La feuille d`exercice numéro 1

CAMILLE LAURENT-GENGOUX
1M05
2005-2006
Analyse complexe. Travaux dirigés.
Table des matières
1 Introduction.
1.1 Fonctions analytiques, séries entières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Les fonctions holomorphes et leurs parties réelles. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
4
2 Prolongements analytiques
5
3 Intégrales de Cauchy
3.1 Intégrales le long d’un chemin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Intégrales de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
8
4
Principe du maximum.
10
5 Suites d’applications holomorphes.
14
La plupart des exercices ci-dessous proviennent de Hervé Sabourin, que je remercie vivement.
1
1.1
Introduction.
Fonctions analytiques, séries entières.
Ainsi que vous allez le voir un jour, une fonction holomorphe, localement, c’est une série entière.
Nous allons donc commencer par nous (re)familiariser avec ses objets.
Exercice 1.1 : Rayon de convergence, I. a) Calculer le rayon de convergence des séries entières
P
an z n suivantes :
an = P (n), P ∈ R[X], an = P (n)λn , P ∈ R[X], λ ∈ R,
1
an =
√
n!
n + 1 n2
n
,
a
=
sin
n,
a
=
n
, an = (
) , an = (an + (−1)n ), a ∈ R.
n
n
n
(n + 1)
n
√
an = sin(π n2 + 1)
Z √(n+1)π
an =
√
sin x2 dx
nπ
b) Calculer le rayon de convergence des séries entières
X
n
P
an z n suivantes :
3n 2n+1 X (−5)n 5n+2
z
,
z
n2 + 1
n+1
n
Exercice 1.2 : Rayon de convergence, II. Déterminer le rayon de convergence de la série
entière de terme général un (x) = an xn , x ∈ R, où (an ) est une suite de réels définie par son
premier terme a0 > 0 et la relation de récurrence an+1 = ln(1 + an ).
Exercice 1.3 : Rayon de convergence, III. Calculer le rayon de convergence des séries entières
suivantes :
X
X zn
X
X zn
n
;
z
;
nz n ;
n2
n
√
X n + (−1)n
X n+1 2
xn , x ∈ R,
(
)n xn , x ∈ R
n
n
Exercice 1.4 : Rayon de convergence et somme. Calculer le rayon de convergence et la somme
des séries entières suivantes :
X n2 + 1
n!
X (5n + 3)(−3)n−1
zn,
2n+2
zn,
X cos nα
n
tn , t ∈ R.
Exercice 1.5 : a) Developper en série entière, suivant la variable complexe z, les fonctions
suivantes, en précisant le rayon de convergence des séries obtenues.
z
,
1 + z2
1
,
1 − z + z2
sin x
, x∈R
1 − 2z sin x + z 2
b) Développer en série entière, suivant la variable réelle x, la fonction suivante :
e−x sin x, x ∈ R
−x2
Z
c) Soit la fonction f : x → e
x
2
et dt. Développer f en série entière, de deux façons différentes.
0
ExerciceP1.6 : Introduction au problème de la convergence au bord du disque de convergence,
I. Soit Pan z n une série entière de rayon de convergence R > 0, soit z0 ∈ C tel que |z0 | = R
et tel que
an z0n converge.
a) Montrer que la série entière converge uniformément sur le segment de droite {tz0 / t ∈ [0, 1]}.
b) Montrer que l’on a :
X
X
lim
an (tz0 )n =
an z0n
t→1,06t<1
2
Exercice 1.7 : Introduction au problème de la convergence au bord du disque de convergence,
II.
P
a) Soit
an z n une série entière qui converge pour z = 1. On pose
sn =
k=n
X
k=0
an ,
s=
X
an , r n =
n>0
k=+∞
X
ak , f (z) =
X
an z n , |z| < 1
n>0
k=n+1
a.1) Montrer que : f (z) − s = (z − 1)
X
rn z n , pour |z| < 1.
n>0
a.2) On fixe α ∈ [0, π/2[. Soit Pα le ”secteur angulaire” défini par
Pα = {z = 1 − ρ eiθ , |z| < 1, θ ∈ [−α, α]}
Montrer que :
lim
z→1,z∈Pα
f (z) = s
P
b) On veut maintenant établir une “réciproque” à ce résultat. Soit
an z n une série entière de
rayon de convergence 1 et f sa somme sur le disque unité D(0, 1). On suppose que :
lim f (x) = l, l ∈ C
x→1,x<1
P
b.1) Peut-on en conclure que
an converge ?
P
b.2) On suppose de plus que lim nan = 0. Montrer qu’alors
an = l.
n→+∞
Exercice 1.8 : Exponentielle. Montrer, en utilisant sa série entière, que l’application t → et
vérifie ex+y = ex ey (se souvenir de la formule du binome).
Exercice 1.9 : Zéros isolés. Résoudre les équations suivantes :
a) ez = 1, puis ez = a. En déduire
les solutions de sin z = 0.
1
b) ...puis de l’équation sin z = 0. Y-a-t-il une contradiction avec le principe des zéros isolés ?
Exercice 1.10 : Zéros isolés. Existe t’il une fonction analytique, définie dans un voisinage de
0 et qui vérifie f (1/n) = 1/n2 pour tout entier n strictement positif (et si oui, les caractériser) ?
Même question avec f (1/n) = e−n .
Exercice 1.11 : Zéros isolés. Soit U un ouvert connexe de C, f,g deux fonctions analytiques
(c’est à dire égale localement à la somme d’une série entière) sur U, ne s’annulant pas dans U. On suppose que :
∂f
∂g
g(z) − f (z) (z) = 0
∂z
∂z
∀z ∈ U
Montrer que f et g sont proportionnelles sur U.
Exercice 1.12 : Zéros non-isolés. Construire une fonction infiniment dérivable de R dans R
qui est strictement positive sur R∗+ et nulle sur R−
Exercice 1.13 : Angles. Soit U un ouvert de C et a ∈ C. Soient deux courbes γ1 , γ2 : [0, 1] →
U , que l’on suppose C 1 , passant de a et formant, en ce point un angle orienté θ. Soit f : U → C
une fonction analytique. Que peut-on dire de l’angle entre les courbes f ◦ γ1 , f ◦ γ2 au point
f (a) ? Distinguer les cas selon l’ordre de f en ce point.
3
1.2
Les fonctions holomorphes et leurs parties réelles.
Apès avoir donné quelques propriétés élémentaires , on justifie le principe qui dit que si l’on
connait la partie réelle (ou imaginaire) d’une fonction homomorphe, on connait la dite fonction.
Exercice 1.14 : Un contre-exemple. Soit f : C → C la fonction définie par :
∀z = x + iy 6= 0, f (z) =
x3 − y 3 + i(x3 + y 3 )
, f (0) = 0
x2 + y 2
Montrer que f satisfait aux conditions de Cauchy-Riemann en z = 0. f est-elle dérivable en 0 ?
Exercice 1.15 : Conjugaison Soit σ : C → C l’application conjugaison définie par : σ(z) = z̄.
Soit U un ouvert de C, σ-stable.
a) Soit f : U → C une fonction holomorphe et soit h définie par
h(z) = (f (z̄))
Montrer que h est holomorphe sur U .
b) Soient f1 , f2 , . . . , fn : U → U des fonctions holomorphes ; on définit g : U → U par :
g = σ ◦ fn ◦ σ ◦ fn−1 ◦ · · · ◦ σ ◦ f1 ◦ σ.
Montrer que, si n est impair, g est holomorphe sur U . Que peut-on dire de g si n est pair ?
Exercice 1.16 : Parties réelles et imaginaires d’une fonction holomorphe, I. Soit f une
fonction holomorphe définie sur un ouvert connexe U de C. On pose : P = <f, Q = =f et on
suppose qu’il existe trois réels a, b, c, non tous nuls, tels que :
∀z = x + iy ∈ U, aP (x, y) + bQ(x, y) = c
Montrer que f est constante sur U .
Exercice 1.17 : Parties réelles et imaginaires d’une fonction holomorphe, II. Soient a, b, c
des nombres réels. Soit P : C → R la fonction définie par P (x + iy) = ax2 + 2bxy + cy 2 . Donner
une condition nécessaire et suffisante sur (a, b, c) pour que P soit la partie réelle d’une fonction
holomorphe f définie sur C. Lorsque cette condition est remplie, déterminer toutes les fonctions
holomorphes f telles que <f = P .
Exercice 1.18 : Parties réelles et imaginaires d’une fonction holomorphe, III.
{x + iy; x ∈] − π, π[, y ∈ R}. Pour x + iy ∈ U , on pose :
P (x, y) =
Soit U =
sin x
.
cos x + ch y
Montrer qu’il existe une et une seule fonction holomorphe f dans U , vérifiant f (0) = 0 et
P = <f .
Exercice 1.19 : Parties réelles et imaginaires d’une fonction holomorphe, IIII. Pour toute
fonction homolorphe f usr un ouvert connexe U , sont équivalentes les propriétés :
(i) f est constante ;
(ii) <(f ) est constante ;
(iii) =(f ) est constante ;
(iiii) |f | est constante ;
(v) f¯ est holomorphe,
4
2
Prolongements analytiques
On étudie ensuite d’eventuels prolongements de fonctions réelles classiques en fonctions holomorphesanalytiques (qui, moralement, doivent être uniques).
Exercice 1.20 : Montrer que deux fonctions analytiques réelles f et g telles que f (t) = g(t)
sont données par des séries entières identiques sur tout intervalle ouvert sur lesquelles l’une et
l’autre sont données par une série entière.
Exercice 1.21 : Logarithme, I. Soit D un ouvert connexe du plan complexe C. On rappelle
qu’une détermination continue du logarithme sur D est une fonction L, continue dans D, telle
que :
eL(z) = z, (z ∈ D)
a) Vérifier que si f est une détermination continue du logarithme dans D alors f est holomorphe
dans D et que l’on a
∂f (z)
1
= , (z ∈ D).
∂z
z
1
b) Réciproquement, soit F une primitive de z → sur D. Montrer qu’il existe des déterminations
z
continues du logarithme sur D.
Exercice 1.22 : Logarithme, II. Montrer que l’application z → ez vérifie ea+b = ea · eb
pout tout a, b ∈ C. a) Si on désigne par ln z la détermination principale du logarithme dans
D = C \ R− ; justifier, pour |z| < 1, le développement en série entière suivant :
ln(1 + z) =
X
n>1
(−1)n−1
zn
n
b) Vérifier que : ( ln z désignant toujours la détermination principale dans D)
b.1) si z ∈ D, w ∈ D, zw ∈ D, alors ln(zw) − ln(z) − ln(w) vaut 0, 2iπ ou −2iπ.
b.2) si <z > 0 et <w > 0 alors ln(zw) = ln(z) + ln(w).
Exercice 1.23 : Détermination continue.
Soit a ∈ C, Ω un ouvert de C∗ . On appelle
a
détermination continue de z sur Ω l’application notée gla : z → eal(z) , où l est une détermination
continue du logarithme sur Ω.
a
a) Montrer que gla est holomorphe sur Ω, de dérivée : (gla )0 (z) = gla .
z
b) Soit a, b ∈ C. Montrer que :
gla .glb = gla+b
c) A-t-on : ∀z, z 0 ∈ C, gla (zz 0 ) = gla (z).glb (z 0 ) ?
Soit Ga la détermination principale de z a sur C \ R− (celle qui correspond à la détermination
principale du logarithme). Montrer que :
∀z, |z| < 1, Ga (1 + z) =
X a(a − 1) . . . (a − n + 1)
n>0
Exercice 1.24 : Arc-tangeante
V = {z ∈ C; |<z| < π2 }.
n!
zn
On note W = C \ R− , S = {ix, x ∈ R, |x| > 1}, U = C \ S,
5
a) Montrer que W est l’image de U par l’application :
z → g(z) =
1 + iz
.
1 − iz
En déduire que l’on peut définir f , holomorphe sur U , par :
f (z) =
1
1 + iz
ln(
).
2i
1 − iz
Déterminer f (U ).
b) Prouver que f est l’unique fonction holomorphe sur U , vérifiant :
(i) tan f (z) = z pour tout z ∈ U .
(ii) f (x) = arctan x pour tout x ∈ R.
c) Etablir :
∂f (z)
1
=
, z ∈ U.
∂z
1 + z2
X
z 2n+1
f (z) =
(−1)n
, |z| < 1.
2n + 1
n>0
d) Montrer que z → tan z induit une bijection de V sur U dont la bijection réciproque est f .
2) Montrer que si <z > 0 , alors on a :
1
π
f (z) + f ( ) = .
z
2
Quelle est la valeur de cette somme si <z < 0 ?
3
3.1
Intégrales de Cauchy
Intégrales le long d’un chemin.
Nous commençons par nous familiariser avec la notion d’intégrale le long d’un chemin.
Exercice 2.1 : Intégrales sur des chemins, généralités. Soit I = [0, 1], γ : I −→ C un chemin
de classe C 1 et f : γ(I) −→ C une application continue. Si t ∈ I, on pose : Γ(t) = γ(t).
a) Montrer que l’on a :
Z
Z
f (z) dz = f (z) dz
γ
Γ
b) On suppose que : γ(t) = e2iπt . Montrer que :
Z
Z
dz
f (z) dz = − f (z) 2
z
γ
γ
Exercice 2.2 :
Soit f une fonction définie et continue dans le disque ouvert Da = {z ∈
C/|z| < a} et C-dérivable en 0. Pour tout r < a, on note Cr le cercle de centre 0 et de rayon r.
a) Montrer que :
Z
(f (0) + f 0 (0)z) dz = 0
Cr
6
b) En déduire que :
1
lim
r−→0 πr 2
Z
f (z) dz = 0
Cr
Exercice 2.3 : Soit f une fonction définie et continue sur le disque fermé D̄1 = {z ∈ C/|z| 6
1}. On note Cr le cercle de centre O et de rayon r. On suppose que, pour tout r, 0 < r < 1, on
a:
Z
f (z) dz = 0
Cr
Montrer que :
Z
f (z) dz = 0
C1
Exercice 2.4 : Additivité de l’indice. Soit I = [0, 1], m, n ∈ Z∗ , γi , i = 1, 2, deux lacets de
classe C 1 tels que O ∈
/ γ1 (I) ∪ γ2 (I). Pour tout t ∈ I, on pose :
γ(t) = γ1 (t)m .γ2 (t)n
Vérifier que γ est un lacet de classe C 1 tel que O ∈
/ γ(I). Calculer indγ (O) en fonction de
indγi (O), i = 1, 2.
Exercice 2.5 :
Soit I = [0, 1], γ : I −→ C un lacet de classe C 1 . On pose :
∀t ∈ I, γn (t) = γ(nt − [nt])
a) Montrer que, pour n ∈ N∗ , γn est un chemin de classe C 1 par morceaux.
b) Soient n ∈ N∗ , z ∈
/ γ(I). Evaluer indγn (z) en fonction de n et de indγ (z).
Exercice 2.6 : Soit r un réel strictement positif, D̄ = {z ∈ C, /|z| 6 1}. Soit f : D̄ −→ C
une application continue. Pour t ∈ [0, 2π] et n > 2, on pose :
Z
Z
1
it
γ(t) = re , γn (t) = (1 − )γ(t), I = f (z) dz, In =
f (z) dz
n
γ
γn
Montrer que :
lim In = I
n−→+∞
Exercice 2.7 : Théorème de Brouwer Soit D ⊂ R2 le disque fermé de centre 0 et de rayon
1, et S 1 son bord.
a) Montrer qu’il n’existe pas d’application C 1 telle que de D dont l’image soit contenuee dans
S 1 et dont la restriction à S 1 soit l’identité.
Indication : Considerer l’indice par rapport à des images des cercles de centre 0 et de rayon t,
t ∈ [0, 1].
2) En déduire que toute application C 1 d’un disque dans lui-même a un point fixe.
Note. Ce résultat, valable encore pour des fonctions continues, est connu sous le nom de
théorème de Brouwer.
7
3.2
Intégrales de fonctions holomorphes
Nous étudions maintenant des intégrales le long de chemins de fonctions holomorphes. Les
premiers exercices ci-dessous exploitent la formule des résidus pour calculer des intégrales sans
se “fatiguer” à utiliser tout l’attirail des intégrations par parties ou autres astuces du même
genre.
Exercice 2.8 : Intégrales sur des cercles. Calculer les intégrales :
Z
Z
ez
dz
dz,
2
|z|=1 z
|z|=2 z + 1
Exercice 2.9 : Calculer des intégrales réelles sans effort.
où a et b sont deux réels positifs strictement.
R∞
b) Calculer 0 x3dx
avec a > 0 réel.
+a3
a) Calculer
R +∞
1
dx
x=−∞ (x2 +a2 )(x2 +b2 )
R +∞
c) (un classique : savoir la retrouver par d’autres méthodes.) On cherche à calculer 0 sin(x)
dx.
x
Soit U un ouvert de C, α ∈ U , V = U \ {α} et f ∈ O(V ). On suppose que α est un pôle simple
de f . On note γr le chemin t 7→ α + reit , 0 6 t 6 π. Etablir :
Z
lim
f (z) dz = iπRes(f, α).
r−→0
Calculer l’intégrale de
eiz
z
γr
sur un “bon” lacet.
Exercice 2.10 : Obstruction à l’existence d’une primitive. Montrer que la fonction f (z) =
n’a pas de imitives sur la couronne :
1
z 2 −z
{z ∈ C s.t. 0 < |z| < 1}
Exercice 2.11 : Soit R un réel strictement plus grand que 1 et f une fonction holomorphe
dans le disque ouvert de centre O et de rayon R.
Z
1 f (z)
a) A l’aide des intégrales
[2 ± (z + )]
dz, montrer que l’on a :
z
z
|z|=1
Z
2
θ
f (eiθ ) cos2 dθ = 2f (0) + f 0 (0)
π |z|=1
2
Z
2
θ
f (eiθ ) sin2 dθ = 2f (0) − f 0 (0)
π |z|=1
2
b) Pour |a| =
6 1, évaluer l’intégrale :
1
I(a) =
2iπ
Z
γ
f (z)
dz
z−a
Exercice 2.12 :
Soit D = {z ∈ C, /|z| < R} (R > 0), D̄ = {z ∈ C, |z| 6 R}. Soit
f : D̄ −→ C une appplication continue telle que la restriction de f à D soit holomorphe. Soit
z ∈ D. On pose :
Z
1
f (u)
∀r, |z| < r 6 R, Ir =
du
2iπ Cr u − z
8
(Cr est le cercle de centre O et de rayon r.)
Montrer que : IR = f (z).
Exercice 2.13 : Le log par les intégrales Soit U = C\R− . Pour tout z dans U , on note Iz le
segment dans C joignant 1 à z.
Z
du
a) On pose : f (z) =
. Montrer que f est bien définie si z ∈ U . Montrer que f coincide
Iz u
avec la détermination principale du logarithme, Ln, sur U .
b) Soit g(z) = zLnz. Montrer que : lim g(z) = 0. Peut-on prolonger g en une fonction
z−→0,z∈U
dérivable en 0 ?
c) Montrer que Ln admet une primitive dans U et déterminer la primitive qui tend vers 0 quand
z −→ 0 dans U .
Z
d) Soit γr : [−π, π] −→ C définie par : γ(θ) = reiθ . Calculer
Lnu du.
γr
e) Soit γ un chemin dans U , de classe C 1 par morceaux, d’origine i, d’extremité 2i. Calculer
Z
uLnu du.
γ
Exercice 2.14
P : n Soit R un réel strictement positif, U le disque ouvert de centre O, de rayon
R, f (z) = an z une fonction holomorphe dans U , P = <f, Q = =f .
a) Soit n ∈ N∗ , r ∈]0, R[. Montrer que l’on a :
Z 2π
Z 2π
i
1
it −nit
an = n
P (re )e
dt = n
Q(reit )eint dt
πr 0
πr 0
b) On suppose que f (0) est un réel. Montrer que, pour r ∈]0, R[, |z| < r, on a :
Z 2π
r + ze−it
1
f (z) =
P (reit )
dt
2π 0
r − ze−it
c) On suppose que : 2a0 = 1, R > 1, P (z) > 0, si |z| < 1. Montrer que :
|an | 6 1, ∀n ∈ N∗
d) Soient A ∈ R, r ∈ [0, R[. On suppose que : P (z) 6 A, pour tout z ∈ U . Prouver que :
n=+∞
X
|an |rn 6 |a0 | +
n=0
2r
(A − <a0 )
R−r
(N.B : On se ramènera au cas de la question c) en utilisant a + bf (Rz), avec a, b bien choisis.)
Exercice 2.15 : Le log par les intégrales, II On rappelle que
R pour tout lacet γ qui borde un
ouvert sur lequel une fonction holomorphe f est définie on a γ f (z)dz = 0.
Soit D(0, R) la boule de centre 0 et de rayon R ∈ R+ ∪ {+∞}(par convention D(0, ∞) = C ).
a) Montrer que pour tout fonction holomorphe f : D(0, R) → C qui ne s’annule pas dans
D(0, R), il existe (i) une primitive à la fonction f 0 /f (ii) une fonction holomorphe g telle que
eg = f . Est-elle unique ?
b) (Théorème de Thron) On va montrer qu’il n’existe pas de fonction holomorphe f : C → C
telle que f ◦ f (z) = ez . Par l’absurde, soit f une telle fonction :
9
1. montrer que l’image de f est C∗ ,
2. qu’il existe g holomorphe telle que g ◦ f (z) = z + C (où C est une constante),
3. en déduire que f est injective. Conclure.
Exercice 2.16
P : n Soit R un réel strictement positif, U le disque ouvert de centre O, de rayon
R, f (z) = an z une fonction holomorphe dans U . Si 0 < r < R, on pose :
Z 2π
1
I(r) =
|f (reit )|2 dt
2π 0
a) Montrer que l’on a :
I(r) =
n=+∞
X
|an |2 r2n
n=0
b) On suppose que f n’est pas identiquement nulle. Montrer que si 0 < r < R, I(r) > 0.
Montrer également que, sur ]0, R[, r −→ ln I(r) est une fonction convexe de ln r.
c) On pose : P = <f, Q = =f . Soit r ∈]0, R[. Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) |P (0)| = |Q(0)|.
Z 2π
Z 2π
it 2
(ii)
|P (re )| dt =
|Q(reit |2 dt.
0
0
Exercice 2.17 : Soit a, b ∈ R∗+ . On pose : γ(t) = a cos t + ib sin t, ∀t, 0 6 t 6 2π. Calculer les
deux intégrales suivantes :
Z
Z 2π
dz
dt
,
2
2
a cos t + b2 sin2 t
γ z
0
Exercice 2.18 : Une splendide application des intégrales de Cauchy
et f une application
Soit U un ouvert de C
1. holomorphe sur U − U ∩ R,
2. continue sur U .
a) Montrer que f est holomorphe sur U tout entier.
b) Considérons un ouvert U invariant par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Soit
U + = {z ∈ U t.q. 0 6 Im(z)} Supposons qu’il existe f une application continue de U dans C
qui
1. est holomorphe sur U+ ,
2. est réelle sur R ∩ U . On note g la restriction de f à R.
Montrer qu’il existe une fonction holomorphe sur U dont la restriction à R ∩ U est égale à g.
4
Principe du maximum.
Le principe du maximum est une riche source de raisonnements remarquablement simples si
l’on songe à l’utiliser et à peu près infaisables si l’on n’y songe pas.
Exercice 3.1 :
constante.
Soit f une fonction entière telle que <(f ) est majorée. Montrer que f est
10
Exercice 3.2 : Application du principe du maximum.
Soit f une fonction holomorphe sur le disque de centre 0 et de rayon R.
Soit, ∀r ∈ [0, R],
Mf (r) = max|z|=r |f (z)|.
a) Si f n’est pas constante, Mf (r) est strictement croissante.
b) Si f est un polynôme de degré n qui n’est pas de la forme az n pour un certain ∈ C∗ , alors
Mf (r)/rn est strictement décroissante.
c) Si f est un polynome de degré n unitaire, et si Mf (z) 6 1 pour tout z de module 1, alors
f = zn.
Exercice 3.3 : Lemme de Schwarz. Soit U le disque unité ouvert, et f : U → C une application
holomorphe t.q. f (0) = 0 et supU |f | 6 1.
a) Montrer que |f (z)| 6 |z| pour tout z ∈ U et |f 0 (0)| 6 1. Montrer que s’il existe z0 6= 0 dans
U tel que |f (z)| = |z| alors f (z) = λz, où z est un nombre complexe de module 1.
z−α
b) Soit φα (z) = 1−
où α ∈ U . Montrer que φα est une bijection holomorphe de U dans U .
ᾱz
c) Calculer φα ◦ φβ pour tous α, β ∈ U .
d) En déduire que toute bijection holomorphe du disque unité sur lui-même est la composée
d’un élément de la forme φα avec une homothétie dont le rapport est de module 1.
Exercice 3.4 : Soit U un ouvert contenant le disque fermé D(0, 1) et f ∈ O(U ) telle que
f (0) = 1 et |f (z)| > 1 si |z| = 1. Montrer que f admet au moins un zéro dans D(0, 1).
Exercice 3.5 : Soient r ∈]0, 1[ et f holomorphe dans D(0, 1) vérifiant : f (0) 6= 0 et f (z0 ) = 0
pour un z0 dans D(0, r). Montrer que :
|f (0)|r 6 (M (r) + |f (0)|) |z0 | où M (r) = sup |f (z)|.
|z|=r
a) en utilisant la formule de Cauchy.
b) en utilisant le principe du maximum. (On pourra considérer
Exercice 3.6 :
f (z)
.)
z − z0
Soit f une fonction entière, soient
H(r) = sup <f (z).
|z|=r
Montrer que H est croissante. Montrer que si f n’est pas constante, elle est strictement croissante. Généraliser au cas où f holomorphe sur un domaine U , en considérant un disque D(a, R),
a ∈ U , R > 0 tel que D(a, R) ⊂ U .
Exercice 3.7 : Soient U un ouvert connexe de C, f, f1 , . . . , fn ∈ O(U ), a ∈ U , et r un réel
strictement positif vérifiant D(a, r) ⊂ U .
a) On suppose que <(f ) a un maximum ou un minimum local en a. Prouver que f est constante.
b) On suppose que f est réelle sur le cercle C(a, r). Prouver que f est constante. (On pourra
utiliser l’exercice III.4.)
c) On suppose que |f | est constante sur le cercle C(a, r) et ne s’annule pas dans U . Montrer
que f est constante.
11
Z 2π
1
d) On suppose que |f (a)| =
|f (a + reit )|dt. Prouver que f est constante.
2π 0
e) On pose g(z) = |f1 (z)| + . . . + |fn (z)|. on suppose que g possède un maximum local en
a. Montrer que f1 , . . . , fn sont constantes. (On pourra montrer que, pour r assez petit, les fi
vérifient la condition de d).
f) On suppose que les fi ne s’annulent pas dans U et qu’il existe h ∈ O(U ) telle que |h(z)| =
g(z) pour tout z ∈ U . Montrer qu’il existe b1 , . . . , bn ∈ C tels que pour tout i = 1, . . . , n,
fi (z) = bi h(z) pour tout z ∈ U .
Exercice 3.8 :
Soit f une fonction holomorphe dans D(0, 1), telle que, pour tout z ∈
D(0, 1), |f (z)| < 1.
a) Montrer que :
f (z) − f (a) z − a ∀a, z ∈ D(0, 1), 6
1 − f (a)f (z) 1 − az b) En déduire que :
∀z ∈ D(0, 1), |f 0 (z)| 6
1 − |f (z)|2
1 − |z|2
c) En déduire également que : ∀r, 0 < r < 1, ∀a, b ∈ D(0, r),
f (b) − f (a) 2
b − a 6 1 − r2
Exercice 3.9 : Soit f une fonction holomorphe dans D(0, 1) avec f (0) = 1 et <(f ) > 0 dans
D(0, 1). On définit
f (z) − 1
g : D(0, 1) −→ C
z 7→
.
f (z) + 1
a) Montrer que pour tout z ∈ D(0, 1) on a :
1 − |z|
1 + |z|
6 |f (z)| 6
.
1 + |z|
1 − |z|
(Indication : appliquer le lemme de Schwarz à la fonction g).
b) Que peut-on dire s’il existe a ∈ D(0, 1)\{0} pour lequel l’une des deux inégalités est une
égalité ?
Exercice 3.10 : Comportement au bord du disque. Soit D le disque unité ouvert et soit
f uen fonction holomorphe dans D, sans zéros dans D. Montrer qu’il existe une suite (zn )n∈N
telle que f (zn ) soit bornée et |zn | → 1
Exercice 3.11 : Un théorème de point fixe. Soit U un ouvert de C qui contient le disque
unité fermé et f : U → C holomorphe.
a Si f 0) = 1 et |f (z)| > 1 pour |z| = 1, alors f s’annule dans D.
b Si |f (z)| < 1 pour |z| = 1, alors f a un unique point fixe dans D.
12
Exercice 3.12 : Soient C1 = {z ∈ C, |z| > 1}, C2 = {z ∈ C, 0 < |z| < 1}. Déterminer les
développements de Laurent en z, dans C1 et dans C2 , de la fonction f définie par :
1
1
f (z) =
exp
1−z
z
Exercice 3.13 : Comportement au bord du disque, une fois encore. Soit D le disque unité
ouvert et soit f homomorphe telle que |f (z)| → 1 quand |z| → 1 (en un mot, qui “respecte” le
bord).
a Montrer que f est soit constante soit s’annule dans D. Montrer qu’en ce dernier cas f est
z−a
surjective (Indication : utiliser les homographies φa = 1−āz
avec a ∈ D)
b Prouver que f n’a qu’un nombre fini de zéros a1 , · · · , aN de multiplicités m1 , · · · mN . alors
mi
f = λΠN
i=1 φai où λ est une constante de module 1.
Exercice 3.14 : Soit C = {z ∈ C, r1 < |z| < r2 }, r1 , r2 étant deux réels strictement positifs.
Soit g une fonction holomorphe sur C, f une fonction entière. Montrer que gf est une fonction
holomorphe sur C.
1
Déterminer le résidu en O de la fonction h(z) = e− z2 .f (z).
Exercice 3.15 : Pôle Soit U un ouvert de C, soit a ∈ U, f une fonction holomorphe dans
U \{a}. Montrer que a est un pôle de f si et seulement si : lim |f (z)| = +∞.
z−→a
Exercice 3.16 : Densité et type de singularité Soit R > 0, a ∈ C, U = D(a, R) \ {a} et
f ∈ O(U ). On suppose que a est un point singulier essentiel de f . Soit g une fonction entière
non constante.
a) Montrer que g(C) = C.
b) Montrer que a est un point singulier essentiel de g ◦ f .
Exercice 3.17 :
Soient a ∈ C , r > 0 , U = D(a, r) \ {a}. Soit f ∈ O(U ) vérifiant
<(f (z)) > 0 pour tout z ∈ U .
a) Montrer que a n’est pas un point singulier essentiel de f .
b) Montrer que que f se prolonge analytiquement en un élément de O(D(a, r)).
Exercice 3.18 : Soit a ∈ C, r > 0, U = D(a, r)\{a}, f ∈ O(U ). On suppose que a est un
pôle de f . Soit g une fonction entière qui n’est pas un polynôme.
a) Montrer qu’il existe R > 0 tel que :
{z ∈ C, /|z| > R} ⊂ f (U )
b) Supposons que a ne soit pas un point singulier essentiel de g ◦ f . Montrer qu’il existe des
réels strictement positifs C, α tels que l’on ait : |g(z)| 6 C|z|α , pour tout complexe z, de module
assez grand.
c) En déduire que a est un point singulier essentiel de g ◦ f .
Exercice 3.19 :
Montrer que :
1
a) La fonction z −→
est méromorphe sur C, avec uniquement des pôles simples à déterminer.
sin z
1
b) La fonction z −→ sin n’est pas méromorphe sur C, mais est holomorphe sur C∗ .
z
1
∗
c) La fonction z −→
1 n’est pas méromorphe sur C, mais est méromorphe sur C , avec un
sin z
ensemble de pôles qui s’accumulent en 0.
13
5
Suites d’applications holomorphes.
On sait que la limite uniforme d’une suite de fonctions C 1 rélles peut n’être dérivable en aucun
point. Rien de tel pour les applications holomorphes qui “transmettent” à leur limite un grand
nombre de propriétés. Exemples :
Exercice 4.1 : Des problèmes de convergence. Soit D = D(O, 1) le disque ouvert de centre
O et P
de rayon 1, C = {z ∈ C, |z| > 1}. Soit (an ) une suite de nombres complexes tels que la
série
an soit convergente. On pose :
S(z) =
X
n>1
an
zn
1 − zn
a) Montrer que la série S converge normalement sur tout compact de D.
b) Montrer que la série S converge uniformément sur tout compact de C.
(−1)n
c) On suppose que : an =
. La série S converge t-elle normalement sur tout compact de
n
C?
Exercice 4.2 : Écrire en entier en base 2. Montrer que, pour tout z ∈ D(0, 1), on a :
n=+∞
Y
1
n
=
(1 + z 2 )
1−z
n=0
Exercice 4.3 :
Soit n ∈ N et fn la fonction définie par :
p=+∞
fn (z) = 1 +
X
p=1
z 2p
p!(n + 1)(n + 2) . . . (n + p)
a) Montrer que fn est une fonction entière et que la suite (fn )n converge uniformément sur tout
compact de C.
n=+∞
X
zn
b) Soit (cn )n une suite de nombres complexes telle que la série
cn
ait un rayon de
n!
n=0
convergence R > 0. On pose :
un (z) =
n=+∞
X
zn
fn (z), f (z) =
cn un (z)
n!
n=0
Montrer que f est holomorphe sur D(0, R) et que la série de terme général cn un (z) diverge en
tout point de l’ensemble {z ∈ C / |z| > R}.
Exercice 4.4 : La fonction Gamma
définie par :
On considère, pour chaque entier n > 1, la fonction gn
gn (z) =
z(z + 1) . . . (z + n)
nz .n!
On pose, pour n > 2 :
fn (z) =
gn (z)
gn−1 (z)
14
a) Montrer que le produit infini g1 .
Y
fn converge normalement sur tout compact de C. On
n>2
note g la limite de ce produit.
b) Déterminer les zéros de g et montrer que si z + 1 n’est pas un zéro de g, on a :
zg(z + 1) = g(z)
1
. Montrer que Γ est une fonction méromorphe sur C, admettant pour
g(z)
pôles simples les entiers négatifs. Montrer, de plus, que Γ satisfait aux relations suivantes :
c) On pose : Γ(z) =
Γ(z + 1) = zΓ(z), ∀z ∈ C\Z−
Γ(1) = 1
Γ(n + 1) = n!, ∀n ∈ N
d) Montrer la formule suivante :
∀z ∈ C,
1
sin πz
=
Γ(z).Γ(1 − z)
π
√
1
En déduire que : Γ( ) = π.
2
e) Soit t ∈ R. Montrer que :
1
|Γ( + it)| =
2
r
π
cosh πt
f) Soit p > 1 un entier. Montrer la formule suivante :
k=p−1
Y
k=0
Γ(
p−1 1
z+k
) = (2π) 2 p 2 −z Γ(z)
p
Soit f une fonction entière telle que : ∀z = x + iy, |f (x + iy) 6 e|y| .
n=+∞
X
f (nπ)
a) Montrer que la série
(−1)n
converge normalement sur toute partie compacte
(z − nπ)2
n=−∞
de C qui ne contient aucun point nπ.
1
b) Soit γn le cercle de centre O et de rayon (n + )π. Montrer que :
2
Z
1
f (x) dx
lim
=0
n−→+∞ 2iπ γ sin x (x − z)2
n
Exercice 4.5 :
c) Soit g(z) =
f (z)
. Montrer que, pour tout z 6= nπ, on a :
sin z
0
g (z) = −
n=+∞
X
(−1)n
n=−∞
15
f (nπ)
(z − nπ)2