diapos - Université de Montréal

MAT1500–Mathématiques discrètes
Matilde N. Lalı́n
Université de Montréal
http://www.dms.umontreal.ca/~mlalin/mat1500
Le 13 septembre 2016
Matilde N. Lalı́n
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Le menu d’aujourd’hui
Rappel de 1.2 Équivalences propositionelles
1.3 Prédicats et quantificateurs
3.1 Méthodes de preuve (introduction)
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Rappel 1.2 Équivalence de propositions
Rappel 1.2 Équivalence de propositions
Tautologie : proposition composée toujours V.
Contradition : proposition composée toujours F.
Contingence : proposition composée des fois V et des fois F.
Définition : Les propositions P et Q sont logiquement équivalentes si
P ↔ Q est une tautologie.
P ⇐⇒ Q.
Pour prouver que P ⇐⇒ Q :
Table de vérité
Preuve logique
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Rappel 1.2 Équivalence de propositions
L’implication entre propositions
Définition : Soient P et Q deux propositions. Si P → Q est une
tautologie, on écrit
P =⇒ Q.
On l’appelle une règle d’inférence.
Si P est V, alors Q est V. Mais si P est F, on ne peut rien dire à propos
de Q.
Nous allons étudier les régles d’inférence plus tard.
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1.3 Prédicats et quantificateurs
1.3 Prédicats et quantificateurs - La fonction
propositionnelle
Définition : La fonction propositionelle est un enoncé qui contient une ou
plusieurs variables et un prédicat tel que chaque valeur de la variable
donne une proposition.
Exemple : L’enoncé
P(x) = x> 10 n’est pas une proposition logique (car sa vérité dépend de la valeur de x,
qui n’est pas précisée). Mais c’est presque une proposition : dès que la
valeur x est choisie, l’enoncé devient une proposition logique.
P(4) est fausse, P(15) est vraie, etc.
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1.3 Prédicats et quantificateurs
La fonction propositionnelle-Exemples
Exemple : Soit Q(x, y ) = x + y < 7 . Quelles sont les valeurs de
vérité de Q(3, −6) et Q(5, 2) ?
Réponse : Q(3, −6) = 3 − 6 < 7 est V, parce que −3 < 7, et
Q(5, 2) = 5 + 2 < 7 est F.
Exemple : Soit R(x, y , z) = x + y = z . Quelles sont les valeurs de
vérité de R(1, 2, 3), R(0, 0, 5) et R(1, −7, −3) ?
Réponse : R(1, 2, 3) = 1 + 2 = 3 est V, R(0, 0, 5) est F, et
R(1, −7, −3) est F.
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1.3 Prédicats et quantificateurs
Quantificateurs
Définition : La quantification est une méthode pour transformer les
fonctions propositionnelles en propositions.
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1.3 Prédicats et quantificateurs
La quantification universelle
Définition : La quantification universelle de P(x) est la proposition
P(x) est vraie pour toutes les valeurs de x dans l’univers du discours On dit pour tout x, P(x) ou quel que soit x, P(x) et on écrit
∀x P(x).
Définition : L’univers du discours est le domaine de toutes les valeurs
possibles de x.
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1.3 Prédicats et quantificateurs
La quantification universelle-Exemples
Exemple : Soit P(x) = x + 1 > x . Quelle est la valeur de vérité de la
quantification ∀x P(x) lorsque l’univers du discours est l’ensemble des
nombres réels ?
Réponse : V
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1.3 Prédicats et quantificateurs
La quantification universelle-Exemples
Exemple : Soit Q(x) = x < 0 . Quelle est la valeur de vérité de la
quantification ∀x Q(x) lorsque l’univers du discours est
1
l’ensemble des nombres réels ?
2
l’ensemble des nombres réels négatifs ?
Réponse :
1
F, parce que Q(1) est F
2
V
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1.3 Prédicats et quantificateurs
La quantification universelle-Exemples
Exemple : Quelle est la valeur de vérité de ∀x R(x) si R(x) = x 2 < 9 et où l’univers du discours est l’ensemble {1, 2, 3} ?
Réponse : L’énoncé ∀x R(x) est équivalent à
R(1) ∧ R(2) ∧ R(3)
Puisque R(3) est F, on a que ∀x R(x) est F.
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1.3 Prédicats et quantificateurs
La quantification existentielle
Définition : La quantification existentielle de P(x) est la proposition
Il existe un élément x0 dans l’univers du discours tel que P(x0 ) soit
vraie
On dit il existe un élément x tel que P(x) , il existe au moins un
élément x tel que P(x) , ou pour un certain x, P(x) , et on écrit
∃x P(x).
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1.3 Prédicats et quantificateurs
La quantification existentielle-Exemples
Exemple : Soit Q(x) = x < 0 . Quelle est la valeur de vérité de la
quantification ∃x Q(x) lorsque l’univers du discours est
1
l’ensemble des nombres réels ?
2
l’ensemble des nombres réels positifs ?
Réponse :
1
V, on peut prend x = −1, Q(−1) est V.
2
F
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1.3 Prédicats et quantificateurs
La quantification universelle-Exemples
Exemple : Quelle est la valeur de vérité de ∃x R(x) si R(x) = x 2 > 8 et où l’univers du discours est l’ensemble {1, 2, 3} ?
Réponse : L’énoncé ∃x R(x) est équivalent à
R(1) ∨ R(2) ∨ R(3)
Puisque R(3) est V, on a que ∃x R(x) est V.
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1.3 Prédicats et quantificateurs
Exemples de quantification
P(x) = x > 2 avec univers du discours l’ensemble des nombres réels
La proposition ∀xP(x) est F, car P(1) = 1 > 2 est F.
La proposition ∃xP(x) est V, car P(3) = 3 > 2 est V.
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1.3 Prédicats et quantificateurs
Les quantificateurs - comparaison
∀x P(x) est V si P(x) est V pour chaque x dans l’univers du discours.
∀x P(x) est F s’l existe au moins un x tel que P(x) est F.
∃x P(x) est V s’il existe au moins un x tel que P(x) est V.
∃x P(x) est F si P(x) est F pour chaque x dans l’univers du discours.
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1.3 Prédicats et quantificateurs
Exemples de quantification
Problème : Considérer les enoncés suivants :
1 Certains lions ne boivent pas de café. 2 Tous les lions sont féroces. 3 Certaines créatures féroces ne boivent pas de café. Soit P(x) = x est un lion , Q(x) = x est féroce , et R(x) = x
boit du café .
Si l’univers du discours est l’ensemble de toutes les créatures, exprimer les
enoncés de la liste en utilisant des quantificateurs ainsi que P(x), Q(x) et
R(x).
Réponse :
1 ∃x(P(x) ∧ ¬R(x))
2 ∀x(P(x) → Q(x))
3 ∃x(Q(x) ∧ ¬R(x))
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1.3 Prédicats et quantificateurs
Exemples de quantification avec plusieurs variables
Problème : Soit P(x, y ) = x + y = y + x . Quelle est la valeur de
vérité de la quantification ∀x ∀y P(x, y ) si l’univers du discours pour x et
pour y sont les nombres réels ?
Réponse : La quantification ∀x ∀y P(x, y ) désigne la proposition
Pour tous les nombres réels x et pour tous les nombres réels y , il est
vrai que x + y = y + x Puisque P(x, y ) est V pour tous les nombres réels x et y , la proposition
∀x ∀y P(x, y ) est V.
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1.3 Prédicats et quantificateurs
Exemples de quantification avec plusieurs variables
Problème : Soit Q(x, y ) = y est un bon ami de x .
Exprimer l’enoncé Tout le monde a un bon ami sous forme
d’expression logique.
Réponse : ∀x ∃y Q(x, y )
Problème : Même question avec Tout le monde a un et un seul bon
ami Réponse : ∀x ∃y ∀z (Q(x, y ) ∧ ((z 6= y ) → ¬Q(x, z))) ou
∀x ∃y ∀z (Q(x, y ) ∧ (Q(x, z) → (z = y ))
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1.3 Prédicats et quantificateurs
Exemples de quantification avec plusieurs variables
Problème 1.3.8 : Soit Q(x, y ) = x a participé à un jeu télévisé y .
Exprimer chacune des phrases suivantes en fonction de Q(x, y ),
quantificateurs et connecteurs logiques où l’univers de discours de x sont
les étudiants de l’UdeM et l’univers de discours de y sont tous les jeux
télévisés.
1 Il existe un étudiant de l’UdeM qui a participé à un jeu télévisé.
∃x ∃y Q(x, y )
2 Aucun étudiant de l’UdeM n’a participé à un jeu télévisé.
∀x ∀y ¬Q(x, y ) ou ¬(∃x ∃y Q(x, y )) ou ∀x¬(∃yQ(x, y ))
3 Il existe un étudiant de l’UdeM qui a participé à Jeopardy et à Roue
de la fortune. ∃x (Q(x, Jeopardy) ∧ Q(x, Roue de la fortune))
4 Tous les jeux télévisés ont eu un étudiant de l’UdeM comme
participant. ∀y ∃x Q(x, y )
5 Au moins deux étudiants de l’UdeM ont participé à Jeopardy.
∃x1 ∃x2 (Q(x1 , Jeopardy) ∧ Q(x2 , Jeopardy) ∧ x1 6= x2 )
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1.3 Prédicats et quantificateurs
L’ordre des quantificateurs
L’ordre des quantificateurs est important!
Exemple : Soit Q(x, y ) = x + y = 0 . Si x, y ∈ R, quelles sont les
valeurs des quantifications
1
∃y ∀x Q(x, y ) et
2
∀x ∃y Q(x, y ) ?
Réponse :
1
Il existe un nombre réel y tel que pour tout nombre réel x,
x + y = 0 . Quelle que soit la valeur de y , il n’existe qu’une seule
valeur de x (en fait, x = −y ) pour laquelle x + y = 0. On a donc que
la valeur de vérité de ∃y ∀x Q(x, y ) est F.
2
Pour tout nombre réel x il existe un nombre réel y tel que
x + y = 0 . Étant donné x, prenons y = −x. On a donc que la
valeur de vérité de ∀x ∃y Q(x, y ) est V.
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1.3 Prédicats et quantificateurs
L’ordre des quantificateurs
Cependant, si les quantificateurs sont tous universels ou tous existentiels,
l’ordre n’importe pas.
∀x ∀y Q(x, y ) ⇐⇒ ∀y ∀x Q(x, y )
∃x ∃y Q(x, y ) ⇐⇒ ∃y ∃x Q(x, y )
Lorsque
∃x ∀y Q(x, y )⇐⇒∀y
6
∃x Q(x, y ).
On a que
∃x ∀y Q(x, y )=⇒∀y ∃x Q(x, y )
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1.3 Prédicats et quantificateurs
L’ordre des quantificateurs - Exemple
Problème : Soit Q(x, y , z) = x + y = z . Si x, y , z ∈ R, quels sont les
valeurs de vérité des enoncés
1
∀x ∀y ∃z Q(x, y , z) et
2
∃z ∀x ∀y Q(x, y , z) ?
Réponse :
1
Pour n’importe quelles valeurs de x, y , il faut prendre z = x + y . On
a donc que ∀x ∀y ∃z Q(x, y , z) est V.
2
Étant donné z, prenons x = z et y = 1. On a donc que
∃z ∀x ∀y Q(x, y , z) est F.
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1.3 Prédicats et quantificateurs
La négation avec les quantificateurs - Exemple
Exemple : Trouver la négation de Tous les chiens ont quatre pattes .
Soit P(x) = x a quatre pattes . Donc,
¬(∀x P(x)).
C’est le même que dire: Il existe un chien qui n’a pas quatre pattes .
∃x ¬P(x)
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1.3 Prédicats et quantificateurs
La négation avec les quantificateurs
En général,
¬(∀x P(x)) ⇐⇒ ∃x ¬P(x).
De même, si on pose Q(x) = ¬P(x), on obtient
¬(∀x ¬Q(x)) ⇐⇒ ∃x Q(x),
et on applicant la négation dans les deux côtés,
∀x ¬Q(x) ⇐⇒ ¬(∃x Q(x)).
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1.3 Prédicats et quantificateurs
La négation avec les quantificateurs - Exemple
Problème 1.3.21 : Démontrez que les énoncés ¬(∃x ∀yP(x, y )) et
∀x ∃y ¬P(x, y ) ont le même valeur de vérité.
Réponse :
¬(∃x ∀y P(x, y ))
⇐⇒ ∀x ¬(∀yP(x, y ))
⇐⇒ ∀x ∃y ¬P(x, y )
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3.1 Méthodes de preuve
3.1 Méthodes de preuve - Le but des mathématiques
Le but des mathématiques est, à partir de quelques hypothèses (des
propositions logiques qu’on suppose vraie), de produire d’autres
propositions logiques qui sont aussi vraies (et espérons intéressantes).
De cette manière on arrive a bâtir une théorie en utilisant ce qui à été
montré déjà !
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3.1 Méthodes de preuve
Les méthodes de preuve
Un théorème est un énoncé dont on peut démontrer l’exactitude.
On démontre la validité d’un théorème à l’aide d’une série d’enoncés
qui forment l’argument, ce qu’on appelle la démonstration.
La démonstration contient des énoncés qui comprendrent
des axiomes ou des postulats qui constituent les assomptions
sous-jacentes des structures mathématiques,
des hypothèses du théorème à démonstrer, et
les théorèmes déjà démontrés.
On utilise des règles d’inférence pour tirer des conclusions.
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3.1 Méthodes de preuve
Des types de théorème
Il existent des différents types de théorèmes.
Un lemme est un théorème simple qu’on utilise comme résultat
auxiliaire pour démontrer un autre théorème plus important.
Un corollaire est un théorème qu’on peut prouver directement à partir
d’un autre théorème déjà démontré.
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3.1 Méthodes de preuve
Les règles d’inférence
Définition : Soient P et Q deux propositions. Si P → Q est une
tautologie, on écrit
P =⇒ Q.
On l’appelle une règle d’inférence.
On utilise des règles d’inférence pour tirer des conclusions. Elles
proviennent de tautologies.
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