Quantité de mouvement relativiste (2) Force et accélération en
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Quantité de mouvement relativiste (2) Force et accélération en
Quantité de mouvement relativiste (2) • Collision élastique de deux particules identiques: 1 + 2 3 + 4 – dans le référentiel R du centre de masse toutes les vitesses sont égales –d R y saut de vitesse +a saut de vitesse –a r 4 d x’’ –a r ''3 R’’ y’’g br 2 r 1 –b saut de vitesse +d r r ''4 ''2 r ''1 –e Saut de vitesse de R'' à R' avec = 1 : 1 d 2 a r 3 x r '4 y’ R’ e r '2 x’ r r '1 '3 –d d –g e = '4y = ''4y g = = g 1 d 2 (1 '' 4x d) { 0 Dans R’, conservation de la quantité de mouvement selon y’: p'1y + p'2y = p'3y + p'4 y ( ( ) ( ) ( ) d 2 + e 2 e = (g)g + d 2 + e 2 e (g)g = d 2 + e 2 e g (g) d 2 + e 2 = (g) = (0) Si b0, alors e 1 d 2 (d)= e0 et g0, et: 1 d 2 CQFD (g)g ) OS, 11 mai 2006 311 Force et accélération en relativité restreinte r dpr d(mvr ) r r d = = ma + mv F= dt dt dt F ma et la force n’est en général pas parallèle à l’accélération r d (1 v 2 /c 2 ) 3 r 2 3 r r d d 1 dv = v a vr ar = c 2 d dt = = = dt dt 1 vr 2 /c 2 2(1 vr 2 /c 2 ) 3 / 2 2c 2 dt c 2 3 dt r 2 d 2 r r r r r r d r d d d F v = ma v + mv v = m c 3 + mv 2 = mc 2 12 + v2 = mc 2 dt dt dt dt c dt r r r r d r r F vr F = ma + mv = ma + v 2 dt c • Si F est parallèle à v: r r r vr 2 F = ma + F 2 c la force est parallèle à l’accélération si et seulement si elle est parallèle ou perpendiculaire à la vitesse r vr 2 r r r F1 2 = ma F = m 3a c • Si F est perpendiculaire à v: r F = m ar r r d F v =0 =0 dt = constante v = constante OS, 11 mai 2006 312 Energie cinétique relativiste • Une particule au repos dans R au point A se déplace au point B sous l’effet d’une force, en acquérant une énergie cinétique T: F z R y traje ctoir e A O t B vA=0 A=1, TA=0 x vB=v B= , TB=T • Théorème de l’énergie cinétique entre A et B: Br Br r r T = TB TA = F d r = F vdt A A B B d = mc 2 dt = mc 2 A = mc 2 ( B A ) T = mc 2 ( 1) A dt • Limite non-relativiste ( = v/c << 1): r 1/ 2 r r r r T = mc 2 (1 2 ) 1 = mc 2 1 + 12 2 + O( 4 ) 1 = 12 mc 2 2 + O( 4 ) 12r3 1 mv 2 OS, 11 mai 2006 2 [ ] [ ] 313 Quantité de mouvement et énergie cinétique en fonction de la vitesse p/mc 4 Quantité de mouvement relativiste: p = mc= mv 3 Quantité de mouvement newtonienne: p = mc = mv Remarques: 2 1 =v/c 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T/mc2 4 1.2 1.4 Energie cinétique relativiste: T = mc2(–1) – on retrouve la mécanique newtonienne si v << c ( << 1) – en relativité, v est bornée (par c) Energie cinétique newtonienne: mais p et T ne T = mv2/2 sont par bornées 3 2 1 =v/c 0 0.0 OS, 11 mai 2006 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 314 Energie potentielle de masse Z 0 q q g hadrons • On observe une particule au repos qui se désintègre. Exemples: Z 0 quark + antiquark + gluon hadrons neutron proton + électron + antineutrino temps de vie moyen du neutron = 15 min • Lois de conservation: – Quantité de mouvement totale conservée – Energie cinétique pas conservée de l’énergie potentielle est libérée sous forme d’énergie cinétique – On introduit une énergie interne associée à la masse, de sorte que l’énergie totale (énergie cinétique + énergie de masse) soit conservée: énergie potentielle de masse équivalence masse-énergie Attention: 2 E pot masse = mc «taux de change» très élevé: 1g de matière correspond à 103 (3 10 8 ) 2 1014 J ou ~ 3MW pendant 1 an Einstein, 1905 masse énergie OS, 11 mai 2006 315 Energie potentielle de masse (2) • Soit la constante de proportionnalité entre masse et énergie interne de masse. • Désintégration d’une particule de masse M en deux particules identiques de masses m: avant M E pot masse (m) = m saut de vitesse –v v M avant repos u u = 2v/(1+v2/c2) repos Référentiel R’ où une masse m est au repos après m m Conservation de E dans R': r Conservation de p dans R': –v m m v après Référentiel R du centre de masse pot T(M,v) + E pot masse (M) = T(m,u) + 2E masse (m) Mc 2 ( (v) 1) + M = mc 2 ( (u) 1) + 2m M(v)v = m(u)u (1) (2) c 2 ( (v) 1) + c 2 ( (u) 1) + 2 (1) = où u = 2v2 2 (2) (v)v (u)u 1 + v /c OS, 11 mai 2006 à résoudre pour avoir en fonction de v Solution: = c2 indépendamment de v ! 316 Au tableau Relation énergie – quantité de mouvement • Energie totale d’une particule de masse m et de vitesse v: 2 2 E = T + E pot masse = mc ( 1) + mc E = mc 2 • Vitesse: r r r r r p pc = p = mc = mc mc 2 r pr c = E • Relation entre énergie et quantité de mouvement: r 1 2 = 12 r 2 E 2 E (E) = 2 r 2 E 2 (pc) = (mc 2 ) 2 r E 2 p 2c 2 = m2c 4 • Particule de masse de masse nulle: Remarque: les quantités E, pc et mc2 ont toutes la dimension d’une énergie Unités courantes: eV, MeV, … m = 0 E = pc = 1 – exemple: le photon (particule de lumière) OS, 11 mai 2006 317 Scalaires et quadrivecteurs • Scalaire (ou invariant): – grandeur que ne change pas par changement de référentiel: • exemples: c, (s)2, m, mc2 • Quadrivecteur: – ensemble de 4 composantes (A0, A1, A2, A3) =(A0, A) qui se transforme comme (ct, x, y, z) = (ct, x) par changement de référentiel (transformation de Lorentz) r r • exemple: (ct,x) = (ct 2 , x 2 ) (ct1, x1 ) r r r r – produit scalaire de deux quadrivecteurs: (A0 , A) (B0 , B) = A0B0 A B – carré de la norme d’un quadrivecteur = produit scalaire d’un quadrivecteur lui-même: r par r 2 (A0 , A) = A20 A2 = A20 A12 A22 A23 • Le carré de la norme d’un quadrivecteur est un scalaire 2 2 – par exemple (ct, x) = (ct) 2 (x) = (s) 2 est un scalaire OS, 11 mai 2006 318 Quadrivecteur énergie–quantité de mouvement Temps propre d’une particule de vitesse v (= temps dans le référentiel où la particule est au repos): Quadrivecteur position: = 1t r (ct, x) d (ct, xr ) = d (ct, xr ) = ( c,vr ) dt d r r 2 r 2 r Quadrivecteur vitesse/c: ( ,) de norme 2 = ( ,) = 2 ( ) = 2 (1 2 ) = 1 Quadrivecteur vitesse: En multipliant ce dernier quadrivecteur par le scalaire mc2, on obtient un quadrivecteur de norme2=m2c4 : r r r E 2 p 2c 2 = m2c 4 mc 2 , mc 2 = (E, pc) est un quadrivecteur ( ) Conséquence: l’énergie et la quantité de mouvement se transforment de la façon suivante lors d’un saut de vitesse standard: E' 0 0 E p'x 0 0 p x p'y = 0 0 1 0 p y 0 0 0 1 p z p'z transformation de Lorentz OS, 11 mai 2006 319 Résumé de relativité restreinte Relativité restreinte Postulats v/c << 1 c = constante Mécanique newtonienne temps et espace absolus 2 (ct) 2 (x) invariant t et x invariants Grandeurs physiques r r r 1/ 2 = v/c, = (1 2 ) r r p = mc T = mc 2 ( 1) E = mc 2 r r = pc/E r E 2 p 2c 2 = m2c 4 Loi de la dynamique r dpr F= dt r dpr F= dt conservation du r quadrivecteur (E, pc) r conservation de p conservation de l'énergie Lois de conservation OS, 11 mai 2006 r r p = mv T = 12 mv 2 E = E interne + 12 mv 2 v = 2T/p r T = p 2 /(2m) 320