Traitement du Signal
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Traitement du Signal (2008-2009) - FIP 1A Christophe DOIGNON Maı̂tre de Conférences HdR Université Louis Pasteur de Strasbourg Bureau C418 - ENSPS, Pôle API Boulevard Brant, 67412 Illkirch, France 03 90 24 43 41 courriel : [email protected] ULP (a) (b) Figure 1 – (a) Tour de Chappe. (b) Claude Chappe. La tour de Chappe (a) est le premier réseau de télécommunications au monde. La station de Saverne, reconstruite en 1968, faisait partie de la ligne télégraphique qui reliait Paris à Strasbourg à partir du 31 mai 1798. Claude Chappe (Fig. 1-b), né le 25 décembre 1763 à Brûlon en France et mort le 23 janvier 1805 à Paris, fut un inventeur qui démontra la communication pratique par sémaphore. Il fut le premier entrepreneur des télécommunications dans l’histoire de l’humanité. Avec son frère Ignace, il détermina par expérimentation que les angles d’une perche étaient plus faciles à voir que la présence ou l’absence de panneaux. Le sémaphore était constitué de deux bras connectés par une traverse (Fig. 1-a). Chaque bras avait sept positions et la traverse quatre soit un code total de 196 positions. Les bras avaient de un à quatre mètres de long, noirs, avec des contrepoids déplacés par deux poignées. Des lampes montées sur les bras ne furent pas d’une utilisation nocturne satisfaisante. Les tours de relais étaient placées de 12 à 25 km entre elles. Chaque tour avait deux téléscopes pointant de chaque côté de la ligne. En 1791, les premiers messages furent envoyés avec succès entre Paris et Lille par l’intermédiaire de quinze stations. Le 1er septembre 1794, la ligne de sémaphore informa les Parisiens de la victoire de Condé-sur-l’Escaut sur les Autrichiens moins d’une heure après l’évènement. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 3 ULP Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 4 Table des matières Bibliographie 7 1 Introduction 9 2 Représentation des Signaux Déterministes 2.1 Signaux particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Fonction signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Fonction échelon (unité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Fonction rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Fonction triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Fonction sinus cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Impulsion unité (distribution de Dirac) . . . . . . . . . 2.1.7 Fonction ”peigne de Dirac” (fonction d’échantillonnage) 2.2 Energie et Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Analogie électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Energie d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Puissance moyenne d’un signal . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Classification des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Signaux à énergie finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Signaux à puissance moyenne finie . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Causalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Transformations fréquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Théorème de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Corrélation et densités spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Signaux à énergie finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Signaux à puissance moyenne finie . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Densités spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4 Théorème de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 16 16 17 17 18 18 20 21 21 21 21 22 22 22 23 23 25 27 27 29 29 30 32 32 32 33 33 34 ULP TABLE DES MATIÈRES 3 Filtrage analogique 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Filtres stables physiquement réalisables 3.1.2 Fréquence de coupure et bande passante 3.1.3 Transformations de fréquences . . . . . 3.2 Synthèse des filtres analogiques . . . . . . . . . 3.2.1 Les filtres idéaux . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Les filtres réalisables classiques . . . . . 3.2.3 Gabarits normalisés . . . . . . . . . . . 3.2.4 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Filtres polynômiaux . . . . . . . . . . . 3.2.6 Filtres elliptiques . . . . . . . . . . . . . 3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 38 39 40 40 41 41 44 46 46 47 57 59 4 Modulation, démodulation 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Modulation d’amplitude (AM) . . . . . . . . . . . 4.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Spectre du signal modulé . . . . . . . . . . 4.2.3 Puissance moyenne transmise . . . . . . . . 4.2.4 Démodulation AM . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Modulation sans porteuse . . . . . . . . . . 4.2.6 Modulation à bande latérale unique (BLU) 4.3 Modulation de fréquence . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Spectre du signal modulé . . . . . . . . . . 4.3.3 Modulateurs FM . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Démodulateurs FM . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 65 65 66 67 67 68 69 70 70 71 75 75 81 Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - . . . . . . . . . . . . Septembre, 2008 - 6 Bibliographie [1] B. Picinbono, Théorie des signaux et des systèmes, 1989, 260 pages, Dunod Université. ISBN 2-04-018837-1. [2] F. de Coulon, Théorie et traitement des signaux, Dunod, Paris, 1985. [3] J. Max et J.-L. Lacoume, Méthodes et techniques de traitement du signal et application aux mesures physiques, Masson, Paris, 1996. [4] J.-P. Delmas, Eléments de théorie du signal : les signaux déterministes, Ellipses, Paris, 1991. [5] M. Labarrère, J.-P. Krief et B. Gimonet, Le filtrage analogique, Cépaduès éditions, Toulouse, 1982. [6] P. Duvaut, Traitement du signal : concepts et applications, Hermès, Paris, 1991. [7] J. Wade, Codage et traitement du signal, Masson, Paris, 1991. [8] S. Wilson, Digital modulation and coding, Prentice-Hall, Upper Saddle River, 1996. [9] M. Kunt, Traitement numériques des signaux, Dunod, Paris, 1991. [10] M. Bellanger, Traitement numériques des signaux, Masson, Paris, 1991. [11] R. Boite et H. Leich, Les filtres numériques, Masson, Paris, 1990. [12] T. Parks et C. Burros, Digital filter Design, John Wiley & Sons, 1987. [13] K. Castleman, Digital Image Processing, Prentice Hall, 1996. [14] A. Bovik, Handbook of Image and Video Processing, Academic Press, 2000. 7 ULP Traitement du Signal (1) - FIP TABLE DES MATIÈRES - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 8 Chapitre 1 Introduction Joseph Fourier (21 mars 1768 à Auxerre - 16 mai 1830 à Paris) est un mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes appelées séries de Fourier. Il a été instruit par les Bénédictins à l’école militaire d’Auxerre. Il était destiné à l’état monastique, mais il préféra s’adonner aux sciences. Il a participé à la révolution française, manquant de peu de se faire guillotiner durant la Terreur, il a été sauvé de justesse par la chute de Robespierre. Il intègre l’Ecole Normale Supérieure, où il aura comme professeur entre autres Joseph-Louis Lagrange. Fourier est connu pour sa théorie analytique de la chaleur (1822). C’est à Grenoble qu’il conduit ses expériences sur la propagation de la chaleur qui lui permettront de modéliser l’évolution de la température au travers de séries trigonométriques. Ces travaux qui apportent une grande amélioration à la modélisation mathématique de phénomènes ont contribué aux fondements de la thermodynamique. 9 ULP CHAPITRE 1. INTRODUCTION L e Traitement du Signal (TdS) est une discipline indispensable que tout ingénieur doit connaı̂tre. L’amélioration des performances des systèmes au cours des trente dernières années est due, pour une grande part, à l’application des techniques de traitement du signal. C’est le cas notamment en imagerie médicale, en téléphonie et télécommunication. Un système d’imagerie échographique par ultra-sons, l’IRM ou encore les RADAR actuels sont des inventions dont les performances (en termes de précision et de rapidité) sont sans commune mesure avec les premiers prototypes apparus. Les structures matérielles sont sensiblement les mêmes, mais les techniques de traitement de signal faisant appel à des traitements numériques sophistiqués ont été intégrées pour permettre d’extraire de l’écho sonore ou de l’image reconstituée une quantité plus grande d’informations. Les implications en ce qui concerne un diagnostic médical, la surveillance d’une zone aérienne ou sous-marine ou encore la localisation de pannes sont immédiates. L’objectif du traitement du signal apparaı̂t alors comme un outil mathématique employé pour extraire un maximum d’informations utiles sur un signal perturbé par du bruit. Les signaux utiles sont souvent perturbés par des signaux parasites (le bruit) qui les masquent parfois complètement. Pour atténuer, sinon supprimer, ce bruit il faut en connaı̂tre les caractéristiques ainsi que celles du signal utile. C’est pourquoi le traitement du signal est une discipline très mathématique. Les techniques utilisées peuvent être appliquées à un signal analogique (continu) mais compte tenu de leur complexité, un traitement numérique s’impose presque toujours. Il est rendu possible grâce à la puissance des circuits de calculs et des ordinateurs modernes. En ce qui concerne ce cours, nous allons tout d’abord fournir quelques définitions. Dans une première partie (Chapitre 2) nous verrons comment est décrit un signal à temps continu et quels sont les paramètres qui le définissent. Nous étudierons ensuite le comportement d’un signal appliqué à l’entrée d’un système linéaire et comment on peut modifier ce comportement par filtrage linéaire (Chapitre 3) ou par l’emploi de la modulation (Chapitre 4). Le traitement numérique du signal sera abordé en deuxième année. Signal : Support de l’information transmise de sa source à sa destimation. En fonction de la nature du support, on parle par exemple de : – – – – – signal électrique (téléphonie), onde électromagnétique (télécommunication), onde acoustique (sonar), onde lumineuse (fibre optique), signal binaire (ordinateur). On parle également de signal de mesure, de commande, de signaux vidéo, audio, etc...en fonction de la nature de l’information transmise. Théorie du signal : C’est la description mathématique des signaux quelle que soit leur nature et quel que soit le support physique. L’objectif est d’établir une représentation d’un signal en fonction du temps ou de l’espace contenant une information à stocker, à transformer, à transmettre ou à recevoir. La théorie du Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 10 ULP CHAPITRE 1. INTRODUCTION signal ne préjuge pas de la nature physique du signal. Bruit : Toute perturbation superposée à un signal et génant la perception de ce signal. Traitement du signal : A l’aide d’une formulation mathématique adéquate, le traitement du signal à pour principales fonctions de (voir Fig. 1.1) : – Filtrer : éliminer d’un signal des composantes indésirables, – Détecter : Extraire une composante utile d’un signal et/ou du bruit de fond qui lui est superposé, – Analyser : Isoler les composantes et les caractéristiques essentielles d’un signal pour mieux en comprendre la nature, – Mesurer : Estimer la valeur d’une grandeur caractéristique associée au signal. – Régénérer Redonner à un signal qui a été distordu sa forme initiale. – Identifier : Classer un signal observé. – Synthétiser : Créer un signal de forme appropriée. – Moduler : Modifier les caractéristiques d’un signal pour l’adapter à une voie de transmission ou un support d’enregistrement. – Codage : Traduire le signal en langage numérique, réduire les redondances d’informations et lutter contre l’influence du bruit. Domaine d’application – – – – – – – – – Télécommunications, Téléphonie, Radar, Sonar, Traitement d’images, Astronomie, Géophysique, Automatique, .... Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 11 ULP CHAPITRE 1. INTRODUCTION Dans les télécommunications, que ce soit dans le domaine de la téléphonie ou dans le transfert de données numériques terrestres ou via des satellites, la compression des données est primordiale pour exploiter au mieux la bande passante disponible, et minimiser les pertes. La suppression d’échos est un autre domaine d’application. Dans le domaine très spécifique des signaux audio, on cherche à améliorer les techniques d’enregistrement et de compression pour obtenir la plus grande qualité sonore possible. Les techniques de correction d’écho permettent de réduire les effets de réflexions acoustiques dans la pièce. Le traitement du son s’est largement amélioré grâce aux ordinateurs. La synthèse sonore permet en outre de créer des sons artificiels ou de recréer les sons d’instruments naturels. Elle a été à l’origine de nombreux bouleversements en musique. L’analyse des échos permet d’obtenir des informations sur le milieu sur lequel les ondes se sont réfléchies. Cette technique est exploitée dans le domaine de l’imagerie radar ou sonar. En géophysique, en analysant les réflexions d’ondes acoustiques, on peut déterminer l’épaisseur et la nature des strates du sous-sol. Cette technique est utilisée dans le domaine de la prospection minière et dans la prédiction des tremblements de terre. En imagerie, on trouve des applications dans le domaine médical (reconstruction tomographique, imagerie par résonance magnétique - IRM), dans le spatial (traitement de photos satellites ou d’images radar). Ce domaine inclut aussi les techniques de reconnaissance de formes et de compressions. Le traitement de séquences vidéo concerne la compression, la restauration, la réalisation d’effets spéciaux, l’extraction de descripteurs (reconnaissance de formes et textures, suivi de mouvements, caractérisation, etc...) afin de produire des annotations automatiques dans une perspective de bases de données (recherche par le contenu). Système physique Capteur Bruit Canal de transmission Bruit Récepteur Bruit Traitement Information utile + bruit résiduel Figure 1.1 – Synoptique d’une chaı̂ne classique de traitements d’un signal. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 12 ULP Traitement du Signal (1) - FIP CHAPITRE 1. INTRODUCTION - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 13 ULP Traitement du Signal (1) - FIP CHAPITRE 1. INTRODUCTION - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 14 Chapitre 2 Représentation des Signaux Déterministes Heinrich Rudolf Hertz (22 février 1857 - 1er janvier 1894), était un ingénieur et physicien allemand. Hertz mit en évidence en 1888 l’existence des ondes électromagnétiques imaginées par James Maxwell en 1873. Il a découvert la photoélectricité et il donné son nom aux ondes radio dites ondes hertziennes ainsi qu’à l’unité de mesure des fréquences. 15 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES L es signaux déterministes renferment une information dont l’évolution en fonction du temps peut être parfaitement prédite par un modèle mathématique (au contraire des signaux aléatoires/stochastiques). 2.1 Signaux particuliers Nous présentons dans cette section quelques fonctions mathématiques ainsi que leurs propriétés, supports de signaux élémentaires et utilisées tout au long du cours de traitement du signal. 2.1.1 Fonction signe −1 si t < 0 a si t = 0 sgn(t) = 1 si t > 0 (2.1) avec a quelconque (par convention a = 0). On a alors : sgn(t) = t |t| ∀ t 6= 0 . (2.2) sgn(t) 1 0 t −1 2.1.2 Fonction échelon (unité) 1 0 Γ(t) = a si t > 0 si t < 0 si t = 0 (2.3) avec a quelconque (par convention a = 1/2). On a alors : Γ(t) = 1 1 + sgn(t) . 2 2 (2.4) Γ( t) 1 0 t Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 16 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES 2.1.3 Fonction rectangle 0 1 rect(t) = a si |t| > 1/2 si |t| < 1/2 si |t| = 1/2 (2.5) avec a quelconque (par convention a = 1/2). On a alors : rect(t) = Γ(t + 1/2) − Γ(t − 1/2) (2.6) rect(t) 1 0 −1/2 1/2 t Propriété : la fonction rect(t) est normalisée, car la surface (sous la courbe) est unitaire. Question 1 : Tracer la fonction (porte) A rect( t−τ T ) . Question 2 : Calculer 2.1.4 R +∞ −∞ rect(t) dt . Fonction triangle tri(t) = 1 − |t| si |t| ≤ 1 0 si |t| > 1 (2.7) tri(t) 1 0 −1 1 La fonction triangle est elle aussi normalisée : Traitement du Signal (1) - FIP t R +∞ −∞ - Christophe DOIGNON - tri(t) dt = 1 . Septembre, 2008 - 17 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES 2.1.5 Fonction sinus cardinal sin(π t) πt sinc(t) = 1 (2.8) 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.2 0.4 0 0.2 −0.2 −0.4 −4 −2 0 2 0 −4 4 −2 (a) 0 2 4 (b) Figure 2.1 – (a) fonction sinc(t). (b) fonction sinc(t)2 . La fonction sinus cardinal est elle aussi normalisée : R +∞ D’autre part, on a : −∞ sinc2 (t) dt = 1. 2.1.6 R +∞ −∞ sinc(t) dt = 1 . Impulsion unité (distribution de Dirac) Mathématiquement, c’est une fonction (distribution) définie par Z +∞ f (t) δ(t) dt = f (0) , (2.9) −∞ quelle que soit la fonction f (t). δ( t ) 1 0 t La fonction de Dirac est normalisée : Z +∞ δ(t) dt = 1 . (2.10) −∞ D’autre part, on a : Z t δ(τ ) dτ = −∞ 0 1 si t < 0 si t > 0 = Γ(t) (2.11) On dit que Γ(t) est la primitive de δ(t) ou bien que δ(t) est la dérivée de Γ(t) (au sens des distributions). L’impulsion de Dirac est un signal non réalisable. Physiquement, on a coutume de modéliser une impulsion de Dirac par un signal Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 18 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES rectangle (porte) dont la largeur tend vers 0 et l’amplitude tend vers l’infini. Impulsion dédiée A δ(t − T ) : A δ (t−T) A 0 t L’impulsion de Dirac est égale à la limite de nombreuses familles de fonctions, ainsi : limT →+∞ T1 rect( Tt ) δ(t) = limT →+∞ limT →+∞ 1 T 1 T tri( Tt ) (2.12) sinc( Tt ) Proprétés de la fonction de Dirac 1. δ(t) = 0 si t 6= 0, 2. f (t) δ(t) = f (0) δ(t) 3. δ(k t) = 1 |k| et f (t) δ(t − T ) = f (T ) δ(t − T ), δ(t) . Réponse impulsionnelle La réponse impulsionnelle est simplement définie comme étant la réponse d’un système physique dont l’entrée est une impulsion de Dirac. Elle permet de caractériser les systèmes linéaires dans le domaine temporel. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 19 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES 2.1.7 Fonction ”peigne de Dirac” (fonction d’échantillonnage) La fonction δT (t) est définie par : δT (t) = k=+∞ X k=−∞ δ(t − kT ). (2.13) Cette fonction est appelée ”fonction d’échantillonnage” car selon la propriété 2 (voir ci-dessus) on a, pour tout signal f (t) : f (t) δT (t) = k=+∞ X k=−∞ f (kT ) δ(t − kT ). δ ( t) (2.14) f(t) δ ( t ) T T f(3T) f(−3T) f(−2T) f(−T) 1 1 f(T) 0 −3T −2T −T T 2T 3T f(2T) 0 t −3T −2T (a) −T T 2T 3T t (b) Cela revient à ne retenir que les valeurs de la fonction continue f (t) aux instants d’échantillonnage, à savoir aux instants t = T , 2T , 3T ... Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 20 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES 2.2 Energie et Puissance 2.2.1 Analogie électrique i(t) v(t) R=1 Puissance instantanée : p(t) = v(t) i(t) = v(t)2 si R = 1 Ohm. Ainsi, l’énergie dissipée par un courant pendant un intervalle [t1 , t2 ] est définie par : W(t1 , t2 ) = Z t2 p(t) dt . (2.15) t1 La puissance moyenne pendant ce même intervalle est P(t1 , t2 ) = 2.2.2 W(t1 ,t2 ) t2 −t1 . Energie d’un signal Soit x(t) un signal quelconque (fonction complexe), – L’énergie sur [t1 , t2 ] est définie par : Wx (t1 , t2 ) = – L’énergie totale est définie par : Z Wx = Z t2 t1 +∞ −∞ |x(t)|2 dt . (2.16) |x(t)|2 dt . (2.17) où la notation |x(t)|2 signifie x(t) x? (t) . 2.2.3 Puissance moyenne d’un signal Soit x(t) un signal quelconque (fonction complexe), – La puissance moyenne sur [t1 , t2 ] est définie par : 1 Px (t1 , t2 ) = t2 − t1 Z t2 t1 |x(t)|2 dt . (2.18) – La puissance moyenne totale est définie par : 1 T →+∞ T Px = lim Traitement du Signal (1) - FIP Z +T /2 −T /2 |x(t)|2 dt . - Christophe DOIGNON - (2.19) Septembre, 2008 - 21 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES Cas particulier des signaux périodiques de période T0 x(t) = k=+∞ X k=−∞ xp (t − kT0 ) , (2.20) où xp (t) est le signal sur une période T0 , alors la puissance moyenne sur une période est égale à : 1 Px = T0 2.3 2.3.1 Z +T0 /2 −T0 /2 1 |x(t)| dt = T0 2 Z +∞ −∞ |xp (t)|2 dt . (2.21) Classification des signaux Signaux à énergie finie Un signal x(t) est dit à énergie finie s’il est de carré sommable, c’est-à-dire si Z +∞ Wx = |x(t)|2 dt < ∞. (2.22) −∞ Ce qui implique que Px = 0 . 2.3.2 Signaux à puissance moyenne finie Un signal x(t) est dit à puissance moyenne finie si 1 Px = limT →+∞ T Z +T /2 −T /2 |x(t)|2 dt < ∞. (2.23) Cas des signaux périodiques de période T : Px = 1 T Z t0 +T /2 t0 −T /2 |x(t)|2 dt < ∞ . (2.24) Si Px 6= 0, alors Wx = ∞ (signal à énergie totale infinie). Exemple : Calculer la puissance moyenne du signal réel et sinusoı̈dal représenté par la fonction x(t) = A cos(ωt + φ). Px = ω 2π Traitement du Signal (1) - FIP Z π/ω A2 cos2 (ωt + φ) dt = −π/ω - Christophe DOIGNON - A2 . 2 Septembre, 2008 - 22 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES 2.3.3 Causalité Un signal x(t) est dit causal ssi x(t) = 0 , ∀ t < 0 . Un signal x(t) est dit anti-causal ssi x(t) = 0 , ∀ t > 0 . x(t) 0 t signal complet 0 t partie causale de x(t) 0 t partie anti−causale de x(t) Remarque : Dans le cas d’un filtre que l’on veut réaliser en temps réel, il va de soit que sa réponse ne peut être que postérieure à l’excitation. C’est pourquoi, on imposera que sa réponse impulsionnelle soit causale. 2.3.4 Parité Un signal x(t) est pair si x(t) = x(−t). Un signal x(t) est impair si x(t) = −x(−t). Tout signal réel x(t) est la somme d’un signal pair xp (t) et d’un signal impair xi (t) : – x(t) = xp (t) + xi (t), – xp (t) = x(t)+x(−t) , 2 – xi (t) = x(t)−x(−t) , 2 Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 23 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES Exemples : - Quelle est la parité des signaux x(t) = e−αt sin(ωt + φ) (sinusoı̈de atténuée) 2 (gauche) et x(t) = e−αt sin(ωt + φ) (droite) représentés ci-dessous pour les valeurs α = 0.25, φ = π/6 et ω = 3 rad/s : 15 1 10 0.5 5 0 0 −0.5 −5 −10 −10 −5 0 5 −1 −10 10 −5 0 5 2 +y 2 ) - Quelle la parité du signal bi-dimensionnel z(x, y) = sinx(x 2 +y 2 ci-dessous : 10 représenté 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 25 20 25 15 20 15 10 10 5 5 0 Traitement du Signal (1) - FIP 0 - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 24 ULP 2.4 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES Produit de convolution On appelle produit de convolution entre deux fonctions x(t) et h(t), l’opération ? (notée également ⊗) définie par : (x ? h)(t) = Z +∞ −∞ x(τ ) h(t − τ ) dτ (2.25) Si la réponse impulsionnelle d’un système linéaire (comme un filtre, par exemple) est représentée par la fonction h(t), la sortie du signal y(t) s’obtient comme le produit de convolution de l’entrée x(t) avec la réponse implusionnelle h(t). x(t) Système linéaire y(t) h(t) : réponse impulsionnelle y(t) = x(t) * h(t) La convolution est l’effet que produit un instrument de mesure qui donne d’un phénomène physique non pas une réponse nette, mais un peu floue. L’image d’un point dans un instrument d’optique n’est jamais réellement un point mais une tâche. Dans le domaine électronique, on retrouve le même phénomène : une impulsion infiniment brève appliquée à l’entrée d’un amplificateur ne donne jamais en sortie une impulsion brève, mais un signal de durée non nulle (d’autant plus étroite que la bande passante de l’appareil est plus élevée). Le produit de convolution représente l’évolution de la valeur de l’aire contenue sous le produit des deux fonctions en fonction du temps. Il exprime la quantité de recouvrement de la fonction x(t) lorsqu’on la déplace sur la fonction h(t). Figure 2.2 – Interprétation du produit de convolution entre f (t) et g(t). Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 25 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES Propriétés – Le produit de convolution est une opération commutative et distributive par rapport à l’addition. – La fonction de Dirac est l’élément neutre du produit de convolution : δ(t − τ ) ? f (t) = f (t − τ ) (2.26) – Le produit de convolution de deux signaux représentés par leurs fonctions temporelles correspond dans le domaine fréquentiel au produit de leurs transformées de Fourier respectives (Théorème de Plancherel). – Si x(t) et y(t) sont des signaux causaux, en écrivant les inégalités qu’ils vérifient x(τ ) = 0 ∀τ <0 y(t − τ ) = 0 ∀ τ > t on obtient une expression simplifiée et très utile de la convolution : (x ? y)(t) = Z 0 Traitement du Signal (1) - FIP t x(τ ) y(t − τ ) dτ - Christophe DOIGNON - (2.27) Septembre, 2008 - 26 ULP 2.5 2.5.1 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES Transformations fréquentielles Transformée de Fourier La représentation temporelle peut être suffisante dans les cas où la forme du signal et la nature du traitement restent simples. Dans la réalité, les signaux n’ont pas toujours une forme simple soit en raison de la nature de l’information qu’ils portent, soit en raison du traitement qu’ils doivent subir. L’unique représentation du signal en fonction du temps s’avère insuffisante : elle ne permet plus d’interpréter correctement l’information. Dans de tels cas, la représentation du signal en fonction de la fréquence est très utile. La transformée de Fourier est un outil mathématique qui permet d’établir une dualité entre deux représentations différentes d’un signal mais complémentaires au niveau de l’interprétation des résultats. Elle effectue le passage du domaine temporel au domaine spectral (fréquentiel). Son résultat est appelé spectre d’un signal. La transformée de Fourier du signal x(t) , notée F [x(t)] = X(ω), est définie par : Z +∞ x(t) e−2jπf t dt , (ω = 2πf ) (2.28) F [x(t)] = X(ω) = −∞ R +∞ Elle existe si x(t) est de classe L1 ( −∞ |x(t)|dt < +∞) et si le signal présente un nombre fini de discontinuités. La transformée de Fourier inverse de X(ω) est le signal x(t) = F −1 [X(ω)] défini par : Z +∞ 1 −1 X(ω) ejωt dω (2.29) x(t) = F [X(ω)] = 2π −∞ X(ω) est une fonction qui est indépendante du temps. C’est une fonction complexe que l’on peut écrire sous la forme module et phase : X(ω) = |X(ω)| exp(jφ(ω)) ou sous la forme de partie réelle et de partie imaginaire : X(ω) = Re(X(ω)) + j Im(X(ω)) avec Z +∞ Z +∞ Re(X(ω)) = x(t) cos(ωt) dt et Im(X(ω)) = x(t) sin(ωt) dt . −∞ −∞ (2.30) On énonce ci-dessous quelques propriétés importantes concernant la transformée de Fourier : 1. La transformée de Fourier est inversible si x(t) est un signal à énergie finie. 2. Linéarité : F [a x(t) + b y(t)] = a X(ω) + b Y (ω) 3. Changement d’échelle : F [x(at)] = 1 |a| X( ωa ) 4. Translation en temps : F [x(t − a)] = X(ω) e−jωa (retard, si a > 0), Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 27 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES 5. Translation en fréquence : F [x(t) ejω0 t ] = X(ω − ω0 ) , n n X(ω), 6. Dérivation : F [ d dtx(t) n ] = (jω) 7. Intégration : X(ω) = 1 jω de x(t) (x̄ = limT0 →+∞ F [ dx(t) dt ] + 2π x̄ δ(ω) où x̄ est la valeur moyenne R T0 /2 1 −T0 /2 x(t) dt), T0 8. Conjugaison : F [x? (t)] = X ? (−ω), 9. Dualité : F [x(t)] = Y (ω) → F [y(t)] = 2πX(−ω), 10. Parité : x(t) = xp (t) + xi (t) → X(ω) = F [xp (t)] + F [xi (t)], 11. Si x(t) est réel, alors Re(X(ω)) = F [xp (t)] est une fonction réelle et j Im(X(ω)) = F [xi (t)] est une fonction imaginaire. 12. Si x(t) est réel pair, alors X(ω) est réel pair. Si x(t) est réel impair, alors X(ω) est imaginaire impair. 13. F [δ(t)] = 1, 14. F [1] = 2π δ(ω), 15. F [δ(t − τ )] = e−jωτ , 16. F [ejω0 t ] = 2π δ(ω − ω0 ), 17. F [cos(ω0 t)] = π δ(ω − ω0 ) + π δ(ω + ω0 ), Ainsi, la translation temporelle (propriété 4) ne change pas le module de la transformée de Fourier, mais introduit un déphasage sur le spectre complexe. On appelle également cette propriété ”propriété de modulation”. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 28 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES La transformée de Fourier d’un signal gaussien est une gaussienne : F [e −at2 ]= r π − π2 f 2 = e a a 1 r π − 1 ω2 e 4a a (2.31) 1.8 1.6 0.8 1.4 1.2 0.6 1 0.8 0.4 0.6 0.4 0.2 0.2 0 −4 −2 0 2 4 Transformée 0 −1 −0.5 0 0.5 1 Figure 2.3 – Transformée de Fourier d’un signal gaussien (a = 1). 2.5.2 Théorème de Plancherel Ce théorème met en exergue la dualité entre temps et fréquence. Il s’énonce ainsi : La transformée de Fourier d’un produit de convolution de leurs fonctions temporelles est le produit des transformées de Fourier : ( TF x(t) ? y(t) −−→ X(f ) Y (f ) (2.32) TF 1 x(t) y(t) −−→ 2π X(f ) ? Y (f ) 2.5.3 Transformée de Laplace A l’origine de la transformation de Laplace, on trouve l’idée que, si une fonction x(t) n’est pas sommable en valeur absolue, il est néanmoins intéressant de définir la transformée de Fourier du produit x(t) e−σt , du moins s’il existe un nombre réel σ tel que le produit ci-dessus soit sommable en valeur absolue. Considérons donc une fonction x(t) et un intervalle Σ, tels que pour le réel σ ∈ Σ, l’intégrale Z +∞ −∞ |x(t) e−σt | dt (2.33) converge. On définit alors la transformée de Laplace bilatérale X(s) de x(t) : L[x(t)] = X(s) = Z +∞ x(t) e−st dt (2.34) −∞ où s est une variable complexe s = σ + jω. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 29 ULP 2.6 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES Série de Fourier Soit une fonction complexe x(t) représentant. x(t) peut se décomposer en une somme infinie de fonctions sinusoı̈dales dépendants du temps qui peut être exprimée par une combinaison linéaire de fonctions exponentielles complexes sur l’intervalle temporel [0, T0 = 1/f0] : x(t) = +∞ X −∞ cn ej2πnf0 t , ∀ t ∈ [0, T0 ] , (2.35) n étant une valeur entière. Les coefficients de la série de Fourier, cn , sont indépendants du temps et s’expriment de la manière suivante : Z T0 Z T0 /2 1 1 −j2πnf0 t x(t) e dt = cn = x(t) e−j2πnf0 t dt . (2.36) T0 0 T0 −T0 /2 Si x(t) est périodique de période T0 = f10 , f0 représente la fréquence du fondamental et nf0 (n > 1) représente la fréquence des différents harmoniques. Dans un contexte d’étude réduit aux signaux à énergie finie, on introduit ici une bijection entre deux représentations de ces signaux : l’une temporelle et l’autre fréquentielle. Si ces signaux sont périodiques et donc à énergie infinie sur R, il n’existe plus de transformée de Fourier au sens des fonctions, mais ces signaux, pourvu qu’ils soient continus, admettent une décomposition en série de Fourier ; ce qui nous permet de conserver une représentation fréquentielle aux moyens des coefficients descriptifs de la série. Mais au-delà de ses applications en traitement du signal, la série de Fourier est un outil mathématique puissant pour approcher n’importe quelle fonction (voir Fig. 2.4 pour un exemple avec la fonction porte). L’ensemble des valeurs cn (en général complexes) constitue le spectre du signal ; qui est alors discret. Ces valeurs désignent l’amplitude et la phase des harmoniques (multiples du fondamental). L’exemple type est la fonction sinus qui n’a pas de transformée de Fourier au sens des fonctions, mais qui se décompose aisément (et pour cause) en série (trigonométrique) de Fourier pour obtenir deux coefficients (b1 et b−1 ) qui correspondent à deux Dirac fréquentiels. Remarques : – c0 = 1 T0 R T0 0 x(t) dt = valeur moyenne de x(t) sur [0, T0 ] . – Si x(t) est un signal réel, alors c−n = c?n . – Si x(t) est périodique de période T0 , alors x(t) = x(t + T0 ) et x(t) = +∞ X −∞ cn ej2πnf0 t , ∀ t . (2.37) – On peut décomposer x(t) sous la forme équivalente à (2.35) : x(t) = a0 + +∞ X (an cos(2πnf0 t) + bn sin(2πnf0 t)) (2.38) 1 Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 30 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES avec – an = 2 T0 2 T0 R T0 0 R T0 – bn = 0 ω0 = 2πf0 . et cn = an −jbn 2 2 T0 −T0 /2 x(t) cos(nω0 t) dt R T0 /2 −T0 /2 x(t) sin(nω0 t) an +jbn 2 pour n < 0 et c0 = a0 . x(t) sin(nω0 t) dt = pour n > 0, cn = R T0 /2 2 T0 x(t) cos(nω0 t) dt = dt avec – Si le signal x(t) est pair, alors les coefficients bn sont tous nuls. Si le signal x(t) est impair, alors les coefficients an sont tous nuls. – Interprétation : la forme complexe de la décomposition en série de Fourier est la formulation la plus usuelle. Elle fait apparaı̂tre des harmoniques de fréquences positives et négatives qui servent mathématiquement à reconstituer l’ensemble du signal. Néanmoins, cette décomposition n’a pas de réalité physique en ce qui concerne la partie associée aux fréquences négatives. Elle est utilisée en traitement du signal car elle permet bien souvent une simplification des calculs. – On peut montrer que si x(t) de période T0 est continue et que sa dérivée première temporelle x0 (t) est continue par morceaux, alors la série de Fourier de x(t) converge uniformément vers x(t). – La notion de spectre d’un signal périodique est bien connue des musiciens : deux instruments jouant la même note fournissent deux signaux de même fréquence ; ils sont identifiables parce que les amplitudes des harmoniques sont différentes. C’est la répartition des amplitudes sur les divers harmoniques qui est caractéristique d’un instrument : c’est son timbre. (a) (b) Figure 2.4 – Fonction porte approchée par une décomposition en série de Fourier. Ceci permet de mettre en exergue le phénomène de Gibbs (effet de bord observé au voisinage d’une discontinuité). (a) Approximation à l’ordre n = 10. (b) Approximation à l’ordre n = 50. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 31 ULP 2.7 2.7.1 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES Corrélation et densités spectrales Signaux à énergie finie La corrélation est une mesure énergétique de la similitude de forme et de position entre deux signaux décalés. Pour des signaux réels à énergie finie, on définit l’autocorrélation et l’intercorrélation de la manière suivante : Autocorrélation : corrélation entre le signal x(t) et lui-même : Z +∞ γxx (τ ) = x(t) x? (t − τ ) dt . (2.39) −∞ Intercorrélation : corrélation entre le signal x(t) et le signal y(t) : γxy (τ ) = Z +∞ x(t) y ? (t − τ ) dt . −∞ 2.7.2 (2.40) Signaux à puissance moyenne finie Pour des signaux x(t) et y(t) à puissance moyenne finie, on définit l’autocorrélation par la relation : 1 T →+∞ T γxx (τ ) = lim Z +T /2 −T /2 x(t) x? (t − τ ) dt . (2.41) et de même, on définit la fonction d’intercorrélation par : 1 γxy (τ ) = lim T →+∞ T Z +T /2 −T /2 x(t) y ? (t − τ ) dt . (2.42) Proprétés : – γxx (τ ) et γxy (τ ) sont homogènes à une énergie (énergie croisée entre un signal et un autre retardé) ou à une puissance (deuxième définition). – γxy (τ ) = 0 , signifie que les signaux sont totalement décorrelés (signaux orthogonaux), – |γxy (τ )|2 ≤ γxx (τ ) γyy (τ ) (inégalité de Schwartz), – |γxx (τ )| ≤ γxx (0) , ∀ τ : la fonction d’autocorrélation admet une valeur maximale en τ = 0. Comme la fonction d’autocorrélation sert à mesurer le degré de ressemblance entre un signal et sa version décalée dans le temps, intuitivement, on conçoit que la ressemblance est maximale lorsqu’on compare le signal avec lui-même, i.e., lorsque l’on compare le signal avec sa version non décalée dans le temps. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 32 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES 2.7.3 Densités spectrales En un mot, il s’agit des transformées de Fourier des fonctions de corrélation que l’on vient d’aborder (appelés aussi relations de Wiener-Khintchine). On définit alors : Densité interspectrale de puissance : D.S.P.{x(t)} = F [γxx (τ )] = Γxx (f ) . (2.43) Densité spectrale de puissance : D.S.P.{x(t), y(t)} = F [γxy (τ )] = Γxy (f ) . 2.7.4 (2.44) Théorème de Parseval L’identité de Parseval traduit la conservation de l’énergie lors du passage à la transformée de Fourier. On a donc : E= Z +∞ Z +∞ |X(f )|2 df |x(t)| dt = −∞ −∞ | {z } {z } | Domaine temporel Domaine fréquentiel 2 (2.45) Pour les signaux périodiques qui sont à énergie infinie, on calcule dans ce cas la puissance sur une période T0 . En utilisant le développement en série de Fourier qui existe en vertu de la périodicité, on trouve : P = Z 1 T0 T0 x(t) x? (t) dt = 0 +∞ X cn c?n . (2.46) −∞ On en déduit le théorème de Parseval pour des signaux périodiques et qui traduit cette fois-ci la conservation de la puissance : P = Z +∞ −∞ Traitement du Signal (1) - FIP Γ(f ) df = +∞ X −∞ - Christophe DOIGNON - |cn |2 (2.47) Septembre, 2008 - 33 ULP 2.8 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES Exercices 1. Que représente la composante continue d’un signal ? Calculer la moyenne du signal x(t) = A + B sin(2πνt + φ) illustré ci-dessous A Composante continue t Quel est le lien entre le premier terme de la décomposition en série de Fourier d’un signal x(t) et la valeur moyenne de ce signal ? Rep : R 2π 1 – 2π (A + B sin(2πνt + φ) dt = A . 0 – a0 /2 = 1 T RT 0 x(t) dt . 2. Quelle est la transformée de Fourier de la fonction porte illustrée ci-dessous t )) ? (et correspondant à la fonction A rect( 2T x(t) A 0 t −T T (2πf T ) . Rep : X(f ) = 2 A T sin2πf T 3. Décomposer en série de Fourier le signal x(t) illustré ci-dessous : x(t) ε 0 −τ/2 Rep : ak = 2τ T τ/2 sinc kτ T t T ; bk = 0 . 4. Montrer que la transformée de Fourier de sign(t) est Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - 2 jω . Septembre, 2008 - 34 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES 5. Montrer que la transformée de Fourier du signal x(t) = exp(−at) Γ(t) est 1 où a est un réel strictement positif. X(f ) = a+j2πf 6. Quelle la transformée de Fourier de la fonction sin(2t). Représenter son spectre. 7. Quelle la transformée de Fourier du produit d’un signal périodique par un signal à énergie finie : z(t) = x(t) y(t) avec x(t) = x(t + T0 ) ? P+∞ Rep : Z(ω) = n=−∞ cn Y (ω − 2πn T0 ) où les coefficients cn représentent le spectre du signal x(t) sur une période. 8. Calculer l’intégrale suivante (où T = 2π/ω > 0) Z T −∞ Traitement du Signal (1) - FIP δ(x) cos(ωx) dx 1+x - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 35 ULP CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES SIGNAUX DÉTERMINISTES Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 36 Chapitre 3 Filtrage analogique Né à Beaumont-en-Auge (Normandie), le Marquis Pierre Simon de Laplace (1749-1827), fils de cultivateur, s’initia aux mathématiques à l’Ecole militaire de cette petite ville. Il y commença son enseignement. Il doit cette éducation à ses voisins aisés qui avait détecté son intelligence exceptionnelle. A 18 ans, il arrive à Paris avec une lettre de recommandation pour rencontrer le mathématicien d’Alembert, mais ce dernier refuse de rencontrer l’inconnu. Mais Laplace insiste : il envoie à d’Alembert un article qu’il a écrit sur la mécanique classique. D’Alembert en est si impressionné qu’il est tout heureux de patronner Laplace. Il lui obtient un poste d’enseignement en mathématique. En 1783, il devint examinateur du corps de l’artillerie et fut élu, en 1785, à l’Académie des Sciences. A la Révolution, il participa à l’organisation de l’Ecole Normale et de l’Ecole Polytechnique, et fut membre de l’Institut, dès sa création. Bonaparte lui confia le ministère de l’Intérieur. L’oeuvre la plus importante de Laplace concerne le calcul des probabilités et la mécanique céleste. Il établit aussi, grâce à ses travaux avec Lavoisier entre 1782 et 1784 la formule des transformations adiabatiques d’un gaz, ainsi que deux lois fondamentales de l’électromagnétisme. En mécanique, c’est avec le mathématicien Joseph-Louis de Lagrange qu’il résume ses travaux et réunit ceux de Newton, Halley, Clairaut, d’Alembert et Euler, concernant la gravitation universelle, dans les cinq volumes de sa mécanique céleste (1798-1825). 37 ULP 3.1 CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Introduction N ous allons aborder dans ce chapitre le filtrage des systèmes linéaires continus et invariants dans le temps (stationnaires). Le filtrage consiste à atténuer certains signaux et à en laisser ”passer” d’autres. Cette sélection s’opère bien évidemment en fonction des caractéristiques du signal recherchées en sortie. Un filtre modifie (ou filtre) certaines parties d’un signal d’entrée dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel. D’après la théorie de Fourier, tout signal réel peut être considéré comme composé d’une somme de signaux sinusoı̈daux (en nombre infini si nécessaire) à des fréquences différentes ; le rôle du filtrage est alors de modifier la phase et l’amplitude de ces composantes. Par exemple, agir sur la représentation fréquentielle pour la modifier : le filtre ajoute ou enlève des graves ou des aigus en traitement de la parole, il corrige la réponse en fréquence d’un appareil (microphone, téléphone,...). Un moyen de caractériser un filtre est sa réponse impulsionnelle h(t), c’est-àdire le signal en sortie du filtre lorsque le signal d’entrée est une impulsion de Dirac, c’est-à-dire lorsque toutes les fréquences sont présentes à son entrée (F [δ(t)] = 1). Un autre moyen de caractériser un filtre est de fournir sa fonction de transfert H(ω), qui peut être obtenue en divisant le spectre fréquentiel du signal de sortie avec celui du signal de l’entrée du filtre y(t) = h(t) ? x(t) → Y (ω) = H(ω) X(ω) (3.1) Tout filtre linéaire est entièrement décrit par sa réponse fréquentielle en amplitude |H(ω)| (le gain) et sa réponse de phase arg H(ω) |Y (ω)| = |H(ω)| |X(ω)| et arg Y (ω) = arg H(ω) + arg X(ω) (3.2) liée à sa réponse impulsionnelle. Du point de vue mathématique, un filtre continu à réponse impulsionnelle infinie peut être décrit en terme d’équations différentielles linéaires. Il est également possible d’exprimer la fonction de transfert du filtre à l’aide de la transformée de Laplace de leur réponse impulsionnelle ; cette méthode permet d’analyser simplement le filtre en considérant les pôles et les zéros de la transformée de Laplace. On définit le délai de groupe comme la quantité τ (ω) définie par τ (ω) = − ∂ (argH(ω)) . ∂ω (3.3) Exemple Soit x(t) = ejω0 t un signal à l’entrée d’un filtre linéaire continu caractérisé par sa réponse fréquentielle {|H(ω)| , arg H(ω)}. Quelle est l’expression de la réponse temporelle y(t) en sortie du filtre ? Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 38 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Rep : y(t) = |H(ω0 )| e(jω0 t + j arg H(ω0 )) . Exemple A l’aide du logiciel Matlab, les réponses en amplitude et en phase et le délai de groupe d’un filtre dont on connaı̂t la fonction de transfert H(ω) = 1/1 + jω peuvent être évalués et visualisés de la manière suivante : freqs([1],[1 1],logspace(-2,+2)) montre la réponse de 1/(1 + jω) entre 10e − 2 et 10e2 rad/s. Pour obtenir le délai de groupe, il faut demander explicitement : [H,w]=freqs([1],[1 1],logspace(-2,+2)) ; subplot(2,1,1) semilogx(w,-20*log10(abs(H))) ; xlabel(’Frequency (radians)’) ; ylabel(’Attenuation (dB)’) ; grid ; subplot(2,1,2) semilogx (w(1 :length(w)-1), -diff(unwrap(angle(H)))./diff(w)) ; xlabel(’Frequency (radians)’) ; ylabel(’Group delay (s)’) ; grid ; 3.1.1 Filtres stables physiquement réalisables Un filtre est physiquement réalisable si sa réponse en fréquence H(ω) correspond à sa transformée de Laplace pour un signal d’entrée sinusoı̈dal : H(ω) = L[h(t)](s=jω) . (3.4) Il existe plusieurs types de filtres linéaires réalisables : – Les filtres passe-bas laissent passer les basses fréquences, et coupent les hautes, – Les filtres passe-haut laissent passer les hautes fréquences et coupent les basses, – Les filtres passe-bande ne laissent passer qu’une bande limitée de fréquences, – Les filtres coupe-bande, à l’inverse, laissent passer toutes les fréquences, sauf une bande spécifique. Certains filtres ne sont pas conçus pour arrêter une fréquence, mais pour modifier légèrement le gain à différentes fréquences, comme les égaliseurs. Différentes méthodes de conception de filtres analogiques ont été mises au point, chacune optimisant un point spécifique, comme par exemple des filtres exhibant des caractéristiques particulières : – Les filtres de Butterworth, – Les filtres de Tchebyshev, – Les filtres elliptiques (filtres de Cauer). Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 39 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE La conception des filtres linéaires fait appel à un gabarit, qui rassemble les caractéristiques du gain fréquentiel désiré. 3.1.2 Fréquence de coupure et bande passante La définition générale de la fréquence de coupure d’un filtre de fonction de transfert H(f ) (sortie sur l’entrée) est la fréquence fc telle que : 1 |H(fc )| =√ . max {|H(f )|} 2 (3.5) Dans le cas d’un filtre passe-bas du premier ordre, la fonction de transfert est maximale à l’origine, donc : 1 |H(fc )| = √ |H(0)| ⇔ 20 log10 |H(fc )| − 20 log10 |H(0)| = −3dB . (3.6) 2 La bande passante (BP) d’un filtre analogique est l’intervalle [finf , fsup ] de fréquences dans lequel le gain 20 log10 |H(ω)| (ici exprimé en décibels) reste supérieur ou égal à une valeur√de référence (par exemple −3 dB, correspondant à une atténuation du gain de 2). Ainsi, pour les filtres les plus courants, on a : – – – – Le filtre passe-bas : BP = [0, fsup ], Le filtre passe-haut : BP = [fsup , +∞], Le filtre passe-bande : BP = [finf , fsup ], Le filtre coupe-bande : BP = [0, finf ] ∪ [fsup , +∞] (appelé aussi filtre réjecteur de bande). 3.1.3 Transformations de fréquences A partir de la connaissance de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas normalisé (de fréquence de coupure unité à -3 dB), on peut construire par transformation du plan complexe et à partir de ce filtre de nouveaux filtres. – Le filtre passe-haut de pulsation de coupure ωc sera donné par la transformation : ω c , H(ω) −→ H ω – Le filtre passe-bande de pulsation de coupures basse ωl et haute ωu sera obtenu par : 2 ω + ωl ωu , H(ω) −→ H ω (ωu − ωl ) – Le filtre coupe-bande de pulsation de coupures basse ωl et haute ωu sera obtenu par : ω (ωu − ωl ) H(ω) −→ H , ω 2 + ωl ωu Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 40 ULP 3.2 CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Synthèse des filtres analogiques Les spécifications qui définissent un gabarit sont les caractéristiques du filtre. On doit préciser : – le gain du filtre dans la bande passante (≈ 0 dB), – l’atténuation du filtre en bande occupée (typiquement 30 dB → 90 dB), – la fréquence de coupure (une dans le cas d’un passe-bas ou d’un passe-haut et deux dans le cas d’un passe-bande ou d’un coupe-bande), – la largeur de bande de transition souhaitée qui généralement doit être la plus petite possible, – les éventuelles oscillations en bande passante et/ou atténuée (typiquement 1 dB → 0.01 dB). 3.2.1 Les filtres idéaux Une transformation n’apporte pas de distorsion du signal auquel elle est appliquée si elle restitue en sortie un signal y(t) de même forme que le signal d’entrée x(t) . Le signal d’entrée peut par contre avoir subi une amplification K ou un délai T : y(t) = K x(t − T ) (3.7) Ceci correspond, en transformée de Fourier, à une amplification du spectre d’amplitude et à un déphasage linéaire : Y (jω) = K X(jω) exp(−jωT ) , (3.8) et donc à une fonction de transfert : H(ω) = K exp(−jωT ) . (3.9) Si on considère que le rôle d’un filtre est de produire un signal de sortie correspondant à une plage de fréquences du signal d’entrée, il est clair que le filtre doit, si on veut éviter toute distorsion, vérifier (3.9). Il doit donc présenter une réponse en amplitude constante et une réponse en phase linéaire et passant par 0, du moins dans la plage de fréquences utile, appelée bande passante. Filtre passe-bas idéal H(ω) = K e−jωT 0 Filtre passe-haut idéal K e−jωT H(ω) = 0 Traitement du Signal (1) - FIP si |ω| < ωc = 2 πfc ailleurs (3.10) si |ω| > ωc = 2 πfc ailleurs (3.11) - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 41 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE |H( ω )| K −ω c ωc ω Figure 3.1 – Réponse fréquentielle (gain) du filtre passe-bas. |H( ω )| K −ω c ωc ω Figure 3.2 – Réponse fréquentielle (gain) du filtre passe-haut. Filtre passe-bande idéal K e−jωT H(ω) = 0 si ωl < |ω| < ωu ailleurs (3.12) |H( ω )| K −ω u −ω l ωl ωu ω Figure 3.3 – Réponse fréquentielle (gain) du filtre passe-bande. Filtre coupe-bande idéal K e−jωT H(ω) = 0 si |ω| < ωl ou |ω| > ωu ailleurs (3.13) Les filtres idéaux présentent un déphasage linéaire et ne sont pas physiquement réalisables, car les réponses fréquentielles idéales (ci-dessus) correspondent à une réponse temporelle non-causale. Par exemple, en considérant le filtre passe-bas ω où H(ω) = K e−jωT rect( 2ω ), on a : h(t) = K ωπc sinc( ωπc (t − T )) représentée c ci-dessous : Il s’ensuit que les filtres qui vont pouvoir être réellement synthétisés n’ont pas de réponse fréquentielle correspondant à la fonction porte, mais pourront s’en Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 42 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE |H( ω )| K −ω u −ω l ωl ωu ω Figure 3.4 – Réponse fréquentielle (gain) du filtre coupe-bande. h(t) K ωc T t T− π ωc Figure 3.5 – Réponse temporelle du filtre passe-bas idéal : une partie du signal n’est pas nulle pour t < 0. rapprocher. Des caractéristiques qui exhibent ces différences plus ou moins fortes vis-à-vis de la fonction porte sont principalement les ondulations dans la bande passante et dans la bande atténuée ainsi que la largeur de la transition. Les filtres que l’on réalise sur les signaux continus (c’est-à-dire non échantillonnés) sont composés de résistances, de capacités, de self-inductances et d’amplificateurs opérationnels. De tels filtres réalisent entre les représentations temporelles e(t) (l’entrée) et s(t) (la sortie du filtre) une relation intégro-différentielle linéaire à coefficients constants. Par transformation de Fourier, cette relation conduit à un gain complexe qui est une fraction rationnelle, quotient de deux polynômes en ω : N (ω) . (3.14) H(ω) = D(ω) Il ne faut pas perdre de vue que la classe des filtres réalisables sur des signaux continus sont ceux qui sont définis par l’équation fractionnelle (3.14).N’importe quelle fonction de transfert de ce type peut être réalisée par une association de quatre fonctions de transfert élémentaires : les filtres passe-bas du premier et du second ordre, les filtres passe-haut du premier et du second ordre. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 43 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE |H( ω )| ondulations (ripple) dans la bande passante K K 2 AK ondulations dans la bande atténuée bande atténuée ondulations dans la bande atténuée ωl bande passante bande de transition ω ωu bande atténuée bande de transition Figure 3.6 – Définitions et exemple de réponse fréquentielle d’un filtre réel. 3.2.2 Les filtres réalisables classiques Plusieurs paramètres vont caractériser les gabarits des filtres réels classiques. Il s’agit de la sélectivité k qui représente un rapport de fréquences (ou de pulsations) caractérisant la bande passante, la pulsation centrale qui est la moyenne géométrique ω0 des pulsations de coupures ou la largeur de bande relative B0 . Filtre passe-bas réel H(ω) = ωl 1 (ordre 1) ; Sélectivité : k = 1 + jωT ωu (0 < k < 1) (3.15) G(dB)= 20 log |H( ω )| 10 0 ωl bande atténuée ωu ω Figure 3.7 – Réponse fréquentielle (gain en dB) d’un filtre passe-bas réel caractérisé par la sélectivité k. Filtre passe-haut réel H(ω) = ωl jωT (ordre 1) ; Sélectivité : k = 1 + jωT ωu Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - (0 < k < 1) Septembre, 2008 (3.16) - 44 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE G(dB)= 20 log |H( ω )| 10 0 bande atténuée ωl ωu ω Figure 3.8 – Réponse fréquentielle (gain en dB) d’un filtre passe-haut réel caractérisé par la sélectivité k. Filtre passe-bande réel Sélectivité : k = ωl+ − ωu− ωu+ − ωl− Pulsation centrale : ω0 = (0 < k < 1) (3.17) √ ωl+ ωu− (3.18) Largeur de bande relative : B0 = ωl+ − ωu− ω0 (3.19) G(dB)= 20 log |H( ω )| 10 0 bande atténuée ω l− ω ω u− l+ ω u+ ω Figure 3.9 – Réponse fréquentielle (gain en dB) d’un filtre passe-bande réel caractérisé par k, ω0 et B0 . Filtre coupe-bande réel Sélectivité : k = ωl+ − ωu− ωu+ − ωl− Pulsation centrale : ω0 = (0 < k < 1) (3.20) √ ωl− ωu+ (3.21) Largeur de bande relative : B0 = Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - ωu+ − ωl− ω0 Septembre, 2008 (3.22) - 45 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE G(dB)= 20 log |H( ω )| 10 0 ω l− ω bande atténuée u− ω l+ ω u+ ω Figure 3.10 – Réponse fréquentielle (gain en dB) d’un filtre coupe-bande réel caractérisé par k, ω0 et B0 . 3.2.3 Gabarits normalisés Normalisation : ωl = 1. √ – Taux d’ondulation dans la bande passante (dB) : 20 log10 1 + 2 , – Atténuation (dB) : 20 log10 A, – Sélectivité : k = ωl ωu = 1 ωu (0 < k < 1), – Constante d’atténuation : η = – δ̂1 = 2δ1 1+δ1 =1− – δ̂2 = δ2 1+δ1 = – δ1 = δ̂1 , 2−δ̂1 – δ2 = 2δ̂2 , 2−δ̂1 3.2.4 √ , A2 −1 √ 1 , 1+2 1 A, Méthode D’une manière générale, la synthèse d’un filtre analogique requiert la connaissance des caractéristiques fréquentielles que l’on vient de voir dans la section précédente ou la représentation graphique du gain de sa fonction de transfert par le gabarit. De plus, comme tout filtre linéaire continu vérifie l’équation (3.14), la combinaison de filtres élémentaires peut permettre la réalisation de filtres en cascade, donc de filtres d’ordres supérieurs. La synthèse de tels filtres ne peut pas se faire aisément si on considère l’ensemble des filtres élémentaires un à un. D’une manière générale, on préfère décomposer l’équation (3.14) en deux catégories : Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 46 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE |H( ω )| 1 1 1+ ε 2 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 1 A ωl ωu ω |H( ω )| |H( ω )| 111111111 000000000 000000000 111111111 1111111111 1+ δ 0000000000 0000000000 1111111111 1 1−δ 1 111111111 000000000 000000000 111111111 1−δ 11111111111 0000000000 1 1 1111111111 0000000000 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 δ2 ωl δ2 ω ωu 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 ωl ωu Figure 3.11 – Gabarit normalisé. – les filtres polynômiaux, dont le gain de la fonction de transfert est de la forme : K0 |H(ω)|2 = p(ω) où p(ω) est un polynôme. – les filtres elliptiques. 3.2.5 Filtres polynômiaux Filtres de Butterworth La famille des filtres de Butterworth présente les caractéristiques communes suivantes : – Pas d’ondulation, ni dans la bande passante, ni dans la bande atténuée, – Atténuation la plus constante possible dans la bande passante (réponse la plus ”plate”). La forme générale du gain (au carré) d’un filtre de Butterworth d’ordre n est la suivante : |H(ω)|2 = Traitement du Signal (1) - FIP 1 1 + ( ω/ωc )2n ; n>0 - Christophe DOIGNON - (3.23) Septembre, 2008 - 47 ω ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Figure 3.12 – Comparaison des principaux filtres analogiques. |H( ω)| 1 1 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 1+ ε 2111111111 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 1 A ω Figure 3.13 – Gabarit d’un filtre de Butterworth. En général, on considère = 1, ce qui conduit à 20 log10 (1 + 2 )1/2 = 3 dB. Pour qu’à la fréquence normalisée ωu = 1/k, on ait une atténuation du gain de 1/A, on peut montrer qu’il faut vérifier l’inégalité suivante : ln η (3.24) ln k √ où η est la constante d’atténuation η = / A2 − 1. Ceci permet d’obtenir une méthode de détermination de l’ordre (minimum) du filtre. n ≥ Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 48 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Figure 3.14 – Filtres de Butterworth d’ordre 1 à 5. Génériquement, la transformée de Laplace H(s) d’un filtre de Butterworth est de la forme : K0 , i=1 (s − pi ) H(s) = Qn (3.25) c’est-à-dire constituée de n pôles pi situés (dans le plan complexe) sur un 1/2 arc de cercle de rayon −1/n , c’est-à-dire tels que : pi = et K0 = Q −1 n ejπ ( 12 + 2i−1 2n ) (−pi ) = 1/. Figure 3.15 – Poles d’un filtre passe-bas de Butterworth d’ordre 4. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 49 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Ci-après sont représentés les gains en fréquence des filtres de Butterworth respectivement d’ordre 8 et d’ordre 20 synthétisés avec Matlab, avec un taux d’ondulations de 3 dB dans la bande passante et de 50 dB dans la bande atténuée. Order 20 Butterworth IIR Filter 0 −10 −10 −20 −20 Magnitude (dB) Magnitude (dB) Order 8 Butterworth IIR Filter 0 −30 −40 −30 −40 −50 −50 −60 −60 −70 −70 0 200 400 600 Frequency (Hz) 800 1000 0 200 (a) 400 600 Frequency (Hz) 800 1000 (b) Figure 3.16 – Filtres de Butterworth. (a) ordre 8. (b) ordre 20. La courbe d’affaiblissement des filtres de Butterworth varie d’une façon monotone, ce qui implique que l’écart entre les spécifications et la courbe de gain dans la bande passante sera toujours minimal à la fréquence de coupure et maximal à l’origine. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 50 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Filtres de Bessel Une fonction de transfert ayant une phase rigoureusement linéaire aurait comme fonction de transfert A e−jωτ où τ est le retard infligé au signal d’entrée. Mais ce n’est pas une fonction rationnelle, un tel filtre n’est donc pas réalisable. Les filtres de Bessel sont des filtres dont la fonction de transfert pour un degré donné est la meilleure approximation possible de l’exponentielle précédente. En se limitant au troisième ordre dans le développement de Taylor de l’exponentielle, on a l’approximation suivante de l’exponentielle e−jω ≈ 1 (jω)3 + 6 (jω)2 + 15 jω + 15 (3.26) La fonction de transfert doit avoir un gain unité pour le continu (ω = 0), d’où la fonction de transfert du filtre de Bessel du troisième ordre : H(ω) = (jω)3 15 + 6 (jω)2 + 15 jω + 15 (3.27) On voit que pour une fréquence élevée, le gain tend vers 15/(jω)3 est 15 fois supérieur à celui du filtre de Butterworth de même degré. Les filtres de Bessel ont une atténuation qui varie au-delà de la fréquence de coupure beaucoup plus lentement que ceux de Butterworth. Pour cette raison, ils sont rarement utilisés sauf lorsque la linéarité de la phase est essentielle. La famille des filtres de Bessel présente les caractéristiques communes suivantes : – Pas d’ondulation, ni dans la bande passante, ni dans la bande atténuée, – Atténuation faible, – Approxime le mieux possible un retard pur. La transformée de Laplace H(s) d’un filtre de Bessel est de la forme : H(s) = K0 Bn (s) ; n>0, (3.28) où Bn (s) est un polynôme de Bessel d’ordre n. C’est-à-dire, défini de manière récurrente par : Bn (s) B0 (s) = (2n − 1) Bn−1 (s) + s2 Bn−2 (s) = 1, B1 (s) = s+1 . 2n! = 2n n! et K0 (3.29) Les filtres de Bessel (appelés aussi de Thomson) ne présentent que des pôles et correspondent au cas d’un filtrage à déphasage linéaire. Comme les filtres de Butterworth, les filtres de Bessel demandent des ordres importants pour vérifier des spécifications sur l’affaiblissement, ce qui les rend difficiles à réaliser avec des composants analogiques. La pulsation de coupure ωc varie avec l’ordre du filtre, et on montre que : 1/n lim ωc = K0 n→∞ Traitement du Signal (1) - FIP . - Christophe DOIGNON - (3.30) Septembre, 2008 - 51 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Figure 3.17 – Filtre de Bessel, de Butterworth et de Tchebycheff. Figure 3.18 – Poles d’un filtre passe-bas de Bessel d’ordre 4. Filtres de Tchebycheff (ou Chebyshev) Les filtres de Chebychev conduisent à une diminution de l’ordre pour les mêmes spécifications que pour les filtres que nous venons de voir. Il en résulte une réalisation plus aisée. Cette famille de filtres est décomposée en deux sousfamilles : les filtres de type I qui correspondent à des ondulations uniquement dans la bande passsante et les filtres de type II qui, à l’opposé, présentent des ondulations seulement dans la bande atténuée. Filtres de type I La famille des filtres de Chebyshev de type I présente les caractéristiques communes suivantes : – Ondulations dans la bande passante mais pas dans la bande atténuée, – Fitres optimaux au sens où il n’existe pas d’autres filtres polynômiaux du même ordre avec des performances supérieures ou égales dans la bande passante ET dans la bande atténuée. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 52 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE |H( ω)| 1 1 000000000 111111111 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 1+ ε 2111111111 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 1 A ω (a) |H( ω)| 1 1 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 1+ ε 2111111111 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 1 A ω (b) Figure 3.19 – Gabarit et filtres de Tchebycheff de type I. (a) ordre impair. (b) ordre pair. La forme des ondulations dans la bande passante dépend de la parité de l’ordre du filtre. La forme générale du gain fréquentiel (au carré) d’un filtre de Chebyshev de type I est la suivante : |H(ω)|2 = 1 1 + 2 Tn2 (ω/ωc) ; n >0 (3.31) n est l’ordre du filtre. est le taux d’ondulations ripple factor) et caractérise l’amplitude des oscillations dans la bande passante. Tn (ω) est un polynôme de Chebyshev d’ordre n, qui est défini par si |ω| ≤ 1 cos(n arccos(ω)) Tn (ω) = (3.32) cosh(n arccosh(ω)) si |ω| ≥ 1 Contrairement à ce qu’il parait de prime abord, ce sont bien des polynômes. On peut en effet montrer à l’aide de formules trigonométriques classiques que l’on a: Tn+1 (x) = 2 x Tn (x) − Tn−1 (x) (3.33) avec T0 (x) = 1 et T1 (x) = x . Les polynômes de Chebyshev passent par les points caractéristiques suivant Tn (1) = ±1 et Tn (0) = ±1 si n est pair, Tn (0) = 0 si n est impair. Pour |x| ≤ 1, Tn (x) oscille n fois entre 1 et −1 (ou, ce qui revient au même, Tn2 (x) présente n extrema entre 0 et 1) tandis que pour |x| ≥ 1, ces polynômes sont monotones croissants. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 53 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Figure 3.20 – Réponse fréquentielle (gain) d’un filtre de Tchebycheff de type I d’ordre 4 pour = 1. On peut montrer que l’ordre n du filtre doit être choisi tel que : q ln ( η1 + η12 − 1) q n≥ ln ( k1 + k12 − 1) (3.34) où k est la sélectivité du filtre (et correspond à la √ largeur de la bande de transition) et η est la constante d’atténuation η = / A2 − 1. Génériquement, la transformée de Laplace H(s) d’un filtre de Chebyshev I est de la forme : K0 , i=1 (s − pi ) (3.35) H(s) = Qn c’est-à-dire constituée de n pôles pi situés (dans le plan complexe) sur une 1/2 ellipse, c’est-à-dire tels que : pi = γ −1 − γ (2i − 1)π γ −1 + γ (2i − 1)π sin +j cos 2 2n 2 2n et γ = ( 1+ √ 1+2 ) 1 n et K0 = Traitement du Signal (1) - FIP Qn i=1 (−pi ) √ 1 1+2 Qn i=1 (−pi ) - Christophe DOIGNON - si si n est pair n est impair (3.36) Septembre, 2008 - 54 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Figure 3.21 – Poles d’un filtre passe-bas de Tchebycheff (type I) d’ordre 4. Order 16 Chebyshev Type I IIR Filter 0 −10 −10 −20 −20 Magnitude (dB) Magnitude (dB) Order 8 Chebyshev Type I IIR Filter 0 −30 −40 −30 −40 −50 −50 −60 −60 −70 −70 0 200 400 600 Frequency (Hz) 800 1000 0 200 (a) 400 600 Frequency (Hz) 800 1000 (b) Figure 3.22 – Filtres de Tchebycheff de type I. (a) ordre 8. (b) ordre 20. Filtres de type II (Tchebycheff inverse) La famille des filtres de Chebyshev de type II présente les caractéristiques communes suivantes : – Même optimalité que le filtre de Chebyshev de type I, – Ondulations dans la bande atténuée mais pas dans la bande passante. La forme générale du gain fréquentiel (au carré) d’un filtre de Chebyshev de type II d’ordre n est la suivante : |H(ω)|2 = 1 1+ (3.37) 1 2 Tn2 (ωc /ω) où Tn (ω) est un polynôme de Chebyshev d’ordre n. Dans la bande atténuée, le polynôme de Chebyshev oscillera entre 0 et 1, et donc le gain oscillera entre 0 Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 55 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE |H( ω)| 1 |H( ω)| 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 1 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 1 1+ ε 2 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 ω (a) ω (b) Figure 3.23 – Gabarit et filtres de Tchebycheff de type II. (a) ordre impair. (b) ordre pair. La forme des ondulations dans la bande passante dépend de la parité de l’ordre du filtre. et q 1 1+ 12 . Figure 3.24 – Réponse fréquentielle (gain) d’un filtre de Tchebycheff de type II d’ordre 5 pour = 0.01. Génériquement, la transformée de Laplace H(s) d’un filtre de Chebyshev II est de la forme : Q K0 ni=1,i6=(n+1)/2 (s − zi ) Qn , (3.38) H(s) = k=1 (s − pk ) c’est-à-dire constituée de zéros situés (dans le plan complexe) sur l’axe imaginaire et de n pôles pi situés sur un 1/2 cercle de rayon ωc . Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 56 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Order 16 Chebyshev Type II IIR Filter 0 −10 −10 −20 −20 Magnitude (dB) Magnitude (dB) Order 8 Chebyshev Type II IIR Filter 0 −30 −40 −30 −40 −50 −50 −60 −60 −70 −70 0 200 400 600 Frequency (Hz) 800 1000 0 200 400 600 Frequency (Hz) (a) 800 1000 (b) Figure 3.25 – Filtres de Tchebycheff de type II. (a) ordre 8. (b) ordre 20. 3.2.6 Filtres elliptiques Les filtres elliptiques (appelés également filtres de Cauer) correspondent à une famille de filtres dont les ondulations sont présentes dans la bande passante et dans la bande atténuée. Les taux d’ondulations sont des paramètres à valeurs différentes dans chacune des deux bandes Aucun autre filtre d’ordre identique n’a une largeur de transition (de gain) aussi faible. C’est pour cette raison que les filtres elliptiques sont parfois appelés filtres optimaux. Quand le taux d’ondulations (ripple) de la bande atténuée tend vers zéro, le filtre elliptique correspond à un filtre de Chebyshev de type I. A l’opposé, quand le taux d’ondulations dans la bande passante tend vers zéro, le filtre elliptique correspond à un filtre de Chebyshev de type II. Si les deux taux d’ondulations tendent vers zéro, le filtre elliptique correspond à un filtre de Butterworth. |H( ω)| 1 |H( ω)| 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 1 111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 ω (a) ω (b) Figure 3.26 – Gabarit et filtres elliptique. (a) ordre impair. (b) ordre pair. La forme des ondulations dépend de la parité de l’ordre du filtre. La forme générale du gain fréquentiel d’un filtre elliptique est la suivante : |H(ω)|2 = 1 1 + 2 Rn2 (ω/ωc , k) (3.39) où Rn est une fonction rationnelle (parfois appelée fonction rationnelle de CheTraitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 57 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Order 8 Elliptic IIR Filter 0 −10 −10 −20 −20 Magnitude (dB) Magnitude (dB) Order 5 Elliptic IIR Filter 0 −30 −40 −30 −40 −50 −50 −60 −60 −70 −70 0 200 400 600 Frequency (Hz) 800 1000 0 200 400 600 Frequency (Hz) (a) 800 1000 (b) Figure 3.27 – Filtres elliptiques. (a) ordre 8. (b) ordre 20. Les amplitudes des ondulations dans les bandes passantes et atténuées sont variables. byshev) d’ordre n. k est la sélectivité et est également lié à l’ondulation de Rn . Des tables sont utilisées ou des abaques sont employées pour déterminer l’ordre n du filtre. Des logiciels sont utilisés pour synthétiser ce type de filtre (comme Matlab). En effet, l’expression littérale de la fonction rationnelle Rn est complexe et seule une synthèse numérique est possible, car cette fonction correspond à : Rn (ω, ξ = k) = sne(n sne−1 (ω, ξ), ξ) , (3.40) où sne(u, y) est un sinus elliptique, c’est-à-dire sne(u, y) =sin(φ(u, y)) où φ(u, y) est tel que Z φ dx p u(y) = (3.41) 1 − y 2 sin2 x 0 Dans la bande passante, la fonction rationnelle√elliptique varie entre 0 et 1. Le gain dans cette bande varie alors entre 1 et 1/ 1 + 2 . Dans la bande atténuée, la fonction rationnelle elliptique varie entre √ l’∞ et L = Rn (ξ, ξ). Dans cette bande, le gain varie alors entre 0 et 1/ 1 + 2 L2 , comme cela est illustré ci-dessous : L’ordre n du filtre est tel que : p K(k) K( 1 − η 2 ) √ n≥ K(η) K( 1 − k 2 ) (3.42) où k est la sélectivité du filtre (et correspond à la √ largeur de la bande de transition) et η est la constante d’atténuation η = / A2 − 1. L’expression de la fonction K() est : K(y) = Z 0 Traitement du Signal (1) - FIP π/2 dx p 1 − y 2 sin2 x - Christophe DOIGNON - (3.43) Septembre, 2008 - 58 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE Figure 3.28 – Réponse fréquentielle d’un filtre elliptique passe-bas d’ordre 4 pour = 0.5 et ξ = k = 1.05. Figure 3.29 – Poles et zéros d’un filtre passe-bas de Cauer d’ordre 4. 3.3 Exercices 1. Montrer que la fonction de transfert du filtre passe-bas réalisable est une approximation du filtre passe-bas idéal. 2. Quel est le type de filtre qui correspond le mieux au diagramme en gain et en phase (Bode) représenté ci-dessous ? Quelle est la bande passante ? 3. Synthétiser un filtre de Butterworth afin que l’atténuation (A) soit de 40 dB à 2 fois la fréquence de coupure (normalisée) et de 3 dB dans la bande passante (ripple). 4. Déterminer la fonction de transfert H(ω) d’un filtre dont le gain fréquentiel est illustré ci-dessous. Quelle est la valeur de |H(+∞)| ? Quelle est l’allure de la phase ? Quelle est la valeur de la phase en 0 ? Quelle est la valeur maximale de la phase ? A quelle fréquence est-elle atteinte (correspondant à la pulsation centrale) ? 5. Déterminer le filtre de Butterworth tel que 20 log10 |H(ω)| s’inscrive dans le gabarit normalisé suivant (b = −30 dB et x1 = 2) : Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 59 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE 1 10 Magnitude 0 10 −1 10 −2 10 0 1 10 2 10 3 10 10 Frequency (radians) 50 Phase (degrees) 0 −50 −100 −150 −200 0 10 1 2 10 3 10 10 Frequency (radians) Figure 3.30 – Diagramme en gain et phase d’un filtre inconnu. |H(ω )| dB 20 dB/décade 7 dB 3 dB ωc 0 ωd ω Figure 3.31 – Gains fréquentiels (en dB) asymptotiques et réels d’un filtre pour ωc = 6 rad/s. 1 Magnitude 10 0 10 0 10 1 2 10 10 3 10 Frequency (radians) 14 Phase (degrees) 12 10 8 6 4 2 0 0 10 1 2 10 10 3 10 Frequency (radians) Figure 3.32 – Filtre à avance de phase. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 60 ULP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE |H(ω )| dB 0 1 x1 x a b Figure 3.33 – Gabarit normalisé x = ω/ωc . Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 61 ULP Traitement du Signal (1) - FIP CHAPITRE 3. FILTRAGE ANALOGIQUE - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 62 Chapitre 4 Modulation, démodulation 4.1 Introduction Toute chaı̂ne de transmission d’informations comporte nécessairement un milieu de transmission, un émetteur et un récepteur. La propagation à travers le milieu va entraı̂ner des modifications du signal transmis. Contrairement au vide qui présente les mêmes caractéristiques quelque soit la fréquence du signal et dans lequel aucune puissance n’est dissipée, tous les autres milieux sont absorbants et dispersifs. • absorption : par suite d’une dissipation de puissance, les ondes se propageant dans un milieu matériel s’atténuent : on dit que l’onde est absorbée par le milieu. Dans le cas d’une onde plane, l’atténuation se traduit généralement par une amplitude S décroissant exponentiellement avec la distance x : S(x) = S0 exp(−α x) . La constante d’atténuation α dépend en général de la fréquence, si bien que les différentes composantes fréquentielles d’un signal transmis ne subissent pas le même affaiblissement. • dispersion : la célérité des ondes dans un milieu dépend généralement de la fréquence : cet effet, appelé dispersion, introduit une distorsion dans le signal transmis dans la mesure où ses divers composantes fréquentielles présentent, lors de la réception, un retard différent. Il convient de noter que, même dans le cas du vide, milieu non dispersif, la présence d’antennes d’émission et de réception va introduire une forte variation des caractéristiques de la transmission avec la fréquence. En outre, on montre que la directivité et la puissance émise par des antennes augmentent lorsque la fréquence augmente, tandis que la taille de l’antenne diminue. Pour limiter les distorsions introduites par le milieu et pour être capable de réaliser des antennes de taille raisonnable, on doit dans le cas de la transmission radiophonique (signal à transmettre de basse fréquence : 20 Hz-20 KHz), envisager une transformation du signal utile afin de transmettre un signal de haute fréquence. On parle alors d’opération de modulation. 63 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION Fondamentalement, l’opération de modulation consiste à adapter le message à transmettre au canal de transmission et au système d’émission/réception. L’opération de modulation ou de transmission d’une information par une porteuse se traduit par le fait que le signal transmis se situe dans une gamme de fréquences beaucoup plus élevée que celle du signal de départ. La modulation provoque une translation du spectre. Afin d’illustrer la nécessité de cette translation spectrale, prenons le cas d’un signal audio (spectre dans la gamme de fréquences [20 Hz - 20 KHz]) à transmettre par voie aérienne. Pour obtenir un rayonnement satisfaisant, il faudrait utiliser une antenne dont les dimensions atteindraient plusieurs kilomètres (à titre d’exemple, pour transmettre une fréquence de 10 KHz, il faudrait utiliser une antenne de 30 km de diamètre !). De plus, sans modulation (i.e. sans translation spectrale), les différentes stations émettrices se confondraient chez le destinataire puisque tous les spectres émis se retrouveraient dans la gamme de fréquence audio. La figure 4.1 donne le synoptique d’une chaı̂ne de transmission dans laquelle on voit apparaı̂tre une étape de modulation et également l’étape inverse de démodulation. Le message à transmettre de la source est modulé, puis il est émis. Après transmission et réception, il est démodulé puis récupéré par le destinataire. source modulateur Canal de transmission démodulateur destinataire Figure 4.1 – Chaı̂ne de transmission avec modulation/démodulation du signal. Pour la transmission de signaux analogiques, il existe essentiellement deux types de modulations , à savoir la modulation d’amplitude et la modulation de fréquence. Le choix d’un type de modulation pour la transmission d’une information se fait en tenant compte des critères suivants : • Largeur de bande occupée par le signal transmis : l’objectif est de minimiser l’encombrement fréquentiel du signal à transmettre. • Complexité des circuits de l’émetteur et du récepteur : autant les circuits de l’émetteur peuvent être complexes et coûteux si nécessaires car il existe un nombre relativement faible d’émetteurs, autant les circuits du récepteur doivent absolument être bon marché car ils sont destinés à être fabriqués en grande quantité pour le grand public. • Le rapport signal sur bruit après la démodulation. La modulation peut être définie comme le processus par lequel le message est transformé de sa forme originale en une forme adaptée à la transmission. C’est un processus qui peut être réalisé en utilisant une porteuse haute fréquence, dont les paramètres varient suivant des fonctions linéaires du message à transmettre. Au niveau du récepteur, ce processus est inversé par des méthodes de démodulation. Le processus de modulation permet également des transmissions multiplexées à travers un moyen de propagation commun, c’est-à-dire, des transmissions simultanées de messages différents ayant des spectres disjoints durant la propagation. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 64 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION 4.2 Modulation d’amplitude (AM) 4.2.1 Principe Soit x(t) le signal de basse fréquence à transmettre. x(t) est appelé le signal modulant. Ce signal doit être éventuellement transformé avant la transmission afin qu’il vérifie les hypothèses suivantes : • |x(t)| ≤ 1, • x̄ = 1 T R t0 +T t0 x(t) dt = 0 , • |X(ω)| = 0 , ∀ |ω| > W = 2πF (largeur de bande limitée). |X( ω )| ω W=2 π F −W 1 x(t) µ + 1+ µ x(t) * xc(t) p(t) Figure 4.2 – Principe de la modulation d’amplitude. En modulation d’amplitude, le message x(t) passe d’abord par un atténuateur variable µ compris entre 0 et 1 afin que la quantité |µ x(t)| ≤ 1. Une composante continue est ensuite ajoutée au signal µ x(t) avant de le multiplier par la porteuse (le signal porteur correspond a un signal sinusoı̈dal dont la fréquence correspond au déplacement fréquentiel souhaité, en fonction des caractéristiques du milieu où à lieu la transmission) p(t) = Ap cos(ωp t). Le signal modulé en amplitude xc (t) s’écrit alors : cos(ωp t) xc (t) = Ap [1 + µ x(t)] | {z } {z } | variation lente variation rapide (4.1) et µ est le taux ou indice de modulation. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 65 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION x c(t) 1 A (1+ µ) x(t) A (1+ µ x(t)) = enveloppe A A (1− µ ) t t −A (1−µ ) −A −A (1+µ x(t)) = enveloppe −A (1+µ ) −1 Figure 4.3 – (Gauche) : signal modulant. (Droite) : Signal modulé. En modulation d’amplitude, l’enveloppe du signal modulé reproduit la forme du signal modulant. 4.2.2 Spectre du signal modulé Soit X(ω), la transformée de Fourier du signal modulant, alors le signal modulé xc (t) = Ap cos(ωp t) + Ap µ x(t) cos(ωp t) a pour transformée de Fourier (voir exercice 7 du chapitre 2) : Ap µ (X(ω − ωp ) + X(ω + ωp )) 2 (4.2) Il s’agit donc à la fois d’un dédoublement de la bande fréquentielle et d’une translation de la quantité ωp = 2πfp comme cela est illustré sur la figure 4.4. Xc (ω) = Ap π (δ(ω − ωp ) + δ(ω + ωp )) + |X c (ω )| −ω p ω p −W ωp ω p +W ω Figure 4.4 – Spectre du signal modulé : C’est une double bande latérale de largeur B = 2F = W/π. La largeur de bande du signal modulé est de plus ou moins la fréquence du signal modulant (source) autour de la porteuse, soit pour une source à 3 KHz et une porteuse à 600 KHz une largeur de bande de 6 KHz (de 597 à 603 KHz).A l’analyseur de spectre, 3 raies sont observées ; 2 petites raies latérales (597 et 603 KHz) et une grande raie à 600 KHz. Les 2 bandes latérales contiennent l’ensemble des informations du signal source. On peut donc transmettre une seule bande latérale. Dans ce cas, on parle alors de modulation à bande latérale unique (BLU). Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 66 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION Exemple : En radiodiffusion longue portée, les signaux radiophoniques sont transmis dans la gamme [148.5 − 285.0 KHz ] (pour les grandes ondes - GO). La bande allouée pour une station émettrice est de 9 KHz, donc ceci ne peut se faire que si on limite le spectre du signal basse fréquence à F ≤ 4.5 KHz. 4.2.3 Puissance moyenne transmise La puissance moyenne transmise du signal modulé est Pxc telle que 1 T →+∞ T Pxc = lim avec x2c (t) = A2p 2 Z +T /2 −T /2 (1 + 2µx(t) + µ2 x2 (t)) + A2p 2 |xc (t)|2 dt (4.3) (1 + µx(t)) cos (2ωp t). Comme on a : x̄ = 0 et 2πF = W ωp , alors : Px c = A2p (1 + µ2 Px ) = Pc + 2 Pbl , | {z } 2 (4.4) ≤ 1 où : – Pc = – Pbl = A2p 2 est la puissance porteuse, µ2 A2p 4 Px est la puissance par bande latérale. On définit également le rendement de puissance lors de la modulation d’amplitude par la quantité η suivante : η= 4.2.4 µ2 Px 2 Pbl = Pc + 2 Pbl 1 + µ2 Px ≤ 50 % (4.5) Démodulation AM Alors que la modulation modifie une des caractéristiques (amplitude ou fréquence) d’un signal haute fréquence appelé porteuse, la démodulation consiste à extraire l’information qui avait été confiée à la porteuse et permet d’obtenir une copie fidèle du signal original (musique, paroles...). La démodulation AM (Amplitude Modulée) effectue une détection crête du signal car le signal modulant est entièrement défini par l’enveloppe du signal modulé. On peut très simplement réaliser la démodulation par un redressement simple alternance suivi d’un filtrage passe-bas (voir la figure 4.5 ci-dessous) et d’un filtrage passe-haut (pour éliminer la composante continue introduite lors de la modulation). On obtient alors un signal r(t) proportionnel au signal modulant. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 67 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION R x c (t) Figure (W 4.5 – Schéma ωp ). électronique C simple r(t) de démodulation AM 1 RC Domaines d’utilisation de la modulation AM : – Radiodiffusion : – Petites Ondes : PO [2.3 − 26.1] MHz, – Ondes moyennes : MO [525.5 − 1606] KHz (bande 9 KHz), – Grandes Ondes : GO [148.5 − 285] KHz (bande 9 KHz), – Télévision hertzienne [47 − 68] MHz (TV bande I - 8 MHz). La modulation d’amplitude est donc très simple à réaliser. La réalisation de la démodulation est également facile à mettre en oeuvre. L’association d’une diode et d’un dipôle RC parallèle constitue un détecteur d’enveloppe. C’est un quadripôle La tension de sortie obtenue est l’enveloppe de la tension modulée en amplitude. La première partie du montage ci-dessus est un montage redresseur. La diode ne laisse passer le courant que dans un seul sens. Cela élimine la partie négative de la tension. En y ajoutant un condensateur C, on élimine les variations rapides de la tension dues à la porteuse. Le condensateur initialement déchargé se charge tant que la tension d’entrée, xc (t), croı̂t jusqu’au maximum, avec une constante de temps tC quasi nulle. Lorsque xc (t) décroı̂t, uC > xc (t) , la diode est bloquée, le condensateur se décharge dans la résistance avec une constante de temps tD = RC grande par rapport à la période Tp de la porteuse (si R et C sont bien choisis). Lorsque xc (t) atteint de nouveau uC , la diode est à nouveau passante et le condensateur se charge. Pour obtenir une démodulation de qualité, il faut que la constante de temps t du dipôle RC soit très supérieure à la période Tp de la porteuse, en restant inférieure à la période du signal modulant (s’il est sinusoı̈dal). A la sortie du détecteur d’enveloppe, la tension a encore une composante continue due à la tension de décalage utilisée lors de la modulation, que l’on supprime par un filtrage passe-haut. L’inconvénient majeur de la modulation d’amplitude est sa sensibilité aux perturbations électromagnétiques qui peuvent modifier l’amplitude de la porteuse et donc du signal modulant lors de la démodulation. 4.2.5 Modulation sans porteuse Dans certains cas, les signaux transmis sont modulés sans qu’il y ait adjonction d’une composante continue. On dit abusivement qu’il s’agit d’une modulaTraitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 68 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION tion sans porteuse. L’expression du signal modulé xc (t) est simplement : xc (t) = Ap x(t) cos(ωp t) (4.6) x c(t) Ap |x(t)| t retournement de phase Figure 4.6 – Signal modulé sans composante continue. Cette modulation d’amplitude fournit également une double bande spectrale. Ici, la démodulation nécessite la connaissance des retournements de la phase. |X c (ω )| −ω p ω p −W ωp ω p +W ω Figure 4.7 – Spectre du signal modulé (sans porteuse) : C’est une double bande latérale de largeur B = 2F = W/π. Ap (X(ω − ωp ) + X(ω + ωp )) (4.7) 2 La démodulation est réalisée par une synchronisation indispensable (voir exercice 4.4). En effet, s’il existe un déphasage δφ dans le signal de la porteuse, cela entrainera une atténuation du signal démodulé, car 2 cos(ωp t + δφ) xc (t) = Ap x(t) (cos(δφ) + cos(2ωp t + δφ)), puis après le passage par l’élément F (voir figure 4.18), le signal démodulé vaut Ap cos(δφ) x(t). Xc (ω) = 4.2.6 Modulation à bande latérale unique (BLU) Pour certains types de transmissions, notamment en radio-communications ou en téléphonie, on effectue de nombreux multiplexages fréquentiels pour transmettre plusieurs signaux de natures différentes. Poursuivant cette politique d’économie de bande, toute bande de fréquences inutiles est également à éliminer. Cette limitation de bande consiste tout simplement à ne conserver qu’une des deux bandes latérales fréquentielles (voir les figures 4.4 et 4.8). Soit la bande supérieure à ωp est éliminée ([ωp , ωp + W ] et bien évidemment [−ωp − W, −ωp ]) et on parle de BLU inférieure (celle qui est conservée), soit à l’inverse la bande Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 69 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION inférieure à ωp est éliminée ([ωp , ωp − W ] et bien évidemment [−ωp + W, −ωp ]) et on parle de BLU supérieure. Les spectres obtenus par filtrage sont |X c (ω )| −ω p ω p −W ωp ω p +W ω ω p −W ωp ω p +W ω (a) |X c (ω )| −ω p (b) Figure 4.8 – Spectre du signal modulé à bande latérale unique (BLU) B = W/2π. (a) BLU inférieure. (b) BLU supérieure. Finalement, la puissance moyenne transmise est également réduite puisqu’elle vaut Pxc = Pc + Pbl . 4.3 Modulation de fréquence 4.3.1 Principe La modulation de fréquence d’un signal basse fréquence x(t) consiste à employer une porteuse dont la fréquence dépend directement de x(t). Dans le principe, on associera la modulation de fréquence et la modulation de phase qui sont très interdépendantes l’une de l’autre. Pour une porteuse sinusoı̈dale de fréquence centrale de fp = ωp /2π et d’amplitude Ap , le signal modulé xc (t) s’exprime donc sous la forme générique : xc (t) = Ap cos(ωp t + φ(t)) (4.8) où la phase instantanée est définie par θc (t) = ωp t+φ(t) et la fréquence instantanée f (t) vaut : f (t) = ωp 1 dφ(t) 1 dφ(t) 1 dθc (t) = + = fp + . 2π dt 2π 2π dt 2π dt (4.9) A partir de ces définitions, on distingue • la modulation de phase où la phase de la porteuse est proportionnelle au signal modulant φ(t) = µφ x(t) (4.10) µφ est appelé indice de modulation de phase et on choisit µφ tel que µφ < π pour éviter les ambiguı̈tés de phase. Pour ce type de modulaµ tion, la fréquence instantanée vaut f (t) = fp + 2πφ dx(t) . dt Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 70 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION • la modulation de fréquence où la fréquence de la porteuse est proportionnelle au signal modulant f (t) = fp + µf x(t) = fp + ∆f (4.11) µf est appelé l’excursion maximale de fréquence (µf fp ). Pour ce type de modulation, la phase instantanée θc (t) est égale à θc (t) = ωp t + 2π µf | Z t 0 {z x(τ ) dτ . } (4.12) φ(t) La modulation de phase est équivalente à une modulation de fréquence par la dérivée du signal modulant et la modulation de fréquence est équivalente à une modulation de phase par l’intégrale du signal modulant. L’une et l’autre permettent de préserver l’enveloppe ce qui abouti à une meilleure résistance au bruit (l’enveloppe du signal modulé reste constante) et permet un dimensionnement optimal des récepteurs. En effet, pour ce second point, si on s’intéresse à la puissance moyenne transmise, celle-ci vaut Pxc = quel que soit le signal modulant x(t). 4.3.2 A2p 2 , elle est donc constante Spectre du signal modulé Afin d’expliciter une transformée de Fourier des signaux usuellement employés en modulation de fréquence, nous allons nous attacher à étudier le spectre d’un signal modulé pour deux situations pratiques qui réduisent très peu le cadre de l’étude : la modulation à bande étroite et la modulation d’une sinusoı̈de (sachant que tout signal à énergie finie peut se décomposer en une série de Fourier). Modulation à bande étroite Ceci consiste à considérer les signaux pour lesquels le second terme de droite dans l’équation (4.12) est d’amplitude faible. C’est-à-dire quand l’excursion de phase |φ(t)| 1 . On a alors : xc (t) = Ap cos(ωp t + φ(t)) = Ap cos(ωp t) cos φ(t) − Ap sin(ωp t) sin φ(t) ≈ Ap cos(ωp t) − Ap φ(t) sin(ωp t) . (4.13) Il s’ensuit que la transformée de Fourier de xc (t) peut alors s’exprimer par Xc (ω) = Ap π (δ(ω − ωp ) + δ(ω + ωp ))− Ap (Φ(ω − ωp ) − Φ(ω + ωp )) (4.14) 2j où Φ(ω) = µφ X(ω) 2π µf Traitement du Signal (1) - FIP X(ω) jω pour la modulation de phase, (4.15) pour la modulation de fréquence. - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 71 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION Figure 4.9 – (Haut) : Signal modulant (en rouge) et porteuse sinusoı̈dale (en vert). (Bas) : Signal modulé en fréquence. L’amplitude de l’enveloppe du signal modulé reste constante. Les spectres obtenus sont semblables à ceux correspondant à une modulation d’amplitude. C’est aussi une double bande latérale de largeur B = 2F = W/π. Précisément, le profil de l’amplitude du spectre est identique pour une modulation d’amplitude et pour une modulation de phase (le signe est inversé avec le signe de ω cependant si on affiche Xc (ω) et non |Xc (ω)|). Pour la modulation de fréquence, l’amplitude |Xc (ω)| diminue légèrement en fonction de la fréquence. Modulation par une sinusoı̈de On suppose que la restriction suivante sur le signal à transmettre x(t) est : |x(t)| ≤ 1 . (4.16) On décrit alors x(t) par une sinusoı̈de x(t) = sin ωm t. La phase φ(t) = β x(t). La porteuse sinusoı̈dale est xp (t) = Ap cos(2πfp t), et par conséquent le signal modulé s’exprime par : Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 72 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION xc (t) = Ap cos(2πfp t + β sin(2πfm t)) = Ap cos(2πfp t) cos(β sin(2πfm t)) − sin(2πfp t) sin(β sin(2πfm t)) = Ap +∞ X Jn (β) cos(2π(fp + nfm )t) (4.17) n=−∞ où β est l’indice de modulation qui vaut : µφ (modulation de la phase), β= µf 2πµf = (modulation de fréquence) ωm fm (4.18) Figure 4.10 – Les trois premières fonctions de Bessel de première espèce. Les fonctions de Bessel de première espèce Jn (β) correspondent aux coefficients dans le développement en série de Fourier de : cos(β sin(2πfm t)) = J0 (β) + 2 +∞ X n=2,n sin(β sin(2πfm t)) = 2 +∞ X n=1,n Jn (β) cos(nωm t) (4.19) pair Jn (β) sin(nωm t) (4.20) impair Cette famille de fonctions est définie explicitement par une intégrale complexe : Z +π 1 Jn (x) = e(j x sin θ−j n θ) dθ . (4.21) 2π −π Propriétés • Jn (x) = (−1)n J−n (x) Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 73 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION • Jn (x) = (−1)n Jn (−x) , • Jn−1 (x) + Jn+1 (x) = 2n x Jn (x) (n > 0). La puissance moyenne transmise du signal modulé Pxc vaut (d’après Parseval) : ! +∞ +∞ X A2p A2p X A2p 2 2 2 Jn (β) = J0 (β) + 2 Px c = . (4.22) |Jn (β)| = 2 n=−∞ 2 2 n=1 Le spectre harmonique d’un signal FM (modulé en fréquence) réel possède des composantes qui vont jusqu’à des fréquences infinies, bien qu’elles deviennent rapidement négligeables. De façon simplifiée, le spectre s’une sinusoı̈de modulée en FM par un signal sinusoı̈dal peut être représenté par une fonction de Bessel, ce qui permet de modéliser formellement l’occupation spectrale d’une modulation FM, et on a : Xc (ω) = π Ap +∞ X n=−∞ Jn (β) δ(ω − (ωp + n ωm )) (4.23) Ce qui correspond à un spectre de raies : |X c (ω )| π Ap J0 ( β ) π A p J −1 ( β ) π Ap J 1 ( β ) −ω p ωp ωp − ω m ωp+ ω m ω Figure 4.11 – Spectre du signal modulé : Les amplitudes des raies diminuent rapidement à partir de la fréquence centrale du signal modulé fc = ωc /2 π. dont la largeur de bande B vaut : • β 1 ⇒ |Jn (β)| ≈ 0 si |n| β > 1 ⇒ B ≈ 2 β fm = 2µf , • β1 (bande étroite) • β quelconque ⇒ ⇒ B ≈ 2 fm , Règle de Carson B ≈ 2 (β + 1) fm = 2 (fm + µf ) La règle de Carson indique qu’à peu près toute la puissance ( 98%) d’un signal modulé en fréquence est comprise dans la bande B. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 74 ULP 4.3.3 CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION Modulateurs FM Un signal modulé en fréquence peut être réalisé à l’aide d’un circuit oscillateur commandé en tension (OCT ou VCO pour Voltage Controlled Oscillator, en anglais). L’oscillateur est généralement constitué d’un quartz et d’une diode varicap, qui, en fonction de la tension appliquée à l’entrée verra sa capacité varier et cette variation provoquera dans le circuit oscillateur des variations de fréquence. La diode est commandée par la tension du signal modulant La tension en sortie est finalement amplifiée, puis reliée à une antenne pour une transmission Hertzienne. fp + µ f f fp −1 fp − µ f 1 x(t) x c(t) OCT x fp p OCT Figure 4.12 – Schéma électronique Rsimple de modulation FM. Le signal modulé t x(τ ) dτ ). est xc (t) = Ap cos(ωp t + 2 π µf 4.3.4 Démodulateurs FM Nous allons aborder la démodulation de fréquence en examinant deux méthodes. La première méthode est appelée ”discriminateur” et se réfère à la démodulation d’amplitude. La second méthode, plus précise, est la boucle à verrouillage de phase. Le discriminateur Le discriminateur est un mécanisme de démodulation qui correspond à un ensemble de deux fonctions en cascade : un differentiateur et un détecteur d’enveloppe. Le détecteur d’enveloppe revient à effectuer une démodulation AM (voir section 4.2.4). En effet, le signal modulant étant de la forme suivante xc (t) = Ap cos(ωp t + φ(t)), sa dérivée vaut : dxc (t) dt dφ(t) ) Ap sin(ωp t + φ(t)) dt = − Ap (ωp + 2π µf x(t)) sin(ωp t + φ(t)) {z } | enveloppe = − (ωp + Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 (4.24) - 75 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION Démodulation AM x c(t) Filtre dérivateur Détecteur d’enveloppe r(t) Figure 4.13 – Démodulation de fréquence par discriminateur. La boucle à verrouillage de phase Une boucle à verrouillage de phase (PLL - Phase Locked Loop) est un système asservi qui permet, dans certaines conditions, de synchroniser le signal délivré par un oscillateur variable par rapport à un signal de commande. Cette propriété est mise à profit dans les démodulateurs de fréquence, les décodeurs stéréophoniques ou pour synthétiser des ondes de très haute pureté spectrale, contrôler la vitesse de rotation d’un moteur, décoder des informations codées par un saut de fréquences (ou FSK pour Frequency Shift Keying),... Ce dispositif est constitué principalement de trois composants : un détecteur de phase, un filtre passe-bas de transmittance F (s) et un oscillateur contrôlé en tension (OCT). L’OCT produit un signal avec une fréquence bien déterminée dont la valeur peut changer suivant la tension appliquée à son entrée. Le détecteur de phase produit un signal dont l’amplitude dépend du déphasage entre le signal d’entrée et celui produit par l’OCT. Il est réalisé le plus souvent par un circuit analogique multiplieur. Le rôle du filtre passe-bas est de conserver les variations de phase (BF) tout en supprimant les hautes fréquences et de produire ainsi une tension proportionnelle aux déviations de fréquences. xc (t) Comparateur Filtre F(s) de phase xo (t) r(t) OCT Figure 4.14 – Démodulation de fréquence par boucle à verrouillage de phase. L’OCT ajuste la fréquence instantanée de xo (t) jusqu’à ce que la phase de xo (t) soit égale à celle de xc (t). A ce moment-là, r(t) est égal à la dérivée de l’excursion de phase instantanée de xc (t), c’est-à-dire au signal modulant. Etant donné l’importance de l’emploi de la PLL, nous allons l’étudier plus en détails, afin de préciser le mode de fonctionnement de ce dispositif, de déterminer un modèle linéaire et d’analyser les propriétés essentielles du système. Dans un cadre général, nous prendrons les notations suivantes indiquées sur la figure (4.15) : Le principe de fonctionnement simplifié de cet ensemble peut être résumé comme suit : en l’absence de signal d’entrée vi (t), la tension de sortie vr (t) est nulle : Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 76 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION Détecteur de phase v i (t) = Vi sin[ θ i (t)] Filtre passe−bas vs (t) vr (t) F(s) Sortie Entrée vo (t) = Vosin[ θo(t)] Oscillateur variable Figure 4.15 – Synoptique de la boucle à verrouillage de phase (PLL). l’oscillateur fonctionne alors à sa fréquence propre f00 . Dans le cas contraire, le détecteur de phase compare la phase instantanée θi (t) de vi (t) à celle θ0 (t) de l’onde issue de l’oscillateur et délivre un signal ”d’erreur” vs (t) qui dépend de l’écart θi (t) − θ0 (t). Celui-ci filtré par le circuit passe-bas fait varier la pulsation ω0 de la tension vo (t) de façon à assurer son synchronisme avec le signal d’entrée (ou de commande) vi (t), c’est-à-dire l’égalité des fréquences fo et fi définies par les relations : fi = fo = 1 dθi (t) ωi = 2π 2π dt ωo 1 dθo (t) = 2π 2π dt (4.25) Précisons dès maintenant que la condition fo = fi ne demeure vérifiée que dans une bande spectrale finie, dite ”de verrouillage”. Le détecteur de phase : son rôle est d’élaborer un signal dit ”d’erreur” qui reflète l’écart θi (t) − θo (t). La méthode couramment employée pour parvenir à cette fin consiste à multiplier les signaux vi (t) (d’amplitude Vi susceptible de varier dans le temps, mais lentement par rapport à la fréquence fo0 ) et vo (t) d’amplitude Vo constante. Le résultat de cette opération est la tension vs (t) donnée par : vs (t) = K Vi Vo {cos[θi (t) − θo (t)] − cos[θi (t) + θo (t)]} 2 (4.26) où K est une constante caractéristique du circuit multiplieur. Dans le cas d’une entrée sinusoı̈dale, on peut, grâce à un choix judicieux de l’origine du temps, mettre la phase instantanée θi (t) sous la forme θi (t) = ωi t − π/2 . En admettant, de plus, que celle de l’oscillateur s’écrit θo (t) = ωo t − Φ , nous en déduisons que : vs (t) = K Vi Vo {sin[(ωi − ωo ) t + Φ] − sin[(ωi + ωo ) t − Φ]} 2 (4.27) Cette dernière expression montre que la tension ”d’erreur”, disponible à la sortie du détecteur de phase, est la somme de deux composantes : Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 77 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION • l’une de fréquence fi + fo élevée, • l’autre de fréquence |fi − fo | beaucoup plus faible. La deuxième composante peut donc être facilement isolée à l’aide d’un filtre passe-bas. Le filtre passe-bas : Ce circuit linéaire est destiné à éliminer la composante spectrale fi + fo . Sa fréquence de coupure fc doit donc être telle que fc fi + fo . (4.28) j φ(jω) En mettant sa fonction de transfert F (jω) sous la forme F (jω) = |F (jω)| e avec φ(0) = 0 , et en choisissant un gabarit tel que |F (j (ωi + ωo )| ≈ 0 (voir figure 4.16), il est clair qu’en régime stationnaire, le signal vr (t) résultant du filtrage de vs (t) s’écrit : vr (t) ≈ K Vi Vo |F (j(ωi − ωo )| {sin[(ωi − ωo ) t + Φ + φ(ωi − ωo )]} (4.29) 2 Cette tension constitue la grandeur de sortie ; de plus, elle commande la fréquence fo délivrée par l’oscillateur variable. |F(j ω )| Cas β F(0) Cas α F(0) Composantes H.F. 2 ωc ωi+ ωo ω Figure 4.16 – Gabarit pour le filtre passe-bas de la boucle à verrouillage de phase. L’oscillateur commandé : dans un souci de simplicité, nous admettrons que la loi de variation de la pulsation ωo en fonction de vr est pratiquement linéaire : ωo = ωo0 + Ko vr + · · · (4.30) où ωo0 désigne la pulsation d’oscillation libre (pour vr = 0) et Ko la sensibilité de l’oscillateur commandé en tension : dωo (4.31) Ko = dvr |vr =0 ou ωo =ω0 o Verrouillage-capture Considérons à présent le système complet. En régime stationnaire (c’est-à-dire pour ωo constant), il est caractérisé par l’équation nonlinéaire déduite de (4.29) et de (4.31) Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 78 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION Ko K Vi Vo |F (j(ωi − ωo )| {sin[(ωi − ωo ) t + Φ + φ(ωi − ωo )]} 2 (4.32) qui doit être indépendante du temps conformément à l’hypothèse de stationarité. Il en résulte deux solutions : ωo − ωo0 = • |ωi − ωo | ωc : Comme |F (j(ωi − ωo )| ≈ 0, on en déduit que ωo = ωo0 , ∀ t. L’oscillateur est en ”mode libre”, car sa fréquence fo0 est indépendante des signaux extérieurs : on dit que la boucle n’est pas verrouillée. • |ωi − ωo | < ωc : La composante basse fréquence de vs (t) est transmise par le filtre et agit sur l’oscillateur de façon à diminuer l’écart en fréquence |fi − fo |. On peut donc écrire (en supposant que F (0) = 1) : |F (j(ωi − ωo ))| → F (0) = 1 , (4.33) et il est clair que l’équation (4.32) admet comme solution ωo = ωi . On dit alors que la boucle est verrouillée : l’oscillateur fonctionne en ”mode forcé”, car sa fréquence fo est forcée de rester égale à fi . Pour cette solution reportée dans (4.32), et en rappelant que φ(0) = 0 (valeur de la phase du filtre-passe-bas dans la bande passante), on obtient ωo − ωo0 = Ko K Vi Vo sin Φ . 2 (4.34) Cette relation est intéressante, car elle révèle que le verrouillage de la boucle (ωo = ωi ) n’est conservé que tant que l’on a : Ko K Vi Vo | (4.35) 2 C’est-à-dire tant que la pulsation ωi demeure comprise dans une bande spectrale centrée par rapport à la pulsation libre ωo0 et de largeur définie par (4.34) : à l’extérieur de ce domaine, il y a perte de synchronisme. Si tel est le cas, on conçoit, en considérant l’équation (4.32) que le ”reverrouillage” de la boucle n’est possible que si l’écart initial |ωi −ωo0 | est inférieur à la pulsation de coupure ωc , c’est-à-dire si le signal de fréquence |fi − fo0 | a une amplitude suffisante pour agir de façon sensible sur l’oscillateur. Cette remarque aide à comprendre que le synchronisme entre la tension d’entrée et celle délivrée par l’oscillateur ne peut ré-apparaı̂tre que dans une bande spectrale de capture, beaucoup plus étroite que celle de verrouillage : sa largeur dépend essentiellement de la sélectivité du filtre. |ωi − ωo0 | = |ωo − ωo0 | ≤ | Les figures suivantes illustrent la disposition relative de ces deux domaines particuliers en représentant la variation de fo lorsque la fréquence d’entrée fi croı̂t. D’après (4.34), on voit que l’angle Φ est nul lorsque la fréquence fi du signal de commande est égale à celle d’oscillation libre fo0 ; en nous reportant à θi (t) = ωi t − π/2 et θo (t) = ωo t − Φ , il apparaı̂t que, dans ce cas, le signal d’entrée est en quadrature arrière par rapport à celui de l’oscillateur. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 79 ULP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION fo bande de verrouillage déverrouillage capture f’o f’o fi f i croit fo bande de capture f i décroit f’o f’o fi capture Figure 4.17 – Domaines de verrouillage et de capture lors de la variation de fo . Table 4.1 – Standards FM de la radiodiffusion . La bande FM est de 20 MHz 88.0 - 108.0 100 canaux dont la largeur de bande est 200 KHz Stations non-commerciales 88.1 − 91.9 MHz Stations commerciales 91.9 − 107.9 MHz Stabilité de la porteuse ±2 KHz Déviation maximale de fréquence ∆f = ±75 KHz Fréquence du signal audio Indice de modulation β = ∆f /fm Traitement du Signal (1) - FIP 50 − 15 KHz 5 (∆f = 75 KHz, fm = 15 KHz) - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 80 ULP 4.4 CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION Exercices 1. Soit un signal modulé en amplitude xc (t) = 10 cos(106 t) (1+0.5 sin(103 t) . Donner la fréquence du signal modulant, de la porteuse et l’indice de modulation. Rep : Ap = 10 ; fx = 159.55 Hz, fp = ωp /2π = 106 /2π = 159.55 KHz, µ = 0.5. 2. Calculer la puissance moyenne transmise du signal modulé sans porteuse Pxc , en fonction de Ap et de la puissance du signal modulant Px . Pour aborder cet exercice, on se placera dans les cas suivants : • le signal modulant est constant : x(t) = C . • le signal modulant est une sinusoı̈de : x(t) = cos(ω0 t) . Rep : Pxc ≈ A2p 2 Px . 3. Calculer le rendement de puissance η, maximal, lors de la transmission du signal x(t) = sin(ω0 t) dans un milieu où il a été nécessaire de le moduler en amplitude avec la pulsation de porteuse ωp = 100 ω0 ? Représenter le spectre du signal modulé (sans et avec porteuse). 4. La démodulation cohérente consiste à multiplier un signal modulé en amplitude (sans porteuse) par le signal s(t) = 2 cos(ωp t) appelé synchronisateur, puis à faire passer le signal obtenu à travers un élément F . On obtient alors le signal démodulé r(t) proportionnel au signal modulant x(t). Expliquer le rôle du synchronisateur et le rôle de l’élément F . En déduire l’élément F . x c(t) F * ∼ r(t) 2 cos( ω p t) synchronisation Figure 4.18 – Schéma de principe de la démodulation cohérente. 5. On considère un signal xc (t) modulé en fréquence dont l’expression est xc (t) = 10 cos[6283200 t − 5 cos(3141 t)] . Déterminer : • l’expression de la fréquence instantanée, • la fréquence fp de la porteuse, • la fréquence fm du signal modulant, • l’excursion en fréquence µf , • l’indice de modulation β, • l’encombrement spectral (bande) B du signal modulé. Traitement du Signal (1) - FIP - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 81 ULP Traitement du Signal (1) - FIP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 82 ULP Traitement du Signal (1) - FIP CHAPITRE 4. MODULATION, DÉMODULATION - Christophe DOIGNON - Septembre, 2008 - 83