Feuille de TD 5 : Logique

Feuille de TD 5 : Logique
5.1
Tautologies, connecteurs
Exercice 5.1 K Établir la table de vérité de chacune des assertions suivantes, en fonction des
valeurs de vérité des propositions P , Q, et R :
1. (P ∨ (Q ∧ R)) ∧ (Q ∨ R)
2. (Q ⇒ P ) ∧ ¬(P ⇔ Q) ∧ R ∧ ¬P
Exercice 5.2 K Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont des tautologies ? (p, q, r sont des
assertions)
1. p ⇒ (q ⇒ p)
2. ((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p
3. ((p ∨ q) ∧ ¬p) ⇒ q
4. ((p ∧ ¬q) ⇒ r) ⇒ q
Exercice 5.3 K Les assertions P ⇒ Q, Q ⇒ P sont-elles vraies dans les cas suivants :
1. P : n est un multiple de 12 ; Q : n est un multiple de 2 et de 6.
2. P : ABCD est un parallèlogramme ; Q : [AC] et [BD] ont même milieu.
3. P : ABCD est un parallèlogramme ; Q : (AB) et (CD) sont parallèles.
4. P : xy est pair ; Q : x est pair ou y est pair. (x et y étant deux entiers naturels)
Exercice 5.4 KK On introduit un nouveau connecteur logique, le nini, noté ↓, correspondant
à l’expression française ¿ ni...ni À. Ainsi A ↓ B se lit ¿ ni A ni B À, et équivaut par définition
à ¬A ∧ ¬B. Le nini peut donc s’exprimer à l’aide de la négation et de la conjonction. Le but de
l’exercice est de montrer que réciproquement, tous les connecteurs logiques peuvent s’exprimer
à l’aide du nini. On conseille de suivre l’ordre des questions
1. Montrer que la négation peut s’exprimer à l’aide du nini, c’est-à-dire que ¬A équivaut à
une assertion formée à partir de A et de ↓.
2. Montrer que la disjonction peut s’exprimer à l’aide du nini. Indication : considérer
¬(A ↓ B).
3. Exprimer la conjonction à l’aide du nini.
4. Exprimer l’implication à l’aide du nini.
5.2
Quantificateurs
Exercice 5.5 K P (x) et Q(x, y) sont des assertions, E et F des ensembles. Compléter.
1. ¬(∃x ∈ E, P (x)) ⇔ (
)
2. ¬(∃x ∈ E, ∀y ∈ F, Q(x, y)) ⇔ (
)
3. ¬(∀x ∈ E, P (x) ⇒ Q(x)) ⇔ (
)
Exercice 5.6 KK Soit f une fonction de R dans R. Écrire avec des quantificateurs chacune
des propositions suivantes :
1
1. f est la fonction nulle.
2. f s’annule au moins une fois.
3. f n’est pas la fonction nulle.
4. f est paire ou impaire.
5. f n’est ni paire ni impaire.
6. f est périodique.
7. f n’est pas périodique.
Exercice 5.7 K Soit (un ) une suite réelle. Écrire avec des quantificateurs la propriété : (un )
est monotone.
Exercice 5.8 K Soit E un ensemble, A(x) et B(x) deux propositions concernant l’élément x
de E. Déterminer les implications ou équivalences reliant les propositions P et Q dans les cas
suivants, et donner des exemples concrets :
1. P : ∀x ∈ E, (A(x) ou B(x)) ; Q : (∀x ∈ E, A(x)) ou (∀x ∈ E, B(x))
2. P : ∀x ∈ E, (A(x) et B(x)) ; Q : (∀x ∈ E, A(x)) et (∀x ∈ E, B(x))
3. P : ∃x ∈ E, (A(x) ou B(x)) ; Q : (∃x ∈ E, A(x)) ou (∃x ∈ E, B(x))
4. P : ∃x ∈ E, (A(x) et B(x)) ; Q : (∃x ∈ E, A(x)) et (∃x ∈ E, B(x))
Exercice 5.9 K Soit un tiroir ne contenant que des caleçons ou des chaussettes. Chaque sousvêtement est soit noir soit blanc. Parmi les assertions suivantes, existe t-il des implications ? des
équivalences ? des contraires ?
1. Toutes les chaussettes sont blanches.
2. Tous les caleçons sont noirs.
3. Un caleçon est noir.
4. Une chaussette est noire.
5. Tous les sous-vêtements blancs sont des chaussettes.
Prendre la négation de chacune de ces assertions, en l’exprimer le plus simplement possible.
Exercice 5.10 KK On rappelle qu’une fonction f : R → R est dite continue en x0 ssi :
∀² > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ R, |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ²
On dira qu’une fonction est eunitnoc en x0 ssi :
∃δ > 0, ∀² > 0, ∀x ∈ R, |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ²
Qu’est-ce qu’une fonction eunitnoc en x0 ?
2
5.3
Raisonnements
Exercice 5.11 K Analyser la forme des raisonnements suivants. Lesquelles sont valides ?
−−→ −−→
−−→ −−→
1. On sait que si (AB) ⊥ (CD) alors AB.CD = 0. Donc, comme AB.CD = 1 − 1 = 0, on en
déduit que (AB) ⊥ (CD).
2. On sait que dans un tube à vide, la bille de plomb et la plume vont tomber simultanément
dans le champ de gravitation. Or on a constaté que la plume tombait plus lentement, on
en déduit que le tube n’est pas vide.
3. On sait que s’il existe une unique solution au système, son déterminant est non-nul. Or il
n’existe aucune solution, donc son déterminant est nul.
4. Dialogue entendu à la radio :
¿ -Voyez-vous je n’aime pas ce qui est consensuel. À
¿ -Alors vous avez dû adorer ce livre car il n’est pas du tout consensuel ! À
Exercice 5.12 K Le raisonnement suivant est-il valide ?
0
¿ Il existe une unique rotation qui envoie la figure R sur la figure R , et une unique homothétie
0
00
qui envoie R sur R . Donc il existe une unique similitude qui envoie R sur R00 . À
Même question avec :
¿ Il existe un unique vol entre Paris et Tombouctou. Il existe un unique vol entre Tombouctou
et Kinshasa. Donc il existe un unique vol entre Paris et Kinshasa. À
Exercice 5.13 K À la question : ¿ Montrer que toute fonction se décompose de façon unique
en somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. À, un étudiant a répondu :
Soit f une fonction. Si f = p + i avec p paire et i impaire, alors f (−x) = p(−x) +
i(−x) = p(x) − i(x), donc f (x) + f (−x) = 2p(x) et f (x) − f (−x) = 2i(x). Or p est
paire, et i impaire et f = p + i. De plus p et i sont uniques car f (x) et f (−x) sont
uniques. À
¿
Noter ce raisonnement sur 4 points en motivant votre évaluation.
Exercice 5.14 K Quelle est l’erreur dans le raisonnement suivant ?
¿ Deux points sont toujours alignés. Soit n un entier supérieur à 2. Supposons que l’on ait
montré que n points du plan sont toujours alignés. Prenons alors n + 1 points dans le plan :
A1 , A2 , . . . , An+1 . Alors les points A1 , . . . , An sont alignés sur une droite d d’après l’hypothèse
de récurrence, de même que A2 , . . . , An+1 , puisqu’il y a n points, sont alignés sur une droite d0 .
Mais les droites d et d0 sont les mêmes puisqu’elles ont les points A2 , . . . , An en commun. Donc
les n + 1 points sont alignés. Conclusion : tous les points du plan sont alignés. À
Exercice 5.15 K Montrer par récurrence sur n les propriétés suivantes :
Pn
n(n+1)
1. ∀n ∈ N∗ ,
k=1 k =
2
Pn 1
3n
2. ∀n ∈ N∗ ,
≥
k=1 k2
2n+1
3. ∀n ∈ N, 32n − 2n est divisible par 7
4. ∀n ∈ N, n ≥ 4, 2n ≥ n2
3