Recueil d`Examens Analyse Fonctionnelle

Transcription

Université de Tunis El Manar
Mastère de Mathématiques Appliquées
Recueil d'Examens
(2003 2011)
Analyse Fonctionnelle
Faker Ben Belgacem (UTC) – Henda El Fekih (ENIT)
Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis
B.P. 37 – 1002 Le Belvédère Tunis – Tunisie
Tél. (+216) 71 874 700
Fax : (+216) 71 872 729
http://www.enit.rnu.tn
E.N.I.T.
Mastère de Mathématiques Appliquées
Examen – Analyse Fonctionnelle
Enseignants : F. Ben Belgacem – H. El Fekih
Durée : 4H00
Date : 12 janvier 2004
Documents personnels autorisés
Les Exercices I et II sont très faciles, voire élémentaires pour des étudiants de
Mastère! Il est recommandé aux candidats de répondre aux questions avec clarté et
concision, et d’éviter les fioritures (ezz-aı̈ed et ett-balbiz!) qui risquent de pénaliser
la note. Le Probème III ne pose pas de difficulté majeure, son objectif est d’évaluer
l’aptitude des étudiants à appliquer correctement la théorie de Hille-Yosida enseignée en
cours. Le problème IV traite des problèmes linéaires elliptiques abstraits, il est important
de bien comprendre ce qui est demandé avant de repondre aux questions1 . Ce problème
est probablement le plus difficile, . . . ou plutôt certainement le moins facile!
Bon Travail!
Exercice I : Préambule : Le théorème de Baire— Soit H un espace de Hilbert réel, et
(Hn )n∈N une famille de fermés recouvrant H, (i.e. H = ∪n Hn ), alors l’un au moins des
Hn est d’intérieur non vide.
Soit H un espace de Hilbert réel et D ⊂ H vérifiant la propriété suivante
∀y ∈ H, ∃My ∈ R+
tel que
|(x, y)| ≤ My ,
∀x ∈ D.
On veut établir que D est un ensemble borné (C’est une généralisation du résultat bien
connu en dimension fini : un ensemble d’un espace de Hilbert —ou d’un espace de
Banach— est borné s’il est borné dans toutes les directions). A cette fin, on considère
pour tout n ∈ N, l’ensemble
n
o
Hn = y ∈ H;
|(x, y)| ≤ n, ∀x ∈ D .
I.1.– Dire pourquoi Hn est fermé et remarquer que H =
[
Hn . En déduire qu’il existe
n∈N
n0 ∈ N, pour lequel Hn0 est d’intérieur non vide.
I.2.– Soit Bf (y0 , r) ⊂ Hn0 (Bf (y0 , r) est la boule fermée de centre y0 et de rayon r),
prouver que
1
∀z ∈ Bf (0, 1), ∀x ∈ D,
|(x, z)| ≤ (n0 + My0 ),
r
et en déduire que D est borné.
Exercice II : Soit H un espace de Hilbert réel dont le produit scalaire est noté (·, ·) et la
norme associée k · k. Soit (xn )n∈N une suite de H ; on dit que xn converge faiblement vers
x ∈ H si pour tout y ∈ H, la suite réelle (xn , y) converge vers (x, y), on écrit que xn * x
dans H. Il est évident que si xn converge fortement vers x, i.e. kxn − xk converge vers 0,
alors elle converge faiblement vers la même limite.
II.1.– Etablir que si xn * x dans H (convergence faible) et que kxn k → kxk (convergence
forte) alors xn → x dans H (convergence forte).
1
Ce qui se pense clairement s’exprime simplement! Dicton français.
12 janvier 2004
II.2.– Soit A ∈ L(H), montrer que A est faiblement continu, ce qui revient à établir que
xn * x (dans H) =⇒ Axn * Ax (dans H).
II.3.– Montrer que si xn * x dans H alors elle est bornée et kxk ≤ lim inf kxn k (utiliser
n→∞
l’exercice I).
II.4.– On suppose que xn * x dans H (convergence faible) et que zn → z dans H
(convergence forte).
II.4.i.– Prouver que (xn , zn ) → (x, z).
II.4.ii.– On suppose que H est muni d’une base hilbertienne (en )n∈N , prouver que
en * 0. En déduire que l’hypothèse zn → z (convergence forte) est essentielle pour le
résultat de II.4.i.
Problème III : Soient ψ ∈ L2 (R) et f ∈ L2 ([0, ∞[×R), on considère le problème de
Cauchy
(1)
(2)
∂u
(t, x) + xu(t, −x) = f (t, x),
∂t
u(0, x) = ψ(x)
∀(t, x) ∈ [0, ∞[×R
(1) n’est pas une équation différentielle! L’objectif est de prouver par la théorie de HilleYosida que le problème (1)-(2) admet une solution unique dans un espace fonctionnel
adéquat.
III.1.– On définit l’opérateur A par
(Av)(x) = xv(−x),
∀x ∈ R.
Prouver que A détermine un opérateur non borné sur L2 (R) de domaine (à préciser) dense.
Montrer que A est anti-adjoint et en déduire que A est maximal monotone.
III.2.– On suppose que ψ ∈ D(A) et que f = 0, montrer par le théorème de Hille-Yosida
que le problème de Cauchy (1)-(2) admet une solution unique dans C 1 ([0, ∞[, L2 (R)) ∩
C([0, ∞[, D(A)) et que l’opérateur T (t)ψ = u(t, ·) se prolonge en une isométrie dans L2 (R).
III.3.– Montrer que la famille (T (t))t≥0 se prolonge en un groupe d’isométrie (S(t))t∈R à
un paramètre (i.e S(t) = T (t), ∀t ≥ 0) qui vérifie
dS(t)
= −AS(t),
dt
∀t ∈ R.
III.4.– On suppose que ψ ∈ D(A) et que f ∈ C([0, ∞[, D(A)), à l’aide de la méthode de la
variation de la constante déterminer la solution du problème de Cauchy (1)-(2) (justifier
toutes les étapes de votre réponse!).
III.5.– Ecrire une équation différentielle d’ordre deux sur u lorsque f = 0. En déduire
l’expression explicite de T (t) et vérifier a posteriori les propriétés établies dans III.2.,
III.3. et III.4.
2/3
12 janvier 2004
Problème IV : Soient X et Y deux espaces de Hilbert réels tels que X s’injecte dans Y
avec une injection continue et dense. Leurs produits scalaires sont respectivement notés
(·, ·)X et (·, ·)Y .
IV.1.– On note
n
D = x ∈ X;
o
∀y ∈ X .
∃C > 0, tel que |(x, y)X | ≤ CkykY ,
Justifier que, pour tout x ∈ D, l’application y 7→ (x, y)X se prolonge de manière unique
en une forme linéaire continue sur Y . En déduire que, pour tout x ∈ D, il existe un
unique x∗ ∈ Y tel que (x, y)X = (x∗ , y)Y , ∀y ∈ X. Dans la suite, D sera noté D(A) et A
l’opérateur linéaire défini par Ax = x∗ pour tout x ∈ D(A). Vérifier que D(A), muni de
la norme du graphe, est un espace de Hilbert.
IV.2.– Soit z ∈ Y , on considère l’équation :
chercher x ∈ D(A) tel que,
(3)
Ax = z.
IV.2.i.– Ecrire une formulation variationelle du problème (3) dans X.
IV.2.ii.– On considère le problème faible qui consiste à
(4)
chercher x ∈ X tel que,
(x, y)X = (z, y)Y ,
∀y ∈ X.
Montrer que le problème (4) admet une solution unique x ∈ X et que x est dans D(A).
En déduire que le problème (3) admet une solution unique.
IV.3.– Prouver que A est un isomorphisme de D(A) dans Y de domaine dense.
IV.4.– On suppose que X = H01 (Ω), muni de la semi norme (qui est une norme!) et
Y = L2 (Ω), muni de sa norme naturelle où Ω est un domaine régulier de Rd . Déterminer
avec précision l’opérateur A (son domaine et son expression).
Questions facultatives de bonification.
IV.5.– On suppose qu’il existe une base orthonormée (en )n de l’espace Y telle que
en ∈ D(A) et Aen = λn en . Vérifier que λn > 0 et que par consequent (en )n est une
base othogonale de X et calculer ken kX .
IV.6.– Etablir que
x=
X
xn en ∈ D(A) ⇐⇒
X
X
X
n
x=
λ2n x2n < ∞,
n
xn en ∈ X ⇐⇒
n
λn x2n < ∞.
n
1
On écrit que X = D(A 2 ) et (D(Aθ ))θ∈[0,1] où
n
o
X
θ
2θ 2
D(A ) = x ∈ Y,
λn x n < ∞
n
définit une famille décroissante d’espaces de Hilbert notée ([X, Y ]1−θ )θ∈[0,1] et appelés
espaces d’interpolation entre X et Y .
3/3
E.N.I.T.
Examen (session de rattrapage) – Analyse Fonctionnelle
Durée : 2H00
Date : 13 mai 2004
Il est recommandé aux candidats de répondre aux questions avec clarté et concision.
Toute réponse imprécise sera considérée fausse.
Bon Travail!
Exercice I
Soit E = C([0, 1], R) muni d’une norme k · k qui en fait un espace de Banach et telle
que si (fn )n converge vers f ∈ (E, k · k) alors fn converge simplement vers f . On souhaite
montrer que k · k et k · k∞ sont équivalentes. La norme k · k∞ est définie par
kf k∞ = sup |f (t)|.
t∈[0,1]
I.1.– Montrer que D = {(x, x) ∈ E × E} muni de la norme k(x, x)kD = kxk + kxk∞ est
un espace de Banach.
I.2.– Montrer que la fonction f (y, y) = y définie de D sur (E, k · k) est continue ainsi que
son inverse. Conclure.
Exercice II
Soit (H, (·, ·)H ) un espace de Hilbert. On dit (rapelle) qu’une suite (xn )n de H converge
faiblement vers x si pour tout y ∈ H, on a lim (xn , y)H = (x, y)H , et on rappelle que
n→∞
toute suite faiblement convergente est bornée.
Soient A ∈ L(H) et (xn )n ∈ H une suite faiblement convergente vers 0.
II.1.– Prouver que (Axn )n converge faiblement vers 0.
II.2.– On suppose que l’image de tout borné de H par A est relativement compact dans
H, ce qui signifie que son adhérence est un compact —on dit que A est un opérateur
compact—. Montrer que (Axn )n converge fortement vers 0.
Exercice III
Soient E1 ⊂ E2 ⊂ E3 trois espaces de Banach tels que l’injection i : E1 → E2
est continue et compacte (voir II.2. pour la définition) et l’injection j : E2 → E3 est
continue.
III.1.– Montrer que pour tout ε > 0, il existe une constante Cε > 0 telle que
kxkE2 ≤ εkxkE1 + Cε kxkE3 ,
∀x ∈ E1 .
13 mai 2004
III.2.– Examiner le cas particulier où E1 = H 2 (]0, 1[), E2 = H 1 (]0, 1[) et E3 = L2 (]0, 1[)
en répondant aux questions suivantes :
III.2.1– Établir que pour tout ε > 0, il existe une constante Cε > 0 telle que
ku0 kL2 (]0,1[) ≤ εku00 kL2 (]0,1[) + Cε kukL2 (]0,1[) ,
∀u ∈ H 2 (]0, 1[).
III.2.2– Expliquer pourquoi Cε explose lorsque ε tend vers zéro. Quelle est la valeur
optimale de Cε ?
III.3.– Qu’advient-t-il lorsque E3 est de dimension finie?
Exercice IV
On définit, pour tout t ∈ R, l’opérateur linéaire
T (t) : L2 (R) → L2 (R)
ψ 7→ ϕ = T (t)ψ; ϕ(x) = ψ(x + t),
∀x ∈ R.
IV.1.– Montrer T (t) est bien défini et que la famille (T (t))t∈R détermine un groupe continu
d’isométries sur L2 (R).
IV.2.– Donner le générateur infinitésimal (qu’on appellera A) de ce groupe —il s’agit de
déterminer avec précision son domaine et son expression.
IV.3.– En déduire, lorsque ψ ∈ H 1 (R), la solution de l’équation d’advection
∂f
∂f
(t, x) −
(t, x) = 0,
∀(t, x) ∈ [0, ∞[×R
∂t
∂x
f (0, x) = ψ(x).
Que se passe-t-il si ψ ∈ L2 (R)?
2/2
E.N.I.T.
Durée : 3H00
Date : 4 février 2005
Il est recommandé aux candidats de répondre aux questions avec clarté et concision, et d’éviter les
fioritures (ezz-aı̈ed w ett-balbiz!) qui risquent de pénaliser la note. Il est important de bien comprendre
ce qui est demandé avant repondre aux questions1 et de se contenter d’y répondre.
Bon Travail!
Exercice I : On considère l’espace des suites sommables
n
o
X
`1 (R) = u = (un )n≥1 ;
|un | < ∞ ,
n≥1
muni de la norme
kuk`1 =
X
|un |.
n≥1
On définit l’opérateur A de D(A) ⊂ `1 (R) dans `1 (R) par Au = (nun )n≥1 .
I.1.– Après avoir précisé le domaine D(A), montrer que A est un opérateur fermé à domaine dense dans
`1 (R).
I.2.– Etablir que `∞ (R), l’espace des suites bornées, est le dual de `1 (R) et déterminer l’opérateur adjoint
(A∗ , D(A∗ )) ainsi que l’adhérence de D(A∗ ) dans `∞ (R).
Exercice II : Soient A et B deux opérateurs linéaires continus sur un espace de Hilbert séparable H.
On suppose que A est injectif et que B est compact (c’est-à-dire que si K ⊂ H est borné dans H alors
B(K) ⊂ H est relativement compact). On suppose qu’il deux existe constantes C1 > 0 et C2 > 0 vérifiant
kxk ≤ C1 kAxk + C2 kBxk,
(1)
∀x ∈ H;
II.1.– On suppose qu’il existe une suite (xn )n de H vérifiant
kxn k = 1,
kAxn k ≤
1
,
n
∀n ≥ 1;
II.1.1.– Dire pourquoi (xn )n admet une sous-suite (xnk )k qui converge faiblement dans H. On notera
y sa limite.
II.1.2.– Montrer que (Axnk )k converge faiblement vers Ay.
II.1.3.– Vérifier que (Axn )n converge fortement vers 0. Que vaut alors y?
II.1.4.– Donner la limite de la suite (Bxnk )k et déduire une absurdité.
II.2.– On suppose toujours que l’inégalité (1) a lieu.
II.2.1.– A l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer qu’il existe une constante C3 > 0 telle que
kxk ≤ C3 kAxk
∀x ∈ H.
II.2.2.– Montrer que (Im A) est fermé dans H.
II.2.3.– En déduire que si A est de plus autoadjoint alors c’est un isomorphisme de H.
1 Ce
qui se pense clairement s’exprime simplement! Dicton français.
4 février 2005
Exercice III : On considère, pour tout p ∈ N, l’espace de Hilbert
n
o
X
Hp = u = (un )n≥1 ;
(np un )2 < ∞ ,
n≥1
muni de la norme
kukHp =
X
(np un )2
21
.
n≥1
On définit la famille d’opérateurs (S(t))t∈R par
S(t) : H1 × H0
→
H1 × H0
(α, β) 7→
(γ(t), δ(t)),
avec
βn
sin(nt),
δn (t) = −nαn sin(nt) + βn cos(nt).
n
III.1.– Après avoir vérifié que S(t) est bien défini, prouver que la famille (S(t))t∈R est un groupe continu
d’isométries à un paramètre.
γn (t) = αn cos(nt) +
III.2.– Donner son générateur infinitésimal A. Déterminer avec précision son domaine D(A) et son
expression et vérifier que D(A) est dense dans H1 × H0 .
III.3.– Montrer que A est maximal monotone (Il vous est demandé d’utiliser les définitions2 ). En déduire
qu’il est anti-adjoint.
III.4.– Donner le système d’équations d’évolution sur (γ, δ) associé au groupe (S(t))t∈R . Eliminer δ et
donner l’équation d’ordre deux sur γ ainsi que les conditions initiales qu’elle vérifie en fonction de α et
β. (C’est l’équation d’onde sur (0, π) décomposée sur la base de Fourrier).
Exercice IV : On note H = L2 (0, 2π), l’espace de Lebesgue standard muni de sa norme k · kL2 . Soit
r ∈]0, 1[, on considère l’application
k(y) =
1 − r2
,
1 + r2 − 2r cos(y)
∀y ∈ [0, 2π].
On définit l’opérateur intégral T sur H par
Z 2π
T f (x) =
k(x − y)f (y) dy,
∀f ∈ H, ∀x ∈ [0, 2π].
0
IV.1.– Etablir que
Z
T f (x) =
2π
f (y) dy + 2
0
X
p≥1
r
p
Z
2π
f (y) cos(p(x − y)) dy.
0
IV.2.– Montrer que pour tout λ > 0, l’opérateur (I + λT ) est un isomorphisme autoadjoint.
IV.3.– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de T .
2 Toute
réponse non-conforme à l’esprit de la question sera considérée fausse.
2/2
E.N.I.T.
Durée : 2H00
Date : 1er juin 2005
Exercice I : Soit H un espace de Hilbert et T : H → H un opérateur linéaire continu strictement
contractant :
kT xk < kxk,
∀x ∈ H \ {0}.
I.1.– Est-ce que la suite (T k x = (T ◦ T ◦ · · · ◦ T )x)k converge pour tout x ∈ H lorsque la dimension de
H est finie? Lorqu’elle est infinie? (Justifier).
On suppose désormais que la dimension de H est infinie et que T est asymptotiquement régulier, c-à-d
qu’il vérifie
(1)
lim (T k x − T k+1 x) = 0, ∀x ∈ H.
k→∞
On souhaite établir que
(2)
lim T k x = 0,
∀x ∈ H.
k→∞
I.2.– Justifier brièvement que T admet un adjoint, noté T ∗ , qui est lui même un opérateur linéaire continu
sur H.
I.3.– Déterminer le noyau N (I − T ∗ ) de (I − T ∗ ).
I.4.– L’espace image R(I − T ) est-il dense dans H? Pourquoi?
I.5.– Montrer que la proporiété (2) est vraie pour tout x ∈ R(I − T ).
I.6.– On considère l’ensemble
n
D = x ∈ H,
o
lim T k x = 0 .
k→∞
Prouver qu’il est fermé et en déduire que (2) est vraie pour tout x ∈ H.
I.7.– On considère `2 (R) l’espace des suites à carré sommable muni de la norme
kxk`2 =
∞
X
x2n
12
,
∀x = (xn )n≥1 ∈ `2 (R).
n=1
On définit l’opérateur shift à gauche T ∈ L(`2 (R)) par T x = y, avec yn = xn+1 , ∀n ≥ 1. Vérifier que T
est contractant au sens large, i.e., kT xk`2 ≤ kxk`2 , ∀x, et asymptotiquement régulier. Déterminer T ∗ , les
noyaux ainsi que les images de (I − T ) et (I − T ∗ ).
Exercice II : Soit Ω un ouvert borné régulier de R2 . Pour tout u, v ∈ H 1 (Ω) on pose
Z
Z
Z
∇u · ∇v dx +
a(x)uv dx +
b(x)uv dγ,
c(u, v) =
Ω
Ω
∂Ω
où a et b sont des fonctions continues sur Ω et ∂Ω respectivement et positives.
II.1.– Vérifier que la forme bilinéaire c est bien définie.
II.2.– Montrer c est coercive si et seulement si a(x) 6≡ 0 ou b(x) 6≡ 0.
II.3.– On suppose désormais que a(x) 6≡ 0 ou b(x) 6≡ 0. Soit f ∈ L2 (Ω) et g ∈ L2 (∂Ω), on considère le
problème variationnel : chercher u ∈ H 1 (Ω) tel que
Z
Z
c(u, v) =
f v dx +
gv dγ,
∀v ∈ H 1 (Ω).
Ω
∂Ω
Montrer qu’il admet une solution unique et donner le problème fort dont u est solution.
E.N.I.T.
Enseignants : F. Ben Belgacem, B. Dehman et H. El Fekih
Durée : 3H00
Date : 16 Janvier 2006
Il est recommandé aux candidats de répondre aux questions avec rigueur, clarté et concision, et d’éviter
les fioritures (ezz-aı̈ed w ett-balbiz!) qui risquent de pénaliser la note. Il est important de bien comprendre
ce qui est demandé avant répondre aux questions1 et de se contenter d’y répondre.
Bon Travail!
Problème I :
Préambule: Lemme de Gronwall
Soient m(·) ≥ 0 une fonction continue sur [0, 1] et α un réel ≥ 0. On considère ϕ(·) une fonction
continue et positive sur [0, 1] telle que
Z x
m(t)ϕ(t) dt,
∀x ∈ [0, 1].
ϕ(x) ≤ α +
0
I.0.– Montrer que
ϕ(x) ≤ α exp(
Z
x
m(t) dt),
∀x ∈ [0, 1].
0
Analyse du problème de Cauchy
Soit I l’intervalle [0, 1], ω ≥ 0 et a(·) une fonction continue strictement positive sur I. Pour les
données f ∈ L2 (I) et β ∈ R, on considère le problème de Cauchy (qui n’est pas un problème aux limites!)

−(au0 )0 + ωu = f,
dans I




(1)
u(0) = 0
.




a(0)u0 (0) = β
I.1.– On suppose que le problme (1) admet une solution dans u ∈ H 1 (I). Pourquoi au0 ∈ H 1 (I)? En
déduire que la solution u est unique et qu’elle est de classe C 1 sur I —On pourra utiliser le lemme de
Gronwall sur la fonction |u(·)|—.
I.2.– Soit γ ∈ R, on considère le problème aux limites

−(aw0 )0 + ωw =




(2)
w(0) =




w(1) =
: chercher w ∈ H 1 (I) tel que
f,
dans I
0
.
γ
Donner la formulation variationnelle de (2) et montrer qu’elle admet une solution unique dans w ∈ H 1 (I).
I.3.– On suppose que f = 0, monter que l’application γ →
7 a(0)w 0 (0), est bijective sur R. En déduire que
1
le problème (1) admet une solution u ∈ H (I) qui est donc unique. Étendre le résultat d’existence au
cas où f ∈ L2 (I) est arbitraire.
I.4.– On suppose que f ∈ L∞ (I) et que u ∈ H 1 (I) est solution de (1), établir que
kukL∞(I) ≤ C(ω)(|β| + kf kL∞(I) ),
1 Ce
et fournir une estimation de la constante C(ω).
I.5.– On introduit l’espace
n
V = v∗ = (vD , vN ) ∈ H 1 (I) × H 1 (I),
o
vD (1) = vN (1) ,
vD (0) = 0,
et on considère le problème variationnel : chercher u∗ ∈ V tel que
Z
Z
Z
0 0
0 0
(auD vD + ωuD vD ) dx − (auN vN + ωuN vN ) dx = f (vD − vN ) dx − βvN (0),
I
I
I
∀v∗ ∈ V.
I.5.1– On suppose que cet espace est muni de la norme
kv∗ kV = kvD kH 1 (I) + kvN kH 1 (I) ,
∀v∗ ∈ V.
Montrer que la semi-norme
0
0
|v∗ |V = kvD
kL2 (I) + kvN
kL2 (I) ,
∀v∗ ∈ V,
est une norme équivalente à la norme k · kV .
I.5.2– Par des choix judicieux de v∗ (= (vD , 0) d’abord et = (0, vN ) ensuite), établir que


dans I
dans I
 −(au0N )0 + ωuN = f,
 −(au0D )0 + ωuD = f,
uD (0) = 0


I.5.3– Montrer que
a(0)u0N (0) = β
u0D (1) = u0N (1).
I.6– Écrire un problème (de Cauchy) sur w = uD − uN et en déduire que uD = uN = u, où u est la
solution du problème de Cauchy (1).
Dans toute la suite on suppose que f = 0 et ω = 0.
γ
γ,β
I.7– On note wD
∈ H 1 (I) et wN
∈ H 1 (I) les solutions de


0 0
0 0
) =
) = 0,
dans I
−(awN
−(awD








0
(0) =
a(0)wN
wD (0) = 0








wN (1) =
wD (1) = γ
Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que w∗ = u∗ , est
algébrique
sγ = g,
avec s = sD − sN , où
Z
1 0
sD = a[(wD
) (x)]2 dx,
I
sN =
Z
I
1,0 0
a[(wN
) (x)]2 dx,
0,
β
dans I
.
γ
que γ soit solution de l’équation
et
0,β 0
g = a(1)(wN
) (1).
1,0
I.8– Après avoir formulé le problème faible sur wN
comme un problème de minimisation, vérifier que
sD > sN > 0.
I.9– En déduire que la suite (γk )k ⊂ R définie par la relation de récurrence
sD γk+1 − sN γk = g,
γk
γk ,β
est convergente et que wD
et wN
convergent dans H 1 (I) vers u, la solution du problème de Cauchy2 .
2 Le
problème de Cauchy (1), dit aussi de complétion de données, pose de grandes difficultés de résolution numérique
2/3
Problème II :
Soit Ω ⊂ R2 un domaine borné et régulier. On considère l’espace de Sobolev H01 (Ω) muni de la
semi-norme
∀v ∈ H01 (Ω).
|v|H 1 (Ω) = k∇vkL2 (Ω)2 ,
On rappelle qu’elle est une norme équivalente à la norme k · kH 1 (Ω) , par l’inégalité de Poincaré. On définit
l’espace H02 (Ω) comme la fermeture de D(Ω) dans H 2 (Ω), et la semi-norme est donnée par
21
2
2
2
|v|H 2 (Ω) = k∂xx
vk2L2 (Ω) + k∂xy
vk2L2 (Ω) + k∂yy
vk2L2 (Ω) ,
∀v ∈ H02 (Ω).
II.1.— Soit la semi-norme
|v|∆ = k∆vkL2 (Ω) ,
∀v ∈ H02 (Ω),
établir que
|v|H 2 (Ω) ≤ k∆vkL2 (Ω) ≤ 2|v|H 2 (Ω) ,
∀v ∈ H02 (Ω).
Raisonner par densité.
II.2.– Montrer que | · |∆ détermine en fait une norme sur H02 (Ω) qui est équivalente à la norme k · kH 2 (Ω) .
Pour tout g ∈ H01 (Ω) on considère le problème variationnel : chercher u ∈ H02 (Ω) tel que
Z
Z
(3)
∆u∆v dx =
∇g · ∇v dx,
∀v ∈ H02 (Ω).
Ω
Ω
II.3.— Montrer que l’application R : g 7→ u, (u est solution de (3)) est bien définie de H01 (Ω) dans H02 (Ω),
justifier rigoureusement votre réponse. Montrer qu’elle est continue. En déduire qu’elle est compacte et
auto-adjointe de H01 (Ω) dans lui même.
II.4.— Montrer par le théorème de Hilbert-Schmidt, qu’il existe une base Hilbertienne (e k )k de
(H01 (Ω), | · |H 1 (Ω) ), et une suite de réels (λk )k ⊂]0, +∞[ telles que
∆2 e k
∂ n ek
= −λk ∆ek ,
dans Ω
= 0,
sur ∂Ω
avec ∆2 (·) = ∆∆(·), ∂n désigne la dérivée normale et ∂Ω est le bord de Ω. Vérifier que λk → ∞. A-t-on
∆ek = −λk ek ?
II.5.— Établir que (ek )k est une famille orthogonale qui est dense dans H02 (Ω).
II.6.— On se place dans le cas où Ω =]0, 1[. Construire (ek )k ⊂ H02 (]0, 1[) et (λk )k ⊂ R. En déduire la
plus petite constante γ vérifiant
|v|H 1 (Ω) ≤ γ|v|∆ ,
∀v ∈ H02 (]0, 1[).
pour les grandes valeurs de ω. En effet, dans ce cas, le taux de convergence (= ssD ) de l’algorithme de Richardson défini
N
dans I.9 est très proche de 1 et la convergence est très lente. Ces observations s’aggravent de manière drastique en
dimension supérieure. On dit que le problème de Cauchy est instable ou mal-posé. Si vous voulez en savoir plus, consulter
l’URL, (http://mip.ups-tlse.fr/~belgacem/Cauchy.html).
3/3
E.N.I.T.
Examen Session de rattrapage – Analyse Fonctionnelle
Enseignants : F. Ben Belgacem, B. Dehman et H. El Fekih
Durée : 3H00
Date : 2 Mai 2006
Exercice I : Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, et T : H → H un opérateur linéaire,
continu, symétrique et tel que,
0 < (T x, x) < kxk2 ,
∀x ∈ H \ {0}.
On suppose aussi que (I − T ) est compact.
I.1.– Montrer que
kT xk < kxk,
∀x ∈ H \ {0}.
I.2.– Pour tout x ∈ H, on construit la suite (xn )n comme suit : x0 = x et xn+1 = T xn . Montrer
que la suite (kxn+1 − xn k)n converge dans R.
I.3.– Montrer qu’il existe une sous-suite (xnk )k telle que (xnk +1 − xnk )k converge vers y dans H.
I.4.– Établir que kyk = kT yk et en déduire que y = 0.
I.5.– Conclure que la suite (xn+1 − xn )n converge vers zéro. (Cette propriété fait de T un opérateur
asymptotiquement régulier sur H).
I.6.– Prouver que pour tout x ∈ R(I − T ) la suite (xn )n converge vers zéro. (R(I − T ) désigne
l’image de I − T ).
I.7.– Justifier que R(I − T ) est dense dans H, et montrer que (xn )n converge vers zéro pour tout
x ∈ H.
I.8.– Prouver qu’il existe une base hilbertienne (ek )k ⊂ H, formée des vecteurs propres de T . On
note (λk )k les valeurs propres associées, c’est-à-dire que T ek = λk ek . Établir que λk ∈]0, 1[, ∀k, et
que la suite (λk )k converge vers 1.
I.9.– Redémontrer le résultat de I.7 (xn → 0) en utilisant la décomposition spectrale de T . On
supposera que les (λk )k sont triées dans un ordre croissant.
Exercice II :
On considère l’espace de Hilbert complexe
Z
n
L (0, 1) = v : ]0, 1[→ C, mesurable tel que
1
2
o
|v(x)|2 dx < ∞
0
muni du propduit scalaire
Z
1
v(x)w(x) dx.
(v, w)L2 (0,1) =
0
L’espace de Sobolev complexe d’ordre 1 est noté H01 (0, 1), il est muni du produit scalaire hilbertien
Z 1
(v, w)H01 (0,1) =
v 0 (x)w0 (x) dx.
0
2 Mai 2006
II.1.– Montrer que si e 6= 0 est dans H01 (0, 1) et tel que
1
Z
e0 (x)w0 (x) dx = λ
Z
1
e(x)w(x) dx,
∀w ∈ H01 (0, 1),
0
0
alors λ est un réel > 0.
Soit (ek )k∈N la base hilbertienne de L2 (0, 1) formée des vecteurs propres du laplacien. C’est-à-dire
qu’il existe une suite (λk )k∈N positive et croissante telle que
Z
1
e0k (x)w0 (x)dx
Z
= λk
1
ek (x)w(x) dx,
∀w ∈ H01 (0, 1).
0
0
II.2.– Montrer que (ek )k∈N forme une base orthogonale de H01 (0, 1) et que
Z
1
|e0k (x)|2 dx = λk .
0
On considère le problème de Schrödinger
2
i∂t u + ∂xx
u = 0,
u(t, 0) = u(t, 1) = 0,
dans ]0, +∞[×]0, 1[,
t ∈]0, +∞[
u(0, .) = u0 (.),
x ∈]0, 1[.
II.3.– On cherche u ∈ C([0, ∞[, H01 (0, 1)). Énoncer la formulation variationnelle du problème.
II.4.– On suppose que u0 ∈ H01 (0, 1) et on admet que le problème faible possède une solution
unique u ∈ C([0, ∞[, H01 (0, 1)). Donner le développement de u(t) sur la base (ek )k∈N . Vérifier que
la série ainsi obtenue converge dans C([0, ∞[, H01 (0, 1)).
II.5.– Calculer ku(t)kL2 (0,1) et |u(t)|H 1 (0,1) en fonction de ku0 kL2 (0,1) et de |u0 |H 1 (0,1) . (| · |H 1 (0,1)
désigne la norme sur H01 (0, 1) associée à (·, ·)H 1 (0,1) ).
II.6.– On pose u(t) = G(t)u0 , t ≥ 0. Montrer que cette définition s’étend aux t < 0 et que la
famille (G(t))t∈R est un groupe continu d’isométries sur L2 (0, 1) et sur H01 (0, 1).
II.7.– On prend u0 ∈ H01 (0, 1) tel que u000 ∈ L2 (0, 1). Montrer que l’application t 7→ G(t)u0 est de
classe C 1 de R sur L2 (0, 1). Que se passe-t-il si H01 (0, 1) rempalce L2 (0, 1) dans l’espace d’arrivé de
l’application t 7→ G(t)u0 .
2/2
E.N.I.T.
Enseignants : F. Ben Belgacem, B. Dehman, H. El Fekih
Durée : 3H00
Date : 09 Fécrier 2007
ce qui est demandé avant de répondre aux questions1 et de se contenter d’y répondre.
Bon Travail!
Exercice I : On considère H un espace de Hilbert réel de dimension infinie et A ∈ L(H) un opérateur
linéaire compact sur H. Tout au long de l’exercice α désigne un réel strictement positif.
Partie 1
I.1.— A peut-il être un isomorphisme?
On suppose que A est injectif. Une famille (Rα )α∈]0,∞[ ⊂ L(H) est dite régularisante pour A si
lim Rα Ax = x,
α→0
∀x ∈ H.
I.2— Montrer que (Rα A)α ne converge pas dans L(H) lorsque α tend vers 0 (Raisonnner par l’absurde.
On rappelle que l’espace K(H) des opérateurs compact sur H est fermé dans L(H)).
I.3— En déduire que (Rα )α ne peut pas converger pas dans L(H) lorsque α tend vers 0 .
Partie 2 (Régularisation de Lavrentiev)
On suppose que A autoadjoint, semi-défini positif et injectif. L’objectif de la partie 2 est de montrer
que (αI + A)−1 , est une famille régularisante pour A.
I.4.— Montrer que (αI + A) est inversible sur H.
I.5.— Soit x ∈ H, on pose f = Ax et
J(y)
=
Jα (y)
=
1
(Ay, y) − (f, y),
2
1
1
1
αkyk2 + (Ay, y) − (f, y) = αkyk2 + J(y),
2
2
2
et on note xα la solution de (αI + A)xα = f . Vérifier que
J(x) ≤ J(y),
et
Jα (xα ) ≤ Jα (y),
∀y ∈ H.
I.6.— En utilisant I.5. montrer que la suite (kxα k)α est montone et que kxα k ≤ kxk.
I.7.— En déduire que Axα converge fortement vers f , et qu’il existe une sous-suite (αn )n avec αn → 0
et (xαn )n converge faiblement vers x.
I.8.— Montrer que
kxk ≤ lim inf kxαn k.
n→∞
Déduire de I.6. que kxα k converge vers kxk.
I.9.— Etablir que
α
α
kxα − xk2 + (A(xα − x), xα − x) = (kxk2 − kxα k2 ),
2
2
−1
et en déduire que ((αI + A) )α est une famille régularisante pour A.
1 Ce
09 Février 2007
Partie 3 (Régularisation de Tikhonov et inverse de Moore-Penrose)
On suppose seulement que A et injectif est on souhaite établir que la famille (αI + A∗ A)−1 A∗ est
régularisante pour A, A∗ est l’adjoint de A dont on justifiera l’existence.
I.10.— Montrer que (αI + A∗ A) est inversible sur H.
I.11.— Montrer que (αI + A∗ A)−1 A∗ est régularisante (suivre le raisonnement de la partie II).
I.12.— Soit f ∈ H, xα = (αI + A∗ A)−1 A∗ f et on pose
Jα (y) =
1
1
αkyk2 + kAy − f k2
2
2
Montrer que xα est l’unique solution du problème d’optimisation
Jα (xα ) = min Jα (y).
y∈H
I.13.— (Question Facultative, Bonus : 3 points)
On ne fait plus l’hypothèse que A est injectif. Soit x ∈ H et f = Ax. Montrer que (αI + A∗ A)−1 A∗ f
converge vers une limite x† unique telle que Ax† = f et que kx† k ≤ kxk. L’application A† : f 7→ x† est
appelée l’inverse de Moore-Penrose de A.
Exercice II : On définit, pour tout t ∈ R, l’opérateur linéaire
T (t) : L2 (R) →
ψ 7→
L2 (R)
ϕ = T (t)ψ;
ϕ(x) = ψ(x − t),
∀x ∈ R.
II.1.– Montrer T (t) est bien défini et que la famille (T (t))t∈R détermine un groupe continu d’isométries
sur L2 (R).
II.2.– En déduire que, lorsque ψ ∈ H 1 (R), ϕ = T (t)ψ est la solution de l’equation d’advection
∂f
∂f
(t, x) +
(t, x) = 0,
dans ]0, +∞[×R
∂t
∂x
f (0, x) = ψ(x),
pour x ∈ R.
Que se passe-t-il si ψ ∈ L2 (R)? (Remarquez que lorsque ψ ∈ L2 (R), f ∈ L2 ([0, T ] × R), ∀ T > 0, et
utilisez la densité.)
II.3.– On définit l’opérateur A dans L2 (R) par
n
D(A) = ψ ∈ L2 (R);
o
(T (h) − I)
ψ existe dans L2 (R) ,
h→0
h
lim
et
Aψ = lim
h→0
(T (h) − I)
ψ.
h
Montrer que D(A) = H 1 (R) (on rappelle que pour ψ ∈ H 1 (R), on a : ψ(x+h)−ψ(x) =
et que Aψ = −ψ 0 .
On dit que A est le générateur infinitésimal de ce groupe (T (t))t∈R .
R1
0
ψ 0 (x+sh) ds),
2/2
E.N.I.T.
Examen Session de Rattrapage – Analyse Fonctionnelle
Enseignants : F. Ben Belgacem – B. Dehman – H. El Fekih
Durée : 2H30
Date : 17 Mai 2007
Bon Travail!
Exercice I : On pose I = [0, π], et V = L2 (I) × L2 (I), muni du produit scalaire naturel noté (·, ·)V et
la norme associée est k · kV . On considère l’opérateur A défini par
−∂x z
y
AY =
,
∀Y =
∈ V.
2
−∂x y − ∂xx
z
z
I.1.– Déterminer avec précision le domaine de A. Vérifier qu’il est dense et que le graphe G(A) est fermé.
I.2.– Donner le noyau et l’image de A.
I.3.– Donner l’adjoint A∗ (déterminer avec précision son domaine et son expression).
I.4.– Donner le noyau et l’image de A∗ .
I.5.– On considère le sous-espace de V ,
n
V0 = Y ∈ V,
Z
o
y(x) dx = 0 .
I
On définit l’opérateur B sur V0 de la manière suivante
n
D(B) = Y ∈ V0 , z ∈ H01 (I),
o
y + ∂x z ∈ H 1 (I) ,
et
BY = AY,
∀Y ∈ D(B).
Donner le noyau et l’image de B. En déduire que B est un isomorphisme de (D(B), k · kD(B) ) dans V0 .
I.6.– Montrer que pour tout λ > 0, l’opérateur (λI +B) est un isomorphisme de (D(B), k·kD(B) ) dans V0 .
I.7.– Pour tout n ≥ 1, introduisons le sous-espace Wn de V0 ,
n
Wn = Y ∈ V0 , y(x) = α cos(nx), z(x) = γ sin(nx),
o
(α, γ) ∈ R2 .
Vérifier que Wn ⊂ D(B), qu’il est stable par B et que la famille (Wn )n est une somme orthogonale de
V0 dense. En déduire la décomposition spectrale de B.
I.8.– Est-ce que B −1 est compacte dans V0 ? Qu’en-est-il de la compacité de (λI + B)−1 ?
1 Ce
17 Mai 2007
Exercice II : Soient ψ ∈ L2 (R) et f ∈ L2 ([0, ∞[×R), on considère le problème de Cauchy
(1)
(2)
∂u
(t, x) + xu(t, −x) = f (t, x),
∂t
u(0, x) = ψ(x)
∀(t, x) ∈ R × R
(1) n’est pas une équation différentielle!
L’objectif est de prouver que le problème (1)-(2) admet une solution unique dans un espace fonctionnel
adéquat.
II.1.– On définit l’opérateur A par
(Av)(x) = xv(−x),
∀x ∈ R.
Prouver que A détermine un opérateur non borné sur L2 (R) de domaine (à préciser) dense. Montrer que
A est anti-adjoint
II.2.– Soit λ > 0, l’opérateur (I + λA) est-il inversible sur L2 (R)? Donner une estimation de son inverse.
II.3.– Est-ce que l’opérateur A est diagonalisable? Peut-on utiliser la méthode de Fourier pour résoudre
(1)-(2)?
II.4.– On suppose que ψ ∈ D(A) et f = 0. Donner l’expression explicite de u et vérifer que
u ∈ C 1 ([0, ∞[, L2 (R)) ∩ C([0, ∞[, D(A)). En déduire que u(t, ·) = S(t)ψ, ∀t ∈ R. Prouver que (S(t))t∈R
est un groupe d’isométrie à un paramètre qui vérifie
dS(t)
= −AS(t),
dt
∀t ∈ R.
II.5.– On suppose que ψ ∈ D(A) et que f ∈ C([0, ∞[, D(A)), déterminer la solution u du problème de
Cauchy (1)-(2) en précisant sa régularité (justifier toutes les étapes de votre réponse!).
2/2
E.N.I.T.
Enseignants : F. Ben Belgacem et H. El Fekih
Durée : 3H00
Date : 4 Février 2008
Il est recommandé aux candidats de répondre aux questions avec rigueur, clarté et concision,
et d’éviter les fioritures (ezz-aı̈ed w ett-balbiz!) qui risquent de pénaliser la note. Il est important
de bien comprendre ce qui est demandé avant de répondre aux questions1 et de se contenter d’y
répondre.
Bon Travail!
Exercice I : On considère H un espace de Hilbert réel de dimension infinie et A un opérateur
linéaire, compact et injectif sur H.
I.1.— Montrer que l’inverse de A n’est pas continu.
I.2.— Montrer à l’aide du théorème de Riesz(2 ) que pour tout λ ∈ R∗ , le noyau N (λI − A) de
λI − A est de dimension finie.
I.3.— On note R(A) l’image de A. Peut-elle être de dimension finie? Montrer que R(A) ne peut
pas être fermée.
Exercice II : On considère `2 (R) l’espace des suites à carré sommable muni de la norme
kxk`2 =
∞
X
x2k
1
2
,
∀x = (xk )k≥1 ∈ `2 (R).
k=1
On rappelle que `2 (R), muni de k · k`2 , est un espace de Hilbert.
Soit (αk )k ⊂ R∗ une suite bornée. On définit l’opérateur
T : `2 (R) → `2 (R)
x 7→ y = (yk )k ;
avec yk = αk xk ,
∀k ≥ 1.
II.1.— Donner le noyau de T et montrer que l’image de T est dense dans `2 (R).
II.2.— On suppose (uniquement dans cette question) qu’il existe γ > 0 telle que |αk | ≥ γ, ∀k ≥ 1.
T définit-il un isomorphisme de `2 (R)? Justifier votre réponse.
II.3.— On suppose dans toute la suite que (αk )k converge vers zéro. L’image de T peut-elle être
fermée? Justifier votre réponse.
II.4.— Soit (xn )n≥1 ⊂ `2 (R) une suite bornée dans `2 (R), c’est-à-dire qu’il existe une constante C
telle que kxn k`2 ≤ C, ∀n ≥ 1. Montrer qu’il existe une suite-extraite (xnp )p≥1 et x ∈ `2 (R) telle
(xnp )p≥1 converge faiblement vers x dans `2 (R).
II.5.— Montrer que la suite (T xnp )p≥1 converge fortement vers T x dans `2 (R). En déduire que
l’opérateur T est compact.
1
2
Ce qui se pense clairement s’exprime simplement! Dicton français.
Les seuls espaces vectoriels normés où la boule unité est compacte sont les espaces de dimension finie.
4 Février 2008
Exercice III : On note
n
H02 (]0, 1[) = v ∈ H 2 (]0, 1[);
o
v(0) = v(1) = v 0 (0) = v 0 (1) = 0 .
On considère le problème différentiel
z 0000 + cz = f,
0
dans ]0, 1[
0
z (0) = z (1) = 0,
z(0) = z(1) = 0,
où f est une fonction donnée dans L2 (]0, 1[) et c est une fonction donnée dans C 0 ([0, 1]).
III.1.– Donner la formulation variationnelle du problème et montrer qu’elle admet une unique solution z (On sera pour cela amené à faire des hypothèses sur c. Qu’elles soient le plus faibles possible!)
III.2.– Exprimer le problème comme un problème de minimisation.
III.3.– Montrer que la solution z est dans H 4 (]0, 1[).
Exercice IV : Soit µ > 0 et ϕ ∈ L2 (I) avec I =]0, π[ . On considère l’équation de la chaleur sur I :
2
∂t zµ − µ∂xx
zµ = 0,
dans ]0, ∞[×I
sur ]0, ∞[
zµ (t, 0) = zµ (t, π) = 0,
zµ (0, ·) = ϕ,
sur I.
IV.1.– Montrer que zµ (t, ·) ∈ H 1 (I), pour tout t > 0.
IV.2.– Montrer que
∂t (kzµ (t, ·)k2L2 (I) ) = −2µk∂x zµ (t, ·)k2L2 (I) ,
∀t > 0.
IV.3.– En déduire qu’il existe une constant C > 0 telle que
∂t (kzµ (t, ·)k2L2 (I) ) ≤
−2µ
kzµ (t, ·)k2L2 (I) ,
C
∀t > 0.
IV.4.– Calculer les limites suivantes dans L2 (I),
lim zµ (t, ·),
t→+∞
(∀µ > 0)
et
lim zµ (t, ·),
µ→+∞
(∀t > 0).
IV.5.– On considère maintenant le problème de la chaleur avec des conditions de Neumann
homogènes,
2
zµ = 0,
∂x zµ (t, 0) = ∂x zµ (t, π) = 0,
zµ (0, ·) = ϕ,
dans ]0, ∞[×I
sur ]0, ∞[
sur I,
avec ϕ ∈ H 1 (I). Montrer les limites suivantes dans L2 (I) :
Z
Z
lim uµ (t, ·) = ϕ(x) dx, (∀µ > 0) et
lim uµ (t, ·) = ϕ(x) dx,
t→+∞
I
µ→+∞
(∀t > 0).
I
2/2
E.N.I.T.
Durée : 3H00
Date : 9 Mai 2008
Documents non autorisés
Exercice I : Soient A et B deux opérateurs linéaires continus sur un espace de Hilbert séparable
H. On suppose que A est injectif et que B est compact (c’est-à-dire que si K ⊂ H est borné dans
H alors B(K) ⊂ H est relativement compact). On suppose qu’il deux existe constantes C1 > 0 et
C2 > 0 vérifiant
(1)
kxk ≤ C1 kAxk + C2 kBxk,
∀x ∈ H;
I.1.– On suppose qu’il existe une suite (xn )n de H vérifiant
kxn k = 1,
kAxn k ≤
1
,
n
∀n ≥ 1;
I.1.1.– Dire pourquoi (xn )n admet une sous-suite (xnk )k qui converge faiblement dans H. On
notera y sa limite.
I.1.2.– Montrer que (Axnk )k converge faiblement vers Ay.
I.1.3.– Vérifier que (Axn )n converge fortement vers 0. Que vaut alors y?
I.1.4.– Donner la limite de la suite (Bxnk )k et déduire une absurdité.
I.2.– On suppose toujours que l’inégalité (1) a lieu.
I.2.1.– A l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer qu’il existe une constante C3 > 0
telle que
kxk ≤ C3 kAxk
∀x ∈ H.
I.2.2.– Montrer que (Im A) est fermé dans H.
I.2.3.– En déduire que si A est de plus autoadjoint alors c’est un isomorphisme de H.
Exercice II : On note
n
H02 (]0, 1[) = v ∈ H 2 (]0, 1[);
o
v(0) = v(1) = v ′ (0) = v ′ (1) = 0 .
On considère le problème différentiel
z ′′′′ + cz = f,
′
dans ]0, 1[
′
z (0) = z (1) = 0,
z(0) = z(1) = 0,
où f est une fonction donnée dans L2 (]0, 1[) et c est une fonction donnée dans C 0 ([0, 1]).
II.1.– Donner la formulation variationnelle du problème et montrer qu’elle admet une unique solution z (On sera pour cela amené à faire des hypothèses sur c. Qu’elles soient le plus faibles possible!)
II.2.– Exprimer le problème comme un problème de minimisation.
I.3.– Montrer que la solution z est dans H 4 (]0, 1[).
1/2
Exercice III : Soit µ > 0 et ϕ ∈ L2 (I) avec I =]0, π[ . On considère l’équation de la chaleur sur I :
2
zµ = 0,
dans ]0, ∞[×I
zµ (t, 0) = zµ (t, π) = 0,
sur ]0, ∞[
zµ (0, ·) = ϕ,
sur I.
III.1.– Montrer que zµ (t, ·) ∈ H 1 (I), pour tout t > 0.
III.2.– Montrer que
∂t (kzµ (t, ·)k2L2 (I) ) = −2µk∂x zµ (t, ·)k2L2 (I) ,
∀t > 0.
III.3.– En déduire qu’il existe une constant C > 0 telle que
∂t (kzµ (t, ·)k2L2 (I) ) ≤
−2µ
kzµ (t, ·)k2L2 (I) ,
C
∀t > 0.
III.4.– Calculer les limites suivantes dans L2 (I),
lim zµ (t, ·),
t→+∞
(∀µ > 0)
et
lim zµ (t, ·),
µ→+∞
(∀t > 0).
III.5.– On considère maintenant le problème de la chaleur avec des conditions de Neumann
homogènes,
2
zµ = 0,
∂x zµ (t, 0) = ∂x zµ (t, π) = 0,
zµ (0, ·) = ϕ,
dans ]0, ∞[×I
sur ]0, ∞[
sur I,
avec ϕ ∈ H 1 (I). Montrer les limites suivantes dans L2 (I) :
Z
Z
lim uµ (t, ·) = ϕ(x) dx,
lim uµ (t, ·) = ϕ(x) dx, (∀µ > 0) et
t→+∞
I
µ→+∞
(∀t > 0).
I
2/2
E.N.I.T.
Durée : 3H00
ce qui est demandé avant de répondre aux questions(1 ) et de se contenter d’y répondre.
Bon Travail!
Exercice I : Soit H un espace de Hilbert et H1 et H2 deux sous-espaces fermés de H. On note P1 et P2
les projections orthogonales sur H1 et H2 , et on pose Q1 = I − P1 et Q2 = I − P2 .
I.1.— Montrer que H1 + H2 est dense dans H si et seulement si H1⊥ ∩ H2⊥ = {0} où H1⊥ (resp. H2⊥ ) est
le sous-espace othogonal à H1 (resp. H2⊥ )..
On suppose dans toute la suite que H1⊥ ∩ H2⊥ = {0}. Soit e0 ∈ H. On construit la suite (en )n ⊂ H
telle que
e2n+2 = Q2 e2n+1 .
e2n+1 = Q1 e2n ,
I.2.— Etablir que
ken+1 k2 + ken+1 − en k2 = ken k2 ,
∀n ∈ N.
En déduire que (en+1 − en )n converge vers 0, que (ken k)n converge et qu’il existe une sous-suite (enp )p
qui converge faiblement vers e.
I.3.— En remarquant que (enp +1 )p converge faiblement vers une limite f , montrer que e = f = 0. En
déduire que toute la suite (en )n converge faiblement vers 0.
I.4.— Prouver que (en )n converge fortement vers 0.
Exercice II : On considère H l’espace de Hilbert des suites à carré sommable
o
n
X
(xk )2 < ∞ .
H = x = (xk )k∈Z ,
kxk2H =
k∈Z
On définit l’opérateur A sur H de la façon suivante
Ax = y ⇐⇒ yk = −xk+1 + 2xk − xk−1 ,
∀k ∈ Z.
On note σ(A) le spectre de A.
II.1.— Montrer que A est continue symétrique et défini-positif sur H.
II.2.— Considérons α > 0. Soit z ∈ H. Donner la formulation variationnelle du problème
(αI + A)x = z,
et montrer qu’il admet une solution unique x ∈ H. En déduire que (αI + A) est un isomorphisme sur H.
II.3.— Montrer que
sup
x∈H
(Ax, x)
= 4,
kxk2H
inf
x∈H
(Ax, x)
= 0.
kxk2H
Pour la calcul de l’inf, considérer xN ∈ H avec (xN )k = 1 si −N ≤ k ≤ N et (xN )k = 0 sinon.
Débrouillez-vous pour le sup.
En déduire que le spectre σ(A) est une partie de [0, 4].
1 Ce
19 Janvier 2009
II.4.— Prouver que 0 et 4 sont dans le spectre σ(A). Sont-ils valeurs propres de A?
II.5.— Montrer que R(A) est dense et non fermé.
II.6.— La norme
kxk2 =
X
(xk+1 − xk )2
k∈Z
définit-elle une structure d’espace de Hilbert sur H?
II.7.— Montrer que A ne possède aucune valeur propre. En déduire que pour tout λ ∈ σ(A), on a
N (A − λI) = {0}, R(A − λI) est dense dans H sans être fermé et que (A − λI)−1 n’est pas continu.
On dit que le spectre de A est purement continu. A est-il compact?
II.8.— Montrer que σ(A) = [0, 4].
Une preuve possible consiste à utiliser l’isométrie(2 ) d’espaces de Hilbert de (H, k · kH ) dans (V, k · kV ) où
n
o
X
V = f (t) =
xk eikt ,
x∈H ,
k∈Z
muni de la norme
kf k2V =
Z
π
|f (t)|2 dt.
−π
Exercice III : Soir c ∈ R. On définit, pour tout t ∈ R, l’opérateur linéaire
T (t) : L2 (R) →
ψ
7→
L2 (R)
ϕ = T (t)ψ; ϕ(x) = ψ(x − ct),
∀x ∈ R.
III.1.– Montrer T (t) est bien défini et que la famille (T (t))t∈R détermine un groupe continu d’isométries
sur L2 (R).
III.2.– En déduire que, lorsque ψ ∈ H 1 (R), ϕ = T (t)ψ est la solution de l’equation d’advection
∂f
∂f
(t, x) + c (t, x) = 0,
∀(t, x) ∈]0, +∞[×R
∂t
∂x
f (0, x) = ψ(x).
Que se passe-t-il si ψ ∈ L2 (R)?
III.3.– On définit l’opérateur A dans L2 (R) par
n
o
(T (h) − I)
ψ existe dans L2 (R) ,
D(A) = ψ ∈ L2 (R);
lim
h→0
h
et
(T (h) − I)
Aψ = lim
ψ.
h→0
h
Montrer que D(A) = H 1 (R) et déterminer l’expression de A. On dit que A est le générateur infinitésimal
de ce groupe (T (t))t∈R .
III.4.– Soit donné k ∈ L2 ([0, ∞[×R) et on suppose que ψ ∈ H 1 (R). Exprimer en fonction de l’opérateur
T (t) la solution du problème
∂f
∂f
(t, x) + c (t, x) = k(t, x),
∂t
∂x
f (0, x) = ψ(x).
∀(t, x) ∈]0, ∞[×R
Indication : Calculer la dérivée de la fonction γ(t) = f (t, α + ct) où α ∈ R
III.5.– Montrer que la solution f vérifie
Z
kf (t)kL2 (R) ≤ kψkL2 (R) +
t
kk(s)kL2 (R) ds.
0
2 C’est
le théorème de Parseval.
2/2
E.N.I.T.
Durée : 3H00
Date : 22 Mai 2009
Exercice I : Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, et T : H → H un opérateur linéaire,
continu, symétrique et tel que,
0 < (T x, x) < kxk2 ,
∀x ∈ H \ {0}.
On suppose aussi que (I − T ) est compact.
I.1.– Montrer que
kT xk < kxk,
∀x ∈ H \ {0}.
I.2.– Pour tout x ∈ H, on construit la suite (xn )n comme suit : x0 = x et xn+1 = T xn . Montrer
que la suite (kxn+1 − xn k)n converge dans R.
I.3.– Montrer qu’il existe une sous-suite (xnk )k telle que (xnk +1 − xnk )k converge vers y dans H.
I.4.– Établir que kyk = kT yk et en déduire que y = 0.
I.5.– Conclure que la suite (xn+1 − xn )n converge vers zéro. (Cette propriété fait de T un opérateur
asymptotiquement régulier sur H).
I.6.– Prouver que pour tout x ∈ R(I − T ) la suite (xn )n converge vers zéro. (R(I − T ) désigne
l’image de I − T ).
I.7.– Justifier que R(I − T ) est dense dans H, et montrer que (xn )n converge vers zéro pour tout
x ∈ H.
I.8.– Prouver qu’il existe une base hilbertienne (ek )k ⊂ H, formée des vecteurs propres de T . On
note (λk )k les valeurs propres associées, c’est-à-dire que T ek = λk ek . Établir que λk ∈]0, 1[, ∀k, et
que la suite (λk )k converge vers 1.
I.9.– Redémontrer le résultat de I.7 (xn → 0) en utilisant la décomposition spectrale de T . On
supposera que les (λk )k sont triées dans un ordre croissant.
Exercice II :
Soit Ω ⊂ R2 un domaine borné et régulier. On considère l’espace de Sobolev H01 (Ω) muni de la
semi-norme
|v|H 1 (Ω) = k∇vkL2 (Ω)2 ,
∀v ∈ H01 (Ω).
On rappelle qu’elle est une norme équivalente à la norme k · kH 1 (Ω) , par l’inégalité de Poincaré. On
définit l’espace H02 (Ω) comme la fermeture de D(Ω) dans H 2 (Ω), et la semi-norme est donnée par
|v|H 2 (Ω) =
2
k∂xx
vk2L2 (Ω)
+
2
k∂xy
vk2L2 (Ω)
+
2
k∂yy
vk2L2 (Ω)
1
2
,
∀v ∈ H02 (Ω).
22 Mai 2009
II.1.— Soit la semi-norme
∀v ∈ H02 (Ω),
|v|∆ = k∆vkL2 (Ω) ,
établir que
|v|H 2 (Ω) ≤ k∆vkL2 (Ω) ≤ 2|v|H 2 (Ω) ,
∀v ∈ H02 (Ω).
Raisonner par densité.
II.2.– Montrer que | · |∆ détermine en fait une norme sur H02 (Ω) qui est équivalente à la norme
k · kH 2 (Ω) .
Pour tout g ∈ H01 (Ω) on considère le problème variationnel : chercher u ∈ H02 (Ω) tel que
Z
Z
(1)
∆u∆v dx =
∇g · ∇v dx,
∀v ∈ H02 (Ω).
Ω
Ω
II.3.— Montrer que l’application R : g 7→ u, (u est solution de (1)) est bien définie de H01 (Ω) dans
H02 (Ω), justifier rigoureusement votre réponse. Montrer qu’elle est continue. En déduire qu’elle est
compacte et auto-adjointe de H01 (Ω) dans lui même.
II.4.— Montrer par le théorème de Hilbert-Schmidt, qu’il existe une base Hilbertienne (ek )k de
(H01 (Ω), | · |H 1 (Ω) ), et une suite de réels (λk )k ⊂]0, +∞[ telles que
∆2 ek = −λk ∆ek ,
∂n ek = 0,
dans Ω
sur ∂Ω
avec ∆2 (·) = ∆∆(·), ∂n désigne la dérivée normale et ∂Ω est le bord de Ω. Vérifier que λk → ∞.
A-t-on ∆ek = −λk ek ?
II.5.— Établir que (ek )k est une famille orthogonale qui est dense dans H02 (Ω).
II.6.— On se place dans le cas où Ω =]0, 1[. Construire (ek )k ⊂ H02 (]0, 1[) et (λk )k ⊂ R. En déduire
la plus petite constante γ vérifiant
|v|H 1 (Ω) ≤ γ|v|∆ ,
∀v ∈ H02 (]0, 1[).
2/2
E.N.I.T.
Durée : 3H00
Bon Travail!
Exercice I : Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, muni de la norme k · k et T : H → H un
opérateur linéaire, continu, et tel que N (T ) = {0}. Soit b ∈ H, on cherche à résoudre l’équation
T ∗ T x = b.
(1)
0.– Donner le noyau N (T ∗ T ). On note R(T ∗ T ) l’image de T ∗ T . Est-elle dense dans H? fermée?
Partie 1
On suppose dans cette partie que l’équation (1) admet une solution pour tout b.
1.1– Montrer que T ∗ T est un isomorhpishme.
1.2– Montrer que R(T ) est fermé. En déduire qu’il existe β > 0 tel que
kT yk ≥ βkyk,
∀y ∈ H.
1.3– Montrer que R(T ∗ ) est fermé et en déduire que T ∗ definit un isomoprhisme de R(T ) sur H.
1.4– Est ce que T est nécessairement un isomorphisme sur H ? : Examiner l’application shift à droite
sur `2 (R), definie par
T : x = (x0 , x1 , · · · , xn , · · ·) 7→ T x = (0, x0 , x1 , · · · , xn , · · ·)
1.5– On suppose que T T ∗ est lui aussi un isomorphisme sur H. Etablir que T et T ∗ sont des isomorphismes sur H.
Partie 2
On suppose dans toute la suite que T est compact et que N (T ∗ ) = {0}.
2.1– Le problème (1) a-t-il toujours une solution? Jusitfer votre réponse.
2.2.– Lorsque l’équation (1) ne peut pas être résolue, on la remplace par la minimisation de la fonctionnelle
quadratique
1
1
∀y ∈ H.
J(y) = (T ∗ T y, y) − (b, y) = kT yk2 − (b, y),
2
2
On suppose que J est minorée sur H et donc γ = inf J(y) est fini. On suppose que ce minimum est
atteint en x. Montrer que x est la solution de (1) et en déduire que b = T ∗ d, où d ∈ H.
2.3.– On supposse que l’infimum n’est pas atteint mais que γ > −∞. En considérant J(ty), ∀t ∈ R, ∀y ∈
H, montrer que
p
(b, y) ≤ −2γ kT yk
∀y ∈ H.
1 Ce
16 Janvier 2010
2.4.– Montrer que la forme linéaire définie sur R(T ) par
` : z 7→ (b, y),
où z = T y,
se prolonge par continuité à H. En déduire qu’il existe d ∈ H tel que b = T ∗ d et
J(y) =
1
1
kT y − dk2 − kdk2 ,
2
2
∀y ∈ H.
√
avec kdk = −2γ. J est donc une fonctionnelle de moindres-carrés qui a une très grande importance
pour une certaine classe de problèmes.
Exercice II :
Soit Ω ⊂ R2 un domaine borné régulier. On définit l’espace
n
o
H = v ∈ H01 (Ω),
∆v ∈ L2 (Ω) .
muni de la norme
kvkH = (kvk2H 1 (Ω) + k∆vk2L2 (Ω) )1/2 ,
∀v ∈ H.
Soit la semi-norme |v|H = k∆vkL2 (Ω) .
1.— Montrer que | · |H est une norme et que (H, | · |H ) est un espace de Hilbert.
2.— Montrer que (−∆) : H → L2 (Ω) est un isomorphisme symétrique et défini-positif.
3.— Montrer que l’injection canonique de H dans H01 (Ω) est continue et dense.
4.— Pour les domaines Ω réguliers, on admet que H coı̈ncide avec H 2 ∩ H01 (Ω) (H = H 2 ∩ H01 (Ω)).
Montrer que les normes | · |H et k · kH 2 (Ω) sont équivalentes.
5.— Vérifier que l’application R : (−∆)−1 est autoadjointe. Montrer qu’elle est compacte de L2 (Ω) dans
L2 (Ω).
6.— Utiliser le théorème de Hilbert-Schmidt, pour établir l’existence d’une base Hilbertienne (ζk )k≥1 de
L2 (Ω), et une suite de réels (λk )k ⊂]0, +∞[ telles que
−∆ζk
= λk ζk ,
ζk
=
0,
dans Ω
sur ∂Ω
Vérifier que λk → ∞.
7.— On se place dans le cas où Ω =]0, 1[. Construire (ζk )k≥1 et (λk )k ⊂ R. En déduire la plus petite
constante γ de l’inégalité de Poincaré, qui vérifie donc
kvkL2 (Ω) ≤ γ|v|H 1 (Ω) ,
∀v ∈ H01 (Ω).
8.— On souhaite montrer que pour certains domaines Ω non réguliers, le résultat de 4. est faux. Soit C
le secteur du disque unité d’angle ω ∈]π, 2π[.
n
o
C = (x, y) = (r cos θ, r sin θ),
0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ ω .
On pose f = sin( ωπ θ) ∈ L2 (C). On cherche u = α(r) sin( ωπ θ) vérifiant
−∆u
u
= f,
dans C
=
sur ∂C
0,
Donner l’équation sur α. La résoudre (chercher des solution de type rb , b ∈ R. En déduire que u ∈ H et
u 6∈ H 2 (C).
2/2
E.N.I.T.
Examen Session de Rattrapage
Date : Mercredi 2 Juin 2010
Durée : 3H00
Exercice I :
Soit Ω ⊂ R2 un domaine borné régulier. On définit l’espace
n
o
H = v ∈ H01 (Ω),
∆v ∈ L2 (Ω) .
muni de la norme
kvkH = (kvk2H 1 (Ω) + k∆vk2L2 (Ω) )1/2 ,
∀v ∈ H.
Soit la semi-norme |v|H = k∆vkL2 (Ω) .
1.— Montrer que | · |H est une norme et que (H, | · |H ) est un espace de Hilbert.
2.— Montrer que (−∆) : H → L2 (Ω) est un isomorphisme symétrique et défini-positif.
3.— Montrer que l’injection canonique de H dans H01 (Ω) est continue et dense.
4.— Pour les domaines Ω réguliers, on admet que H coı̈ncide avec H 2 ∩ H01 (Ω) (H =
H 2 ∩ H01 (Ω)). Montrer que les normes | · |H et k · kH 2 (Ω) sont équivalentes.
5.— Vérifier que l’application R = (−∆)−1 est autoadjointe. Montrer qu’elle est compacte
de L2 (Ω) dans L2 (Ω).
6.— Utiliser le théorème de Hilbert-Schmidt, pour établir l’existence d’une base Hilbertienne (ζk )k≥1 de L2 (Ω), et une suite de réels (λk )k ⊂]0, +∞[ telles que
−∆ζk = λk ζk ,
dans Ω
ζk = 0,
sur ∂Ω
Vérifier que λk → ∞.
Exercice II : Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, muni de la norme k · k et
T : H → H un opérateur linéaire, continu, et tel que N (T ) = {0}. Soit b ∈ H, on cherche
à résoudre l’équation
(1)
T ∗ T x = b.
0.– Donner le noyau N (T ∗ T ). On note R(T ∗ T ) l’image de T ∗ T . Est-elle dense dans H?
fermée?
Mercredi 2 Juin 2010
Partie 1
On suppose dans cette partie que l’équation (1) admet une solution pour tout b.
1.1– Montrer que T ∗ T est un isomorhpishme.
1.2– Montrer que R(T ) est fermé. En déduire qu’il existe β > 0 tel que
kT yk ≥ βkyk,
∀y ∈ H.
1.3– Montrer que R(T ∗ ) est fermé et en déduire que T ∗ definit un isomoprhisme de R(T )
sur H.
1.4– Est ce que T est nécessairement un isomorphisme sur H ? : Examiner l’application
shift à droite sur `2 (R), definie par
T : x = (x0 , x1 , · · · , xn , · · ·) 7→ T x = (0, x0 , x1 , · · · , xn , · · ·)
1.5– On suppose que T T ∗ est lui aussi un isomorphisme sur H. Etablir que T et T ∗ sont
des isomorphismes sur H.
Partie 2
On suppose dans toute la suite que T est compact et que N (T ∗ ) = {0}.
2.1– Le problème (1) a-t-il toujours une solution? Jusitfer votre réponse.
2.2.– Lorsque l’équation (1) ne peut pas être résolue, on la remplace par la minimisation
de la fonctionnelle quadratique
1
1
J(y) = (T ∗ T y, y) − (b, y) = kT yk2 − (b, y),
2
2
∀y ∈ H.
On suppose que J est minorée sur H et donc γ = inf J(y) est fini. On suppose que ce
minimum est atteint en x. Montrer que x est la solution de (1) et en déduire que b = T ∗ d,
où d ∈ H.
2.3.– On supposse que l’infimum n’est pas atteint mais que γ > −∞. En considérant
J(ty), ∀t ∈ R, ∀y ∈ H, montrer que
p
(b, y) ≤ −2γ kT yk
∀y ∈ H.
2.4.– Montrer que la forme linéaire définie sur R(T ) par
` : z 7→ (b, y),
où z = T y,
se prolonge par continuité à H. En déduire qu’il existe d ∈ H tel que b = T ∗ d et
1
1
J(y) = kT y − dk2 − kdk2 ,
2
2
∀y ∈ H.
√
avec kdk = −2γ. J est donc une fonctionnelle de moindres-carrés qui a une très grande
importance pour une certaine classe de problèmes.
2/2
E.N.I.T.
Durée : 3H00
Date : 11 Février 2011
les fioritures (ezz-aı̈ed w ett-balbiz!). Il est important de bien comprendre ce qui est demandé avant de
répondre aux questions1 et de se contenter d’y répondre.
Bon Travail!
Exercice I :
On considère E un espace de Banach réel.
I.1.– Soit H un sous-espace vectoriel de E d’intérieur non vide. Déterminer H avec précision en justifiant
votre réponse.
I.2.– Soit A un opérateur non borné, fermé, et de domaine D(A) dense dans E. On suppose ici qu’il
existe une constante γ telle que
γkxk ≤ kAxk,
∀x ∈ D(A)
I.2.1– Montrer que l’image R(A) est fermé. En déduire que A−1 est borné de R(A) dans E.
I.2.2– On suppose que D(A) est muni de la norme du graphe. Vérifier que A est un isomorphisme
de D(A) dans R(A).
I.3.— On suppose que A est injectif et que A−1 n’est pas borné. Montrer que l’ensemble E \ R(A) est
dense dans E (Utiliser I.1.).
Exercice II :
Soit Ω un ouvert régulier de R2 (ou R3 ) de frontière Γ et r un réel > 0. On considère le sous-espace de
L2 (Ω),
n
o
Nr = ϕ ∈ L2 (Ω);
−∆ϕ + rϕ = 0
in D0 (Ω) .
II.1.— Vérifier que Nr est fermé dans L2 (Ω). En déduire qu’il forme un espace de Hilbert lorsqu’il est
muni de la norme de L2 (Ω). Est-ce que Nr est un sous-espace de H 1 (Ω)?
II.2.— Soit χ ∈ N1 . On considère le problème aux limites : chercher % tel que
−∆% + r% = (1 − r)χ
%=0
dans Ω
sur Γ.
Ecrire la formulation variationnelle du problème et prouver qu’il admet une solution unique % ∈ H01 (Ω).
En déduire que l’opérateur A : χ 7→ Aχ = χ+% est bien défini de N1 dans Nr et que (Aχ−χ) ∈ H01 (Ω).
II.3.— Prouver que A est bijectif.
II.4.— On suppose que r > 1. Montrer que
1
kχkL2 (Ω) ≤ kAχkL2 (Ω) ≤ kχkL2 (Ω) ,
r
II.5.— En déduire que A est un isomorphisme d’espace de Hilbert.
1 Ce
∀χ ∈ N1 .
11 Février 2011
Exercice III :
Soit µ > 0, a ∈ R et ϕ ∈ L2 (I) avec I =]0, π[ . On considère l’équation sur I,
2
zµ + a∂x zµ
=
0,
zµ (t, 0) = zµ (t, π)
=
0,
sur ]0, ∞[
zµ (0, ·)
=
ϕ,
sur I.
dans ]0, ∞[×I
III.1.— Ecrire la formulation variationnelle de ce problème.
Dans la suite, on suppose que ce problème variationnel admet une solution unique zµ ∈ C([0, ∞[, L2 (I)) ∩
L2 ([0, T ], H 1 (I)), pour tout T > 0.
III.2.— Soit γ un fonction dérivable et strictement positive dans [0, ∞[ qui vérifie
γ 0 (t) ≤ −λγ(t),
∀t.
γ(t) ≤ γ(0)e−λt ,
∀t.
On suppose que λ > 0. Vérifier que
III.3.– Montrer que
1
∂t (kzµ k2L2 (I) ) + µk∂x zµ k2L2 (I) = 0,
2
∀t > 0.
III.4.– En déduire qu’il existe une constant β > 0 telle que
∂t (kzµ k2L2 (I) ) ≤ −2βµkzµ k2L2 (I) ,
∀t > 0.
III.5.– Calculer les limites suivantes dans L2 (I), (utiliser III.2.)
lim kzµ (t, ·)kL2 (I) ,
t→+∞
(∀µ > 0))
et
lim kzµ (t, ·)kL2 (I) ,
µ→+∞
(∀t > 0)).
III.6.– En déduire qu’en fait zµ ∈ L2 ([0, +∞[, H 1 (I)).
III.7.– Montrer que qu’il existe une constante C > 0 indépendante de µ qui vérifie
kzµ kL2 ([0,T ]×I) ≤ C.
En déduire que zµ converge faiblement vers une fonction z dans L2 ([0, T ] × I) lorsque µ → 0. Vérifer
qu’on a au sens des distributions :
∂t z + a∂x z = 0,
dans ]0, T [×I
2/2
E.N.I.T.
Examen Session de Rattrapage
Durée : 3H00
Date : Mercredi 15 Juin 2011
Documents non autorisés
Exercice I
Soient X et Y deux espaces de Hilbert réels tels que X s’injecte dans Y avec une injection continue et
dense. Leurs produits scalaires sont respectivement notés (·, ·)X et (·, ·)Y .
1– On note
n
D = x ∈ X;
o
∀y ∈ X .
∃C > 0, tel que |(x, y)X | ≤ CkykY ,
1.1– Justifier que, pour tout x ∈ D, l’application y 7→ (x, y)X se prolonge de manière unique en une
forme linéaire continue sur Y .
1.2–En déduire que, pour tout x ∈ D, il existe un unique x∗ ∈ Y tel que (x, y)X = (x∗ , y)Y , ∀y ∈ X.
Dans la suite, D sera noté D(A) et A l’opérateur linéaire défini par Ax = x∗ pour tout x ∈ D(A).
2– Vérifier que D(A), muni de la norme du graphe, est un espace de Hilbert.
3.– Soit z ∈ Y , on considère l’équation :
chercher x ∈ D(A) tel que,
(1)
Ax = z.
3.1– Ecrire une formulation variationelle du problème (1) dans X.
3.2– On considère le problème faible qui consiste à
chercher x ∈ X tel que,
(2)
(x, y)X = (z, y)Y ,
∀y ∈ X.
Montrer que le problème (2) admet une solution unique x ∈ X et que x est dans D(A).
En déduire que le problème (1) admet une solution unique.
4– Prouver que A est un isomorphisme de D(A) dans Y de domaine dense.
5– On suppose que X = H01 (Ω) est muni de la semi norme (qui est une norme!) et que Y = L2 (Ω) est muni
de sa norme naturelle, où Ω est un domaine régulier de Rd .
Déterminer avec précision l’opérateur A (son domaine et son expression).
6– On suppose qu’il existe une base orthonormée (en )n de l’espace Y telle que en ∈ D(A) et Aen = λn en .
Vérifier que λn > 0 et que par consequent (en )n est une base othogonale de X et calculer ken kX .
7– Etablir que
x=
X
xn en ∈ D(A) ⇐⇒
X
X
X
n
x=
λ2n x2n < ∞,
n
xn en ∈ X
⇐⇒
n
λn x2n < ∞.
n
1
2
On écrit que X = D(A ) et (D(Aθ ))θ∈[0,1] où
n
D(Aθ ) = x ∈ Y,
X
o
2
λ2θ
n xn < ∞
n
définit une famille décroissante d’espaces de Hilbert notée ([X, Y ]1−θ )θ∈[0,1] et appelés espaces d’interpolation
entre X et Y .
Mercredi 15 Juin 2011
Exercice II
Soit Ω un ouvert connexe borné de R2 à frontière Γ régulière.
R
Préliminaire : Soit g ∈ L2 (Ω) vérifiant Ω g dx = 0. On suppose que toute solution w ∈ H 1 (Ω) du problème
(
−∆w = g, dans Ω
∂w
= 0,
sur Γ
∂n
vérifie w ∈ H 2 (Ω) et kwkH 2 (Ω) ≤ CkgkL2 (Ω) , où C est une constante > 0.
On se donne une fonction f ∈ L2 (Ω) et on considère le problème variationnel suivant :

 Chercher u ∈ HZ1 (Ω) tel que
Z
Z
Z
(P )
1
∀
v
∈
H
(Ω),
∇u.∇v
dx
+
λ
u
dx
v
dx
=
f v dx

Ω
Ω
Ω
Ω
où λ est un réel ≥ 1.
Partie 1 .— 1.1. Montrer qu’il existe une constante C1 > 0 telle que :
"
2 #
Z
1
2
2
∀v ∈ H (Ω), kvkH 1 (Ω) ≤ C1 |v|H 1 (Ω) + v dx .
Ω
—Indication : raisonner par l’absurde et utiliser la compacité de l’injection canonique de H 1 (Ω) dans L2 (Ω)—.
1.2. En déduire que le problème (P) admet une solution et une seule u vérifiant :
kukH 1 (Ω) ≤ C2 kf kL2 (Ω)
où C2 est une constante > 0 indépendante de λ.
1.3. Montrer qu’il existe une constante C3 > 0 indépendante de λ telle que :
Z
u dx ≤ C3 kf kL2 (Ω)
λ
Ω
1.4. Ecrire (formellement) le poblème fort associé à (P).
1.5. En déduire que la solution u de (P) est dans H 2 (Ω) et vérifie kukH 2 (Ω) ≤ C4 kf kL2 (Ω) , avec C4 une
constante > 0 indépendante de λ.
Partie 2.— On note désormais uλ la solution du problème (P). On définit l’espace
Z
n
o
W = v ∈ H 1 (Ω),
v(x) dx = 0 ,
Ω
et on désigne par u l’unique solution du problème

 Chercher uZ∈ W tel que Z
(P 0 )
∇u.∇v dx =
f v dx
 ∀ v ∈ W,
Ω
Ω
—Ce problème est bien posé (à ne pas démontrer).—
R
2.1. On suppose que Ω f (x) dx = 0. Montrer que pour tout λ ≥ 1 la solution uλ coı̈ncide avec u.
R
2.2. Dans le cas où l’hypothèse Ω f (x) dx = 0 n’est plus vérifiée, prouver que
Z
∀ v ∈ W,
∇(uλ − u).∇v dx = 0.
Ω
En déduire que
1
λ(uλ − u) =
|Ω|2
Z
f (x) dx,
Ω
et que
kuλ − ukH 1 (Ω) ≤
C
kf kL2 (Ω) ,
λ
avec C > 0 une constante indépendante de λ.
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