U P M C – Paris 6 1M001 Mathématiques 2013

U P M C – Paris 6
Mathématiques
1M001
2013- 2014
Contrôle 1
Exercice 1 : Soit ∈ . On définit la fonction : → par pour 0, et 0 .
1. Citer des résultats du cours qui assurent que est continue sur ∗. ( 1pt)
2. Calculer lim→! . (2pts)
"
3. Déterminer la valeur de pour que soit continue en 0.(1pt)
4. Vérifier dans ce cas si est dérivable en 0.(2pts)
Exercice 2 : Soit # $ 1&'(
∈ .
1. Calculer la dérivée de . (1pt)
2. Montrer de deux façons différentes que l’équation # $ 1)*&
$ 2
&'(
0 admet au moins
une solution dans ,0,-..(3pts)
Indication : On appliquera à chaque fois un théorème du cours à une fonction bien choisie sur l’intervalle
,0,-..
Exercice 3 : Déterminer s’ils existent : Un majorant, un minorant, la borne supérieure, la borne inférieure,
le maximum, le minimum de l’ensemble / 0
1
$ 211 /( ∈ 4 ∗ 5. (3pts)