Symbole de Legendre Définition 1 Le symbole de Legendre (ap) est

Symbole de Legendre
a
est défini pour tout a ∈ Z et p 6= 2, p premier par
Définition 1 Le symbole de Legendre
p

si a ≡ 0 mod p,

0
a
= +1 si a est un carré non nul mod p,

p

−1 si a n’est pas un carré non nul mod p.
(1)
a
a
Si
= +1 on dit que a est un résidu quadratique. Si
= −1 on dit que a est un non résidu
p
p
quadratique.
a ∈ Z∗p est un résidu quadratique si et seulement si c’est un carré dans Z∗p , c’est-à-dire si et seulement s’il
existe x ∈ Z∗p tel que a = x2 dans Z∗p , (a ≡ x2 mod p).
Propriété 1
i) Pour a, b ∈ Z
ii) Pour a ∈ Z
ab
p
=
a
b
.
p
p
p−1
a
≡a 2
p
mod p.
iii) Pour tout p 6= 2
−1
p
p−1
p2 − 1
2
= (−1) 2
= (−1) 8 .
et
p
iv) (Loi de réciprocité quadratique) Pour p, q premiers impairs et distincts
(p − 1)(q − 1)
p
q
4
.
= (−1)
q
p
Symbole de Jacobi
Généralisation du symbole de Legendre.
Définition 2 Le symbole de Jacobi est défini pour a ∈ Z et n > 2, n = pα1 1 . . . pαr r impair par
a
n
0
=0
En particulier
n
=
a
p1
α1
...
a
pr
αr
.
1
et
= 1.
n
Lemme 2 Pour n, m ∈ Z, impairs,
a
ab
b
a
i)
= 0 si et seulement pgcd(a, n) > 1.
=
et
n
n
n
n
n−1
n2 − 1
2
−1
et
= (−1) 2
= (−1) 8 .
ii)
n
n
(n − 1)(m − 1) m
n
4
= (−1)
.
iii)
n
m
Remarque. D’après la définition du symbole de Legendre, pour tout m = p premier impair et tout
n
a = n ∈ Zp non nul, n est un résidu quadratique mod m si et seulement si
= +1.
m
Lorsque m > 2 est impair et pas nécessairement premier, on
n’a plus d’équivalence, il arrive parfois que n
n
ne soit pas un résidu quadratique mod m et que pourtant
= +1.
m
n
1) Si n est un résidu quadratique mod m, alors
= +1,
m
n
2) si
= −1, alors n n’est pas un résidu quadratique mod m.
m