Introduction aux équations de la mécanique des fluides : théorie et

Introduction aux équations de la mécanique des fluides :
théorie et approximation numérique
Jean-Pierre Croisille et Dong Ye
Description du cours :
Ce cours de base propose une introduction à l'analyse mathématique et aux méthodes
numériques des équations en mécanique des fluides. Ces équations servent de plateforme à
une introduction aux équations aux dérivées partielles. Les thèmes suivants seront abordés:
Cette liste n'est pas exhaustive et pourra être modifiée en fonction du public.
Equations de la mécanique des fluides: équations de bilan en mécanique des milieux
continus. Formulations eulérienne et lagrangienne. Equations de Navier-Stokes compressible
et incompressible, équations d'Euler.

Modèles physiques pour la convection: équations du transport, équation des ondes linéaires
et non linéaires, équation de convection-diffusion.

Equations
de la mécanique des fluides sur géométrie sphérique: on rappellera brièvement le
matériel nécessaire de géométrie différentielle, puis on établiera les équations de type SW
(shallow water) qui servent de modèle de base en climatologie.
Méthode des caractéristiques,
solutions faibles discontinues. Relations de dispersion - ondes non linéaires en mécanique des
fluides: chocs, détentes, discontinuité de contact. Critères d'admissibilité de solutions faibles.
Exemples de théorèmes d'existence et d'unicité de solutions faibles.

Les
équations de Navier-Stokes incompressible en dimension 2. Formulation primitive et
formulation tourbillon et/ou fonction de courant. Approximation de Galerkin. Méthode des
éléments finis.
 Introduction aux méthodes numériques pour les équations de propagation: schémas aux
différences, schémas décentrés, schémas conservatifs. On présentera des exemples simples de
simulation numérique en 1D.
 Bases mathématiques de la méthode des volumes finis. Méthode de Godunov et méthodes
apparentées. Stabilité et précision. Schémas en temps. Aspects pratiques de l'implémentation.
Aperçu
sur quelques autres modèles de type fluide complexes: équations des films minces,
problèmes biharmoniques, ou encore problèmes de transition de phase.
Prérequis : Un cours de niveau M1sur les équations aux dérivées partielles est un plus, mais
n'est pas indispensable. Le suivi du cours 905 est recommandé.
Pédagogie adoptée :
Le cours comporte 54h en tout (36h CM+18h TD). Cela correspond à 18 semaines
d'enseignement à raison de 3h/semaine. Le cours a été donné en 2013-2014 sur les sites de
Metz (50 \%) et Nancy (50 \%). En 2014-2015, une partie du cours a été donnée en
visioconférence afin de limiter les déplacements des étudiants. Le cours comporte des
exercices. Un miniprojet de mise en oeuvre en Matlab sera proposé aux étudiants.
Bibliographie :
M.
Ben-Artzi, J.P. Croisille et D. Fishelov : Navier-Stokes equations in planar domains},
Imperial College Press, 2013.
 H. Brezis : Analyse Fonctionnelle, Théorie et applications, Dunod 2005.
 L.C. Evans: Partial Differential Equations, Grad. Stud. Math 19, AMS, 1998.
 E. Godlewski, P.A. Raviart : Hyperbolic systems of conservation laws, volume 3/4,
Ellipses-Marketing, 1991.
 A. Majda : Compressible fluid flow and systems of conservation
laws in several space variables, Springer, AMS 53, 1984.
 J.C. Strikwerda : Finite difference schemes and
partial differential equations, Wadsworth and Brooks/Cole, 1989.
 R. Temam : Navier-Stokes equations, AMS Edition, 2001.