TS SPE DEVOIR MAISON no 5 6 mai 2013 SYSTEME RSA On se

DEVOIR MAISON no 5
TS SPE
6 mai 2013
SYSTEME RSA
On se propose d’étudier une procédure de cryptage à clé publique.
L’idée est que chaque utilisateur possède deux clés ; l’une publique et l’autre privée. Pour envoyer un message, on le code
avec la clé publique que n’importe qui peut connaitre, mais que seul le récepteur peut déchiffrer avec sa clé privée.
L’avantage est que la clé privée ne circule jamais par les moyens de communication.
L’un de ces procédes est le sytème RSA du nom des trois mathématiciens, Rivest, Shamir et Adleman qui l’ont mis au point
en 1978.
Rappel : (Petit théorème de Fermat) : si p est un nombre premier et a est un nombre non divisible par p alors :
ap−1 ≡ 1 (mod p).
A. Principe du RSA
• clé publique : on choisit 2 nombres premiers p et q très grands et on calcule n = pq
on pose m = (p − 1)(q − 1)
on choisit un entier e premier avec m
La clé publique est le couple (n , e)
(cette clé est connue de tous)
• chiffrement : un entier x est chiffré par un entier y tel que : y ≡ xe (mod n)
• déchiffrement : on détermine l’entier d tel que de ≡ 1 (mod m)
la clé privée est l’entier d
un entier y est chiffré par l’entier x tel que : x ≡ y d (mod n)
Dans la pratique pq est public mais pas p et q (ils sont gardés secrets).
Si l’on ne peut pas factoriser pq alors on ne peut calculer m = (p − 1)(q − 1) et il est impossible de déchiffrer.
Le sécurité du sytème RSA repose donc sur la difficulté à factoriser l’entier pq.
B. Deux exemples
1. Alex choisit une clé publique (n , e) et sa clé privée d et veut envoyer un message à Bob.
Il prend p = 37 q = 13 donc n = 481 (p et q sont volontairement petits).
a. Calculer m et démontrer qu’il peut choisir e = 7.
b. Les lettres de l’alphabet sont chiffrées par : A correspond à 01, B à 02 et ainsi de suite, Z correspond à 26.
Alex crypte le message "CRYPTOGRAPHIE".
Quel message crypté Bob reçoit-il ? (on donnera la succession des entiers).
2. Bob reçoit un deuxième message d’Alex. Alex a choisit p = 3, q = 13 donc n = 39. e = 29 convient. Pour décrypter
ce message, il faut déterminer l’entier d tel que 29d ≡ 1 (mod 24)
a. Justifier que cet entier d existe.
b. Déterminer 2 entiers u et v tels que : 29u − 24v = 1
c. En déduire l’unique entier d compris entre 0 et 23.
d. Décrypter alors le message suivant : "15 05 12 03 09 03 11 01 11 03 06 14 28"
C. Une justification
On pose n = pq avec p et q deux nombres premiers.
On pose m = (p − 1)(q − 1) et e un entier premier avec m.
1.
a. Montrer qu’il existe 2 entiers u et v tels que : eu − mv = 1.
Montrer que si le couple (u0 , v0 ) est une solution particulière de cette équation alors les couples solutions
sont de la forme : (u0 + km , v0 + ke) avec k entier relatif.
b. En déduire qu’il existe un entier d positif tel que : de ≡ 1 (mod m).
2. Soit x un entier.
a. A l’aide du petit théorème de Fermat, montrer que si x n’est pas divisible par p alors xp−1 ≡ 1 (mod p).
En déduire que xmv ≡ 1 (mod p) puis que xed ≡ x (mod p)
b. Montrer que si x est divisible par p alors xed ≡ x (mod p)
c. Démontrer de même que xed ≡ x (mod q)
d. En déduire que pour tout réel x, xed ≡ x (mod n)