Evaluation des gains apportés par la prise de grand carrossage sur

Transcription

Numéro d’ordre : 2008-14
Année 2008
THÈSE
présentée devant
L’ÉCOLE CENTRALE DE LYON
pour obtenir le grade de
DOCTEUR
Spécialité : Mécanique
par
Estelle KOENSGEN
Application de la méthode de conception robuste ”First Design” sur
un train avant à carrossage piloté
Soutenue le 09 juillet 2008 devant le jury :
Mme.
M.
M.
M.
M.
M.
M.
E. AUBRY, Professeur, Université de Haute-Alsace
S. BERGER, Maı̂tre de conférences, Université de Haute-Alsace
C. BOUET, Responsable de pôle liaison au sol, Renault
W. CHARON, Professeur, Université de Technologie de Belfort-Montbélliard
M. ICHCHOU, Professeur, LTDS, École Cenrale de Lyon, Écully
L. JÉZÉQUEL, Professeur, LTDS, École Cenrale de Lyon, Écully
K.N. M’SIRDI, Professeur, Université Aix-Marseille
Directeur de thèse
Co-directeur de thèse
Examinateur
Rapporteur
Examinateur
Directeur de thèse
Rapporteur
.
iv
Résumé
Dans le secteur concurrentiel de l’automobile, un constructeur cherche continuellement à
satisfaire ses clients afin de maintenir et de gagner des parts de marché. Il est donc soumis sans
cesse à un besoin d’innovation afin d’améliorer l’environnement, le confort, les performances
et la sécurité des véhicules, tout en respectant ses objectifs de qualités, de coûts et de délais.
C’est dans cette optique que depuis plus d’une décennie de nombreux systèmes pilotés ont été
introduits dans l’automobile (ESP, AFS, ABS, airbags...). Cependant, le contrôle du plan de
roue, en particulier l’angle de carrossage, n’a jamais été totalement explicité pour des raisons de
gains de prestations incertains, de coût, de difficultés d’adaptation à des technologies de trains
existantes et d’intégration dans le véhicule.
L’objectif de cette thèse est d’appliquer une méthode de conception robuste aux trains avant
innovants. ” Innovants ” dans le sens où l’angle de carrossage est piloté sur une plage de variation large [-20˚ ; 20˚].
L’angle de carrossage fait directement intervenir la roue. Le pneumatique est de toute évidence au coeur de la conception des organes de la liaison au sol. Une étude préliminaire sur le
pneu et le carrossage est donc indispensable. Après une présentation générale du pneumatique
et de ses différents paramètres influents, un état de l’art de la modélisation du pneu est proposé
afin de trouver un modèle de pneu d’automobile dont le comportement est valide pour les grands
angles de carrossage. Deux modèles se sont distingués. Ils ont été développés spécifiquement
pour l’usage automobile et comparés entre eux.
A ce stade, la méthode de conception ” First Design ” peut alors être appliquée. Dans une
première phase, elle détermine à l’aide d’outils mathématiques les paramètres fonctionnels les
plus influents sur la performance du comportement routier et sur sa robustesse vis-à-vis des
incertitudes. La mise en place de modèles simplifiés et de la loi de pilotage de l’angle de carrossage permettent alors une optimisation robuste avant de déterminer les paramètres influents
à l’ordre deux. Les paramètres ainsi obtenus vont alors être la cible de la deuxième partie de
la méthode à savoir : l’optimisation des paramètres organiques. Alors que la partie fonctionnelle ne présupposait ni d’une architecture particulière de train, ni de solutions technologiques
prédéfinies, la partie organique se base sur une technologique de train précise. La sélection
du train s’est opérée à l’aide de la méthode de conception raisonnée ” Rational design ” et
de la méthode d’analyse multicritère ” Electre ” pour s’assurer que le train puisse intégrer les
variations de carrossage. Les optimisations des paramètres organiques, réalisées en utilisant
des modèles simplifiés, ont fourni les caractéristiques détaillées des pièces garantissant ainsi un
comportement optimal quelque soient les conditions d’utilisation.
v
Finalement en plus d’avoir abouti à une solution de train innovant, le déploiement de la
stratégie de conception robuste ”First Design” a mis en avant des résultats complémentaires :
- deux modèles de pneumatiques pour grand carrossage; dont un modèle physique
qui permet de s’affranchir de l’identification des paramètres d’un pneumatique;
- la conception d’un modèle physique de véhicule (modèle quatre roues roulis/lacet/dérive
avec contribution du carrossage), qui fournit une bonne alternative par rapport au
modèle complet (MADA ou Adams) ;
- l’optimisation robuste des paramètres fonctionnels et organiques en utilisant des
outils adaptés.
Mots Clés :
Carrossage, conception robuste, qualité robuste, dynamique véhicule, modélisation pneumatique
vi
Abstract
In the competing sector of automotive, a manufacturer has to continuously satisfy his customers in order to maintain and to gain market shares. Oneway is to invest in R&D where
innovations will help improving environment, comfort, performances, and safety of its vehicles;
while respecting its objectives of quality, time and cost. Within this prospective, for more than
one decade many controlled systems were introduced into car (ESP, AFS, ABS, airbags...).
However, the control of the wheel plane, especially the camber angle, has never been fully
studied because of uncertain performance, improvement, cost, difficulties with adaptation to
existing technologies of axles and vehicle integration.
The goal of this dissertation is to study the conception of the front axle using robust analytical and numerical methods. This new axle must be able to allow a camber angle within the
range [-20˚ ; 20˚].
The camber angle is directly connected to the wheel and the tire; and the latter is part of
the heart in the conception of ”the ground connection”. A preliminary study on the tire and
on the camber is thus essential. Then, after a general presentation of the tire and its various
influential parameters, a state of the art of tire modeling is proposed in order to find a suitable
car tire model whose behavior is valid for the large camber angles. Two models are found
appropriate. They were specifically developed for car use and then were compared together.
After this introduction, the design method ”First Design” can be applied. First, it allows
to determine, using mathematical tools, the most influential parameters on the performance of
the road behavior and its robust quality against uncertainties. Using simplified models and a
control law on the camber angle, a robust optimization is set up before determining the influence of the second order parameters.
These parameters are then the target of the second part of the method called ”optimization
of the organic parameters”. Whereas the functional part presupposed neither a specific particular axle architecture, nor preset technological solutions, the organic part is based on specific
axle technology. The conception method called ”Rational Design” and the multi-criteria analysis called ”Electre” are used to select the axle to make sure that the axle is able to accept the
camber variations. Optimizations of the organic parameters, realized using simplified models,
finally provide the detailed characteristics of the difference parts, and are also able to guarantee
an optimal behavior for any end-user conditions.
In conclusion, beside having succeeding in an innovative axle solution, the robust design
vii
strategy ”First Design” brought up further results :
- Two tire model for large camber angles of which one physical model that allows
to get rid off the identification of the tire parameters ;
- The design of a vehicle physical model (for wheels model roll/yaw/drift with
camber contribution), that provides a suitable choice with respect to a full model
(MADA or Adams) ;
- the robust optimization of the functional and organic parameters using suitable
tools.
Keywords :
Camber, Robust design, quality, dynamic vehicle, tire modeling
viii
Remerciements
Ce mémoire met un terme aux travaux de thèse que j’ai commencé il y a un peu plus de
trois ans. De nombreuses personnes ont contribué au bon déroulement de cette période, aussi
bien d’un point de vue personnel que professionnel. Ces quelques lignes leurs sont réservées.
Mes travaux se sont déroulés entre :
• l’Ecole Centrale de Lyon où l’étude a été réalisée au laboratoire LTDS, au sein de l’équipe
Dynamique des Structures et des Systèmes, sous la direction du Professeur Louis Jézéquel.
Je tiens à le remercier pour son encadrement, sa patience, son expérience et ses conseils.
Il a su me remettre sur le bon chemin quand je m’en écartais.
• l’Ecole Nationale Supérieure d’Ingénieurs Sud-Alsace où l’étude s’est déroulée dans le
laboratoire MIPS au sein de l’équipe de Modélisation et Identification en Automatique
et Mécanique sous la direction du Professeur Evelyne Aubry et du Maı̂tre de conférences
Sébastien Berger. Je tiens à les remercier pour leur co-encadrement, leur disponibilité,
leur pédagogie efficace et leurs conseils.
• la direction de la recherche de Renault à Guyancourt. Merci à Olivier Fauqueux, pour
avoir retenu ma candidature et c’est avec grand plaisir que j’ai ensuite travaillé sous la
tutelle de Christophe Bouet, responsable de pôle liaison au sol. Je le remercie sincèrement
pour son suivi des travaux, son aide, sa gentillesse et son encadrement.
Un grand merci aux Professeurs Nacer M’Sirdi et Willy Charon pour avoir rapporté ma
thèse. Et merci à Mohammed Ichchou pour avoir chaleureusement animé la soutenance.
Je remercie également toutes les personnes des deux laboratoires que j’ai rencontré et avec
qui j’ai travaillé.
Je remercie François Chauveau et Philippe Girardi, respectivement chef de département et
chef de groupe liaison au sol de Renault, pour la confiance et les moyens qu’ils m’ont accordés
pour mener à bien ce projet.
Je voudrais aussi que tout le service 68260 se sente inclus dans mes remerciements en retour
de leur soutien, de leur amitié et de bons moments partagés. Et plus particulièrement merci à :
Christophe P, Eric D, Jean-Guillaume, Mickael, Gauthier, Bertrand, Sébastien, Corinne, Eric
V, Marie-Maud, sans oublier les thésards Bruno, Christophe L et Guillaume G, et les stagiaires
ix
Célia, Aurélie, Olivier...
Sur un plan plus personnel, je remercie tout particulièrement ma mère, ma soeur, ma famille
et les amis de longue date - Julien, Anne-marie, Carole, Luc E, Nathalie E, Céline, Thierry...
Enfin, mes derniers remerciements reviennent à Luca. C’est à mon sens, la personne à qui
je dois le plus, car elle a su me motiver dans les périodes difficiles : du fond du coeur merci.
Encore une fois, merci à vous tous.
Enfin je dédie cette thèse à mon père à titre posthume.
x
Table des matières
INTRODUCTION
1
PRESENTATION DE LA METHODE ”FIRST DESIGN”
13
1 Méthodologies de conception
15
1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2
Cycle en ”V” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2.1
Architecture fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.2
Architecture organique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Méthode ”First Design” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3.1
Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3.2
Outils nécessaires au déploiement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Méthode ”Rational Design” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.4.1
Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.4.2
Optimisation multi-critères : Electre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.3
1.4
1.5
MODELISATION DU PNEU
31
2 Le pneumatique : généralités
35
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2
Approche générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2.1
Le pneu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2.2
Structure du pneu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
xi
xii
TABLE DES MATIÈRES
2.2.3
2.3
2.4
Conception du pneumatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Approche physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.3.1
Repères et conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.3.2
Angles et paramètres influents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.3.3
Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3 Etat de l’art des modèles pneumatiques
55
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.2
Classification des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.3
Modèles fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.3.1
Modèles verticaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.3.2
Modèles latéraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.3.3
Modèles avec frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.3.4
Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Modèles de développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.4.1
RMOD-K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.4.2
Modèles à éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Modèles à retour d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.5.1
Magic Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.5.2
Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Modélisation du pneu moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.6.1
Histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.6.2
Formulation MF-MCTyre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.7
Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.8
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.4
3.5
3.6
4 Modèles de pneumatique grand carrossage
83
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.2
Modèle à retour d’expérience pour grand carrossage . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.2.1
85
Étude de sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
xiii
4.2.2
Évaluation des nouveaux coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.2.3
Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Modèle fondé sur le ”Brush Model” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.3.1
Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.3.2
Le ”Brush Model” utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
4.3.3
Mesures des raideurs de cisaillement
96
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Comparaison des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
CONCEPTION D’UN SYSTEME A GRAND CARROSSAGE 109
5 Optimisation des paramètres fonctionnels
113
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2
Paramètres fonctionnels du comportement routier . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3
5.4
5.5
5.2.1
Notion de dynamique du véhicule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2.2
Étude fonctionnelle appliquée aux trains . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.3
Hiérarchisation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Prestation de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.1
Prestation de comportement transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3.2
Prestation de virage stabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3.3
Fréquences propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3.4
Fonction coût de chaque prestation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.5
Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Optimisation des paramètres fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.1
Analyse d’influence des paramètres sur les critères . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.2
Optimisation des paramètres d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4.3
Optimisation des paramètres d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6 Optimisation des paramètres organiques
6.1
151
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
xiv
6.2
6.3
6.4
Technologie organique des essieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2.1
Brainstorming des trains à grand carrossage . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2.2
Choix de l’architecture du train . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.2.3
Train à pivot semi-fictif
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Paramètres organiques et Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3.1
Le confort vibratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3.2
Fonction cinématique du train . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.3.3
Fonction élasto-cinématique des trains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.3.4
Fonction de flexibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
CONCLUSION
179
PERSPECTIVES
181
INDEX DES ABBREVIATIONS
183
BIBLIOGRAPHIE
193
Liste des tableaux
1
Caractéristique de l’OCP après amélioration
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Bilan de la modélisation de LuGre
. . . .
Bilan de la modélisation de ”Brush model” .
Bilan de la modélisation de Dugoff . . . .
Bilan de la modélisation de Pacejka . . .
.
.
.
.
4.1
4.2
4.3
Nouvelles valeurs des paramètres
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
Répartition des paramètres suivant les deux prestations étudiées
6.1
6.2
6.3
6.4
. . . . . . . .
Pondération de la prestation ”Gains prestations de comportement” .
Préconisation des différents critères cinématiques . . . . . . . .
Valeur optimisée des différents critères cinématiques
. . . . . .
.
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.
Nouveaux paramètres de forme de la formule MF MC-Tyre
.
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7
67
68
69
76
78
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Paramètres du ”Brush model” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Récapitulatif des raideurs de cisaillement suivant le pas de déplacement du vérin . . . . . . . . . . . . 104
Les flexibilités des trains
. . . . . . . . . . . . . . . .
Répartition des paramètres suivant les deux prestations étudiées
. . . . . . . . .
Valeurs extrêmes des différents critères . . . . . . . . . .
Espace de conception des paramètres d’ordre un . . . . . .
Etude statistique sur les critères objectifs du virage stabilisé .
Etude statistique sur les critères objectifs du Sinus Ford . . .
Valeur d’usage des chasses pneumatiques avant et arrière . . .
Valeur optimisée des paramètres d’ordre 1 . . . . . . . . .
Opérations pour minimiser chaque critère
.
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138
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142
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148
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159
160
170
171
Valeur de la dynamique angulaire pour les deux phases d’optimisation
Pondération des différentes catégorie de critères
xv
Liste des figures
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
. . . . . . . . . . . . . . . .
Comportement du pneu à carrossage non nul . . . . . . . . . .
Variation de la poussée de carrossage [28] . . . . . . . . . . .
Variation de la rigidité de carrossage pour pneus de camion [86] . .
Définition de l’angle de dérive
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Empreinte au sol d’un pneu statique sans carrossage (à gauche) et avec carrossage (à droite)
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1
2
3
3
4
6
6
6
7
8
. . . . . . . . . .
c
Système actif ou passif suivant la localisation du CIR, Michelin
.
Concept car F400 Carving . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pneu Pirelli incliné à 20˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Conceptualisation de la phase de conception . . . . .
Les différentes étapes de la méthode de Monte Carlo . .
Processus d’optimisation selon Asinov [12] . . . . . .
Exemple de front de Pareto . . . . . . . . . . . .
Principe de l’algorithme NSGA-II [32] . . . . . . .
Algorithme NSGA-II [32] . . . . . . . . . . . . .
Distance de ”crowding” . . . . . . . . . . . . .
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16
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20
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23
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25
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Courbes des efforts longitudinaux caractéristiques du pneumatique .
Fyγ (α) pour différents carrossage . . . . . . . . . . . . . .
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36
38
39
41
43
44
45
46
46
47
47
48
50
c
Variation de l’aire de contact en virage : a) sans OCP et b) avec OCP (Michelin)
c
Train arrière OCP1 de Michelin Michelin
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
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Illustration de la cotation suivant la méthode ”Rational Design” .
Démarche d’utilisation de la méthode Electre . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
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Le pneumatique en trois parties .
.
Pneumatique à carcasse diagonale
.
Pneumatique à carcasse radiale .
.
Étapes de la fabrication . . . .
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Repère SAE de la roue
. . . .
.
Angles à la roue . . . . . . .
.
Système E/S du pneumatique
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Comportement d’un pneu soumis à un effort latéral [22] .
La cinématique du pneumatique . . . . . . . . . . .
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Cycle en V de l’ingénierie système
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Caractéristique de l’effort transversal en fonction de la dérive .
Caractéristique de Fy et Mz en fonction de la dérive . . . . .
c
Architecture d’un pneu Michelin
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LISTE DES FIGURES
xvii
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
Fx et Fy en fonction du taux de glissement pour plusieurs angles de dérive [79]
. . . .
Réseau d’ellipses d’équidérive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fy (α) à plusieurs cas de charges verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Influence de Fz sur les coefficients d’adhérence transversale et sur la rigidité de dérive .
Influence des paramètres sur les efforts et suivant le domaine étudié [4] . . . . . . .
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50
51
51
52
53
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
Classification des modèles
. . . . .
Modèle du point de contact . . . . .
Modèle à bande de roulement rigide .
Modèle à empreinte fixe . . . . . .
Modèle à empreinte adaptative . . .
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56
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58
59
60
62
63
66
68
69
71
73
75
77
77
81
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
Démarche de conception du modèle pneu grand carrossage à partir des formulations de Pacejka
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84
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88
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95
95
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96
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98
100
100
101
101
102
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Modèle pour le comportement transitoire : a) modèle de l’anneau rigide. b) modèle de l’anneau élastique [38]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courbes typiques d’effort longitudinal en fonction du glissement longitudinal du modèle de LuGre [102] .
Trois rangées discrétisées d’éléments de caoutchouc pour considérer l’angle de carrossage . . . . . . .
Ellipse limite de capacité d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation de la structure à éléments finis du RMOD-K [75] . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allure des courbes de Pacejka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation du modèle SWIFT [51] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Différentes définitions du point de contact d’un pneu moto [29] . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les différents modèles développés par Cossalter [29] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Répartition de quelques modèles suivant la plage d’utilisation et son degré de complexité . . . . . . .
Frottement d’une masse en mouvement plan
.
Rigidité de dérive en fonction de la charge pour trois pneus .
Théorie des moindres carrés . . . . . . . . . . . . .
Représentation de la sensibilité du paramètre pky2 . . . .
Effort latéral en fonction de la dérive . . . . . . . . . .
Effort latéral en fonction de l’angle de carrossage . . . . .
Le ”Brush model” . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le ”Brush model” en dérive pure [75] . . . . . . . . . .
Le ”Brush Model” utilisé . . . . . . . . . . . . . . .
Déformation des trois rangées d’un pneu . . . . . . . .
Sollicitation de cisaillement et loi de Hooke . . . . . . .
Effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe de l’essai de cisaillement direct vu par Leutner [58] .
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Test de cisaillement direct développé à l’université de Cracovie [45] .
Autre essai de cisaillement de l’université de Delft . . . . . . . .
Mesure de l’écrasement sous une charge donnée . . . . . . . . .
Banc de cisaillement à partir d’un vérin hydraulique vertical . . .
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Disposition des échantillons transversaux sur la bande de roulement .
Evaluation des raideurs longitudinales . . . . . . . . . . . . .
Evaluation des raideurs transverssales . . . . . . . . . . . . .
Raideurs de cisaillement longitudinales en fonction du déplacement . .
Efforts latéraux en fonctions de la dérive pour trois pneus
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xviii
LISTE DES FIGURES
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
Raideurs de cisaillement transversales en fonction du déplacement
. . . . . . .
Valeur des raideurs en fonction de la sollicitation . . . . . . . . . . . . . .
Corrélation des Efforts transversaux en fonction de la dérive des trois modèles . .
Corrélation des Efforts transversaux en fonction du carrossage des trois modèles
.
Corrélation des Efforts transversaux en fonction du carrossage des trois modèles
.
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
5.25
5.26
5.27
Éléments nécessaires au déploiement de la phase fonctionnelle
.
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Points de Pareto pour le compromis virage stabilisé/Sinus Ford .
Définition des points typés d’un front de Pareto . . . . . . .
Évaluation de la robustesse du virage stabilisé . . . . . . . .
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6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
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Balayage des trains avant avec braquage et carrossage commandés .
Essieu Mac Pherson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Essieu double triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mac Pherson avec pilotage de carrossage en F . . . . . . . . .
Train à pivot semi-fictif . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Train à bras supérieur piloté . . . . . . . . . . . . . . . .
Carrossage piloté par le roulis . . . . . . . . . . . . . . . .
Carrossage piloté par le pompage . . . . . . . . . . . . . .
Carrossage proposé par Michelin (brevet FR 2 872 452) . . . . .
Exemple d’application de la méthode ”Rational Design” . . . . .
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Les angles du véhicule . . . . . . . . . .
L’angle de pince . . . . . . . . . . . .
a)Angle de pivot et b) Angle de chasse . . .
a)La chasse et b) Le déport au sol . . . . .
Déport fusée . . . . . . . . . . . . . .
Analyse fonctionnelle des trains . . . . . .
Les différents paramétrages . . . . . . . .
Notations générales
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Les paramètres du tableau déploiement système suivant les 3 fonctions du trains
. . .
Modèle véhicule quatre roues : équation en roulis . . . . .
Consigne d’angle au volant lors de la manoeuvre Sinus Ford .
Définition de l’efficacité du véhicule . . . . . . . . . .
Définition de la stabilité du véhicule . . . . . . . . . .
Corrélation du modèle simplifié et du modèle MADA . . .
Corrélation du modèle simplifié et du modèle MADA . . .
Étude de Monte Carlo sur les critères du virage stabilisé . .
Étude de Monte Carlo sur les critères du Sinus Ford . . . .
Points de Pareto pour une loi de carrossage d’ordre 1 . . .
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Points de Pareto pour une seconde loi de carrossage d’ordre 2 .
Points de Pareto pour la prestation virage stabilisé . . . . .
Points de Pareto pour la prestation Sinus Ford . . . . . . .
Front de Pareto pour le compromis virage stabilisé/Sinus Ford .
Exemple de loi de commande de l’angle de carrossage
Déroulement de la seconde étape de la méthode ”First Design”
LISTE DES FIGURES
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xix
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Tableau des pondérations globales de la cotation .
Coefficient d’incertitude de chaque solution . . .
Présentation des deux classements . . . . . . .
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Actionneur de direction du train à pivot semi-fictif .
Actionneur de carrossage du train à pivot semi-fictif .
Points caractéristiques du train avant PSF . . . . .
Tableau récapitulatif de la cotation
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Diagrammes d’influence de quelques points géométriques du train
Diagrammes d’influence de quelques points géométriques du train
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Diagrammes d’influence des points sur les coefficients de braquage et carrossage induit par le roulis
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Corrélation entre le modèle simplifié cinématique et le modèle complet Adams .
Porte-fusée du train à pivot semi-fictif . . . . . . . . . . . . . . . . .
Biellette inférieure du train à pivot semi-fictif . . . . . . . . . . . . . .
Valeurs des différents paramètres de la fonction élasto-cinématique . . . . . .
Valeurs optimisée des différents paramètres de la fonction élasto-cinématique . .
Optimisation des paramètres de la fonction flexibilité [20] . . . . . . . . . .
Graphe des liaisons du train à pivot semi-fictif sans le système de carrossage
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Loi Effort/Déplacement des butées de choc(à gauche) et des butées rebond(droite)
Repère lié au référentiel sol <0
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Repère véhicule <2 .
Repère caisse <C . .
Repère roue <r
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Repère véhicule <1
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186
186
xx
LISTE DES FIGURES
Introduction
En près de deux siècles d’histoire, l’automobile est devenue bien plus qu’un simple moyen
de transport autonome. Elle s’est en effet ”transformée” en un système complexe non seulement
par la recherche d’un compromis optimal au niveau du style, de l’ergonomie, de la mécanique,
de la structure mais aussi parce qu’elle s’est enrichie de fonctions de gestion de l’information
et de pilotage. Les efforts consacrés à l’amélioration de ses prestations (confort, sécurité, consommation, fiabilité ...) ont été considérables et son développement répond à de nombreuses
contraintes de qualités, de coûts et de délais.
•
Position du problème
L’intégration de l’électronique dans l’automobile a permis d’envisager des solutions longtemps
impensables dans ce domaine, et l’engouement pour les nouvelles technologies a favorisé la
création d’aides au conducteur telles que l’aide au freinage (A.F.U), la régulation de vitesse
(Cruise Control), l’aide à la navigation (G.P.S), etc. Dans le cadre du projet ”X-by-Wire”, le
contrôle du plan de roue et en particulier de l’angle de carrossage est étudié car il ne l’a jamais
été, ni même envisagé pour des raisons de coûts, de difficultés d’adaptation à des technologies
existantes et d’intégration dans le véhicule. Sans rentrer dans le détail de la dynamique du
véhicule - qui sera présentée plus tard - il est intéressant de se pencher maintenant sur deux
angles importants de la liaisons au sol : l’angle de dérive et l’angle de carrossage pour mieux
appréhender la problématique des travaux.
Figure 1: Définition de l’angle de dérive
L’angle de dérive α est l’angle entre le plan de jante et la vitesse V du véhicule - figure
1. La force du sol sur le pneu développée à l’interface à carrossage nul est traditionnellement
appelée poussée de dérive Fyα . Pour pouvoir comparer le comportement de différents pneus,
un paramètre Cα appelé rigidité de dérive est utilisé. Ce paramètre est défini comme étant la
1
2
INTRODUCTION
dérivée de la poussée de dérive par rapport à l’angle de dérive évaluée à un angle de dérive nul
— équation 1.
∂Fyα Cα =
(1)
∂α α=0
Pour des petits angles de dérive, l’effort transversal Fyα est déterminé par l’équation 2
Fyα = Cα .α
(2)
Le second angle important de la liaison au sol est l’angle de carrossage - figure 2. Cet
angle est l’angle d’inclinaison de la roue par rapport au plan vertical. Le carrossage s’apprécie
visuellement en considérant une vue de face d’un véhicule. Lorsque le haut de la roue s’écarte
du véhicule, on parle de carrossage positif. Et dans le cas contraire, lorsque le haut de la roue
rentre vers le passage de roue du véhicule, on parle de contre-carrossage ou carrossage négatif.
Figure 2: Comportement du pneu à carrossage non nul
Un pneumatique dont l’angle de carrossage est non nul - même à dérive nulle - produit une
force latérale appelée poussée de carrossage Fyγ .
Pour expliquer et mieux comprendre l’origine de la poussée de carrossage, Wong [108], a
considéré un pneu en roulement libre. En lui ajoutant un angle de carrossage non nul γ, le
pneu tourne autour du point O, comme indiqué sur la figure 2 : phénomène connu sous le nom
d’effet de cône. Lorsqu’un mouvement rectiligne est imposé à ce pneu carrossé d’un angle γ,
un point du pneu entrant en contact avec le sol est contraint de suivre cette trajectoire, ce qui
impose au pneumatique des forces latérales au niveau de l’aire de contact dont la résultante est
la poussée de carrossage. Comme la poussée de carrossage intervient dans la zone de contact
pneu/sol et non pas au centre de la roue, elle crée également un moment qui tend à réaligner
le pneu, moment dit de renversement.
La relation entre la poussée de carrossage et l’angle de carrossage (pour un angle de dérive
nul) pour un pneu de voiture est illustrée sur la figure 3.
Pour de petits angles de carrossage et de dérive, la poussée de carrossage est environ de 5 à
20 fois plus faible que la poussée de dérive pour un pneu diagonal ou radial. Pour fournir une
INTRODUCTION
3
Figure 3: Variation de la poussée de carrossage [28]
mesure de comparaison des caractéristiques de carrossage de différents pneus, un paramètre
Cγ appelé rigidité de carrossage est utilisé. Ce paramètre est défini comme étant la dérivée
de la poussée de carrossage par rapport à l’angle de carrossage évaluée à un carrossage nul —
équation 3.
∂Fyγ Cγ =
∂γ γ=0
(3)
Tout comme la rigidité de dérive, la rigidité de carrossage est influencée entre autre par la
charge du véhicule et la variation de pression. La figure 4 montre les variations de la rigidité
de carrossage avec la charge verticale pour trois pneus de camion à une pression de 620 kPa [86].
Figure 4: Variation de la rigidité de carrossage pour pneus de camion [86]
La force latérale totale Fy d’un pneu carrossé fonctionnant à un angle de dérive donné est
la somme de la poussée de dérive Fyα et de la poussée de carrossage Fyγ :
Fy = Fyα ± Fyγ
(4)
4
INTRODUCTION
Si la poussée de dérive Fyα et la poussée de carrossage Fyγ sont dans la même direction, le
signe positif doit être utilisé dans l’équation 4. Aux faibles angles de dérive et de carrossage,
la relation entre la poussée de dérive Fyα et l’angle de dérive α et la relation entre la poussée
de carrossage Fyγ et l’angle de carrossage γ sont essentiellement linéaires. Dans ces conditions
de petits angles, la force latérale totale Fy s’écrit de la façon suivante :
Fy = Cα .α + Cγ .γ
(5)
où Cγ est la rigidité de carrossage et Cα la rigidité de dérive.
Le réglage de l’angle de carrossage permet également d’augmenter la surface de contact du
pneu [67] et donc de combattre le survirage ou le sous-virage au détriment de l’usure des pneumatiques. L’empreinte au sol prend la forme trapézoı̈dale pour les petits angles de carrossage
et elle tend vers une ellipse pour les grands angles, au lieu d’un rectangle pour un pneumatique
en ligne droite sans carrossage - figure 5.
Figure 5: Empreinte au sol d’un pneu statique sans carrossage (à gauche) et avec carrossage (à droite)
La poussée de carrossage joue donc un rôle non négligeable sur la tenue de route. Des
travaux [67], [108], [42] montrent que l’évolution de la poussée de carrossage est fonction des
conditions d’utilisation :
• à haute vitesse l’aire de contact diminue et la poussée de carrossage décroı̂t en conséquence,
• plus la pression est haute, plus la poussée de carrossage est faible,
• à pression identique, la poussée de carrossage augmente avec la charge,
• la poussée de carrossage diminue sous efforts moteurs, alors qu’à l’inverse elle augmente
à l’apparition des efforts freineurs,
• le type de pneumatique, sa construction, sa forme, sa bande de roulement sont également
influents car le carrossage produit des effets plus importants pour des pneumatiques à
profil rond et carcasse diagonale qu’un pneumatique à carcasse radiale.
Les facteurs d’influence sont donc nombreux et le rôle de la liaison au sol est de trouver la
conjugaison adéquate pour obtenir des poussées transversales adaptées aux différentes sollicitations.
Actuellement les trains des automobiles sont des trains passifs, et lors de la mise au point,
le carrossage des roues avant et arrière — de l’ordre de quelques minutes d’angle — est choisi
selon le compromis suivant :
INTRODUCTION
5
* carrossage initial nul, qui permet de faire travailler les pneumatiques sur toute la
bande de roulement en ligne droite pour en limiter l’usure. En revanche, en virage,
les pneumatiques prennent du carrossage induit par le roulis de caisse (pouvant atteindre une dizaine de degrés), et la tenue de route se dégrade.
* carrossage initial négatif, afin d’optimiser la surface de contact pneu/sol en virage,
mais au prix d’une usure dissymétrique des pneus lorsque le véhicule roule en ligne
droite.
La tendance veut donc que les voitures aient un carrossage négatif car en plus d’apporter
une meilleure tenue de route, le contre-carrossage apporte une amélioration de la stabilité mais
bien souvent au détriment du niveau de l’usure du pneumatique.
L’intérêt d’un système permettant d’adapter le carrossage aux conditions de conduite est
alors évident. C’est certainement pour cela que plusieurs technologies concurrentes mettant en
avant le carrossage ont déjà été présentées dans divers salons.
•
Systèmes déjà existants
Différents laboratoires et surtout constructeurs concurrents et équipementiers sont en train
de développer ou ont déjà présenté des véhicules dont le plan de roues peut être contrôlé sur de
grandes amplitudes. Les performances en tenue de route sont prometteuses. Les industriels constructeurs et manufacturiers - qui développent de telles solutions techniques adoptent deux
stratégies :
1. soit ils privilégient l’obtention d’un contact pneu/sol maximal (ce qui revient à conserver
un carrossage roue/sol toujours nul),
2. soit ils privilégient la création d’une poussée de carrossage en favorisant le carrossage ou
le contre-carrossage pneu/sol important.
Ces deux stratégies mènent à deux types de systèmes : l’un adaptatif, basé sur la première
stratégie et développé par Michelin et l’autre actif, basé sur la deuxième stratégie, développé
par Mercedes-Benz.
Michelin
Le premier système adaptatif est connu sous le nom de OCP pour Optimized Contact
Patch. Il est développé pour optimiser la surface de contact pneu/sol, c’est-à-dire que ce système cherche à rétablir la forme rectangulaire de l’aire de contact du pneumatique standard en
virage en faisant du contre-carrossage pour maximiser ses performances - figure 6.
6
INTRODUCTION
c
Figure 6: Variation de l’aire de contact en virage : a) sans OCP et b) avec OCP (Michelin)
c
Figure 7: Train arrière OCP1 de Michelin Michelin
La figure 7 illustre la première version de l’OCP piloté par le roulis. Le centre instantanée
de rotation (CIR) est alors situé au dessus de l’axe de roulis.
Pour y parvenir, le système fait tourner la roue en virage autour d’un centre instantané de
rotation (CIR). De la position de ce point dépendent la performance du système et la solution
technique comme le montre la figure 8 : dans le secteur hachuré, un apport d’énergie est
nécessaire pour s’opposer aux efforts de base de la roue, tandis que dans le secteur en losange,
le transfert de charge est utilisé comme source d’énergie. L’effort latéral Fy peut contribuer
à la rotation de la roue à condition que le CIR soit situé en-dessous du sol. L’OCP2, jamais
présenté en public, utilise cette dernière source d’énergie pour faire pivoter la roue.
c
Figure 8: Système actif ou passif suivant la localisation du CIR, Michelin
INTRODUCTION
7
Présenté au mondial de l’automobile en 2002, ce démonstrateur qui initialement se montait
que sur train arrière d’une traction, permet d’augmenter la sécurité, le comportement à la limite
et de diminuer l’usure du pneu. En revanche, il est encombrant. D’autres versions améliorées tableau 1 - ont permis de généraliser ce principe aux propulsions, puis aux trains avant.
Avantages
- Sécurité
- Comportement à la limite
- Usure
- Compatible propulsion
- train avant
- Profondeur du coffre sur traction
Inconvénients
- Encombrement
- Peu d’effet en usage courant
Tableau 1: Caractéristique de l’OCP après amélioration
La seconde stratégie de pilotage du carrossage est développée par Mercedes-Benz.
Mercedes-Benz F400 Carving
Ce constructeur allemand a créé un système de pilotage actif de l’angle de carrossage. Le
véhicule équipé de ce nouveau système est connu sous le nom de F400 Carving - figure 9. Il a
été présenté au Salon de l’Auto de Tokyo en 2003.
Figure 9: Concept car F400 Carving
Ce concept car sportif dont le design est très évocateur est équipé de nouvelles suspensions
dites actives à géométrie variable afin d’améliorer la tenue de route du véhicule. La MercedesBenz F400 parvient à incliner les roues en virages jusqu’à 20 degrés, comme le montre la figure 9.
Un peu comme les roues d’une moto, les roues extérieures du carving biplace semblent
accompagner la voiture dans sa trajectoire idéale alors que les roues intérieures contiennent
le châssis. Cette technique de réglage actif du carrossage en fonction de la vitesse de passage
a induit la fabrication par Pirelli de pneumatiques à bande de roulement asymétrique - figure 10.
En effet, lorsque la roue est inclinée, seule la fraction intérieure de la bande de roulement
est sollicitée. Par opposition, lorsque l’inclinaison de la roue est nulle, seules les zones centrale
8
INTRODUCTION
Figure 10: Pneu Pirelli incliné à 20˚
et extérieure de la roue sont sollicitées. Le travail du manufacturier a donc surtout porté sur la
répartition des gommes (un type de gomme sur les bords intérieurs et un autre sur l’extérieur
des pneus) et sur des jantes très spéciales à deux diamètres : 17 pouces à l’extérieur et 19
pouces sur l’intérieur.
Selon Mercedes-Benz, avec un tel système, la tenue de route est améliorée dans une proportion de 30% par rapport à un véhicule conventionnel (véhicule à pneus traditionnels et
carrossage passif) et l’accélération latérale maximale passe quant à elle à 1,28G (soit un gain
de 30% par rapport aux meilleures voitures de sport du moment).
En conclusion, les performances en tenue de route des deux systèmes de contrôle de carrossage semblent très intéressantes. Ainsi, Renault, dans sa politique de leadership en matière
de sécurité, désire développer son expertise sur le comportement dynamique du véhicule par
l’utilisation de solutions de trains innovants.
•
Objectifs
Le projet présenté s’inscrit donc dans la problématique de la dynamique du véhicule. Le
projet est réalisé avec la collaboration de trois entités :
* l’équipe D2S1 du laboratoire LTDS2 de l’Ecole Centrale de Lyon,
* l’équipe MIAM 3 du laboratoire MIPS4 de l’Ecole Nationale Supérieure des Ingénieurs Sud Alsace de Mulhouse,
* la Direction de la Recherche des Etudes Avancées et des Matériaux de Renault.
Le sujet porte sur la conception d’un train avant innovant et sur l’influence de la variation
de l’angle de carrossage sur la dynamique du véhicule. Comme montré dans les deux stratégies
développées par Michelin et Mercedes-Benz, la particularité de la problématique réside dans le
besoin de créer soit un nouveau châssis, soit un nouveau pneu, soit les deux.
1
Dynamique des Structures et des Systèmes
Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes
3
Modélisation et Identification en Automatique et Mécanique
4
Modélisation, Intelligence, Processus, Systèmes
2
INTRODUCTION
9
Ainsi, en se fondant sur un modèle de pneumatique grand carrossage, l’objectif de la thèse
est de concevoir de manière robuste un train avant innovant intégrant le pilotage du carrossage.
La démarche de conception va s’appuyer sur la méthode ”First Design”, pour que, dès la phase
de conception d’un véhicule, on s’assure de la pertinence et de la robustesse des solutions
envisagées afin de limiter le temps de mise sur le marché.
•
Approche proposée
Le mémoire de thèse est structuré de la façon suivante :
CHAPITRE 1 - Méthodologies de conception
Le travail de la thèse consistant à déployer la méthode de conception robuste ”First Design”
sur un train innovant, le premier chapitre est consacré à la présentation de cette méthode de
conception et de la méthode de conception raisonnée ”Rational Design” utilisée pour sélectionner une architecture de train autorisant le carrossage. Les bases et les outils nécessaires aux
bons déploiements de ces méthodes sont également introduits : méthode de Monte-Carlo, algorithme génétique, algorithme multi-critères Electre.
Partie I : Modèle pneumatique grand carrossage
L’application de la méthode de conception ”First Design” nécessite la réalisation de modèles
dynamiques du véhicule et d’un modèle de pneumatique pouvant supporter des grands angles
de carrossage. Or à l’heure actuelle, aucun pneumatique grand carrossage pour véhicule automobile n’est modélisé ; une étude sur le pneumatique s’avère donc être indispensable.
La partie I, composée de trois chapitres, est consacrée à la modélisation du pneumatique
grand carrossage.
CHAPITRE 2 - Approche générale du pneumatique
Dans ce second chapitre, deux aspects seront traités. Le premier concerne la présentation
globale du pneumatique. Souvent perçu comme une ”boı̂te noire” par les constructeurs, le pneu
a besoin d’être détaillé pour mieux le modéliser. Ainsi les principaux composants du pneumatique et leurs rôles sont expliqués, puis les différentes architectures de pneumatique existantes
sont présentées en s’attardant sur les pneus de moto. Une partie complémentaire fournit des
précisions concernant sa fabrication, sa composition et son marquage.
Le deuxième aspect, concerne ses caractéristiques physiques et mécaniques. Le pneumatique
étant un élément indispensable au comportement du véhicule, il est primordial de présenter les
notions nécessaires à la modélisation du pneumatique : les conventions et repères, puis les
paramètres influents.
10
INTRODUCTION
CHAPITRE 3 - Etat de l’art des modèles pneumatiques
Cette troisième partie fait un état de l’art de la modélisation du pneumatique. Trois grandes
catégories sont présentées. La première catégorie, les modèles fonctionnels, représente le pneumatique de manière simplifiée en formulant des hypothèses physiques sur le comportement d’une
partie ou de l’ensemble du pneumatique. La seconde catégorie, les modèles de développement,
décrit des modèles de comportement globaux du pneumatique à partir de lois de comportement
(physique des matériaux, thermo-élasticité, frottement...). La troisième catégorie de modèles
appelée modèles à retour d’expérience, se base sur l’interpolation des résultats expérimentaux
par des fonctions mathématiques plus ou moins complexes.
Cette étude met en avant deux modèles intéressants pour notre étude sur le grand carrossage.
CHAPITRE 4 - Modèle complet pour grand carrossage
Les deux modèles retenus au chapitre précédent font alors l’objet d’un approfondissement
pour aboutir à deux modèles de pneumatique dont la modélisation reste valide jusqu’à 20˚ de
carrossage. L’un est un modèle de développement physique, tandis que le second est un modèle
à retour d’expérience. Ces deux modèles sont analysés, développés, puis comparés entre eux
afin de les valider.
L’aspect innovant de la thèse réside dans le fait que ces modèles permettant le grand carrossage
servent de modèles de pneu de référence pour les calculs en dynamique du véhicule.
Partie II : Conception d’un système à grand carrossage
La partie II, articulée autour de deux chapitres, est dédiée au déploiement de la méthode
de conception robuste ”First Design” appliquée à un train avant innovant.
CHAPITRE 5 - Optimisation des paramètres fonctionnels
Les bases de la méthode de conception étant posées dans le premier chapitre du mémoire,
l’enjeu de ce chapitre est de décliner suivant la méthode ”First Design” le cahier des charges des
trains en paramètres fonctionnels et d’optimiser ces derniers. Pour ce faire, deux prestations
en matière de comportement de véhicule, sont retenues. Il s’agit du comportement en virage
stabilisé et du comportement suivant le ”Sinus Ford”.
CHAPITRE 6 - Optimisation des paramètres organiques
Conformément à la démarche de conception robuste basée sur deux visions : la fonction et
l’organe; cette dernière partie décrit l’optimisation en termes d’organes et de pièces mécaniques
d’un train avant. Partant des paramètres fonctionnels optimisés à l’étape précédente, chaque
pièce constitutive du train est définie et caractérisée en prenant en considération de nouvelles
contraintes et en se fondant encore une fois sur la hiérarchisation des paramètres de conception.
INTRODUCTION
11
Conclusion et perspectives
Une conclusion générale rappelle l’ensemble de la problématique en lui apportant les résultats et les réponses de l’étude. Puis en s’appuyant sur ces résultats, de nouvelles voies
d’investigations sont proposées en perspective.
12
INTRODUCTION
PRESENTATION DE LA METHODE
”FIRST DESIGN”
13
14
INTRODUCTION
Chapitre 1
Méthodologies de conception
1.1
Introduction
Depuis quelques années les industriels s’accordent à dire que la recherche de la qualité, associée à la recherche du meilleur coût et du meilleur délai, représentent la démarche idéale pour
garantir la compétitivité d’un produit. Lorsqu’on évoque la qualité, celle-ci se matérialise pour
beaucoup, notamment aux yeux de l’acheteur et des utilisateurs, par des vieilles notions bien
ancrées dans les esprits comme l’emploi des bons matériaux associés à un beau design, une
belle finition ou encore comme la performance, la sécurité, le confort... Prenant en compte ces
considérations, la conception automobile s’est donc vu progressivement bouleversée afin de dégager de nouvelles solutions mettant à profit les innovations technologiques et organisationnelles.
Dans ce contexte, les principes généraux des méthodes de conception utilisées et les outils
nécessaires à leurs déploiements vont être présentés. Ainsi, ce premier chapitre se scinde en
trois parties. Il commence tout d’abord à présenter les idées fondamentales de la conception,
en particulier le cycle en ”V” de l’ingénierie système, puis se penche sur les principes et outils
de la méthode de conception robuste ”First Design” - dont le déploiement est effectué dans les
chapitres de la partie II du mémoire - et sur les principes de la méthode de conception ”Rational
Design” utilisée pour choisir de manière intelligente et raisonnée l’architecture de train grand
carrossage à utiliser pour la mise en oeuvre de la méthode de conception robuste.
1.2
Cycle en ”V”
L’ingénierie système conçoit des systèmes mécaniques complexes, qui doivent respecter le
cahier des charges du produit avec le maximum de fiabilité. L’idée de base du cycle de conception représenté par un ”V” repose sur un découpage hiérarchisé entre les ensembles fonctionnels,
les sous-systèmes fonctionnels, les organes et les pièces et une définition à chaque niveau de conception des spécifications techniques comme le montre la figure 1.1.
15
16
CHAPITRE 1. MÉTHODOLOGIES DE CONCEPTION
Figure 1.1: Cycle en V de l’ingénierie système
Dans ce cycle, deux phases se distinguent : la phase de descente et la phase de remontée.
La première est relative à la conception du produit, la seconde à l’intégration et la validation.
L’étude menée intervient en amont de la fabrication. Différents travaux ont été proposés pour
conceptualiser le cycle de conception d’un produit [20], [65], [57].
Figure 1.2: Conceptualisation de la phase de conception
Le schéma de la figure 1.2 résume le découpage du cycle de conception selon les quatre
phases de descente du cycle en ” V” en dégageant clairement les deux actions fondamentales de
la démarche employée : la première relative à l’architecture fonctionnelle et la seconde relative
à l’architecture organique.
1.2.1
Architecture fonctionnelle
Les deux premières étapes du cycle en ”V” définissent l’architecture fonctionnelle - figure
1.2.
Dans la première phase intitulée ”Ensembles fonctionnels”, un diagramme fonctionnel est
établi à partir du cahier des charges du produit, comprenant principalement les spécifications
du cycle de vie, les performances et l’endurance du produit. Ce diagramme fait alors apparaı̂tre
les ensembles fonctionnels et les grandeurs associées qui satisfont au mieux les nombreuses contraintes et prestations du cahier des charges du véhicule.
Dans la deuxième étape - sous-ensembles fonctionnels - le diagramme obtenu est décliné
en schémas systémiques qui représentent clairement les divers sous-systèmes fonctionnels afin
1.3 Méthode ”First Design”
17
d’assurer les spécifications techniques du besoin. Le choix des solutions technologiques fonctionnelles et des paramètres fonctionnels permet de déduire les spécifications techniques générales
qui servent alors de cahier des charges lors de la recherche des organes mécaniques et mécatroniques capables d’assurer les fonctions du produit.
1.2.2
Architecture organique
Cette deuxième partie correspond à la réalisation des fonctions par des composants matériels.
Elle comprend la troisième et la quatrième phase de conception du cycle en ” V ” - figure 1.2.
La phase ” organes ” consiste à associer à chaque sous-système fonctionnel un organe mécanique ou mécatronique introduisant des paramètres matériels capables d’assurer les spécifications techniques générales définies dans la phase précédente - ”sous-ensemble fonctionnel ”.
Mais il faut bien prendre en considération que la relation entre la deuxième phase et la troisième
n’est pas bijective. En effet, un seul organe peut assurer plusieurs fonctions et une fonction peut
être obtenue à l’aide de plusieurs organes. A ce stade du cycle, la géométrie des organes apparaı̂t sous forme simplifiée. Des calculs complémentaires de l’ensemble de la structure peuvent
alors être effectués pour évaluer les sollicitations sur chaque sous-système. Les spécifications
techniques détaillées sont alors obtenues en associant la démarche et les contraintes sur les
paramètres géométriques et physiques.
Enfin la dernière étape de la phase de conception du cycle en ” V ” consiste à dimensionner
précisément chaque organe mécanique ou mécatronique en les scindant en composants élémentaires appelés ” pièces ”. Les spécifications techniques de réalisation sont obtenues et vont
permettre de passer à la fabrication du produit. Cette phase de ” fabrication ” n’entre pas dans
le cadre de l’étude.
1.3
Méthode ”First Design”
Conformément à la description du cycle en V de l’ingénierie système faite dans le paragraphe
précédent, la méthodologie ” First Design ”, dont une présentation est faite dans [54], conserve
le découpage de la phase de conception en deux grandes étapes : l’étape d’optimisation des
paramètres fonctionnels rattachés aux fonctions assurées par le système et celle d’optimisation
des paramètres organiques permettant de déployer les fonctions en organes puis en pièces. En
revanche, elle y ajoute la notion de robustesse.
Dans ce paragraphe, la notion de robustesse, les fondements de la méthode ainsi que les
outils nécessaires à son déploiement sont introduits.
1.3.1
Principe de la méthode
A l’heure où les algorithmes et les moyens de calcul sont devenus rapides et performants,
une façon complémentaire d’appréhender l’optimisation des systèmes se base sur la notion de
qualité en y intégrant le concept de robustesse des systèmes et donc de ”solutions robustes”.
18
1.3.1.1
Notion de robustesse et hiérarchisation des paramètres
La robustesse décrit la sensibilité de chacune des prestations aux incertitudes sur les variables de conception. Sensibilité que l’on cherche à minimiser en même temps que l’on cherche
à maximiser les performances des prestations. En revanche, robustesse (faible sensibilité) et
performance sont souvent contradictoires et le compromis réside dans une solution moins bonne
que celle obtenue par optimisation pure, mais moins sensible. En effet, il apparaı̂t souvent plus
intéressant de trouver une solution moins bonne mais moins sensible aux incertitudes.
Optimisation et prise en compte de la robustesse des solutions doivent se faire de manière
intelligente. Il est évident qu’il est inutile de chercher à optimiser, de manière robuste, les
innombrables paramètres relatifs à chaque pièce et correspondant aux phases finales du cycle
en ” V ” afin d’améliorer un comportement global correspondant au haut du cycle en ” V ”.
La bonne stratégie consiste à définir à chaque étape les paramètres influents et les modèles
simplifiés associés, puis à relier les modèles et leurs paramètres les uns aux autres.
Cette stratégie de hiérarchisation des paramètres est prise en compte dans les deux étapes
qui constituent la méthodologie ”First Design” et qui vont maintenant être détaillées.
1.3.1.2
Optimisation des paramètres fonctionnels
L’optimisation du comportement routier des véhicules est à l’origine de nombreux travaux
de recherche. Gobbi et al. [44] proposent une démarche intéressante d’optimisation des systèmes de suspension, dans [64] des études d’influence des paramètres de conception des trains
ou pneumatiques sont même proposées.
Cette première partie de la méthode ne présuppose ni d’une architecture de train, ni de solutions technologiques prédéfinies. Elle se base uniquement sur la hiérarchisation des paramètres
fonctionnels issue de l’étude fonctionnelle du système ”train” et sur l’objectivation et la modélisation des prestations étudiées. Ainsi des modèles robustes simplifiés adaptés à nos besoins de
recherche sont développés et servent de support à la phase d’optimisation fonctionnelle scindée
en trois grandes étapes :
• la première, primordiale pour une vision en phase amont de conception, concerne l’optimisation des paramètres sélectionnés comme les plus influents du comportement routier en
s’appuyant sur des modèles simplifiés robustes. C’est au cours de cette première étape
qu’un espace de conception dans lequel les paramètres vont être optimisés, est déterminé.
Cet espace de conception correspond aux contraintes de bornes qui sont imposées aux
paramètres lors des différents algorithmes d’optimisation. Ces bornes sont déterminées
en considérant d’une part les valeurs technologiquement admissibles en terme de conception et d’autre part par des contraintes imposées sur les fréquences propres du véhicule.
En effet, les contraintes de fréquence de pompage des trains avant et arrière imposent
directement les bornes de l’espace de conception des raideurs de suspension, les masses
des trains avant et arrière étant supposées constantes dans un premier temps.
• La seconde consiste en une étape de validation de la première étape : les résultats sont
en effet validés sur un modèle complet.
19
• La troisième et dernière étape concerne l’introduction des paramètres d’ordre deux, les
paramètres d’ordre un étant maintenant fixés. L’optimisation est réalisée dans un espace
de conception étendu aux paramètres d’ordre deux ce qui n’engendre néanmoins pas
de grandes variations sur les sorties compte tenu de l’influence moindre de ces derniers
paramètres.
1.3.1.3
Optimisation des paramètres organiques
La première étape de la méthode avait pour but d’optimiser globalement l’ensemble des
paramètres fonctionnels et des principales prestations du comportement routier tout en minimisant leur variabilité par rapport aux aléas en ne présupposant ni d’une architecture, ni de
solutions technologiques prédéfinies. A ce stade, les paramètres fonctionnels obtenus sont déployés en paramètres organiques pour décrire l’architecture du train.
Dans cette deuxième étape de la méthode ” First Design ” de nouvelles prestations propres
à l’injection de matière (confort vibratoire, endurance, tenue mécanique des pièces...) sont appréhendées. Alors que normalement de nouvelles contraintes généralement liées à l’implantation
du système au sein du véhicule interviennent, l’étude présentée se situe dans un contexte particulier où les contraintes d’architecture sont déjà fixées. Dans le cas d’un train à pivot semi-fictif,
les grands principes de la stratégie d’optimisation des paramètres organiques sont fondés sur :
• la hiérarchisation des paramètres par :
- une étude d’influence sur le modèle complet ADAMS
- une sélection physique des variables influentes sur chaque fonction
• la réalisation d’un modèle simplifié
- modèle cinématique
• la prise en compte de la robustesse des choix
- simulation de Monte Carlo
Pour déployer et mettre en place la démarche de conception robuste, il est indispensable
d’utiliser des outils adaptés. En anticipant sur les prochains chapitres, on peut citer par exemple les simulations de Monte Carlo pour les études de sensibilité et les algorithmes génétiques
pour l’optimisation. Il est donc intéressant de les présenter à ce stade de l’étude.
1.3.2
Outils nécessaires au déploiement
1.3.2.1
Monte Carlo
Les méthodes de Monte Carlo consistent en des simulations basées sur un tirage de nombres
aléatoires suivant une loi de probabilité choisie. Ces méthodes sont souvent utilisées quand le
modèle est complexe, non-linéaire, et/ou que le nombre de paramètres incertains est grand.
20
Elles peuvent être utilisées dans le cadre de la robustesse. Et dans ce cas, les méthodes de
Monte Carlo offrent le moyen le plus efficace d’estimer les propriétés probabilistes des réponses
des systèmes incertains résultant d’entrées incertaines aux distributions connues. Le tirage
aléatoire peut être libre ou imposé par une répartition dans un intervalle de conception.
L’approche de Monte Carlo peut se résumer étape par étape - figure 1.3— selon le processus
suivant :
1. Définir un modèle paramétrique, perçu comme le processus de mesure,
2. Associer à chaque grandeur d’entrée, donc à chaque paramètre, une distribution choisie
(normale, rectangulaire, gaussienne...),
3. Générer et évaluer le modèle pour les différents tirages des grandeurs d’entrées,
4. Répéter l’opération et calculer les valeurs obtenues de la grandeur de sortie,
5. Analyser et synthétiser les informations obtenues sur les grandeurs de sorties (espérance
mathématique, écart type, intervalle court).
Figure 1.3: Les différentes étapes de la méthode de Monte Carlo
La qualité de l’estimation s’améliore en augmentant le nombre de tirages et en s’assurant
que les tirages ne visent pas toujours le même endroit mais couvrent bien l’intervalle donné.
Cette dernière remarque est à mettre en parallèle avec la qualité du générateur aléatoire qui
est primordiale pour avoir de bons résultats dans la méthode de Monte-Carlo.
Lorsque la robustesse et la fiabilité du modèle sont vérifiées, l’optimisation peut être réalisée.
Les outils utilisés pour cette optimisation vont maintenant être présentés.
1.3.2.2
Optimisation
• Généralités
Parmi les problèmes rencontrés par le chercheur et l’ingénieur, les problèmes d’optimisation
occupent à notre époque une place importante.
21
La méthode de base pour optimiser un dispositif est la méthode d’essai et erreur ; il
s’agit de tester un grand nombre de solutions potentielles jusqu’à l’obtention d’une solution
qui convienne. C’est la démarche réalisée lorsque plusieurs valeurs successives sont données
à un paramètre et que le résultat est étudié. Ce concept s’applique à de grands champs
d’applications : au comportement des organismes vivants (algorithme génétique), à l’évolution
des sciences.
Figure 1.4: Processus d’optimisation selon Asinov [12]
La figure 1.4 décrit l’optimisation selon trois grandes étapes au cours desquelles il convient
d’analyser le problème et d’opérer ensuite un nombre de choix préalables. Dans un premier
temps, les variables, l’espace de conception et les fonctions objectifs doivent être clairement
posés.
1. Variables du problème : elles sont choisies par l’utilisateur qui peut avoir un intérêt de
faire varier un grand nombre de paramètres ou bien s’il a une vue suffisamment précise
de ce qu’il veut, il peut se limiter à un nombre de paramètres restreints. En anticipant
sur les prochains chapitres, nous allons appliquer le deuxième méthode, car le nombre de
paramètres est restreint du fait de l’utilisation de modèles simplifiés.
2. Espace de conception : il est généralement nécessaire de définir un espace de conception
limité pour des raisons souvent d’ordre technologique. Ainsi les bornes de chaque variable
xi sont définies par ximin et ximax :
ximin ≤ xi ≤ ximax ∀i ∈ [1; n]
3. Fonctions objectifs : un algorithme d’optimisation nécessite la définition d’une fonction
rendant compte de la pertinence des solutions potentielles, à partir des grandeurs à optimiser. L’algorithme converge alors vers un optimum de cette fonction, quelle que soit
sa définition. C’est une fonction mathématique des variables x1 , x2 , ..., xn . Sa définition
dépend aussi du nombre objectif : objectif unique ou objectifs multiples. Dans notre
cas, on parlera d’objectifs multiples (optimisation multi-critères), un paragraphe sur ces
objectifs multiples est développé dans la suite du chapitre.
Lorsque les bases du problème sont clairement posées, vient le temps de choisir la méthode
d’optimisation à appliquer.
22
Les méthodes d’optimisation sont classées en deux catégories [26]: les méthodes déterministes des méthodes non-déterministes.
1. Les méthodes déterministes : la recherche des extrema d’une fonction f revient à résoudre
un système de n équations à n inconnues, linéaires ou non.
On peut dans ce cas utiliser des méthodes classiques telles que la méthode du gradient ou
la méthode de Gauss-Seidel. En général, ces méthodes présentent l’inconvénient majeur
de ne pas savoir si le minimum est local ou global.
2. Les méthodes non-déterministes : font appel, quant à elles, à des tirages aléatoires. Elles
permettent en effet d’explorer l’espace de recherche plus efficacement.
Dans cette catégorie on distingue les méthodes de Monte-Carlo, les méthodes hybrides
(méthode du gradient sur un espace pour trouver tous les minima de la fonction), les
algorithmes génétiques...
Pour répondre à notre problème multi-critères, le choix d’utiliser un algorithme génétique
est fait.
• Algorithme d’optimisation génétique multi-objectifs : AG
Les AG appartiennent à la catégorie des méthodes non-déterministes et plus particulièrement aux méthodes stochastiques. Ils tirent leur nom de l’évolution biologique des êtres vivants.
Ces algorithmes cherchent à simuler le processus de la sélection naturelle dans un environnement
défavorable en s’inspirant de la théorie de l’évolution proposée par C. Darwin. Dans un environnement, les ”individus” les mieux adaptés tendent à vivre assez longtemps pour se reproduire
alors que les plus faibles ont tendance à disparaı̂tre (the survival fittest).
Coello et al. [24], [25], [26] et Miettinen [66] ont présenté de façon détaillée les principes et
les notions de base d’une optimisation à objectifs multiples. Dans cette section, les points les
plus importants sont décrits. Un problème d’optimisation multi-objectifs peut être formulé de
la manière suivante [26] :
Trouver le vecteur x∗ = [x1 , x2 , .., xn ] qui satisfasse les m contraintes d’inégalités et les p
contraintes d’égalités suivantes :
gi (x) ≥ 0 pour (i = 1, 2, .., m)
(1.1)
hi (x) = 0 pour (i = 1, 2, .., p)
(1.2)
où gi et hi sont les contraintes exprimées sous forme mathématique.
en optimisant (minimiser ou maximiser) le vecteur de fonctions suivant :
f (x) = [f1 (x), f2 (x), .., fk (x)]T
(1.3)
Sachant que x = [x1 , x2 , ..., xn ]T est le vecteur des variables de décision et k le nombre
d’objectifs à optimiser.
23
Le principe d’une optimisation multi-objectifs diffère d’un principe mono-objectif. Le but
principal d’une optimisation mono-objectif est de trouver la solution optimale globale qui résulte
en la meilleure valeur (plus petite ou plus grande) de la fonction mono-objectif. Dans un problème d’optimisation multi-objectifs, il y a plus qu’une fonction objectif (k ≥ 2 ), chaque fonction
objectif pouvant avoir une solution optimale différente. Le but d’un problème d’optimisation
multi-objectifs est de trouver de ” bons compromis ” plutôt qu’une seule solution. Lorsqu’il y a
plusieurs objectifs, la notion d’optimum change et il est préférable d’utiliser un autre terme, le
terme le plus couramment adopté étant l’optimum de Pareto (Pareto optimum), [24].
Définition 1 (Pareto optimal) : Un vecteur des variables x∗ ∈ S ( S région réalisable)
est un optimum de Pareto si, pour chaque x ∈ S, I = 1, 2, ..., k, soit ∀i∈I , fi (x) = fi (x∗ ) ou bien,
il existe au moins un i ∈ I tel que :fi (x) > fi (x∗ ).
Au lieu d’une unique solution, l’optimisation multi-objectifs donne lieu à un ensemble de
solutions optimales. Toute solution de cet ensemble est ”optimale” dans le sens qu’aucune
amélioration ne peut être faite sur un critère de cette solution sans dégrader au moins la valeur
d’un autre critère. Ces solutions optimales forment l’ensemble des solutions Pareto optimales.
Définition 2 (La dominance) : Une solution A domine une solution B si et seulement
si : ∀i ∈ I, fi (A) ≤ fi (B) et ∃j ∈ 1, 2, .., k : fi (A) < fi (B).
Si la solution (A) domine la solution (B), on dit que (B) est dominée par (A) ou bien (A)
est non dominée par (B) ou entre les deux solutions, (A) est la solution non dominée.
Les solutions ”Pareto optimales” sont connues sous le nom de solutions ”non dominées”. La
représentation de ces solutions non dominées dans l’espace des objectifs est appelée ”le front de
Pareto”. La figure 1.5 montre l’exemple d’un front de Pareto pour le problème de minimisation
de deux objectifs. Les points en blanc représentent le front de Pareto.
Figure 1.5: Exemple de front de Pareto
Dans la plupart des algorithmes génétiques d’optimisation multi-objectifs développés, il
s’agira de satisfaire les deux points suivants [32] :
1. Trouver des solutions aussi proches que possible des vraies solutions Pareto-optimales,
c’est-à-dire converger le plus possible vers le front de Pareto
24
2. Trouver un ensemble de solutions très variées, tout le long du front
Le tout premier algorithme évolutionnaire d’optimisation multi-objectifs s’appelle VEGA (Vector Evaluated Genetic Algorithm, AGEV : Algorithme Génétique à Évaluation Vectorielle) et a
été présenté par Schaffer en 1985 [25]. Cet algorithme considère une population de N individus.
Ces individus sont répartis en k sous-populations, chaque valeur de k représentant un objectif
à optimiser.
L’avantage de cet algorithme est qu’il est facile à implanter mais son inconvénient majeur est
qu’il a tendance à générer des solutions qui excellent dans un seul objectif, sans tenir compte
des autres objectifs. Toutes les solutions de moyenne performance, qui peuvent être de très
bons compromis, risquent de disparaı̂tre avec ce type de sélection.
Depuis VEGA, un nombre considérable d’algorithmes génétiques d’optimisation multi-objectifs
ont été proposés : NPGA [48], NPGA-II [39], NSGA [98], NSGA-II [33] et les algorithmes microGA qui réfèrent à des algorithmes avec de petites populations avec réinitialisation. Tous les
algorithmes sont basés sur une approche Pareto, c’est-à-dire que le principe de dominance est
utilisé dans le processus de sélection. Le principe du NSGA-II (Non Dominated Sorting Genetic
Algorithm-II) est développé car c’est cet algorithme qui va être utilisé dans notre étude.
• NSGA-II
Deb et al. [33] ont proposé une nouvelle version de l’algorithme N SGA, le N SGA − II, qui
est considérée comme étant plus efficace que son prédécesseur pour les raisons suivantes :
1. Il utilise une approche élitiste qui permet de sauvegarder les meilleures solutions trouvées
lors des générations précédentes,
2. Il utilise une procédure de tri basée sur la non-dominance, plus rapide,
3. Il ne nécessite aucun réglage de paramètre,
4. Il utilise un opérateur de comparaison basé sur un calcul de la distance de ”crowding”
dont la description est faite ci-après.
Dans cet algorithme, une population de parents Pt de taille N et une population d’enfants
Qt de taille N sont assemblées pour former une population Rt = Pt ∪ Qt , comme le montre la
figure 1.6. Cet assemblage permet d’assurer l’élitisme. La population de taille 2N est ensuite
triée selon un critère de non-dominance pour identifier les différentes fronts F1 ,F2 , ... , Fm . Les
meilleurs individus vont se retrouver dans le ou les premiers fronts. Une nouvelle population
parent Pt+1 est formée en ajoutant tous les fronts obtenus (premier front F1 , second front F2 , ...)
tant que ceux-ci ne dépassent pas N. Si le nombre d’individus présents dans Pt+1 est inférieur à
N, une procédure de ”crowding” est appliquée sur le premier front suivant, Fi , non inclus dans
Pt+1 .
25
Figure 1.6: Principe de l’algorithme NSGA-II [32]
Le but de cet opérateur est d’insérer les N − |Pt+1 | meilleurs individus qui manquent dans la
population Pt+1 . Les individus de ce front sont utilisés pour calculer la distance de ”crowding”
entre deux solutions voisines.
Une fois que les individus appartenant à la population Pt+1 sont identifiés, une nouvelle
population enfant Qt+1 est créée par sélection, croisement et mutation. La sélection par tournoi
est utilisée mais le critère de sélection est maintenant basé sur l’opérateur de comparaison ≺n
défini ci-après. Le processus continue, d’une génération à la suivante, jusqu’à un critère d’arrêt.
La figure 1.7 résume les différentes étapes décrites ci-dessus de l’algorithme NSGA-II.
Figure 1.7: Algorithme NSGA-II [32]
• Calcul de la distance du ”crowding”
La distance de ”crowding” d’une solution (i) ou d’un individu se calcule en fonction du
périmètre formé par les points les plus proches de (i) sur chaque objectif. La figure 1.8 montre
une représentation à deux dimensions associée à la solution (i). Le calcul de la distance de
crowding nécessite, avant tout, le tri des solutions selon chaque objectif, dans un ordre ascendant. Ensuite, pour chaque objectif, les individus possédant les valeurs limites (la plus petite
et la plus grande valeur de fonction objectif) se voient associés une distance infinie ∞. Pour
les autres solutions intermédiaires, on calcule une distance de crowding égale à la différence
normalisée des valeurs des fonctions objectifs de deux solutions adjacentes. Ce calcul est réalisé
26
pour chaque fonction objectif. La distance de crowding d’une solution est calculée en sommant
les distances correspondantes à chaque objectif.
Figure 1.8: Distance de ”crowding”
L’algorithme de la figure 1.7 montre la procédure de calcul de la distance de toutes les
i+1
i−1
solutions non-dominées de l’ensemble I. Dans cet algorithme, fm
et fm
représentent respecème
tivement la valeur de la m
fonction objectif de la solution i + 1 et i − 1, alors que les
max
min
paramètres fm et fm représentent les valeurs maximale et minimale de la mème fonction
objectif. Après ce calcul, toutes les solutions de I ont une distance métrique.
L’opérateur ”crowded-comparison”≺n est utilisé pour guider le processus de sélection comme
suit : chaque sélection (i) de la population est identifiée par son rang (irang ) et la distance de
crowding (idistance ). L’opérateur ≺n défini ci-dessous permet d’identifier un ordre de préférence
entre deux solutions.
i ≺n j si (irang < jrang )
ou (irang = jrang )et(idistance > jdistance )
(1.4)
Entre deux solutions de rang différent, on préfère la solution avec le plus petit rang (ou le
plus petit front). Pour deux solutions qui appartiennent au même front, on préfère la solution
qui est localisée dans la région où la densité de solutions est moindre, soit l’individu possédant
la plus grande valeur de distance de crowding.
1.4
1.4.1
Méthode ”Rational Design”
Présentation de la méthode
La méthode de conception raisonnée ”Rational Design” permet de décrire et de capturer
l’argumentation et les décisions liées à la conception d’un système. Elle s’inscrit directement
dans la problématique de conception robuste et reste cohérente avec notre démarche. Cette
méthode permet :
• En cours d’utilisation,
1.4 Méthode ”Rational Design”
27
- de soutenir l’exploration des alternatives de conception,
- d’aider à la structuration des décisions prises par les arguments associés,
- d’expliquer les buts et les raisons de nos choix.
• Pour la capitalisation : une bonne traçabilité de la conception pour une éventuelle réutilisation ultérieurs.
La méthode de conception raisonnée est basée sur le formalisme QOC (Question, Options,
Critères). Concernant la problématique, on cherche à répondre à une question précise Q. A
partir de cette question, des solutions technologiques sont énumérées et construites. Ces solutions représentent les Options. Des Critères sont alors émis pour pouvoir coter les options et
soulever les incertitudes de chacune.
Lorsque ce formalisme est mis en place, chaque solution est relié aux différents critères de
la façon suivante :
• Si la solution est à l’avantage sur ce critère, elle est évalué à 1 (en vert dans le tableau
récapitulatif),
• Si la solution est désavantagée sur une critère, elle est évalué à -1 (en rouge dans le tableau
récapitulatif),
• Si la solution est neutre pour un critère, elle est évalué à 0 (sans couleur dans le tableau
récapitulatif),
• S’il y a une incertitude sur l’impact du critère sur la solution, un 1 est attribué suivant
qu’il y ait un objectif de résultat à l’incertitude et un 0 dans le cas contraire (en orange
dans le tableau récapitulatif de la cotation).
La figure 1.9 fournit un exemple de cotation et illustre ainsi l’évaluation de quatre critères
répartis en deux catégories sur trois options (solutions).
Figure 1.9: Illustration de la cotation suivant la méthode ”Rational Design”
Le tableau récapitulatif ainsi obtenu ne permet pas de mettre en avant la meilleure option.
Il est donc indispensable d’utiliser un protocole d’analyse et d’optimisation pour chercher quelle
solution ou option est la meilleure. L’analyse doit dans notre cas être multi-critères puisque le
problème comporte plusieurs objectifs contradictoires.
Une telle approche a comme principale caractéristique de formaliser la préparation des
décisions. Tout d’abord, elle améliore la transparence du processus de décision. Ensuite, elle
28
définit, précise et met en évidence la responsabilité du décideur. Ensuite, comme il existe
plusieurs bonnes solutions, elle définit, précise et met en évidence le choix de l’alternative qui
dépend essentiellement de la responsabilité du décideur et de son expertise métier. Bernard Roy
[81] caractérise l’analyse multi-critères comme ”un nouveau schéma de pensée pour comprendre
ou agir sur un système”, en considérant que :
• plusieurs critères sont à l’oeuvre pour conduire le système ou guider son évolution,
• ces critères sont, au moins localement, conflictuels,
• les compromis ou arbitrages ont pour objet de conférer aux critères des valeurs compatibles
avec une certaine forme d’équilibre.
L’objectif d’une telle analyse consiste à prendre une décision ou à évaluer plusieurs options
dans des situations où aucune solution n’est parfaite en conciliant les aspects économiques, de
design, technologiques, environnementaux...
Dans la littérature, les approches rencontrées sont divisées en trois catégories selon les
jugements [84] :
1. Agrégation complète en anglais ”top-down approach” : où les n critères sont agrégés afin
de les réduire en un critère unique et les jugements sont alors transitifs. ex : a > b, b > c
alors a > c.
2. Agrégation partielle de l’anglais ”bottom-up approach” : les actions sont comparées les
unes aux autres et des relations de surclassement sont alors établies.
3. Agrégation locale : une solution est en premier lieu recherchée, et c’est seulement par la
suite qu’une recherche itérative est réalisée pour trouver une meilleure solution.
Ces trois approches peuvent être illustrées par une ou plusieurs méthodes. Mais en anticipant
sur les travaux, seule la méthode utilisée dans la suite des travaux est maintenant présentée. Il
s’agit de la méthode multi-critères Electre.
1.4.2
Optimisation multi-critères : Electre
Electre fait partie de la famille des méthodes dites d’agrégation partielle, encore appelées
méthode de surclassement. Conçue par Bernard Roy [81], [82], elle se base sur la comparaison de critères et permet de dégager un sous-ensemble de solutions en ne demandant que peu
d’information. La première version publiée en 1968, repose sur le principe du Concordat (1785) :
une action en surclasse une autre si elle est au moins aussi bonne que l’autre relativement à une
majorité de critères, sans être nettement plus mauvaise que cette autre relativement aux autres
critères. Dans cette méthode, on s’intéresse à chaque solution de l’ensemble et on la compare
à toutes les autres. La comparaison se fait alors par paire ordonnée (a par rapport b 6= b par
rapport a) et on se demande si l’action ”a” surclasse ou non l’action ”b”.
1.4 Méthode ”Rational Design”
29
L’avantage fondamental de cette méthode se situe dans la richesse des relations possibles
entre deux actions. De plus, elles n’imposent pas au décideur des contraintes de rationalité
mathématique. Étant donné que les critères sont considérés séparément, ils peuvent être de
natures très différentes. Autrement dit, il est tout à fait possible de traiter simultanément des
critères qualitatifs et quantitatifs, en respectant les propriétés des évaluations.
Le but de la méthode Electre [81] est d’obtenir un ensemble N , le plus petit possible, tel
que toute action ou solution qui n’est pas dans N soit surclassée par au moins une action de
N.
Un poids Pk est attribué à chaque critère k. Puis, à chaque couple de solution (a, b), on
compare les fonctions coût de a et de b pour le k ème critère notées respectivement fk (a) et
fk (b) et on calcule l’indice de concordance C(a, b) compris entre 0 et 1. Cet indice contribue à
l’affirmation ”a surclasse b” sans être suffisante.
C(a, b) =
P
k
Pk (fk (a) ≥ fk (b))
Pn
k=1 Pk
(1.5)
Parmi les critères en faveur de l’action b, il peut y en avoir pour lesquels la préférence de b
sur a est telle qu’elle met en cause l’affirmation précédente. Un indice de discordance D(a, b)
est défini :
D(a, b) =
0
1
.M axk (fk (b)
2
si fk (b) ≥ fk (a)
− fk (a)) sinon
(1.6)
Cet indice, compris entre 0 et 1 est d’autant plus grand que la préférence de b sur a est
forte sur au moins un critère.
Enfin, un seuil de concordance c (relativement grand) et un seuil de discordance d (relativement petit) sont définis et permettent de définir complétement la relation de surclassement,
noté aSb pour a surclasse b avec :
aSb si et seulement si =
C(a, b) ≥ c
D(a, b) ≤ d
(1.7)
A l’issue du calcul des indices de concordance et de discordance, un classement prenant en
compte ou pas le risque issue de l’incertitude de la cotation est réalisé. Un graphe est alors établi
où les solutions sont représentées par les sommets et les flèches représentant les surclassements.
Si une action ai surclasse une autre solution ak , une flèche partant de ai et aboutissant à ak
unit les deux solutions. Un classement répondant au but de la méthode Electre est obtenu et
les meilleures solutions sont identifiées.
La figure 1.10 présente d’une manière synoptique le cheminement de la méthode Electre
dans notre application.
30
Figure 1.10: Démarche d’utilisation de la méthode Electre
Pour pouvoir sélectionner l’architecture de train innovant qui servira de support au déploiements de la deuxième étape de la méthode ”First Design”, nous mettrons en oeuvre la
méthode Electre.
1.5
Conclusion
Ce premier chapitre a permis d’évoquer différentes méthodes relatives à la conception des
systèmes et les outils nécessaires à leurs déploiements. Ainsi en reprenant le découpage initié
par l’ingénierie système dans le cycle en ” V ”, la méthode de conception robuste ”First Design”
se base sur deux grandes étapes : l’optimisation des paramètres fonctionnels et l’optimisation
des paramètres organiques. Par rapport au cycle en ”V”, elle intègre une nouvelle notion, celle
de la robustesse afin de garantir la qualité du système.
Alors que la deuxième phase nécessite une architecture de train qui sera sélectionné par
application de la méthode de conception raisonnée ”Rational Design”, la première étape utilise
des modèles de dynamiques véhicules simplifiés et robustes. Or actuellement, il n’existe pas de
modèle de pneumatique pour les grandes plages de variation d’angle de carrossage. Donc avant
de déployer la méthode de conception robuste ”First Design” appliquée au train avant innovant,
il est indispensable de mener une étude sur la modélisation du pneumatique. C’est l’objet de
la partie suivante.
Première partie
MODELISATION DU
PNEUMATIQUE
31
32
Introduction de la partie I
Le chapitre précédent a montré la nécessité d’avoir un modèle de pneumatique pour le grand
carrossage dans l’objectif de concevoir le train innovant.
Un des enjeux de cette première partie est donc d’établir les paramètres et variables qui
interviennent dans le comportement du pneumatique afin de définir un modèle de pneumatique
valable pour le grand carrossage.
Cette première partie consacré au pneumatique s’articule autour de trois chapitres.
Le premier présente le pneumatique de manière générale pour une meilleure compréhension
de la problématique liée au pneumatique et introduit les paramètres et variables qui interviennent dans son comportement. Le second présente un état de l’art de la modélisation du
pneumatique. Trois grandes catégories de modèles sont alors répertoriées. Néanmoins les modèles intégrant l’angle de carrossage sont rares, seuls deux modèles intègrent ou peuvent intégrer
le carrossage. Ces derniers modèles font alors l’objet d’une étude approfondie dans le troisième
chapitre de cette première partie afin de dégager deux modèles dits ”à grand carrossage” dont
leur comportement aux grands angles de carrossage est défini.
33
34
CONCLUSION
Chapitre 2
Le pneumatique : généralités
2.1
Introduction
Aujourd’hui l’idée de concevoir une automobile sans pneumatique est impensable, mais il
n’en a pas toujours été ainsi puisqu’avant la révolution du transport du XIXème siècle, des roues
en bois et métalliques équipées respectivement carrosses, machines à vapeur et locomotives. En
1845, l’ingénieur Robert W. Thomson invente le premier pneumatique qui combine l’élasticité
du caoutchouc servant d’enveloppe externe et celle de l’air emprisonné dans plusieurs petites
chambres à air en caoutchouc. Mais, en avance sur son temps, il n’a aucun succès. Il faut
attendre encore près d’un demi-siècle avec les frères Michelin pour connaı̂tre l’origine du pneumatique tel que nous le connaissons.
Ce produit de haute technologie prend une part prépondérante dans l’étude du comportement dynamique du véhicule, car c’est à travers lui que passe les efforts appliqués au véhicule.
Le comportement mécanique du pneumatique qui va être détaillé dans ce chapitre, reste complexe du fait de la non-linéarité des lois et aussi de l’interdépendance des paramètres entre
eux. Chaque pneumatique présente des caractéristiques bien spécifiques résultant de sa propre
conception. Néanmoins, il existe des lois de comportement générales et communes aux pneumatiques. Et il est important de bien les comprendre pour pouvoir analyser le comportement
dynamique d’un véhicule.
Ce chapitre présente dans un premier temps, un aspect général du pneumatique tandis
qu’une approche physique et mécanique est retenue dans un second temps.
2.2
2.2.1
Approche générale
Le pneu
Le contact de la gomme avec le sol génère des forces superficielles élevées capables de guider
le véhicule sur les trajectoires décidées par le conducteur, de porter la charge résultant de la
masse du véhicule et de toutes les surcharges liées aux mouvements dynamiques du véhicule
et de transmettre au sol les efforts de freinage et d’accélération décidés par le conducteur. Le
cahier des charges du pneumatique semble alors simple à dresser. Mais à ces trois fonctions, il
35
36
CHAPITRE 2. LE PNEUMATIQUE : GÉNÉRALITÉS
faut ajouter les aptitudes du pneumatique à :
- filtrer les petites irrégularités du sol, ou amortir les bruits et vibrations mécaniques,
- rouler avec peu d’effort et peu d’échauffement jusqu’à des vitesses élevées,
- conserver durablement toutes ses qualités.
Ces 6 fonctions garantissent la sécurité, le confort, l’économie. Elles sont assurées pendant
toute la durée de vie du pneu lorsque les précautions d’usage élémentaires sont prises par
l’utilisateur.
c
Figure 2.1: Architecture d’un pneu Michelin
Afin de répondre à ces nombreuses exigences, il a fallu concevoir et réaliser un produit de
très haute technicité illustré figure 2.1. Pour aborder son fonctionnement, il est indispensable
dans cette première partie d’introduire quelques points :
- les caractéristiques géométriques,
- les constituants de la structure,
- la fabrication et la conception.
En ce qui concerne les caractéristiques géométriques et architecturales, le pneumatique peut
être découpé en trois zones distinctes, représentée sur la figure 2.2, qui remplissent, chacune,
une ou plusieurs fonctions bien précises.
Figure 2.2: Le pneumatique en trois parties
2.2 Approche générale
2.2.1.1
37
Bande de roulement
La bande de roulement se caractérise par son coefficient de frottement, ses propriétés thermiques, sa rigidité et sa sculpture (dessin des sillons faits dans la gomme pour l’évacuation
de l’eau). Le choix du caoutchouc, du profil de la bande de roulement impacte directement
le compromis entre les différents impératifs cités ci-dessus. En général, on y associe la ou les
nappes sommets qui viennent la rigidifier. Ainsi, la bande de roulement en contact avec le sol :
• assure l’adhérence du pneumatique sur le sol, qu’il soit sec ou mouillé,
• résiste à l’usure en général abrasive,
• contribue au guidage de la voiture par la répartition de la pression au sol (très important
pour la tenue de cap),
• permet un roulement silencieux et consommant le moins possible d’énergie (hystérésis
dans le caoutchouc).
2.2.1.2
Armature porteuse
L’armature porteuse, quant à elle, comprend les nappes carcasses, les flancs et la gomme
d’étanchéité.
• L’élément structurel le plus important du pneu est la carcasse. Sa fonction principale
consiste à transmettre les efforts — la charge verticale Fz , la force transversale Fy et
la force longitudinale Fx — entre les tringles du pneumatique et le sommet. Elle est
composée d’un certain nombre de nappes flexibles de module d’élasticité élevé enrobée
dans un composé de caoutchouc de module bas, comme le montre la figure 2.1 . Les
nappes sont composées de fibres naturelles, synthétiques, ou métalliques et sont ancrées
autour des tringles du pneu.
• Les flancs doivent quant à eux permettre la déformation radiale des pneumatiques tout
en limitant la déformation latérale et protéger les nappes carcasses. Les flancs sont également conçus pour résister aux chocs latéraux (bordure de trottoir) et aux agents atmosphériques qui provoquent des craquelures pour éviter toute altération du comportement
du pneumatique.
• Et enfin, l’armature porteuse comprend la gomme d’étanchéité (ou gomme intérieure),
qui comme son nom l’indique sert à étanchéifier le pneumatique. Cette couche mince de
butyle et de caoutchouc, attachée à la surface intérieure de la carcasse, est indispensable
mais pas suffisante pour maintenir le pneumatique gonflé. La zone basse vient compléter
cette caractéristique d’étanchéité.
2.2.1.3
Zone basse
Étymologiquement un pneumatique est un organe qui contient de l’air. La zone basse,
composée de gommes et de tringles lie le pneumatique à la jante. Les tringles servent alors
38
à serrer le pneu sur la jante et supportent une force d’étirement considérable sans risque de
rupture. Elles sont recouvertes d’une gomme dure qui assure la liaison étanche avec la jante.
La pression de l’air ainsi retenue conditionne toutes les fonctions du pneu : fonctions de
sécurité, d’économie, d’agrément et une mauvaise pression dégrade toutes ces performances.
2.2.2
Structure du pneu
La conception et la construction de la carcasse déterminent, en grande partie, les caractéristiques du pneu. Parmi les divers paramètres de conception, les dispositions géométriques des
nappes, et en particulier la direction des fibres, jouent un rôle significatif dans le comportement
du pneu. Plus l’angle entre l’orientation des fils et le plan de roue est petit, plus le pneu a de
bonnes caractéristiques de tenue de route. D’autre part, si les nappes forment un angle droit
par rapport à la ligne médiane de la bande de roulement, le pneu sera capable de fournir un
bon confort, mais ne sera pas performant.
Aujourd’hui, deux structures prédominent et en voici la description.
2.2.2.1
Architecture diagonale
Figure 2.3: Pneumatique à carcasse diagonale
La première structure, et la plus ancienne car elle est apparue à la fin du XIX ème siècle, est
connu sous le nom de structure diagonale. Elle se décrit comme une enveloppe de caoutchouc
armée de nappes en fibres synthétiques (nylon, rayonne, polyester) superposées de câbles parallèles, formant entre elles un angle entre les directions des câbles d’environ 45˚ avec le plan
médian du pneumatique - figure 2.3. Cet empilage de nappes se retrouve indifféremment dans
les flancs et dans le sommet. Le nombre de nappes est augmenté, autant que nécessaire, car c’est
lui qui conditionne la charge que supporte le pneumatique (entre six et huit pour un pneumatique d’automobile et jusqu’à douze pour celui d’un poids lourd). Caractérisée par sa raideur,
cette structure offre une médiocre tenue latérale au pneu, et génère de forts glissements sur le
sol, ce qui engendre une usure rapide de ces pneumatiques sur des routes sinueuses. De plus, les
flexions répétées du pneu provoquent un échauffement excessif en raison des frottements entre
les multiples nappes superposées...
La longévité et l’économie ne sont pas ses points forts.
2.2.2.2
39
Architecture radiale
Le pneumatique à carcasse radiale (1946), deuxième type de structure, est le résultat imprévu d’une étude qui tentait de comprendre les défauts de la structure diagonale. La structure
radiale, figure 2.4, présente la particularité de dissocier distinctement les fonctions des flancs
(portage) et du bloc sommet améliorant ainsi la tenue de route. L’armature porteuse est formée de nappes textiles qui constituent une sorte de tube surmonté de deux nappes de câbles
métalliques croisées selon un angle approprié (environ 20˚).
Figure 2.4: Pneumatique à carcasse radiale
Cette structure se distingue de la précédente par sa relative simplicité : en effet, elle limite
le nombre de nappes (une ou deux couches pour la carcasse et deux nappes sommets pour le
pneu de base, trois pour les pneus à hautes performances) ce qui allège le poids du pneumatique
réduisant ainsi l’inertie de la roue pour améliorer sa maniabilité.
Par son flanc souple, le pneu radial dispose d’une importante flexibilité verticale, gage d’un
confort élevé. Par ailleurs, il assure en permanence une surface de contact maximum avec le
sol. La tenue de cap lors de perturbations transversales (brusques dévers, rafales de vent) est
remarquable, ainsi que la résistance à l’usure. Sur le plan thermique, le pneumatique radial
s’échauffe très peu et, de ce fait, peut rouler à des vitesses beaucoup plus élevées. Il est plus
sûr et dure plus longtemps.
Une troisième structure a été conçue par les spécialistes d’Outre Atlantique. De l’anglais ”
Bias ”, cette structure est un mélange des structures diagonale et radiale. Elle devait éviter aux
fabricants américains d’avoir à modifier leurs appareils de production inadaptés à la fabrication
du radial. Mais les performances n’étant pas à la hauteur des espérances, le ”Bias” disparaı̂t
définitivement en 1980 au profil de la structure radiale pour les pneumatiques automobiles.
2.2.2.3
Pneumatique moto
La différence entre un pneu diagonal et un pneu radial se situe dans la façon dont la carcasse
est conçue. Un pneu de moto, comme le pneu d’automobile, est exposé à de très nombreuses
forces lors des phases d’accélération et de freinage, en ligne droite ou en virage, à vitesse faible
et plus élevée. Le pneu diagonal est toujours utilisé pour les cycles et les motos mais il a été
adapté aux besoins des machines rapides ou lourdes, par l’application tout autour d’une ceinture de renfort dans le sens du pneu, c’est-à-dire ce qu’on a appelé le ”BiasBelted Tyre”.
40
Au fur et à mesure que les motos sont devenues plus puissantes et plus rapides, le besoin
s’est fait sentir d’une structure encore plus solide et c’est ainsi que le pneu radial pour moto a
vu le jour (Michelin - 1987 pour la moto mais dès 1946 pour l’auto). Avec le temps, de nouvelles
techniques ont fait leur apparition, mais toutes sont une variation sur le thème de la ”carcasse
radiale avec ceinture 0˚”, Metzeler et Pirelli utilisent une ”0 degree steel belt”, une ceinture en
fil d’acier orientée dans le sens de la marche, Bridgestone propose une ”mono-spiral belt” en
kevlar et Michelin combine la ceinture 0˚ aux zones de soutien en angle. Continental (avec le
ContiForce) et Avon présentent un nouveau pneu radial et Shinko (ex-Yokohama) dispose lui
aussi, avec le tout nouveau 009, d’un pneu radial ultra sportif.
Comme pour les pneus d’automobile, les avantages indéniables du pneu radial d’une moto
sont une plus grande précision de direction, une meilleure stabilité en ligne droite, de meilleures
caractéristiques d’amortissement et des propriétés techniques mieux contrôlables. Ce sont des
facteurs importants s’il faut fournir des performances extrêmes.
2.2.3
Conception du pneumatique
2.2.3.1
Matériaux
Le caoutchouc brut, naturel ou synthétique, n’a qu’une utilité limitée. Par exemple, au
froid, il devient dur et cassant tandis que la chaleur le fait fondre et le rend collant. En
1839, l’Américain Charles Goodyear découvre qu’en ajoutant du soufre au caoutchouc et en le
”cuisant”, on en améliore les qualités. Ce procédé, à l’origine de l’utilisation générale actuelle
du caoutchouc, fut baptisé vulcanisation (d’après le dieu romain du feu : Vulcain).
Les caoutchoucs utilisés dans l’industrie ne sont pas faits seulement de caoutchouc. Certes,
le caoutchouc est l’ingrédient principal mais, au cours de la phase dite ”du mélange”, différents
types de caoutchouc et d’autres substances sont ajoutées, notamment des substances vulcanisantes à base de soufre ou d’autres dérivés qui confèrent au produit final certaines caractéristiques. Elles entrent en action, c’est-à-dire qu’elles provoquent le processus de vulcanisation
quand la température s’élève. Les mélanges de catouchouc avec d’autres ingrédients sont fonction de leur destination dans le pneumatique : en général, une gomme très dure est utilisée
pour les renforts au niveau des tringles, et au niveau des flancs des antioxydants sont ajoutés
pour lutter contre l’effet de l’ozone sur le pneu.
Chauffés puis fondus, ces différents mélanges imprègnent des fils d’acier ou des textiles
synthétiques. La bande obtenue est enroulée puis recouverte de gomme pour constituer un
manchon cylindrique. Ses extrémités sont rabattues autour des talons métalliques (tringles)
qui serviront à l’accrochage sur la jante. Ce manchon encore plastique est vulcanisé (cuisson et
adjonction de soufre) pour passer à un état élastique stabilisé. Durant cette opération le moule
imprime sur la bande de roulement la sculpture ainsi que les inscriptions des flancs.
En résumé, le pneumatique est une structure composée, qui associe les propriétés physiques
de matériaux très différents, tels que :
• La sève d’hévéa polymérisée ou de caoutchouc naturel, synthétique (à 70%),
41
• Des élastomères et produits chimiques(noir de carbone, Silice, huiles, plastifiants, initiateurs, catalyseurs),
• Des textiles (nylon, aramide, rayonne...),
• De l’acier.
2.2.3.2
Fabrication
Le processus de fabrication n’a que lentement évolué depuis le début du XXème siècle. Néanmoins, depuis une dizaine d’années, de nouveaux procédés apparaissent pour, par exemple, que
les machines puissent tenir dans des camions pour plus de flexibilité.
Figure 2.5: Étapes de la fabrication
Schématiquement le processus de fabrication d’un pneumatique passe par plusieurs étapes
essentielles.
La première phase de la fabrication d’un pneumatique est la préparation du mélange de
caoutchouc qui constituera la gomme. La figure 2.5 montre le mélange qui sort en bandes du
mélangeur. Dans un autre atelier, les fils des matériaux de renfort, tissés pour former une
toile, sont imprégnés de caoutchouc dans une machine appelée calandre : le tissu caoutchouté
ainsi obtenu est la base de la structure de la carcasse du pneumatique, qui est préparée sur
une autre machine dite de conditionnement en forme de tambour. Sur ce tambour spécial en
acier contractile, les différentes toiles sont tout d’abord enroulées puis les flancs et la bande de
roulement (précédemment obtenus par étirage des feuilles du mélange), ainsi que les tringles
métalliques sur lesquelles sont fixées les toiles de la carcasse. Puis, à ce pneu ”cru”, la forme
d’une couronne est donnée en soufflant de l’air comprimé à l’intérieur pendant qu’il se trouve
sur le tambour. L’estompage est la dernière opération : il a lieu en soufflant de l’air chaud
à l’intérieur du pneu, ce qui le presse contre le moule. Sous l’effet de la chaleur, le caoutchouc
se vulcanise, acquérant de façon permanente ses caractéristiques mécaniques. Le pneu prend
alors la forme définitive et la bande de roulement est ”sculptée” selon un dessin en relief typique
42
élaboré pour donner au pneu tenue de route et adhérence.
La vulcanisation d’un pneumatique a donc trois fonctions :
- Souder les matériaux ensemble (carcasse, gomme et divers composants)
- Transformer la gomme en un matériau élastique
- Incruster dans le pneu les rainures
Le pneumatique est alors un assemblage de nappes et de gommes. Sa fabrication est un processus que les manufacturiers maı̂trisent mais qui reste encore mystérieux pour les constructeurs
automobiles.
2.2.3.3
Marquage
Le marquage d’un pneumatique, défini sous forme normalisée, renseigne les dimensions, la
structure, l’indice de charge, le code de vitesse du pneumatique.
En prenant un exemple : 205/60 R 16 92H TL, le client comprendra :
205 : la largeur du pneumatique en mm
60 : rapport entre la hauteur et la largeur H/S appelée série du pneumatique
R : structure radiale
16 : diamètre intérieur du pneumatique en pouce
92 : indice de charge. 92 correspond à 630kg de charge admissible par pneumatique.
A titre d’information, cet indice varie de 62 à 125 pour des charges comprises entre
265 et 1650kg par pneu.
H : code de vitesse. Dans ce cas, H correspond à une vitesse maximale admissible
de 210 km/h. L’indice le plus faible est J, il correspond à une vitesse de 100km/h
tandis que la plus élevée est Y pour une vitesse de 300 km/h.
TL : indique que le pneumatique est sans chambre à air (de l’anglais tubeless).
Une indication commerciale indiquant le nom du manufacturier ainsi que l’intitulé du produit, la semaine de production sont également inscrits sur le pneumatique.
Cette description générale présente le pneumatique, mais il semble intéressant de comprendre
son fonctionnement.
2.3
Approche physique
D’un point de vue mécanique, le pneumatique est générateur d’efforts. Avant de rentrer
dans la description des efforts et parce qu’en dynamique du véhicule, les valeurs des différentes
entités sont définies selon des conventions bien précises, il est important de poser clairement les
principaux repères de travail.
2.3 Approche physique
43
2.3.1
Repères et conventions
2.3.1.1
Repères
Le choix du repère de travail est un élément déterminant pour l’étude de la dynamique du
véhicule. Les principaux repères utilisés traditionnellement dans le milieu de l’automobile sont :
le repère au sol, le repère route, le repère lié au pneumatique, le repère aérodynamique, le repère
lié au châssis. Seul le repère lié au pneumatique est présenté dans ce chapitre, les autres sont
détaillés dans l’annexe A.
Les repères et normes utilisés pour l’expression des variables d’entrée et de sortie du pneumatique sont nombreux dans la littérature. Il est donc primordial de connaı̂tre celui dans lequel
sont exprimées les mesures. Les plus courants sont présentés ci-dessous :
• le repère roue est un trièdre orthonormé direct lié au plan de jante et dont l’origine est
généralement le point conventionnel de contact au sol Q. Ainsi l’axe X est dirigé vers
l’avant du véhicule. L’axe Y est confondu avec l’axe de rotation de la roue et est dirigé
vers la gauche. L’axe Z est orienté vers le haut et appartient au plan de jante.
• le repère ISO est défini dans la norme ISO (ISO 91). L’origine ”Q” de ce repère appartient
à l’aire de contact avec le sol et est située à une distance Rr du centre de la roue, Rr étant
le rayon sous charge Fz du pneumatique. Ce repère n’est pas incliné avec la roue et ses
axes X, Y, et Z sont respectivement orientés vers l’avant, vers la gauche et vers le haut.
Figure 2.6: Repère SAE de la roue
• le repère SAE - figure 2.6— dont l’origine correspond à celle du repère ISO. L’axe X du
repère est dirigé vers l’avant, l’axe Y vers la droite et l’axe Z vers le bas.
• le repère de Pacejka : l’origine de ce repère est située au point ”Q”. L’axe X du repère est
dirigé vers l’avant, l’axe Y est dirigé vers la droite et l’axe Z est dirigé vers le haut. Ce
44
dernier repère est le seul à ne pas être direct. Ce repère est celui utilisé par Pacejka pour
l’expression des grandeurs d’entrée et de sortie du modèle qui porte son nom.
Dans la suite des travaux, nous utiliserons le repère SAE pour le pneumatique.
2.3.1.2
Conventions
Avec ce système d’axes, de nombreux paramètres caractéristiques du pneu peuvent être
définis. Par exemple sur la figure 2.7, des angles, des déplacements propres à la roue et à la
rotation et à la translation du porte-fusée sont définis et illustrés.
Figure 2.7: Angles à la roue
• pour les rotations:
- le carrossage selon l’axe longitudinal x - déjà présenté en introduction,
- l’enroulement selon l’axe transversal y,
- le braquage de la roue, selon l’axe vertical z.
• pour les déplacements
- le recul de roue suivant l’axe longitudinal x,
- le ballant selon l’axe transversal y,
- le débattement selon l’axe vertical z.
Les conventions de la roue étant définies, il est temps de s’intéresser aux lois de comportement générales caractéristiques du pneumatique qui permettent l’analyse des phénomènes
dynamiques du comportement du véhicule.
2.3.2
Angles et paramètres influents
L’action exercée par le sol sur le pneumatique se répercute sur le véhicule. Elle peut être
représentée au maximum par trois composantes de forces et trois composantes de moments
appliquées au centre de la roue. La force longitudinale Fx est la composante de la force résultante appliquée sur le pneu par la route suivant l’axe longitudinal. La force latérale Fy est la
composante suivant la direction Y et la force normale Fz est la composante suivant la direction verticale Z. Le moment de renversement Mx est le moment autour de l’axe longitudinal.
45
La résistance au roulement My est le moment suivant l’axe transversal, et le moment d’autoalignement Mz est le moment suivant l’axe vertical. Les efforts de base sont représentés sur la
figure 2.6.
Avec le système d’axes défini précédemment, plusieurs paramètres impactant sur le pneumatique peuvent être décrits. En effet, deux angles très importants, présentés brièvement dans
l’introduction, sont associés au roulement du pneu :
• α : angle de dérive qui est l’angle formé entre la direction du mouvement et le plan de
jante,
• γ : angle de carrossage qui est l’angle d’inclinaison de la roue par rapport au plan vertical.
A ces deux angles, s’ajoutent deux autres paramètres :
• Sx : le taux de glissement longitudinal, ou pseudo-glissement longitudinal,
• δ : l’écrasement vertical du pneumatique.
Au final, nous disposons d’un système - figure 2.8 - dont les entrées sont les quatre paramètres
précédents et dont les sorties sont les efforts caractéristiques du pneumatique.
Figure 2.8: Système E/S du pneumatique
Afin de comprendre la mécanique et la cinématique du pneu, nous allons reprendre les
paramètres influents un par un pour les étudier et ainsi mieux cibler leur influence sur son
comportement.
2.3.2.1
Angle de dérive
Lorsqu’un pneumatique est soumis à aucune force perpendiculaire au plan de roue, il se
déplace suivant la direction du plan de roue. Si, cependant, une force latérale Fs s’exerce sur
ce pneumatique - figure 2.9, le pneu se déplace alors suivant une trajectoire faisant un angle
α avec le plan de roue. Ce phénomène, observé en 1920 par l’ingénieur Brouhliet, provient de
l’élasticité latérale de la carcasse. L’angle α est alors appelé angle de dérive et l’effort développé
par le sol sur le pneumatique est plus connu sous le nom d’effort de dérive Fyα .
Un pneumatique en situation de dérive est alors soumis à deux déflections associées :
• un déport transversal qui se justifie par la flexibilité transversal du pneumatique et qui
génère ainsi une poussée de dérive Fyα ,
46
Figure 2.9: Comportement d’un pneu soumis à un effort latéral [22]
• une torsion autour d’un axe vertical, ce qui génère un couple appelé moment d’autoalignement sur lequel on revient ci-après.
Cette notion d’angle de dérive - figure 2.10 - à la base de nombreux travaux sur le comportement routier [89], [91], est défini par :
tan(α) =
Vy
Vx
(2.1)
Figure 2.10: La cinématique du pneumatique
et l’effort de dérive par l’équation 2 présentée en introduction.
Les courbes caractéristiques de Fyα (α) ont toutes la forme de celle de la figure 2.11 passant
par un maximum pour un angle de dérive généralement compris entre 5˚ et 15˚ suivant les
pneumatiques.
47
Figure 2.11: Caractéristique de l’effort transversal en fonction de la dérive
Sur cette courbe, trois zones se distinguent :
- une zone linéaire croissante : il y adhérence du pneumatique sur la chaussée,
- une zone croissante non linéaire (zone de transition) : une partie de l’aire de
contact glisse,
- une zone décroissante : il y a dérapage.
Moment d’auto-alignement
L’angle de dérive crée également un moment Mz dit d’auto-alignement, qui tend généralement à réduire l’angle de dérive. Le moment d’auto-alignement est très important pour le
conducteur car il modifie le couple au volant et constitue ainsi un ” feed-back ” sur le comportement du pneumatique. Il se définit comme le produit entre la chasse du pneumatique tp sur la
figure 2.9 et la force latérale - équation 4 définie en introduction.
Mz = −tp .Fy
(2.2)
La variation du moment d’auto-alignement en fonction de la dérive est fortement non linéaire
comme le montre la figure 2.12. Son maximum est obtenu pour une valeur d’angle de dérive
inférieure à celle donnant l’effort transversal maximal. Le moment s’annule puis change de
signe lorsque le pneumatique est en dérapage. Pour le conducteur, la décroissance du moment
d’auto-alignement indique l’amorce du dérapage.
Figure 2.12: Caractéristique de Fy et Mz en fonction de la dérive
48
L’angle de dérive produit également un faible moment de renversement. Le paragraphe sur
les couplages montrera l’influence de l’angle de dérive sur l’effort longitudinal.
2.3.2.2
Taux de glissement
Le taux de glissement, encore appelé pseudo-glissement longitudinal Sx — noté parfois κ
dans la littérature — caractérise l’écart relatif entre la vitesse longitudinale du centre de la roue
Vx et la vitesse Ω.R du pneu par rapport au sol. La vitesse de glissement est alors définie par
Vs = Vx − R.Ω et le taux de glissement Sx suivant l’axe longitudinal par :
R.Ω
(2.3)
Vx
avec Ω la vitesse de rotation de la roue, R le rayon sous charge du pneumatique, Vx la projecSx = 1 −
tion dans le plan de jante de la vitesse du point de contact initial par rapport au sol.
En roue libre, par définition :
Rl =
Vx
Ω
(2.4)
Cette définition exprime que la roue peut tourner plus ou moins vite par rapport à sa vitesse
linéaire. Deux exemples extrêmes illustrent ce concept :
• une roue bloquée au freinage : Ω = 0, V 6= 0, Sx = 1
• une roue qui patine au démarrage : Ω 6= 0, V = 0, Sx = −∞
Sx > 0 pour un effort de freinage Sx < 0 pour un effort de traction
Figure 2.13: Courbes des efforts longitudinaux caractéristiques du pneumatique
L’effort longitudinal produit est alors fonction de ce paramètre Sx . Les courbes, comme on
peut le voir sur la figure 2.13, ont la forme de la figure 2.11. Pour les faibles valeurs de glissement,
la loi de comportement du pneumatique est linéaire, elle est symbolisée par l’équation suivante :
Fx = Cx .Sx
(2.5)
49
où Cx est la rigidité de pseudo-glissement.
Mais de manière générale, l’effort maximal de freinage est souvent supérieur à l’effort maximal de traction.
2.3.2.3
Écrasement vertical
Lorsque les pneumatiques sont montés sur un véhicule, une force verticale Fz s’exerce sur
chaque pneu. Le pneu se déforme et le caoutchouc se compresse sous le poids du véhicule
jusqu’à ce qu’un équilibre soit atteint entre la pression du pneu et le poids du véhicule. La
figure 2.10 montre schématiquement cet écrasement qui est défini par l’équation 2.6 où Rl est
le rayon libre du pneumatique et R le rayon sous charge.
∆zp = Rl − R
(2.6)
Sous l’action de la charge, le pneumatique subit une flèche et génère une aire de contact de
forme sensiblement rectangulaire pour un pneumatique d’automobile - figure 5 de l’introduction.
Une évolution des tensions du pneumatique sur tout le tour du pneumatique se produit pour
répondre à l’ensemble des déformations. En plus de la déformation de flexion dans l’épaisseur
du pneumatique suivant les différents couches et leur position dans l’empilement de la structure,
deux modes de déformations compétitifs apparaissent au niveau de la bande de roulement :
• le cisaillement dans le plan,
• et l’extension compression.
L’écrasement vertical est fondamental pour le comportement routier des véhicules, car il
modifie de façon considérable toutes les caractéristiques longitudinales et transversales du pneumatique.
2.3.2.4
Angle de carrossage
L’influence de l’angle de carrossage sur le comportement du pneumatique n’a fait l’objet
d’études que pour de petits angles de carrossage. Ainsi la caractéristique de l’effort transversal
Fy en fonction du carrossage est une droite passant par l’origine du repère. En revanche, c’est
l’impact du carrossage sur l’effort de dérive 2.14 qui produit un moment de renversement qui
tend à réduire l’angle de carrossage.
50
Figure 2.14: Fyγ (α) pour différents carrossage
2.3.2.5
Couplage longitudinal - transversal
Lorsqu’un pneumatique est soumis simultanément à un angle de dérive et à un taux de
glissement longitudinal, il se produit un effort longitudinal et un effort transversal. Ces deux
efforts sont inférieurs à ceux qui existeraient si chaque sollicitation s’appliquait seule. Les
courbes de la figure 2.15 [79] représentant Fx (Sx) et Fy (Sx) illustrent les variations des ces
efforts en fonction du pseudo-glissement pour plusieurs angles de dérive.
Figure 2.15: Fx et Fy en fonction du taux de glissement pour plusieurs angles de dérive [79]
Il est d’usage de représenter ces interactions sous la forme de courbes Fy (Fx ) paramétrées
en dérive - figure 2.16. Ces courbes, qui portent le nom de réseau d’ellipses d’équidérive [47],
ne sont pas symétriques entre les phases de traction et de freinage. Cette dissymétrie est
importante pour des pneumatiques à carcasse diagonale, mais faible pour des carcasses radiales
ceinturées. Les courbes peuvent être considérées comme l’enveloppe délimitant le domaine des
points de fonctionnement possibles sans dérapage pour un angle de dérive donnée et à un cas
de charge donné.
51
Figure 2.16: Réseau d’ellipses d’équidérive
2.3.2.6
Couplage vertical-horizontal
• Influence de l’écrasement vertical sur les courbes de dérive
Pour cette étude, le tracé de l’effort transversal Fy en fonction de la dérive pour plusieurs
charges verticales est nécessaire - figure 2.17. Le coefficient d’adhérence est alors défini comme
le rapport entre l’effort transversal maximal et la charge verticale, tandis que le coefficient de
dérapage est le rapport entre l’effort transversal à une dérive α = 90˚ et la charge verticale Fz .
Figure 2.17: Fy (α) à plusieurs cas de charges verticales
La rigidité de dérive Cα et les coefficients d’adhérence et de dérapage varient fortement,
mais de façon différente, avec la charge verticale - figure 2.18. La rigidité de dérive présente
un maximum et au-delà d’une certaine charge, une augmentation de la charge entraı̂ne une
diminution de la rigidité de dérive. L’angle de dérive pour lequel l’effort transversal est maximal
est un paramètre intéressant ; il décroı̂t généralement quand la charge augmente.
52
Figure 2.18: Influence de Fz sur les coefficients d’adhérence transversale et sur la rigidité de dérive
2.3.3
Bilan
De nombreux facteurs et variables influençant le comportement du pneumatique viennent
d’être introduits. Cependant, il existe d’autres facteurs :
• la pression de gonflage du pneumatique, qui affecte les rigidités et les coefficients d’adhérence,
• la vitesse de roulement, qui affecte peu la pente initiale des courbes mais diminue le
coefficient d’adhérence (phénomène plus important sur faible adhérence),
• la température de la bande de roulement,
• la nature du revêtement routier,
• la présence d’eau, de neige, de verglas,
• l’usure de la bande de roulement (plus l’épaisseur du caoutchouc de la bande de roulement
est faible, plus la rigidité de dérive et de pseudo-glissement est élevée).
De nombreux classements répertorient ces facteurs et variables influentes suivant la prestation de comportement véhicule attendue. Pour illustration, l’un d’entre eux est maintenant
présenté. Il s’agit celui de Ammon [4].
Ce classement - figure 2.19 - récapitule les paramètres qui influent sur le pneumatique et
y associe leur impact sur le comportement du véhicule en terme de stabilité, de vibration, de
confort...
2.4 Conclusion
53
Figure 2.19: Influence des paramètres sur les efforts et suivant le domaine étudié [4]
Ce classement met en avant toutes les caractéristiques que doit supporter un pneumatique,
comme par exemple :
- une roue doit supporter jusqu’à trois fois la charge de référence,
- le pneu doit supporter des fréquences entre 0 et 30Hz,
- l’angle de carrossage supporté par le pneumatique doit atteindre minimum 10˚.
Le pneumatique est donc soumis a un ensemble de contraintes et son comportement a un
impact direct sur celui du véhicule.
2.4
Conclusion
De très nombreux paramètres gouvernent la réponse du pneumatique. La compréhension
des facteurs d’influence et des différents couplages qui existent entre eux permet de se doter
des éléments d’analyse du comportement dynamique du véhicule.
Afin d’effectuer notre démarche de conception robuste appliquée aux trains innovants, et en
anticipant sur les parties suivantes, il est indispensable de spécifier clairement notre besoin en
matière de modèle de pneu. Le modèle de pneu devra remplir le cahier des charges suivant, il
devra :
• être le plus simple possible (nombre restreint de paramètres),
• comporter des paramètres physiques macroscopiques facilement interprétables ou mesurables,
• avoir un comportement valide aux grands angles de carrossage (jusqu’à 20˚) et aux petits
angles de dérive (< 10˚).
54
Le comportement du pneumatique aux grands angles de carrossage et aux grands angles de
dérive n’est pas attendu. On fait l’hypothèse que le modèle de pneumatique doit fonctionner
aux associations suivantes :
• petits angles de dérive et petits angles de carrossage,
• petits angles de dérive et grands angles de carrossage,
l’association grands angles de dérive et petits angles de carrossage étant déjà réalisée dans
l’ensemble des modèles pneu de l’automobile.
Dans le prochain chapitre, il est donc indispensable de se pencher sur la modélisation du
pneu et sur son comportement pour pouvoir appliquer notre démarche de conception appliquée
aux trains.
Chapitre 3
Etat de l’art des modèles pneumatiques
3.1
Introduction
Depuis maintenant plus d’un demi-siècle, et grâce à l’essor des moyens de calculs et de
mesures, de nombreux modèles, de plus en plus raffinés, ont été développés par les constructeurs d’automobiles et de pneumatiques et par les universités. Au début, seul le comportement
en ligne droite du véhicule et en virage stabilisé faisait l’objet de recherches, puis il a fallu
s’intéresser aux phases transitoires de mise en virage, pour en arriver maintenant à la simulation de conduite à la limite d’adhérence de couplage freinage-virage ou même à la simulation
d’accidents. Cette évolution a favorisé la complexification de la modélisation du pneu. Il est
donc intéressant de se pencher sur l’ensemble des modèles pour répondre à notre besoin.
Sans être exhaustif, et parce que chaque modèle est conçu dans un but précis, ce nouveau
chapitre présente quelques modèles de comportement de pneumatiques et quelques principes
de la modélisation. Dans une première partie, une classification des différents modèles est
suggérée. Puis chacune de ces classes est ensuite détaillée avant d’introduire la modélisation du
pneumatique moto. Une conclusion est donnée en gardant à l’esprit le besoin de faire varier le
pneumatique sur une plage de carrossage assez grande, l’objectif étant de définir un modèle de
pneumatique de véhicule de tourisme dont le comportement est représentatif aux grands angles
de carrossage.
3.2
Classification des modèles
Les stratégies de modélisation du pneumatique dans la littérature peuvent être classées
selon trois catégories selon l’objectif demandé ou dédié au modèle et selon le compromis entre
la précision physique de la représentation et la souplesse numérique des algorithmes :
• Les modèles fonctionnels ou modèles de conception simplifiés décrivent le comportement
du pneumatique dans sa globalité ou partiellement en ne retenant que des phénomènes
suffisamment simplifiés pour permettre une résolution analytique des équations,
• Les modèles de développement décrivent le comportement global du pneumatique : les
lois de comportement physiques des matériaux constituant le pneumatique sont intégrées
55
56
CHAPITRE 3. ETAT DE L’ART DES MODÈLES PNEUMATIQUES
sur toute sa déformée, pour obtenir les lois globales résultantes,
• Les modèles à retour d’expérience décrivent le comportement global du pneumatique en
interpolant des résultats expérimentaux par des fonctions de forme dont les paramètres
sont identifiés.
Le tableau de la figure 3.1 regroupe les caractéristiques des trois grandes catégories de modèle de pneumatique distinguées et il présente les avantages et inconvénients de chaque groupe.
Figure 3.1: Classification des modèles
3.3
Modèles fonctionnels
Les modèles fonctionnels consistent à modéliser le système en le simplifiant grâce à des hypothèses physiques. Les paramètres qu’ils font intervenir sont en petit nombre (une dizaine au
plus) et ils ont tous un contenu physique (masse, inertie, raideur, amortissement, coefficient de
frottement, etc).
Dans le cadre de ces modèles fonctionnels, trois types de modèles sont présentés : les modèles
verticaux, les modèles latéraux et les modèles incluant le frottement.
3.3.1
Modèles verticaux
Les modèles verticaux sont les premiers modèles de pneumatique à voir le jour. Ils modélisent une dimension du pneumatique à savoir la composante verticale du pneumatique en caractérisant le pneumatique au moyen d’une masse, d’une raideur et d’un amortissement comme
un oscillateur à étage. Quatre variantes du modèle ont été développées et ont servi par la suite
aux développements de modèles plus complexes. Les hypothèses communes aux quatre versions
sont les suivantes :
3.3 Modèles fonctionnels
57
- Le profil de route est considéré comme étant infiniment rigide donc indéformable,
- La masse du pneumatique est concentrée au centre de la roue,
- Le ressort modélise la pression et l’élasticité de la carcasse, et l’amortisseur modélise la dissipation interne de la carcasse.
• Le modèle du point de contact
Ce premier modèle se décrit de la manière suivante : le contact entre le pneumatique et
le profil routier est supposée ponctuel. La force de contact est supposé verticale et les efforts
longitudinaux et transversaux sont négligés au niveau de l’empreinte. Le point de contact et
le centre de la roue sont reliés par un ressort et un amortisseur verticaux placés en parallèle figure 3.2.
Figure 3.2: Modèle du point de contact
Pour les déplacements verticaux du point de contact pneu/sol noté y0 , et du centre de roue
noté y1 et les vitesses y˙0 et y˙1 , l’effort vertical vaut :
F =
Z
yst +y0 −y1
k.dy +
Z
y˙0 −y˙1
c.dẏ
(3.1)
0
0
où yst est la déflection statique du pneu sous charge,
Fz =
Z
yst
k.dy
(3.2)
dy (3.3)
0
y˙0 = V
avec V la vitesse d’avancement du véhicule et
de contact donné.
0
dx
dy0
dx
est la pente du profil de route au point
L’effort vertical de l’empreinte Fv est égal à Fz lorsqu’il y a contact avec le sol, et il vaut
zéro lorsqu’il n’y a pas de contact entre le pneumatique et la chaussée :
Fv = Fz si Fz > 0
Fv = 0 si Fz ≤ 0
(3.4)
58
L’effort horizontal Fh —suivant l’axe longitudinal du véhicule — est lié à l’effort vertical par
la relation suivante :
dy0
Fh
(3.5)
=
Fv
dx
L’ensemble des équation 3.2, 3.3, 3.4 et 3.5 détermine les forces horizontale et verticale.
Ces dernières forces sont transmises aux suspensions du véhicule et sont déterminées par les
équations suivantes:
Fz = Fv − m.y¨1
(3.6)
Fx = −Fh
(3.7)
Ce modèle est valable aux très faibles fréquences (moins de 1 Hz), et il tend au-delà à
surestimer l’effort vertical. Ce modèle a été développé uniquement pour être plus tard intégré
dans un modèle global du comportement dynamique des véhicules de tourisme. Les degrés de
liberté transversaux sont ici négligés.
• Le modèle à bande roulement rigide
Le modèle à bande de rouelement rigide se décrit de la manière suivante : le contact entre le pneumatique et le profil routier est également supposé ponctuel, mais il s’établit par
l’intermédiaire d’une roue rigide et de même diamètre que le pneumatique, tangente au profil
de route. La force de contact est alors supposée verticale, les efforts longitudinaux et transversaux dans l’empreinte sont négligés. Le centre de la bande de contact et le centre de la roue
concentrant la masse équivalente de l’aire modélisée sont reliés par un ressort et un amortisseur
verticaux en parallèle - figure 3.3.
Figure 3.3: Modèle à bande de roulement rigide
Pour ce modèle, le chemin imposé par la roue rigide est donnée par l’expression 3.8.
y¯0 (x) = y0 (x + x̄) +
√
r2 − x̄2
(3.8)
59
où r est le rayon de courbure, x un point localisé le long du profil, x̄ correspond à l’abscisse
où le glissement apparait dans la zone de contact. En général, l’équation 3.8 fournit deux solutions diamétralement opposées.
Comme le modèle précédent, ce modèle est valable aux très faibles fréquences (moins de
1 Hz), en outre il permet de filtrer les petites irrégularités de la route. Le modèle n’a été
développé uniquement que pour être plus tard intégré dans un modèle global du comportement
dynamique des véhicules de tourisme.
• Le modèle à empreinte fixe
Le modèle à empreinte fixe - figure 3.4 - décrit par Kozin et Bogdanoff dans [40], [52] et [18]
se penche plus particulièrement sur la représentation de l’empreinte. A ce stade le contact pneumatique/chaussée n’est plus considéré comme ponctuel mais de longueur constante L. L’effort
généré est alors supposé vertical en tout point de l’empreinte, et les forces longitudinales et
latérale sont alors négligées. Le point courant de l’empreinte et le centre de la roue concentrant
la masse équivalente de l’aire modélisée sont reliés par un ressort et un amortisseur verticaux
placés en parallèle comme les modèles précédents.
Figure 3.4: Modèle à empreinte fixe
L’effort vertical total est alors calculé de la manière suivante :
Fvertical =
Z
L/2
−L/2
Z
yst +y0 (x)−y1
0
k .dy.dx +
Z
L/2
−L/2
Z
˙
y0 (x)−
y˙1
b0 .dẏ.dx
(3.9)
0
où yst est la déformée statique de l’empreinte, y0 (x)représente le profil de route comme une
˙ est donnée par :
fonction et y0 (x)
y˙0 (x) = V.
V est alors la vitesse d’avancement et
dy0 (x)
dx
dy0 (x)
est
dx
(3.10)
le glissement local à l’abscisse x.
Ce modèle, valable aux très basses fréquences (moins de 1Hz), tend au-delà à sous estimer
les forces. En outre, il permet de filtrer les petites irrégularités de profil de route car il est
équivalent au modèle point de contact où la hauteur du point de contact serait remplacée par
60
la moyenne de celle-ci sur l’intervalle de longueur fixe. Un modèle similaire a été développé
par Schuring dans [3] avec pour originalité de se baser sur la mesure de deux rigidités : une
obtenue en évaluant la surface de contact lorsque le pneumatique est chargé, et une en évaluant
la surface de contact lorsque le pneu rencontre un obstacle et se déforme.
• Le modèle à empreinte adaptative
La dernière version évoquée dans cette catégorie de modèles verticaux est celle de l’empreinte
adaptative. Dans le même état d’esprit que les modèles précédents, le point courant de
l’empreinte et le centre de la roue concentrant la masse équivalente sont reliés par un ressort et
un amortisseur radiaux placés en parallèle, comme le montre la figure 3.5.
L’atout majeur de cette modélisation est de considérer que la surface de contact et son orientation par rapport au centre de la surface de contact peuvent varier.
Figure 3.5: Modèle à empreinte adaptative
Cette représentation prend en compte la distribution de pression interne pi qui joue sur
l’empreinte et considère une distribution non linéaire des raideurs k et amortissement pour
simuler la contribution de la charge verticale sur la carcasse.
Les efforts dus à la déformation de la bande de roulement orientée d’un angle θ par rapport
à l’axe vertical sont donnés par :

Pi .B.R.dθ

i2 si dFc > 0
 dFv = dFc .cos(θ) + s h
dy0 (x̄)
1+
(3.11)
dx̄

 dF = 0
si dFc ≤ 0
v

Pi .B.[dy0(x̄/dx̄) ].R.dθ

si dFc > 0
i2
 dFh = dFc .sin(θ) + s h
dy0 (x̄)
1+
(3.12)
dx̄


dFh = 0
si dFc ≤ 0
avec
dFc =
hZ
0
δ(θ)
k.dy +
Z
0
˙
δ(θ)
i
b.dẏ .dθ
(3.13)
61
avec
- B correspond à la largeur de l’empreinte,
- δ(θ) l’écrasement vertical de la bande de roulement orienté suivant l’axe vertical
d’un angle θ,
˙ la vitesse radiale de la bande de roulement due au mouvement de rotation du
- δ(θ)
pneumatique,
0 (x̄)
la pente locale du profil routier au point de contact,
- dydx̄
et
x̄ = r.sin(θ)
(3.14)
Pour les systèmes d’équation 3.11 et 3.12, le premier terme représente l’effort de la carcasse
alors que le second terme fournit l’augmentation de pression suite à l’écrasement du pneumatique.
L’écrasement de la bande de roulement est la somme de l’écrasement statique du à l’équilibre
des charges et l’écrasement résultant des irrégularité du profil de route y0 (x̄) et du déplacement
du centre de la roue y1 .
Ainsi ce modèle, comme celui de l’empreinte fixe, a la capacité de filtrer les petites irrégularités du profil de route.
• Bilan
Les quatre variantes de modèles verticaux présentés ci-dessus se restreignent à ne considérer
que l’aspect vertical du pneumatique en représentant différemment le contact pneu/sol : il est
en effet soit considéré comme étant ponctuel, linéique ou surfacique. Dans ces modèles sauf
celui à empreinte adaptative, la variation de pression et les efforts du pneu sont dépendants
l’un de l’autre, ce qui sous entend que les efforts de la carcasse et la pression varient de la même
manière lorsque le pneu se déforme. D’autres modèles ont donc été développés pour améliorer
cette hypothèse simplificatrice [60] et seront développés dans la partie suivante car ce sont des
modèles plus complexes qui s’inspirent de ces modèles simplifiés.
Dans le même esprit de représentation vertical du pneumatique, on trouve le modèle de
Davis [31], implémenté en 1987 sous ADAMS [1] qui scinde la roue en segments déformables
indépendants auxquels il attribue une rigidité (ce principe a été repris dans la modélisation du
Ftire). Pour un profil de route donné, l’effort agissant sur le pneu est alors calculé à partir des
raideurs de la roue.
Levin, quant à lui, présente dans [59] un modèle d’empreinte stationnaire qui couple les
différentes modélisations vues jusqu’à présent en y associant un modèle de frottement. Les
modèles de frottement sont détaillés un peu plus loin dans le mémoire.
62
3.3.2
Modèles latéraux
Les modèles latéraux reprennent le principe des modèles verticaux en associant des rigidités
latérales entre le point de contact et la jante. Ces modèles se sont en particulier développés dans
le domaine de l’aéronautique avec les différentes versions du modèle de Moreland [68] et [69]
pour expliquer les phénomènes de Shimmy (violentes vibrations qui peuvent apparaı̂tre sur la
roue avant d’une voiture mais surtout sur un train d’atterrissage).
Ces modèles se sont moins développés au profit de modèle de comportement transitoire. En
effet, de nombreuses études ont tenté de développer des modèles mathématiques pour l’étude
du comportement transitoire du pneumatique. Deux théories ont alors pris le dessus - figure 3.6.
La première basée sur l’hypothèse que la bande de roulement est équivalente à un anneau
rigide élastiquement relié à la jante par des ressorts latéraux symbolisant ainsi les flancs du
pneu.
Figure 3.6: Modèle pour le comportement transitoire : a) modèle de l’anneau rigide. b) modèle de l’anneau élastique [38]
Dans la seconde, la bande de roulement est équivalente à un anneau flexible relié élastiquement à la jante. Dans les deux modèles, on suppose que le comportement transitoire du
pneumatique se déduit des caractéristiques de la ligne équatoriale (ligne de contact lorsque’elle
est en contact avec le sol) du pneumatique et de sa déformation avec le plan de la roue.
La principale différence entre ces deux modélisations repose sur la prise en compte du glissement au niveau de la zone de contact dans le modèle de l’anneau flexible, tandis que celui de
l’anneau rigide ne l’intègre pas.
Alors que ces deux modèles ont servi de base à de nombreux modèles, comme l’anneau de
Kobiki [56], le modèle de Von Schlippe [46] et le modèle de Davis [31], d’autres sont apparus
en se servant de la théorie du frottement sur laquelle se penche le prochain paragraphe.
63
3.3.3
Modèles avec frottement
3.3.3.1
Modèles de frottement
Le frottement apparaı̂t à l’interface de deux surfaces en contact - figure 3.7. Il est dit sec
lorsque l’interface est exempte de toute autre corps. Le mouvement du solide sur une surface de
contact est supposé uniforme. Le déplacement de cette masse est noté u et la force développée
au contact est notée F .
Figure 3.7: Frottement d’une masse en mouvement plan
Sans donner la description phénoménologique du frottement, cette section présente les principaux modèles de frottement de la littérature [70] permettant de décrire les forces générées
à l’interface roue/sol. Ces modèles peuvent être classés selon deux catégories : les modèles
statiques et les modèles dynamiques.
1. Modèles statiques
Le principe fondamental du frottement énoncé par Coulomb indique que la force de frottement à l’interface de deux solides s’oppose à leur mouvement relatif et que l’amplitude
de cette force est indépendante de la vitesse de déplacement notée Vs = u̇ et de l’aire de
contact apparente. Elle est décrite par :

pour Vs > 0
 Fc
F =
[−Fc ; Fc ] pour Vs = 0

−Fc
pour Vs < 0
(3.15)
Fc est la force de Coulomb. Usuellement pour le modèle de Coulomb, Fc = µ.Fz , avec Fz
la charge normale et µ le coefficient de frottement de Coulomb. Ce modèle a l’inconvénient
de fournir peu d’information sur les performances de frottement au cours du changement
de signe de la vitesse. De plus, il impose un schéma numérique contraignant lors du
couplage avec les équations du mouvement et des approximations sont nécessaires pour
poser le système d’équations d’états. Il peut être amélioré par la prise en compte des
phénomènes visqueux dûs à la présence d’un troisième corps entre la gomme et le sol. On
parle alors de friction visqueuse et Fc est alors remplacé dans l’équation 3.15 par Fk .Vsδv .
La dépendance par rapport à la vitesse peut, suivant la valeur de δv , être non linéaire.
Cette nouvelle expression ne permet cependant pas de prendre en compte le fait que la
force de frottement à vitesse nulle est supérieure à la force de Coulomb. Stribeck a donc
proposé un modèle permettant de coupler ce phénomène à une dépendance de la vitesse,
64
non seulement non linéaire, mais également continue.

−| Vs |

Vs 6= 0
 F (Vs ) = Fc + (Fs − Fc )e Vsσ + Fvs .Vs si
F =
Fe
si
Vs = 0 et |Fe | < Fc

 f sign(F )
sinon
s
e
(3.16)
Fe étant la force extérieure tangentielle, Fs est la friction statique, Vsσ la vitesse de
Stribeck et FV s la force de friction visqueuse pouvant être non-linéaire.
La difficulté de ces modèles est de pouvoir définir si la vitesse est nulle ou pas. Pour y
remédier, Karnopp [55]propose de définir une zone ”morte” autour de zéro dans laquelle la
force de friction est nulle. Cette nouvelle approche permet de résoudre les problèmes sans
donner une force de frottement réaliste. Armstrong [5] propose d’associer deux modèles
de frottement : un pour le frottement lors du collage et l’autre en glissement. Mais le
passage d’un modèle à l’autre est encore un problème.
Les problèmes évoqués ont motivé le développement de modèles de frottements dynamiques plus réalistes et plus efficaces. Le paragraphe suivant présente ces modèles.
2. Modèles dynamiques
Le premier modèle dynamique est le modèle de Dahl [107]. Dahl propose une expression
différentielle du frottement inspiré des lois de comportement élasto-plastique des matériaux. L’originalité consiste en une description de l’effort en fonction du déplacement relatif
u et de sa vitesse u̇.
dF (u)
F (u)
F (u)
= K|1 −
.sign(u̇)|α .sign 1 −
.sign(u̇)
(3.17)
du
fk
fk
où fk est la force de frottement dynamique, K est la rigidité de contact (de l’ordre de
40kN) et α un paramètre permettant de régler l’allure de la loi de comportement (correspondant à différents matériaux), typiquement α = 1.
Lorsque α est très petit le comportement décrit par l’équation 3.17 est quasiment élastoplastique pur. Il est donc naturel d’interpréter la grandeur FK(u) comme la déformation
moyenne des aspérités de contact des éléments frottants et K comme la raideur de ces
mêmes aspérités.
Pour modéliser les frottements, Bliman et Sorine adoptent le point de vue de la théorie
mathématique des systèmes à hystérésis largement développée ces dernières années [15].
Ils proposent une classe d’opérateurs d’hystérésis définis par des équations différentielles
qui facilite leur utilisation en automatique. Les propriétés de ces modèles sont les suivantes
:
• ils rendent compte de la propriété d’hystérésis des frottements secs (mise en évidence
d’une force de frottement plus faible pour une vitesse décroissante, que pour une
vitesse croissante)
65
• ils sont évidemment dissipatifs, même lorsque’ils rendent compte de maxima locaux
du frottement. La relation frottement/vitesse peut alors être localement décroissante, reproduisant ainsi l’effet Stribeck.
• couplés aux équations du mouvement, les modèles conduisent à un système bien
posé; propriété indispensable pour les simulations numériques.
Le modèle de premier ordre de Bliman et Sorine a toutes les propriétés requises mais ne
rend compte dans les transitoires que de l’effet de Dahl, c’est-à-dire du comportement
élastique des aspérités de contact. Ce modèle, très simple, est une régularisation du
modèle de Coulomb. Le modèle du second ordre de Bliman et Sorine a en revanche toutes
les propriétés recherchées. Il associe en fait deux modèle de Dahl en parallèle permettant
ainsi d’étudier le déplacement dans les deux direction longitudinale et transversale.
Ces diverses approches de la modélisation ont servi à l’élaboration de plusieurs modèles
de pneumatiques. Trois d’entre eux vont être présentés dans le paragraphe suivant.
3.3.3.2
Présentation de modèles basés sur la théorie du frottement et de l’adhérence
1. Modèle de LuGre
En se basant sur le modèles de frottement Dahl [107] au niveau de la zone de contact,
le modèle de LuGre considère une vitesse uniforme autour de la ceinture et dépendante
du coefficient de frottement. Ce modèle est présenté par C. Canudas et al. dans [107] et
évalué dans [36].
Ce modèle, lié à l’utilisation d’éléments (discrétisation de la zone de contact), est connu
pour être capable de décrire le comportement de frottement dynamique en phase de
freinage ou d’accélération. Il y a deux façons de décrire la force de frottement : soit on la
considère comme ponctuelle, soit comme distribuée. Dans la version ponctuelle, la force
est une moyenne sur la longueur de la surface de contact, aboutissant à une équation
différentielle ordinaire. Dans la seconde version, l’aire de contact, supposée de longueur
constante, aboutit alors à une équation différentielle partielle plus complexe. La figure 3.8
montre une courbe typique de la première version du modèle de LuGre pour les différentes
valeurs du coefficient d’adhérence µ.
66
Figure 3.8: Courbes typiques d’effort longitudinal en fonction du glissement longitudinal du modèle de LuGre [102]
Les petites valeurs du coefficient de frottement (ou coefficient d’adhérence) µ correspondent à de la faible adhérence, tandis que de grandes valeurs représentent la haute adhérence.
La version générale du modèle de LuGre, présenté dans [106] et dans [102], est mis en
équation par :
ż = −νs −
σ0 .|νs |
z
g(νs )
avec
(3.18)
− ννs
g(νs ) = µc + (µs − µc ).e
str
α
F = (σ0 .z + σ1 .ż − σ2 .νs ).Fz
(3.19)
(3.20)
F est la force de frottement du sol sur le pneu et elle est représentée par l’effort de déformation moyen des petits ressorts qui modélisent les éléments de caoutchouc. σ0 correspond
à la raideur longitudinale de l’élément de caoutchouc, σ1 est l’amortissement longitudinal
des éléments, σ2 l’amortissement visqueux, µc est le coefficient de frottement de Coulomb,
µs le coefficient de frottement statique, νs la vitesse relative définie par νs = ν − R.Ω et
νstr la vitesse qui permet de paramétrer la fonction de Stribeck notée g(νs ). z est la
déformation moyenne des éléments de caoutchouc, α le paramètre permettant de coller à
la caractéristique quasi-statique.
Le modèle de LuGre discrétise l’aire de contact en un nombre infini d’éléments. Cependant, dans cette approche, les éléments se comportent selon les équations 3.18 et 3.20.
Les éléments de caoutchouc se déplacent dans l’aire de contact à la vitesse de rotation de
∂z ∂x
+ ∂x
. ∂t , le modèle de LuGre au niveau de l’aire
la roue Ω.R. Avec la relation ż(x, t) = ∂z
∂t
de contact est donné par(i = x,y)
67
ż(x, t) =
∂zi
σ0i |νsi |
∂zi
|Ω.R| +
= −νsi −
zi (x, t)
∂t
∂x
g(νsi )
(3.21)
La représentation statique peut alors être trouvée en considérant la dérivée temporelle
nulle, c’est-à-dire ∂z
(x, t) = 0. On trouve alors :
∂t
zi ss (νs , ω.R, x) =
g(νsi ) σ0i νsi |x
1 − e− (
σ0i
g(νsi ) ω.R
(3.22)
Pour obtenir les efforts, l’équation 3.21 a besoin d’être intégrée sur la longueur de l’aire
de contact. Il faut également considérer une répartition verticale de charge qz . Ainsi on
a:
Fi (t) =
Z
a
−a
σ0i .zi (x, t) + σ1i
∂zi
(x, t) − σ2i .νsi qz dx
∂x
(3.23)
Pour pouvoir représenter le moment d’auto-alignement, une répartition parabolique nonsymétrique est utilisée. L’expression général du moment d’auto-alignement s’écrit donc :
Mz (t) =
a
∂zy
(x, t) − σ2y νsy qz (a − x)dx
σ0y zy (x, t) + σ1y
∂x
−a
Z
(3.24)
Le modèle de LuGre décrit donc bien le comportement quasi-statique du pneumatique avec
un modèle de frottement provenant du coefficient d’adhérence. Le tableau 3.1 présente
les avantages et les inconvénients de ce modèle.
Avantages
+ Prise en compte du coefficient
d’adhérence
+ Modèle quasi-statique précis
Inconvénients
- Nombre moyen de paramètres à estimer
- Propriétés dynamiques pas encore
bien documentées ni très précise
- Hypothèse : faibles angles de carrossage
Tableau 3.1: Bilan de la modélisation de LuGre
2. Brush model
Le deuxième modèle présenté est le ”Brush model”. Le tableau 3.2 illustre les caractéristiques en présentant les avantages et inconvénients. Ce modèle reprend comme le modèle
LuGre, le principe de discrétisation de la bande de roulement en éléments de caoutchouc.
C’est à partir de la déformation des éléments et du frottement des éléments sur le sol
que ce modèles est mis en équation. C’est un modèle que la littérature décrit comme
simple [75], [41], [99], [35].
68
Quatre facteurs fondamentaux dans la modélisation du pneumatique sont pris en compte :
les propriétés de frottement, la répartition de la pression de contact, la déformation de
la bande de roulement et les efforts de contact sont représentés en fonction du taux de
glissement, de la dérive, de la charge verticale et des raideurs de pneumatiques.
Avantages
+ Modèle physique
+ Nombre de paramètres faibles
+ Raideur de la carcasse raisonnable
pour l’effort longitudinal
Inconvénients
- Vitesse indépendante du coefficient de
frottement
- Intégration sur la zone de contact (Fz
varie)
- Propriété d’isotropie du pneu
Tableau 3.2: Bilan de la modélisation de ”Brush model”
En prenant en compte plusieurs rangées de brosses pour modéliser la largeur de la surface
de contact, on parvient à intégrer l’angle de carrossage dans le modèle de pneumatique
- figure 3.9. En effet lorsque le pneumatique a un angle de carrossage non nul, toute sa
largeur de bande de roulement ne travaille pas.
Figure 3.9: Trois rangées discrétisées d’éléments de caoutchouc pour considérer l’angle de carrossage
Ce dernier modèle paraı̂t intéressant pour nos travaux de recherche, il va donc faire l’objet
d’une étude plus précise dans le chapitre suivant.
3. Dugoff
Le dernier modèle présenté est le modèle de Dugoff [37], [63]. Ce modèle - bon compromis
entre coût et représentativité - présente l’avantage de ne faire intervenir qu’un nombre
restreint de variables physiques. Le couplage entre les efforts longitudinal et transversal
peut également être pris en compte si le besoin s’en fait ressentir.
Les équations du modèle de Dugoff sont
(
sx
Fx = Cx 1−s
κ
x
tan δ
Fy = Cα 1−sx κ
(3.25)
69
avec :
et :
κ = (2 − σ)σ si σi < 1
κ=1
si σi ≥ 1
(1 − sx ).µi .Fz
σ= q
2 Cx 2 sx 2 + Cα 2 (tan δi )2
(3.26)
(3.27)
Le pneumatique sature lorsque σ < 1. Pour σ ≥ 1, il reste dans sa partie linéaire. Le
terme κ introduit le couplage entre les efforts transversal et longitudinal. En pratique,
la résultante des efforts longitudinal et transversal combinés est toujours située dans une
ellipse qui traduit les limites de la capacité d’adhérence (cf. figure 3.10).
Fy i
Fx i
accélération
freinage
Figure 3.10: Ellipse limite de capacité d’adhérence
Cette ellipse est l’enveloppe des courbes iso-dérives. La longueur du demi-grand axe est
égale à |µ.Fz |, celle du demi-petit axe est inférieure à |µ.Fz |, mais se rapproche d’autant
plus de cette valeur que la dérive maximale admissible sans glissement longitudinal est
élevée.
Pour pouvoir prendre en compte une rigidité de dérive non-linéaire, l’expression de Fy
issue du système (3.25) est simplifié dans [63] par:
Fyi = Dyi
Avantages
+ Prise en compte du coefficient
d’adhérence
+ Couplage latéral et longitudinal pris
en compte
+ Nombre faible de paramètres à estimer
δi
κi
1 − s xi
(3.28)
Inconvénients
- Propriétés dynamiques pas encore
bien documentées ni très précise
- Hypothèse : faibles angles de carrossage
Tableau 3.3: Bilan de la modélisation de Dugoff
D’autres modèles, comme le modèle de Gim [43] ou encore le modèle de Kiencke [100]
ont fait l’objet d’études, en particulier dans [85] mais aucun d’eux ne considère l’angle de
carrossage comme une variable intervenant dans le comportement du pneumatique.
70
3.3.4
Bilan
Cette première catégorie de modèle présente les différents éléments du pneu à modéliser :
la bande de roulement, les flancs de carcasse, le point de contact et l’adhérence ou le frottement dans la zone de contact pneu/sol. Elle suggère des modélisations simples : association de
ressorts et d’amortisseurs principalement en vertical et en latéral, discrétisation de la zone de
contact en éléments... Cette simplicité de modélisation a permis d’aboutir à un grand nombre
de modèles de plus en plus réalistes. Néanmoins, peu de modèles considère l’angle de carrossage
en tant que variable du modèle. Regardons alors si les modèles de développement peuvent intégrer les grandes variations de l’angle de carrossage.
La prochaine section se penche donc sur les modèles de développement.
3.4
Modèles de développement
Les modèles de développement décrivent le comportement global du pneumatique en utilisant des lois de comportement physiques des matériaux. Cette section sera illustrée par cinq
modèles dont les approches sont différentes.
3.4.1
RMOD-K
Les développements récents à la fois des ressources de calculs et de la modélisation elle-même
ont contribué à l’effervescence des modèles en trois dimensions. La ceinture du pneu se retrouve
modélisée dans l’espace et discrétisée pour mieux évaluer le contact pneu/sol. Un des premiers
modèles de ce genre est le FTire de Gypser [7]. Ce modèle consiste en un anneau flexible et
extensible incluant les rigidités des flancs et élastiquement lié à la jante par des ressorts disposés
dans les trois directions de l’espace. Le FTire est un modèle discrétisé par un anneau consistant
en un nombre fini de masses, chacune d’elles est reliée à la masse voisine par des ressorts et
des amortisseurs (in-plane et out-of-plane). En outre, chaque élément séparé de la ceinture est
relié à plusieurs éléments de masse pour évaluer les phénomènes de contact. Un autre type de
modèle développé par Mancosu et al. [64] est aussi référencé comme un modèle physique à 3D.
Celui-ci consiste en une ceinture rigide, suspendue à la jante par des ressorts dont les propriétés
peuvent être déterminées par la méthode des éléments finis (FEM). Cette ceinture est associée
à un modèle détaillé et discrétisé de l’empreinte au sol du pneumatique. Cette empreinte est
constituée d’un grand nombre d’éléments de caoutchouc et d’interactions entre ces éléments.
Un troisième développement fait par Oertel et al, est plus connu sous le nom de RMOD-K figure 3.11 [75].
Ce dernier modèle fournit une description détaillée en éléments finis de la structure du
pneumatique complètement discrétisée. La ceinture flexible ainsi obtenue est rattachée à la
jante par un modèle de flanc à air pressurisé. Cette ceinture est modélisée par une ou plusieurs
couches qui interagissent entre elles. Le contact est modélisé par les forces de frottement et la
charge verticale provenant de la mesure d’un capteur.
Ce modèle est un peu plus simple que les modèles en éléments finis, mais il nécessite la
3.4 Modèles de développement
71
Figure 3.11: Représentation de la structure à éléments finis du RMOD-K [75]
connaissance particulière des interactions entre chaque couche. Il est donc, comme le modèle
suivant, principalement employé et développé par les manufacturiers de pneus.
3.4.2
Modèles à éléments finis
Les modèles de calcul par éléments finis pour l’étude des contraintes et déplacements dans
les flancs des pneumatiques [30] ont vu le jour dans les années 1980. A l’époque, ces modèles
permettaient la prévision des propriétés de déflection statique des pneumatiques, mais ne prenaient pas encore en compte les phénomènes dynamiques comme la mise en dérive. Ils servaient
à la conception du pneumatique mais beaucoup moins à la modélisation de la tenue de route,
car ils sont gourmands en puissance de calcul.
Le pneumatique est alors discrétisé par des éléments ponctuels, rigides ou flexibles avec des
propriétés de masse et d’inertie en rotation concentrées aux centres des masses respectifs, selon
la modélisation multicorps.
La déformée dans le cas d’éléments distinct des centres de masse interpolée en tout point du
pneumatique. Elle est au minimum continue au premier ordre [30].
A chaque centre de masses s’exercent les forces discrètes de chargement, les forces élastiques
amorties des flancs de carcasse et les forces discrètes élastiques amorties de la bande de roulement.
Le long de la déformée s’exercent des forces réparties de pression, des forces réparties élastiques
amorties de contact et des forces réparties de frottement dans l’aire de contact seulement.
Le flanc est construit comme une structure déformable qui relie la bande de roulement aux
tringles (voir chapitre 2 : approche générale du pneumatique) mais inextensible sur laquelle
agit une répartition de pression.
La ceinture dans le cas d’une modélisation à éléments finis peut être modélisée par une poutre
ou un fil tendu relié à la jante supposé infiniment rigide par un grand nombre d’éléments élastiques. La bande de roulement est modélisée par des éléments de caoutchouc relié élastiquement
à la ceinture.
72
Chaque élément constitutif du pneumatique peut être représenté de manière plus ou moins
simple, en utilisant des interpolations par segments, par arcs de cercle, par des fonctions de
Bézier...
La complexité de ces modèles s’élève très rapidement et les moyens de calculs dont ils ont
besoin sont grands. De ce fait, ces modèles sont beaucoup plus utilisés et développés par les
manufacturiers. Dans le cadre de nos travaux qui portent sur la conception d’un train et non pas
sur celle d’un pneumatique, nous avons décidé de ne pas approfondir cette catégorie de modèles.
Néanmoins, il reste une dernière catégorie de modèles à exploiter, celle à retour d’expérience.
Ces modèles vont donc faire l’objet de la partie suivante.
3.5
Modèles à retour d’expérience
Les modèles à retour d’expérience décrivent le comportement global du pneumatique en
interpolant des résultats expérimentaux par des fonctions de forme dont les paramètres sont
identifiés. Dans cette troisième catégorie de modèles de pneu, le principal modèle qui est une
référence dans le domaine de la modélisation du comportement du pneumatique s’intitule Magic
Formula de Pacejka. Il est en effet présent dans de nombreux simulateurs, du jeux vidéo (ex :
Racer [78]) aux outils à usage professionnel (ex : MADA1 ,ADAMS/Car [1],Carsim [19]). Il
est utilisé pour la comparaison ou la validation d’autres modèles [23], [16]. L’historique de ce
modèle est présenté afin de mieux comprendre son évolution. Pour faciliter la compréhension,
seules les formules du modèle, pour des sollicitations longitudinale et transversale en dérive
pure uniquement sont présentées.
3.5.1
Magic Formula
Dans le but de prédire le comportement routier d’automobiles à l’aide de simulations, dans
les années 1970 et suite à l’initiative de ”Volvo Car Corporation”, de gros efforts sont faits
en collaboration avec l’université de Delft et avec les professeurs Pacejka, Bakker, Bayle pour
développer un modèle de pneumatique décrivant le plus correctement possible les efforts générés
dans le plan horizontal de la zone de contact pneu/sol. Ainsi en 1987 [9], la première version d’un
modèle de comportement voit le jour sous le nom de ”Magic Formula”. Cette formulation est
capable de reproduire le comportement du pneumatique pour des sollicitations pures en régime
établi. Cette formule est un modèle à retour d’expérience - ou modèle empirique - puisqu’il
n’est pas le résultat d’une démonstration rigoureuse mais les équations sont une interpolation
de résultats expérimentaux effectués sur banc d’essai. L’idée de base est d’utiliser des fonctions
sinus et arc tangente pour approcher les courbes de la force générale en dérive pure, puis plus
tard en dérive couplée.
1
y(x) = D.sin[C.arctan{B.x − E.(B.x − arctan(B.x))}]
(3.29)
m(x) = D.cos[C.arctan{B.x − E.(B.x − arctan(B.x))}]
(3.30)
Modèle Avancé Dynamique Automobile, logiciel de simulation Renault
3.5 Modèles à retour d’expérience
73
Ces formules représentent toutes les composantes des forces exercées par les pneus. Elles
sont développées en tenant compte que la force verticale (Fz ) change au cours de la simulation.
y représente soit la force longitudinale Fx en fonction du glissement, soit la force transversale
Fy en fonction de la dérive et m représente le moment que l’on veut simuler (Mz : moment
d’auto-alignement, My : moment de roulement et Mx le moment de renversement).
B est le coefficient de rigidité - C le coefficient de forme - D le coefficient d’amplitude -, et
E le coefficient de courbure - figure 3.12.
avec
x = X + Sh
(3.31)
Y (X) = y(x) + Sv
(3.32)
Sh représente le décalage horizontal et Sv le décalage vertical. Ces décalages sont représentés
sur la figure 3.12.
Figure 3.12: Allure des courbes de Pacejka
À chaque coefficient B, C, D, E sont associés différents paramètres qui modifient l’équation
de base pour donner la force dans chaque direction du repère local. La seconde version [72] qui
se base plus sur la physique, est présentée en 1989. Les formules s’enrichissent pour reproduire
le comportement du pneumatique lors des phases transitoires mais aussi sous sollicitations couplées. Le comportement de transitoire est introduit en assimilant le mouvement de la carcasse
à un filtre du premier ordre. La même année, la longueur de relaxation du pneumatique est
introduite [10]. Ce modèle est amélioré pour fournir la description des efforts en dérive couplée
en 1991-1993 [11]. La partie de la bande de roulement en contact avec le sol est assimilée à une
masse en mouvement dans le plan horizontal.
74
Bayle [13] propose une approche plus empirique en réduisant la complexité des calculs
d’efforts en dérive couplée afin d’améliorer les temps de calculs des différents paramètres de la
formule magique. Les formules s’écrivent alors :
Fx = Fxpure .G(α, Sx , Fz )
(3.33)
Fy = Fypure .G(α, Sx , γ, Fz ) + SvySx
(3.34)
où Fypure et Fxpure sont respectivement les efforts longitudinal et latéral en dérive pure, SvySx
est la composante due au glissement longitudinal et les Gi des fonctions de pondération qui
sont de la forme :
Gxα =
cos(Cxα .arctan(Bxα (α + SHkα )))
cos(Cxα .arctan(Bxα .SHkα ))
(3.35)
et
Bxα = rBx1 .cos(arctan(rBx2 ).Sx ).λxα
(3.36)
En transversal, on obtient la forme suivante :
cos(CySx .arctan(BySx (Sx + SHySx )))
cos(CySx .arctan(Byα .SHyα ))
(3.37)
BySx = rBy1 .cos(arctan(rBy2 (α − rBy3 ))).λySx
(3.38)
SHySx = DvySx .sin[rvy5 .arctan(rvy6 .Sx )].λV ySx
(3.39)
DvySx = µy .Fz .(rvy1 + rvy2 .df z + r − vy3)
(3.40)
GySx =
Cette approche est adoptée dans la version de 1996 [74], [73] à laquelle on peut se référer
pour plus de détails concernant les différents paramètres. Cette version conserve les avantages
des dernières versions et elle prend en compte les modifications suivantes :
• le moment d’auto-alignement devient dépendant de la force latérale en dérive pure et
couplée,
• les efforts en dérive couplée sont calculés en suivant les suggestions de Bayle [13],
• une formule décrivant le moment de renversement est introduite,
• le comportement du pneumatique en régime transitoire est opérationnel à vitesse nulle,
• la variation de charge du pneumatique est prise en compte,
3.5 Modèles à retour d’expérience
75
• les paramètres utilisés dans la formule sont sans dimension pour améliorer les expériences
et les temps de calculs et leur nombre augmente,
• des facteurs d’échelle (” scaling factor ”), noté λi , sont introduits pour optimiser le comportement du pneumatique lors d’essais sur véhicule.
Figure 3.13: Représentation du modèle SWIFT [51]
En 2002, le modèle connaı̂t une autre évolution, commercialisée par TNO sous la version 5.2
du modèle MF-Tyre [103]. Celle-ci rajoute une dépendance de Fx par rapport au carrossage
et de la résistance au roulement par rapport à la vitesse. Cette version améliore encore la
qualité des forces estimées dans le cas de sollicitations couplées. Dix paramètres sont rajoutés,
dont 2 facteurs d’échelle aux 119 paramètres de la version 1996. Une des dernières évolutions
connues de ce modèle est proposé en 2003 par Van Oosten [71], [34] et permet une meilleure
explication de l’effort transversal lors d’essais en courbe, même sous très fortes dérives. Cette
évolution a l’avantage de travailler sur des données issues d’essais sur véhicules (projet TIME).
Elle propose une formulation de l’effort transversal vis-à-vis du carrossage. Un dernier modèle
utilisant la ”Magic Formulae” est développé, il est connu sous le nom de modèle ”SWIFT” [50], [2]
- figure 3.13 - développé par I.J.M Besselink, J.P Maurice, A.J.C Schmeitz et W.A Zegelaar sous
la direction de H.B Pacejka et en partenariat avec l’université de Delft et TNO Automotive
et l’association de plusieurs constructeurs automobiles (Ford, PSA, Audi). Dans ce modèle,
plusieurs phénomènes qui restaient impossibles à simuler jusqu’alors, sont pris en compte. Il
permet ainsi l’étude du comportement du véhicule sur mauvaise route, en accélération et en
freinage ou en virage, l’évaluation du comportement lors du franchissement d’obstacles (petits),
l’analyse de l’amortissement des suspensions et la simulation de retournement.
3.5.2
Bilan
Le tableau 3.4 présente les différents avantages et inconvénients de la formulation de Pacejka
et de ses variantes. Il faut cependant retenir que si les différentes évolutions du modèle de
Pacejka procurent de bons résultats pour la modélisation du comportement d’un véhicule,
elles restent limitées à de petits angles de carrossage (inférieur à 6-7˚). Néanmoins, en 1997, un
modèle plus connu sous le nom de modèle MF-McTyre qui s’applique uniquement aux motos est
développé [101], [105]. Reprenant l’idée de la formule magique à savoir un ensemble de fonctions
76
en sinus et arc tangente, ce modèle considère la contribution du carrossage en rajoutant entre
autre un terme à l’effort transversal. Ce modèle est intéressant pour notre étude, la section
suivante fait l’objet de son développement.
Avantages
+ Excellente corrélation avec les
données expérimentales
+ Utilise des coefficients de recalage
+ Décrit les non-linéarités du
pneumatique
Inconvénients
- Un grand de nombre de
paramètres à identifier
- Les paramètres n’ont pas tous
une signification physique
Tableau 3.4: Bilan de la modélisation de Pacejka
3.6
3.6.1
Modélisation du pneu moto
Histoire
L’histoire de la modélisation du pneu moto avant 1985 est référencé dans [88].
Après 1942, les connaissances sur le comportement du pneu se sont énormément améliorées,
le pneu est alors considéré comme un générateur d’efforts [104]. A ce même moment, il a été
conclu que pour les motos les angles de dérive sont faibles et que la moto tourne en virage
grâce à la poussée de carrossage. Il a alors été habituel de décrire le pneu en donnant l’effort
transversal de façon linéaire par rapport à l’angle de dérive et l’angle de carrossage.
Dans [88], Sharp a représenté, en 1971, le décalage de l’effort transversal par un premier modèle de relaxation, qui semble avoir une grande influence sur le comportement dynamique de la
moto. Seulement deux ans plus tard, la non-linéarité est introduite dans la modélisation du
pneu moto [80].
En parallèle, Koenen développe un modèle sophistiqué dans lequel le pneu est considéré
comme radialement flexible, et sa forme est représentée. Les variables d’entrée de ce modèle
sont les quatre présentées dans le premier chapitre à savoir : l’angle de dérive, le glissement,
l’angle de carrossage et l’écrasement vertical (donc la charge verticale). Comme la charge
verticale dépend de l’effort transversal et réciproquement, les équations sont résolues avec une
itération du type Newton-Raphson. Le comportement non stationnaire est aussi pris en compte.
En 1987, la première version de la ”Magic Formula” est présentée. Cette formulation, qui
est décrite dans la section précédente, ne prend en compte que des petits angles de dérive et
de carrossage (10˚ maxi). Elle ne s’applique donc qu’aux pneus d’automobiles et de camions.
La première formulation applicable aux motos n’apparaı̂t qu’en 1997 avec De Vries [105]. Les
résultats montrent alors que le modèle adapté fournit une bonne description des efforts en stationnaire à petite vitesse (inférieure à 100km/h). A dessus de cette vitesse, des doutes sont émis
car le modèle ne prend pas en compte les effets gyroscopiques sur la ceinture du pneu. Un an
plus tard, De Vries enquête sur l’influence de la stabilité d’une moto; il modélise alors une moto
3.6 Modélisation du pneu moto
77
avec deux modèles de pneus différents. Le modèle du pneu arrière se base sur l’anneau rigide et
celui de l’avant est la formulation de Pacejka. La première impression est que l’implémentation
du modèle de l’anneau rigide ne modifie pas le comportement de la moto mais aux grandes
vitesses, les contributions de l’effet gyroscopique sont prises en compte. A vitesse moyenne
(80km/h), le modèle de l’anneau rigide donne moins d’amortissement que le modèle de relaxation de la formulation de Pacejka. Néanmoins le modèle de Pacejka pour les pneus moto a été
accepté [77], [101].
Figure 3.14: Différentes définitions du point de contact d’un pneu moto [29]
Dans la même période, un modèle est développé à l’université de Padua. Dans ce modèle,
on cherche à améliorer les défauts du modèle de relaxation du premier ordre. Cossalter [29]
montrent les premiers résultats : la formulation de Pacejka est adapté dans le sens où le point
de contact ”C” est redéfini en ”A” - figure 3.14. Le principal avantage de prendre en compte
la variation du point de contact est que le moment de renversement Mx peut être négligé. Ce
modèle a été étendu avec la prise en compte de la flexibilité de la carcasse. Pour modéliser le
point de contact, deux modèles ont été développés - figure 3.15. Le modèle le plus simple a
deux degrés de liberté : les déplacement radiaux et latéraux par rapport à la jante. La raideur
du pneu est alors modélisée par des ressorts linéaires dans les directions radiale et latérale. Le
second modèle a un degré de liberté en plus : il prend en considération la rotation du pneu.
Figure 3.15: Les différents modèles développés par Cossalter [29]
Enfin un dernier modèle a été développé par Cossalter en 2002 : reprenant les bases du
modèle à deux degrés de liberté, il lui a ajouté un degré de liberté en prenant en compte la
déformation de la roue en rotation. Ce modèle est comparable aux modèles de relaxation, mais
présente l’avantage d’expliquer physiquement le comportement du pneu car seul des mesures
expérimentales en statique permettent de caractériser le comportement statique et dynamique
du pneu.
Le dernier modèle connu dans la littérature est un modèle de Lot [61]. A nouveau, les trois
déformations élastiques sont prises en compte. Les raideurs de pneus ont été déterminées pour
78
une gamme d’efforts limitée entre (0, 300 [N]). Dans ce modèle une caractérisation précise de la
géométrie est réalisée : la section du pneu est photographiée et on cherche alors une fonction qui
colle à ce profil. En l’absence de carrossage ce modèle est comparable à la première formulation
de Pacejka. En présence de carrossage, ce modèle corrèle aux données expérimentales alors que
le modèle de relaxation de Pacejka est plus approximatif.
Le modèle de Pacejka reste la référence dans le domaine de la modélisation du pneu moto,
c’est pourquoi sa formulation va maintenant être détaillée.
3.6.2
Formulation MF-MCTyre
Dans cette section, le modèle ”MF-MCTyre” va être présenté en reprenant le manuel de
l’utilisateur [7].
Plusieurs versions de ce modèle sont apparues. Initialement le modèle (version 1.0) ne
prenait pas en compte :
-
les effets de conicité et du plysteer,
les efforts de traction ou de freinage,
la dépendance du couple de résistance au roulement par rapport à la vitesse,
l’influence du carrossage dans le pic de Fx.
Dans la version 1.1 plus complète, de nouveaux coefficients de forme apparaissent grandissant encore le nombre de paramètres à identifier pour l’utilisation de ce modèle, tableau 3.5 :
λγx
λγy
λV mx
pDx3
rEx1
rEx2
rHy2
rEy1
rEy2
rSy3
rSy4
Facteur d’échelle du carrossage pour Fx
Facteur d’échelle de la rigidité de carrossage
Facteur d’échelle de Mx sur le décalage vertical
Variation du coefficient d’adhérence µx avec le carrossage
Facteur d’échelle de Fx en combiné
Facteur d’échelle de Fx en combiné avec charge
Facteur de décalage de Fy en combiné avec réduction de charge
Facteur d’échelle de Fy
Facteur de décalage de Fx avec charge
Moment de résistance au roulement dépendant de la vitesse
Moment de résistance au roulement dépendant de la vitesse4
Tableau 3.5: Nouveaux paramètres de forme de la formule MF MC-Tyre
• Effort longitudinal (en dérive pure)
L’effort longitudinal en dérive pure prend en compte les variations de l’angle de carrossage
en rajoutant un terme au coefficient d’adhérence µx . Ce nouveau terme est mis en gras dans
l’équation 3.46.
Fx0 = Dx .sin Cx .arctan Bx .kx − Ex (Bx .kx − arctan(Bx .kx )) + SV x
(3.41)
3.6 Modélisation du pneu moto
79
Avec
kx = k + SHx
(3.42)
γx = γ.λγx
(3.43)
Cx = pcx1 .λCx
(3.44)
Dx = µx .Fx
(3.45)
µx = (pDx1 + pDx2 .dfz )(1 − pDx3 .γx ).λµx
(3.46)
Ex = (pEx1 + pEx2 .dfz + pEx3 .dfz2 )(1 − pEx4 .sgnk).λEx
(3.47)
Bx =
Kx
Cx .Dx
Kx = Fz .(pKx1 + pKx2 .dfz ).exp(pKx3 .dfz ).λKx
SHx = −
qSy1 .Fz .λM y + SV x
Kx
SV x = Fz .(pV x1 + pV x2 .dfz ).λV x .λµx
dfz =
Fz − λF z0 .Fz0
λF z0 .Fz0
(3.48)
(3.49)
(3.50)
(3.51)
(3.52)
• Effort transversal (en dérive pure)
L’effort latéral prend en compte les variations de l’angle de carrossage en rajoutant un terme
mis en gras dans l’équation 3.53. Ce terme est introduit par une formulation en arc-tangente
complètement indépendante de celle formulée pour l’angle de dérive, et il possède ces propres
facteur de forme, rigidité, amplitude et courbure. Les conditions limites de frottement sont
également respectées.
Avec
h
Fy0 = Dy .sin Cy .arctan By .αy − Ey (By .αy − arctan(By .αy ))
i
+Cγ .arctan Bγ .γy − Eγ (Bγ .γy − arctan(Bγ .γy ))
(3.53)
αy = α + SHy
(3.54)
γy = γ.λγy
(3.55)
Cy = pcy1
(3.56)
Dy = µy .Fz
(3.57)
µy = pDy1 .exp(pDy2 .dfz ).(1 + pDy3 .γy2 )
(3.58)
Ey = pEy1 + pEx2 .γy2 + (pEy3 + pEy4 .γy ).sgnαy .λEy
(3.59)
By =
Ky
Cy .Dy
(3.60)
80
Kyα = pKy1 .Fz0 .sin(pKy2 .arctan
Fz
+ (1 + pKy5 .γy2 ).λF z0 .λKy (3.61)
2
(pKy3 + pKy4 .γy ).Fz0 .λF z0
SHy = pHy1 .λHy
(3.62)
Cγ = pCy2 .λCγ
(3.63)
Eγ = pEy5 .λEγ
(3.64)
Kγα = (pKy6 + pKy7 .dfz ).Fz .λKγ
(3.65)
Bγ =
Kγ
Cγ .Dγ
(3.66)
• Moments d’auto-alignement (en dérive pure)
Dans la formule ”Magic formula”, le moment d’auto-alignement est obtenu en multipliant la
chasse tp par l’effort transversal à carrossage nul et en ajoutant un moment résiduel Mzr
Mz0 = −tp .Fy0,γ=0 + Mzr
(3.67)
Où la chasse est définie par tp = Dt cos(Ct arctan(Bt .αt − Et (Bt .αt − arctan(Bt .αt ))))cos(α) .
La formulation des différents coefficients de forme, de rigidité, d’amplitude et de courbure est
donnée dans [7].
3.7
Bilan
De nombreux auteurs Pacejka [75], Besselink [50], Captain [18], Ratti [79], Bakker [9],
Dugoff [37], Moreland [69], Sharp [88], Canudas [106], Fujioka [41], Darnell & Mousseau [30],
Ellis [38], Kobiki [56], Hadekel [46], Kozin & Bogdanoff [40]... ont entrepris de modéliser le
pneumatique. Chacun d’eux utilise une approche spécifique de la modélisation, mais la base
repose sur la synthèse des forces et moments développés par le pneumatique.
Les modèles qui résultent de l’ensemble de ces études sont plus ou moins complexes. La
complexité des développements réside dans la prise en compte ou non du couplage des différents éléments qui constituent le torseur d’efforts. La première catégorie de modèle pointe
sur la simplicité des modèles avec parfois des hypothèses simples. Le couplage est néanmoins
considéré avec la théorie de Von Schlippe [104] de l’anneau rigide ou flexible. La deuxième
catégorie présente des modèles qui sont principalement développés par les manufacturiers car
ils nécessitent une connaissance du pneumatique vraiment approfondie et de grands moyens de
calculs (ex : les modèles à éléments finis ). Enfin dans la dernière catégorie de modèles, les
modèles à retour d’expérience, illustrent une dernière approche celle de trouver la formulation
des efforts caractéristiques du pneumatique à partir de relevés expérimentaux.
L’ensemble de la modélisation est en statique même pour les études de comportement en
transitoire. Les modèles dynamiques ont tout de même fait l’objet de travaux et dans la plupart
la longueur de relaxation est utilisée pour décrire le comportement dynamique en transitoire.
3.8 Conclusion
3.8
81
Conclusion
Ce chapitre a eu pour vocation de présenter un état non exhaustif de la modélisation du
pneumatique équipant les automobiles suivant trois catégories. Chacune de ces catégories a
ensuite été présentée et illustrée par plusieurs exemples. Une attention particulière à la modélisation du pneu moto a été retenue.
Figure 3.16: Répartition de quelques modèles suivant la plage d’utilisation et son degré de complexité
En se référant au classement présenté par la figure 3.16, on comprend pourquoi le modèle
de Pacejka est le modèle le plus répandu. Sa simplicité de modélisation a largement contribué
à son essor dans le monde de l’automobile. Mais étant réputé incorrect aux basses vitesses
et aux hautes fréquences, d’autres modèles, comme le modèle SWIFT [51] cherchent à palier
ces restrictions et Renault cherche même à l’implanter dans son logiciel de modélisation MADA.
A l’heure actuelle, il n’existe aucun modèle capable de répondre à nos attentes en terme de
grande variation de carrossage pour les pneumatiques d’automobiles, il s’avère donc indispensable de développer une modélisation qui réponde à nos attentes.
Pour cela, trois modèles sont retenus : le ” Brush model ” car c’est un modèle physique
dans lequel il est possible d’intégrer du grand carrossage et les formulations de Pacejka pour
pneumatique auto et moto, cette dernière intègrant également le carrossage. Leurs descriptions
et leurs adaptations vont donc faire l’objet du chapitre suivant.
82
Chapitre 4
Modèles de pneumatique grand
carrossage
4.1
Introduction
Afin de pouvoir poursuivre nos travaux, un modèle de pneumatique valide pour des grands
angles de carrossage, c’est à dire jusqu’à 20˚, est nécessaire. Partant des trois modèles que le
chapitre précédent a fait ressortir à savoir : les modèles de Pacejka pour pneu auto (MF-Tyre)
et pneu de motos - le MF-MCTyre - et le ”Brush model”, une démarche est mise en place pour
élaborer un modèle de pneu auto valide pour du grand carrossage.
À partir de la formulation de Pacejka du pneu automobile (MF-Tyre) et de la formulation
du pneu moto, un nouveau jeu de paramètres de la version MF-MCTyre de Pacejka est estimé
pour obtenir la formulation d’un nouveau pneu auto grand carrossage - figure 4.1.
Figure 4.1: Démarche de conception du modèle pneu grand carrossage à partir des formulations de Pacejka
En parallèle, le ”brush model”est adapté au grand carrossage et implémenté afin de s’affranchir
des paramètres de la formulation de Pacejka et avoir un modèle physique complètement maı̂trisé.
Les deux modèles ainsi obtenus sont tour à tour comparés avec le modèle de Pacejka du
pneu d’automobile (MF-Tyre) qui sert de référence, puis ils sont confrontés l’un à l’autre, pour
pouvoir être validés.
83
84
4.2
CHAPITRE 4. MODÈLES DE PNEUMATIQUE GRAND CARROSSAGE
Modèle à retour d’expérience pour grand carrossage
Le premier modèle étudié est le modèle de Pacejka pour pneu moto - MF-MCTyre. Il a été
détaillé dans le chapitre précédent, de l’équation 3.41 à l’equation 3.66. Pour ce modèle, un seul
et unique jeu de paramètres est à notre disposition, c’est celui fourni par le logiciel ADAMS [1]
- annexe B.
Avant d’estimer un nouveau jeu de paramètres auto à partir du pneu moto, une comparaison
des modèles auto et moto est effectuée. Les figures 4.2 et 4.3 représentent respectivement l’effort
latéral en fonction de la dérive pour trois pneus et la rigidité de dérive en fonction de la charge
pour les trois mêmes pneus.
Figure 4.2: Efforts latéraux en fonctions de la dérive pour trois pneus
Les résultats obtenus pour la formulation de Pacejka du pneu auto MF-Tyre (en vert à trait
continu et bleu en trait pointillé) et la formulation du pneu moto MF-MCTyre (en rouge à
trait pointillé) sont conformes à ce que l’on pouvait attendre. En effet, l’effort transversal et la
rigidité de dérive sont pour le pneu moto inférieurs à ceux obtenus pour le pneu auto. Ceci est
un résultat typique pour un pneu moto.
Figure 4.3: Rigidité de dérive en fonction de la charge pour trois pneus
4.2 Modèle à retour d’expérience pour grand carrossage
85
Un nouveau jeu de paramètres du modèle moto MF-MCTyre qui intègre le grand carrossage
va maintenant être identifié pour que les caractéristiques spécifiques (rigidité de dérive, pseudo
glissement, charge verticale...) correspondent à un modèle de pneu auto.
La démarche mise en oeuvre pour déterminer le nouveau jeu de paramètres auto du modèle
”MF-MCTyre” consiste :
• dans une première étape, à analyser la sensibilité des paramètres pour quantifier leur
influence,
• dans une seconde étape, à recaler les paramètres jugés les plus influents.
4.2.1
Étude de sensibilité
Pour parvenir à l’évaluation des nouveaux paramètres auto de la formulation MF-MCTyre,
une étude de sensibilité est réalisée afin de recaler les paramètres les plus sensibles à la variation
de l’angle de carrossage.
1. Principe général de la méthode
La méthode utilisée est celle des moindres carrés, élaborée par Gauss et Legendre [8].
Pouvant prendre différentes formes, elle permet, entre autre et comme toutes les méthodes de sensibilité, de minimiser l’impact des erreurs.
Dans le cas le plus courant, ce modèle est une famille de fonctions f (x, α) d’une ou
plusieurs variables muettes x, indexées par un ou plusieurs paramètres α inconnus. La
méthode des moindres carrés permet de sélectionner parmi ces fonctions, celle qui reproduit le mieux les données.
On parle dans ce cas d’ajustement par la méthode des moindres carrés.
Si, nous disposons de N mesures yi avec i variant de 1 à N, les paramètres αi ”optimaux”
au sens de la méthode des moindres carrés sont ceux qui minimisent la fonction K(αi )
égale à la somme des carrés des écarts entre yi et f (xi , α) :
K(αi ) =
N
X
i=1
(yi − f (xi , αi ))2
(4.1)
Par conséquent, la minimisation de K revient à chercher le zéro de la dérivée de K par
rapport à chaque paramètre αs .
∂K
∂αs
= −
∂f (xi ,α)
= 0
(y
−
f
(x
,
α))
i
i
i=1
∂αs
PN
(4.2)
86
(xi ,α)
est appelée la sensibilité par rapport au paramètres α car elle quantifie
La quantité ∂f∂α
s
l’effet de la variation de ce paramètre sur la fonction f .
Si le modèle est linéaire, la résolution est triviale. Mais dans de nombreux cas, la dépendance du modèle est non-linéaire. Dans ce cas, l’approche généralement employée consiste
alors à utiliser une méthode itérative : telle que par exemple l’algorithme de minimisation
de Gauss-Newton (linéarisation de f (x, α) par un développement de Taylor) ou Newton∂K
Raphson (développement de Taylor à l’ordre 1 des dérivées partielles de K : ∂α
).
s
2. Application à notre cas d’étude
La formulation de Pacejka pour un pneumatique moto (MF-MCTyre) met en oeuvre
près d’une centaine de paramètres. Or pour simplifier l’évaluation du nouveau jeu de
paramètres de cette formulation, une étude de sensibilité est réalisée afin d’identifier les
coefficients qu’il faut recaler.
L’étude est réalisée dans la partie linéaire (petits angles) des courbes caractéristiques des
efforts pour deux raisons :
• les principales caractéristiques d’un pneu sont définis pour des petits angles (cf
chapitre 2),
• on veut que le comportement du pneu moto (MF-MCTyre) aux petits angles soit
identique à celui d’un pneu auto (MF-Tyre).
Figure 4.4: Théorie des moindres carrés
La démarche, réalisée sous M aplesof tT M , se décompose en deux parties :
(a) Définir l’erreur K suivant l’équation 4.1, avec yi qui correspond à la formulation
du pneu auto MF-Tyre et f (xi , α) qui correspond à la formulation du pneu moto
MF-MCTyre - figure 4.4,
(b) Étudier la sensibilité en calculant les dérivés partielles de K pour trouver les coefficients αs qui ont une grande influence.
4.2 Modèle à retour d’expérience pour grand carrossage
87
Figure 4.5: Représentation de la sensibilité du paramètre pky2
La figure 4.5 illustre une des dérivées partielles suivant le paramètre pky2 avant redimensionnement.
Si une dérivée partielle par rapport à un paramètre est nulle, cela signifie que la fonction
est indépendante de ce paramètre. Les paramètres correspondants à ces dérivées partielles
nulles ne font donc pas l’objet du recalage. En revanche, les autres paramètres, les plus
influents, sont recalés et le paragraphe suivant présente ce recalage.
4.2.2
Évaluation des nouveaux coefficients
Le principe commun à toutes les méthodes de recalage est de définir, puis de minimiser
l”erreur selon les différents paramètres identifiés. Dans le cas de problème non-linéaire, l’utilisation
des algorithmes de résolution est nécessaire. Dans notre cas, la fonction ”lsqcurvefit” de la ”toolbox” d’optimisation du logiciel Matlab - fonction de recalage non-linéaire suivant la méthode
des moindres carrés - est utilisée car elle cherche à minimiser la quantité K, de l’équation 4.1,
en utilisant l’algorithme de minimisation de Gauss-Newton [27].
L’implémentation des deux formulations de Pacejka est réalisée sous Matlab, puis l’identification
des nouveaux paramètres à l’aide de la fonction ”lsqcurvefit” est faite. Un nouveau jeu de
paramètres est ainsi obtenu. Le tableau 4.1 présente les anciennes et nouvelles valeurs de cinq
paramètres recalés.
Paramètres
pky2
pky3
pcy2
pdy1
pdy2
Ancienne valeur
1.6469
1.3647
0.9154
1.6359
0
Nouvelle valeur
1.7237
1.3698
0.9032
1.5486
0.0302
Tableau 4.1: Nouvelles valeurs des paramètres
88
4.2.3
Bilan
Les figures 4.6 et 4.7 présentent le résultat de l’identification des coefficients. La première
illustre l’effort transversal en fonction de la dérive. La seconde rapporte l’effort transversal en
fonction de l’angle de carrossage.
Figure 4.6: Effort latéral en fonction de la dérive
Le modèle de pneu auto grand carrossage ainsi obtenu présente les mêmes caractéristiques
que le modèle de pneu auto aux faibles angles de dérives et de carrossage. Ce modèle grand
carrossage - comme il se base sur le modèle moto MF-MCTyre - reste donc valable pour une
plage de carrossage [-20˚, 20˚].
Figure 4.7: Effort latéral en fonction de l’angle de carrossage
Le modèle ainsi obtenu répond aux objectifs dans le sens où il fournit un modèle de pneuma-
4.3 Modèle fondé sur le ”Brush Model”
89
tique valable aux faibles angles de dérive et aux grands angles de carrossage et qu’il présente les
caractéristiques d’un pneu auto. Un modèle de Pacejka permettant d’effectuer des simulations
du comportement dynamique d’un véhicule pour une plage de carrossage [-20˚, 20˚] a donc été
identifié. La validité de ce modèle est encore à effectuer. Cette validation ne peut se faire
sur banc d’essai puisque les pneumatiques grand carrossage sont encore rares, pour ne pas dire
inexistants : le pneu de Pirelli pour le grand carrossage - figure 10 - n’étant qu’un prototype
fabriqué en quantité limité.
Ce nouveau jeu de paramètres va donc être confronté au modèle physique ”Brush model”
après son développement présenté dans le prochain paragraphe.
4.3
Modèle fondé sur le ”Brush Model”
Le modèle de pneumatique connu sous le nom de ”Brush model” est un modèle physique
[37], [75], [108]. Son principe de modélisation se base sur la décomposition du pneumatique
en une série d’éléments de caoutchouc flexibles comme le montre la figure 4.8. La première
version, connue dans la littérature, a été présentée par Hadekel [46] en 1952. Le modèle a
fait l’objet de nombreuses recherches et a abouti à la version actuelle du modèle [75], [100].
Très populaire dans les années 60, 70 avant que les modèles à retour d’expériences viennent
dominer la modélisation du pneumatique, ce modèle physique qui décrit le comportement du
pneumatique, va maintenant être présenté [43].
Figure 4.8: Le ”Brush model”
4.3.1
Présentation
Ce modèle est obtenu en scindant la bande de roulement en éléments de caoutchouc volumiques. Chaque élément s’étend sur une largeur b et une longueur très petite ( 2a
où n est le
n
nombre d’éléments dans la longueur de l’aire de contact 2a). Le point C est le point central
de l’aire de contact - figure 4.8. Une hypothèse d’isotropie des éléments est faite, ainsi les
raideurs longitudinale et transversale sont identiques (des mesures de raideur sur banc ont été
90
réalisées et sont explicitées dans la partie suivante). Chaque élément en contact avec le sol se
déforme indépendamment en longitudinal et en transversal. Dans la zone de glissement, chaque
élément se met à ”glisser” au contact avec le sol. Les efforts alors générés sont indépendants
des déformations de chaque ”élément”.
4.3.1.1
Déformation des éléments
Chaque élément de caoutchouc est attaché à la carcasse du pneumatique à une position x
suivant le repère roue choisie (chapitre 1). L’élément entre alors en contact avec la chaussée au
point d’abscisse xr et d’ordonnée yr :
xr = a −
yr = −
Z
Z
tin (x)
νx .dt
(4.3)
0
tin (x)
νy .dt
(4.4)
0
avec tin le laps de temps où l’élément est en contact avec le sol. Les vitesses du point C
(centre de l’aire de contact) νC , et d’un point quelconque en x et en y : νx et νy , sont supposées constantes lorsque l’élément traverse la zone de contact. Ainsi, la position du poil est :
x = a − νC .tin (x) et tin (x) = (a − x)/νC .
Les déformations s’écrivent donc :
xs (x) = xr − x
ys (x) = yr (x)
(4.5)
En insérant ces équations dans les équations 4.3 et 4.4, on obtient le résultat suivant :
(
C
xs (x) = − νxν−ν
(a − x) = −σx (a − x)
C
(4.6)
νy
ys (x) = − νC (a − x) = −σy (a − x)
où la définition du glissement, équation 2.3 est utilisée dans la dernier système. Les éléments
de forces peuvent alors être déduits :
dFx (x) = cpx .dx.xs (x)
dFy (x) = cpy .dx.ys (x)
(4.7)
avec cpx et cpy les raideurs longitudinale et latérale par unité de longueur des éléments de
caoutchouc. En intégrant ces dernières formules, on obtient les efforts :
Ra
Ra
Fx (x) = xs dFx (x) = −cpx σx xs (a − x)dx
Ra
Ra
(4.8)
Fy (x) = xs dFy (x) = −cpy σy xs (a − x)dx
où xs est l’abscisse à la limite de la zone de glissement et la zone d’adhérence. Pour avoir
les efforts globaux, il est indispensable de connaı̂tre maintenant le point limite des deux zones.
91
La figure 4.9 décrit la déformation des éléments sur la longueur de l’aire de contact.
Figure 4.9: Le ”Brush model” en dérive pure [75]
4.3.1.2
Deux zones dans l’aire de contact
Au contact avec le sol, le pneumatique présente une surface de contact de forme sensiblement
rectangulaire pour un pneumatique d’automobile : la longueur de l’aire de contact vaut 2a et sa
largeur 2b. Sous l’effet de la dérive, du carrossage, et/ou du pseudo-glissement, le pneumatique
se déforme : l’aire de contact se déplace et se déforme par rapport à la jante et il se crée en
chaque point de l’aire de contact un effort de rappel dirigé vers le plan de symétrie de la roue
qui proviennent :
- de l’élasticité du caoutchouc de la bande de roulement,
- de l’élasticité de la ceinture et de la carcasse (qui sont généralement en série entre
le point de contact au sol et le plan de jante).
Cet effort de rappel est équilibré par l’effort de frottement entre le caoutchouc et le sol, tant
que, selon la loi de Coulomb, il reste inférieur au produit de l’effort vertical par le coefficient
de frottement caoutchouc-sol.
La taille de la zone d’adhérence est déterminée par la frottement statique disponible. Dans le
chapitre 3, il a été fait référence à l’ellipse d’adhérence. En effet, dans la pratique, la résultante
des efforts longitudinal et transversal combinés est toujours située dans une ellipse qui traduit
les limites d’adhérence. L’ellipse peut être représentée mathématiquement par l’équation 4.9.
dF (x) 2 dF (x) 2
y
x
+
≤1
dFz (x).µsx
dFz (x).µsy
(4.9)
Cette équation révèle que l’amplitude de la force de frottement statique dépend de la direction de la déformation des éléments de forces longitudinal et transversal. Lorsque ces éléments
de forces dépassent la contrainte de frottement statique, l’élément de caoutchouc se met à
glisser. En prenant en compte une répartition de la pression dans l’aire de contact, on peut
identifier le point où le glissement apparaı̂t.
Concernant la répartition de pression, de nombreux travaux [87], [60] sur la répartition de
pression verticale ont été réalisés. Pour la répartition sur la largeur de la surface de contact,
92
Seitz et Hussman [87] expliquent la rigidité de dérive par une rigidité de flexion de la bande de
roulement et du flanc. Sakai [83] propose un modèle avec plusieurs bandes circonférentielles ce
qui lui permet de prendre en compte des distributions de pressions différentes. Dans un souci
de simplification, notre étude prend en compte une rigidité de flexion uniforme sur la largeur
de la bande de roulement. En revanche, l’idée de prendre plusieurs bandes circonférentielles va
être suivie pour représenter le ”Brush model” à trois rangées d’éléments.
Pour la répartition de pression sur la longueur de la surface de contact, des travaux révèlent qu’une répartition trapézoı̈dale est la plus proche de la réalité; mais les applications
numériques [79] indiquent de meilleurs résultats avec une répartition parabolique.
Pour ce modèle, une répartition parabolique est préférée, Equation 4.10.
x 2
3.Fz 1−( )
(4.10)
4.a
a
où Fz est la charge verticale, a représente la demi-longueur de la surface de de contact et x
la position longitudinale de l’élément dans la surface de contact. Le répartition d’effort latéral
maximale est relié au coefficient de frottement.
qz =
qy,max = µ.qz
(4.11)
L’abscisse du point à la limite de l’adhérence et du glissement noté xt peut être déterminée.
Pour ce point, la déformation est égale au glissement.
|qy | = cpy (a − xt )|tan(α)| = |qy,max | =
θy =
cpy
(a − xt )(a + xt )
2.a.θy
2.cpy .a2
3.µ.Fz
(4.12)
(4.13)
a − xt
(4.14)
2.a
où cpy est la raideur latérale des éléments en caoutchouc, et θy est un paramètre introduit
pour simplifier les écritures.
λ=
L’équation 4.12 a deux solutions mais la seule admissible xt est celle qui est comprise dans
l’intervalle [−a, a].
4.3.1.3
Efforts en dérive pure
Dans la zone de contact, deux zones se distinguent : la zone où le pneu adhère au sol et une
zone où le pneu glisse. Il existe alors un angle limite au delà duquel le pneu glisse. Cet angle
limite, noté αsl , correspond à l’angle que fait le plan de jante avec la vitesse du véhicule. On le
déduit en utilisant l’équation 4.12 :
λ = 1 − θy |tan(α)|
Le glissement est total lorsque λ = 0 ce qui donne
(4.15)
93
tan(αsl ) =
1
θy
(4.16)
On connaı̂t ainsi l’angle αsl où le glissement apparaı̂t.
• en dérive pure
L’effort latéral et le moment d’auto-alignement peuvent alors être calculés par intégration
des efforts le long de l’aire de contact, en distinguant la zone d’adhérence xt < x < a et la zone
de glissement −a < x < xt .
Si |α| ≤ αsl , la force latérale et le moment d’auto-alignement s’expriment par :
Fy = µ.Fz .(1 − λ3 ).sgn(α)
(4.17)
Mz = −µ.Fz .λ3 .a(1 − λ).sgn(α)
(4.18)
Si |α| ≥ αsl , la force latérale et le moment d’auto-alignement s’expriment par :
Fy = µ.Fz .sgn(α)
(4.19)
Mz = 0
(4.20)
• En glissement pur
Le glissement longitudinal pur est maintenant considéré. Le pneumatique se trouve dans
cette situation lorsque la vitesse effective d’avancement est différente du produit entre le rayon
du pneumatique et la vitesse de rotation de la roue. Le glissement théorique longitudinal,
présenté dans le second chapitre, est rappelé ci-dessous :
σx =
κ
κ+1
(4.21)
où κ est le taux de glissement.
En connaissant le glissement théorique, la déformation longitudinale u peut être définie.
Cette grandeur a une expression très proche de celle obtenue précédemment pour l’angle de
dérive.
u = (a − x).σx
(4.22)
2
px .a
−1
, avec θx = 2.c
.
Les similitudes avec la dérive pure sont à relever. On note alors κsl = 1±θ
3.µ.Fz
x
La déformation longitudinale est alors calculée de la même manière qu’en dérive pure, on en
déduit donc :
Fx = cpx
Z
a
−a
u.dx = 2.cpx .a2 .x
(4.23)
94
4.3.1.4
Efforts couplés
Selon Pacejka [75], les rigidités longitudinale et transversale des éléments de caoutchouc sont
supposées identiques et le paragraphe suivant justifie cette hypothèse ; des mesures de raideurs
sur banc ont en effet été réalisées pour développer ce modèle spécifiquement aux pneumatiques
d’automobiles.
A cause de l’interaction longitudinal-transversal, évoquée dans le premier chapitre, la définition du glissement théorique ne peut pas s’écrire comme un scalaire, mais il est nécessaire de
le définir sous forme vectorielle, en utilisant les équations suivantes :
σ̄ =
avec σ̄ =
σx
σy
−Vs
Vr
La zone de déformation est représentée par :
ē = (a − x).σ̄
(4.24)
La force par unité de longueur agissant sur les éléments de caoutchouc ayant une raideur
cp , s’exprime suivant la zone d’adhérence q̄a et dans la zone de glissement q̄s .
q̄a = cp (a − x).σ̄
q̄s = µ.qz
(4.25)
σ̄
|σ̄|
(4.26)
En introduisant des paramètres isotropes, c’est-à-dire cpy = cpx , les efforts s’écrivent :
Fx
Fy
= µ.Fz .
σx
σy
(4.27)
et le moment d’auto-alignement
Mz = Mz,0 − cp .Fx .Fy − Fx .ν0
4.3.2
(4.28)
Le ”Brush Model” utilisé
Pour pouvoir prendre en compte la variation de l’angle de carrossage, nous nous basons
sur l’idée de Sakaı̈ [83] pour représenter la largeur du pneu. Cette idée reprise et développée
dans [75] consiste à considérer plusieurs anneaux flexibles sur la largeur du pneumatique (donc
plusieurs rangées d’éléments de caoutchouc) - figure 4.10.
95
Figure 4.10: Le ”Brush Model” utilisé
Ainsi trois rangées seront utilisées : une rangée médiane et une de chaque coté (rangée de
droite et rangée de gauche). Quand le pneu prend du carrossage, les trois rangées ne sont pas
sollicitées de la même manière - figure 4.11.
Figure 4.11: Déformation des trois rangées d’un pneu
Le tableau 4.2 présente les valeurs des différentes paramètres du modèle. Une seule raideur
de cisaillement cp apparaı̂t car le matériau est considéré comme isotrope : ce qui signifie que
les raideurs de cisaillement longitudinale et transversale cpx , cpy sont égales. Nous allons à ce
stade vérifier cette hypothèse en mesurant ces raideurs sur un banc que l’on aura préalablement
réalisé.
a
b
µ0
0.10 m
0.075 m
1.0
Fz
Vc
Re
4000 N
30m/s
0.3 m
Cα
brow
cp
15.Fz
0.05 m
85 kN/m
Tableau 4.2: Paramètres du ”Brush model”
96
4.3.3
Mesures des raideurs de cisaillement
Lorsqu’un pneumatique rentre en contact avec le sol, sous l’effet de la charge verticale et
du mouvement imposé par le conducteur au véhicule, il se crée des efforts au niveau de la roue.
Ce qui nous intéresse dans cette partie sont les efforts causés par le cisaillement du pneu sur
la chaussée. Dans un premier temps, nous allons rappeler de quelle manière le cisaillement
intervient, puis dans une seconde partie, on s’attardera à mesurer les raideurs de cisaillement
après avoir fait un état des différents procédés de mesures de raideurs de cisaillement.
1. Rappel théorique
Le cisaillement simple - figure 4.12 - correspond dans la pratique à une sollicitation
d’extension - compression bi-axiale. En effet, une poutre subit une sollicitation de cisaillement lorsque les actions mécaniques se réduisent à deux résultantes directement
opposées et perpendiculaires à l’axe de la poutre. Autrement dit, une poutre est sollicitée
en cisaillement lorsque sa section S est soumise à une résultante Ft - effort tranchant appliquée en O (barycentre de la section) et contenue dans le plan (S) - figure gauche 4.13.
Figure 4.12: Sollicitation de cisaillement et loi de Hooke
En considérant un solide en équilibre, soumis à l’action des forces tangentielles, chaque
élément de surface δS supporte un effort de cisaillement δf contenu dans le plan (S),
comme le montre la figure de droite 4.13.
Figure 4.13: Effort tranchant
Il y a répartition uniforme des contraintes dans la section droite. D’où :
σ=
|F |
S
(4.29)
97
où σ est ici la contrainte tangentielle en M pa ou N/mm2 ou contrainte de cisaillement,
F est l’effort tranchant en N et S est l’aire de la section droite cisaillée en m2 ou mm2 .
En déformation élastique, c’est-à-dire pour de petites déformations, la loi de Hooke pour
le cisaillement fournit la contrainte de cisaillement σ en fonction de l’angle de glissement
γ - figure 4.12 :
σ = G.γ
(4.30)
Le coefficient de proportionnalité G est appelé module de cisaillement (ou module d’élasticité
transversal en Mpa). C’est une grandeur positive de dimension identique au module
d’Young E, soit [G] = [F ][L]−2 .
2. Étude bibliographique des bancs de cisaillement
Le concept de cisaillement est évoqué dans de nombreux domaines. En géologie avec la
tectonique des plaques, en météorologie pour désigner les phénomènes des vents cisaillants
mais aussi en mécanique pour la déformation des matériaux. Dans ce dernier domaine de
nombreuses études ont permis la mise au point de différents dispositifs de cisaillement.
Nous pouvons en effet citer les travaux de [58] et de [45].
Le test de cisaillement direct développé par Leutner [58] - figure 4.14 - procure la réponse
de l’interaction entre le système d’interposition et l’échantillon à tester. L’information
fournie est donc l’évolution de la force de cisaillement exercée en fonction du glissement
de la partie sollicitée sur la partie fixe. L’inconvénient de ce test est une dispersion non
négligeable des résultats et le besoin d’une presse Marshall pour faire les essais.
Figure 4.14: Principe de l’essai de cisaillement direct vu par Leutner [58]
Soulignons que malgré l’apparente simplicité de mise en oeuvre de ce test, il est très difficile d’obtenir un cisaillement direct, l’essai est souvent parasité par un moment de flexion
sur la surface cisaillée. Des simulations [17] montrent que l’homogénéité de la distribution
est fortement dépendante de la rigidité de la zone étudiée. Des modifications de l’essai de
Leutner ont été apportées par l’Université de Delft [14] : il s’agit d’appliquer une pression
perpendiculaire au plan de cisaillement afin de limiter ces moments parasites. Parmi les
98
essais de cisaillement direct, on peut citer également l’essai développé à l’université de
Cracovie [45] - figure 4.15.
Figure 4.15: Test de cisaillement direct développé à l’université de Cracovie [45]
Un essai développé à l’université de Delft 4.16 est un exemple d’essai de cisaillement
permettant de réaliser un état de contraintes tel que le cisaillement soit uniforme, sans
moment supplémentaire dans le plan étudié. Cependant la complexité de ce dispositif
limite son utilisation aux travaux de recherche.
Figure 4.16: Autre essai de cisaillement de l’université de Delft
Le dispositif de l’université de Delft - figure 4.16 - a été développé pour étudier les fissurations en fatigue. L’avantage d’un tel système repose sur l’utilisation d’une forme
d’éprouvette simple (rectangulaire, cylindrique). Le principe de l’essai est le suivant :
l’échantillon repose sur un bâti fixe en partie basse sur deux pivots, un vérin hydraulique
vertical permet d’imposer à l’échantillon un effort de cisaillement transmis par deux autres
pivots. C’est leur position qui permet d’appliquer une sollicitation de cisaillement pur.
Le vérin horizontal permet d’exercer lors de l’essai une pression sur la zone sollicitée.
Initialement cet essai a été développé pour étudier le comportement de résistance d’une
éprouvette. Mais cette configuration permet de simuler des contraintes de cisaillement
sans moment de flexion parasite. L’effort transmis à l’interface est de 10 à 15 fois l’effort
vertical total. De plus, le piston hydraulique horizontal permet de générer des contraintes
99
de compression dans la zone sollicitée.
A titre indicatif, de nombreux essais de cisaillement en fatigue existent [17] et [76].
3. Protocole expérimental
(a) Définition de l’éprouvette
L’éprouvette testée doit être représentative d’un élément de caoutchouc du ”brush
model”. C’est pourquoi elle est considérée comme un bloc parallélépipédique extrait
de la bande de roulement. Sa géométrie est définie par sa hauteur et ses deux dimensions dans le plan (0xy).
Le choix des dimensions de l’éprouvette dans le plan (longueur L et largeur l) est
limité par deux facteurs :
- d’une part, les dimensions doivent être suffisantes pour permettre les
mesures. Ainsi en se basant sur la géométrie et la taille de la surface de
contact pneumatique/chaussée et aussi sur le fait que le ”brush model” est
implémenté en considérant trois rangées de brosses, les dimensions maximales de l’éprouvette sont : une longueur L = 50mm et une largeur l =
30mm.
- d’autre part, l’essai visé est un essai de laboratoire. Il est donc important
de s’assurer que la taille de l’éprouvette ne nécessite pas un équipement non
disponible en laboratoire.
Une réflexion selon ces deux arguments nous a amené à considérer une éprouvette
d’une longueur L = 50mm et d’une largeur l = 30mm.
(b) Détermination de la précontrainte
A ce stade, plusieurs hypothèses doivent être clarifiées :
• les mesures sont faites à l’aide d’un vérin hydraulique. La consigne d’entrée est
le déplacement du vérin, et la sortie mesurée correspond à l’effort stabilisé.
• la répartition de pression au niveau de la zone de contact est supposée uniforme.
• Un effort de 400N est appliqué sur chaque échantillon mesurant 30mm x 50mm.
Pour que les éprouvettes soient toutes soumises à la même précontrainte, l’écrasement
de chacune des éprouvettes à une pression constante de 2,5 bars est mesuré à l’aide
d’un vérin hydraulique, comme l’indique la figure 4.17.
100
Figure 4.17: Mesure de l’écrasement sous une charge donnée
(c) Conception de l’essai
La bande de roulement est une structure tridimensionnelle. Mais une approche
bidimensionnelle pour l’essai est choisie :
• En effet, d’une part, l’analyse présentée dans la partie précédente a montré que
les champs caractérisant le mode de fonctionnement du pneumatique sont des
composantes selon la direction longitudinale x et selon la direction transversale
y.
• D’autre part, l’évolution de la profondeur z de la gomme du pneumatique n’est
pas déterminante pour la caractérisation du comportement du pneumatique.
Une simulation dans le plan (Oxy) est donc suffisante. De plus, ce choix d’une approche bidimensionnelle est motivé par la volonté de réaliser un essai de laboratoire
dans des conditions de température contrôlée.
Dans ce contexte de simulation bidimensionnelle de la bande de roulement, les
moyens expérimentaux adaptés pour reproduire le comportement de la bande de
roulement son mis en oeuvre - figure 4.18. Le bati en vert représente la partie fixe
du dispositif, l’ensemble rouge caractérise la partie mobile actionnée par le vérin
hydraulique et les échantillons en noir sont compressés entre ces parties.
Figure 4.18: Banc de cisaillement à partir d’un vérin hydraulique vertical
101
4. Résultats
Comme nous venons de le voir, les mesures expérimentales des raideurs de cisaillement
longitudinale et transversale d’un échantillon de la bande de roulement nécessitent un
protocole expérimental bien défini.
Avant de procéder à ces essais, une première série de mesures est effectuée en traction/compression simples dans l’optique d’étudier l’influence de la sculpture du pneumatique. Le choix de cinq échantillons longitudinaux et de cinq échantillons transversaux
est fait. La figure 4.19 indique l’emplacement dans le pneu où ont été prélevés les échantillons longitudinaux, notés de 1 à 5, et les échantillons transversaux, notés de a à e.
Figure 4.19: Disposition des échantillons transversaux sur la bande de roulement
• Mesure des raideurs en traction et compression simples
Un ensemble de mesures en traction et compression simples sur les cinq éprouvettes
longitudinales est réalisé. La figure 4.20 présente l’ensemble des relevés. Cet ensemble conduit à une valeur moyenne de la raideur de traction/compression longitudinale
de l’ordre Kx = 105.103 N/m et indique une dispersion de 20% de la rigidité suivant
que l’échantillon soit pris sur l’intérieur ou l’extérieur de la bande de roulement.
Figure 4.20: Evaluation des raideurs longitudinales
102
La même démarche est appliquée aux cinq échantillons transversaux. La figure 4.21
présente les résultats, et la valeur moyenne de la raideur de traction/compression
simple transversale de l’ordre de Ky = 85.103 N/m est retenue avec une dispersion
de 20%.
Figure 4.21: Evaluation des raideurs transverssales
En conclusion, les essais en traction/compression simples ont mis en avant une dispersion des mesures due à la sculpture du pneumatique.
• Mesure des raideurs de cisaillement
Comme il existe une dispersion des mesures due aux sculptures du pneumatique,
la série de mesures en cisaillement est réalisée sur de nouveaux échantillons. Ces
derniers sont sélectionnés au milieu de la largeur de la bande de roulement afin de
s’assurer qu’il n’y a pas de variation de raideur causée par la sculpture du pneumatique.
103
Figure 4.22: Raideurs de cisaillement longitudinales en fonction du déplacement
Les figures 4.22 et 4.23 présentent respectivement les raideurs de cisaillement longitudinales et transversales en fonction du déplacement pour plusieurs pas.
Figure 4.23: Raideurs de cisaillement transversales en fonction du déplacement
En effet, pour vérifier l’influence du déplacement du vérin hydraulique, des pas de déplacement différents du vérin ont été sélectionnés : 0, 1mm, 0, 3mm, 0, 5mm et 1mm.
De ces différents relevés expérimentaux, on déduit que les raideurs de cisaillement
longitudinales et transversales indiquent, pour un même pas de déplacement, des
valeurs très proches. Le tableau 4.3 récapitule les valeurs des raideurs longitudinales
et transversales pour chaque pas de déplacement.
L’hypothèse faite dans la littérature de considérer ces deux raideurs identiques est
donc vérifiée. Par ailleurs les courbes des figures 4.22 et 4.23 présentent des al-
104
Pas de déplacement
Raideur de cisaillement longitudinale
Raideur de cisaillement transversale
0.1 mm
0.3 mm
0.5 mm
1 mm
87,1 kN/m
54,2 kN/m
38 kN/m
38 kN/m
102 kN/m
43,4 kN/m
38,3 kN/m
36,5 kN/m
Tableau 4.3: Récapitulatif des raideurs de cisaillement suivant le pas de déplacement du vérin
lures particulières. En effet, à cause de l’élasticité importante du matériau, lorsque
la structure déformée élastiquement reprend sa forme initiale, elle ne restitue pas
intégralement l’énergie qu’elle a emmagasinée, car une partie s’est transformée en
chaleur. Ceci correspond à l’énergie fournie pour faire rouler le pneumatique, cette
énergie, rapportée à l’unité de temps, représente la puissance absorbée. La propriété
d’un matériau qui s’échauffe ainsi sous l’effet de sollicitations à la fatigue porte le
nom d’hystérésis. La forte ou la faible hystérésis d’un pneumatique qui engendre une
plus ou moins grande production de chaleur pendant le fonctionnement est fonction
des hystérésis des mélanges et des fils qui constituent la carcasse. Par conséquent, elle
est maximale pour des carcasses diagonales textiles et minimale pour des carcasses
radiales métalliques.
Par ailleurs, la valeur des raideurs de cisaillement dépend de la valeur du pas de
déplacement en d’autre terme de la sollicitation. La figure 4.24 reprend les valeurs
du tableau 4.3 en mettant en abscisses le logarithme du déplacement et en ordonnées
les valeurs des raideurs. On peut en conclure que pour des grands déplacements et
de grandes sollicitations - comme dans notre cas - les raideurs de cisaillement longitudinale et transversale peuvent être considérées équivalentes et quasi-constantes.
Figure 4.24: Valeur des raideurs en fonction de la sollicitation
4.4 Comparaison des modèles
105
A ce stade, toutes les conditions pour implémenter le ”brush model” sont réunies. Dans la
section suivante, on va donc s’attacher à comparer ce modèle aux formulations de Pacejka.
4.4
Comparaison des modèles
Les deux modèles de Pacejka et le ”brush model” ont donc fait l’objet d’une adaptation à
notre besoin et nous permettent d’avoir deux modèles pouvant prendre en compte de grands
angles de carrossage. Pour étudier les résultats, il est intéressant de les comparer aux petits
angles de carrossage à la formulation Pacejka MF-Tyre classique très utilisée dans le milieu de
l’automobile.
Alors que le ”brush model” est développé dans le dernier paragraphe, aucun résultat n’a
encore été fourni. Il est donc intéressant maintenant de le comparer à la formulation de Pacejka
du pneu auto MF-Tyre classique, très répandue dans le domaine de l’automobile, et au nouveau
modèle pneu grand carrossage obtenu au début de ce chapitre.
La figure 4.25 présente l’effort transversal en fonction de la dérive pour le modèle automobile,
le nouveau modèle grand carrossage et le modèle ”brush” implémenté. Une légère différence de
rigidité de dérive apparaı̂t.
Figure 4.25: Corrélation des Efforts transversaux en fonction de la dérive des trois modèles
De la même manière, la figure 4.26 présente les efforts transversaux des trois modèles en
fonction de l’angle de carrossage. Une rigidité de carrossage de 70N/deg est relevée.
106
Figure 4.26: Corrélation des Efforts transversaux en fonction du carrossage des trois modèles
La figure 4.27 indique également que l’ordre de grandeur de la rigidité de carrossage à
différents cas de charge pour les trois modèles est quasi identique.
Figure 4.27: Corrélation des Efforts transversaux en fonction du carrossage des trois modèles
Ces résultats vérifient la validité des modèles présentés. Le modèle ”brush” et le nouveau
modèle grand carrossage obtenu à partir de la formulation MF-MCTyre d’un pneu moto peuvent
donc être utilisé dans la suite des travaux.
4.5
Conclusion
Ce chapitre a présenté la modélisation du pneumatique grand carrossage. Un premier modèle a été obtenu à partir de la formulation MF-MCTyre des pneumatiques moto et du recalage de
ces coefficients. Le recalage s’est effectué en se fondant sur l’hypothèse qu’aux petits angles de
dérive et de carrossage les formulations du pneumatique moto et du pneumatique d’automobile
MF-Tyre doivent être identiques. Le second modèle tiré de la bibliographie est le modèle
4.5 Conclusion
107
”brush”. Ce modèle a été adapté à nos besoins en terme de charge verticale et de rigidité de
cisaillement, qui ont fait l’objet de mesures expérimentales. Après avoir été détaillé, ce modèle
a été comparé à la formulation MF-Tyre d’un pneumatique d’automobile et au nouveau modèle
grand carrossage issu de la formulation MF-MCTyre.
Les deux modèles adaptés au grand carrossage présentent de grandes similitudes, leurs comportements restent assez proches pour que ces modèles puissent être validés et utilisés dans le
cadre de la conception de train innovant.
L’étude sur le pneumatique est donc maintenant achevée, la méthode de conception ”First Design” appliquée au train innovant peut être mise en place. Ainsi, dans les deux derniers chapitres
les deux phases de la méthode de conception sont déployées.
108
Deuxième partie
CONCEPTION D’UN SYSTEME A
GRAND CARROSSAGE
109
110
Introduction de la partie II
Cette seconde partie est consacrée à la conception du train avant innovant en s’appuyant
sur la démarche de conception ”First Design”.
Cette méthode de conception robuste, présentée dans le premier chapitre, repose sur une
démarche d’optimisation des paramètres de conception d’un train en deux étapes : l’étape fonctionnelle et l’étape organique.
Cette partie est donc composée de deux chapitres :
1. le premier relatif à l’optimisation des paramètres fonctionnels, qui décline le cahier des
charges des trains en paramètres fonctionnels et optimise ces derniers en se servant de
deux prestations de comportement véhicule : le comportement en virage stabilisé et le
comportement suivant le ”Sinus Ford”.
2. le second relatif à l’optimisation des paramètres organiques, qui se base sur une technologie
de train choisie pour déployer les paramètres fonctionnels optimisés dans le précédent
chapitre en organes et pièces qui constituent le train.
111
112
CONCLUSION
Chapitre 5
Optimisation des paramètres
fonctionnels
5.1
Introduction
Dans ce chapitre, la phase fonctionnelle de la méthode ”First Design” est traitée dans sa
globalité. Le schéma de la figure 5.1 présente l’ensemble des éléments nécessaire au déploiement
de cette première étape.
Figure 5.1: Éléments nécessaires au déploiement de la phase fonctionnelle
Après une introduction aux notions de dynamiques véhicule, les fonctions réalisées par le
train sont présentées. Cette description des fonctions aboutit alors à la hiérarchisation des
paramètres utilisés pour l’objectivation à partir de critères et à la modélisation à partir de
modèles fonctionnels simplifiés des deux prestations de comportement véhicule suivantes : le
virage stabilisé et le Sinus Ford.
Une fois l’ensemble de ces éléments posé, l’optimisation fonctionnelle au sens de la méthode
”First Design”, présentée dans le premier chapitre, est déployée. Elle s’articule autour de trois
étapes :
113
114
CHAPITRE 5. OPTIMISATION DES PARAMÈTRES FONCTIONNELS
• dans un premier temps définition de l’espace de conception. Cet espace de conception
correspond aux contraintes de bornes qui sont imposées aux paramètres lors des différents
algorithmes d’optimisation. Ses bornes sont déterminées en considérant d’une part les
valeurs technologiquement admissibles en terme de conception et d’autre part par des
contraintes imposées sur les fréquences propres du véhicule,
• dans un second temps, optimisation robuste des paramètres les plus influents à partir des
modèles fonctionnels simplifiés et des critères objectifs liés aux prestations, puis validation
des résultats sur un modèle plus complet,
• dans une dernière étape, les paramètres d’ordre un étant fixés, introduction et optimisation
robuste des paramètres d’ordre deux.
Les résultats de la phase fonctionnelle ainsi obtenus servent au déploiement des paramètres
fonctionnels en organes effectué dans le prochain chapitre.
5.2
5.2.1
Paramètres fonctionnels du comportement routier
Notion de dynamique du véhicule
En dynamique du véhicule, les valeurs des différentes entités sont définies selon les conventions et les repères dans lesquels elles sont mesurées. Il convient donc de définir quelques notions
de la dynamique du véhicule, en rappelant qu’en Annexe A, les différents repères utilisés sont
développés.
Alors que les notions concernant le pneumatique ont été largement développées dans la
première partie de ce mémoire, les angles et les variables intervenant dans le comportement du
véhicule vont être maintenant introduits.
5.2.1.1
Les grandeurs géométriques
La figure 5.2 expose les principales notations des grandeurs géométriques qui sont utilisées
dans ce chapitre.
Figure 5.2: Notations générales
5.2 Paramètres fonctionnels du comportement routier
115
Par convention, les variables indicées par 1, sont les variables au train avant, et celles indicées par 2 sont celles au train arrière.
• L : l’empattement du véhicule correspond à la projection sur l’axe x de la distance entre
les points conventionnels de contact au sol de deux roues avant et arrière situées d’un
même côté du véhicule.
• l1 et l2 : les empattements aux trains avant et arrière par rapport au centre de gravité
distances.
2
1
Par définition, L = l1 + l2 et l1 = M
, l2 = M
, avec M1 et M2 les masses respectives aux
M
M
trains avant et arrière et M la masse totale du véhicule : M = M1 + M2 .
• e1 , e2 : la voie avant et la voie arrière correspondent aux projections sur l’axe y de la
distance entre les points conventionnels de contact au sol des deux roues d’un même
essieu.
• h : la hauteur du centre de gravité par rapport au sol,
• s1 et s2 : les hauteurs des centres de roulis au train avant et au train arrière.
• Les effets Brouilhet caractérisent les variations des axes de roulis et de tangage qui ont
respectivement pour but d’avoir des effets anti-roulis et anti-tangage. Dans notre étude,
on s’intéresse aux coefficients Brouilhet longitudinaux de freinage Brf r et de propulsion
Brprop sont définis par :
BrBf
λ1
=
V~Q .~x
∗ 100
V~Q .~z
(5.1)
où Q est le point de contact entre la roue et le sol
BrBp
λ1
=
V~K .~x
∗ 100
V~K .~z
où K est le centre de la roue.
5.2.1.2
Les angles de voiture
La figure 5.3 précise les trois angles de rotations du véhicule :
- l’angle de rotation autour de l’axe ~z : le lacet ψ,
- l’angle de rotation autour de l’axe ~x : le roulis θ,
- l’angle de rotation autour de l’axe ~y : le tangage ϕ.
(5.2)
116
Figure 5.3: Les angles du véhicule
5.2.1.3
Notions usuelles d’un train
L’étude d’un train nécessite l’utilisation d’angles et d’axes particuliers qu’il est intéressant
de détailler pour mieux comprendre la conception d’un train dont le développement va suivre.
• L’angle de pince ou d’ouverture α0 - figure 5.4 - est l’angle que fait la projection du plan
de jante sur le sol avec l’axe longitudinal du véhicule en braquage nul. Cet angle est par
convention négatif si les roues convergent vers l’avant du véhicule. Une valeur positive
est appelée ouverture.
Figure 5.4: L’angle de pince
• L’angle de carrossage initial au sol - figure 2 - est déjà présenté en introduction. Mais
il faut faire une distinction supplémentaire : il existe le carrossage pneu/sol (défini en
introduction), le carrossage sol/caisse et le carrossage pneu/caisse. Les trois sont liés par
la relation suivante :
γroue/sol = γroue/caisse + γcaisse/sol
(5.3)
C’est l’angle de carrossage au roue/sol qui est important pour le fonctionnement du pneumatique et qui a été jusqu’à présent développé, alors que c’est l’angle de carrossage par
rapport à la roue/caisse qui est utilisé dans l’épure de carrossage.
• L’axe de pivot - figure 5.5 - est l’axe (EF) autour duquel la roue tourne lors d’un braquage.
Lorsque la roue a un débattement vertical, la position des liaisons qui constituent cet axe
varie.
L’angle de pivot i - figure 5.5a - est l’angle que forme l’axe vertical de la caisse du véhicule
avec la projection de l’axe de pivot - axe (EF) - sur le plan transversal du véhicule. L’angle
de pivot est positif si le haut du pivot est incliné vers l’intérieur du véhicule. De même
117
que l’angle de carrossage, il diminue le déport, donc l’effort à fournir pour braquer les
roues. Cet angle sert à stabiliser la direction et à favoriser le retour en ligne droite après
un virage.
Figure 5.5: a)Angle de pivot et b) Angle de chasse
• L’angle de chasse - figure 5.5b - est l’angle que forme l’axe vertical de la caisse du véhicule
avec la projection de l’axe de pivot sur le plan longitudinal du véhicule. Par convention,
cet angle de chasse est positif si le haut du pivot est incliné vers l’arrière du véhicule.
Cette disposition a pour but de faciliter le retour en ligne droite de la direction après
un virage. En effet, la rotation du pivot soulève légèrement la roue. La réversibilité de
la direction est obtenue par le simple poids du véhicule. L’angle de chasse varie sur les
véhicules de 3 à 10˚ environ.
• Le centre de roulis est le point du plan vertical orthogonal à la voie passant par le milieu
de celle-ci, tel que si une force latérale est appliquée en ce point elle ne produise pas de
roulis. On obtient ainsi la hauteur du centre de roulis pour les trains avant et arrière et
l’axe de roulis comme étant la droite passant par ces points.
• La chasse linéaire c - figure 5.6a - est la projection de la quantité QS sur l’axe longitudinal
sol lié à la roue. Par convention, la distance est positive si la trace de l’axe pivot est en
avant du point conventionnel de contact au sol Q.
Figure 5.6: a)La chasse et b) Le déport au sol
• Le déport transversal au sol, dsol - figure 5.6b - est défini par la projection de la quantité
QS sur l’axe transversal sol lié à la route. Par convention, cette distance est positive
lorsque l’intersection de l’axe de pivot avec le sol est à l’intérieur de la voie.
• Le déport à la fusée, d1 - figure 5.7 - est la distance qui sépare le centre de roue K de
la perpendiculaire commune à l’axe de pivot (EF) et à l’axe de fusée. Cette distance est
positive si le centre de la roue est située vers l’extérieur par rapport à l’axe de pivot.
118
Figure 5.7: Déport fusée
5.2.2
Étude fonctionnelle appliquée aux trains
5.2.2.1
Fonctions principales d’un train
Nous allons suivre la même démarche de conception robuste ”First Design” que celle déjà
appliquée au train avant Mac Pherson danc [20]. Dans un souci de clarté, la démarche va être
décrite pas à pas.
Figure 5.8: Analyse fonctionnelle des trains
L’optimisation fonctionnelle consiste à déterminer les grandeurs objectives à atteindre pour
les différentes fonctions qu’un train avant doit assurer. En reprenant l’analyse fonctionnelle
du train, dont le diagramme pieuvre est illustré sur la figure 5.8, les fonctions principales d’un
train sont au nombre de cinq :
• la fonction cinématique, qui permet le guidage du plan de roue suivant des épures de
braquage, de carrossage et de voie lors des débattements de roues (en phase ou en opposition de phase),
• la fonction d’élasto-cinématique, qui permet le guidage du plan de roue en tenant compte
cette fois-ci des liaisons élastiques et de la flexibilité des pièces mécaniques. Cette fonction
est caractérisée par les variations d’angles et de déplacements du train sous efforts et sous
couples,
119
• la fonction flexibilité scindée en deux contributions : la flexibilité en roulis pour limiter la
prise de roulis en virage et la flexibilité verticale assurée par la suspension pour un certain
confort du véhicule,
• la fonction amortissement gérée exclusivement par les amortisseurs,
• la fonction filtrage longitudinal comme le recul de roue sous effort longitudinal.
On va alors se familiariser avec les trois premières fonctions qui sont celles retenues pour la
conception d’un train.
5.2.2.2
Notions fondamentales du train avant
Examinons les trois premières exigences fonctionnelles attachées aux essieux.
• Fonction cinématique
La fonction cinématique consiste à partir de notions élémentaires de la géométrie plane de
se doter d’une bonne approche de l’influence de la disposition des éléments de guidage sur les
épures en dissociant le guidage longitudinal, du guidage transversal.
Quatre épures sont principalement étudiées :
1. la variation de voie, cette notion permet de calculer le ripage de l’essieu ou du pneumatique
par rapport au châssis,
2. la variation de carrossage,
3. la variation de pince,
4. la variation de l’empattement.
• Fonction élasto-cinématique
Alors que la fonction cinématique considère les liaisons entre les organes comme infiniment
rigide en supposant l’inter-distance des liaisons constante, la fonction élasto-cinématique considère l’élasticité intrinsèque des pièces et la flexibilité des liaisons élastiques.
Cette fonction intègre donc les déplacements sous efforts engendrés par les ”bushing” et la
déformabilité de l’ensemble des éléments en précisant la position réelle de la roue dans l’espace
en fonction des débattements de la suspension sous efforts et sous couples.
Les ”bushing” qui sont les éléments de caoutchouc au niveau des liaisons améliorent le confort
du véhicule, il est donc indispensable de les concevoir au même titre que les organes et les pièces
pour maı̂triser l’ensemble des déformations lors de sollicitations .
L’ensemble des fonctions étudiées, et donc des différentes variations (variation de voie, de
carrossage...) mènent à l’obtention de nappes qui sont indispensables à la simulation des différentes configurations d’un véhicule et à la définition de ces caractéristiques.
120
• Fonction flexibilité
La fonction flexibilité d’un train avant est caractérisée par une raideur de pompage (débattements identiques pour la roue droite et la roue gauche) et une raideur de roulis (débattements
de la roue droite et de la roue gauche dissymétriques). Une nappe fonctionnelle de l’effort vertical en fonction du débattement des roues et de l’angle de braquage permet de caractériser la
transmission d’effort vertical de la roue. Une raideur globale de roulis caractérise la transmission de l’effort vertical lorsque le véhicule prend du roulis.
Dans un train avant, cette fonction est principalement assuré par le ressort de suspension
caractérisé par une loi effort-vitesse non-linéaire, les butées de choc et rebond et la barre antiroulis.
5.2.3
Hiérarchisation des paramètres
Il existe plusieurs paramétrages hiérarchisés chez Renault utilisés selon l’étape considérée
dans le cycle générale de conception Renault. On peut citer le paramétrage MADA et le
paramétrage TDS.
En effet, Renault utilise un logiciel de dynamique du véhicule connu sous le nom de MADA
(Modélisation Avancée en Dynamique Automobile). Ce logiciel se base sur des nappes cinématiques, élasto-cinématiques et de flexibilité pour simuler toutes les prestations de comportement
dynamique du véhicule. Ces nappes peuvent provenir de différentes sources : de calcul (avec le
logiciel ADAMS), de mesures sur banc ou du Tableau Déploiement Systèmes (TDS). La figure
5.9 présente ces deux paramétrages utilisés chez Renault.
Figure 5.9: Les différents paramétrages
Le paramétrage du TDS est celui des paramètres métier déterminés en avant-projet. Cet
assistant TDS développé en interne chez Renault facilite la génération des différentes nappes
utilisées pour la simulation du comportement. Il fournit des premières simulations avec un
nombre minimum de paramètres - nombre réduit de paramètres par rapport au paramétrage
MADA. Ce paramétrage répertorie les paramètres suivant les trois fonctions citées précédemment - figure 5.10. Les notations de ce paramétrage sont celles utilisées dans cette seconde
partie liée à la conception d’un train.
121
Figure 5.10: Les paramètres du tableau déploiement système suivant les 3 fonctions du trains
Concernant les trains, la description fonctionnelle entre la caisse et les éléments constitutifs du train doit être faite. Celle-ci est donnée par les six degrés de liberté de position et
de rotation du porte-fusée par rapport à la caisse. En considérant le débattement vertical z
comme paramètre indépendant, la liaison est définie par les variations du porte-fusée suivants :
l’empattement x, la voie y, le braquage α, le carrossage β, l’enroulement η.
Le TDS génère à partir des différents paramètres introduits dans la figure 5.10 :
• les nappes cinématique du porte-fusée selon l’empattement, la voie, le braquage, le carrossage et l’enroulement en fonction du débattement vertical,
• les nappes élasto-cinématique (la souplesse suivant y, α, et β de la roue sollicitée pour un
effort transversal Fy , la souplesse suivant α de la roue sollicitée pour un effort longitudinal
Fx et la souplesse suivant α de la roue sollicitée et non sollicitée pour un couple de pince
Mz )
• deux nappes de flexibilité (la flexibilité verticale entre la caisse et la masse non suspendue
et la flexibilité de la barre anti-dévers)
Les différents paramètres fonctionnels intervenant dans la modélisation du comportement
du véhicule viennent d’être détaillés. Dans [21], une étude d’influence des paramètres de conception sur plusieurs prestations est réalisée. S’appuyant sur les outils de détection d’influence
tels que les simulations de Monte Carlo et les plans d’expérience, les résultats ont permis
d’établir un tableau des paramètres suivant chaque prestation. En reprenant ce classement et
en l’adaptant à l’étude grand carrossage, les paramètres fonctionnels utilisés pour la modélisation simplifiée des prestations de comportement véhicule ont été classés suivant le tableau 5.1.
122
Paramètres
extérieurs
(hors pneu)
Virage stabilisé
CINEMATIQUE
s1 s2
1 2
λ1 λ2
chasse
FLEXIBILITE
Cθ
ELASTO-CINE
F T RS1(2)
F T RN S1(2)
F M RS1(2)
F M RN S1(2)
Hauteur CDG : h
Longueurs : l1 l2
Masse totale : M
démultiplication : n
Paramètres
pneumatiques
Loi de
commande
carrossage
Rigidité de dérive : D1p D2p
Poussées de carrossage : P1 P2
chasse pneumatiques : a1 a2
fonction polynomiale
dépendante de αv
et de γt
Paramètres
de
conception
du train
Transitoire
Idem
virage
stabilisé
+
Aθ = A1 + A2
Idem
virage stabilisé
+
les inerties de caisse
Ix Iz Ixz
Idem
virage
stabilisé
Idem
virage
stabilisé
Tableau 5.1: Répartition des paramètres suivant les deux prestations étudiées
5.3 Prestation de comportement
123
En procédant de cette manière le nombre de paramètres a considérablement diminué : passant de 58 paramètres de conception pour un train sur le modèle du TDS à 20 paramètres de
conception pour les modèles simplifiés auxquels il faut ajouter 8 paramètres pour l’élaboration
de la loi de commande du carrossage.
En effet, n’ayant pas de contrainte concernant cette loi de commande, nous la considérons
comme une fonction de l’accélération γt et de l’angle au volant αv . Cette loi est donc développée
sous forme polynomiale dont le degré fait lui aussi l’objet de l’optimisation. Ce qui sous-entend
que des polynômes de différents ordres sont testés. Pour illustration, la figure 5.11 présente une
γt2
(− αγ3max αv3 ).
loi de commande polynomiale de la forme suivante f (αv , γt ) = γt,max
v,max
Figure 5.11: Exemple de loi de commande de l’angle de carrossage
Les coefficients du polynôme sont donc ajouter à l’ensemble des paramètres fonctionnels que
l’on va optimiser.
Les notions de dynamique du véhicule et plus particulièrement les notions élémentaires
rattachées aux trains ont été développées afin de dégager les paramètres fonctionnels de chaque
fonction réalisée par le train. Leur hiérarchisation nécessaire pour un déroulement efficace de la
phase d’optimisation a été effectuée suivant les fonctions principales du train. Il est maintenant
nécessaire de détailler les prestations de comportement.
5.3
Prestation de comportement
L’objectif fondamental de ce paragraphe est de présenter les prestations de comportement
routier choisies en développant leur modélisation et leur objectivation. Les deux prestations
retenus pour la conception d’un train à grand carrossage sont : le ”Sinus Ford” et le virage
stabilisé. Il est intéressant de remarquer que ces deux prestations sont choisies parce qu’elles
sollicitent la dynamique transversale du véhicule et utilisent les mêmes paramètres hormis les
amortisseurs A1 et A2 qui interviennent en plus dans le modèle transitoire.
En ce qui concerne la modélisation, des modèles fonctionnels simplifiés sont conçus en se
124
servant des connaissances métiers de Renault et sont comparés au modèle de référence MADA
pour être validés. Ces modèles robustes, simplifiés et fonctionnels sont utilisés afin de faciliter
la phase d’optimisation qui est développée en troisième partie dans ce chapitre.
5.3.1
Prestation de comportement transitoire
En tenue de route, la distinction entre l’état statico-dynamique d’un véhicule et l’évolution
dynamique du véhicule est faite. L’état statico-dynamique représente le véhicule en situation
stabilisée en virage, tandis que la phase dynamique du véhicule correspond à la phase transitoire de mise en virage.
La modélisation adoptée pour le châssis est présentée dans le paragraphe suivant. La description étant purement fonctionnelle, les pneumatiques, les ressorts et les amortisseurs n’ont
pas été représentés.
5.3.1.1
Description générale du modèle
Basé sur la capitalisation Renault, le modèle s’appuie sur les hypothèses décrites par Jean
Simon dans [89], [91], [93], [94], [96]. De façon générale, par rapport aux travaux de MarieMaud Chatillon [20], un enrichissement du modèle est nécessaire afin de mieux appréhender le
phénomène ”grand carrossage”.
Le modèle considéré - figure 5.12 - est un modèle 4 roues roulis/lacet/dérive, qui prend en
considération le report de charge, la loi de commande grand carrossage.
Figure 5.12: Modèle véhicule quatre roues : équation en roulis
5.3.1.2
Variables du modèle
Les grandeurs physiques
Ces grandeurs sont principalement représentées par les angles et efforts qui agissent sur
l’ensemble du modèle. On retient alors les grandeurs suivantes :
- l’angle de roulis θ selon l’axe longitudinal du repère défini,
- l’angle de lacet ψ selon l’axe vertical du repère défini,
-
125
la dérive du centre de gravité du véhicule δ ,
la dérive du train avant du véhicule δ1 ,
la dérive du train arrière du véhicule δ2 ,
l’angle de braquage à la roue α,
l’effort transversal au train avant Y1 ,
l’efforts transversal au train arrière Y2 .
Il est important de noter que le modèle est un modèle quatre roues, on distingue donc
l’avant de l’arrière mais également le coté gauche du coté droit vis-à-vis du centre de gravité.
Les notations seront précisées au moment de la mise en équation.
Les variables de la caisse
Les variables relatives à la caisse sont les suivantes :
- la masse totale de la caisse M [kg],
- les inerties de la caisse dans le plan (xz) : Ix , Iz et Ixz [kg.m−2 ].
Les variables géométriques
Dans le modèle, cinq variables géométriques interviennent :
-
la
la
la
la
la
hauteur de centre de gravité du véhicule : h [m],
distance longitudinale entre le train avant et le centre de gravité : l1 [m],
distance longitudinale entre le train arrière et le centre de gravité : l2 [m],
distance transversale entre les roues de l’essieu avant : e1 [m],
distance transversale entre les roues de l’essieu arrière : e1 [m].
Ces paramètres sont considérés comme extérieurs, puisque imposés par le cadrage du projet
ou le design pour les voies et l’empattement total. Quant à la position du centre de gravité,
elle est également connue dans une certaine mesure, mais susceptible de varier en fonction, par
exemple, des cas de charge et des motorisations envisagés.
Les variables de la direction
Dans ce modèle simplifié, le système de direction est caractérisé par :
-
le rapport de démulplication n [-],
l’inertie du volant noyé J [kg.m2 ],
la raideur de rappel de direction aux roues Cθ [N.m/rad],
l’amortissement de direction aux roues Aα [N.m/rad/s].
126
Les variables pneumatiques
La modélisation du pneumatique utilisée est celle de Pacejka auto grand carrossage MFMCTyre défini dans le chapitre 4. Ce modèle concerne les efforts longitudinaux et transversaux.
Néanmoins, la modélisation linéaire de la rigidité de carrossage a été conservée. Ce modèle
nécessite les paramètres suivants :
- les rigidités de dérive linéaires du pneumatique, D1p à l’avant, D2p à l’arrière
[N/rad],
- les poussées linéaires de carrossage du pneumatique à l’avant P1 et à l’arrière P2
(N/rad),
- les chasses pneumatiques à l’avant a1 et à l’arrière a2 (m).
Dans notre modèle, on fait l’hypothèse que les rigidités de dérive dépendent de la charge verticale
appliquée à la roue. Ainsi on reproduit le phénomène qui consiste à dire qu’en virage, la charge
de la roue extérieure au virage est augmentée de la valeur du report de charge alors que la
charge de la roue intérieure est diminuée d’autant :
(5.4)
2.D1p = D11p[ F z1 −∆F z1] + D12p[ F z1 +∆F z1]
2
2
où D1p est la rigidité de dérive moyenne des pneumatiques avant.
Les variables relatives à la roue
La variable suivante, relative à la roue, intervient dans notre modèle :
- le rayon sous charge d’une roue avant R1 (m).
Les variables de conception des trains
Ces variables, reliées aux paramètres fonctionnels de conception du train sont :
- les raideurs des barres anti-roulis avant et arrière C1 et C2 [N.m/rad],
- les amortissements anti-roulis des trains avant et arrière A1 et A2 [N.m/rad/s],
- la chasse linéaire au sol au niveau d’un train avant c1 [m],
- le déport fusée sur le train avant d1 [m],
- le sinus de l’angle de chasse [−],
- les hauteurs des centres de roulis avant et arrière s1 et s2 [m],
- les coefficients de carrossage induit par le roulis λ1 et λ2 [%],
- les coefficients de braquage induit par le roulis ε1 et ε2 [%],
- les flexibilités des trains sous efforts et sous couples regroupées sous les paramètres
F T1 et F T2 [rad/N ].
127
Les flexibilités des trains
Les flexibilités propres des trains avant (F T1 ) et arrière (F T2 ) sont fonctions des huit flexibilités des trains sous efforts et sous couples pour les roues sollicitées et non sollicitées. Leurs
expressions sont les suivantes :
1
(F T RS1 − F T RN S1 + a1 .(F M RS1 − F M RN S1))
2
1
F T2 = (F T RS2 − F T RN S2 + a2 .(F M RS2 − F M RN S2))
2
(5.5)
F T1 =
(5.6)
avec
F T RS1
F T RS2
F T RN S1
F T RN S2
F M RS1
F M RS2
F M RN S1
F M RN S2
flexibilité de braquage sous efforts transversal de la roue sollicitée à l’avant
flexibilité de braquage sous efforts transversal de la roue sollicitée à l’arrière
flexibilité de braquage sous efforts transversal de la roue non
sollicitée à l’avant
flexibilité de braquage sous efforts transversal de la roue non
sollicitée à l’arrière
flexibilité de braquage sous couple de pince de la roue sollicitée
à l’avant
flexibilité de braquage sous couple de pince de la roue sollicitée
à l’arrière
flexibilité de braquage sous couple de pince de la roue non
sollicitée à l’avant
flexibilité de braquage sous couple de pince de la roue non
sollicitéeà l’arrière
[rad/N ]
[rad/N ]
[rad/N ]
[rad/N ]
[rad/N ]
[rad/N ]
[rad/N ]
[rad/N ]
Tableau 5.2: Les flexibilités des trains
Ces huit flexibilités correspondent aux paramètres de conception à prendre en compte pour
la fonction flexibilité.
5.3.1.3
Équations du modèle
Les différentes variables étant introduites, la mise en équation du modèle peut être effectuée.
• le théorème de la résultante dynamique appliqué au véhicule selon l’axe y
M.γt −
2 X
2
X
i=1 j=1
Yij = 0
(5.7)
128
Les conventions i et j représentent respectivement le train (1 pour le train avant et 2 pour
le train arrière) et la roue (1 pour roue gauche et 2 pour roue droite). Par exemple Y21
représente l’effort transversal à la roue arrière droite.
• le théorème du moment dynamique appliqué au véhicule selon les axes x et z
0
Ix θ̈ − Atheta .θ̇ + C θ .θ − Ixz ψ̈ −
2 X
2
X
hi .Yij = 0
(5.8)
i=1 j=1
2 X
2
X
Iz ψ̈ − Ixz θ̈ −
(li − ai ).Yij = 0
(5.9)
i=1 j=1
• l’égalité de l’accélération transversale
γt − V.(ψ̇ + δ̇) = 0
(5.10)
• les relations entre les vitesses aux trains avant et arrière faisant intervenir les termes
représentant les angles de dérives induits par le braquage, la vitesse de lacet et la dérive
des pneumatiques
˙ + (c1 + a1 )(α˙11 + θ̇.1 ) = 0 (5.11)
V.(α11 + 1 .θ + δ11 − δ) − (l1 − a1 ).ψ̇ − h1 .θ̇ + bal1 .δ11
˙ + (c1 + a1 )(α˙12 + θ̇.1 ) = 0 (5.12)
V.(α12 + 1 .θ + δ12 − δ) − (l1 − a1 ).ψ̇ − h1 .θ̇ + bal1 .δ12
˙ + a2 (θ̇.2 ) = 0
V.(2 .θ + δ21 − δ) + (l2 + a2 ).ψ̇ − h2 .θ̇ + bal2 .δ21
(5.13)
˙ + a2 (θ̇.2 ) = 0
V.(2 .θ + δ22 − δ) + (l2 + a2 ).ψ̇ − h2 .θ̇ + bal2 .δ22
(5.14)
• les lois de comportement des systèmes pneumatique et train en série en s’affranchissant
de l’approximation aux petits angles
Y11 + D1 .δ11 + P1 .γroue/sol11 = 0
(5.15)
Y12 + D1 .δ12 + P1 .γroue/sol12 = 0
(5.16)
Y21 + D2 .δ21 + P2 .γroue/sol21 = 0
(5.17)
Y22 + D2 .δ22 + P2 .γroue/sol22 = 0
(5.18)
γroue/sol11 = γroue/caisse11 − λ1 .θ
(5.19)
(5.20)
(5.21)
(5.22)
Avec
129
Afin de s’affranchir totalement du système de direction, les équations relatives à l’équilibre
des moments de braquage ne sont pas écrites. Seul le système châssis est étudié et les sorties
du modèle qui nous intéressent particulièrement sont le braquage aux roues et l’angle volant
obtenu grâce à la démultiplication n.
Certaines des variables apparaissant dans les équations précédentes sont des combinaisons
linéaires des variables de conception précédemment définies. On explicite ici les relations correspondantes.
C
0
θ
= C1θ + C2θ − M.g.h0
0
h1 .l2 + h2 .l1
h0 =
0
0
l1 + l2
0
(5.23)
0
0
(5.24)
0
(5.25)
l2 = l2 + a2
0
(5.26)
h1 = h − s1
(5.27)
h2 = h − s2
(5.28)
l1 = l1 − a1
Lorsque le roulis est faible, la rigidité globale en roulis C1θ + C2θ intervenant dans l’équation
(5.23) est estimée par les formules :
1
C1θ = k1 .e1 2 + Cbad1
4
(5.29)
1
C2θ = k2 .e2 2 + Cbad2
(5.30)
4
On rappelle que dans ces expressions, k1 et k2 sont les raideurs linéaires au train. Si le roulis
devient suffisamment élevé, le modèle de butée de la note [62] peut être utilisé. Alors les
paramètres de conception relatifs aux butées interviennent également.
Les rigidités D1 et D2 résultent de l’association en série du train et du pneumatique. D’après
les conventions en vigueur, les formules utilisées sont les suivantes :
D1 =
1
− F T1
2.D1pnl
−1
(5.31)
D2 =
1
− F T2
2.D1pnl
−1
(5.32)
Les expressions des reports de charges utilisées pour le modèle pneumatique sont les suivantes :
l2 + a2
M C1θ
· h0 +
∆Fz1 =
· s1 .γt
(5.33)
e1 C 0 θ
l1 − a1 + l2 + a2
∆Fz2
M
=
e2
C2θ
l1 − a1
· h0 +
· s2 .γt
C0θ
l1 − a1 + l2 + a2
(5.34)
130
5.3.1.4
Test et critères objectifs
Description du test
Le test réalisé a pour but de solliciter le véhicule en transitoire. Il s’agit d’une situation
de conduite ou ”prestation” Sinus Ford qui consiste en une excitation sinusoı̈dale amplifiée de
l’angle au volant. La voiture est lancée en ligne droite à une vitesse de 100km/h et la consigne
de volant, illustrée sur la figure 5.13 est ensuite appliquée.
Figure 5.13: Consigne d’angle au volant lors de la manoeuvre Sinus Ford
Les fréquences et amplitudes des deux demi-périodes du sinus sont bien définies suivant la
figure 5.13 et le coefficient multiplicatif ”x” est choisi en première approximation comme un
nombre entier. Les angles définis par les différentes valeurs du terme ”x.A” sont nommés Angles Ford.
L’amplitude ”A” est déterminée à partir d’une simulation préliminaire au cours de laquelle une rampe très lente de 0˚ à 100˚ d’angle au volant est appliquée à la voiture. La valeur
d’amplitude, qui conduit à une accélération transversale du véhicule égale à 3m.s−2 , devient la
valeur ”A”. Les conditions de cette simulation ont pour objectif d’avoir une situation de conduite dans laquelle le véhicule est stable et dont la réponse est fidèle à la consigne du conducteur.
Critères objectifs
Afin de pouvoir optimiser le comportement dynamique du véhicule, un objectif ou ”comportement idéal” doit être défini pour la prestation ”Sinus Ford”. Pour un tel test, certaines
grandeurs physiques sont particulièrement intéressantes à observer afin d’optimiser le comportement du véhicule. Ces grandeurs qui évaluent l’efficacité et la stabilité du véhicule sont
l’accélération transversale et la dérive au centre de gravité.
• Efficacité du véhicule
L’efficacité d’un véhicule est définie comme sa capacité à maintenir une réponse fidèle à la
consigne donnée par le conducteur. Dans le cas de la prestation Sinus Ford, cette capacité est
étudiée lors d’un premier coup de volant pendant lequel on cherche à avoir une accélération
transversale maximale - figure 5.14.
131
Figure 5.14: Définition de l’efficacité du véhicule
• Stabilité du véhicule
Le critère permettant d’évaluer la stabilité du véhicule est la dérive au centre de gravité lors
du deuxième coup de volant. La valeur maximale de l’angle de dérive n’est pas significative pour
l’évaluation de la stabilité car elle ne présente pas la valeur totale de la dérive après le deuxième
coup de volant. Puisque c’est cette seconde partie de la consigne au volant qui déstabilise le
véhicule, l’intégrale de la dérive au centre de gravité du second coup de volant est alors calculée
- figure 5.15. Ceci revient donc à évaluer la capacité de la voiture de revenir à un état stable
après une déstabilisation.
Figure 5.15: Définition de la stabilité du véhicule
Après avoir défini les critères de la prestation, la recherche du meilleur comportement dynamique du véhicule revient à obtenir l’accélération transversale maximale et la dérive minimale.
5.3.1.5
Validité du modèle
Pour chaque prestation, la corrélation des critères objectifs calculés sur modèle complet et
sur modèle simplifié est étudiée. Le but de cette étape est de valider nos modèles simplifiés
physiques et mettre en évidence la corrélation des critères issus de deux types de simulations.
La figure 5.16 présente la corrélation des critères objectifs de la prestation Sinus Ford des
modèles simplifiés et du modèle MADA.
132
Figure 5.16: Corrélation du modèle simplifié et du modèle MADA
Les résultats de la corrélation faite à l’aide de plans d’expériences sur l’espace de conception
permet de conclure que le modèle simplifié réalisé corrèle bien avec le modèle complet MADA.
En effet, les deux graphes de la figures mènent à une détermination linéaire des critères : le
critère du modèle complet est en relation linéaire y = ax + b avec le critère du modèle simplifié. Par régression linéaire les valeurs du coefficient directeur de la droite a et du coefficient à
l’ordonnée b pouvant être données.
Ce modèle simplifié peut donc être utilisé dans la suite de la démarche d’optimisation des
paramètres fonctionnels.
5.3.2
Prestation de virage stabilisé
5.3.2.1
Régime stabilisé
La dynamique angulaire caractérise le régime établi d’un véhicule en virage. Ce modèle est
un cas particulier du modèle 4 roues roulis/lacet/dérive qui vient d’être décrit. En effet, il suffit
de reprendre les équations précédentes et de mettre les grandeurs θ̇, θ̈, ψ̈, δ̇, δi˙j, α˙11 , α˙12 et α̈
- [90], [92] et [97].
Equations du modèle
• Equilibre des forces selon l’axe y
M.γt − Y11 − Y12 − Y21 − Y22 = 0
(5.35)
• Equilibre des moments selon l’axe x et l’axe z du véhicule
0
C θ .θ − (h1 .(Y11 + Y12 ) + h2 .(Y21 + Y22 )) = 0
(5.36)
− (l1 − a1 ).(Y11 + Y12 ) + (l2 + a2 ).(Y21 + Y22 )
(5.37)
• l’égalité de l’accélération transversale
γt − V.(ψ̇) = 0
(5.38)
• les relations entre les vitesses aux trains avant et arrière
V.(α11 + 1 .θ + δ11 − δ) − (l1 − a1 ).ψ̇ = 0
(5.39)
133
V.(α12 + 1 .θ + δ12 − δ) − (l1 − a1 ).ψ̇ = 0
(5.40)
V.(2 .θ + δ21 − δ) + (l2 + a2 ).ψ̇ = 0
(5.41)
V.(2 .θ + δ22 − δ) + (l2 + a2 ).ψ̇ = 0
(5.42)
• les lois de comportement des systèmes pneumatique et train en série en s’affranchissant
de l’approximation aux petits angles sont les mêmes que celles du modèle quatre roues
détaillé ci-avant - de l’équation 5.15 à l’équation 5.22.
Dans l’optique encore une fois de s’affranchir du système de direction, seul le système châssis
et le braquage aux roues sont étudiés.
Les grandeurs physiques de sortie du modèle sont les grandeurs stabilisées, l’entrée étant
l’accélération transversale γt . Les expressions des différentes variables peuvent être obtenues :
• les efforts transversaux :
• le roulis θ :
M.γt − (Y11 + Y12 + Y21 + Y22 )
θ=
(5.43)
h1 (Y11 + Y12 ) + h2 (Y21 + Y22 )
Cθ0
(5.44)
γt
V
(5.45)
• la vitesse de lacet ψ̇
ψ̇ =
• La dérive au train avant δ1 = δ11 + δ12 :
δ11 = −
1
(Y11 + P1 .γroue/sol11 )
D1
(5.46)
δ12 = −
1
D1
(5.47)
δ22 = −
1
D2
(5.48)
δ21 = −
1
D2
(5.49)
• La dérive au train arrière
• la dérive au centre de gravité δ
δ = 2 .θ + δ2 −
(l2 + a2 ).ψ̇
V
(5.50)
• l’angle de braquage à la roue α11 :
α11 =
(l1 − a1 ).ψ̇
− (1 .θ + δ11 − δ)
V
(5.51)
• l’angle de braquage à la roue α12 :
α12 =
(l1 − a1 ).ψ̇
− (1 .θ + δ12 − δ)
V
(5.52)
134
5.3.2.2
La dynamique angulaire
Bien que ce soit une situation dans laquelle le véhicule se trouve rarement en situation
courante, l’étude de cette phase stabilisée est fondamentale pour caractériser le régime stabilisé
du véhicule en virage [92].
La dynamique angulaire da, chez Renault, se définit comme la dérivée de l’angle au volant
αv par rapport à l’accélération transversale γt à rayon de trajectoire R constant et vitesse variable. En fait, elle correspond à la correction d’angle au volant nécessaire pour rester sur la
trajectoire circulaire lors de la légère augmentation de la vitesse.
∂αv da =
∂γt R=constante
(5.53)
La dynamique angulaire est la somme de plusieurs contributions liées aux influences des
rigidités des pneumatiques, de la cinématique et de l’élasto-cinématique des trains. Ces contributions sont les suivantes :
• La dynamique angulaire issue de la dérive pneumatique :
0
dadérive pneumatique =
0
M2
M1
−
2.D1pnl
2.D2pnl
!
(5.54)
Son origine est pneumatique, elle résulte de la rigidité de dérive et du moment d’autoalignement.
• La dynamique angulaire issue du carrossage induit par le roulis :
M.h0
λ1 .P1 λ2 .P2
−
· 0
dacarrossage induit =
Cθ
D1pnl
D2pnl
(5.55)
Son origine est cinématique et pneumatique : elle résulte du carrossage induit par le roulis
et de la poussée de carrossage.
• La dynamique angulaire issue du braquage induit par le roulis :
dabraquage induit = n. (ε1 − ε2 ) ·
M.h0
C0θ
(5.56)
Son origine est cinématique et pneumatique : elle résulte du carrossage induit par le roulis
et de la poussée de carrossage.
• La dynamique angulaire issue de la déformation des trains sous effort :
F T P2
F T P1
0
0
dadéf ormation du train sous ef f ort = n. M2 ·
− M1 ·
2
2
135
(5.57)
Elle provient de la déformation des demi-trains sous effort transversal.
• La dynamique angulaire issue de la déformation des trains sous couple :
a2 .F T P2
a1 .F T P1
0
0
− M2 ·
dadéf ormation du train sous couple = n. M1 ·
2
2
(5.58)
Elle provient de la déformation des demi-trains sous moment vertical.
• La dynamique angulaire due aux répercussions :
0
0
darépercussion = n. M2 .(F T REP 2 − a2.F M REP 2) − M1 (F T REP 1 − a1.F M REP 1)
(5.59)
Elle provient de la déformation des éléments d’interconnexion des deux demi-trains sous
effort transversal et sous couple.
L’ensemble de ces contributions peut donc s’exprimer analytiquement en fonction des variables et des grandeurs observables du modèle. Néanmoins, la dynamique angulaire totale,
somme de ces contributions, peut s’exprimer très simplement grâce aux expressions des dérives
spécifiques :
da = n.(δ1spé − δ2spé )
(5.60)
5.3.2.3
Tests et critères objectifs
Le test qui correspond à cette prestation est basé sur un suivi de trajectoire circulaire où le
rayon vaut 50m et où la consigne de vitesse est une augmentation progressive de la vitesse afin
de rester en régime établi.
Afin d’évaluer et surtout d’optimiser les performances d’un véhicule pour la prestation
de virage stabilisé, plusieurs critères objectifs exprimés sous forme de grandeurs positives à
minimiser peuvent être considérés. Les critères objectifs retenus pour cette prestation sont les
quatre variables spécifiques à la dynamique angulaire à savoir :
• le roulis spécifique θsp , qui est le roulis à une accélération de 1m.s−2 ,
• la dérive spécifique du train avant δ1sp ,
• la dérive spécifique du train arrière δ2sp ,
• la dynamique angulaire à 3m.s−2 .
136
Pour chacun de ces critères, des objectifs sont fixés pour améliorer le véhicule en terme de
performance et de comportement . Ainsi le roulis spécifique et la dynamique angulaire doivent
atteindre une valeur cible tandis que les dérives spécifiques aux trains avant et arrière doivent
être minimales.
5.3.2.4
Validité du modèle
Comme pour la prestation précédente, la validité du modèle va maintenant être vérifiée.
Pour cela, la corrélation des critères objectifs calculés sur un modèle complet et sur notre modèle simplifié est étudiée.
La figure 5.17 présente la corrélation des critères objectifs de la prestation virage stabilisée
de notre modèle simplifié vis à vis du modèle MADA.
Figure 5.17: Corrélation du modèle simplifié et du modèle MADA
Notre modèle simplifié présente une bonne corrélation avec le modèle complet MADA, il
peut donc être utilisé dans la suite de la démarche d’optimisation des paramètres fonctionnels.
5.3.3
Fréquences propres
Aux différents critères des prestations étudiées, il faut ajouter les contraintes de fréquences
imposées. Ces fréquences concernent les fréquences propres de pompage des trains avant et
arrière, de la fréquence de roulis, de tangage et de débattements des roues avant et arrière.
Même si en réalité le pompage et le tangage existent en même temps, on se placera dans un
cas simplifié où les mouvements existent indépendamment les uns des autres.
1. Fréquences propres de pompage des trains
En adoptant le schéma que la caisse est liée à la chaussée par une raideur équivalente
dans le plan vertical, on parvient à déterminer une fréquence de pompage où les raideurs
des pneumatiques et des ressorts de suspension sont en parallèle :
137
Fpompage =
1
2.ki .kpneui
.sqrt
2π
Mi .(ki + kpneui )
(5.61)
où
- M1 et M2 sont respectivement les masses au train avant et au train arrière,
- k1 et k2 les raideurs des ressorts de suspension des trains avant et arrière,
- kpneu1 et kpneu2 les raideurs des pneumatiques avant et arrière.
2. Fréquences propres de tangage
La fréquence de tangage doit également être prise en compte. Celle-ci se détermine par
une raideur de tangage Kt et une inertie de tangage du véhicule Iy . Ainsi elle s’écrit :
Kt
1
.sqrt
2π
Iy
Ftangage =
(5.62)
où Kt = 2.k1 .l12 + 2.k2 .l22 , avec ki les raideurs avant et arrière des ressorts de l’essieux et
li la distance entre le train avant ou arrière et le centre de gravité.
3. Fréquences propres de roulis
De la même façon que pour la fréquence de tangage, la fréquence de roulis s’exprime en
fonction de l’inertie en roulis du véhicule Ix et de la raideur de roulis Kr .
Froulis =
Kr
1
.sqrt
2π
Ix
(5.63)
où Kr = 41 (2.k1 .e21 + 2.k2 .e22 ) + KBAD1 + KBAD2 , avec ei les voies avant et arrière du
véhicule, et KBADi les raideurs de la barre anti-roulis avant ou arrière (enN m/rad).
4. Fréquences propres de débattement de roue
Enfin les dernières fréquences qu’il faut impérativement prendre en compte lors de la conception des trains sont les fréquences propres de battement de roue. Celles-ci reviennent
à considérer un schéma siplifié reliant la masse non suspendue du véhicule à la chaussée
par une raideur de pneumatique. Étant un système masse/ressort classique, on en déduit
immédiatement la fréquence propre :
Fbattementrouei =
Kpneui
1
.sqrt
2π
Mnsi
(5.64)
où Mnsi est la masse non suspendue à l’avant ou l’arrière et Kpneui la raideur du pneumatique.
Le tableau 5.3 introduit les valeurs extrêmes de quatre des fréquences qui viennent d’être
présentées figeant ainsi les contraintes de l’optimisation.
138
0.8 ≤ f1 ≤ 1.14
1 ≤ f2 ≤ 1.5
1 ≤ ftangage ≤ 1.6
10 ≤ fbattement−roue ≤ 14
Tableau 5.3: Répartition des paramètres suivant les deux prestations étudiées
5.3.4
Fonction coût de chaque prestation
Pour chaque prestation, il est nécessaire de définir une ou plusieurs fonctions objectif fi , qui
traduit chaque objectif à atteindre et à les combiner au sein d’une même fonction dite ”fonction
coût globale”.
La fonction coût globale sera donc définie comme une fonction à minimiser, il faut alors faire
en sorte que tous les critères soient à minimiser. On s’y ramène alors de la manière suivante :
- si le critères est à minimiser, on le change pas dans la fonction coût,
- si le critère est maximiser, cela revient à minimiser son opposé,
- si le critère doit atteindre une valeur cible, alors on cherche à minimiser l’écart des
deux valeurs.
Le tableau 5.4 indique alors les changements à élaborer pour que tous les critères soient à
minimiser.
Objectifs :
à minimiser
c→c
à maximiser
c → −c
valeur cible à atteindre
c → |c − ccible |
Tableau 5.4: Opérations pour minimiser chaque critère
On peut alors définir la fonction coût pour un objectif fci , équation 5.65 :
fci =
c − c∗
c̄ − c∗
(5.65)
où c est la valeur à minimiser, c∗ la meilleure valeur du critère atteignable dans l’espace de
conception et c̄ la moins bonne valeur atteignable dans cet espace.
Suivant cette démarche, explicitons les fonctions coût de chaque prestation.
FV irageStabilis = fc1=θsp + fc2=δ1sp + fc3=δ2sp + fc4=da
(5.66)
FSinusF ord = fc1=γt + fc2=δ
(5.67)
Les fonctions coût fci sont à expliciter suivant l’équation 5.65. Les meilleures et moins
bonnes valeurs sont données dans le tableau 5.5 :
5.4 Optimisation des paramètres fonctionnels
139
Critères
da
θsp
δ1sp
δ2sp
Meilleure valeur
3.6
0.43
0.28
0.11
Moins bonne valeur
13.21
2.54
0.91
0.62
Écart
9.61
2.11
0.63
0.51
unité
deg.m−1 .s2
deg.m−1 .s2
deg.m−1 .s2
deg.m−1 .s2
γt
δ
8.93
140
6.87
287
2.06
147
m.s−2
deg.m−1 .s2
Tableau 5.5: Valeurs extrêmes des différents critères
5.3.5
Bilan
Les paramètres fonctionnels, les prestations étudiées et les critères cibles sont clairement
posés. Il ne reste donc que l’optimisation des paramètres fonctionnels à mettre en place pour
que la première phase de la démarche de conception appliquée au train grand carrossage soit
complètement réalisée. Nous allons donc dans la suite, nous attacher à l’optimisation des
paramètres fonctionnels du train sur les différentes prestations en prenant en compte les objectifs
et les contraintes de comportement qui viennent d’être définis.
5.4
Optimisation des paramètres fonctionnels
Comme écrit dans le chapitre de présentation de la méthodologie ”First Design”, l’optimisation
des paramètres comprend trois grandes étapes :
• l’analyse des paramètres fonctionnels d’ordre un,
• l’optimisation des paramètres influents d’ordre un,
• l’optimisation des paramètres d’ordre deux.
Ce paragraphe est développé suivant ces trois étapes.
5.4.1
Analyse d’influence des paramètres sur les critères
• Description de l’espace de conception
Cette phase est indispensable au bon déroulement de l’optimisation. Elle consiste à déterminer un espace dit de conception dans lequel les valeurs des paramètres sont à chercher. Les
bornes de cet espace sont déterminées soit par les valeurs technologiquement admissibles pour
la conception, soit par des contraintes imposées comme par exemple les fréquences propres du
véhicule.
Ainsi le tableau 5.6 présente l’espace de conception des 20 paramètres utilisés dans les modèles simplifiés. A ces paramètres il faut rajouter les coefficients du polynôme qui modélise la loi
de commande grand carrossage avec pour contrainte principale que le carrossage soit compris
dans l’intervalle [-20˚, 20˚].
140
Nom
Cθ
k1
k2
A1
A2
s1
s2
1
2
λ1
λ2
F T RS1
F T RN S1
F M RS1
F M RN S1
F T RS2
F T RN S2
F M RS2
F M RN S2
chasse
Valeur minimale
30000
18000
12000
1000
1000
0
50
-10
-5
70
40
-5
-1
-10
0
-5
-1
-10
-1
5
Valeur maximale
160000
41000
28000
7000
7000
120
200
1
10
100
100
5
1
0
10
5
1
0
1
40
Unité
N.m/rad
N/m
N/m
N/(m.s−1 )
N/(m.s( − 1)
mm
mm
%
%
%
%
mrad/100daN
mrad/100daN
mrad/100daN
mrad/100daN
mrad/100daN
mrad/100daN
mrad/100daN
mrad/100daN
mm
Tableau 5.6: Espace de conception des paramètres d’ordre un
141
• Analyse de sensibilité des critères
Une étude de sensibilité des critères objectifs de chaque prestation par rapport à des variations des paramètres fonctionnels d’ordre un est réalisée. Elle a pour objectif d’évaluer la
robustesse des différents critères. En effet, une variation de 10% des paramètres d’ordre un
autour de la valeur nominal est acceptée. A partir de cet espace de variation, on observe la
dispersion du critère objectif.
Ainsi, pour les deux prestations retenues une étude de sensibilité est réalisée en employant la
méthode Monte Carlo présentée dans le premier chapitre. Un grand nombre de simulations est
généré en un minimum de temps et pour des variations de paramètres d’entrée. En effet, avec
nos modèles simplifiés, mille simulations ne prend que trois minutes. Sur le modèle complet il
faudrait plusieurs jours.
Une loi de probabilité gaussienne est choisie pour l’ensemble des paramètres qui constituent
l’espace de conception. Les figures 5.18 et 5.19 présentent les résultats des simulations de Monte
Carlo réalisées sur les critères objectifs des deux prestations : virage stabilisée et Sinus Ford.
Figure 5.18: Étude de Monte Carlo sur les critères du virage stabilisé
Figure 5.19: Étude de Monte Carlo sur les critères du Sinus Ford
La moyenne et le coefficient de variation calculés et présentés sous forme de tableaux 5.7,
5.8 donnent une idée de la sensibilité et donc de la robustesse des différents critères.
142
Critères
da
θsp
δ1sp
δ2sp
Moyenne
2.19
0.73
0.42
0.31
Coefficient de variation
6
2.32
0.6
0.73
Tableau 5.7: Etude statistique sur les critères objectifs du virage stabilisé
Critères
γt
δint
Moyenne
8.22
-0.15
Coefficient de variation
0.6
0.87
Tableau 5.8: Etude statistique sur les critères objectifs du Sinus Ford
• Contraintes imposées
Dans la partie précédente, les contraintes de fréquences propres ont été évoquées. Elles sont
donc prises en compte par les valeurs des raideurs des suspensions verticales avant et arrière k1
et k2 .
A ces contraintes verticales, il faut rajouter les contraintes transversales. Celles-ci concernent
directement les flexibilités sous couples et sous efforts qui ont déjà été évoquées aux équations
5.5 et 5.6. La valeur de la chasse pneumatique avant et celle de la chasse pneumatique arrière
sont en général moyennées : ainsi le tableau 5.9 fournit les valeurs d’usage chez Renault de la
chasse pneumatique avant et arrière.
Chasse avant a1
Chasse arrière a2
Valeur d’usage
40
30
Unité
mm
mm
Tableau 5.9: Valeur d’usage des chasses pneumatiques avant et arrière
Avec ces valeurs de chasse et les intervalles des différentes flexibilités sous efforts et sous
couples fournis dans le tableau 5.6, les flexibilités globales au train avant et au train arrière,
exprimées en mrad.100daN−1 sont également encadrées suivant les formules 5.68.
− 4 ≤ F T 140 ≤ 0 − 1.5 ≤ F T 230 ≤ 0.5
5.4.2
(5.68)
Optimisation des paramètres d’ordre un
L’ensemble des éléments nécessaires à l’optimisation étant posé, l’optimisation peut être
effectuée. Pour cela, l’algorithme génétique présenté dans le premier chapitre est utilisé dans
un premier temps sur chaque prestation.
143
• Loi de commande grand carrossage
Comme déjà évoqué, la nappe de carrossage est implantée sous forme de polynômes dépendant de l’angle au volant αv et de l’accélération transversale γt . Avant de donner des résultats
concernant chaque prestation, il faut signaler que les coefficients de ce polynôme ont également
été optimisés.
Le degré du polynôme a été déterminé en se basant sur le critère que les meilleures solutions
non-dominées de Pareto se rapprochent de l’origine pour répondre au meilleur compromis de
Pareto. Ainsi l’optimisation a été plusieurs fois effectuée : d’abord avec un polynôme d’ordre
un, puis un polynôme deux et ainsi de suite jusqu’à obtenir le meilleur résultat avec un ordre
de polynôme le moins élevé possible.
Les figures 5.20, 5.21, font apparaı̂tre les fronts de pareto obtenus sur la prestation ”Sinus Ford” pour deux polynômes de la loi de carrossage et illustrent la démarche progressive
d’augmentation du degré du polynôme.
Figure 5.20: Points de Pareto pour une loi de carrossage d’ordre 1
Figure 5.21: Points de Pareto pour une seconde loi de carrossage d’ordre 2
Ces deux figures montrent que plus le degré du polynôme est élevé, plus les solutions de
Pareto se rapprochent de l’origine. Ceci est mis en évidence par le point rouge identiquement
144
placé sur chacune des figures. Lorsque les solutions de pareto n’ont plus présenté de progression
significative, le degré du polynôme de carrossage a été fixé. Ainsi, les résultats présentés dans
la suite ont tous une fonction polynomiale d’ordre 3 pour l’accélération transversale et d’ordre
deux pour l’angle au volant.
• Virage stabilisé
L’algorithme génétique utilisé comprend 200 individus qui évoluent au cours de 100 générations. La figure 5.22 présente la représentation graphique du virage stabilisé pour trois des
quatre critères objectifs de la prestation.
Figure 5.22: Points de Pareto pour la prestation virage stabilisé
On procède de la même manière pour la seconde prestation.
• Sinus Ford
En réalisant l’optimisation génétique sur la prestation de comportement Sinus Ford, un
ensemble de solutions de Pareto est obtenu. Cet ensemble est le meilleur compromis pour la
prestation Sinus Ford. Ainsi le front obtenu est représentatif exclusivement du Sinus Ford.
Comme cette prestation utilise deux fonctions coûts, une représentation graphique - figure 5.23
- est envisageable.
Figure 5.23: Points de Pareto pour la prestation Sinus Ford
145
A la fin des générations, 99 solutions de Pareto sont obtenues. Ceci signifie que tous ces
points ne sont pas comparables entre eux. Une variation d’un des critères n’améliorerait pas la
prestation : principe du compromis de Pareto.
Après avoir testé l’algorithme génétique sur chacune des prestations, il est intéressant de
lancer cet algorithme sur les deux prestations pour trouver le ou les meilleurs compromis pour
l’ensemble de deux prestations prestations.
• Compromis Virage stabilisé / Sinus Ford
De la même manière que pour la prestation de comportement de virage stabilisé, cette
nouvelle optimisation se fonde sur deux fonctions objectif : la fonction objectif globale de la
prestation de virage stabilisé et la fonction objectif globale de la prestation Sinus Ford.
Ainsi, un nouveau front de Pareto - figure 5.24 - est obtenu avec en abscisse la fontion
objectif du virage stabilisé et en ordonnée la fonction objectif globale de la prestation sinus
Ford.
Figure 5.24: Front de Pareto pour le compromis virage stabilisé/Sinus Ford
Pour chacun de ces points, chaque paramètre de l’espace de conception a une valeur bien
précise. A titre d’exemple, les valeurs pour 20 solutions non-dominées des hauteurs de centre
de roulis s1 et s2 , des coefficients de braquage et de carrossage avant et arrière induit par le
roulis respectivement notés 1 , 2 , λ1 et λ2 et de la chasse c sont données sous forme de tableau
- figure 5.25.
146
Figure 5.25: Points de Pareto pour le compromis virage stabilisé/Sinus Ford
Le point idéal pour le compromis virage stabilisé/Sinus Ford est sélectionné en se basant sur
l’expertise métier. Plus on veut typer le comportement du véhicule pour la prestation virage
stabilisé plus il faut choisir une solution qui se rapproche de l’asymptote de la fonction coût
globale virage stabilisé - figure 5.26. Il en va de même pour la prestation Sinus Ford. Si le
concepteur veut typer le véhicule suivant les deux prestations, il est amené à choisir un point
sous-idéal.
Figure 5.26: Définition des points typés d’un front de Pareto
En plus de ce compromis inter-prestation, la notion de robustesse est appréhendée à ce stade.
Ainsi, pour chaque point candidat obtenu à l’issue de l’optimisation génétique, la procédure
suivante est appliquée :
• pour chaque paramètre pi , la fonction coût globale est calculée pour pi = pinominal , pour
pi = pinominal (1 + 10%) et pour pi = pinominal (1 − 10%),
• puis une évaluation de l’écart maximal des trois fonctions coût est réalisée, cet écart est
147
noté ecarti ,
• la fonction coût d’évaluation de la robustesse pour chaque point candidat est la somme
des ecarti de chacun des paramètres du point candidat.
Ainsi chaque point candidat du front de Pareto est qualifié par ses fonctions coût objectif
relatives à chacune des prestations et par sa fonction coût ”robuste” qui définit sa sensibilité
par rapport à une variation des paramètres de conception.
A titre d’exemple, la robustesse des critères en virage stabilisé en réponse à une variation
des paramètres fonctionnels d’entrée est présentée sur la figure 5.27. Cinq véhicules sont choisis : un véhicule typé virage stabilisé, un véhicule typé Sinus Ford, un véhicule de référence dit
nominal, un véhicule typé suivant un point sous-idéal 1 et un typé suivant un point sous idéal
2. En abscisse les 7 premiers paramètres de l’espace de conception sont étudiés. Chaque carré
représente le degré normalisé de robustesse du critère d’un véhicule donné pour une variation
d’un paramètre donné. Plus le carré est foncé moins la robustesse est grande.
Figure 5.27: Évaluation de la robustesse du virage stabilisé
Les paramètres d’ordre un étant définis et optimisés, les paramètres d’ordre deux peuvent
à leur tour être optimisés.
5.4.3
Optimisation des paramètres d’ordre deux
La dernière étape d’optimisation des paramètres fonctionnels concerne l’optimisation des
paramètres d’ordre 2, c’est-à-dire les paramètres jugés comme les moins influents sur chaque
prestation. Pour cette seconde optimisation, les valeurs des paramètres d’ordre un sont fixés,
148
le tableau 5.10 fournit leurs valeurs. Elles correspondent aux valeurs d’un véhicule de type
mégane.
Paramètres
cangle
chasse
deport
pangle
1
λ1
s1
λBp
1
λBf
1
F T RS1
F T RN S1
F M RS1
F M RN S1
f1
C1
Valeurs optimisées
5.03
30.9
-9.1
12.4
-0.87
76.2
48.8
4.9
11.8
1.2
-0.7
-1.2
1.3
0.93
115
Unité
deg
mm
mm
deg
%
%
mm
%
%
mrad/100daN
mrad/100daN
mrad/100daN
mrad/100daN
Hz
mdaN/deg
Tableau 5.10: Valeur optimisée des paramètres d’ordre 1
La prise en compte de ces paramètres d’ordre deux nécessite un modèle complet car ils
n’interviennent pas dans nos modèles simplifiés. Dans notre cas, le modèle utilisé est le modèle
complet ”MACAC” [6] - modèle reproduisant le modèle complet MADA sous Matlab. Dans le
modèle ”MACAC”, le modèle de pneu grand carrossage de type Pacejka est inséré.
L’optimisation est effectuée en utilisant l’algorithme génétique. Le tableau 5.11 présente
alors les résultats de l’optimisation de l’ensemble des paramètres et de la loi de carrossage sur
la prestation virage stabilisé.
Modèles utilisés
Modèle simplifié
Modèle complet avec variable d’ordre un
Modèle complet avec variable d’ordre deux
dynamique angulaire
4.32
4.03
4.21
Tableau 5.11: Valeur de la dynamique angulaire pour les deux phases d’optimisation
5.5
Conclusion
Ce chapitre a permis la mise en oeuvre de la première phase d’optimisation de la méthode
de conception ”First Design”. La hiérarchisation des paramètres et l’élaboration de modèles
simplifiés dont la validité avec un modèle complet est vérifiée sont les éléments clefs d’une optimisation efficace des paramètres fonctionnels dans un large espace de conception. L’utilisation
d’algorithmes génétiques pour l’optimisation avec la notion de non-dominance est déterminante
5.5 Conclusion
149
pour explorer l’ensemble de l’espace de conception des paramètres en évitant de converger vers
des minima locaux et pour sélectionner un ensemble de solution candidats. La méthode de
Monte Carlo permet de vérifier la robustesse des solutions et ainsi de sélectionner des solutions
à la fois performantes et robustes.
Les paramètres fonctionnels étant maintenant clairement optimisés, ils vont être la cible de
l’optimisation organique développée dans le prochain chapitre.
150
Chapitre 6
Optimisation des paramètres
organiques
6.1
Introduction
Conformément à la méthode ”First Design” et pour respecter la chronologie de l’ingénierie
système, les paramètres fonctionnels obtenus lors de l’optimisation fonctionnelle - dans le
chapitre précédent - vont être la cible de la seconde étape à savoir l’optimisation des paramètres
organiques - figure 6.1. L’enjeu de ce dernier chapitre est de décliner en organes puis en pièces,
l’ensemble des données fonctionnelles optimisées en respectant les ambitions de conception robuste. De nouvelles prestations telles que la tenue mécanique ou encore l’endurance des pièces
vont servir pour la déclinaison des paramètres fonctionnels en paramètres organiques. Pour se
rapprocher de la réalité des projets, on se place dans un contexte précis où les contraintes liées
à l’implantation du système sont déjà fixées.
Figure 6.1: Déroulement de la seconde étape de la méthode ”First Design”
Avant de renter dans le problème d’optimisation des paramètres organiques, dans un premier
temps, la méthode de conception raisonnée ”Rational Design” et la méthode d’aide à la décision
Electre, présentées dans le premier chapitre, sont appliquées afin de sélectionner une architecture
de train qui se prête à l’intégration du carrossage. La sélection se fait parmi un ensemble
d’architecture obtenu suite à un brainstorming effectué par un groupe de travail dans le cadre
du projet ”X by Wire”. Dans un second temps, le problème même de l’optimisation organique
151
152
CHAPITRE 6. OPTIMISATION DES PARAMÈTRES ORGANIQUES
qui peut se résumer selon les grands principes suivants est abordé :
• hiérarchisation des paramètres organiques
• prise en compte de la robustesse des choix
Pour réaliser ces deux grandes étapes, le logiciel multi-corps ADAMS est utilisé car il peut
réaliser des calculs d’ensemble afin de relier les paramètres aux valeurs cibles.
6.2
6.2.1
Technologie organique des essieux
Brainstorming des trains à grand carrossage
Le travail de recherche sur les technologies de train vise à adopter une approche globale de
la recherche du train le mieux adapté à la variation de l’angle de carrossage. Pour ce faire,un
point sur les différentes technologies est réalisé. La figure 6.2 illustre les différents types de
train avec un exemple de véhicules équipés du train en question.
Figure 6.2: Balayage des trains avant avec braquage et carrossage commandés
Pour les trains avant, deux catégories de train se distinguent : les trains Mac Pherson (et sa
variante Pseudo Mac Pherson) et les trains doubles triangles (cas particulier des trains appelés
multibras).
6.2.1.1
Train Mac Pherson
Le principe de fonctionnement d’un train Mac Pherson - figure 6.3 - repose sur le fait que
l’ensemble porte-fusée (1+2) est relié au châssis par trois liaisons : le bras de suspension (3),
la bielle de guidage (4) et le combiné ressort/amortisseur (5).
Le train pseudo Mac-Pherson se distingue du train Mac Pherson par le fait que la barre
anti-roulis n’assure pas de fonction de guidage, ce qui nécessité l’adjonction d’un deuxième
6.2 Technologie organique des essieux
153
point de liaison avec le châssis sur le bras de suspension .
Figure 6.3: Essieu Mac Pherson
Ce type de suspension est très répandu dans la voiture de série, le système est simple et peu
coûteux. Il est également très efficace dans la mesure où il maintient le pneu perpendiculaire
au sol quand l’automobile prend du roulis (il y a prise de carrossage négatif à l’enfoncement).
Cela assure une très bonne tenue de route latérale. Les trains avants des voitures de ” Monsieur
tout le monde ” en sont équipés. On y adjoint généralement une barre anti-roulis, notée B.A.R,
pour améliorer le comportement physique du châssis.
6.2.1.2
Train Double triangle
Le train double triangle est ce qui se fait de mieux en automobile - figure 6.4 - elle est
de type indépendante. À l’instar des suspensions Mac-Pherson, deux bras de suspension sont
utilisés : un dit supérieur FCD et l’autre dit inférieur ABE (par rapport au sol). Le porte-fusée
est raccordé par deux rotules, une au triangle inférieur en E, l’autre au triangle supérieur en F.
Le châssis est raccordé par quatre rotules, soit deux par triangle.
Figure 6.4: Essieu double triangle
154
Un système d’amortisseur et ressort RT est fixé à l’aide d’une rotule sur un des deux triangles
de suspension. Ce type de suspension se retrouve sur la majorité les voitures de compétition
et les voitures haut de gamme. Leur intérêt réside dans le grand nombre de réglage possible
en fonction des points d’ancrages des différentes rotules. Ainsi le carrossage et la chasse entre
autre sont réglables et peuvent même être variables. Cette suspension assure une meilleure
motricité que la suspension de type Mac Pherson en fonction des réglages appliqués au train.
Comme pour la suspension Mac Pherson, une barre anti-roulis y est associée pour améliorer le
comportement physique du châssis.
6.2.1.3
Résultat du brainstorming
Un brainstorming a été effectué par un groupe de travail dans le cadre du projet ”X-byWire” afin de recenser un maximum d’architecture de train susceptible de générer une grande
variation de l’angle de carrossage.
Les deux types de trains précédents sont à l’origine des différentes variantes de suspensions.
Dans l’ensemble des trains, on distingue ceux qui sont actifs et ceux qui sont passifs. Six solutions de trains permettant de commander le carrossage et résultant du brainstorming sont
exposés suivant ces deux catégories ”passives” et ”actives”.
1. les solutions actives
La première solution se base sur le train Mc Pherson. Le point haut de l’amortisseur
(point F) est activé pour se déplacer selon l’axe Y et ainsi faire varier le plan de roue.
Sur la solution de la figure 6.5, le point F est activé via un palonnier et un vérin électrique.
Figure 6.5: Mac Pherson avec pilotage de carrossage en F
La seconde solution est un train à pivot semi-fictif dont la direction est embarquée sur le
bras supérieur - figure 6.6. Le pilotage du carrossage se fait en déplaçant le bras supérieur
selon l’axe Y grâce à un système de palonnier et vérin électrique. Le fait d’embarquer la
direction sur le bras supérieur permet de découpler le braquage et la carrossage.
155
Figure 6.6: Train à pivot semi-fictif
La troisième solution est un train à bras supérieur piloté. Sur ce train - figure 6.7 - le carrossage est piloté en faisant varier la longueur du bras supérieur. Le bras est constitué en
deux parties mises en mouvement par un vérin électrique. Cette fonction peut également
être réalisée par un vérin guideur.
Figure 6.7: Train à bras supérieur piloté
2. Les solutions passives
La première solution passive est un train dont le mouvement de roulis est utilisé pour
piloter le carrossage, c’est-à-dire que la mise en carrossage et contre-carrossage des roues
s’effectue à chaque prise de roulis du véhicule - figure 6.8.
156
Figure 6.8: Carrossage piloté par le roulis
Dans une situation de roulis, le centre du palonnier (1) se déplace latéralement sous l’effet
des biellettes (2) et provoque le déplacement des bras supérieurs via les biellettes (3) et
les basculeurs (4).
La deuxième solution passive est un train où le carrossage est piloté par le pompage. La
figure 6.9 illustre la variation de l’angle de carrossage avec le pompage. Ce comportement
se rapproche d’un train classique, à ceci près que les variations de carrossage sont plus
importantes (jusqu’à 6˚ de contre-carrossage).
Figure 6.9: Carrossage piloté par le pompage
La troisième solution passive de gestion du carrossage est proposée par Michelin dans le
brevet FR 2 872 452 - figure 6.10. Elle repose sur le positionnement du centre instantanée
de rotation de la roue par rapport au sol au dessous du sol. Ainsi un effort de ripage
provoque un contre carrossage sur la roue extérieure au virage.
157
Figure 6.10: Carrossage proposé par Michelin (brevet FR 2 872 452)
Plusieurs trains issus du brainstorming viennent d’être introduits. Pour des raisons de
confidentialité, toutes les solutions ne sont pas évoquées et dans la suite des travaux les solutions
sont numérotées de 1 à 9 sans préciser l’architecture.
6.2.2
Choix de l’architecture du train
6.2.2.1
Application de la méthode ”Rational Design”
Dans le cadre du projet”X-by-Wire”, toutes les fonctions entre la caisse et les roues ont été
étudiées avec une attention particulière sur le contrôle du plan de roue (braquage et carrossage)
et le maintien de caisse pour répondre à la problématique : Comment mieux faire travailler le
pneumatique et avoir un meilleur contrôle du plan de roue?
Dès le départ de l’étude, la plupart des trains avant connus a été balayée et une estimation
de la capacité de chacun à recevoir les pilotages du braquage et du carrossage a été appréciée. Pour cela, les différentes solutions résultant du brainstorming ont été analysées et cotées
par la méthode de conception raisonnée (”Rational Design”), présentée dans le premier chapitre.
Pour faciliter la compréhension, il est intéressant de développer la méthode de conception
sur un exemple : l’architecture du train à Pivot Semi-Fictif (PSF).
Pour coter l’ensemble des options, et donc de la solution PSF, il est nécessaire de définir
une référence. Celle-ci, fixée par le projet, est le train avant de la Mégane à savoir un train
Mac-Pherson à pivot indépendant. La cotation peut alors être effectuée en s’appuyant sur
l’expertise métier.
Dans un premier temps, chaque solution est reliée aux différents critères de la façon suivante :
• si la solution est à l’avantage sur ce critère, elle est relié par une flèche continue verte au
critère,
• si une solution désavantage le critère, elle est relié par un trait rouge continu au critère,
158
• si la solution est neutre par rapport à la référence, elle n’est pas reliée au critère,
• s’il y a une incertitude sur l’impact de la solution, elle est relié par un trait noir discontinu
au critère ; et une question y est obligatoirement associée.
Une partie de la cotation du PSF est fournie sur la figure 6.11.
Figure 6.11: Exemple d’application de la méthode ”Rational Design”
L’opération est répétée autant de fois qu’il y a de solutions à coter. Lorsqu’un critère s’ajoute
au cours de la cotation, chaque solution est recotée pour ce nouveau critère.
Dans un second temps, la cotation des différentes solutions est reportée dans un tableau
récapitulatif de la cotation de la façon suivante :
• les solutions ” en faveur du critère ” sont cotées 1,
• les solutions ” contre le critère ” sont cotées -1.
• Les incertitudes sont cotées 0 ou 1 suivant l’objectif de résultat attendu. Si une solution
de train présente une incertitude sur un critère, on considère qu’il y a une étude à réaliser :
la cotation vaut 0 si on pense faire aussi bien que la référence ou 1 si on pense faire mieux
que la réfénce.
La figure 6.12 présente pour les critères cotés sur la figure 6.11 le tableau récapitulatif des
cotations.
159
Figure 6.12: Tableau récapitulatif de la cotation
Chaque solution ayant une côte (-1, 0, 1) pour chacun des critères, l’objectif est maintenant
d’identifier les meilleures solutions. Cependant aucune hiérarchisation des critères n’est définie,
aucun classement des solutions ne peut donc être fait.
Le nombre de solutions et de critères étant trop important pour pouvoir faire une hiérarchisation rigoureuse des solutions par le seul bon sens, il a donc été nécessaire d’utiliser une
méthode rigoureuse d’aide à la décision. Cette méthode, présentée dans le premier chapitre, est
la méthode de choix multi-critères Electre. Elle construit une relation de surclassement entre
options techniques à partir de critères pondérés pour modéliser les préférences du Projet. La
méthode permet de comparer des solutions très différentes et de même rang de classement.
6.2.2.2
Analyse multi-critères Electre
Disposant de l’ensemble des solutions cotées suivant la méthode ”Rational Design” sur un ensemble de critères, il est nécessaire à ce stade d’introduire des pondérations suivant l’importance
que l’on veut donner à chaque critère. La pondération des critères se fait en trois étapes :
• 1ère étape : pondération par catégorie
Les critères sont répartis suivant des catégories, puis chaque catégorie se voit doter d’une
pondération suivant l’importance qu’on lui attribue. Le projet X-By-Wire fournit une
pondération subjective des catégories. Il privilégie les gains de prestations de comportement (prestation comport) et les contraintes techniques plutôt que la sécurité passive ou
encore le coût. Ceci se traduit par des poids présentés dans le tableau 6.1.
Catégorie
Gains prestations de comportement
Contraintes techniques
Sécurité passive
Coût
Impact autres prestations
Poids
10
6
5
4
2
Tableau 6.1: Pondération des différentes catégorie de critères
160
• 2ème étape : pondération par critère
Au sein de chaque catégorie, les critères sont pesés entre 1 et 5. Par exemple pour les
premiers critères de la prestation de comportement, on a :
Critère
Gestion de trajectoire par le braquage
Stabilité déport fusée en carrossage
Maı̂trise de la variation de demi-voie en pompage
Poids
5
1
3
Tableau 6.2: Pondération de la prestation ”Gains prestations de comportement”
• 3ème étape : Pondération globale
Une pondération globale pour chaque critère est déterminé à partir des pondérations par
critères et des pondérations par catégorie - figure 6.2. Cette pondération globale pour
chaque critère va permettre de classer les solutions.
Figure 6.13: Tableau des pondérations globales de la cotation
Pour finir, un niveau de risque (incertitude) pour chaque solution est déterminé. Le risque
que l’on veut prendre correspond aux incertitudes qui sont apparues lors de la cotation (0 ou
1). Pour une solution, le risque est la somme de toutes les incertitudes pondérées par le poids
global de chaque critère sur lequel une incertitude est apparue.
Par exemple, pour la solution 4 de la figure 6.12 il y a :
• 1 incertitude sur la ” Variation hauteur centre de roulis ”, critère pondéré au global à 20 ,
• 1 incertitude sur ” Durabilité (usure pneu) ”, critère pondéré au global à 50 ;
• 1 incertitude sur ” Course, encombrement, effort, puissance actionneurs”, critère pondéré
au global à 24.
161
Soit un coefficient ” incertitude ” de 94. Ce coefficient est incomplet puisque tous les critères
de la cotation ne sont pas présentés. Lorsqu’ils sont tous pris en compte, ce coefficient vaut 130.
Le tableau 6.14 fournit les coefficients d’incertitude de chaque solution sur la cotation totale.
Figure 6.14: Coefficient d’incertitude de chaque solution
A ce stade l’ensemble des solutions peuvent être classées.
6.2.2.3
Résultats
A partir d’un certain nombre de solutions de trains provenant du brainstorming, la méthode de conception raisonnée a permis de mettre en avant des critères d’évaluation des trains
et des cotations de ces critères. La méthode Electre a permis d’effectuer une pondération de
ces critères. Le couplage de la cotation des critères de la méthode de conception raisonnée et
de la pondération des critères de la méthode Electre permet d’établir deux classements : un
classement dit ”de prudence” et un classement dit ”de rupture”.
Pour le classement ” prudence ”, le poids du risque est considéré égal au poids de tous les
critères, tandis que les incertitudes sont comptabilisées comme résolus - figure 6.15.
Pour le classement ” rupture ”, le risque n’est pas pris en compte, tandis que les incertitudes
sont aussi comptabilisées comme résolus.
162
Figure 6.15: Présentation des deux classements
Le train à pivot semi-fictif - solution 2 - est à la tête de classement de ”rupture”. Il semble
donc être la solution la plus appropriée pour la variation du carrossage. C’est donc cette
solution technologique qui va servir au déploiement de la partie organique de notre méthode de
conception robuste ”First Design”. Avant de rentrer dans cette seconde phase d’optimisation
paramétrique, une présentation plus détaillée du nouveau train à pivot semi-fictif est faite.
6.2.3
Train à pivot semi-fictif
6.2.3.1
Présentation
Le train PSF est un train à double triangle avec une rotule inférieure fictive. L’innovation
réside dans le fait :
• d’embarquer la direction sur le bras supérieur - figure 6.16,
• et de piloter le carrossage - figure 6.17.
163
Figure 6.16: Actionneur de direction du train à pivot semi-fictif
Figure 6.17: Actionneur de carrossage du train à pivot semi-fictif
6.2.3.2
Topologie des trains
Les paramètres topologiques du train avant PSF sont représentés par le positionnement de
différents points caractéristiques - figure 6.18. Ces points, énumérés ci-dessous, permettent de
décrire l’architecture du train.
• au niveau de la roue
- le point K : point du centre de la roue
, - le point Q : point de contact roue/sol
.
• au niveau des bras inférieurs
164
Figure 6.18: Points caractéristiques du train avant PSF
- le point Ea : ancrage bras porteur et porte-fusée
, - le point Eb : ancrage du bras guideur et du porte-fusée
, - le point A : ancrage du bras porteur et du berceau
, - le point B : ancrage du bras guideur et du berceau
. Ces quatre point définissent la géométrie du support inférieur avec deux points
d’ancrages au niveau du porte-fusée
• au niveau du bras supérieur
- le point C : fixation du bras supérieur à la caisse (point avant)
, - le point D : fixation du bras supérieur à la caisse (point arrière)
, - le point F : point d’ancrage du bras supérieur avec le porte-fusée
.
• au niveau de l’amortisseur
- le point R : point d’ancrage de la partie inférieure du ressort à l’amortisseur
, - le point S : point d’ancrage de la partie supérieure du ressort à la structure
de la caisse
, - le point T : point de fixation de l’amortisseur sur le bras porteur
, - le point U : point de fixation de l’amortisseur à la caisse
.
• au niveau de la direction
- le point L : point d’ancrage de l’actionneur de direction avec le bras supérieur
, - le point H : point d’ancrage de la tige de l’actionneur de direction avec le
porte-fusée
, - le point I : point d’ancrage de la transmission et du pont
, - le point J : point d’ancrage de la transmission et du porte-fussée
.
6.3 Paramètres organiques et Optimisation
165
La flexibilité verticale du train est principalement assurée par le ressort de suspension. Une
éventuelle barre anti-roulis permet d’assurer les caractéristiques fonctionnelles d’anti-roulis.
Au niveau de chaque point caractéristique du train, la liaison n’est pas purement cinématique. En effet, une partie de la liaison est élastique. Ces liaisons élastiques sont traditionnellement réalisées par des plots élastiques en chaque point caractéristique.
6.3
Paramètres organiques et Optimisation
Conformément à la démarche de conception ”First Design”, la deuxième phase correspond
à l’optimisation des paramètres organiques. Celle-ci se scinde en deux étapes :
• l’optimisation des caractéristiques organes,
• l’optimisation des pièces qui constituent le train.
La première étape, permet à partir des paramètres fonctionnels optimisés de rechercher les
organes pouvant assurer les fonction principales d’un train. En se basant sur une architecture de
train, l’ensemble de la topologie est à définir en prenant en compte les contraintes imposées par
le projet. Chaque organe est alors défini de manière simplifiée par des paramètres géométriques
et physiques.
La deuxième étape consiste à dimensionner plus précisément chaque pièce du train à partir
de l’optimisation des paramètres organes. A ce stade de conception, les prestations de résistance mécanique et d’endurance doivent être intégrées afin de pouvoir évaluer les sollicitations
du train. Les ”règles métier” acquises avec l’expérience pourront également être pris en compte
à ce stade. Il doit être clair que dans cette dernière étape de la méthode de conception, les
paramètres ”pièces” sont représentés par les matériaux dans lesquels elles sont réalisées, leur
forme et leur dimension.
Cependant le passage du fonctionnel à l’organique nécessite l’introduction de nouvelles
prestations et plus particulièrement l’introduction de la prestation de filtrage des essieux.
Nous allons donc dans cette partie commencer par présenter ces prestations. Puis nous détaillerons le déploiement des paramètres fonctionnels en paramètres organiques des trois fonctions principales du train : la fonction cinématique, la fonction élasto-cinématique et la fonction
flexibilité.
6.3.1
Le confort vibratoire
Cette nouvelle prestation est à l’origine des choix des caractéristiques des liaisons élastiques.
Il est donc indispensable de la considérer lors de la détermination des plots élastiques.
6.3.1.1
Analyse du confort vibratoire subjectif
Dans l’étude du filtrage d’un train, l’évaluation des capacités de mouvement de la roue dans
le plan horizontal est nécessaire. Ainsi on confère à la roue une seconde suspension connue
166
sous le nom de suspension horizontale de la roue. Cette seconde suspension à la roue a pour
objectif d’une part de minimiser la transmission des sollicitations générées par la chaussée (étude
de l’avancée ou du recul de roue) et d’autre part d’assurer la compatibilité des mouvements
ainsi créés. La suspension horizontale de la roue est caractérisée par les fréquences propres du
système, et les lois d’effort/déplacement (avec saturation).
6.3.1.2
Analyse du confort vibratoire objectif
Dans le contexte de la méthode ”First Design”, et pour faciliter la description des procédures
de calcul, les prestations sont objectivées. Pour la prestation de confort vibratoire, deux critères
sont étudiés : le recul de roue, la sensibilité au broutement.
• Recul de roue
Le recul de roue est le déplacement longitudinal qui résulte de l’application d’un effort
longitudinal de 100N au centre de la roue. A partir de ce déplacement et en connaissant l’effort
appliqué, on parvient à déterminer la raideur longitudinale du train et donc sa capacité de
filtrage.
• Sensibilité au broutement
La sensibilité au broutement G s’évalue en calculant l’accélération angulaire au volant qui
caractérise l’ensemble train/direction et en calculant l’effort crémaillère. Ainsi le critère objectif
est retenu pour maximiser la fonction de transfert G suivante :
G=
Accélération angulaire volant
Variation de couple de freinage
(6.1)
Maintenant que la prestation de confort est introduite, la hiérarchisation des paramètres est
un passage obligé pour l’optimisation des paramètres organiques. Nous allons donc à ce stade,
présenter les paramètres organiques par principales fonctions du train.
6.3.2
Fonction cinématique du train
La fonction cinématique d’un train est principalement assurée par la topologie du train et
permet ainsi de définir les points géométriques et les nappes cinématiques. Les nappes cinématiques permettant de décrire totalement la cinématique du train sont au nombre de cinq. Elles
correspondent aux variations de l’avancement longitudinal x, du déplacement transversal y, du
braquage α, du carrossage β et de l’enroulement η en fonction du déplacement vertical et de
l’angle de braquage.
Les paramètres cinématiques fondamentaux sont les suivants :
- l’angle de pivot pangle
, - l’angle de chasse cangle
, - la chasse linéaire chasse
, - le déport au sol deport
,
,
,
,
167
- le coefficient de braquage induit par le roulis à un cas de charge de référence 1
- le coefficient de carrossage induit par le roulis à un cas de charge de référence λ1
- la hauteur du centre de roulis à un cas de charge de référence s1
Bp
- les effets Brouilhet en freinage et de propulsion λBf
1 et λ1 .
6.3.2.1
Étude d’influence
L’étude d’influence permet d’obtenir une première hiérarchisation des points dont la position influe au premier ordre sur les paramètres cinématiques. Les figures 6.19 et 6.20 illustrent
les plans d’expérience réalisés sur les différents points constituants le train.
Les points C, D, Ea , Eb , F, L et H sont les points étudiés car l’expertise métier justifie
l’étude de ces points.
Les figures 6.19, 6.20 et 6.21 présentent les diagrammes d’influence de la variation des différents paramètres cinématique en fonction de la position des points C, D, F, L, et H.
La figure 6.19 met en évidence l’influence dominante des points C et D sur la chasse et sur
l’angle de pivot.
Figure 6.19: Diagrammes d’influence de quelques points géométriques du train
168
La figure 6.20 met en évidence l’influence dominante de la coordonnée transversale y de F
sur le déport au sol et l’influence dominante des C, D, F et L sur la chasse mécanique.
Figure 6.20: Diagrammes d’influence de quelques points géométriques du train
La figure 6.21 met en évidence que les points C, D, F, L, et H ont une grande influence le
braquage et le carrossage induit par le roulis.
Figure 6.21: Diagrammes d’influence des points sur les coefficients de braquage et carrossage induit par le roulis
6.3.2.2
Modèle cinématique
Un modèle cinématique pur est construit, ce qui suppose que les articulations élastiques
sont négligeable à l’ordre un. Pour établir le modèle cinématique, la topologie du train PSF
169
présentée dans ce chapitre est choisie. Un tableau des liaisons du train PSF avec la direction est
établi - figure 6.22. En y ajoutant le système carrossage, 4 degrés de liberté correspondant au
pompage, au braquage, au carrossage et à la rotation de la roue autour de son axe sont obtenus.
Figure 6.22: Graphe des liaisons du train à pivot semi-fictif sans le système de carrossage
Partant de la figure 6.22, le torseur cinématique de la roue en un point quelconque du portefusée, par exemple Ea , en fonction de la vitesse de translation de la crémaillère Vc rem et de la
vitesse de débattement Vpomp imposée au centre de la roue K est défini pour fournir la cinématique du plan de roue.
Le modèle est alors comparé à un modèle complet Adams. Les résultats de la comparaison
sont fournis sur la figure 6.23.
Figure 6.23: Corrélation entre le modèle simplifié cinématique et le modèle complet Adams
Les différentes grandeurs caractéristiques de la cinématique peuvent être calculés analytiquement à un cas de charge donné à partir du torseur cinématique.
• Le coefficient de braquage induit par le roulis
1 = 100 ∗
r
e1 α
z
= 100 ∗
∗
θ
Vpomp 2
(6.2)
170
où rz est la composante suivant z du vecteur rotation, e1 la demi-voie, θ le roulis et α
l’angle de braquage.
• Le coefficient de carrossage induit par le roulis
λ1 (roue/caisse) = 100 ∗
r
e1 γ
x
= 100 ∗
∗
θ
Vpomp 2
(6.3)
où rx est la composante suivant x du vecteur rotation, e1 la demi-voie, θ le roulis et γ
l’angle de carrossage.
λ1 = λ(roue/sol) = 100 − λ1 (roue/caisse)
(6.4)
• la hauteur du centre de roulis s1 est défini par la coordonnée en z du point appartenant à
l’intersection du plan perpendiculaire au vecteur vitesse au point de contact entre la roue
et le sol et du plan longitudinal passant par le centre du véhicule et d’abscisse xK .
• les autres caractéristiques - angle de chasse, angle de pivot, angle au sol et le déport au
sol - sont obtenus en connaissant la position de l’axe de pivot.
6.3.2.3
Optimisation
Les valeurs cibles de ces différentes caractéristiques cinématiques sont données dans le
tableau 6.3.
Paramètres cinématiques
Angle de chasse
Chasse mécanique
Déport au sol
Angle de pivot
Coefficient de braquage induit
par le roulis 1
Coefficient de carrossage induit par le roulis λ1
Hauteur de centre de roulis s1
Valeur minimale
Valeur maximale
Valeur cible
2
10
-15
10
-6
6
35
10
13
0
5.55
29
-6.8
12.6
-0.9
80
100
80
50
120
40
Tableau 6.3: Préconisation des différents critères cinématiques
A partir de ces valeurs cibles, la fonction coût relative à la performance de la solution est
estimée - équation(6.5).
Fperf =
n
X
|fi − ficible |
i=1
avec ∆fi = fimax − fimin
Les valeurs alors optimisées sont les suivantes :
∆fi
(6.5)
Paramètres cinématiques
Angle de chasse
Chasse mécanique
Déport au sol
Angle de pivot
Coefficient de braquage induit
par le roulis 1
Coefficient de carrossage induit par le roulis λ1
Hauteur de centre de roulis s1
171
Valeur optimisée
5.45
30.5
-6.6
10.
-0.97
78.9
40.8
Tableau 6.4: Valeur optimisée des différents critères cinématiques
La seconde étape de l’optimisation organique consiste à décliner ces paramètres organiques
optimisés en optimisation purement matérielle, c’est-à-dire en ”pièces”.
A ce stade, il est indispensable de prendre en compte la topologie et les spécification
techniques des différentes pièces qui constituent le train : porte-fusée, triangle de suspension
supérieur et inférieur...
• Porte fusée
A l’issue de la phase d’optimisation des paramètres organiques, la fonction du porte-fusée
est décrite par les points Ea , Eb , F et H. Cette pièce, en général massive, est réalisé en
fonte-aluminum, ou acier. Elle est représentée sur la figure 6.24.
Figure 6.24: Porte-fusée du train à pivot semi-fictif
Il est alors indispensable d’introduire les contraintes d’endurance de la pièce. Ces dernières
doivent être considérées à chaque introduction de matière : donc typiquement lors du déroulement de la ”phase organe” à la ”phase pièces”. La plupart du temps chez Renault, un fournisseur
est en charge de cette étape et donc se charge de respecter les contraintes d’endurance de la pièce.
172
Sans rentrer dans le détail, mais en guise d’illustration, la pièce doit au minimum être
caractérisée :
1. en statique pour définir la limite élastique et la limite de rupture,
2. en fatigue pour déterminer la limite du même nom, un nombre limite de cycle et une
amplitude de contrainte maximale.
Dans notre cas d’application nous n’irons pas plus loin.
Tout comme le porte-fusée, les biellettes de suspension constituent un train. Leurs spécifications techniques sont aussi à définir clairement. A titre d’illustration, les biellettes inférieures
sont maintenant présentées.
• Biellettes inférieurs
La suspension inférieur du train PSF est constituée de deux biellettes. Ces biellettes sont
similaires à celle de la figure 6.25
Figure 6.25: Biellette inférieure du train à pivot semi-fictif
La biellette est fixée au porte-fusée et subit ainsi les mouvements et les efforts transmis
par le porte-fusée. La fixation de la biellette sur le porte-fusée doit respecter, d’une part les
couples de serrage minimal et maximal et d’autre part la tenue en endurance de la fixation sur
le porte-fusée. La biellette est également fixée à la caisse.
L’ensemble des pièces qui constituent le train font alors l’objet de développement avec étude
d’endurance et de résistance. Néanmoins l’étude ne pourra être complète qu’en considérant la
fonction élasto-cinématique du train car jusqu’à présent les pièces et les liaisons sont considérées
comme parfaites et indéformables.
6.3.3
Fonction élasto-cinématique des trains
A ce stade, des plots élastiques vont être introduits au niveau des différents points caractéristiques.
6.3.3.1
173
Prise en compte des flexibilités
Afin d’obtenir une bonne représentativité de la position du plan de roue dans l’espace en
fonction des débattements de suspensions et des efforts et couples correspondants, il est nécessaire d’intégrer la déformation de l’ensemble des éléments reliant le châssis et la roue. Chaque
élément du train, notamment les organes les plus souples (articulations élastiques, pièces métalliques...) est susceptible de contribuer aux caractéristiques élasto-cinématique.
• Articulations élastiques
- articulations élastiques au niveau des biellettes inférieures / berceau en A et
B,
- articulations élastiques au niveau du bras supérieur / structure caisse en C et
D,
- plot élastique en S, attache supérieure de la tige d’amortisseur/structure
caisse.
• Amortisseur considéré rigide car il ne participe pas au guidage de la roue
• Roulement flexible : prise en compte de la flexibilité du roulement de roue en braquage
et en carrossage
• Pièces métalliques
– porte-fusée flexible : prise en compte des raideurs en flexion et en torsion de la crosse
porte-fusée - figure 6.24,
– biellette inférieure avant AEa flexible : prise en compte de la raideur axiale de la
bielette AEa ,
– bielette inférieure arrière BEb rigide : prise en compte de la raideur axiale de la
biellette BEb ,
– Bras supérieur rigide,
– Levier de direction rigide,
– Berceau rigide.
• Pièces non-métalliques : actionneurs de direction X-by-Wire et de carrossage
6.3.3.2
Modélisation des flexibilités
L’élément de type ”bushing” est une articulation élastique qui permet de relier deux pièces
entre elles. Il se caractérise par trois raideurs en translation (radiales, axiale) et trois raideurs
en rotation (coniques,torsion).
Les valeurs minimale, maximale et cible de chaque paramètre organique de la fonction
élasto-cinétique sont présentées sur la figure 6.26.
174
Figure 6.26: Valeurs des différents paramètres de la fonction élasto-cinématique
Le paramétrage résultant de l’étude d’optimisation réalisée sur un modèle complet Adams
avec le groupe de travail ayant travaillé sur le brainstorming des trains est le suivant :
Figure 6.27: Valeurs optimisée des différents paramètres de la fonction élasto-cinématique
Le déploiement en paramètres ”pièces” a pour objectif de déterminer matériellement les plots
élastiques ayant les raideurs préconisées. Dans cette déclinaison, deux facteurs sont importants :
• la forme du plot,
• le matériau élastique doit pouvoir subir de grandes déformations.
Ainsi, les paramètres fonctionnels relatifs à la fonction ”élasto-cinématique” sont déclinés en
paramètres organiques puis le déploiement en pièces en découle.
6.3.4
Fonction de flexibilité
La fonction flexibilité illustre d’une part les caractéristiques d’efforts suivant les débattements verticaux des roues droite et gauche et d’autre part l’angle de braquage des roues entre
la masse suspendue à la caisse et les masses non suspendues. Dans un train double triangle
et PSF, cette fonction est principalement assurée, comme pour le train Mac Pherson, par les
ressorts de suspension, les butées de choc et de rebond. Certaines flexibilité dites parasites,
comme par exemple les flexibilités du berceau, de la jambe de force interviennent également.
Cette fonction se décrit simplement de la manière suivante :
175
• En pompage pur : le ressort de la suspension est l’élément majeur. Il assure via sa raideur
linéaire la fonction de flexibilité du train.
• En pompage plus sévère : le ressort entre en butée. Ce sont donc les butées qui entrent
en jeu dans la fonction flexibilité.
• En roulis, l’action de la barre anti-roulis intervient. Il faut donc l’ajouter dans la fonction
flexibilité.
Les organes intervenant dans cette fonction sont donc les ressorts de suspension linéaire, les
butées de choc et de rebond et la barre anti-roulis.
6.3.4.1
Optimisation de la fonction flexibilité
• Partie linéaire
Le schéma d’optimisation est représenté sur la Figure 6.28.
Figure 6.28: Optimisation des paramètres de la fonction flexibilité [20]
La raideurs du ressort de suspension k1 et la raideur de la barre anti-roulis, kbad sont les
paramètres organiques à déterminer. A ces paramètres s’ajoutent les paramètres extérieurs la raideur verticale d’un pneu kpneu , l’ensemble des raideurs parasites kpara et la masse non
suspendue du train avant Mns - qui doivent être eux aussi obtenus.
Ces paramètres organiques et extérieurs sont déterminés à partir des paramètres fonctionnels
suivants :
• la fréquence de pompage f1 du train avant à un cas de charge référence du train avant
noté Miso ,
• la raideur globale en roulis du train c1 .
176
La raideur du ressort de suspension est directement reliée à la fréquence de pompage f1 du
train par l’équation 6.6, on obtient ainsi le paramètre organique k1 en fonction de f1 suivant
l’équation 6.7.
s
2
1
(6.6)
f1 =
1
2.π (Miso − Mns )( k11 + kpneu
)
k1 =
kpneu .(2π 2 f12 (Miso − Mns ))
kpneu − (2π 2 f12 (Miso − Mns ))
(6.7)
• Partie non-linéaire
La partie non linéaire de la fonction flexibilité est exclusivement due à l’introduction des
butées de choc et des butées de rebond. Il est donc immédiat de faire coı̈ncider la partie nonlinéaire des courbes fonctionnelles de flexibilité avec la caractéristique en effort et déplacement
des butées.
Figure 6.29: Loi Effort/Déplacement des butées de choc(à gauche) et des butées rebond(droite)
L’allure des courbes coı̈ncide avec nos attentes :
- une rigidité à l’origine faible pour un raccordement le plus doux possible lors de
la prise de contact,
- une zone de rigidification progressive,
- une zone de limitation où l’effort croı̂t indéfiniment à l’approche de la déflexion
maximale de la butée.
6.3.4.2
Déploiement de l’organe à la pièce
Ne prenant pas en compte de barre anti-roulis sur le train PSF dans une première approche,
les pièces à réaliser dans le cadre de la fonction flexibilité sont les ressorts et les butées. Les
butées caoutchouc sont de plus en plus remplacées par des butées en polyuréthane ce qui permet d’atteindre les caractéristiques souhaitées dans un encombrement réduit. Elles ne sont pas
déployées dans notre étude.
Il ne reste donc que les ressorts du train à déterminer. Le paramètre organique d’un ressort
- sa raideur - doit être déployé en paramètre pièce. Pour cela, un choix technologique doit
6.4 Conclusion
177
s’opérer parmi l’ensemble des ressorts, hélicoı̂daux, à lames, à barre de torsion ....
Le ressort hélicoı̈dal classique est choisi car il est économique à fabriquer et il peut supporter
par ailleurs une charge importante. Celui-ci est alors caractérisé par ses quatre paramètres
pièces suivants : son nombre de spires n, le diamètre des spires D, le diamètre d des fils constituant les spires et son module d’élasticité transversal en cisaillement G.
En supposant que les diamètres des spires et des fils restent constant, le paramètre organique
est déployé en paramètres pièces selon l’équation 6.8.
G.d4
800.D3 .n
La contrainte maximale T supporté par le ressort est alors donnée par :
k1 =
(6.8)
8.F.D
≤ Te
(6.9)
π.d3
où Te est la contrainte maximale admissible par le matériau utilisé.
A cette contrainte, il faut d’ordinaire également rajouter les contraintes de bruit, les jeux du
ressort, l’influence des pièces environnantes... Mais ces dernières n’ont pas été prise en compte
dans le cas particulier de notre étude.
T =
6.4
Conclusion
Ce dernier chapitre a donc permis de mettre en évidence la déclinaison des paramètres fonctionnels en paramètres organiques puis en pièces. Pour son bon déroulement une architecture
de train a du être choisie. Le train à pivot semi-fictif a alors été retenu car il est apparu comme
le train le plus prometteur en terme de rupture technologique pour la variation de carrossage.
Le choix de la solution étant fait, les paramètres organiques ont fait l’objet d’une optimisation
suivant les trois fonctions principales d’un train.
Concernant la fonction cinématique, l’approche d’un modèle simplifié en cinématique pure
a été privilégiée. Ce modèle a alors permis une optimisation des paramètres organiques. Ces
derniers doivent alors être déployés en paramètres pièces. Mais pour être complet, il a fallu
considérer certaines liaisons élastiques et n’ont pas parfaites. La fonction élasto-cinématique
a alors été menée. Elle s’est attachée à présenter les plages de variation des ”bushings”. Ces
valeurs ont alors été optimisées par l’étude complète du système train sous Adams.
Ce dernier chapitre a donc marqué la seconde grande étape de la démarche de conception
”First Design”. Il clôt ainsi l’application de la méthode de conception robuste à un train avant
innovant.
178
Conclusions
Dans le secteur hautement concurrentiel de l’automobile, un grand constructeur se doit de
satisfaire ses clients afin de maintenir et de gagner des parts de marché. Il est donc soumis sans
cesse à un besoin d’innovation afin d’améliorer l’environnement, le confort, les performances et
la sécurité des véhicules, tout en respectant ses objectifs de qualité, de coût et de délai. C’est
dans cette optique que depuis maintenant plus d’une décennie de nombreux systèmes passifs
et actifs ont été introduits dans l’automobile (ESP, AFS, ABS, airbags...). Malgré cela, le contrôle du plan de roue n’a jamais été pleinement étudié, ni même envisagé pour des raisons de
coûts, de difficultés d’adaptation à des technologies de trains existantes et d’intégration dans
le véhicule.
Dans le cadre du projet ”X-By-Wire”, les grandes variations d’angle de carrossage et les trains
sont donc étudiés. Mes travaux de thèse ont alors pour objectif d’appliquer une méthodologie
de conception robuste aux trains avant à pilotage actif de l’angle de carrossage.
Pour répondre à cette problématique, la méthodologie de conception fiable et robuste ”First
Design” est utilisée. Scindée en deux grandes étapes, cette méthode se base sur l’optimisation
de modèles simplifiés du comportement véhicule. Or le comportement d’un pneu d’automobile
ne tolère que de faibles variations d’angle de carrossage.
Dans un premier temps, il est donc indispensable d’étudier le pneumatique pour obtenir son
comportement aux grands angle de carrossage. Une vision globale de sa modélisation aboutit à
deux modèles de pneumatiques. Le premier modèle reprend la formulation de Pacejka adaptée
aux pneumatiques de moto. Le second modèle s’affranchit du jeu de paramètres propres à
chaque pneumatique pour se pencher sur la physique du pneumatique et plus généralement sur
les lois de la mécanique des matériaux et de la mécanique générale. Des mesures expérimentales
de raideurs de cisaillement de la bande de roulement viennent alimenter ce second modèle.
Les deux modèles retenus et adaptés à la problématique grand carrossage fournissent deux modèles dont le comportement est validé par corrélation avec un modèle traditionnellement utilisé
dans le domaine de l’automobile aux faibles angles de dérive et de carrossage.
Dans un second temps, la méthode de conception est appliquée. S’appuyant sur la hiérarchisation de la conception en y intégrant la notion de robustesse à moindre coût dans le processus
d’optimisation des paramètres de conception mécanique, cette méthode comprend deux étapes :
l’optimisation des paramètres fonctionnels puis l’optimisation des paramètres organiques. La
première étape consiste à optimiser les paramètres fonctionnels en se servant de deux prestations de comportement - virage stabilisé et Sinus Ford. Pour y parvenir, les paramètres sont
179
180
CONCLUSION
hiérarchisés, des modèles simplifiés des deux prestations sont créés et leur validité vérifiée, des
critères objectif à chaque prestation et une loi de carrossage sont mis en place. Puis à l’aide d’un
algorithme génétique et de la notion de non-dominance de Pareto les paramètres fonctionnels
du train sont optimisés permettant ainsi de passer à la seconde étape de la méthode. Cette
étape consiste à déployer les paramètres fonctionnels optimisés en paramètres organiques puis
en pièces à l’aide d’une solution technologique choisie. Au cours d’une étude de créativité des
trains - ”brainstorming” - une méthode de conception raisonnée ”Rational Design” et la méthode
de sélection multi-critères Electre sont appliquées pour sélectionner la solution de train la plus
adaptée à la variation de carrossage. Finalement c’est l’architecture de train à pivot semi-fictif
breveté par Renault qui est retenue pour décliner les paramètres organiques puis les pièces du
train. La conception du train à pivot semi-fictif est ainsi réalisée.
La méthode ”First Design” est donc totalement adaptée à la définition de nouvelles architectures induites par l’introduction d’innovations technologiques et de systèmes mécatroniques.
Perspectives
Plusieurs axes de développement peuvent néanmoins être envisagés pour compléter cette
étude.
• Ajout de prestations de comportement
En effet, seules les prestations de virage stabilisé et de Sinus Ford, sollicitant toutes les
deux la dynamique transversale du véhicule, ont été déployées. Mais il serait intéressant de
poursuivre l’étude en rajoutant d’autres prestations telles que le freinage, le comportement en
ligne droite, le confort...
• Modélisation du pneumatique
En ce qui concerne la modélisation du pneumatique, une amélioration serait d’intégrer les nonlinéarités du pneumatique dans les modèles simplifiés de comportement dynamique du véhicule.
• Evaluation des gains
Une autre voie de développement concerne l’évaluation des gains apportés par la prise de
grand carrossage. En effet, après la conception du train, on pourrait quantifier les gains apportés
par le carrossage.
181
182
PERSPECTIVES
Index des abbréviations
V
M
Ix
Iz
Ixz
l1
l2
h
s1
s2
e1
e2
1
2
λ1
λ2
c1
D1p
D2p
P1
P2
b1
b2
a1
a2
s1
s2
d1
R1
E1
i
Dx
Vitesse d’avancement du véhicule
(m/s)
Masse totale du véhicule
(kg)
Inertie de roulis
(kg.m−2 )
Inertie de lacet
(kg.m−2 )
Produit d’inertie roulis-lacet
(kg.m−2 )
Distance longitudinale du cdg au train avant
(m)
Distance longitudinale du cdg au train arrière
(m)
Hauteur du centre de gravité / au sol
(m)
Hauteur / sol du centre de roulis AV
(m)
Hauteur / sol du centre de roulis AR
(m)
Distance transversale entre roues essieu avant
(m)
Distance transversale entre roues essieu arrière
(m)
Coeff. de braquage induit par le roulis AV
(s.d.)
Coeff. de braquage induit par le roulis AR
(s.d.)
Coeff. de carrossage induit par le roulis AV
(s.d.)
Coeff. de carrossage induit par le roulis AR
(s.d.)
Chasse linéaire au sol
(m)
Rigidité de dérive du train AV
(N/rad)
Rigidité de dérive du train AR
(N/rad)
Coeff. de poussée de carrossage du train AV
(N/rad)
Coeff. de poussée de carrossage du train AR
(N/rad)
Rayon de ballant du train AV
(m)
Rayon de ballant du train AR
(m)
Chasse pneumatique avant
(m)
Chasse pneumatique arrière
(m)
Hauteur du cdg avant
(m)
Hauteur du cdg arrière
(m)
Déport fusée sur le train avant
(m)
Rayon sous charge d’une roue AV
(m)
Voie AV
(m)
Inertie polaire d’une roue AV
(kg.m2 )
Coeff. du Mt de renversement pour le train AV (N.m/rad)
183
184
n
sin(γt )
J
C = Cθ
A = Aθ
Cyα
Cyγ
α
γ
f1
C1
C2
A1
A2
k1
λ1
λ2
1
2
θ
γt
ψ
δ
δ1
δ2
α
Yi j
INDEX DES ABBREVIATIONS
Rapport de démultiplication de la direction
Sinus angle de chasse
Inertie du volant
Raideur de rappel de direction aux roues
Amortissement de direction aux roues
rigidité de dérive ou raideur d’envirage ( 50kN/rad)
rigidité de carrossage
Angle de dérive
Angle de carrossage
Fréquence de pompage du train avant à un cas de charge donné
Raideur de roulis avant
Raideur de roulis arrière
Amortissements anti-roulis avant
Amortissements anti-roulis arrière
raideur du ressort de suspension
Coefficient de carrossage induit par le roulis avant
Coefficient de carrossage induit par le roulis arrière
Coefficient de braquage induit par le roulis avant
Coefficient de braquage induit par le roulis arrière
Angle de roulis suivant l’axe longitudinal
Accélération transversale
Angle de lacet suivant l’axe vertical
Dérive du centre de gravité
Dérive du train avant du véhicule
Dérive du train arrière du véhicule
Angle de braquage à la roue
Effort transversal au train i (AV/AR) à la roue j (droite ou gauche)
(s.d.)
(s.d.)
(kg.m2)
(N.m/rad)
(N.m/rad/s)
(N/rad)
()
(rad)
(rad)
(Hz)
(N.m/rad)
(N.m/rad)
(N.m/rad/s)
(N.m/rad/s)
(N.m-1 )
(%)
(%)
(%)
(%)
(rad)
(m.s2 )
(rad)
(rad)
(rad)
(rad)
(rad)
(N)
Annexe A
Repères de travail
Comme dans tout travail de mécanique, le choix du repère de travail est un élément déterminant. En dynamique du véhicule, il convient donc de définir les principaux repères. Ceux-ci sont
traditionnellement, le repère sol, le repère route, le repère lié au pneumatique, le repère aérodynamique, le repère lié au châssis. Ces différents repère, hormis le repère lié au pneumatique,
vont être détaillés dans cette première annexe.
1. Repère lié au sol
Le repère lié au référentiel au sol <0 (O, x0 , y0 , z0 ) est défini de façon traditionnelle ; il est
supposé Galiléen, c’est un repère orthonormé direct fixe.
Figure 6.30: Repère lié au référentiel sol <0
2. Repère véhicule <1
Le repère véhicule <1 (G, x1 , y1 , z1 ) a pour origine le centre de gravité G du véhicule dans
le plan. C’est également un repère orthonormé direct, il est obtenu par rotation d’angle
de lacet ψ autour de l’axe (Ωz~0 )//(Ωz~1 )
Figure 6.31: Repère véhicule <1
185
186
ANNEXES
Figure 6.32: Repère véhicule <2
3. Repère caisse <C
Enfin par rotation d’angle de roulis θ atour (Gx~2 )//(Gx~c ), le repère caisse <C (xc , yc , zc )
est obtenu. Son origine est toujours le centre de gravité.
Figure 6.33: Repère caisse <C
4. Repère pneu <r
Enfin, <r (G, xr , yr , zr ) est le repère au centre de la roue, dont l’axe des abscisses est l’axe
longitudinal de la roue, l’axe des ordonnées étant perpendiculaire. Il est obtenu a partir
du repère véhicule par rotation d’angle de braquage total αij ,
Figure 6.34: Repère roue <r
ANNEXES
187
Avec ces conventions, les matrices de changement de repère peuvent se déduire. Elles ne
seront pas évoquées ici.
Annexe B
TIRE VERSION : MF-MCTyre 1.1
Copyright TNO, Wed Aug 08 08:52:24 2001
USE MODE specifies the type of calculation performed:
[UNITS]
LENGTH
FORCE
ANGLE
MASS
TIME
’meter’
’newton’
’radians’
’kg’
’second’
FITTYP
USE MODE
MFSAFE1
MFSAFE2
MFSAFE3
VXLOW
LONGVL
1
16.667
Longitudinal speed during measurements
UNLOADED RADIUS
WIDTH
ASPECT RATIO
RIM RADIUS
RIM WIDTH
VERTICAL DAMPING
BREFF
DREFF
FREFF
FNOMIN
0.322
0.18
0.55
0.15
0
50
8.4
0.27
0.045
1475
Free tyre radius
Nominal section width of the tyre
Nominal aspect ratio
Nominal rim radius
Rim width
Tyre vertical damping
Low load stiffness eff. rolling radius
Peak value of eff. rolling radius
High load stiffness eff. rolling radius
Nominal wheel load
rt
0.5W
Kz
Bref f
Dref f
Fref f
Fz0
-1.5
1.5
Minimum valid wheel slip
Maximum valid wheel slip
κmin
κmax
KPUMIN
KPUMAX
52
14
1133
1133
Fx ,Fy ,Fz
α, γ, κ
M
Magic Formula Version number
Tyre use switch
188
R0
W
ANNEXES
189
ALPMIN
ALPMAX
-1.5708
1.5708
Minimum valid slip angle
Maximum valid slip angle
αmin
αmin
CAMMIN
CAMMAX
-1.635
1.635
Minimum valid camber angle
Maximum valid camber angle
γmin
γmax
FZMIN
FZMAX
73.75
3000
Minimum allowed wheel load
Maximum allowed wheel load
Fzmin
Fzmax
LFZO
LCX
LMUX
LEX
LKX
LVX
LGAX
LCY
LMUY
LEY
LKY
LCC
LKC
LEC
LHY
LGAY
LTR
LRES
LGAZ
LXAL
LYKA
LVYKA
LS
LSGKP
LSGAL
LGYR
LMX
LVMX
LMY
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
Scale factor of nominal load
Scale factor of Fx shape factor
Scale factor of Fx peak friction coefficient
Scale factor of Fx curvature factor
Scale factor of Fx slip stiffness
Scale factor of Fx vertical shift
Scale factor of camber for Fx
Scale factor of Fy shape factor
Scale factor of Fy peak friction coefficient
Scale factor of Fy curvature factor
Scale factor of Fy cornering stiffness
Scale factor of camber shape factor
Scale factor of camber stiffness (K-factor)
Scale factor of camber curvature factor
Scale factor of Fy horizontal shift
Scale factor of camber force stiffness
Scale factor of Peak of pneumatic trail
Scale factor of Peak of residual torque
Scale factor of camber torque stiffness
Scale factor of alpha influence on Fx
Scale factor of kappa influence on Fy
Scale factor of kappa induced Fy
Scale factor of Moment arm of Fx
Scale factor of Relaxation length of Fx
Scale factor of Relaxation length of Fy
Scale factor of gyroscopic torque
Scale factor of overturning couple
Scale factor of Mx vertical shift
Scale factor of rolling resistance torque
λF z0
λCx
λµx
λEx
λKx
λV x
λγx
λCy
λµy
λEy
λKy
λCc
λKc
λEc
λHy
λγy
λT r
λM r
λγz
λxα
λyκ
λVy κ
λS
λσκ
λσα
λgyr
λM x
λvM x
λM y
190
ANNEXES
PCX1
1.7525
Shape factor Cfx for longitudinal force
pCx1
PDX1
1.4291
Longitudinal friction Mux at Fznom
pDx1
PDX2 -0.0089158
Variation of friction Mux with load
pDx2
PDX3
0
Variation of friction Mux with camber
pDx3
PEX1
0.38214
Longitudinal curvature Efx at Fznom
pEx1
PEX2
0.0028977
Variation of curvature Efx with load
pEx2
PEX3
0.078492
Variation of curvature Efx with load squared
pEx3
PEX4
0
Factor in curvature Efx while driving
pEx4
PKX1
26.32
Longitudinal slip stiffness Kfx/Fz at Fznom
pKx1
PKX2
-0.12226
Variation of slip stiffness Kfx/Fz with load
pKx2
PKX3
0.24554
Exponent in slip stiffness Kfx/Fz with load
pKx3
PVX1
0
Vertical shift Svx/Fz at Fznom
pV x1
PVX2
0
Variation of shift Svx/Fz with load
pV x2
RBX1
17.897
Slope factor for combined slip Fx reduction
rBx1
RBX2
-10.62
Variation of slope Fx reduction with kappa
rBx2
RBX3 2.1971e-009 Influence of camber on stiffness for Fx combined rCx1
RCX1
-0.68852
Shape factor for combined slip Fx reduction
rCx1
REX1
-2.6079
Curvature factor of combined Fx
rEx1
REX2
-0.7474
Curvature factor of combined Fx with load
rEx2
RHX1 -0.0051784
Shift factor for combined slip Fx reduction
rHx1
PTX1
0.82547
Relaxation length SigKap0/Fz at Fznom
pT x1
PTX2
0.56961
Variation of SigKap0/Fz with load
pT x2
PTX3
0.37523
Variation of SigKap0/Fz with exponent of load pT x3
QSX1
QSX2
QSX3
-0.006437
0.14347
0.06
Lateral force induced overturning couple
Camber induced overturning couple
Camber induced overturning couple
qSx1
qSx2
qSx3
PCY1
PCY2
PDY1
PDY2
PDY3
PEY1
PEY2
PEY3
PEY4
PEY5
PKY1
PKY2
1.1264
0.91549
1.6359
0
0.24085
-0.4986
0.80639
-0.25861
-0.39341
-2.1948
-16.36
1.6469
Shape factor Cfy for lateral forces
Shape factor Cfc for camber forces
Lateral friction Muy
Exponent lateral friction Muy
Variation of friction Muy with squared camber
Lateral curvature Efy at Fznom
Variation of curvature Efy with camber squared
Asymmetric curvature Efy at Fznom
Asymmetric curvature Efy with camber
Camber curvature Efc
Maximum value of stiffness Kfy/Fznom
Curvature of stiffness Kfy
pCy1
pCy2
pDy1
pDy2
pDy3
pEy1
pEy2
pEy3
pEy4
pEy5
pKy1
pKy2
ANNEXES
191
PKY3
1.3647
Peak stiffness factor
PKY4
-0.89991
Peak stiffness variation with camber squared
PKY5
0.24414
Lateral stiffness depedency with camber squared
PKY6
-0.98239
Camber stiffness factor Kfc
PKY7
0.28563
Vertical load dependency of camber stiffn. Kfc
PHY1 -0.0023965
Horizontal shift Shy at Fznom
RBY1
7.5976
Slope factor for combined Fy reduction
RBY2
3.9499
Variation of slope Fy reduction with alpha
RBY3 -3.5927e-012
Shift term for alpha in slope Fy reduction
RBY4 -1.8256e-010
Influence of camber on stiffness of Fy combined
RCY1
1.0492
Shape factor for combined Fy reduction
REY1
0.12043
Curvature factor of combined Fy
REY2
0.18216
Curvature factor of combined Fy with load
RHY1
0.0070473
Shift factor for combined Fy reduction
RHY2
0.022649
Shift factor for combined Fy reduction with load
RVY1
-0.023319
Kappa induced side force Svyk/Muy*Fz at Fznom
RVY2
0.059619
Variation of Svyk/Muy*Fz with load
RVY3
0.15356
Variation of Svyk/Muy*Fz with camber
RVY4
-7.0005
Variation of Svyk/Muy*Fz with alpha
RVY5
1.9
Variation of Svyk/Muy*Fz with kappa
RVY6
-2.3514
Variation of Svyk/Muy*Fz with atan(kappa)
PTY1
0.75477
Peak value of relaxation length Sig alpha
PTY2
1
Shape factor for Sig alpha
PTY3
0.68942
Value of Fz/Fznom where Sig alpha is maximum
pKy3
pKy4
pKy5
pKy6
pKy7
pHy1
rBy1
rBy2
rBy3
rBy4
rCy1
rEy1
rEy2
rHy1
rHy2
rV y1
rV y2
rV y3
rV y4
rV y5
rV y6
rT y1
rT y2
rT y3
QSY1
QSY2
QSY3
QSY4
0.065059
0
0
0
Rolling resistance torque coefficient
Rolling resistance torque depending on Fx
Rolling resistance torque depending on speed
Rolling resistance torque depending on speed4
qSy1
qSy2
qSy3
qSy4
QBZ1
QBZ2
QBZ3
QBZ4
QBZ5
QBZ9
QCZ1
QDZ1
QDZ2
QDZ3
7.4499
-1.076
-1.5493
0
0.13561
6.2402
1.3909
0.064278
-0.010895
-0.18537
Trail slope factor for trail Bpt at Fznom
Variation of slope Bpt with load
Variation of slope Bpt with load squared
Variation of slope Bpt with camber
Variation of slope Bpt with absolute camber
Slope factor Br of residual torque Mzr
Shape factor Cpt for pneumatic trail
Peak trail Dpt = Dpt*(Fz/Fznom*R0)
Variation of peak Dpt with load
Variation of peak Dpt with camber
qBz1
qBz2
qBz3
qBz4
qBz5
qBz9
qCz1
qDz1
qDz2
qDz3
192
QDZ4
-0.26073
Variation of peak Dpt with camber squared
qDz4
QDZ6
0.008493
Peak residual torque Dmr = Dmr/(F z ∗ R0)
qDz6
QDZ7
0.0040778
Variation of peak factor Dmr with load
qDz7
QDZ8
-0.097754
Variation of peak factor Dmr with camber
qDz8
QDZ9
-0.0927
Variation of peak factor Dmr with camber and load qDz9
QDZ10
0.036818 Variation of peak factor Dmr with camber squared qDz10
QDZ11
0.08644
Variation of Dmr with camber squared and load
qDz11
QEZ1
-1.8335
Trail curvature Ept at Fznom
qEz1
QEZ2
0.42485
Variation of curvature Ept with load
qEz2
QEZ3
0
Variation of curvature Ept with load squared
qEz3
QEZ4
-0.5
Variation of curvature Ept with sign of Alpha-t
qEz4
QEZ5
0
Variation of Ept with camber and sign Alpha-t
qEz5
QHZ1
-0.088492
Trail horizontal shift Sht at Fznom
qHz1
QHZ2
0.24151
Variation of shift Sht with load
qHz2
QHZ3
0.20679
Variation of shift Sht with camber
qHz3
QHZ4
-0.25866
Variation of shift Sht with camber and load
qHz4
SSZ1
0.036323
Nominal value of s/R0: effect of Fx on Mz
ssEz1
SSZ2
0.0071843
Variation of distance s/R0 with F y/F znom
ssEz2
SSZ3
0.20084
Variation of distance s/R0 with camber
ssEz3
SSZ4
0.02429
Variation of distance s/R0 with load and camber
ssEz4
QTZ1
0
Gyroscopic torque constant
qT z1
MBELT
0
Belt mass of the wheel -kgmbelt
ANNEXES
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