) dans l’équation dynamique. Ainsi, pour une
1 ∂V
V ∂y
et
sont de l'ordre de
g ∂t
g ∂x
−5
grandeur de 10 , alors que les termes de pente de la ligne de charge et du fond, i et j sont
−
de l'ordre de 10 3. Par contre, la pente de la ligne d'eau n'est plus négligeable par rapport à
crue du Rhône en aval de Lyon, les deux termes
celle du fond.
L'équation dynamique se résume alors à
∂y
= i − j (appelée équation de l’onde diffusive).
∂x
Il est facile de démontrer comme au paragraphe précédent que si la section est
rectangulaire et large, si la pente du fond i est constante et si la rugosité ne dépend pas du
tirant d’eau, la crue se propage avec une célérité cd = 5.V / 3 .
L’onde de cette crue (appelée onde diffusive) s’amortit au fur et à mesure de sa propagation
vers l’aval (figure 1.24), contrairement à l’onde cinématique.
Avec les hypothèses ci-dessus, il peut être établi que le coefficient d’atténuation de l’onde
de crue vaut :
σ=
Q
K 2 .L. y 10 / 3
≈
.
2 L. y
2.Q
Une crue s’atténue donc d’autant mieux que le lit est large et que le tirant d’eau est élevé.
j=i
j<i
j>i
à t
à
0
t0 + x /c
x
Figure 1. 24 - amortissement de l’onde diffusive
(l’onde de crue en pointillé a parcouru la distance x)
Exemple classique d’atténuation de crue.
47
Gérard DEGOUTTE
d
Entre le bec d’Allier et Tours, sur près de 300 km, la Loire ne reçoit aucun affluent notable. La crue historique de
1866 s’atténue de la manière suivante grâce au rôle du lit majeur :
-
9300 m3/s au bec d’Allier (PK 0) à t = 0 ;
-
9200 m3/s à Gien (PK 100) à t = 12h ;
-
7600 m3/s à Orléans (PK 170) à t = 24h ;
-
6200 m3/s à Tours (PK 290) à t = 48h.
L'équation de l'onde diffusive est
∂y
Q2
− i + 2 2 4 / 3 = 0 , en introduisant la formulation de
∂x
K .S .R
Strickler.
Ou bien Q = K .S .R 2 / 3 i −
∂y
. Nous écrivons Q pour ne pas alourdir les équations, mais il
∂x
faudrait écrire Q(x,t).
Contrairement à la formule du régime permanent Q = K .S .R 2 / 3i 1 / 2 , celle du régime
∂y
) n’est pas univoque.
transitoire (où i est remplacé par i −
∂x
Dans un problème de type diffusif, à chaque valeur de Q correspondent donc deux tirants
d’eau y différents en crue ou en décrue (figure 1.25).
Q
écoulement uniforme
(onde cinématique)
écoulement non
uniforme transitoire
(onde dynamique)
y
Figure 1. 25 - relation (Q-y) non univoque
Aussi, pendant une crue, seront atteints successivement :
- l’instant où la vitesse est maximale ;
-
celui où le débit est maximal ;
-
celui où le tirant d’eau est maximal.
48
Gérard DEGOUTTE
Exercice sur l’onde diffusive e
Soit une rivière à faible pente dont le lit rectangulaire est large mais de largeur variable.
Donner l’expression du coefficient d’amortissement de la crue ( σ ) et de la célérité de l’onde
( cd ) . On admettra que R = y et que le terme de frottement est régi par la formule de
Strickler.
Quelle conclusion pratique pour la propagation des crues lorsque la vallée s’élargit ?
Indication : ces deux paramètres apparaissent dans une équation de la forme
∂ 2Q
∂Q
∂Q
+ cd
= σ 2 , qui est de type convection-diffusion.
∂t
∂x
∂x
Réponse :
K 2 L.y 10 / 3
σ=
2.Q
5.V σ ∂L
+
cd =
3
L ∂x
Si la vallée s'élargit,
∂L
est positif, donc la crue se propage plus vite. Ce n'est pas ce que le
∂x
sens commun indiquerait.
1.7.6 - Conclusion sur la propagation des crues en rivière
Retenons pour la propagation des crues en rivière naturelle que :
❖
❖
lorsque la pente est forte, et lorsque le champ d’inondation est réduit, la crue se propage
sans s’amortir, et la relation (Q-y) reste univoque (onde cinématique) ;
lorsque la pente est faible, la crue s’amortit et la relation (Q-y) n’est pas univoque (onde
diffusive).
L’amortissement d’une crue met en évidence le rôle bénéfique des champs
d’inondation. Les endiguements ou les remblaiements du lit majeur ont pour effet de
supprimer ces amortissements. En les pratiquant, on transforme une onde diffusive
en onde cinématique (figure 1.26). Les conséquences peuvent en être très graves pour
les riverains aval.
avec épandage de crue
épandage supprimé
Figure 1. 26 - comparaison de la propagation d’une crue
avec ou sans épandage amont dans le lit majeur
49
Gérard DEGOUTTE
1.8 - LOGICIELS DE CALCUL DE LIGNE D’EAU EN RIVIÈRES OU CANAUX
1.8.1 - Logiciel de calcul permanent et fluvial
Supposons l'écoulement unidirectionnel. Les données nécessaires au calcul sont :
y
y
y
y
les données géométriques (pente, forme de la section) ;
les coefficients de rugosité (ou de Strickler) ;
le débit entrant dans le bief considéré ;
la loi hauteur-débit à l'aval du bief.
Le bief est un tronçon de rivière compris entre deux affluents (ou défluents).
Le logiciel permet facilement de calculer les lignes d'eau pour plusieurs débits différents. Par
tâtonnements on obtient en particulier le débit de plein bord tronçon par tronçon (débit audelà duquel il y a débordement sur l'une au moins des berges).
L'estimation des coefficients de Strickler est très approximative :
•
K varie de 15 à 40 pour le lit mineur5 selon la largeur du lit, sa sinuosité et l'état de la
végétation ;
•
K varie de 10 à 30 pour le lit majeur6 selon son occupation (prairie, taillis, habitations,
forêt).
Quelques valeurs repère sont données au paragraphe 1.4.4, mais il est absolument
indispensable de réaliser un calage en comparant le résultat du calcul à une ligne d'eau
observée. L'idéal, est de bénéficier d'une crue presque débordante et peu pointue, de
piqueter les niveaux atteints en plusieurs points et de jauger dans chaque bief le débit au
même moment, sauf si l'on dispose d'un limnigraphe. Le lever topographique des piquets
est ensuite effectué le plus tôt possible après la décrue. Lorsque, pour le débit de crue
jaugé, le tirant d'eau calculé diffère du tirant d'eau observé, on modifie le coefficient de
Strickler jusqu'à ce que les deux lignes d'eau soient assez proches l'une de l'autre.
Ce coefficient de Strickler est donc en fait utilisé comme un coefficient de calage intégrant la
rugosité des parois mais aussi les irrégularités géométriques. Les coefficients de perte de
charge aux singularités hydrauliques (ponts, seuils ...) constituent aussi des paramètres de
calage.
Lorsque la crue connue est ancienne, il faut en premier lieu travailler avec la géométrie de
l'époque si la géométrie du lit mineur a évolué (enfoncement, rescindement de méandres...)
ou si l'occupation du lit majeur a changé. En second lieu on introduit la géométrie actuelle
dans le modèle ainsi calé.
Le calage nécessite des tâtonnements menés avec bon sens. Si la ligne d'eau obtenue est
trop haute, il faut augmenter le coefficient de Strickler du tronçon aval sans modifier celui de
l'amont. Si le calage conduit à un coefficient aberrant, par exemple 55, il faudra porter un
regard critique sur les données et peut être en abandonner une. Ne pas chercher à atteindre
une précision illusoire au cm et ne pas changer de coefficient à chaque section de calcul.
Un modèle bien calé peut ensuite rendre de très grands bénéfices : calcul des débits
conduisant aux premiers débordements, simulation d'enlèvements de seuil, de coupure de
méandre …
1.8.2 - Logiciel de calcul transitoire
5
6
espace occupé par l'écoulement pour les crues courantes.
espace occupé par l'écoulement pour les crues les plus fortes (voir § 3.1).
50
Gérard DEGOUTTE
Les données nécessaires sont du même type :
•
géométrie du lit (mineur + majeur) en un certain nombre de sections de données ;
•
rugosité (mineur, majeur), pour les mêmes sections ;
•
hydrogramme de crue à l'amont du bief Q(t) ;
•
loi de débit à l'aval du bief ou relation y(t) ;
•
ligne d'eau initiale (à t = 0).
Le calage est également une opération fondamentale qui nécessite d'avoir des observations
fiables (en débit et en cote) pour de fortes crues ayant sollicité le lit majeur. Il faudra alors
faire des hypothèses sur les coefficients (rugosité du lit majeur, coefficient de débit du
passage mineur majeur...) et tester leur sensibilité. Si l'on a la chance de disposer d'une
crue entonnée dans le lit mineur et d'une crue ayant noyé le lit majeur, la situation est
idéale. La première crue permet, en régime permanent de caler le coefficient de Strickler du
lit mineur. Ensuite, il reste à tâtonner en régime transitoire sur les coefficients du lit majeur.
Si l'on ne dispose que d'une crue ayant coulé dans le lit majeur, il faut tenter de caler à la
fois les coefficients de Strickler des deux lits. Pour cela, si par exemple le limnigramme
calculé à l'aval s'avère trop pointu par rapport au limnigramme connu, on peut diminuer le
coefficient du lit majeur.
1.8.3 - Calculer en permanent ou en transitoire ?
Il est fondamental de savoir :
- si l'on doit effectuer un calcul permanent ou transitoire ;
- quelles données topographiques et hydrologiques sont nécessaires ;
- comment fonctionnent les connections entre le lit mineur et le lit majeur qui peut jouer un
simple rôle de stockage ou également participer à l'écoulement.
¸ Sur un tronçon court, un calcul permanent peut suffire. Souvent, il est limité au lit mineur,
sauf bien sur si l'on veut calculer les plus hautes eaux dans le lit majeur.
¸ Mais lorsque l'on étudie l'aménagement d'un tronçon de grande longueur, l'influence sur
l'aval doit être calculée. En effet, l'aménagement modifie le rôle de laminage du lit majeur et
les crues se propagent alors différemment à l'aval. Par exemple, un calibrage de rivière ou
la surélévation d'une partie du lit majeur ont pour conséquence de diminuer l'effet de
stockage transitoire du lit majeur. Les débits de pointe sont alors plus forts à l'aval
(fig.1.27a). Au contraire, si l'aménagement consiste à favoriser les débordements dans une
zone où cela est peu gênant, on diminue les débits de pointe à l'aval (fig.1.27b). Ce type de
solution est malheureusement trop souvent ignoré ! Dans ces deux cas, un calcul transitoire
s'impose.
Q
Q
(2)
(1)
(1)
(2)
t
t
a)
b)
Figure 1. 27 - (a) effet d'un calibrage amont
(b) effet d'un débordement amont
Pour savoir si un calcul transitoire apporte quelque chose, une bonne manière consiste à
adopter le raisonnement que l'on emploie pour savoir si une retenue lamine la crue. Il s'agit
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Gérard DEGOUTTE
de comparer le volume de la crue entrante au volume stocké dans le tronçon. Si le premier
est nettement supérieur, l'effet transitoire est négligeable et un calcul permanent suffit.
Avant d'entreprendre un calcul transitoire, il est clair qu'il faut :
•
disposer de la topographie du lit majeur et pas du seul lit mineur ;
•
connaître des formes d'hydrogrammes et non pas seulement des débits de pointe ;
•
faire des hypothèses sur la nature des connexions hydrauliques et la façon de les
modéliser.
On retiendra que pour l'étude de l'influence d'un aménagement sur les débordements, un
calcul transitoire doit être entrepris en règle générale, avec prise en compte du lit majeur.
1.8.4 - Modèle à une ou à deux dimensions ?
Les modèles classiquement utilisés sont unidimensionnels (aussi appelés modèles 1D ou
filaires). L'écoulement est supposé suffisamment rectiligne pour que chaque section soit
sensiblement perpendiculaire à un axe dit axe de l'écoulement et soit définie par la
connaissance de son abscisse.
Parmi ces modèles, on distingue les modèles à bief unique, les modèles ramifiés qui
permettent de considérer des affluents et enfin les modèles maillés qui autorisent la prise en
compte de bras multiples. Dans un modèle 1D, le lit mineur et le lit majeur actif coulent en
même temps mais il est possible de différencier les coefficients de rugosité des deux lits.
Pour les calculs transitoires, il est possible de considérer qu'une partie du lit majeur (non
active) joue le rôle de champ d'expansion et communique avec le lit actif par des lois de
type seuil (noyé ou dénoyé). Ces modèles simulent alors bien les propagations de crue sur
de longues distances et l'impact en grand d'aménagements importants. Les impacts locaux
ne peuvent pas être étudiés.
Les modèles bidimensionnels horizontaux (ou 2DH) sont libérés de cette hypothèse
d'écoulement axial. Ils permettent de simuler en plan les écoulements et de tenir compte
finement des obstacles dans le lit majeur (sans avoir à faire une distinction entre un lit
majeur actif et un lit majeur stockant).
Les modèles à casier sont intermédiaires. Ils permettent de prendre en compte des zones
du lit majeur, appelées casiers, dont les contours s'appuient sur la topographie (coteaux,
digues). Ces modèles supposent que la cote de l'eau est uniforme dans tout le casier et sont
architecturés comme des modèles 1D. Les casiers communiquent avec le lit mineur et entre
eux par des lois de type seuil ou orifice ou écoulement poreux dans une digue ou perte de
charge par frottement sur le fond. Ces modèles moins coûteux en temps de calcul que les
modèles 2D autorisent la prise en compte du rôle d'écrêtement du lit majeur mais ne doivent
pas être utilisés sur de longues distances. Ils sont avantageux par rapport aux modèles
filaires pour étudier des impacts locaux dans le lit majeur, en particulier ceux des obstacles
transversaux à la vallée (digues longeant le lit mineur).
Modèle ≠ modélisation .
D'une manière générale, préférer toujours un modèle simple à un modèle sophistiqué pour
lequel des données doivent être inventées. Le meilleur modèle ne compensera jamais la
médiocrité des données ni celle de l'utilisateur. C'est toute la différence entre un modèle,
toujours d'emploi assez facile et la modélisation qui s’apparente plutôt à un art délicat.
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Gérard DEGOUTTE