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Objectifs
Disponibilité Ponctuelle
SAN
Comparaison des Méthodes
Conclusions
Efficacité de méthodes de détection du régime
stationnaire pour l’analyse de la disponibilité
ponctuelle des grands modèles
Leonardo Brenner, Brigitte Plateau
{prénom.nom}@imag.fr
Laboratoire d’Informatique de Grenoble, France
Projet MESCAL
Aussois, 1 Juin 2008
Objectifs
SAN
Plan
1
Objectifs
2
3
Réseaux d’Automates Stochastiques (SAN)
4
5
Conclusions
Conclusions
Objectifs
SAN
Objectifs
Tester l’efficacité de méthodes de détection du régime
stationnaire pour le calcul de la disponibilité ponctuelle pour
des grands modèles.
Efficacité ?
On teste l’efficacité par une comparaison expérimentale des
méthodes par rapport à :
Nombre d’itérations
Précision des résultats
Conclusions
Objectifs
SAN
Conclusions
Disponibilité ponctuelle
La disponibilité ponctuelle est l’espérance de récompense dans
la distribution transitoire à l’instant t.
PAV (t) =
X
πt [i]r (i)
i
où :
πt [i] la probabilité du i-ème élément du vecteur de probabilité
de la distribution transitoire à l’instant t ;
r (i) la fonction de récompense pour l’état i.
Pour le calcul de la disponibilité ponctuelle, la fonction de
récompense modélise la fonction indicatrice de l’ensemble
d’états UP. La fonction indicatrice vaut 1 lorsque l’état i
appartient à l’ensemble UP et 0 lorsque il appartient à
l’ensemble DOWN.
Objectifs
SAN
La distribution transitoire de la chaîne de Markov à l’instant t
peut être obtenue par l’équation :
πt = π0 eQt .
Par conséquent, on calcule PAV (t) par :
PAV (t) = π0 eQt 1UP .
où :
π0 le vecteur de la distribution initial à l’instant t ;
Q la matrice de taux de transition ;
1UP le vecteur de la fonction de récompense qui exprime la
fonction indicatrice de l’ensemble d’états UP
Conclusions
Objectifs
SAN
Méthode d’uniformisation
Par la méthode d’uniformisation, on peut alors réécrire
l’équation de la disponibilité ponctuelle par :
PAV (t) = π0
∞
X
n=0
e−λt
(λt)n n
P 1U
n!
Matrice P
P = (Id + Q/(λ))
λ la plus grande valeur de la matrice Q.
Conclusions
Objectifs
SAN
Conclusions
Élévation de la Matrice P à la Puissance n
La partie la plus coûteuse du calcul ;
Faite par multiplications successives entre la matrice et un
vecteur.
Multiplication à gauche
(
v0 = π0
vn =
vn = vn−1 P
Multiplication à droite
(
w0 = 1UP
wn =
wn = P wn−1
Objectifs
SAN
Conclusions
Détection du régime stationnaire
L’objectif des méthodes de détection du régime stationnaire est
réduire le coût de calcul en arrêtant les multiplications
matrice-vecteur lorsqu’on arrive en régime stationnaire.
On utilise le vecteur en régime stationnaire (obtenu à la N-ème
itération) à la place des vecteurs qui suivent la N-ème itération
pour calculer la disponibilité ponctuelle.
Objectifs
SAN
Méthodes de détection du régime stationnaire
Convergence du vecteur wn ;
Contrôle de la suite du vecteur wn .
Conclusions
Objectifs
SAN
Conclusions
Convergence du vecteur wn
Le régime stationnaire est détecté par la convergence du
vecteur ;
La convergence du vecteur est détectée par comparaison
de 2 vecteurs successifs de l’itération selon différentes
normes ;
Le régime stationnaire est détecté lorsque la différence
entre 2 vecteurs est plus petite que l’erreur maximum
acceptée.
Objectifs
SAN
Différentes normes
Test de convergence absolue individuel :
maxi∈1,..,S (|wn [i] − wn−1 [i]|) < ε
Test de convergence absolue accumulée :
k wn [i] − wn−1 [i] k1 < ε
Test de convergence relative individuel :
|wn [i] − wn−1 [i]|
<ε
maxi∈1,..,S
|wn [i]|
ε est l’erreur maximum acceptée.
Conclusions
Objectifs
SAN
Contrôle de la suite de vecteur wn
Proposé par Sericola en 1999 ;
Détection par la comparaison de la différence entre le
minimum (mn ) et le maximum (Mn ) des composants du
vecteur wn .
Propriétés des mn et Mn
mn toujours croissantes ;
Mn toujours décroissantes ;
mn et Mn convergent vers la disponibilité en régime
stationnaire.
Conclusions
Objectifs
SAN
Conclusions
Modélisation de systèmes complexes par la décomposition
en sous-systèmes ;
Sous-systèmes indépendants qui interagissent
occasionnellement ;
Équivalence aux Chaînes de Markov.
Objectifs
SAN
Conclusions
en sous-systèmes ;
occasionnellement ;
Objectifs
SAN
Conclusions
en sous-systèmes ;
occasionnellement ;
Objectifs
SAN
Chaque sous-système est représenté par un automate
stochastique
Les événements locaux changent l’état local d’un seul
automate
Les événements synchronisants changent l’état local de
plusieurs automates simultanément
L’interaction entre les automates :
Événements synchronisants
Taux et/ou probabilités fonctionnels
Conclusions
Objectifs
SAN
stochastique
automate
Conclusions
Objectifs
SAN
stochastique
automate
Conclusions
Objectifs
SAN
stochastique
automate
Conclusions
Objectifs
SAN
stochastique
automate
Conclusions
Objectifs
SAN
stochastique
automate
Conclusions
Objectifs
SAN
SAN (Exemple)
A (1 )
A (2 )
0(1)
0(2)
e2 (π1 )
e4
e2
e2 (π2 )
e1
e5
1
f =
(1)
st A(2) == 0
2
(2)
(2)
1(2)
Type Event Rate
loc
e1
f
e2
µ
syn
loc
e3
σ
e4
δ
loc
loc
e5
τ
e3
∗ λ + st A(2) == 2(2) ∗ γ
Conclusions
Objectifs
SAN
Chaîne de Markov Équivalente
0(1) 0(2)
λ
δ
τ
1(1) 0(2)
µπ2
0(1) 2(2)
µπ1
0(1) 1(2)
δ
γ
σ
τ
1(1) 2(2)
1(1) 1(2)
σ
Conclusions
Objectifs
SAN
Comparaison des méthodes de détection du régime
stationnaire
6 différents modèles ;
FAS - Premier serveur disponible ;
MSA - Disponibilité d’un système multi-processeur ;
CFR - Grappe de processeurs reconfigurable ;
RWP - Patron de mobilité aléatoire ;
DDS - Base de données distribuée ;
Workstation - Grappe de station de travail.
Variation de la taille de modèles ;
Variation de l’ensemble d’états UP.
Conclusions
Objectifs
SAN
Critères de comparaison
Nombre d’itérations ;
Précision des résultats.
Méthodes comparées
CAI Méthode de convergence de vecteur avec le test de
Convergence Absolue Individuel du vecteur ;
AAC Méthode de convergence de vecteur avec le test de
Convergence Absolue Accumulée du vecteur ;
CSW Méthode de Contrôle de la Suite du vecteur wn .
Conclusions
Objectifs
SAN
Meilleure résultat de la méthode CAI pour tous les
modèles ;
Conclusions
Objectifs
SAN
Conclusions
Modèle Workstation - 512 serveurs - 4, 210, 704 états
11000
CAI
CAA
CSW
10000
9000
Nombre d’iterations
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
10e-5
10e-7
Erreur maximum acceptee
10e-9
10e-10
Objectifs
SAN
modèles ;
Meilleure résultat de la méthode CSW pour les grands
modèles par rapport à la méthode CAA ;
Conclusions
Objectifs
SAN
Conclusions
Modèle FAS - 1.048.576 états
550
CAI
CAA
CSW
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
10e-5
10e-7
10e-9
10e-10
Objectifs
SAN
modèles ;
Différence assez importante pour certains modèles ;
Conclusions
Objectifs
SAN
Conclusions
Modèle DDS - 3.515.625 états
9000
CAI
CAA
CSW
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
10e-5
10e-7
10e-9
10e-10
Objectifs
SAN
modèles ;
Exception pour le modèle CFR (grande erreur maximum
acceptée) ;
Conclusions
Objectifs
SAN
Conclusions
Modèle CFR - 14.348.907 états
11000
CAI
CAA
CSW
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
10e-5
10e-7
10e-9
10e-10
Objectifs
SAN
modèles ;
Exception pour le modèle CFR (petite précision) ;
Meilleure resultat de la méthode CAA pour les petits
modèles par rapport à la méthode CSW.
Conclusions
Objectifs
SAN
Conclusions
Modèle MSA - 514 états
200
CAI
CAA
CSW
180
160
140
120
100
80
60
10e-5
10e-7
10e-9
10e-10
Objectifs
SAN
Conclusions
Précision des Résultats
On calcule la précision des résultats par la différence de la
valeur de la disponibilité ponctuelle calculé par chaque
méthode et la valeur obtenue par la méthode CSW avec une
erreur maximum acceptée de 1e−10 .
Fausse détection de convergence
Le problème de précision des résultats est causé par une
détection prématurée du régime stationnaire (fausse détection
de convergence).
Objectifs
SAN
Conclusions
Problème de fausse détection de convergence est observé
dans la méthode CAI pour les modelès FAS, CFR, RWP et
Workstation.
Objectifs
SAN
Conclusions
Modèle RWP - Erreur maximum acceptée égale à 1e − 9
4.5e-09
CAI
CAA
CSW
4e-09
3.5e-09
Erreur
3e-09
2.5e-09
2e-09
1.5e-09
1e-09
5e-10
0
5
8
Espace de couverture
11
Objectifs
SAN
Conclusions
dans la méthode CAI pour les modèles FAS, CFR, RWP et
Workstation ;
dans la méthode CAA uniquement pour le modèle CFR ;
Objectifs
SAN
Conclusions
Modèle CFR - 243 états
1.4e-05
CAI
CAA
CSW
1.2e-05
1e-05
Erreur
8e-06
6e-06
4e-06
2e-06
0
10e-5
10e-7
10e-9
10e-10
Objectifs
SAN
Conclusions
dans la méthode CAI pour les modèles FAS, CFR, RWP et
Workstation ;
dans la méthode CAA uniquement pour le modèle CFR ;
La méthode CSW présente des résultats moins bon pour
certains modèles et pour une grande erreur maximum
acceptée (1e−5 ).
Objectifs
SAN
Conclusions
Workstation - 17.424 états
2.5e-06
CAI
CAA
CSW
2e-06
Erreur
1.5e-06
1e-06
5e-07
0
10e-5
10e-7
10e-9
10e-10
Objectifs
SAN
Conclusions
Conclusions
La bonne performance de la méthode CAI sur le nombre
d’itération est compromise par les problèmes de fausse
convergence ;
La méthode CAA présente moins de problèmes de fausse
convergence, de plus le nombre d’itérations est très
mauvais pour la plus grande partie des modèles testés ;
La méthode CSW permet un calcul fiable de la disponibilité
ponctuelle pour un surcoût entre 20% et 500%.
Objectifs
SAN
Questions ?
Conclusions

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