Corrigé de l`examen (mars 2006) - CMAP

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Corrigé de l`examen (mars 2006) - CMAP
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z*{}|~€~S‚]ƒ…„,†K‡K€Q‚#‡K~jˆ=‰…Š9‹BŒ=ˆ†KˆŽ€‘ˆgƒ’‚#‹B†K“=”,‡K‹T‚ V = {φ ∈ H 1(Ω) ‚]ˆ=%”,‡•ˆ φ =
‰…‡Kƒ
{S–.‹—1„*ƒ…˜n‡K™‹T‚…€‘„*~šT‹Bƒ…€‘‹T‚]€„*~K~Kˆ=‘‘ˆ›†K‡ŠKƒ…„BK‘œ=˜ˆr‰=žŸ„B•‚]€ˆg~S‚›ˆg~˜‡KQ 0
‚]€ŠK‘€‘‹B~SΓ‚.D¡}ž¢“g”$‡9‹T‚…€‘„*~Š9‹Bƒ)‡K~Kˆ£—1„B~KŒ=‚…€‘„*~‚]ˆg‰¤‚ φ ∈ V ¥ ˆ=~€‘~S‚…“g¦*ƒ…‹B~S‚HŠ9‹TƒAŠ9‹Tƒ’‚]€ˆg‰ ¥
ˆ=‚§ˆ=~‡¨‚]€‘€‘‰…‹B~S‚r‘ˆ=‰rŒg„B~K†K€‚…€‘„*~•‰©‹B‡¨ª‘€‘˜€‚…ˆg‰={¨–.‹n—1„*ƒ’˜‡K‘‹T‚]€„*~šT‹Bƒ’€™‹T‚…€‘„*~K~•ˆg‘ˆ
ˆg‰¤‚Ž†•„*~KŒ«K‚]ƒ’„*‡•š*ˆ=ƒ u ∈ V ‚]ˆ=%”,‡•ˆ
Z
h∇u · ∇φ dx =
Z
f φ dx ∀ φ ∈ V.
¬ ‹Bƒ§†K“l­9~K€Q‚]€‘„B~ˆ–)‹T¦*ƒ]‹B~•¦*€‘ˆ=~ˆg‰’‚Ž™‹y‰’„*˜˜ˆ†Kˆj™‹—1„*~•Œ=‚]€„*~v„*,®’ˆ=Œ=‚]€Q—pˆl‚Ž†•ˆ
™‹§—1„*ƒ…˜‡•™‹T‚…€‘„*~jšT‹Bƒ…€‘‹T‚]€„*~K~Kˆ=‘‘ˆ¯†•ˆr¡ž¢“g”$‡9‹T‚…€‘„*~†#ž¢“=‚°‹@‚¯Œg„*~•‰…€‘†•“gƒ…“=ˆrŒg„B˜˜ˆ±‡K~•ˆ
Œg„*~S‚…ƒ]‹B€~$‚…ˆB{3²³„B~KŒ ¥ Š„*‡Kƒ©‚]„B‡•‚ (h, v, q) ∈ U × V × V ¥ „*~‹
ad
Ω
1
L(h, v, q) =
2
Z
2
Ω
|h∇v − σ0 | dx +
Z
h∇v · ∇q dx −
Z
f q dx.
.– ‹—1„Bƒ…˜‡K‘‹T‚]€„*~NšT‹Bƒ’€™‹T‚…€‘„*~K~•ˆg‘ˆ†•ˆIžŸ“=”$‡9‹T‚]€„*~´‹B†@®’„B€‘~S‚]ˆyˆ=‰’‚Š9‹Bƒ†K“l­9~K€Q‚]€‘„B~
†K„*~K~•“gˆŠ9‹Bƒ
Ω
h
Œgˆj”$‡K€.ˆg‰¤‚Ž“=”$‡K€šT‹Bˆg~S‚}µ
Z
Ω
Ω
∂L
(h, u, p), φi = 0 ∀ φ ∈ V,
∂v
(σ − σ0 ) · h∇φdx +
¬ ‹Bƒ§Œ=„*~K‰…“=”$‡Kˆg~S‚IžŸ“l‚°‹T‚}‹T†@®’„*€‘~S‚
Z
h∇p · ∇φ dx = 0 ∀ φ ∈ V.
ˆ=‰’‚}‰…„*‡•‚]€„*~†Kˆ

†9‹B~•‰ Ω,
 −div (h∇p) = div (h(σ − σ0 ))
‰…‡Kƒ Γ
∂p
= −h(σ − σ0 ) · n
h ∂n
N
’
‰
K
‡
ƒ

p=0
ΓD .
¶ „*˜˜ˆ ∂u = 0 ‰…‡Kƒ Γ „*~<Šˆg‡•‚‰’€‘˜ŠK‘€Q­9ˆgƒ§‘‹ZŒg„*~•†K€‚…€‘„*~N‹B‡¨ªN‘€‘˜€‚…ˆg‰§‰…‡•ƒ
N
”,‡•€%†K∂nˆ=š,€‘ˆ=~S‚
ΓN
∂p
‰…‡Kƒ Γ .
= hσ · n
h
Ω
Ω
p∈V
0
∂n
z
N
¨{§–.‹§†•“gƒ…€Qš*“=ˆ›†•ˆ›‘‹£—1„*~KŒl‚]€„*~„*,®’ˆ=Œ=‚]€Q—
Š9‹Bƒ
0
¶ „*˜˜ˆ
hJ (h), ki =
ˆ=‰’‚)†K„*~K~•“gˆ ¥ Š „*‡Kƒ#‚…„*‡•‚
J 0 (h)k dx = h
¬ ‹Bƒ§Œ=„*~K‰…“=”$‡Kˆg~S‚ ¥ „*~‹
Z
k ∈ L∞ (Ω) ¥
∂L
(h, u, p), ki.
∂h
Ω
™

y
‹
K
†
=
“
…
ƒ
Q
€
*
š
g
“
j
ˆ
Š9‹Tƒ’‚]€ˆg‘ˆ³ŠK‹Bƒ§ƒ]‹BŠKŠ„*ƒ¤‚}µ
σ = h∇u
∂L
h (h, u, p), ki =
∂h
Z
J(h)
(σ − σ0 ) · k∇u dx
Ω
Z
h
ˆg‰’‚
k∇u · ∇p dx.
Ω
J 0 (h) = (σ − σ0 ) · ∇u + ∇u · ∇p
{
acbd.egf e=h.ijd.elknm q©knf qrd%oAe=stu w7` bGkegmyd)h
z*{¯~ € [email protected]®’ˆgŒl‚°‹B~S‚ p(x) ≡ p(x ) ˆl‚
‹ š,€‘ˆ=ƒ¤ $‚]„
Tˆg‰}„*~v„*•‚]€ˆg~S‚ 3
~u(x) ≡ u3 (x1 , x2 )~e3
†9‹B~K‰¡ž¢“g”$‡9‹@‚]€‘„B~ †•ˆ
p0 (x3 ) = ∆u3 (x1 , x2 ),
Œgˆ”,‡•€›€˜Š•‘€‘”$‡Kˆy”$‡KˆŒgˆ=‰n†Kˆ=‡¨ª lˆ ª¨ŠKƒ’ˆg‰…‰’€‘„*~•‰‰…„*~S‚Œg„*~•‰’‚°‹T~$‚…ˆg‰={³‡¨‚]ƒ…ˆ=˜ˆ=~S‚
†K€‚ ‘‹ZŠKƒ’ˆg‰…‰’€‘„*~ ˆg‰¤‚‹ ~Kˆˆg~ x lˆ ‚ ¥ ”$‡K€Q‚…‚…ˆyµZ~K„*ƒ’˜Z‹T‘€‘‰’ˆgƒ}‰]‹†K“=ƒ…€Qš*“gˆ ¥ ‘‹
3
š,€‚]ˆ=¥ ‰…‰’ˆn‹@ª¨€‘‹B‘ˆ³šB“gpƒ’€­9ˆ
†9‹B~K‰ Ω,
‰…‡Kƒ ∂Ω.
¨{§–%ˆŠ•ƒ…„*Kœg˜ˆ†#ž¢„*Š•‚]€˜€‰]‹T‚…€‘„*~†Kˆ=š,€ˆg~S‚}†K„*~KŒ
−∆u3 = 1
u3 = 0
Z
2
inf J(Ω) =
|∇u3 | dx .
Ω∈Uad
Ω
–.‹—1„Bƒ…˜‡K‘‹T‚]€„*~všB‹Tƒ…€™‹@‚]€‘„B~K~Kˆg‘ˆŠ„B‡Kƒ™‹Zš,€Q‚]ˆg‰’‰…ˆ‹@ª¨€™‹T‘ˆnˆ=‰’‚«‚…ƒ…„*‡¨š*ˆgƒ
‚]ˆg%”$‡Kˆ
H 1 (Ω)
u3 ∈
0
Z
∇u3 · ∇φ dx =
Ω
¯~ Š9‹Tƒ’‚]€Œg‡K€‘ˆ=ƒ ¥ Š„*‡•ƒ
~K„*‡•šBˆ ‹B‡™‹Œ=„*˜Š•‘€™‹T~KŒgφˆ = u3
Z
Z
φ dx ∀ φ ∈ H01 (Ω).
Ω
„*~ ‚]ƒ’„*‡•šBˆ”$‡Kˆv‘‹N—1„*~KŒ=‚…€‘„*~ „B,®’ˆgŒl‚]€—Žˆg‰¤‚µ
2
|∇u3 | dx =
Ω
Z
u3 dx.
Ω
•{ gŒ ‹B‡K‰’ˆZ†Kˆ™‹vŒg„*~•†K€‚…€‘„*~_‹B‡¨ª_€‘˜€‚…ˆg‰†Kˆ²³€ƒ…€‘Œ•‘ˆ=‚j€p—5‹B‡•‚€‘~S‚]ƒ’„¨†•‡K€‘ƒ’ˆy‡K~
˜‡KQ‚]€‘Š•‘€‘Œg‹T‚]ˆ=‡Kƒr†Kˆ–.‹B¦*ƒ…‹B~K¦*ˆj‰…‡•ŠKŠK‘“=˜ˆ=~S‚°‹B€ƒ…ˆ1šB„*€‘ƒ§‘ˆjŒ=„*‡Kƒ…‰l{–%ˆn–.‹B¦Bƒ]‹B~¨ ¦*€‘ˆ=~ˆ=‰’‚£™‹‰…„B˜˜ˆ§†Kˆ§™‹—1„*~KŒ=‚…€‘„*~„*$®’ˆgŒ=‚…€— ˆ=‚›†Kˆg‰£†Kˆg‡,ªŒg„*~S‚]ƒ…‹B€‘~S‚…ˆg‰ 5“g”$‡9‹0 ‚]€„*~v†#žŸ“l‚°‹T‚§ˆl‚}Œg„*~K†•€‚]€„*~v‹B‡¨ª‘€‘˜€‚…ˆg‰
L(Ω, v, q, λ) =
Z
v dx +
Ω
Z
(∆v + 1)q dx +
Ω
Z
vλ dx,
∂Ω
„ v, q, λ ‰…„*~S‚†Kˆ=‰—1„*~KŒ=‚…€‘„*~•‰n†Kˆ H 1(R2 ) 5Œ=ˆg‰šT‹Bƒ…€‘‹BKˆg‰‰…„*~S‚†K„*~•ŒK€‘ˆ=~
€‘~K†•“gŠˆg~K†9‹T~$‚…ˆg‰}†Kˆ Ωl{
–.‹y—1„Bƒ…˜‡K‘‹T‚]€„*~ZšT‹Bƒ’€™‹T‚…€‘„*~K~•ˆg‘ˆŽ†•ˆIžŸ“=”$‡9‹T‚]€„*~‹B†@®’„*€~S‚]ˆˆ=‰’‚
h
∂L
(Ω, u, p, µ), φi = 0 ∀ φ ∈ H 1 (R2 ),
∂v
Œgˆj”$‡K€.ˆg‰¤‚Ž“=”$‡K€šT‹Bˆg~S‚}µ
Z
φ dx +
Ω
Z
∆φp dx +
Ω
¬ ‹Bƒ§€~$‚…“g¦*ƒ…‹T‚]€„*~Š9‹Bƒ©ŠK‹Bƒ’‚…€‘ˆg‰©€ š,€‘ˆ=~$‚
Z
φ(1 + ∆p) dx +
Ω
Z
∂Ω
¬ ‹Bƒ§Œ=„*~K‰…“=”$‡Kˆg~S‚IžŸ“l‚°‹T‚}‹T†@®’„*€‘~S‚
∂φ
∂n
Z
φµ dx = 0 ∀ φ.
∂Ω
p + φ(µ −
p ∈ H 1 (R2 )
∂p ) ds = 0 ∀ φ.
∂n
ˆg‰’‚}‰’„*‘‡•‚…€‘„*~†•ˆ
†9‹B~K‰ Ω,
‰…‡Kƒ ∂Ω,
Œgˆ§”$‡K€K€˜ŠK€‘”$‡Kˆ£”,‡•ˆ p = u 5ˆrŠKƒ’„*K‘œ=˜ˆ±ˆg‰’‚£‹B‡¨‚]„T ‹B†@®’„*€~$‚l{ ¬ ‹Bƒ‹T€‘‘ˆg‡Kƒ’‰Hˆ
˜‡KQ‚]€‘Š•‘€‘Œg‹T‚]ˆ=‡Kƒ›†Kˆ–)‹T¦*ƒ]‹B~•¦*ˆ„*Š•‚…€‘˜‹BŠ„*‡•ƒ©™‹Œg„B~K†K€‚…€‘„*~‹B‡¨ªv€‘˜€‚]ˆ=‰›šT‹B‡¨‚
−∆p = 1
p=0
µ=
{§–.‹†•“gƒ…€Qš*“=ˆ†Kˆ—1„*ƒ’˜ˆˆ=‰’‚
J 0 (Ω)(θ) =
|~„*¨‚]€‘ˆ=~S‚§†K„*~KŒ
0
J (Ω)(θ) =
Z
∂Ω
∂p
.
∂n
∂L
(Ω, u, p, µ)(θ).
∂Ω
∂uµ
u + (∆u + 1)p + Huµ +
∂n
θ · n ds.
Œ ‹B‡•‰…ˆ†Kˆ=‰Œ=„*~K†K€Q‚]€„*~K‰‹T‡¨ª €‘˜€‚]ˆ=‰†•ˆv²³€‘ƒ’€‘ŒKˆ=‚Š„*‡Kƒ
šT‹B‘ˆ=‡Kƒ©†Kˆ
µ
„*~ˆ=~†•“g†K‡K€Q‚
0
J (Ω)(θ) =
Z
∂Ω
u
ˆl‚
p
ˆ=‚y†Kˆ‘‹
Z 2
∂u
∂u
µ θ · n ds =
θ · n ds.
∂n
∂n
∂Ω
¯~~•„B‚°‹B~S‚
ˆr˜‡KQ‚]€ŠK‘€Œ ‹T‚…ˆg‡Kƒ%†Kˆ§–.‹B¦Bƒ]‹B~K¦BˆrŠ„B‡Kƒp™‹ŽŒg„*~S‚]ƒ…‹B€‘~S‚…ˆr†#žŸ‹B€‘ƒ’ˆ
Š„B‡Kƒ Ω ¥ ™‹`Œg„B∈~KR†K€‚…€‘„*~† žŸ„*Š¨‚]€‘˜‹B€‚]“}ˆg‰¤‚}†K„*~KŒ
Z
`+
∂Ω
2 !
θ · n ds = 0 ∀θ ∈ W 1,∞ (R2 ; R2 ).
2
∂u
∂n
¬ ‹Bƒ§Œ=„*~K‰…“=”$‡Kˆg~S‚ ¥ ™‹yŒ=„*~K†K€Q‚]€‘„B~†#žŸ„BŠ•‚]€˜Z‹B€‚…“Ž€˜ŠK€‘”$‡KˆŽ”,‡•ˆ
∂u
∂n
= −`
‰’‡Kƒ
∂Ω.
¨{ ¨ € Ω ˆg‰¤‚¯‡K~y†K€‰…”$‡Kˆ©†Kˆ±ƒ]‹*„*~ R „*~nŠˆ=‡•‚¯Œ ‹T‘Œg‡•‘ˆgƒAˆlª¨ŠK€‘Œg€Q‚]ˆ=˜ˆ=~$‚H™‹³‰’„*‘‡¨‚]€‘„B~
†Kˆj¡ž¢“g”$‡9‹T‚…€‘„*~v†#ž¢“=‚]‹T‚§ˆg~Œg„,„*ƒ’†K„*~K~K“=ˆg‰}ƒ]‹B†•€™‹Bˆg‰
1
u(r) = (R2 − r 2 ).
4
|~ šB“gƒ…€Q­9ˆG”$‡Kˆ ∂u (R) = − R ”$‡K€ˆg‰¤‚•€‘ˆg~ Œ=„*~K‰’‚]‹B~S‚‰…‡Kƒ ∂Ω ¥ †K„*~KŒG‘‹
∂n‹B‘€Q‚]“³ˆ=‰’‚}šžŸ2ˆ=ƒ…€­K“gˆnŠ„*‡Kƒ§‘‹yšT‹Bˆg‡Kƒ§†K‡˜‡KQ‚]€‘Š•‘€‘Œg‹T‚]ˆ=‡Kƒ±†•ˆ
Œg„*~•†K€‚…€‘„*~v†#ž¢„*Š•‚…€‘˜
–.‹B¦*ƒ]‹T~K¦*ˆ ` = − R {
• { ³‡Œg„*~S‚]ƒ…‹B€‘ƒ’ˆ ¥ Š„*‡K4ƒ.‡K~Kˆ£‰…ˆ=Œ=‚]€„*~ƒ…ˆgŒl‚°‹B~•¦*‡K™‹T€‘ƒ…ˆ Ω ™‹§Œg„*~K†•€‚]€„*~j†#ž¢„*Š•‚]€˜Z‹T‘€‚…“
~KˆŠˆ=‡•‚Š9‹B‰=‚]ƒ’ˆyš*“gƒ’€­9“=ˆB{ ¯~7ˆ ˆl‚ ¥ Œg„B˜˜ˆy™‹‰…„B‘‡•‚…€‘„*~ u ˆ=‰’‚Œg„*~•‰’‚°‹T~$‚…ˆ
5~$‡K‘ˆ §‰…‡Kƒ³‘ˆn„*ƒ’†
‰]‹Z†•“gƒ…€Qš*“=ˆ‚°‹B~K¦Bˆg~S‚]€ˆg‘ˆˆ=‰’‚j‹T‡K‰…‰’€p~$‡K‘ˆB{ ¨€H„*~N‰…ˆ
∂Ω ¥
ŠK™‹TŒgˆ†9‹B~•‰‡K~ Œ=„*€‘~ †Kˆ Ω ¥ Š9‹BƒŒ=„*~S‚]€‘~$‡K€Q‚]“†Kˆv‘‹<†K“gƒ’€š*“=ˆv†Kˆ u 5”$‡#ž¢„*~ ‹
‰…‡KŠ„*‰’“gˆƒ’“g¦*‡K€‘œ=ƒ…ˆ r„*~ˆg~<†•“g†K‡K€Q‚³”$‡Kˆn™‹†K“gƒ’€š*“=ˆn~K„Bƒ…˜‹B‘ˆ‹B‡K‰’‰…€)ˆg‰¤‚~$‡K‘ˆB{
¬ ‹Bƒ±Œg„*~K‰’“g”$‡Kˆ=~$‚ ¥ ‰…€™‹Œ=„*~K†K€Q‚]€„*~Z†#ž¢„*Š•‚…€‘˜‹B‘€Q‚]“©“l‚°‹B€Q‚£šB“gƒ…€Q­9“gˆ³„*~v‹B‡Kƒ…‹B€‚ ` =
ˆ=‚j†K„*~•Œy‡K~KˆyŒg„B~K†K€‚…€‘„*~N‹B‡¨ª<‘€‘˜€‚…ˆg‰}†Kˆ ˆg‡K˜‹B~K~ ∂u = 0 ŠK‹Bƒ’‚…„*‡•‚‰’‡Kƒ
0¥ ¶
{ ˆ†Kˆ=ƒ…~K€ˆgƒ©Š„*€‘~S‚§Œ=„*~K†K‡K€Q‚}µy‡K~KˆjŒg„*~S‚…ƒ]‹B†K€Œ=‚…€‘„*~vŒ ‹T∂nƒ©„*~~•ˆŠˆg‡¨‚³‹ šB„*€‘ƒ
2
∂Ω
Z
dx = −
Ω
Z
∆u dx = −
Ω
Z
∂Ω
∂u
ds = 0 !
∂n

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