Cours de statistique des valeurs extrêmes séries d\exercices 1

Cours de statistique des valeurs extrêmes
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séries d’exercices
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1) Enoncé des exercices corrigés
Exercice 1 (Constante d’une densité de probabilité)
2
On considère la fonction f (x) = k exp 2x ; x 2 R où k est une constante.
Pour quelle valeur de k f dé…nit-elle la densité de probabilité d’une v.a.c. X?
Exercice 2 (espérance de vie d’une population)
On suppose que la durée de vie d’un individu dans une population donnée est
modélisée par une v.a.c. X dont la fonction densité de probabilité est donnée par:
kx2 (100 x)2 si 0 x 100
f (x) =
où k est une contante positive.
0
si non
1. Déterminer la valeur de k.
2. Calculer la probabilité qu’un individu meure entre 60 ans et 70 ans.
3. Quelle est l’espérance de vie d’un individu dans cette population?
Exercice 3 (loi normale )
Dans une université on suppose que la variable "taille" (en centimètres) des étudiants suit une loi normale de moyenne 175 et de variance 64. Déterminer la proportion
des étudiants
a) dont la taille excède 183 cm.
b) mesurant moins de 165 cm.
c) dont la taille est comprise entre 180 cm et 185 cm.
Exercice 4 (fonction caractéristique d’une exponentielle)
Soit X une variable aléatoire réelle dont la densité de probabilité est dé…nie par :
f (x) = k:e jxj ; x 2 R où k est une constante.
1
a) Déterminer la valeur de k.
b) Calculer l’espérance mathématique E(X) et la variance V(X) :
c) Construire la fonction caractéristique de X.
Exercice 5 (densités marginales exponentielles)
Soit (X; Y ) le couple de variables aléatoires réelles de fonction densité conjointe
fXY (x; y) = 2e x y avec 0 < x < y
1. Déterminer les fonctions densités marginales fX et fY :
2. Déterminer les fonctions de répartition marginales FX et FY :
3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes?
Exercice 6 (construction d’une copule)
Déterminer les distributions marginales F(x) et G(y) associées à la distribution
H(x,y) puis construire la copule C(u,v) associée à H par le théorème de Sklar.
8
(x + 1)(ey 1)
>
<
sur [ 1; 1] [0; +1]
x + 2ey 1
a) H(x; y) =
y
1 e
sur ]1; +1[ [0; +1[
>
:
0
ailleurs:
n h
1 io
b) H (x; y) = exp
(x + y)
x +y
;
1
c) H (x; y) = [1 + e
x
+e
y
+ (1
)e
x y
]
1
;
[ 1; 1]
Exercice 7 (générateur archimédien)
En supposant que la fonction ' suivant est un générateur archimédien construire
la copule C associée:
1
(1
t
t)
ln 1
(1
t)
a) ' (t) = ln
b) ' (t) =
c) ' (t) = 1 ln(1
d) ' (t) =
1
ln 2t
2
ln t) avec
avec
[1; +1[
2]0; 1]
1 ; 2]0; 1] .
2
e) ' (t) = (t
1
1)
f) ' (t) = arcsin(1
1
avec
2 [1; +1[
t ) avec 2]0; 1]
Exercice 8(copule de distribution extrême)
Construire la copule C (u; v) associée à la distribution G (x; y)
io
n h
1 y2
; 2 [0; 1]
1. G (x1 ; x2 ) = exp
y1 + y2 y1y+y
2
2. G ; (x1 ; x2 ) = exp (y1 + y2 )
1; + 3
y1 y2 fy1 ( + ) + y2 ( + 2 )g
(y1 + y2 )2
;
0; +2
0
8 2
<
4y1 + y2
3. G ; (x1 ; x2 ) = exp
:
39
=
5
1
;
y1 + y2
0; 2]0; 1]
4. G ; (x1 ; x2 ) = exp
y1 q 1
y2 (1 q)1
; 0 < et < 1: où q = q(y1 ; y2 ; ; )
est la solution de l’équation : (1
)y1 (1 q)
(1
)y2 q = 0
8
9
1
<
=
2
5. G ; (x1 ; x2 ) = exp
y1 + y2 + (y1 y2 )
:
;
Exercice 9 (tau de Kendall)
1. Calculer le tau de Kendall : associé à la copule C de Gumbel-Morgenstern
C (u; v) = uv + uv(1 v)(1
)
2. Déterminer en fonction de son générateur ' l’expression du tau de Kendall d’une
copule archimédienne.
3. Déterminer en fonction de ses dérivées partielles @C(u;v)
et @C(u;v)
l’expression
@u
@v
du tau de Kendall d’une copule singulière ou présentant à la fois une composante
singulière et une composante absolument continue.
Exercice 10 ( rho de Spearman)
Calculer le rho de Spearman associé à la copule C dans les cas suivants :
1. C (u; v) = uv + uv(1
2. C
;
3. C
;
= M + (1
(u; v) =
) copule de Gumbel-Morgensternon
v)(1
) + W; membre de la famille de Fréchet
u1 v si u
uv 1 si u
v
v
; famille de Marshall-Olkin
3
2) Correction des exercices
Exercice 1
f (x) = k exp
x2
2
; x 2 R où k est une constante
2
8x 2 R; f (x) 0 =) k 0 car 8x 2 R; exp 2x > 0 donc il faut que k soit
positive
R +1
Il su¢ t de véri…er la condition:
f (x)dx = 1:
1
i
hR
i2
hR
i
hR
R
R
+1
+1
+1
1
2
2
2 +1
2 +1
(x
+
y
)
dx
dy:En
f
(x)dx
=
k
f
(x)f
(y)dx
dy
=
k
exp
2
1
1
1
1
1
faisant le changement de variables: x = r cos et y = r hsin et utilisant
i2 la formule
R +1
R hR +1
1 2
2 2
de changement de variables d’une intégrale on obtient:
f (x)dx = k 0
r exp
r
2
1
0
R
R
+1
2
+1
2
1
1
k 2 0 d 0 r exp
r2 dr = k 2 [ ]0 exp
r2 0
2
2
1
1
2
=) 2 k 2 = 1 =) k = p : Par suite f (x) = p exp 2x ; x 2 R; fonction
2
2
densité de loi normale standard ou centrée réduite .
Exercice 2
1) Valeur de k
f densite =) 8x 2 R; f (x) 0
=) k 0 donc k doit être positive.
8x 2 R; x2 (100 x)2 0
R +1
Il reste à véri…er la condition:
f (x)dx = 1:
1
R +1
R 100 2
R 100 4
x5 102 4 104 3
2
3
4 2
f
(x)dx
=
k
x
(100
x)
dx
=
k
(x
200x
+10
x
)dx
=
k
x +
x
1
0
0
5
2
3
1010 1010 1010
k 109
k
+
=
5
2
3
3
R +1
k:109
Or
f (x)dx = 1 =)
= 1 soit k = 3 10 9 et donc par suite on a :
1
3
3 10 9 x2 (100 x)2 si 0 x 100
f (x) =
0
si non
2) La probabilité qu’un individu meure entre 60 ans et 70 ans est p = P (60 X 70) =
70
R 70
R 70 2
x5 102 4 104 3
2
f
(x)dx
=
k
x
(100
x)
dx
=
k
x
+
x
60
60
5
2
3
60
5
5
2
4
70
60
10
10
=) p = 3 10 9
(704 604 ) +
(703 603 ) = 0; 1561
5
5
2
3
Conclusion : 15,60% de la population
R +1 meurre entre 60 et 70 ans.
3) L’espérance de vie est E (X) = 1 xf (x)dx
4
100
0
E (X) =
R +1
1
R 100 3
R 100
x (100 x)2 dx = k 0 [x5
0 "
#
4
1012 2:1012 1012
=k
+
6
5
4
xf (x)dx = k
100
200x4 + 104 x3 ] dx =
2:102 5 104 4
x +
x
5
4
0
1011
1011
=) E (X) = k
: Or k = 3 10 9 par suite: E (X) = 3
10
6
6
Conclusion: L’espérance de vie est de 50 ans dans cette population.
x6
k
6
9
= 50
Exercice 3
On note X la variable Taille, avec X
N (175; 64). Soit X la variable centrée
X 175
réduite associée à X, on a : X =
N (0; 1) de fonction de répartition :
8
1. On calcule la proportion des étudiants dont la taille dépasse 183 cm. p = P (X >
183 175
X 175
183) = P
>
= P (X > 1) = 1 P (X
1) = 1
8
8
(0; 8413) = 0; 1587 = 15; 87%: Conclusion : On a 15,87% des étudiants de
cette université mesurent plus de 183 cm ou on peut estimer que, dans cette
université, 476 (15,87% de 3000) étudiants environ mesurent plus de 183 cm.
2. La proportion p’ des étudiants dont la taille est inférieure à 165 cm est p0 =
X 175
165 175
<
= p(X < 1:25) = ( 1; 25) =
P (X < 165) =P
8
8
1
(1; 25) =) p0 = P (X < 165 = 1 0:8943 = 0:105 7: Environ 11%
des étudiants de cette université mesurent moins de 165 cm soit 317 étudiants
(10,56% de 3000) environ.
3. p" = P (180 < X < 185) = P
180
175
<X <
185
175
= P (0; 63 <
8
8
X < 1; 25) = (1; 25)
(0; 63) =0,8944 – 0,7357 = 0,1587. Environ 16%
des étudiants mesurent entre 180 cm et 185 cm. On peut estimer à environ 476
(15,87% de 3000) le nombre d’étudiants de cette université mesurant entre 180
cm et 185 cm.
Exercice 4
f (x) = k:e jxj ; x 2 R où k est une constante =) f (x) = k:e
k:ex si x 0
k:e x si x 0
a)
R +1
1
f (x)dx = 1 =) 1 =
R0
1
k:ex dx +
5
R +1
0
jxj
=
k:e x dx = 2k =) 1 soit k =
1
2
b)
R +1 x x
x x
e
dx
+
e dx = 0 (x f(x) est une fonction impaire
0
1
2
2
à intégrer sur un domaine fermé et centrée); V (X) = E (X 2 ) [E (X)]2 =
R 0 x2 x
R +1 x2 x
e
dx
+
e =2
0
1
2
2
E (X) =
R0
c) Soit 'X (t) la fonction caractéristique de X. On a: 'X (t) = E (eitx ) =
(intégration deux fois par parties)
1
1+t2
Exercice 5
Dans cet exercice, il faut bien prendre garde au fait que la densité jointe fX,Y (x,
y) du couple (X, Y ) dépend de l’ordre des variables. En e¤et, il y a la condition x <
y qui est imposée dans la dé…nition.
1) Pour x 0, la densité jointe est nulle, donc
celle de X aussi. Prenons
0 et
R +1
R +1 xx >
y
calculons la densité marginale de X : fX (x) = x fXY (x; y)dy = 2 x e
dy =
R
x +1
y
2x
2e
e dy = 2e ; x > 0: C’est la loi exponentielle de paramètre 2.
x
R +1
R +1
De même on a : fX (x) = 0 fXY (x; y)dx = 2 0 e x y dx = 2e y (1 e y ) ; y
0:
2 ) Les fonctions de répartition.
Rx
Pour tout réel x > 0 on a : FX (x) = P (X x) = 0 fX (t)dt = 1 2e 2x
Ry
2
De même FY (y) = P (Y
y) = 0 fy (s)ds = (1 e y ) :
RxRy
3 ) Déterminons la probabilité conjointe P (X x; Y
y) = 0 x fXY (s; t)dsdt
Comme le suggère l’énoncé, il faut tenir compte des deux cas où x y et x > y.
Cette distinction provient du fait qu’il y ait un ordre imposé dans les variables de la
densité jointe. Commençons par supposer que s t, puisque x est compris entre 0 et t,
on peut séparer le premier signe intégral en deux parties
RyRy
Pour x
y . on véri…e que : P (X x; Y
y) = 0 x 2e x y dsdt =
2
(1 e y )
RxRy
Pour x > y on établit que : P (X x; Y
y) = 0 x 2e x y dsdt = (1 e x ) (1
On a FX (x) FY (y) 6= FXY (x; y) donc les deux variables ne sont pas indépendantes.
Exercice 6
8
(x + 1)(ey 1)
>
<
sur [ 1; 1] [0; +1]
y
x
+
2e
1
1. Pour la distribution H(x; y) =
: On
1 e y
sur ]1; +1[ [0; +1[
>
:
0
ailleurs:
véri…e que F 1 (u) = 2u 1 et G 1 (u) = ln(1 v): Par conséquent la copule
uv
; 8u; v 2 I:
associée est telle que: C(u; v) =
u + v uv
6
2e
y
+ e x)
n h
2. Pour tout réel
1; la distribution bivariée H (x; y) = exp
(x + y)
x +y
dé…nie sur [0; +1[ [0; +1[ admet pour marges: F (x) = G(x) = exp( x); 8x 2
[0; +1[ soit 8u 2 [0; 1[; nF 1 (u) = G 1 (u) = ln u: Laocopule associée est telle
1
io
1
que : C (u; v) = uv exp
de Galambos.
( ln u)
+ ( ln v)
;
3. Pour tout réel
[0; 1] ; H (x; y) = [1 + e x + e y + (1
n
associée est : C (u; v) = u+v 1+(1 u) (1 v) exp
1;
1; c’est la copule
1
) e x y ] , la copule
ln (1 u) + ( ln v)
1
o
;
Exercice 7
a) ' (t) = ln
1
(1
t
t)
! C (u; v) =
1
uv
(1 u)(1
v)
; 2 [ 1; 1]
b) ' (t) = ln 1 (1 t) avec
[1; +1[ ! C (u; v) = 1 (1 u) + (1 v)
(1 u)
c) ' (t) = 1 ln(1
ln t) avec 2]0; 1] ! C (u; v) = uv exp( ln u ln v)
1
uv
ln 2t
1 ! C (u; v) =
2]0; 1] .
d) ' (t) =
1 ;
2
[1 + (1 u )(1 v )]
h
i1 1
e) ' (t) = (t 1 1) 1 avec 2 [1; +1[ ! C (u; v) = 1 + u 1 1) + (v 1 1
p
p
f) ' (t) = arcsin(1 t ) avec 2]0; 1] ! C (u; v) = 1 (1 u ) 1 (1 v ) (1 v ) 1
Exercice 8
Copule C associée à la distribution G (x; y)
1. G (x1 ; x2 ) = exp
n h
y 1 y2
y1 +y2
y1 + y2
io
; 2 [0; 1] ;copule : C (u; v) = uvexp
u~v~
u~ + v~
y1 y2 fy1 ( + ) + y2 ( + 2 )g
avec
0; +
(y1 + y2 )2
u~ ( + ) + v~ (2 + )
2
1; + 3
0/ copule : C (u; v) = uvexp u~v~
:
(~
uv~)2
8 2
39
<
=
4y1 + y2
5
3. G ; (x1 ; x2 ) = exp
avec
0; 2]0; 1] copule :
1
:
;
y1 + y2
(
)
2. G ; (x1 ; x2 ) = exp (y1 + y2 )
C ; (u; v) = uvexp
(u~
+~
v
)
1
:
7
4. G ; (x1 ; x2 ) = exp
y1 q 1
y2 (1 q)1
avec 0 < ; < 1 et q = q(y1 ; y2 ; ; )
solution de (1 )y1 (1 q) (1 )y2 q = 0 copule : C ; (u; v) = exp u~q 1 + v~(1 q)1
8
9
1
<
=
h
2
5. G ; (x1 ; x2 ) = exp
y1 + y2 + (y1 y2 )
copule C ; (u; v) = exp
u~ + v~
:
;
Exercice 9
1) Calculer le tau de Kendall : associé à la copule C de GumbelMorgenstern C (u; v) = uv + uv(1 v)(1
)
Solution
c =
2
:En e¤et : 8u; v 2 I; C (u; v) = uv + (u
9
u2 )(v
v 2 ) =)
@ 2 C (u; v)
=1 + (1 2u)(1 2v)
@u@v
@ 2 C (u; v)
=) C (u; v):
= [uv + (u u2 )(v v 2 )] [1 + (1 2u)(1 2v)]
@u@v
2
2
2
3
2
3
= v +Z (u
Z u )(v v )2+ (1 2u)(1 2v) + uv + (u 3u + 2u )(v 3v + 2v
@ C (u; v)
1
2
d’où
C (u; v):
= +
= :
4 18
9
I2
R@u@v
1 '(t)
2) Solution c = 1 + 4 0 '0 (t) dt
R1R1
3) Solution c = 1 4 0 0 @C(u;v)
: @C(u;v)
dudv
@u
@v
Exercice10
i) C (u; v) = uv + uv(1
ii) C
Fréchet)
;
1. iii) C
= M + (1
;
(u; v) =
v)(1
)!
=
) + W; !
u1 v si u
uv 1 si u
v
v
de Marshall-Olkin)
8
3
(copule de Gumbel-Morgensternon)
;
=
!
;
( membre de la famille de
=
1
4
2
+2
(famille
:
+
3) Séries d’exercices non corrigés
Exercice11
Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes de lois Gamma respectives
X1
:
(s; ) et (r; ) On pose Y1 = X1 + X2 et Y2 =
X1 + X2
a) Déterminer la fonction densité conjointe du couple (Y1 ; Y2 ) :
b) En déduire les lois marginales de Y1 et Y2
c) Les variables Y1 et Y2 sont-elles indépendantes?
Exercice12
Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes de lois normales standard
X1
:
N(0,1): On pose Y1 = X12 + X22 et Y2 =
X2
a) Déterminer la fonction densité conjointe du couple (Y1 ; Y2 ) :
b) En déduire les lois marginales de Y1 et Y2
c) Les variables Y1 et Y2 sont-elles indépendantes?
Exercice13
Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes de lois uniformes sur les
X1
intervalles [0; 2] et [ 1; 1] :On pose Y1 = X1 + X2 et Y2 =
:
X2
a) Déterminer la fonction densité conjointe du couple (Y1 ; Y2 ) :
b) En déduire les lois marginales de Y1 et Y2
c) Les variables Y1 et Y2 sont-elles indépendantes?
Exercice14
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois Gamma respectives
(a; 1) et (b; 1) avec a > 0 et b > 0:
9
X
: Montrer que L suit une loi beta de seconde espèce de paramètres
Y
1
za 1
a et b dont la fonction densité associée est fL (z) =
;z > 0
B(a; b) (1 + z)a+b
Z +1
Z +1
xa 1 dx
avec B(a; b) =
=
xa 1 (1 x)b 1 dx:
a+b
(1 + x)
0
0
a) On pose L =
L
: Montrer que T suit une loi beta de première espèce de
1+L
1
paramètres a et b dont la fonction densité est fT (t) =
ta 1 (1 t)b 1 ; t 2
B(a; b)
[0; 1] :
b) On pose T =
Exercice 15
a) Etablir que toute combinaison convexe des copules usuelles W; ; W est aussi une
copule i:e:si et sont des nombres réels dans [0; 1] tels que: +
1; alors
2
la fonction C dé…nie de I dans I par 8u; v 2 I; C ; (u; v) = M (u; v)+(1
- ) (u; v) + W (u; v) est une copule.
b) Application: Déterminer la copule dé…nie par :8 2 [ 1; 1]; 8u; v 2 I C (u; v) =
2
2
(1+ )
(1 )
2
M
(u;
v)
+
(1
)
(u;
v)
+
W (u; v): C’est la copule de Mardia.
2
2
10