Liste des mini-projets

Liste des mini-projets
12 mars 2010
1
1.1
IGAT-CTG (Prof. Jacques Thévenaz et Donna Testerman)
Regular Hexagon
Sous la responsabilité de : Iulian Simion
Attribué à : .
Draw the regular hexagon and its axis of symmetry ; describe the subgroups of its symmetry
group D_12.
Logiciels : latex pstricks, GAP
1.2
Regular Icosahedron and Dodecahedron
Sous la responsabilité de : Iulian Simion
Attribué à : .
Draw the dodecahedron ; describe the subgroups of its symmetry group.
Logiciels : latex pstricks, GAP.
1.3
La loi normale asymétrique
Sous la responsabilité de : Alix Leboucq
Attribué à : .
La loi normale asymétrique (skew normal en anglais) généralise la loi normale standard en introduisant une asymétrie non nulle.
Le but de ce mini projet sera d’étudier dans un premier temps la loi normale asymétrique (propriétés, notamment à l’aide de graphes dans R) puis la loi normale asymétrique bivariée (graphe
en 3D de la fonction et comparaison avec la loi normale bivariée).
Logiciels : R
1
2
2.1
IGAT-GR-HE (Prof. Kathryn Hess Bellwald)
La suspension et l’espace de lacets d’un espace topologique
Sous la responsabilité de : assistant du groupe de Prof. Hess
Attribué à : .
Le but de ce projet purement théorique est d’apprendre à bien connaître les constructions fondamentales en topologie algébrique que sont la suspension et l’espace de lacets d’un espace topologique donné. L’étudiant étudiera les propriétés les plus importantes de ces constructions, dont,
en particulier, leur "dualité".
Références : Introduction to Homotopy Theory par Paul Selick
Logiciels : Le package XY-pic pour LATEX pourrait être utile pour la mise en pages des diagrammes commutatifs dans le rapport final.
Préalables requis : Les cours de première année et du premier semestre de deuxième année.
2.2
Le polynôme de Kaufmann
Sous la responsabilité de : assistant du groupe de Prof. Hess
Attribué à : .
L’étudiant apprendra les définitions d’un nœud mathématique et d’un diagramme de nœud, des
mouvements de Reidemeister et du polynôme crochet de Kauffman et écrira ensuite un programme
en Mathematica pour calculer le polynôme de Kauffmann d’un diagramme de nœud donné.
Références : Les chapitres I et XI du polycopié du cours "Théorie des nœuds" de Prof. Hess
Bellwald
Logiciels : Mathematica, XY-pic, éventuellement Illustrator
Préalables requis : Les cours de première année et du premier semestre de deuxième année.
3
3.1
IMA-CAA (Prof. Bernard Dacorogna et Boris Buffoni)
Chapitres choisis d’analyse (I)
Sous la responsabilité de : Prof. Dacorogna et ses assistants
Attribué à : .
Explorer des notions d’analyses en rapport avec les cours d’analyse III et IV (par exemple : fonctions spéciales, théorème fondamental des nombres premiers, formule isopérimétrique, ...).
Les sujets peuvent être choisis par les étudiants après discussion avec Bernard Dacorogna. Les
étudiants peuvent proposer un thème pour autant qu’il soit en relation avec le cours d’analyse.
2
3.2
Chapitres choisis d’analyse (II)
Sous la responsabilité de : Prof. Dacorogna et ses assistants
Attribué à : .
Explorer des notions d’analyses en rapport avec les cours d’analyse III et IV (par exemple : fonctions spéciales, théorème fondamental des nombres premiers, formule isopérimétrique, ...).
Les sujets peuvent être choisis par les étudiants après discussion avec Bernard Dacorogna. Les
étudiants peuvent proposer un thème pour autant qu’il soit en relation avec le cours d’analyse.
3.3
Distance de Hausdorff et fractales
Sous la responsabilité de : B. Buffoni
Attribué à : .
Certaines fractales sont obtenues comme points fixes d’applications contractantes dans un espace
métrique complet. Présenter l’espace métrique sous-jacent et illustrer l’idée géométrique.
Références : Paragraphe 5.II.4 dans Queffélec, Topologie 2e éd., Dunod 2002 ; G. A. Edgar,
Measure, topology and fractal geometry, Springer-Verlag 1990.
3.4
Lemme de Lebesgue et fonction de Cantor
Sous la responsabilité de : B. Buffoni
Attribué à : .
Démontrer en l’illustrant le lemme de Lebesgue sur la dérivabilité presque partout des fonctions
monotones et construire une fonction continue, croissante, non constante et à dérivée nulle presque
partout (fonction de Cantor). Généralisations.
Références : Riesz et Nagy, Leçons d’analyse fonctionnelle ; A.N. Kolmogorov et S. V. Fomin,
Introductory Real Analysis.
4
4.1
IMA-SMAT (Prof. Victor Panaretos)
Density Estimation and Tomography
Sous la responsabilité de : Victor Panaretos/ Kjell Konis
Attribué à : .
To gain an understanding of the peculiarities of multivariate density estimation and to investigate the use of tomography in this context.
Références : Silverman, B.W. (1992). Density Estimation for Statistics and Data Analysis. Chapman and Hall. O’Sullivan, F. & Pawitan, Y. (1993). Multidimensional Density Estimation by Tomography. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, Vol. 55 : 509–521. Natterer, F. (2001).
The Mathematics of Computerized Tomography. SIAM Classics in Applied Mathematics.
3
Logiciels : R
4.2
Statistical Inference for Functional Shape
Sous la responsabilité de : Victor Panaretos/ David Kraus
Attribué à : .
To introduce basic notions from Euclidean shape theory and to investigate their extension to
the infinite dimensional setting.
Références : Kendall, W.S. & Le, H. (2010). Statistical Shape Theory. Chapter in "New perspectives in Stochastic Geometry" (Eds. W.S. Kendall & I. Molchanov), Oxford University Press.
Small,
C. G. and Le, H. (2002). The statistical analysis of dynamic curves and sections. Pattern Recogn.
35 1597–1609.
Ramsay, J. & Silverman, B.W. (2005). Functional Data Analysis. Springer.
Logiciels : R, Matlab
5
5.1
IMA-STAT (Prof. Anthony Davison et Jean-Marie Helbling)
Vraisemblance Empirique
Sous la responsabilité de : Jacques Ferrez
Attribué à : .
Introduction à la vraisemblance empirique, implémentation avec R, simulations, propriétés de la
statistique du rapport de vraisemblance.
Références : Owen, A. (2001). Empirical Likelihood. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL.
Logiciels : R (http://www.R-project.org)
5.2
Normalité de données
Sous la responsabilité de : Jean-Marie Helbling
Attribué à : .
Le but de ce travail est d’examiner les méthodes graphiques et inférentielles qui permettent de
vérifier si un échantillon suit une loi normale. Suivant le temps à disposition on examinera aussi la
situation multivariée.
Références : à voir avec Jean-Marie Helbling
Logiciels : utilisation du logiciel R
4
6
IMB (Dr. Joachim Stubbe)
6.1
Normalité de données
Sous la responsabilité de : Joachim Stubbe
Attribué à : .
Abstract.
The principal objective of this mini-project is to study various Riesz means using MAPLE,
MATHEMATICA or MATLAB thereby checking some conjectures and deep analytical results on
these quantities.
Description of the Project
Let m, n be positive integers and t ≤ 1 be a fixed parameter. Define
λm,n = m2 + t2 n2 .
(1)
The quantities λm,n can be also interpreted as the Dirichlet eigenvalues of the rectangle [0, π] ×
[0, π/t].
For σ ≥ 0 consider the Riesz means Rσ (z) of λm,n defined by
XX
Rσ (z) :=
(z − λm,n )σ
(2)
λm,n ≤z
The quantity
R0 (z) equals the number of points with coordinates (m, tn) inside the closed ball of
√
radius z. The student has to study the functions
z 7→ z −σ−1 Rσ (z)
(3)
for various choices of σ and the parameter t.
Theoretical Background and Work to be done
It is well known (literature will be detailed during the project) that
lim z −σ−1 Rσ (z) =
z→∞
π
4(σ + 1)t
(4)
and these limits are approached from below. The qualitative structure of the function in (4) is only
known for σ ≥ 2 where it has been proved recently that it is strictly increasing. It is conjectured
that for σ < 2 the function (4) has a unique maximum between two consecutive values of λm,n
and that the sequences of theses maximal values is increasing for all 2 > σ > σcr where σcr does
not depend on t. These conjectures have to be checked for various values of σ and t for low lying
values of λm,n (the first hundreds or so).
5
7
7.1
IMB-CAG (Prof. Tudor Ratiu)
Topics in geometric mechanics (I)
Sous la responsabilité de : Tudor Ratiu
Attribué à : .
According to the interest of the student, a subject in the general area of geometric mechanics
is chosen. The objective is to understand a specific problem. Examples are : the free rigid body,
the heavy top, various equations of fluid dynamics, wave equations such as KdV, complex fluids,
etc.
7.2
Topics in geometric mechanics (II)
Sous la responsabilité de : Tudor Ratiu
Attribué à : .
According to the interest of the student, a subject in the general area of geometric mechanics
is chosen. The objective is to understand a specific problem. Examples are : the free rigid body,
the heavy top, various equations of fluid dynamics, wave equations such as KdV, complex fluids,
etc.
8
8.1
IMB-CSAG (Prof. Eva Bayer Fluckiger)
Le théorème des zéros de Hilbert
Sous la responsabilité de : Daniel Arnold Moldovan
Attribué à : .
Une introduction dans la géometrie algébrique (topologie de Zariski, le théorème des zéros de
Hilbert)
Préalables requis : algèbre de 1ère et de 2ème années ; des connaisances préalables de géometrie algébriques ne sont pas nécessaires, mais fortement conseillées.
Références :
1. Hartshorne, R. : Algebraic geometry, Springer, New York, 2006
2. Fulton, W. : Algebraic curves, an introduction to algebraic geometry, Math. Lect. Note Ser.,
Benjamin, New York, 1969
Langue : anglais ou français
8.2
Groupe de Witt d’un corps
Sous la responsabilité de : Jean Fasel
Attribué à : .
Le but du projet est d’apprendre les fondamentaux de la théorie des formes quadratiques sur
6
un corps de caractéristique différent de 2. Ces fondamentaux comprennent la définition du groupe
de Witt d’un corps dans un cadre assez général, le théorème de diagonalisation, ainsi que le calcul
de certains groupes de Witt.
Référence : Paul Balmer. Witt groups. In Handbook of K-theory. Vol. 1, 2, pages 539–576.
Springer, Berlin, 2005.
8.3
Élements de langage des catégories
Sous la responsabilité de : Emmanuel Lequeu
Attribué à : .
Appréhender les notions de base suivantes de langage des catégories :
– Catégories
– Foncteurs et transformations naturelles
– Foncteurs représentables et problèmes universels et illustration par des situations déjà rencontrées.
Références : J. Dieudonne, Panorama des mathématiques pures, le choix bourbachique.
A. Douady et R. Douady, Algebre et theories galoisiennes 1.
9
9.1
IMB-LCVMM (Prof. John Maddocks et Philippe Caussignac)
Résolution d’un problème de bifurcation par la MAN
Sous la responsabilité de : Philippe Caussignac
Attribué à : .
La Méthode Asymptotique Numérique permet de résoudre des systèmes algébriques dépendant
d’un paramètre ; elle utilise un développement perturbatif dans le paramètre pour approcher une
solution.
A l’aide d’un code Matlab existant, on devra définir un problème de réaction chimique et explorer les branches de solutions.
9.2
Compléments de C++
Sous la responsabilité de : Ph. Caussignac
Attribué à : .
Ce TP s’adresse aux étudiants qui se destinent à la programmation d’algorithmes.
Après avoir approfondi certaines notions, on devra programmer une classe restreinte pour des
opérations d’algèbre linéaire.
Logiciels : Gnu/Intel C++.
7
9.3
Décentrage pour l’équation de diffusion-convection
Sous la responsabilité de : Philippe Caussignac
Attribué à : .
On considère le problème de trouver u ∈ C 2 [0, 1] telle que
−εu00 (x) + u0 (x) = f (x), x ∈ (0, 1),
u(0) = 1, u(1) = 0,
qui passe du type elliptique au type hyperbolique lorsque ε → 0. Pour ε petit, une méthode aux
différences centrée donne des oscillations près de x = 1. On expérimentera plusieurs méthodes pour
remédier à ce phénomène.
Logiciels : Matlab
10
10.1
MATHICSE-ANMC (Prof. Assyr Abdulle)
Calcul de la trajectoire de planètes
Assistant responsable : Achim Nonnenmacher
Attribué à : .
Comprendre comment les lois de Newton conduisent à la description des équations différentielles
ordinaires pour le mouvement des planètes.
Ecrire un petit programme pour résoudre ces équations différentielles et prédire la position de
Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton en septembre 2014.
Logiciel : Matlab (ou C++,. . . ).
10.2
La méthode des moindres carrés
Assistant responsable : Achim Nonnenmacher
Attribué à :
Comprendre comment résoudre un système linéaire surdéterminé par la méthode des moindres
carrés. Décrire la relation entre un problème de minimisation et les équations dites « normales ».
Sur les traces de Gauss, calculer à l’aide des moindres carrés la trajectoire de Cérès, une planète
naine de notre système solaire.
Logiciel : Matlab (ou C++,. . . ).
11
11.1
MATHISCE-ASN (Prof. Jacques Rappaz et M. Picasso)
Résolution numérique d’un problème hyperbolique du 1er ordre à
une dimension d’espace
Sous la responsabilité de : M. Picasso
Attribué à : .
8
Écrire un programme permettant d’approcher la solution d’un problème hyperbolique du 1er ordre
à une dimension d’espace. Utiliser les schémas d’Euler et Cranck Nicolson. Discuter les résultats.
Rédiger.
Références : J. Rappaz, M.Picasso, Introduction à l’analyse numérique, PPUR, chapitre 13.
Logiciels : Matlab ou C++
11.2
Résolution numérique d’un problème hyperbolique du 2ème ordre
à une dimension d’espace
Sous la responsabilité de : M. Picasso
Attribué à : .
Ecrire un programme permettant d’approcher la solution d’un problème hyperbolique du 2ème
ordre à une dimension d’espace. Utiliser les schémas de Newmark implicites et explicites. Discuter
les resultats. Rédiger.
Références : J. Rappaz, M.Picasso, Introduction à l’analyse numérique, PPUR, chapitre 13.
Logiciels : Matlab ou C++
12
12.1
MATHICSE-CMCS (Prof. Alfio Quarteroni)
Real-Time Computing and Visualization
Sous la responsabilité de : Gianluigi Rozza/ Laura Lapichino
Attribué à :
To select examples of simple parametrized systems in a field of interest (among a collection
proposed including heat transfer, potential flow, linear elasticity), solve it in real-time for different
values of the parameter(s) and visualize the solutions.
Logiciels : Matlab Library rbMIT already available for academic and educational use.
Références : Documentation on the use of rbMIT Matlab library, examples of worked problems
already available and documented at http://augustine.mit.edu/workedProblems.htm and provided with the software library. The creation of the problem is based on a "learning by examples"
approach, characterized by available templates and an increasing degree of complexity. The library
includes also some facilities to create the template of a Latex document to include results, schemes
and figures.
Knowledge of Finite Element Method and Numerical Analysis is NOT requested, just few
elements of Partial Differential Equations (operators and boundary conditions) and Matlab basic
commands (for visualization and managements of simple functions and file templates).
9