Correction DS3_TGSI

CORRECTION DU DEVOIR N°3
N°3 DE MATHEMATIQUES
EXERCICE : cours (8 points)
1) ‫ ݒ‬est une suite géométrique de 1er terme ‫ݒ‬଴ = 0,1.
a. Sachant que ‫ = ଺ݒ‬6,4, calculer la raison ‫ݍ‬. (1 point)
Méthode : on utilise la formule ࢜࢔ = ࢜૙ × ࢗ࢔ .
‫ݒ = ଺ݒ‬଴ × ‫ ⟺ ଺ ݍ‬6,4 = 0,1 × ‫଺ ݍ‬
⟺ ‫= ଺ݍ‬
଺,ସ
଴,ଵ
⟺ ‫ = ଺ ݍ‬64
భ
⟺ ‫ = ݍ‬64ల =2
Donc la raison vaut 2.
b. Déterminer le sens de variation et la limite de la suite ‫ݒ‬. (1+0,5 point)
Comme ‫ = ݍ‬2 > 1 alors ‫ ݒ‬est strictement croissante et ‫→࢔ܕܑܔ‬ାஶ ࢜࢔ = +∞..
2) ‫ ݑ‬est une suite arithmétique telle que ‫ݑ‬ଵଵ = 17 et ‫ݑ‬ଶ଺ = 50. Calculer la raison ‫ ݎ‬et le 1er terme ‫ݑ‬ଵ .
(1+1 points)
Méthode : on utilise la formule ࢛࢔ = ࢛࢖ + (࢔ − ࢖)࢘.
‫ݑ‬૛૟ = ‫ݑ‬૚૚ + (૛૟ − ૚૚)‫ݎ‬
⟺ 50 = 17 + (26 − 11)‫ݎ‬
⟺ 50 − 17 = 15‫ݎ‬
⟺
‫ݑ‬૛૟ = ‫ݑ‬૚ + (૛૟ − ૚)‫ݎ‬
ଷଷ
ଵହ
= ‫ = ݎ‬2,2
Donc la raison vaut 2,2
2,2.
,2.
⟺ 50 = ‫ݑ‬ଵ + 25 × 2,2
⟺ 50 − 55 = ‫ݑ‬ଵ
⟺ ‫ݑ‬ଵ = −5
Donc le 1er terme vaut −૞..
3) ‫ ݑ‬est une suite arithmétique de raison 5 et de 1er terme ‫ݑ‬଴ = 4,5. Calculer la somme des dix
premiers termes de cette suite. (2 points)
ܵ = ‫ݑ‬଴ + ‫ݑ‬ଵ + ⋯ + ‫ݑ‬ଽ
Méthode : on utilise la formule ܵ = ݊‫ݏ݁݉ݎ݁ݐ ݁݀ ݁ݎܾ݉݋‬
Donc ܵ = 10 ×
ସ,ହା௨వ
ଶ
Donc ܵ = 10 ×
ସ,ହାସଽ,ହ
,
ଶ
௨బ ା௨వ
.
ଶ
or ‫ݑ‬ଽ = ‫ݑ‬଴ + 9‫ = ݎ‬4,5 + 9 × 5 = 49,5
ࡿ = ૛ૠ૙..
4) ‫ ݒ‬est une suite géométrique de raison 0,5 et de 1er terme ‫ݒ‬ଵ = 2. Calculer la somme ܵ = ‫ݒ‬ହ + ‫ ଺ݒ‬+
⋯ + ‫ݒ‬ଵହ (on arrondira le résultat à 10ିଷ près). (1,5 point)
ܵ = ‫ݒ‬ହ + ‫ ଺ݒ‬+ ⋯ + ‫ݒ‬ଵହ
Méthode : on utilise la formule ܵ = 1݁‫݁݉݉݋ݏ ݈ܽ ݁݀ ݁݉ݎ݁ݐ ݎ‬
Donc ܵ = ‫ݒ‬ହ ×
ଵି଴,ହభఱషఱశభ
ଵି଴,ହ
Donc ܵ = 0,125ହ ×
or ‫ݒ‬ହ = ‫ݒ‬ଵ × 0,5ହିଵ = 2 × 0,5ସ = 0,125
ଵି଴,ହభభ
,
ଵି଴,ହ
PROBLEME (12 points)
ଵି௤೙೚೘್ೝ೐ ೏೐ ೟೐ೝ೘೐ೞ
.
ଵି௤
ࡿ ≈ ૙, ૛૞૙.
Le 01/01/2006, un nouvel employé dans une entreprise se voit proposer deux formules de son salaire
mensuel :
- dans la formule A, il est augmenté tous les ans, au 1er janvier, de 20 euros.
- dans la formule B, il est augmenté tous les ans, au 1er janvier, de 1,5%.
Son salaire mensuel initial durant l’année 2006 est de 1200€.
On note ‫ݑ‬௡ (respectivement ‫ݒ‬௡ ) le salaire annuel selon la formule A (respectivement la formule B).
1) Expliquer pourquoi, en 2006, on a ‫ݑ‬଴ = ‫ݒ‬଴ = 14 400. (0,5 point)
Le salaire mensuel étant de 1 200€ en 2006 alors le salaire annuel de l’année 2006 sera de
12 × 1200 = 14 400.
Donc ࢛૙ = ࢜૙ = ૚૝ ૝૙૙.
2) Expliquer pourquoi, en 2007, on a ‫ݑ‬ଵ = 14 640 et ‫ݒ‬ଵ = 14 616. (1+1 points)
Formule A : au 1er janvier 2007 le salaire mensuel augmente de 20€, il est donc de 1 220€, donc le
salaire annuel est de 12 × 1200 = 14 640. Donc ࢛૚ = ૚૝ ૟૝૙.
Formule B : au 1er janvier 2007 le salaire mensuel augmente de 1,5%, soit de 0,015 × 1200 = 18€, il
est donc de 1 218€, donc le salaire annuel est de 12 × 1218 = 14 616. Donc ࢜૚ = ૚૝ ૟૚૟.
3) Donner, en justifiant la réponse, la nature des deux suites ‫ ݑ‬et ‫ݒ‬. Préciser la raison pour chacune
d’elles. (2×1,25 points)
Formule A : d’une année sur l’autre le salaire mensuel augmente de 20€, donc le salaire annuel
augmente de 12 × 20 = 240€.
définit
Donc ࢛ défi
nit une suite arithmétique de raison ࢘ = ૛૝૙ et de 1er terme ࢛૙ = ૚૝ ૝૙૙.
Formule B : d’une année sur l’autre le salaire mensuel augmente de 1,5%, or une augmentation de
1,5% correspond à un coefficient multiplicateur de 1+0,015=1,015, donc le salaire annuel est
multiplié par 1,015.
Donc ࢜ définit une suite géométrique de raison ࢗ = ૚, ૙૚૞ et de 1er terme ࢜૙ = ૚૝ ૝૙૙.
4) Exprimer ‫ݑ‬௡ et ‫ݒ‬௡ en fonction de ݊. (1+1 points)
‫ݑ‬௡ = ‫ݑ‬଴ + ݊‫ݎ‬
‫ݒ‬௡ = ‫ݒ‬଴ × ‫ ݍ‬௡
࢛࢔ = ૚૝૝૙૙ + ૛૝૙࢔
࢜࢔ = ૚૝૝૙૙ × ૚, ૙૚૞࢔
5) Calculer et comparer les salaires annuels selon les deux formules en 2016 et en 2026. (2 points)
Le rang 0 correspond à l’année 2006 donc l’année 2016 correspond au rang 10.
‫ݑ‬ଵ଴ = 14400 + 240 × 10 = 16 800€
Le salaire est plus intéressant selon la formule A.
‫ݒ‬ଵ଴ = 14400 × 1,015ଵ଴ ≈ 16 711,79€
L’année 2026 correspond au rang 20.
‫ݑ‬ଶ଴ = 14400 + 240 × 20 = 19 200€
Le salaire est plus intéressant selon la formule B.
‫ݒ‬ଶ଴ = 14400 × 1,015ଶ଴ ≈ 19 394,71€
6) Cet employé partira à la retraite au bout de 42 années complètes de travail dans cette entreprise. Il
décide de calculer combien il aurait gagné d’argent dans toute sa carrière.
On appelle ܵ௡ et ܶ௡ les sommes des termes des deux suites étudiées. Ainsi ܵ௡ = ‫ݑ‬଴ + ‫ݑ‬ଵ + ⋯ + ‫ݑ‬௡ et
ܶ௡ = ‫ݒ‬଴ + ‫ݒ‬ଵ + ⋯ + ‫ݒ‬௡ .
Calculer combien l’employé aurait gagné d’argent dans toute sa carrière selon les formules A et B. (0,5
pour le rang + 1,5 pour ܵସଵ + 1 pour ܶସଵ )
Formule A : on calcule ܵସଵ = ‫ݑ‬଴ + ‫ݑ‬ଵ + ⋯ + ‫ݑ‬ସଵ
Or ‫ݑ‬ସଵ = ‫ݑ‬଴ + 41‫ = ݎ‬14400 + 240 × 41 = 24 240,
Donc ܵସଵ = 42 ×
௨బ ା௨రభ
ଶ
= 42 ×
ଵସସ଴଴ାଶସଶସ଴
=811 440.
ଶ
Donc il aura accumulé 811 440€ après 42 ans de service.
Formule B : on calcule ܶସଵ = ‫ݒ‬଴ + ‫ݒ‬ଵ + ⋯ + ‫ݒ‬ସଵ
Donc ܶସଵ = ‫ݒ‬଴ ×
ଵି௤రమ
ଵି௤
= 14400 ×
ଵିଵ,଴ଵହరమ
ଵିଵ,଴ଵହ
≈834 093.
Donc il aura accumulé 834 093€ après 42 ans de service.