Examen d`Eléments finis. Mai 2009.

ENSIMAG 2A - Cours Eléments finis
2008-2009
Examen d’Eléments finis. Mai 2009.
Calculatrices et téléphones portables interdits.
Notes de cours manuscrites autorisées. Seuls les résultats mathématiques justifiés seront
comptabilisés.
Exercice 1
Soit le carré de référence K = [−1, 1] × [−1, 1] muni des noeuds suivant : les quatre sommets et les
centres des deux cotés verticaux :
y
A2
-1 B
A3
1
A1
B 1
1
2
-1
A
x
4
On affecte aux noeuds A1 , A2 , A3 , A4 les valeurs de la fonction inconnue et aux noeuds B1 , B2 les
valeurs de sa dérivée par rapport à x. L’ensemble des degrés de liberté est donc :
∂u
∂u
Σ = u(A1 ), u(A2 ), u(A3 ), u(A4 ),
(B1 ),
(B2 ) .
∂x
∂x
Soit P = vect 1, x, y, xy, x2 y, x2 . L’élément fini {K, Σ, P} est-il unisolvant ?
Exercice 2
Soit f une fonction continue sur [0, 1] et a > 0, on considère le problème : trouver u tel que

0
0

−(k(x)u (x)) + au(x) = f (x), x ∈]0, 1[
u(0) = 0,


k(1)u0 (1) = 1.
On supposera que k est de classe C 1 sur [0, 1] et que k(x) > 0 sur [0, 1].
1. Ecrire la formulation variationnelle de ce problème dans un espace de Hilbert V approprié.
2. Montrer l’équivalence du problème classique et de la formulation variationelle en supposant la
solution suffisamment régulière.
3. Montrer l’existence d’une solution à la formulation faible. Quelle est la régularité de cette solution
?
4. On considère une discrétisation à pas constant (xi )i=0...N de [0, 1] en N intervalles de longueur h.
Soit le sous espace Vh de V formé des fonctions continues sur [0, 1] dont la restriction à chaque
élément [xi , xi+1 ] est un polynôme de degré inférieur ou égal à un (approximation P1 ).
ENSIMAG 2A - Cours Eléments finis
2008-2009
(a) Ecrire la formulation variationnelle discrète.
(b) Expliciter le système à résoudre et ses coefficients en fonction de k.
Exercice 3
Soit Ω un ouvert borné situé entre deux courbes fermées régulière Γ0 et Γ1 ne se rencontrant pas, telles
que ∂Ω = Γ0 ∪ Γ1 . Soit f ∈ L2 (Ω) et d ∈ R. On s’intéresse au problème


−∆u = f
dans Ω,



u = 0
sur Γ0 ,
u constante sur Γ1 ,



R ∂u dσ = d.
Γ1 ∂n
1. Montrer que l’espace
V = {v ∈ H1 (Ω) :
v = 0 sur Γ0 et ∃c ∈ R :
v = c sur Γ1 }
est un espace de Hilbert.
2. Mettre le problème sous forme variationnelle.
3. Démontrer que le problème admet une solution, et une seule.
4. Montrer que toute solution suffisamment régulière de cette formulation variationnelle est solution
forte du problème de départ.
5. Proposer une méthode d’approximations basée sur les éléments finis de type P1 de ce problème
: on supposera les courbes polygonales et une triangulation du domaine donnée. On précisera
l’espace Vh approché et l’allure de la matrice du système à résoudre.