Chapitre 1 - Tourbillon

Chapitre 1
Jean-Paul
Vincent
Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Chapitre 1
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
Jean-Paul Vincent

Chapitre 1
Jean-Paul
Vincent
Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
1 Trigonométrie
Définitions et quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver les formules ?
Polynômes de sinus et cosinus
Application au repérage des points des cercles
Trigonométrie
Chapitre 1
Jean-Paul
Vincent
Représentation des principales fonctions trigonométriques
(1, tan(θ))
Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
sin(θ)
θ
Application au
repérage des points
des cercles
(1, 0)
O
cos(θ)
Trigonométrie
Chapitre 1
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Vincent
Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Le
produit
scalaire
(cos(θ0 ), sin(θ0 )) :
(cos(θ ), sin(θ ))
de
cos(θ − θ0 ) = cos(θ ) cos(θ0 ) + sin(θ ) sin(θ0 )
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
sin(θ)
θ
Application au
repérage des points
des cercles
θ0
sin(θ0 )
θ − θ0
O
cos(θ)
pour retrouver une formule.
cos(θ0 )
avec
Trigonométrie
Chapitre 1
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Vincent
Six valeurs à connaître :
Trigonométrie
π
1 2
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
6
1
2
O
1
2
√
2
2
√
3
2
0
Trigonométrie
Chapitre 1
Jean-Paul
Vincent
Et celles qui s’en déduisent
Trigonométrie
3π
4
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
π
2
2π
3
π
3
π
4
5π
6
Comment retrouver
les formules ?
π
6
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
π
O
0
2π
7π
6
11π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
Formulaire
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Vincent
√
Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
2
sin
=
4
√2
π
3
sin
=
3
2
π
1
sin
=
6
2
π
√
2
4
2
π
1
cos
=
3
2√
π
3
cos
=
6
2
cos
π
=
Formulaire
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Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
sin(−x )
π
sin
−x
2
π
sin
+x
2
sin(x + π )
= − sin(x )
= cos(x )
= cos(x )
= − sin(x )
sin(π − x ) = sin(x )
cos(−x )
π
cos
−x
2
π
cos
+x
2
cos(x + π )
= cos(x )
= sin(x )
= − sin(x )
= − cos(x )
cos(π − x ) = − cos(x )
Formulaire
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Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
cos2 (x ) + sin2 (x ) = 1
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
sin(x + y ) = sin x cos y + cos x sin y
cos(x + y ) = cos x cos y − sin x sin y
sin x
tan x =
cos x
tan x + tan y
tan(x + y ) =
1 − tan x tan y
cos x
cot x =
sin x
Formulaire
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Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
x +y
x −y
cos
2
2
x −y
x +y
= 2 sin
cos
2
2
x +y
x −y
= 2 cos
cos
2
2
x +y
x −y
= −2 sin
sin
2
2
1
= (cos(x − y ) + cos(x + y ))
2
sin x + sin y = 2 sin
sin x − sin y
cos x + cos y
cos x − cos y
cos x cos y
Formulaire
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Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
1
(cos(x − y ) − cos(x + y ))
2
1
sin x cos y = (sin(x + y ) + sin(x − y ))
2
sin 2x = 2 sin x cos x
sin x sin y =
cos 2x = 2 cos2 x − 1
cos 2x = 1 − 2 sin2 x
cos 2x = cos2 x − sin2 x
Formulaire
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Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
2 tan x2
sin x =
1 + tan2
cos x =
tan x =
1
cos2 (x )
x
2
x
2
1 − tan 2
1 + tan2 x2
2 tan x2
1 − tan2 x2
= 1 + tan2 (x )
Formules et propriétés géométriques du cercle
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1
Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
La symétrie orthogonale d’axe (xx 0 ) : θ 7→ −θ, change le
signe du sinus et laisse invariant le cosinus :
cos(−θ ) = cos(θ ),
sin(−θ ) = − sin(θ )
Formules et propriétés géométriques du cercle
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1
Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
cos(−θ ) = cos(θ ),
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
La symétrie orthogonale d’axe (xx 0 ) : θ 7→ −θ, change le
signe du sinus et laisse invariant le cosinus :
2
sin(−θ ) = − sin(θ )
La symétrie orthogonale d’axe (yy 0 ) : θ 7→ π − θ,change
le signe du cosinus et laisse invariant le sinus :
cos(π − θ ) = − cos(θ ),
sin(π − θ ) = sin(θ )
Formules et propriétés géométriques du cercle
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Vincent
1
Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
cos(−θ ) = cos(θ ),
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
La symétrie orthogonale d’axe (xx 0 ) : θ 7→ −θ, change le
signe du sinus et laisse invariant le cosinus :
2
La symétrie orthogonale d’axe (yy 0 ) : θ 7→ π − θ,change
le signe du cosinus et laisse invariant le sinus :
cos(π − θ ) = − cos(θ ),
3
sin(−θ ) = − sin(θ )
sin(π − θ ) = sin(θ )
La symétrie centrale : θ 7→ θ + π, composée des deux
précédentes, change les signes du sinus et du cosinus.
Formules et dérivation
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Vincent
Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
1
Dériver un sinus ou un cosinus, c’est effectuer une rotation
de π2 :
π
sin0 (θ ) = cos θ +
,
2
π
cos0 (θ ) = sin θ +
2
Formules et dérivation
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Vincent
1
Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
π
sin0 (θ ) = cos θ +
,
2
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Dériver un sinus ou un cosinus, c’est effectuer une rotation
de π2 :
2
π
cos0 (θ ) = sin θ +
2
Application de la dérivation :
Application au
repérage des points
des cercles
cos(x − y ) = cos x cos y + sin x sin y
Dérivons relativement à x :
sin(x − y ) = sin x cos y − cos x sin y
Linéarisation et factorisation
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Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
La combinaison linéaire des fonctions f , g, h, . . . à coefficients a, b, c, . . . est la fonction : af + bg + ch + . . .
Le principe est de transformer une expression comportant des
produits de sin ou de cos
∑ αk (sin(x ))m
k
(cos(x ))nk
en combinaison linéaire (à coefficients complexes) de sin ou
de cos :
∑ ak sin(ck x ) + bk cos(dk x )
L’arme absolue est l’usage des formules d’Euler. Mais une
bonne connaissance des formules de trigonométrie peut
s’avérer plus efficace.
Linéarisation et factorisation
Chapitre 1
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Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
La factorisation d’une expression trigonométrique procède
souvent de l’opération inverse de la linéarisation. Elle est
plus difficile en général.
Exemple : sin 2t + cos 4t = sin 2t + 1 − sin2 2t or :
− sin2 2t + sin 2t + 1 = −2 (sin t − 1) sin t + 12 .
Paramétrisations du cercle
Chapitre 1
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Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
Definition
Le plan est muni du repère orthonormé (O,~ı,~), C est le
cercle de centre 0 et de rayon 1. Une paramétrisation de C
est une application d’un intervalle I de R dans le plan dont
l’image est C .
Exemples : Une bijection définissant un parcours dans le sens
trigonométrique :
x (θ ) = cos(θ )
θ ∈] − π, π ] :
y (θ ) = sin(θ )
Paramétrisations du cercle
Chapitre 1
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Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
Un parcours dans le sens rétrograde :
x (θ ) = cos(4πθ )
θ ∈ [0, 1] :
y (θ ) = sin(−4πθ )
Mais ce n’est pas une bijection.
Paramétrisations du cercle
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Encore un exemple :
Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
θ ∈] − π, π [:

 x (θ ) =
 y (θ ) =
1−tan( 2θ )2
1+tan( 2θ )2
2 tan( 2θ )
1+tan( 2θ )2
Paramétrisations du cercle
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Trigonométrie
Définitions et
quelques valeurs
Des formules
Comment retrouver
les formules ?
Polynômes de sinus
et cosinus
Application au
repérage des points
des cercles
Cette dernière se met aussi sous la forme :
(
t2
x (t ) = 11−
+t 2
t ∈] − ∞, +∞[:
2t
y (t ) = 1+
t2
avec le changement de paramètre : t = tan( 2θ ).