TRIGONOMÉTRIE

TRIGONOMÉTRIE
Voici un ouvrage instructif, parce qu’à chaque pas, le lecteur est invité à fouler les plates-bandes de la science
pure et à en extraire une masse de conséquences pratiques et variées, si tant est qu’il soit possible d’extraire une
conséquence d’une plate-bande... et moralisateur parce que les nombreux séjours de notre héros sur la paille
humide des geôles prouvent à l’évidence qu’il est sage d’avoir la plus grande déférence pour tous les règlements,
surtout s’ils sont contradictoires.
(CHRISTOPHE. L’idée fixe du savant Cosinus.)
La trigonométrie souffre d’une mauvaise image de marque : pénible aux élèves, elle est assez souvent
peu prisée des professeurs qui n’y voient que l’obligation de calculs stériles et peu gratifiants alors qu’elle
est fondamentale pour les calculs de la Physique et des Mathématiques appliquées. En outre c’est un
bon outil de formation : on y apprend à lier représentations graphiques et propriétés d’invariance, à
développer la mémoire des résultats exacts et les rudiments de l’art des formules. En préférant l’élégance
et la clarté à une technique excessive, les exercices de trigonométrie deviennent l’occasion de progrès
importants, indispensables pour la suite.
A propos des notations
– Etant donnés deux nombres réels a et b, nous écrirons a = b [2π] (respectivement a = b [π])
pour dire qu’il existe un nombre entier relatif k tel que b = a + 2kπ (respectivement a = b+ kπ) où k
est un entier relatif quelconque. Ces formules se lisent ”a est égal à b modulo 2π” (etc). Les formules
a = b mod 2π. (resp. a = b mod π ) ont le même sens.
Quantificateur ∀, ∃ – Soit P (t) un ”énoncé mathématique” mettant en jeu une variable t. On
peut se demander si cet énoncé est vrai lorsque t appartient à un certain ensemble X. Si quel que soit
t appartenant à X l’énoncé P (t) est vrai, on écrira
∀t ∈ X, P (t)
On peut mettre en jeu deux variables ; le principe est le même ; par exemple
∀k ∈ Z, ∀t ∈ R, cos (t + 2kπ) = cos t
signifie que l’égalité cos (t + 2kπ) = cos t est vraie quel que soit l’entier k et quel que soit le réel t.
– Ecrire
∃ t ∈ X, P (t)
signifie qu’il existe (au moins) un t appartenant à X tel que l’énoncé P (t) soit vrai,
1
1.1
Fonctions trigonométriques
Définitions
Une définition entièrement rigoureuse des fonctions trigonométriques est impossible à ce stade; cela peut
paraître paradoxal vu l’emploi constant que l’on en fait, mais cela tient à la ”nature” non algébrique
de ces fonctions. On s’en tiendra donc à la ”définition” graphique du secondaire basée sur le cercle
trigonométrique.
1
Le
plan cartésien
étant orienté, et M (t) un point du cercle trigonométrique repéré par l’angle orienté
−→
−−→
t = OI, OM défini modulo 2π, cos t est l’abscisse de M (t) et sin t son ordonnée.
NB. Nous supposons que le lecteur connait les formules élémentaires concernant le sinus et
le cosinus des angles d’un triangle rectangle.
Exercice 1 Le dessin précédent suppose l’angle t entre 0 et
t est entre π2 et π (modulo 2π) etc.
1.2
π
2
(modulo 2π). Situer cos t et sin t lorsque
Propriétés d’invariance fonctionnelle
Le lecteur vérifiera sur un DESSIN les propriétés suivantes.
• Périodicité – L’avantage de cette définition est qu’elle montre immédiatement que cos et sin,
définies sur R, sont des fonctions 2π-périodiques, c’est à dire que :
∀t ∈ R, cos(t + 2π) = cos t et sin(t + 2π) = sin t.
Elle donne également les premières propriétés fonctionnelles de ces fonctions, à savoir :
∀t ∈ R, cos(t + π) = − cos t et sin(t + π) = − sin t
Cela tient à ce que les points du cercle correspondant aux valeurs t et t + π sont symétriques par rapport
à l’origine. Plus généralement :
∀k ∈ Z, ∀t ∈ R, cos (t + kπ) = (−1)k cos t et sin (t + kπ) = (−1)k sin t
(1)
• Angles opposés et supplémentaires – En considérant deux points symétriques par rapport à
l’axe des abscisses, on voit que :
∀t ∈ R, cos(−t) = cos t et sin(−t) = − sin t
(2)
De même en considérant deux points symétriques par rapport à l’axe des ordonnées, on voit que
∀t ∈ R, cos (π − t) = − cos t et sin (π − t) = sin t
(3)
• Angles complémentaires – En considérant deux points symétriques par rapport à la première
bissectrice, on obtient :
π
π
∀t ∈ R, cos
− t = sin t et sin sin
− t = cos t
(4)
2
2
En utilisant la rotation de centre O et d’angle π2 , on prouve que
π
π
∀t ∈ R, cos
+ t = − sin t et sin
+ t = cos t
2
2
2
(5)
• Enfin le théorème de Pythagore montre que (longueur de OM ) :
∀t ∈ R, cos2 t + sin2 t = 1
(6)
Cela prouve que cos et sin sont des fonctions bornées1 .
• Inversement, si a et b sont deux nombres réels tels que a2 + b2 = 1, les deux équations
cos t = a et sin t = b
définissent le nombre t modulo 2π.
Angles opposés
Angles supplémentaires
Angles complémentaires
Angles différant de π/2
Remarque pratique – La périodicité des fonctions cos et sin permet de ramener la plupart des
démonstrations les concernant à l’intervalle ]−π, π]; il est même souvent possible, vu les propriétés
de
symétrie que l’on vient de rappeler de se ramener à l’intervalle [0, π], voire à l’intervalle 0, π2 .
1 Une
fonction numérique (c’est à dire à valeurs réelles) f définie sur S y est bornée s’il existe une constante K telle que
∀x ∈ S, |f (x)| K
3
1.3
1.3.1
Graphes
Tracé
Les considérations précédentes et l’observation du cercle trigonométrique permettent d’esquisser les
graphes de cos et de sin. Bien entendu un tracé précis suppose que l’on soit en mesure de calculer
effectivement le cosinus et le sinus d’un nombre, ce qui exige pour cela d’avoir avancé plus avant dans
la théorie; par exemple, on peut démontrer que si t est positif
1
1
1 5
t − t3 sin t t − t3 +
t
6
6
120
résultat qui donne déjà d’assez bonnes approximations pour x appartenant à 0, π2 . (On renvoie pour
cela au chapitre sur les encadrements).
sinus et la droite d’équation y = x
cosinus
cos, sin et droite d’équation y = x
NB. Il faut savoir dessiner convenablement les graphes de cos et de sin.
4
1.3.2
Remarques géométriques
• Le graphe de cos se construit en fait à partir de sa restriction à 0, π2 ; en effet cos est paire; son
graphe est donc symétrique par rapport à l’axe des y; de plus la relation
cos(π − x) = − cos x montre
qu’il est également symétrique par rapport au point de coordonnées π2 ; 0 . La périodicité et quelques
considérations géométriques élémentaires montrent alors que le graphe de cos est symétrique
par rapport
aux droites d’équation x = kπet par rapport aux points de coordonnées π2 + kπ, 0 .
• Le graphe de sin s’obtient de la même façon : en particulier sin est impaire; son graphe est donc
symétrique par rapport à l’origine; la relation sin(π − x) = sin x montre qu’il est également symétrique
par rapport à la droite d’équation x = π2 ..
En fait il est inutile de reprendre les raisonnements faits à propos du cosinus si l’on remarque que les
graphes des deux fonctions sont isométriques : en effet la relation sin(x + π2 ) = cos x montre que l’on
−
→
passe du graphe de cos à celui de sin par la translation de vecteur π2 i .
On en déduit que le graphe de sin est également symétrique par rapport aux droites d’équation x = π2 +kπ
et par rapport aux points de coordonnées (kπ, 0) ..
• On verra plus bas qu’il s’agit de fonctions dérivables; les graphes admettent donc des tangentes.
En particulier la tangente à l’origine au graphe de sin a pour équation y = x. Enfin sin est concave sur
[0, π], ce qui veut dire que sur cet intervalle son graphe est en dessous de ses tangentes et au dessus de
ses cordes, ce qui explique par exemple pourquoi l’on a :
∀t ∈ 0, π2 ,
2
π
t sin t t
• Que le graphe de sin soit symétrique par rapport à l’origine montre également que sin est convexe
sur [-π,0]; en fait le graphe de sin présente à l’origine un point d’inflexion, autrement dit un point
où la concavité de la courbe s’inverse.
1.3.3
Valeurs particulières
Doivent être également connus les résultats du tableau suivant qu’un peu de géométrie élémentaire
permet de démontrer :
π/6
π/4 π/3 π/2 2π/3
3π/4
5π/6
π
√
√
√
√
cos t 1
3/2
2/2 1/2
0
−1/2 − 2/2 − 3/2 −1
√
√
√
sin t 0 1/2
2/2
1
3/2
2/2
1/2
0
t
0
N.B. On observera que les valeurs des sinus s’obtiennent en ”renversant” celles des sinus, ce qui n’est
guère étonnant puisque cos( π2 − x) = sin x. Le passage aux angles supplémentaires permet par ailleurs
de calculer les cosinus et les sinus de 2π/3, 3π/4, 5π/6 à partir des cosinus et des sinus de π/3, π/4, π/6.
1.3.4
À propos de quelques (in)égalités
Définition 1 Soit S un sous-esemble de R. Une application f : S → R est injective si, quels que soient
u, v appartenant à S, l’égalité f (u) = f(v) n’est possible que si u = v, ce qui revient encore à dire que
f(u) est différent de f(v) dès que u est différent de v.
La 2π-périodicité de cos et de sin montre donc que cos et sin ne sont pas des applications injectives.
On peut très bien avoir cos u = cos v (ou sin u = sin v) sans que u soit égal à v, par exemple avec u = 0
et v = 2π. En fait l’observation du cercle trigonométrique ou des graphes de cos et de sin (cf. les
remarques géométriques faites plus haut) montrent que :
sin u = sin v ⇔ u = v [2π] ou u = π − v [2π]
cos u = cos v ⇔ u = v [2π] ou u = −v [2π]
cos u = sin v ⇔ u + v =
π
2
5
[2π] ou v − u =
π
2
[2π]
(7)
Le dernier
résultat se démontre de la manière suivante : au vu de (4), cos u = sin v équivaut à cos u =
cos π2 − v [2π] c’est à dire à :
u=
π
2
π
2
− v [2π] ou − u =
− v [2π].
En particulier :
cos t = 0 ⇔ t =
π
2
[π] ; sin t = 0 ⇔ t = 0 [π]
Exemple 1 Résoudre l’équation cos t = sin t.
Solution – L’observation du cercle trigonométrique permet de prévoir quelle est la solution, à
π
savoir t = [π]. Il reste à démontrer qu’il en est bien ainsi; or sin t = cos( π2 − t) ; on en déduit que :
4
cos t = sin t ⇔ cos t = cos π2 − t
ou encore :
2t =
π
2
[2π] soit : t =
π
4
Exemple 2 Résoudre l’équation sin t 12 .
[π] ou 0 =
[π] , ce qui est impossible ).
π
2
Solution – La périodicité permet de se ramener à l’intervalle[−π, π]. Or dans le cas où t appartient
à [−π, π], le graphe de sin (observez le !) montre que :
sin t 1
2
= sin π6 ⇔
sin t 1
2
⇔
π
6
t
5π
6
Finalement :
π
6
5π
6
mod 2π
autrement dit si et seulement si t appartient à l’un des intervalles π6 + 2kπ, 5π
6 + 2kπ où k ∈ Z
1.3.5
t
Quelques remarques pratiques
On se souviendra que cos t et sin t ne sont jamais que les coordonnées du point M (t) sur le cercle
trigonométrique... Faire un DESSIN est souvent utile.
• Comment résoudre cos t = a ?
— Dans le cas où a ∈
/ [−1, 1], il n’y a pas de solution.
— Dans le cas où a ∈ [−1, 1], on observera qu’il existe un et un seul nombre réel, soit α tel
que
α ∈ [0, π] et cos α = a.
Nous verrons plus tard que α = arccos a (que l’on puisse le calculer effectivement ou l’approcher par un décimal est une autre histoire). A partir de là on est ramené à résoudre
cos t = cos α. D’où deux familles de solutions : en résumé, t vérifie cos t = a si, et seulement
si
∃k ∈ Z, t = α + 2kπ ou ∃k ∈ Z, t = −α + 2kπ.
• Comment résoudre sin t = a ?
— Dans le cas où a ∈
/ [−1, 1], il n’y a pas de solution.
— Dans le cas où a ∈ [−1, 1], on observera qu’il existe un et un seul nombre réel, soit α tel
que
α ∈ − π2 , π2 et sin α = a.
Nous verrons plus tard que α = arcsin a. A partir de là on est ramené à résoudre sin t = sin α.
D’où deux familles de solutions : en résumé, t vérifie sin t = a si, et seulement si
∃k ∈ Z, t = α + 2kπ ou ∃k ∈ Z, t = π − α + 2kπ
6
• Dans certaines situations, démontrer que u = v exige que l’on en calcule les cosinus (ou les sinus);
mais l’égalité de ceux-ci ne permet pas de conclure sans hypothèse supplémentaire; par exemple :
— Si u et v appartiennent à [0, π] et si cos u = cos v alors u = v
— Si u et v appartiennent à − π2 , π2 et si sin u = sin v alors u = v.
Cela se voit d’ailleurs sur les graphes des deux fonctions.
• De la même manière :
— Soit ϕ un nombre réel appartenant à − π2 , π2 , u un nombre réel quelconque :
(sin u = sin ϕ et cos u 0) ⇒ u = ϕ mod 2π
(sin u = sin ϕ et cos u < 0) ⇒ u = π − ϕ mod 2π
— Soit ϕ un nombre réel appartenant à [0, π], u un nombre réel quelconque
(cos u = cos ϕ et sin u 0) ⇒ u = ϕ mod 2π
(cos u = cos ϕ et sin u < 0) ⇒ u = −ϕ mod 2π.
• On l’a dit plus haut, périodicité
et remarques de symétrie permettent souvent de se ramener aux
intervalles [0, π] ou − π2 , π2 ; ainsi, k étant un entier relatif quelconque :
— Si t ∈ − π2 + kπ, π2 + kπ , alors t − kπ ∈ − π2 , π2 et cos t = (−1)k cos(t − kπ).
— Si t ∈ [kπ, (k + 1)π], alors t − kπ ∈ [0, π] et sin t = (−1)k sin(t − kπ).
Par exemple, il est évident que :
Si t ∈ − π2 , π2 , alors cos t 0 ; si t ∈ [0, π], alors sin t 0.
On en déduit que :
cos t 0 si et seulement si t appartient à l’un des intervalles − π2 + 2kπ, π2 + 2kπ .
sin t 0 si et seulement si t appartient à l’un des intervalles [2kπ, (2k + 1)π]
où k ∈ Z
• Enfin, il faut avoir présent à l’esprit que lorsque cos t 0 et sin t 0, c’est à dire dans les
conditions précédentes, on a :
cos t = 1 − sin2 t et sin t = 1 − cos2 t.
(8)
C’est en particulier le cas lorsque t appartient à 0, π2 .
1.4
Fonctions tangente et cotangente
1.4.1
Définition
On définit sur R \ π2 + kπ, k ∈ Z la fonction tangente en posant :
tan t =
sin t
cos t
tan est donc π-périodique et impaire : si t est différent de
π
2
modulo π :
tan (t + π) = tan t et tan(−t) = − tan t
De plus, toujours si t est différent de π/2 modulo π
tan (π − t) = − tan t et 1 + tan2 t =
7
1
cos2 t
(9)
1.4.2
Valeurs particulières
Il faut connaître les valeurs numériques suivantes :
0
t
tan t 0
π/6 π/4 π/3
√
√
3/3
1
3
En utilisant les relations précédentes on en déduit que :
√
√
3π
3
2π
5π
= − 3, tan
= −1, tan
=−
tan
3
4
6
3
• Là encore on ne peut déduire de la seule égalité tan u = tan v que u = v ; en fait on verra plus bas
que l’étude des variations de tan montre que :
Si u et v appartiennent à − π2 , π2 et si tan u = tan v alors u = v ;
et plus généralementt
tan u = tan v ⇔ u = v mod π
1.4.3
(10)
Graphe
Comme plus haut, et avec les mêmes remarques, on donne le graphe de tan. La fonction
tan
étant
impaire et π-périodique, son graphe se construit à partir de celui de sa restriction à 0, π2 ; il est
symétrique par rapport à l’origine et y présente d’ailleurs un point d’inflexion :.il faut savoir que
: x ∈ 0, π2 ⇒ tan x xetx ∈ − π2 , 0 ⇒ tan x x.
De plus : limx→ π2 + tan x = +∞ ; limx→ π2 − tan x = −∞. On en déduit que le graphe admet les droites
d’équation x = π2 + kπ (oùk ∈ Z) comme asymptotes verticales.
Fonction tangente
1.4.4
Fonction cotangente
De même on définit la fonction cotangente sur R \ {kπ, k ∈ Z} en posant :
cos t
sin t
Cette fonction, qui est également π-périodique et impaire, est d’usage moins courant. On notera
d’ailleurs que si t est différent de 0 modulo π2 , alors :
cot t =
tan
π
2
− t = cot t =
8
1
tan t
Fonction cotangente
2
Propriétés fonctionnelles
2.1
Formules d’addition
Les formules suivantes peuvent se démontrer géométriquement à partir des propriétés du produit scalaire,
mais elles reposent alors sur la ”définition” du début de ce chapitre. On ne peut régler le problème
rigoureusement que dans le cadre de la deuxième année. On les admettra pour le moment ; ainsi quel
que soit le couple de réels (u, v) :
sin (u + v)
sin(u − v)
cos (u + v)
cos(u − v)
=
=
=
=
sin u cos v + sin v cos u ;
sin u cos v − sin v cos u
cos u cos v − sin u sin v ;
cos u cos v + sin u sin v
(11)
(12)
(13)
(14)
IL FAUT LES CONNAITRE SANS HESITATION.
2.1.1
Une application classique : la transformation de a cos t + b sin t
IL EST INDISPENSABLE DE SAVOIR FAIRE CE QUI SUIT.
Lorsque a ou b ne sont pas tous les deux nuls, il est d’usage courant d’introduire un nombre réel ϕ,
”défini modulo 2π” tel que
a
b
cos ϕ = √
et sin ϕ = √
2
2
2
a +b
a + b2
√
√
moyennant quoi : a cos t + b sin t = a2 + b2 (cos ϕ cos t + sin ϕ sin t) = a2 + b2 cos(t − ϕ).
NB. Il est également possible de poser sin ψ = √a2a+b2 et cos ψ = √a2b+b2 . On est conduit à
a cos t + b sin t =
Le lecteur devinera la relation entre ψ et ϕ.
2.1.2
a2 + b2 sin(t − ψ).
Fonction tangente
Des formules précédentes se déduisent les formules d’addition concernant la fonction tangente.
9
Pour u =
π
2
[π], v =
π
2
[π] et u + v =
π
2
[π] c’est à dire tan u tan v = 1 :
tan u + tan v
1 − tan u tan v
tan (u + v) =
Pour u =
π
2
[π], v =
π
2
[π] et u − v =
π
2
[π] c’est à dire tan u tan v = −1 :
tan u − tan v
1 + tan u tan v
tan (u − v) =
2.2
(15)
Doublement de l’angle
Là encore, IL FAUT CONNAITRE SANS HESITATION les formules ci-dessous.
1. Si l’on suppose que u = v, les formules précédentes montrent que pour tout u appartenant à R :
sin 2u = 2 sin u cos u
(16)
cos 2u = cos2 u − sin2 u = 2 cos2 u − 1 = 1 − 2 sin2 u
(17)
Inversement (premières formules de linéarisation) :
cos2 u =
De même si u =
π
2
[π] et u =
π
4
π
2
1 + cos 2u
1 − cos 2u
; sin2 u =
2
2
(18)
on a :
tan 2u =
Remarque pratique – Observer que
1 + cos u = 2 cos2
2 tan u
1 − tan2 u
(19)
et sin u = 2 sin u2 cos u2
(20)
u
2
1 − cos u = 2 sin2 u2 et sin u = 2 sin u2 cos u2
Un calcul où interviennent simultanément 1 + cos u et sin u se simplifie souvent à en introduisant
u
2.
2. Également importantes, en particulier dans le cadre du calcul des primitives, les formules suivantes
dans lesquelles t = tan u2 :
1 − t2
2t
et sin u =
2
1+t
1 + t2
Si u = π [2π] : cos u =
Si u = π [2π] et u =
π
2
[π] : tan u =
Preuve – On sait que
cos u = cos2
u
2
− sin2
u
2
En divisant alors numérateur et dénominateur par cos2
la première égalité. De même,
sin u = 2 sin u2 cos u2 =
=
u
2
cos2
cos2
– Si u est différent de π modulo 2π, tan u2 =
– Si u est différent de 0 modulo π, tan u2 =
sin u
1+cos u
1−cos u
sin u
Preuve – Passer par (??).
10
− sin2
+ sin2
(22)
u
2
u
2
qui, vu l’hypothèse n’est pas nul, on obtient
2 sin u2 cos u2
cos2 u2 + sin2 u2
d’où la deuxième égalité en procédant de manière analogue.
3. Inversement :
u
2
u
2
2t
1 − t2
(21)
2.3
Transformation de produits en sommes
Proposition 1 Quel que soit le couple de nombres réels (u, v), on a :
1
1
(cos (u + v) + cos(u − v)) ; sin u sin v = (cos(u − v) − cos (u + v))
2
2
1
1
sin u cos v = (sin (u + v) + sin(u − v)) ; cos u sin v = (sin (u + v) − sin(u − v))
2
2
cos u cos v =
(23)
Preuve – Ces formules s’obtiennent immédiatement à partir des formules du § 2.1 moyennant un
développement et une recombinaison - le lecteur refera les calculs à chaque révision afin de perfectionner
ses ”gestes trigonométriques”.
2.4
Transformation de sommes en produits
Proposition 2 (La ”bête noire” de l’étudiant). Quel que soit le couple de nombres réels (x, y) :
sin x + sin y
sin x − sin y
cos x + cos y
cos x − cos y
x+y
x−y
cos
2
2
x−y
x+y
= 2 sin
cos
2
2
x+y
x−y
= 2 cos
cos
2
2
x−y
x+y
sin
= −2 sin
2
2
= 2 sin
Preuve – Ces formules se retrouvent immédiatement à partir des précédentes en posant x = u + v
x−y
et y = u − v, c’est à dire u = x+y
2 et v = 2 . Par exemple, pour trouver la dernière, on écrira que
cos x − cos y = cos (u + v) − cos(u − v) = −2 sin u sin v
N.B. À titre d’exercice (important!) et pour mémoriser le processus, le lecteur prouvera lui-même les
autres formules.
3
Dérivées des fonctions trigonométriques
3.1
Les résultats suivants devraient être déjà connus du lecteur
IL FAUT LES CONNAITRE SANS HESITATION.
1. Les fonctions cos et sin sont indéfiniment dérivables sur R, et l’on a, pour tout nombre réel t :
d
d
cos t = − sin t ;
sin t = cos t
dt
dt
Plus généralement , pour tout entier k et tout réel t :
d2k
cos t = (−1)k cos t
dt2k
d2k
sin t = (−1)k sin t
dt2k
d2k+1
cos t = (−1)k sin t
dt2k+1
d2k+1
sin t = (−1)k cos t
dt2k+1
Qui veut éviter la discussion sur la parité de l’entier n pourra remarquer que l’on a encore :
π
π
∀k ∈ N, ∀t ∈ R, cos(n) t = cos t + n
et sin(n) t = sin t + n
2
2
2. Les fonctions tan et cot, quotient de deux fonctions elles-mêmes indéfiniment dérivables, sont
indéfiniment dérivables sur leurs ensembles de définition et :
d
1
d
−1
tan t =
= 1 + tan2 t ;
cot t =
= −1 − cot2 t.
2
dt
cos t
dt
sin2 t
11
Preuves –On ne saurait à ce stade tout démontrer. En fait, étant admis que :
sin t
=1
t→0 t
lim sin t = 0 et lim
t→0
autrement dit que sin est dérivable en 0, de dérivée égale à 1 (et c’est la seule chose vraiment difficile),
on peut démontrer les autres résultats à partir de quelques calculs élémentaires.
– Ainsi on démontre successivement que
h
→ 1
2 h→0
cos(x + h) = cos x cos h − sin x sin h → cos x
h→0
2
h
h
1
(sin(x + h) − sin x) =
sin cos x +
→ cos x
h
h
2
2 h→0
cos h = 1 − 2 sin2
Cela prouve que sin est dérivable en x de dérivée égale à cos x.
– De même :
1
2
h
h
(cos(x + h) − cos x) = − sin sin x +
→ − sin x.
h
h
2
2 h→0
Cela prouve que cos est dérivable en tout x de dérivée égale à − sin x.
3.2
Variations
Vu la périodicité et la parité de cos et sin il suffit d’en connaître les variations sur l’intervalle [0, π].
1. La fonction cos ayant pour dérivée − sin, et sin étant positive sur [0, π] – en fait strictement
positive sur ]0, π[ – est strictement décroissante sur [0, π].
2. De même sin est strictement croissante sur[0, π2 ], puis strictement décroissante sur [ π2 , π].
3. La fonction tan de dérivée
strictement positive est strictement croissante sur chacun des intervalles
− π2 + k.π, π2 + k.π (k étant un entier relatif quelconque ).
12
4
Exercices
Certains des exercices ci-dessous peuvent être résolus ”graphiquement”.
Exercice 2 Soit a un nombre réel appartenanat à ]−1, 0[ ou à ]0, 1[ . Résoudre l’équation d’inconnue
réelle t :
cos t = a
Exercice 3 Résoudre l’équation d’inconnue réelle t :
cos t + sin t = 0
Exercice 4 Résoudre l’équation d’inconnue réelle t :
cos t = sin t.
Exercice 5 Soit ϕ un nombre réel. Résoudre l’équation d’inconnue réelle t :
cos (t + ϕ) = 0.
Exercice 6 Résoudre l’équation d’inconnue réelle x :
cos(2x) + cos x = 0.
Exercice 7 Résoudre l’équation d’inconnue réelle t
2 cos t + 3 sin t = 1
Méthode : a cos t + b sin t = etc
Exercice 8 Résoudre l’inéquation d’inconnue réelle t :
√
3
cos t .
2
Exercice 9 Résoudre l’inéquation
cos t sin t.
π
π
Exercice 10 Calculer à l’aide de radicaux d’entiers les nombres tan 12
et cos 12
.
Exercice 11 Trouver le maximum éventuel de la fonction f définie sur R par f (t) = cos t sin t.
Exercice 12 Linéariser, c’est à dire écrire comme combinaison linéaire de fonctions trigonométriques
de la forme cos(at) et sin(bt), sans passer par les nombres complexes,
f (t) = cos4 t + sin4 t.
Reprendre le même exercice en passant cette fois par les nombres complexes.
Exercice 13 Résoudre l’équation d’inconnues x et y :
sin(x + y) = sin x + sin y.
Exercice 14 Un exemple de calcul d’une somme trigonométrique. x étant un réel et n un entier naturel,
on pose
n
x
1
1
Sn =
sin k +
x = sin
+ ... + sin n +
x
2
2
2
k=0
On demande de simplifier Sn .
Indication : multiplier Sn par sin x2 et observer que sin x2 sin k + 12 x =? Il y a par ailleurs une méthode
générale basée sur l’utilisation des exponentielles complexes pour calculer ce genre de somme.
13
Exercice 15 Exprimer cos 3t en fonction de cos t. En déduire les racines de l’équation
√
2
3
4x − 3x −
=0
2
(24)
Indications – Un calcul élementaire basé sur cos(3t) = cos(2t + t) conduit à
∀t ∈ R, cos(3t) = 4 cos3 t − 3 cos t
Il est donc naturel d’en chercher d’abord les solutions se trouvant dans le segment [−1, 1] en posant
x = cos t ; mais le changement d’inconnue doit être ”commode”. Compte tenu du fait que cos t ”decrit
exactement” une fois le segment [−1, 1] lorsque t décrit le segment [0, π] , on supposera que t appartient
à [0, π]. Bref on associe ainsi à chaque nombre réel x de [−1, 1] un nombre réel t et UN SEUL se trouvant
dans [0, π] tel que x = cos t. Moyennant quoi, on est ramené à résoudre
√
2
cos 3t =
2
en supposant, répétons le que t appartient à [0, π].
On verra que cela donne excatement trois valeurs appartenant à [0, π].
Voici le résultat final : l’équation admet donc les trois valeurs suivantes comme solutions :
√
π
π
7π
2
x1 = cos , x2 = cos =
, x3 = cos
12
4
2
12
Il reste à conclure.
Exercice 16 Limites et compagnie – A propos de
lim
t→0
sin t
=1
t
Quid de t sin 1t lorsque t tend vers l’infini ?
√
Quid de t sin 1t lorsque t tend vers l’infini ?
Quid de n sin √1n lorsque n tend vers l’infini ?
3
Quid de n sin n− 2 lorsque n tend vers l’infini ?
Méthode – En attendant mieux, on pourra toujours observer que u (t) ayant pour limite 0 lorsque
t tend vers ω, il est clair que limt→ω sin(u(t))
= 1 ; v (t) étant définie au voisinage de ω on a :
u(t)
v (t) sin (u (t)) = v (t) u (t)
sin (u (t))
u (t)
On en déduit que v (t) sin (u (t)) se comporte comme v (t) u (t) lorsque t tend vers ω.
Par exemple on se tirera d’affaire avec le deuxième exemple en observant que lorsque t tend vers
l’infini, 1t tend vers 0 ; or
√
1 √ 1 sin 1t
t sin = t
....
1
t
t
t
14